近世代数复习

（四） 关于求高斯整环的理想的显然形式及其商环的一般解法： 1． 高斯整环的显然形式分两种情况： (a) 理想形如 I a i 首先， N (a i) (a i)(a i) I ，所以对任意的 z Z ， N (a i) z I ． 对于 i 前系数为 1 的情况， x yi 以 y 优先凑 y 的表达式 x yi ( x ay) (a i) y ． 因为 (a i) I ，所以只要 x ay I ，则 x yi I ． 则可以得到其显然表达式为 a i {x yi | x ay mod( N (a i))} ． 若x ay mod( N (a i)) ，则 x yi I ，若不然， 1 I ，则有 I Z[i] ，矛盾． (b) 理想形如 I 1 bi 同样， N (1 bi) (1 bi)(1 bi) I ，所以对任意的 z Z ， N (1 bi) z I ． 对于 i 前系数为 b 的情况， x yi 以 x 优先凑 x 的表达式 x yi (1 bi) x ( y bx)i ． 因为 (1 bi) I ，所以只要 y bx I ，则 x yi I ． 则可以得到其显然表达式为 1 bi {x yi | y bx mod( N (1 bi))} ． 若y bx mod( N (1 bi)) ，则 x yi I ，若不然， 1 I ，则有 I Z[i] ，矛盾． 2． 高斯整环的商环 当理想的生成元的范围为素数时，即若 N (a bi) 为素数， Z[i]/ a bi Z N ( a bi) ． (a) 理想形如 I a i 的显然表达式为 a i {x yi | x ay mod( N (a i))} ． 当 x ay mod( N (a i)) 时， x yi <a i> ， x yi 0 ； 当 x ay mod( N (a i)) 时， x yi m a i ，其中 m Z N ( a i) ，则 x yi 1, 2, 由此得 Z[i]/ a i {0,1, 2, 是一个素理想． (b) 理想形如 I 1 bi 的显然表达式为 1 bi {x yi | y bx mod( N (1 bi))} ． 当 y bx mod( N (1 bi)) 时， x yi 1 bi ， x yi 0 ； 当 y bx mod( N (1 bi)) 时， x yi m 1 bi ，其中 m Z N (1bi) ，则 x yi 1, 2, 由此得 Z[i]/ 1 bi {0,1, 2, 也是一个素理想．
（一） 群在集合上的作用 群在集合上的作用主要掌握如何求轨道、稳定子、不动元．下面分别对这三个概念简要介绍． 设群 G 作用在集合 X 上， x X ． (1) 称 Ox {gx | g G} 为 x 在 G 下的轨道．该定义的含义是：对于固定的 x X ， x 所在的轨道是用 x 去乘
| S4 | 4! 12 ， 12 3 4 3 22 ，所以由西罗第三定理， A4 有 2 2
唯一的 Sylow 2 子群． A4 的 Sylow 2 子群即为 A4 的 4 阶子群(同理， S 4 的 Sylow 2 子群即为 S 4 的 8 阶子群)．则 A4 的 Sylow 2 子群为 K {(1),(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)} ， K 也是 A4 的正规子群． 例 4： 设 G 是一个 21 阶的非循环群，求 G 中 Sylow 3 子群的个数． 【解答】(不失一般性)21 的标准素因数分解为 21 3 7 ，则 n3 3k 1 |7，则有 n3 1 或 7，由条件 G 是非循环群，则 n3 7 ，即 G 中有 7 个 Sylow 3 子群． 例 5： 设 G 是一个 36 阶的群，求 G 中 Sylow 3 子群的个数． 【解答】(不失一般性)36 的标准素因数分解为 36 22 32 ，则 n3 3k 1| 22 ，则有 n3 1 或 4 (1) 若 G 是循环群，则 n3 1 ，即 G 中有 1 个 Sylow 3 子群， G 为正规子群． (2) 若 G 是不循环群，则 n3 4 ，即 G 中有 4 个 Sylow 3 子群．
, N (1 bi) 1． , N (a i) 1 ．
, N (a i) 1} ，并且当 N (a i) 为素数时，这是一个极大理想，当然也
, N (1 bi) 1} ，并且当 N (1 bi) 为素数时，这是一个极大理想，当然
（五） 素理想、极大理想之间的关系 在素理想、极大理想这一块我们主要研究四类环： Z 、 Z[i] 、 Z p 、 M 2 (R) ． 首先来观察前三类，它们是性质非常好的两类环，体现在：
2 (1) 首先要认识到，对于这样的问题，共有 C62C4 种排列方法(在 6 个位置中先选取 2 个位置放一种
颜色，再从剩下的 4 个位置中选取 2 个放另外一种颜色)．所以集合 X 的元素个数为 90 ． (2) 我们需要知道群 G 中有哪些变换．
第一类： i 为绕中心按逆时针方向旋转
i ． 3
第二类： i 为沿着对边中线的反射，如右图．
第三类： i 为沿着对角线的反射，如右图．
综上， G {(1), i (i 1, 2,3, 4,5),i (i 1, 2,3), i (i 1, 2,3)} ． (3) 下面来求不动元素数．因为当对角颜色相同时，旋转 180 情况不变，其余旋转均会改变颜色的 分布情况． 另外， 当对称两个方向的颜色相同时， 翻折并不会使颜色分布发生变化． 可得数 P103 表 2.5.1． (4) 从而由 Burnside 引理
Z 是欧几里得整环、主理想整环、也是唯一分解整环(4.4)．
Z[i] 是欧几里得整环、主理想整环、也是唯一分解整环(4.4)．
1. 书本在 3.5 节给出两个等价命题：
n 为 Z 的素理想 n 为素数；
m 为 Z 的极大理想 m 为素数；

这个命题同样可以类比到 Z p 中，证明方式相同，即：
2) 5 6)
{1, 2, 4} ．
{3, 4,5,6} ． {4} ．
固定 (1 2)(3 5 6) G ， 用(1 2)(3 5 6)去与 X 中每个元素作用， 作用后元素值不变的是 F(1
2)(3 5 6)
（二） Burnside 引理的应用(以 P103 的例 12 为例) 例：今有红(r)、黄(y)、蓝(b)三种颜色的小珠子各 2 颗．问：用他们可以串成多少种不同的手链？ 【解答】
因此 G 中有 8 6 48 个 7 阶元，1 个单位元． 设 Q 为 G 的 Sylow 2 子群，则 Q 中有 8 个元素(其中一个是单位)．但 G 不能自由一个 Sylow 2 子群， 不然 Q 为 G 的正规子群，与 G 是单群矛盾．所以 G 不是单群． 例 2： 证明：85 阶的群 G 是循环群． 【证明】(不失一般性)对 85 进行素因数分解， 85 5 17 ．由西罗第一定理， G 有 Sylow 5 子群和 Sylow 17 子群．由西罗第三定理，Sylow 5 子群的个数 n5 |17 且 n5 1 (mod5) ，则有 5k 1 n5 |17 ． Sylow 17 子群的个数 n17 | 5 且 n17 1 (mod17) ，则有 17t 1 n17 | 5 ． 从上式可以解到： n5 1 ， n17 1 ，说明只有 1 个 Sylow 5 子群和 1 个 Sylow 17 子群． 由性质：若群 | G | pq ，其中 p、q 为素数，若 G 中只有唯一 p 阶子群和 q 阶子群，则 G 为循环群． 由此，证毕． 例 3： 试求： A4 的 Sylow 2 子群． 【解答】(不失一般性)先求： | A4 |
G 中的每个元素，将结果记入 Ox 内．
(2) 称 Sx {g G | g ( x) x} 为 x 在 G 中的稳定子． 该定义的含义是： 对于固定的 x X ， 将群 G 中的元素 g i 依次作用于这个 x 上，若作用结果仍为 x ，将该 g i 记入 S x 内． (3) 称 Fg {x X | g ( x) x} 为 x 在 G 中的稳定子(集)．该定义的含义是：对于固定的 g G ，将 g 依次作用 于 xi X 上，若作用结果仍为 xi ，将该 xi 记入 Fg 内． 用一个例子来说明这三者的求法． 已知 X {1, 2,3, 4,5,6} ， G {(1),(1 2),(3 5 6),(3 6 5),(1 2)(3 5 6),(1 2)(3 6 5)} ． (1) 轨道． 固定 x 1 X ， O1 1 gi {1, 2} ， gi G ． 固定 x 3 X ， O3 3 gi {3,5,6} ， gi G ． 固定 x 4 X ， O4 4 gi {4} ， gi G ． 由此可以看到，在某轨道出现过的值不需要再次进行计算，x, y X ，Ox , Oy 或者完全相同，或者完全 不同，且 X
r7 1 (mod 7) ．则有 r7 1 或 8．
(1) 若 r7 1 ，则 P 为 G 的正规子群，与 G 是单群矛盾． (2) r7 8 ， 则 G 有 8 个 Sylow 7 子群 P 1, 它们互相共轭， 由于 Pj 是素数阶的循环群， P ,P i 8，
Pj {e} ，
x
Ox ，这种算法类似于陪集的算法．
(2) 稳定子． 固定 x 1 X ， G 中的每个元素分别去作用 1，结果仍为 1 的只有 S1 {(1),(3 5 6),(3 6 5)} ． 固定 x 3 X ， G 中的每个元素分别去作用 3，结果仍为 3 的只有 S3 {(1),(1 2)} ． 固定 x 4 X ， G 中的每个元素分别去作用 4，结果仍为 4 的有 S4 G ． 由此可以看到，同一轨道元素在 G 中的稳定子相同，所以 x 的取法和计算轨道时 x 选取相同． (3) 不动元素． 固定 (1) G ，用 (1) 去与 X 中每个元素作用，作用后元素值不变的是 F(1) X ． 固定 (3 5 6) G ，用 (3 5 6) 去与 X 中每个元素作用，作用后元素值不变的是 F(3 固定 (1 2) G ，用 (1 2) 去与 X 中每个元素作用，作用后元素值不变的是 F(1
n 1 1 | Fg | 12 (90 0 2 0 2 6 6 3 6 3) 11 | G | gG
可以算得有 11 种不同的手链．
（三） 西罗定理(Sylow Theorem)的应用 例 1： 证明：56 阶群 G 不是单群． 【证明】(不失一般性)由西罗第三定理， 56 23 7 ． 设 P 为 G 的 Sylow 7 子群，则 | P | 7 ．设 r7 为 G 的 Sylow 7 子群的个数，则 r7 | [G : P] 8 ，