线性代数向量组线性相关性的判别定理
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k1, k2, , kr ,0 0为m个不全为零的数
向量组B :1, ,r ,r1 ,m 也线性相关 .
推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组。
定理2
向量组A: j
a1 j , a2 j , anj
T
,
向量组B : j
a p1 j , a p2 j , a pn j
T
,
( j 1,2, , m),
a2 ，a3 ，a4 线性无关，证明
(1) a1 能由 a2 ，a3 线性表示；
(2) a4 不能由a1 ，a2 ，a3 线性表示 .
证 (1) 因 a2 ，a3 ，a4 线性无关 ，由定理1知a2 ，a3线性无关 ，
而a1 ，a2 ，a3线性相关，由上节定理 2 知 a1 能由 a2 ，a3 线性表示 .
解：
1.1
,
构成矩阵
2
A,
1 A
2
3
0，1,
线性无关
2
5
2.1,
2
,
3
,
构成
4
4个3维向量组，1
,
2
,
3
,
线性相关
4
3.1 2,3,1,0T ,2 1,2,5,7T ,3 5,8,7,7T ,
2 1 5
解
1,
2
,
构成
3
矩阵A
3 1 0
2 5 7
8 7 7
,
可求得r(A) 2 3,
ap11
ap1m
即（2）齐次方程组x1
a
p21
xm
a
p2m
0,
apn1
apnm
p1 pn 是自然数1，2， n的某个排列，
齐次方程组（1）与齐次方程组（2）同解，
则向量组A与向量组B相同的线性相关性
定理3向量组A : j a1 j a2 j arj T ,即 j添上一个分量得 j
1
,
2
,
线性相关
3
4.1 1,0,0,2T ,2 0,1,0,1T ,3 0,0,1,4T
解. e1 1,0,0T , e2 0,1,0T , e3 0,0,1T 线性无关
1 1,0,0,2T ,2 0,1,0,1T ,3 0,0,1,4T 线性无关
例2
设向量组 a1 ，a2 ，a3 线性相关，向量组
3.3线性相关性的判别定理
内容：4个定理
定理1 若向量组 A：1,2, ,r 线性相关,则向量组
B :1, ,r ,r1 ,m 也线性相关.(部分相关，则整体相关）
反言之,若向量组B 线性无关,则向量组A也线性无关.
证明 向量组 A：1,2, ,r 线性相关,
不全为零的数 k1, k2, , kr ，使得k11 k22 krr 0 即为 k11 k22 krr 0r1 0m 0
向量组B : j a1 j
a2 j
arj
T
ar1, j ,
( j 1,2, , m),
若向量组
A：1,2 ,
,
ຫໍສະໝຸດ Baidu
线性无关
m
,
则向量组
B：1
,
2
,
,
也线性无关
m
.
（逆否命题，若向量组 B线性相关,则向量组A也线性相关 .）
推论： r维向量组的每个向量添上n-r个分量，成为n维向量组 若r维向量组线性无关， 则n维向量组也线性无关。
p1 pn是自然数1 n某个排列，则向量组A与B有相同的线性相关性
证明
向量组1
线性相关
m
齐次方程组 x11 xmm 0有非零解
a11
a1m
即（1）齐次方程组x1
a21 an1
xm
a2m
anm
0,
向量组B : 1
线性相关
m
齐次方程组 x11 xmm 0有非零解
(2) 用反证法 假设 a4 能由 a1 , a2 , a3 表示 ，
而由 (1) 知 a1 能由 a2 , a3 表示 ， 因此 a4 能由 a2 , a3 线性表示 ， 这与 a2 , a3 , a4 线性无关矛盾 .
则向量组必线性相关 .
例1 讨论下列向量组的线性相关性：
1.1 1,2T ,2 3,5T 2.1 1,0,0T ,2 0,1,0T ,3 0,0,1T ,4 1,2,4T
3.1 2,3,1,0T ,2 1,2,5,7T ,3 5,8,7,7T , 4.1 1,0,0,2T ,2 0,1,0,1T ,3 0,0,1,4T
定理4 向量组 A：1,2, ,m 线性相关 r( A) m, 其中A (1,2, ,m )
向量组 A：1,2, ,m 线性无关 r( A) m
推论1： n个n维向量组成的向量组A线性相关 A 0 . (n个n维向量组成的向量组A线性无关 A 0 .)
推论2： m个n维向量组成的向量组，当维数 n 向量个数m时,
向量组B :1, ,r ,r1 ,m 也线性相关 .
推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组。
定理2
向量组A: j
a1 j , a2 j , anj
T
,
向量组B : j
a p1 j , a p2 j , a pn j
T
,
( j 1,2, , m),
a2 ，a3 ，a4 线性无关，证明
(1) a1 能由 a2 ，a3 线性表示；
(2) a4 不能由a1 ，a2 ，a3 线性表示 .
证 (1) 因 a2 ，a3 ，a4 线性无关 ，由定理1知a2 ，a3线性无关 ，
而a1 ，a2 ，a3线性相关，由上节定理 2 知 a1 能由 a2 ，a3 线性表示 .
解：
1.1
,
构成矩阵
2
A,
1 A
2
3
0，1,
线性无关
2
5
2.1,
2
,
3
,
构成
4
4个3维向量组，1
,
2
,
3
,
线性相关
4
3.1 2,3,1,0T ,2 1,2,5,7T ,3 5,8,7,7T ,
2 1 5
解
1,
2
,
构成
3
矩阵A
3 1 0
2 5 7
8 7 7
,
可求得r(A) 2 3,
ap11
ap1m
即（2）齐次方程组x1
a
p21
xm
a
p2m
0,
apn1
apnm
p1 pn 是自然数1，2， n的某个排列，
齐次方程组（1）与齐次方程组（2）同解，
则向量组A与向量组B相同的线性相关性
定理3向量组A : j a1 j a2 j arj T ,即 j添上一个分量得 j
1
,
2
,
线性相关
3
4.1 1,0,0,2T ,2 0,1,0,1T ,3 0,0,1,4T
解. e1 1,0,0T , e2 0,1,0T , e3 0,0,1T 线性无关
1 1,0,0,2T ,2 0,1,0,1T ,3 0,0,1,4T 线性无关
例2
设向量组 a1 ，a2 ，a3 线性相关，向量组
3.3线性相关性的判别定理
内容：4个定理
定理1 若向量组 A：1,2, ,r 线性相关,则向量组
B :1, ,r ,r1 ,m 也线性相关.(部分相关，则整体相关）
反言之,若向量组B 线性无关,则向量组A也线性无关.
证明 向量组 A：1,2, ,r 线性相关,
不全为零的数 k1, k2, , kr ，使得k11 k22 krr 0 即为 k11 k22 krr 0r1 0m 0
向量组B : j a1 j
a2 j
arj
T
ar1, j ,
( j 1,2, , m),
若向量组
A：1,2 ,
,
ຫໍສະໝຸດ Baidu
线性无关
m
,
则向量组
B：1
,
2
,
,
也线性无关
m
.
（逆否命题，若向量组 B线性相关,则向量组A也线性相关 .）
推论： r维向量组的每个向量添上n-r个分量，成为n维向量组 若r维向量组线性无关， 则n维向量组也线性无关。
p1 pn是自然数1 n某个排列，则向量组A与B有相同的线性相关性
证明
向量组1
线性相关
m
齐次方程组 x11 xmm 0有非零解
a11
a1m
即（1）齐次方程组x1
a21 an1
xm
a2m
anm
0,
向量组B : 1
线性相关
m
齐次方程组 x11 xmm 0有非零解
(2) 用反证法 假设 a4 能由 a1 , a2 , a3 表示 ，
而由 (1) 知 a1 能由 a2 , a3 表示 ， 因此 a4 能由 a2 , a3 线性表示 ， 这与 a2 , a3 , a4 线性无关矛盾 .
则向量组必线性相关 .
例1 讨论下列向量组的线性相关性：
1.1 1,2T ,2 3,5T 2.1 1,0,0T ,2 0,1,0T ,3 0,0,1T ,4 1,2,4T
3.1 2,3,1,0T ,2 1,2,5,7T ,3 5,8,7,7T , 4.1 1,0,0,2T ,2 0,1,0,1T ,3 0,0,1,4T
定理4 向量组 A：1,2, ,m 线性相关 r( A) m, 其中A (1,2, ,m )
向量组 A：1,2, ,m 线性无关 r( A) m
推论1： n个n维向量组成的向量组A线性相关 A 0 . (n个n维向量组成的向量组A线性无关 A 0 .)
推论2： m个n维向量组成的向量组，当维数 n 向量个数m时,