线性代数向量组线性相关性的判别定理
《线性代数》教学课件—第4章 向量线性相关 第二节 向量组的线性相关性
9 6
,
有 3 = 21 - 2 , 4 = 1 + 22 , 所以向量组 1,
2 , 3 , 4 线性相关, 其几何意义为: 该向量组所
对应的非齐次线性方程组中的四个方程所表示的
四个平面交于同一条直线. 如图 4.3 .
2x+3y+z=4 3x+8y-2z=13 x-2y+4z=-5 4x-y+9z=-6
x
O M1
图 4.2
M3 a3 RM3 (0,2,2) ,
3y
向量组 a1 , a2 , a3
线性相关,因为
2a1 - a2 - a3 = 0.
(3) 4 维向量组线性相关的几何意义 设有 4 维向量组
2
1
3
4
1T
3
1 4
, 2T
2
45
,
T 3
8
132
, 4T
1
在直线 y =2x 上取三点M1, M2 , M3 , 作三个向量:
6y
5
M3(3,6)
4 3
M2(2,4)
2 1
M1(1,2)
O 123456 x
图 4.1
a1 OM1 (1,2) ,
a2 OM2 (2,4) ,
a3 OM3 (3,6) ,
显然, 这三个向量中的 任意两个向量构成的向 量组都是线性相关的.
证明 向量证组明A 线向性量相组关A, 线等性价相于关齐,次等线价性于齐次线
方程组 方程组 x1a1 + x2a2 x+1a··1·+ x2maa2m+=··0·,+即xmAaxm = 0, 即 Ax = 0
线性代数 线性相关性与秩
将(r +1)阶行列式Dj按最后一列展开，有：
a1 j A1 + a2 j A2 +
α1 A1 + α 2 A2 +
+ arj Ar + ar +1, j Dr = 0
j = 1,2, ,n
按向量形式写，上式为：
+ α r Ar + α r +1 Dr = 0 ∵ Dr ≠ 0, ⇒ α1 , α 2 , , α r +1线性相关, 从而α1 , α 2 , , α m 线性相关。
若存在一组不全为零的数 k1 , km , 使向量组 α1 , k1α1 + kmα m ≠ 0, 则 α1 , α m线性无关
α m的线性组合
× √
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 线性无关 ⇔ 该向量组中任意t (1 ≤ t ≤ m)个线性无关
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 中任取两个向量线性无关 ⇒ 该向量组线性无关
称为向量组的秩，记为 r (α1 , α 2 , , α m ). r(0)=0 注：（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。 （2）向量组线性无关⇔秩=向量个数。
若α1 , α 2 , , α m 可由β1 , β 2 , , β s 线性表示，则 定理3： r (α1 , α 2 , , α m ) ≤ r ( β1 , β 2 , , βs )
注: 1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;
2.向量组与其极大无关组等价; 3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是 等价的.
例:求向量组的极大无关组. α1 = (1,2,−1), α 2 = ( 2,−3,1), α 3 ⎛1 2 ⎛ α1 ⎞ ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜α 2 ⎟ = ⎜ 2 − 3 1 ⎟ → ⎜ 0 − 7 ⎜0 − 7 ⎜ α ⎟ ⎜ 4 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝
线性代数-向量组的线性相关性-文档资料
[1,2,1], [2,4,0]线性无关。
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21
性质 3 含有零向量的向量组一定线性相关。
证明： 设1,2 ,,m 是向量组， i 0 (i {1,2,, m})
则： 01 02 0i1 1i 0i1 m 0
]
3
1
,
2
,
线性无关.
3
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17
三、有关向量组线性相关性的若干性质
性质 1
只含一个向量的向量组线性相关的充分必要条 件是它为零向量，
即只含一个向量的向量组线性无关的充分必要 条件是它为非零向量。
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18
性质 2
仅含两个向量的向量组线性相关的 充分必要条件是其对应分量成比例。
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5
【例 1】设 1 2 3 0T ，1 1 2 1 0T ， 2 3 0 1 1T 。问 能否由1,2线性表示？
1 3 1
解：设
x11
x22，则 x1
2
1
x2
0 1
2 ，即 3
0
1
0
1 3
1
2
1
0 1
x1 x2
2
，此方程组无解，所以
3
不能由1 , 2
19
证明：
设 [a1,a2 ,,an ], [b1,b2 ,,bn ]，则
, 线性相关
存在不全为零的常数k1, k2，使k1 k2 0
k1ai k2bi 0,i 1,2,,n，（不妨设k1 0）
ai
k2 k1
bi
,i
1,2 , , n
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20
例1
[1,2,0], [2,4,0]线性相关；
线性代数向量的线性相关性
定理3
设两向量组M、N满足MN，那么
(1) 若向量组M线性相关，则向量组N也线性相关 (2) 若向量组N线性无关，则向量组M也线性无关
可简述为： 子向量组相关,则向量组也相关； 向量组无关，则子向量组也无关。
推论1 含有零向量的向量组是线性相关的
定理4 两个向量构成的向量组线性相关的充分必要条件
故向量组线性相关
例2* 讨论向量组 1 1 2 0 , 2 0 2 1 , 3 0 0 1
的线性相关性 解：设有数 k1 , k2 , k3 使 k11 k22 k33 0 即方程
1 0 0 k1 2 2 0 k2 0 0 1 1 k 0
(*)
例 k1 0, k2 0,, km 0 ;
向量组M是线性相关时不只有 k1 0, k2 0,, km 0使 (*)成立
向量组M是线性无关时只有 k1 0, k2 0,, km 0 使 (*)成立 (2) 向量组线性相关当且仅当 零向量能被向量组用系数 不全为零线性组合表示。 (3) 若 k11 k22 kmm 0 (*) M 1,2 ,,m 线性无关当且仅当
0 0 1 1 例 向量组 M 1 , 4 , 1 , 1 2 3 4 0 1 4 2 1
k1 0, k2 0,, km 0 ;
则
(4) M 1,2 ,,m 线性相关当且仅当齐次方程组
k11 k22 kmm 0 (*) 有非零解；
M 1,2 ,,m 线性无关当且仅当齐次方程组
k11 k22 kmm 0 (*)
线性代数向量组线性相关性的判别定理
向量组B :1,,r ,r1 ,m 也线性相关 .
推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组。
2
定理2
向量组A: j
a1 j , a2 j , anj
T
,
向量组B : j
a p1 j , a p2 j , a pn j
T
,
( j 1,2,, m),
a2 ，a3 ，a4 线性无关，证明
(1) a1 能由 a2 ，a3 线性表示；
(2) a4 不能由a1 ，a2 ，a3 线性表示 .
证 (1) 因 a2 ，a3 ，a4 线性无关 ，由定理1知a2 ，a3线性无关 ，
而a1 ，a2 ，a3线性相关，由上节定理 2 知 a1 能由 a2 ，a3 线性表示 .
ap1m
即（2）齐次方程组x1
a
p21
xm
a
p2m
0,
apn1
apnm
p1 pn 是自然数1，2，n的某个排列，
齐次方程组（1）与齐次方程组（2）同解，
则向量组A与向量组B相同的线性相关性
4
么么么么方面
• Sds绝对是假的
定理3向量组A : j a1 j a2 j arj T ,即 j添上一个分量得 j
则向量组必线性相关 .
7
例1 讨论下列向量组的线性相关性：
1.1 1,2T ,2 3,5T 2.1 1,0,0T ,2 0,1,0T ,3 0,0,1T ,4 1,2,4T
3.1 2,3,1,0T ,2 1,2,5,7T ,3 5,8,7,7T , 4.1 1,0,0,2T ,2 0,1,0,1T ,3 0,0,1,4T
浅谈向量组的线性相关性及判别方法
浅谈向量组的线性相关性及判别方法作者：杨付贵来源：《科学导报·学术》2020年第27期摘要：向量组的线性相关性是线性代数中十分重要的概念之一，有着极其广泛的应用。
然而，在学习线性代数中发现，在学生学习向量组的线性相关性时，感觉很抽象，学习有些吃力。
尤其是对于一般高校文科的学生以及民办高校的本专科的学生，对于向量组的线性相关性的概念很模糊，更不知如何去判别向量组的线性相关性。
本文主要根据自己多年来，在教学和学习过程中的一些经验和体会，对向量组的线性相关性及其性质，以及判别向量组的线性相关性都有那些常见的方法，进行梳理，归纳和总结。
为同学们在学习向量组的线性相关性时提供一些思路。
关键词：向量组;线性相关;线性无关;初等变换一.向量组的线性相关性及其性质和判别定理1. 向量组的线性相关性的定义定义1：如果向量组中，至少有一个向量可以被其余向量线性表示，则称向量组线性相关，否则，向量组线性无关。
定义2：如果存在一组不全为零的数，使得，则称向量组线性相关，否则，向量组线性无关。
注：定义1表明，所谓向量组线性相关，是指向量组中至少有一个向量可以用其余向量线性表示，也即存在着线性关系。
而线性无关是说向量组中的向量之间没有线性关系。
而定义2主要是用来判别向量组的线性相关性。
显然，定义1与定义2是对向量组的线性相关性的不同叙述方式，彼此之间是等价的。
2. 向量组的线性相关性的性质（1）如果向量组中只有一个向量，则当时，线性相关，当时，线性无关。
（2）如果向量组中有两个向量，则线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。
（3）如果向量组中含有零向量，则向量组一定线性相关。
（4）维基本单位向量组线性无关。
3.向量组的线性相关性的判别定理（1）向量组线性相（无）关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解（只有零解）（其中）。
（2）。
（3）如果线性相关，而线性无关，则可以由线性表示，且表示式是唯一的。
（4）如果向量组中的部分向量组成的新的向量组线性相关，则原来的向量组也线性相关。
线性代数_第三章
这与1,2, . . .,s与线性无关矛盾.
推论1 两个等价的且线性无关的向量组，含有相 同个数的向量。
推论2 等价的向量组有相同的秩。
推论3 向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且
组(I)可由组(II)线性表出，则r1≤r2。
lts ks 0
于是
1 , 2 ,
k1 k2 b1 , b 2 , , s ks
l11 l12 l21 l22 , bt lt1 lt 2
l1s k1 0 l2 s k 2 0
第三章 向量组与线性方程组
§3.1 向量组的线性相关性
2 x1 3 x2 3 x3 5 x1 2 x2 x3 2 7 x2 x3 1
2 3 3 5 1 2 1 2 0 7 1 1
显然第三行是前两行的代数和； 也就是说，第三个方程能由前两 个方程“表示”；
4, (III) 1, 2, 3, 5, 且向量组的秩分别
为R(I)=R(II)=3, R(III)=4. 证明:向量组1, 2, 3, 5-4的秩为4.
证明: 由R(I)=R(II)=3得知向量组(I)线性无关,向
量组(II)线性相关,且4可由1, 2, 3,线性表出,
lm m 0
定理3 设m≤n，则m个n维向量1 ,2 ,
,m 线性无关的充
分必要条件是，其组成的矩阵的秩R(A)=m.即A为列满秩。
证：必要性. 因为Q可逆，必有l1,l2,…,lm不全为零， 这与1,2,…,m线性无关矛盾。 因此，R(A)=m。
线性代数42-向量组的线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如 矩 a 1 A 阵 a 2(ai)jm n有 a j n个 m 维 a n 列向量
a11 a12 a1j a1n
A
a21
a22 a2j a2n
am1 am2 amj amn
向量 a 1,a 2 ,组 ,a n 称为 A 的 矩列 阵 .向
b j k 1 j1 k 2 j2 k m m j
k1 j
（ 1 , 2 ,
, m
)
k2 j
,
kmj
从而
k11 k12
（ b1,b2,,bs) （1,2,,m)
k21
k22
km1 km2
k1s k2s kms
矩阵 Kms (kij)称为这一线性 数表 矩.示 阵的
1T 2T mT
a11
a21
am1
a12 a22 am2
a1s a2s
12TT
a ms sT
设矩阵A经初等行变换变 B，成则B的每个行 向量都是 A的行向量组的线性，组即合B的行向量 组能由A的行向量组线性.表由示初等变换可逆性 可知，A的行向量组能B的 由行向量组线性表示 于是A的行向量组B与 的行向量组等. 价
1 k k 1 2 2 k k 1 3 3 k k m 1 m .
即 1 能由其余向量线性表示.
证毕.
线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个是方其程余方程的线性组 合时，这个方程就余是的多，这时称方程各组（ 个方程）是线性相；关当的方程组中没有方多余 程，就称该方程组个（方各程）线性无关线（或 性独立. ）
向量的线性相关性
a m 1 1 2 2 m 1 m 1
故
1 1 2 2 m 1 m 1 1 a m 0
a1 x1 a 2 x 2 an xn b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定向量组 A : 1 , 2 , , m ，对于任何一
向量 组实数 k 1， k 2， , k m ， k 1 1 k 2 2 k m m 称为向量组的一个
向量 b 能
即线性方程组 x 1 1 x 2 2 x m m b 有解 .
定理1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充分必要
条件是矩阵 A ( 1， 2， , m )的秩等于矩阵 B ( 1， 2， , m , b )的秩 .
定义２ 设有两个向量组
a 11 a 21 a m1
a 12 a 22 am2
设矩阵 A 经初等行变换变成 向量都是 A 的行向量组的线性组合 组能由 A 的行向量组线性表示 可知， A 的行向量组能由 于是 A 的行向量组与
, 则只有当
1 n 0时 , 才有 1 1 2 2 n n 0 成立 .
2. 对于任一向量组 线性相关 . , 不是线 性无关就是
3. 向量组只包含一个向量
时 , 若 0 则说
.
线性相关 , 若 0 , 则说 线性无关
（ b1 , b 2 , , b s ) 1 , 2 , , m （
《线性代数》向量组的线性相关与线性无关
a11 a21
an1
即行列式 D = a12 a22
an2 = 0 ?
核心问题！
a1n a2n
ann
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
特殊方法（举例）
亦即
例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1
0
0
0
α1
=
0
,
0
α2
=
1
,
0
α3
=
0 1
,
α4
=
k1，k2， ，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
由向量的运算性质可得
k1a1+k2a2+ +kn an=o，即
a11 a21
an1 0
k1
a12 ...
+
k2
a22 ...
+
...
+
kn
an2 ...
=
0 ...
a1n a2n
故
β
=
(-
l1 l
)α 1
+
(-
l2 l
)α 2
+
+
(-
lm l
)α m
，
即b可由向量组a1，a2， ，am线性表示.
定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1，a2， ，am线性无关，则b 可由a1，a2， ，am线性表示，且表
示式是惟一的.
证明： 再证表示法惟一.
设b可表示成以下两种形式，
结论： 1.含有零向量的向量组一定线性相关.
线性代数：3.2 向量的线性相关性
,
是线性无关的.
n
例：判断向量组
1 1, a, a2, a3 ,2 1, b, b2, b3 , 4 1, c, c2, c3 ,4 1, d, d 2, d 3
线性相关还是线性无关。（a, b, c, d各不相同）
考虑齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 ax1 bx2 cx3 dx4 0 a2 x1 b2 x2 c2 x3 d 2 x4 0 a3 x1 b3 x2 c3 x3 d 3 x4 0 其系数行列式是范德蒙德行列式
即齐次线性方程组有非零解，
所以向量 1,2 ,3 线性相关。
而向量 1,2 对应分量不成比例，所以线性无关。
例： 已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关,
1 1 2, 2 2 3,3 3 1
试证 : 1 , 2 , 3线性无关.
证明: 设 k11 k2 2 k3 3 0 k1(1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 ( 3 1 ) 0
设 k11 k22 l11 l22
两式相减得
kmm lmm
（k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (km lm )m 0
因为1,2 ,,m线性无关，
所以系数k1 l1 0, k2 l2 0,, km lm 0, 于是有ki li , i 1, 2, , m.
k11 k22 kmm 0
不妨设ki 0，于是
i
k1 ki
1
ki 1 ki
i 1
ki 1 ki
i 1
即i可由其余m-1个向量线性表示。
km ki
m
（充分性）设i可由其余m 1个向量线性表示， 即i l11 li1 i1 li1 i1 lmm
于是l11 l i1 i1 (1) i l i1 i1 lm m 0
线性代数线性相关性判定定理
（A）1,2 , ,m 中有一零向量
（B）1,2 , ,m 中任意两个向量的分量成比例
（C）1,2 , ,m 中有一向量是其余向量的
线性组合
（D）1,2 , ,m 中任意一个向量是其余向
量的线性组合
例2 若向量组 1,2 , ,m 线性相关，则 1
是其余向量的线性组合，这种说法对吗？ 不对
§3.3 线性相关性判定定理
定理1 向量组1,2 ,,m（当m 2 时）线性相关
的充分必要条件是 1 ,2 ,,m中至少有一个向
量可由其余 m 1个向量线性表示．
证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
am 11 22 m1m1
因 由1,2 , ,m 唯一的线性表示
所以 k1 l1 l1, k2 l2 l2 , , km lm lm 所以 k1 0, k2 0, , km 0
即1,2 , ,m 线性无关
所以此命题为真命题
定理3 若向量组 1 , 2 , , r 线性相关 , 则增加
若干个向量后所得的向量组
余向量线性表示
例8 设向量组 1,2 ,3 线性相关，向量组2 ,3 ,4
线性无关，问
1能否由 2 ,3 线性表示？证明你的结论
解能
因为 2,3,4 线性无关，
整体无关则部分无关
所以 2 ,3 线性无关 而 1,2 ,3 线性相关 由定理2，1可唯一的由 2 ,3 线性表示
定义1 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m,
k11 k22
k1 k
1
k2 k
2
krr k
kr k
r
线性代数-向量组的线性相关性
证明：
设 [a1,a2 ,,an ], [b1,b2 ,,bn ]，则
, 线性相关
存在不全为零的常数k1, k2，使k1 k2 0
k1ai k2bi 0,i 1,2,,n，（不妨设k1 0）
ai
k2 k1
bi
,i
1,2 , , n
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20
例1
[1,2,0], [2,4,0]线性相关；
0
10Leabharlann 线性表示。{PAGE}
6
定义 2’：
设1 ,2 ,,m是向量组,如果存在不全为零的常数
k1 ,k2 , ,km
使得k11 k22 kmm 0
则称向量组1 ,2 ,,m线性相关，否则称为线性无关。
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7
注
由以上定义可得，
向量组1 ,2 ,,m是向线性无关的充分必要条件是 方程组k11 k 22 kmm 0只有零解。
2、 向量1 ,2 ,3线性相关
1 ,2 ,3 中有一个向量可由其余的向量线性表示
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34
不妨设3
k11
k2
，
2则
1
,2
,
线性相关
3
1 ,2 ,3 共面
k2 2 3 k11
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35
定理 3
设向量组1 ,2 ,,m线性无关,1 ,2 ,,m ,
线性相关，则 可由1 ,2 ,,m唯一线性表示。
{PAGE}
5
【例 1】设 1 2 3 0T ，1 1 2 1 0T ， 2 3 0 1 1T 。问 能否由1,2线性表示？
1 3 1
解：设
x11
x22，则 x1
2
3.1 3.2向量及向量组的线性相关性
, 2
a22
,, s
a2s
ar1
ar2
ars
则 k11 k22 kss k11 k22 kss
k11
k2 2
ks s
a11
k1
a21
a12
k2
a22
a1s
ks
a2s
k1a11 k1a21
k2a12 ksa1s
k2a22 ksa2s
ars
k1ar1
k2ar 2
ksa1s 0
ksa2s
0
ksars
0
ksa2s 0
ksa1s
0
ksars
0
a11
a12
a1s
1
a21
,
2
a22
, s
a2s
,
ar1
ar2
ars
ka11
ka12
ka1s
1
a21
通常用希腊字母α, β, γ等表示.
说明
①行向量也是1×n的行矩阵，列向量也是n×1的列矩阵； ②行向量可看作是列向量的转置； ③为统一起见，以后所讨论的向量均指列向量.
分量全为零的向量称为零向量, 记作θ ---读作“西塔”
二、向量的运算
如: (a1, a2 , , an )T , (b1, b2 , , bn )T 定义2. 若向量 和 对应的分量分别相等，即ai=bi ，i=1,2,…,n
a22
,
a1s
s
a2
s
,
a11
a21
a12
a22
a1s
a2s
ar1
ar
线性代数__2[1].2向量组的线性相关性
![线性代数__2[1].2向量组的线性相关性](https://img.taocdn.com/s3/m/b9fe1714a2161479171128c3.png)
k 3 0 1 , 2 , 3 线性无关.
例3：设向量组1 , 2 ,, m 线性无关，且
1 2 m 证明向量组 1 , 2 ,， m 线性无关(m 1). 证 : 设k1 ( 1 ) k 2 ( 2 ) k m ( m ) O
a , a , , a b , b , , a
m 1m 2m 1 2 n
nm
可由 ， ， ， 线性表示
1 2 m
存在一组实数k1 , k 2 , k m , 使
k1 1 k 2 2 k m m
a1 m b1 a11 a12 a b a a 2 k 21 k 22 k 2 m 1 2 m bn a n1 a n 2 a nm a11k1 a12k 2 ...... a1m k m b1
问题： 零向量是任何向量组的线性组合，为什么？
1 0 0 0 5 0 1 0 0 , 1 , 2 , 3 , 4 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 有 2 5 3 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 即 =2 1 5 2 3 3 0 4 所以，称 是 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合， 或 可以由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示。
任一向量都可表示成单位坐标向量的线性组合
线性代数向量组的线性相关性
第三节 向量组的线性相关性分布图示★ 线性相关与线性无关★ 例1★ 例2★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5★ 例7★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-3内容要点一、线性相关性概念定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使,02211=+++s s k k k ααα 1则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.注: ① 当且仅当021====s k k k 时,1式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时,则10≠α的充分必要条件是α是线性无关的； 20=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之,仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.二、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s .推论 1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21 线性无关线性相关的充要条件是: 矩阵),,,(21n A ααα = 的秩等于小于向量的个数n .推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21 线性无关线性相关的充要条件是:矩阵),,,(21n A ααα = 的行列式不等于等于零.注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关. 定理3 如果向量组中有一部分向量部分组线性相关,则整个向量组线性相关. 推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.定理4 若向量组βαα,,,1s 线性相关, 而向量组s ααα,,,21 线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21 线性表示且表示法唯一.定理5 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββααα向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =例题选讲例1 设有3个向量列向量:,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使,02211=+e e λλ也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ 即 .0002121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例3 E01 n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,, =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001 是n 阶单位矩阵.由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.例4 E02 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩,可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩,利用定理2即可得出结论.),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 易见,,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.例5 判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110421秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k 1成立,整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关,故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k 2 因为110011101,02≠=故方程组2仅有零解.即只有0321===k k k 时1式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例7 E03 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 1 1a 能由32,a a 线性表示; 2 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明1因432ααα,,线性无关,故32,αα线性无关,而321ααα,,线性相关,从而1α能由32αα,线性表示；2用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示,而由1知1α能由32αα,线性表示,因此4α能由32αα,表示,这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.课堂练习1. 试证明:1 一个向量α线性相关的充要条件是0=α;2 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;3 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =两式不一定同时成立; 2. 判断向量组T T T )0,1,1,1(,)1,0,3,1(,)1,0,2,1(321--=-==ααα是否线性相关.3. 判断向量组T T T )11,1,3,4(,)1,1,1,2(,)5,1,2,1(321-=-=-=ααα是否线性相关.。
线性代数中的向量线性相关性判定方法
线性代数中的向量线性相关性判定方法在线性代数中，向量的线性相关性判定是一个非常重要的概念。
它涉及到向量的线性组合，矩阵的行列式和秩等基础概念，同时也是一些高级数学分支如线性变换、矩阵理论、统计分析等学科的基础。
本文将结合实例来探讨向量线性相关性判定方法。
一. 向量的线性组合首先，我们来了解什么是向量的线性组合。
假设有n个向量${v_1,v_2,...,v_n}$，并且有标量$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$，则我们可以将它们进行线性组合，得到如下形式的向量：$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n$其中，$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$是标量。
这个过程中，我们只是简单地将每一个向量按照一定的比例进行加权求和。
二. 向量的线性相关性如果存在不全为零的标量$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$，使得$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n=0$则称向量${v_1,v_2,...,v_n}$是线性相关的。
反之，如果不存在这样的标量，则称向量${v_1,v_2,...,v_n}$是线性无关的。
三. 判断向量线性相关性的方法在对向量线性相关性进行判断时，我们通常会采用以下三种方法：行列式法、秩法和高斯消元法。
1. 行列式法行列式法判断线性相关性是通过构造一个矩阵来进行的。
将向量$v_1,v_2,...,v_n$作为列向量组成的矩阵记为A，则我们可以写出以下等式：$A\alpha=0$，其中$\alpha$表示与向量$v_1,v_2,...,v_n$对应的标量。
对于向量$v_1,v_2,...,v_n$，如果$\det(A)=0$，则向量是线性相关的；如果$\det(A)\neq0$，则向量是线性无关的。
例如，我们来看以下两个向量：$v_1=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$，$v_2=\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}$将它们组成的矩阵写为：$A=\begin{bmatrix}1\quad-2\\2\quad3\end{bmatrix}$然后我们计算$\det(A)$，得到：$\det(A)=1\times3-(-2)\times2=7\neq 0$因此，向量$v_1,v_2$是线性无关的。
线性代数3.3向量组线性相关性的判别定理
线性代数3.3向量组线性相关性的判别定理线性代数是数学中的一个分支，它研究向量空间和线性映射等代数结构的性质和规律。
在线性代数中，向量组的线性相关性是一项基本概念。
本文将介绍向量组线性相关性的判别定理。
在数学中，如果存在一组非零向量$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n$以及一组不全为零的标量$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得向量组的线性相关性判别定理是指，存在一个简单的方法，可以判断一个向量组是否是线性相关的。
推论：零向量不参与线性相关性的判断但是，如果向量组中包含了零向量，那么零向量不参与线性相关性的判断。
因为任何向量与零向量的线性组合都等于零向量，所以如果向量组中包含了零向量，只有当其他向量出现线性相关性时，才能称向量组是线性相关的。
证明：因为$k_1,k_2,\cdots,k_n$中至少有一个不为零，不妨设$k_1$不为零。
则有因此，向量$\boldsymbol{v}_1$可以表示为其余向量的线性组合。
$$\boldsymbol{v}_i=k_1\boldsymbol{v}_1+k_2\boldsymbol{v}_2+\cdots+k_{i-1}\bold symbol{v}_{i-1}+k_{i+1}\boldsymbol{v}_{i+1}+\cdots+k_n\boldsymbol{v}_n$$将上式代入得到总结向量组的线性相关性是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、特征值等有密切的关联。
在实际应用中，判断向量组的线性相关性是很有用的，例如在计算机图形学、信号处理、机器学习等领域中，经常需要对向量组进行操作和分析。
通过本文所介绍的向量组线性相关性的判别定理，我们可以更方便地应用向量空间理论解决实际问题。
判断是否为线性相关的方法
线性代数复习总结大全向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T T n T T T n T T r r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21，求n k k k ....21（适合维数低的）2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关3、分量法（n 个m 维向量组）180P ：线性相关（充要）nr T n T T <⇒)....(21ααα线性无关（充要）nr T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时，相关，则0321=T T T ααα；无关，则0321≠TT T ααα②当m<n 时，线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关，则当s 为奇数时，向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时，向量组也线性相关。
定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关，则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出，且表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关。
极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在；无关的向量组的极大无关组是其本身；向量组与其极大无关组是等价的。
齐次线性方程组（I ）解的结构：解为...,21αα（I ）的两个解的和21αα+仍是它的解；（I ）解的任意倍数αk 还是它的解；（I ）解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解，s c c c ,...,21是任意常数。
非齐次线性方程组（II ）解的结构：解为...,21μμ（II ）的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解，v 是其导出组AX=O 的一个解，则u+v 是（II ）的一个解。
定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(，则该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r个解。
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解：
1.1
,
构成矩阵
2
A,
1 A
2
3
0，1,
线性无关
2
5
2.1,
2
,
3
,
构成
4
4个3维向量组，1
,
2
,
3
,
线性相关
4
3.1 2,3,1,0T ,2 1,2,5,7T ,3 5,8,7,7T ,
2 1 5
解
1,
2
,
构成
3
矩阵A
3 1 0
2 5 7
8 7 7
,
可求得r(A) 2 3,
(2) 用反证法 假设 a4 能由 a1 , a2 , a3 表示 ，
而由 (1) 知 a1 能由 a2 , a3 表示 ， 因此 a4 能由 a2 , a3 线性表示 ， 这与 a2 , a3 , a4 线性无关矛盾 .
k1, k2, , kr ,0 0为m个不全为零的数
向量组B :1, ,r ,r1 ,m 也线性相关 .
推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组。
定理2
向量组A: j
a1 j , a2 j , anj
T
,
向量组B : j
a p1 j , a p2 j , a pn j
T
,
( j 1,2, , m),
1
,
2
,
线性相关
3
4.1 1,0,0,2T ,2 0,1,0,1T ,3 0,0,1,4T
解. e1 1,0,0T , e2 0,1,0T , e3 0,0,1T 线性无关
1 1,0,0,2T ,2 0,1,0,1T ,3 0,0,1,4T 线性无关
例2
设向量组 a1 ，a2 ，a3 线性相关，向量组
则向量组必线性相关 .
例1 讨论下列向量组的线性相关性：
1.1 1,2T ,2 3,5T 2.1 1,0,0T ,2 0,1,0T ,3 0,0,1T ,4 1,2,4T
3.1 2,3,1,0T ,2 1,2,5,7T ,3 5,8,7,7T , 4.1 1,0,0,2T ,2 0,1,0,1T ,3 0,0,1,4T
ap11
ap1m
即（2）齐次方程组x1
a
p21
xm
a
p2m
0,
apn1
apnm
p1 pn 是自然数1，2， n的某个排列，
齐次方程组（1）与齐次方程组（2）同解，
则向量组A与向量组B相同的线性相关性
定理3向量组A : j a1 j a2 j arj T ,即 j添上一个分量得 j
向量组B : j a1 j
a2 j
arj
T
ar1, j ,
( j 1,2, , m),
若向量组
A：1,2 ,
,
线性无关
m
,
则向量组
B：1
,
2
,
,
也线性无关
m
.
（逆否命题，若向量组 B线性相关,则向量组A也线性相关 .）
推论： r维向量组的每个向量添上n-r个分量，成为n维向量组 若r维向量组线性无关， 则n维向量组也线性无关。
p1 pn是自然数1 n某个排列，则向量组A与B有相同的线性相关性
证明
向量组1
线性相关
m
齐次方程组 x11 xmm 0有非零解
a11
a1m
即（1）齐次方程组x1
a21 an1
xm
a2m
anm
0,
向量组B : 1
线性相关
m齐次方程组 x11 x源自m 0有非零解3.3线性相关性的判别定理
内容：4个定理
定理1 若向量组 A：1,2, ,r 线性相关,则向量组
B :1, ,r ,r1 ,m 也线性相关.(部分相关，则整体相关）
反言之,若向量组B 线性无关,则向量组A也线性无关.
证明 向量组 A：1,2, ,r 线性相关,
不全为零的数 k1, k2, , kr ，使得k11 k22 krr 0 即为 k11 k22 krr 0r1 0m 0
a2 ，a3 ，a4 线性无关，证明
(1) a1 能由 a2 ，a3 线性表示；
(2) a4 不能由a1 ，a2 ，a3 线性表示 .
证 (1) 因 a2 ，a3 ，a4 线性无关 ，由定理1知a2 ，a3线性无关 ，
而a1 ，a2 ，a3线性相关，由上节定理 2 知 a1 能由 a2 ，a3 线性表示 .
定理4 向量组 A：1,2, ,m 线性相关 r( A) m, 其中A (1,2, ,m )
向量组 A：1,2, ,m 线性无关 r( A) m
推论1： n个n维向量组成的向量组A线性相关 A 0 . (n个n维向量组成的向量组A线性无关 A 0 .)
推论2： m个n维向量组成的向量组，当维数 n 向量个数m时,