专题16 第7章《平面图形的认识(二)》中翻折问题尖子生培优训练(原卷版)
平面图形的认识(二)(培优卷)七年级数学下册尖子生同步培优题典(原卷版)【苏科版】
2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题7.10第7章平面图形的认识（二）单元测试（培优卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•广陵区校级期中）下列车标，可看作图案的某一部分经过平移所形成的是（）A．B．
C．D．
2．（2020秋•集贤县期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝3∠C B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
3．（2020春•常州期中）若一个多边形的每个内角都等于与它相邻外角的2倍，则它的边数为（
）
A．4B．5C．6D．8
4．（2020春•常州期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（）
A．40°B．60°C．80°D．140°
5．（2020春•常州期中）如图所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）
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人教版七年级数学下册第七章平面图形的认识(二)提高测试卷
&如图，点E 在AC 延长线上，下列条件中能判断 AB// CD 的是 A . 7 3=7 4C . 7 D=7 DCE 9.若7 1与7 2是内错角，且7 仁60 °，则7 2是第7章平面图形的认识 (二)提高测试卷一、选择题(每小题3分，共30分) 1.一个多边形内角和是 1080°,则这个多边形是 A •六边形 B •七边形 C 2•在下图中，不能通过其中一个四边形平移得到的是 .八边形 D().九边形 (3•已知一角形的两边分别为 A . 4 B ().13D 4和9，则此三角形的第三边可能是 .5 C . 9 C D5.如图，7 ADE 和7 CED 是A .同位角B .内错角().同旁内角 D•可为补角第6题第5题 6. 如图，下列判断正确的是 A .若/ 1 = 7 2，贝U AD// BC C .若/ A=7 3，贝U AD // BC 7. 如图，下列条件中，能判断直线A . 7 2=7 3().若7 1 = 7 2 .贝U AB// CD .若 7 3+7 ADC=180// b 的是 ，贝U AB// CD )B D2C第8题第10题.7 1 = 7 3.7 2=7 47 D+7 ACD=180A . 60°B . 120°C . 120° 或 60°D .不能确定10•如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角/A=120°,第二次拐角/ B=150°.第三次拐的角是/ C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行， 贝吆C 为（）A . 120°B . 130°C . 140°D. 150 °二、填空题（每小题3分，共24分）11 .在厶 ABC 中，/ A : / B=2: 1，/ C=60°,则/ A= ____________ . 12•等腰三角形的两边长分别为4和9,则第三边长为 ____________ .13 .如图，直线a 与直线c 的夹角是/二,直线b 与直线c 的夹角是/ r-,把直线a "绕”点A 按逆时针方向旋转，当/ o （与/ B 满足 _________ 时，直线a // b ,理由是 __________就能保证隧道准确接通.14. 如图，/ 1=120°,/ 2=60°,/ 3=100 °,则当/ 4= 15. 如图，AB// CD, CE 平分/ ACD / A=110°，则/AB// EF.16.因修筑公路需要在某处开凿一条隧道，为了加快进度,时开工.如果在 A 地测得隧道方向为北偏东 62，那么在B 地应按A B 两处同方向施工,17.如图，两平面镜:-、1的夹角为二，入射光线AO 平行于1入射到〉上，经两次反射后_________ 度.第13题 第14题时,Jt18. 如图，已知/ ABE=142 , / C=72°,则/ A= ____________ , / ABC= _______ .三、解答题（共46分）19. （10分）一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180° ,求这个多边形的边数及内角读书破万卷 下笔如有神2和度数.20. (10 分)如图，AB// CD / B=61°,/ D=35°.求/ 1 和/4 的度数.21. （5分）填写推理理由. 已知：如图，D E 、F 分别是 BG AB AC 上的点，DF// AB, DE// AG, / :FDE=70 , 求/ A的度数.解：丁 DE// AB()./ A+/ AED=180 ()E/ /■，- DF// AC()\ /\/ AED+Z FDE=180()\// A=Z FDE=7C ° ( ).BDc22. （10分）我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象，光线从水中射人空气中，同样会发生折射现象.如图是光线从空气中射入水中， 再从水中射入空气中的示意图. 由 于折射率相同，因此有/ 仁/ 4,/ 2= / 3.请你用所学知识来判断 c 与d 是否平行？并 说明理由.23. （11分）已知：如图，/ 仁/ 2,/ C=Z D,Z A与/ F相等吗？试说明理由.参考答案I. C 2 . D 3 . C 4 . C 5 . B 6 . B 7 . B 8 . B 9 . D 10 . DII. 80°12 . 913 . /=/「■同位角相等两直线平行14. 100° 15 . 35 °16 .南偏西62° （或西偏南28° ）17 . 6018. 70°38 °19 .解：设该多边形的边数为n,（n —2）• 180°=360°X 4+180°解这个方程得n=11（n —2）• 180°=（9 —2）X 180°=1620°20 .解：因为AB// CD 所以/ 1 = / B=61°所以/ BCD=119，所以/ A=360°—61 °—35° —119° =145° .21 .已知两直线平行，同旁内角互补已知两直线平行，同旁内角互补等角的补角相等22 .解：c// d .如图，分别作出c、d所在的直线，可知/ 2+/ 5=/ 1, / 3+ / 6=/ 4（对顶角相等），又/仁/ 4,/ 2=/ 3，可知/ 5=/ 6，故c// d（内错角相等，两直线平行）.23.解：/ A=Z F丁/仁/2（已知），/ 2=Z AHC对顶角相等）./仁/ AHC等量代换）.BG// CH（同位角相等，两直线平行）./ ABD2 C（两直线平行，同位角相等）又丁 / C=Z D（已知），./ ABD=/ D（等量代换）.DF// AC（内错角相等，两直线平行）./ A=Z F（两直线平行，内错角相等）.。
中考数学复习 查补培优冲刺 图形变换与几何综合压轴(原卷版)
查补培优冲刺03.图形变换与几何综合压轴题型一：图形变换--折叠类综合压轴（选填类）题型二：图形变换--折叠类综合压轴（解答类）题型三：图形变换--旋转类综合压轴（选填类）题型四：图形变换--旋转类综合压轴（解答类）题型五：图形变换--图形拼接类综合压轴题型一：图形变换--折叠类综合压轴（选填类）翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。
以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似、三角函数，勾股定理设方程思想来考查。
解决翻折题型的策略：1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；2）结合相关图形的性质（三角形，四边形等）；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
、上，将例1．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD BC正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B 处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，那么线段FC的长为．变式1．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF ∥EC ；②AB ；③GE ；④OC OF ；⑤△COF ∽△CEG ．其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①④⑤D ．②③④变式2．（2024·江苏苏州·一模）王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③．第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕EF ；第二步：将AEG △和BEH △分别沿EG EH ，翻折，AE BE ，重合于折痕EF 上；第三步：将GEM △和HEN △分别沿EM EN ，翻折，EG EH ，重合于折痕EF上．已知20cm AB =，AD =，则MD 的长是（）A ．10cmB ．C ．(20cm -D ．()10cm题型二：图形变换--折叠类综合压轴（解答类）几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年江苏中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题16折叠问题
专题16折叠问题专题解读】折叠问题是近几年来中考岀现频率较高的一类题型，同学们往往由于对折叠的本质理解不够透彻，因此难以找到解题的方向•折叠是现实生活常见的操作活动，而初中几何学习中，以折叠为活动载体的问题很多，这类问题一般都要经历操作、观察、比较、概括、交流、猜想、推理等过程•研究折叠问题，可以帮助学生提髙观察能力、动手能力、想象能力、综合运用知识的能力，发展合情推理和演绎推理能力.思维索引】例1.数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合"的基础.小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作研究：操作一：（1）折叠纸面，使1表示的点与-1表示的点重合，则-2表示的点与 ______ 表示的点重合；操作二：（2）折叠纸而，使1表示的点与-3表示的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为8 （A在B的左侧），且A、B两点经折叠重合，则A、B两点表示的数分别是_________ 、_________ : 操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从-1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示），若这三条线段的长度之比为1： 1： 2,求折痕处对应的点所表示的数？剪1断处折痕例2・如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=\. AB=CD=5・在矩形ABCD的边AB上取一点在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K,得到△MNK.（1）若Zl=70°,求ZMKN的度数.（2）△MNK的面积能否小于丄？若能，求出此时Z1的度数：若不能，试说明理由.2（3）如何折叠能够使△MNK的而积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，画岀相应的图形.素养提升1.如图，把AABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示.若ZA=60。
，Zl=95°,则Z2的度数为（）A. 24°B. 25°C. 30°D. 35°2.如图，将ZkABC 沿DE 、EF 翻折，顶点A 、B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO,若ZCDO+ ZCFO=98。
专题13 第7章《平面图形的认识(二)》中动点问题尖子生培优训练(三)(解析版)
专题13 第7章《平面图形的认识（二）》中动点问题尖子生培优训练（三）班级：___________姓名：___________得分：___________一、解答题（本大题共10小题，共100分）1.如图1，，判断，∠CDP，之间的数量关系．小明的思路：如图2，过点P作，通过平行线性质，可得______问题迁移：，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，点P在直线EF上(点P 与点E，F不重合)运动．当点P在线段EF上运动时，如图3，判断，∠CDP，之间的数量关系，并说明理由；当点P在直线EF上且在E，F两点外侧运动时，中的结论是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请你在备用图上画出图形，并直接写出，∠CDP，之间的数量关系．【答案】解：360；(1)∠ABP+∠CDP=∠BPD；证明：如图3，过P作PQ//AB，∵AB//CD，∴AB//PQ//CD，∴∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；(2)不成立，关系式是：∠BPD=∠ABP−∠CDP，或∠CDP−∠ABP=∠BPD．理由：如图4，过P作PQ//AB，∵AB//CD，∴AB//PQ//CD，∴∠BPQ=∠B，∠D=∠DPQ，∴∠B−∠D=∠BPQ−∠DPQ=∠BPD，∠BPD=∠B−∠D．即∠BPD=∠ABP−∠CDP．如图5，过P作PQ//AB，∵AB//CD，∴AB//PQ//CD，∴∠BPQ=∠ABP，∠CDP=∠DPQ，∠CDP−∠ABP=∠DPQ−∠BPQ=∠BPD．∴∠CDP−∠ABP=∠BPD．【解析】【分析】本题考查了平行线性质的应用，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出平行线求解．过点P作PE//AB，根据同旁内角互补进行解答即可；(1)过P作PQ//AB，推出AB//PQ//CD，根据平行线性质，求出即可；(2)过P作PQ//AB，推出AB//PQ//CD，根据平行线性质，求出即可．【解答】解：∵过点P作PE//AB，则PE//CD，∴∠B+∠BPE=∠D+∠DPE=180°，∴∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°，故答案为360；(1)见答案；(2)见答案．2.(1)问题情境：如图①所示，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°.求∠APC的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图②所示，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°．∴∠APE=180°−∠PAB=180°−130°=50°．∵AB//CD，∴PE//CD．请你帮助小明完成剩余的解答．(2)问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题．如图③所示，AD//BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．(3)当点P在A、B两点之间时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；(4)当点P在A、B两点的外侧时(点P与点O不重合)，写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系并说明理由【答案】解：(1)∴∠CPE+∠PCD=180°，∴∠CPE=180°−∠PCD=180°−120°=60°，∴∠APC=∠APE+∠EPC=50°+60°=110°；(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；(3)当P在BA延长线时，∠CPD=∠β−∠α；理由：如图4，过P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE−∠DPE=∠β−∠α；(4)当P在BO之间时，∠CPD=∠α−∠β.理由：如图5，过P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=∠α−∠β．【解析】本题考查了平行公理及其推论，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．(1)过P作PE//AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．(2)过P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；(3)画出图形，点P在BA的延长线上，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE(4)点P在AB的延长线上，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．3.如图，直线AB//CD，直线l与直线AB，CD相交于点E，F，点P是射线EA上的一个动点(不包括端点E)，将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．(1)若∠PEF=48°，点Q恰好落在其中的一条平行线上，求∠EFP的度数．∠PFC，求∠EFP的度数．(2)若∠PEF=75°，∠CFQ=12【答案】解：(1)①如图1，当点Q落在AB上，∴FP⊥AB，∴∠EFP=90°−∠PEF=42°，①如图2，当点Q落在CD上，∵将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处，∴PF垂直平分EQ，∴∠1=∠2，∵AB//CD，∴∠QFE=180°−∠PEF=132°，∴∠PFE=1∠QFE=66°．2综上，∠EFP的度数为42°或66°；(2)①如图3，当点Q在平行线AB、CD之间时：设∠PFQ的度数为x°，由折叠可得：∠EFP=x°，∠PFC，∵∠CFQ=12∴∠PFQ=∠CFQ=x°，∵AB//CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∴75+x+x+x=180，解得：x=35，即：∠EFP=35°；②如图4，当点Q在CD下方时：设∠CFQ的度数为x°，由∠CFQ=12∠PFC得：∠PFC=2x°，∴∠PFQ=3x°，由折叠得∠PFE=∠PFQ=3x°∵AB//CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∴2x+3x+75=180，解得：x=21，∴∠EFP=3x°=63°，综上：∠EFP的度数为35°或63°．【解析】本题考查平行线的性质，方程思想在几何中的运算，解答的关键是正确画出图形，分类讨论．(1)分两种情况：①当点Q恰好落在AB上时，PF⊥AB，则∠EFP=90°−48°=42°；②当点Q恰好落在CD上时，则∠CFP=∠PFE=12∠CFE=12(180°−48°)=66°；(2)分两种情况：①当点Q在平行线AB、CD之间时，设∠PFQ的度数为x°，根据∠AEF+∠CFE=180°，列方程求解；②当点Q在CD下方时，设∠CFQ的度数为x°，根据∠AEF+∠CFE=180°，列方程解答．4.如图，点C、D分别在∠AOB的OA、OB边上运动(不与点O重合).射线CE与射线DF分别在∠ACD和∠CDO内部，延长EC与DF交于点F。
(完整版)翻折专题
翻折专题1.（本小题10分）（Ⅰ）如图1，在平面直角坐标系中，将矩形纸片的顶点与原点O重合，边放在轴的正半轴上，边放在y轴的正半轴上，．将纸片折叠，使点落在边上的点处，过点作⊥于点，折痕所在直线与直线相交于点P，连结OP．求证：四边形是菱形；（Ⅱ）设点P坐标是，点P的轨迹称为折叠曲线，求与的函数关系式（用含的代数式表示）；（Ⅲ）将矩形纸片如图2放置，，，将纸片折叠，当点与点重合时，折痕与的延长线交于点．试问在这条折叠曲线上是否存在点，使得△K CF 的面积是△KOC面积的，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由．答案（Ⅰ）由题意知OM=ME,ⅠOMN=ⅠEMN,∵OM∥EP,∴∠OMN=∠MPE.∴∠EMN=∠MPE.∴ME= EP.∴OM= EP.∴四边形OMEP是平行四边形.又∵ME= EP, ∴四边形OMEP是菱形.（Ⅱ）∵四边形OMEP是菱形, ∴OP=PE∴，∵EQ=OA=m,PQ=y,∴PE=m－y. ∴.∵∴∴.（Ⅲ）假设折叠曲线上存在点K满足条件.当.作KG⊥DC于G, KH⊥OC于H.设K(x,y),则.当. ∴F(12,－5) ∴ CF=5.∵, ∴=×，∴. 7’∴K().∵点K在上, ∴=.化简得:解得:当时，.∴存在点K(，).2.如图，将一个正方形纸片AOCD，放置在平面直角坐标系中，点A（0，4），点O（0，0），点D在第一象限．点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点O落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接OP，O H．设P点的横坐标为m．（Ⅰ）若∠APO=60°，求∠OPG的大小；（Ⅱ）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长l是否发生变化？若变化，用含m的式子表示l；若不变化，求出周长l；（Ⅲ）设四边形EFGP的面积为S，当S取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．答案详解【解答】解：（1）Ⅰ正方形纸片折叠，使点O落在点P处，点C落在点G处，ⅠⅠPOC=ⅠOPG，∵四边形AOCD是正方形，∴AD∥OC∴∠APO=∠POC∴∠APO=∠OPG，∵∠APO=60°，∴∠OPG=60°，（2）△PDH的周长不发生变化，理由：如图，过B作OQ⊥PG，垂足为Q．∴∠DAO=90°，∴∠DAO=∠PQO=90°，由（1）知，∠APO=∠OPG，∵OP=OP，∴△AOP≌△QOP，∴AP=QP，AO=QO，∵AO=OC，∴OC=OQ，∵∠OCD=∠OQH=90°，OH=OH，∴Rt△OCH≌Rt△OQH，∴CH=QH，∴△PDH的周长l=PD+DH+PH=PD+DH+P Q+QH=PD+PQ+DH+QH=PD+AP+DH+CH=AD+CD=8，∴△PDH的周长不发生变化，周长为定值8；（3）如图2，过点F作FM⊥OA，由折叠知，△EON与△EPN关于直线EF对称，∴△EON≌△EPN，∴ON=PN，EP=EO，E N⊥PO，∵∠A=∠ENO，∠AON=∠AOP，∴△EON∽△POA，∴①，设AP=x，∵点A（0，4），∴OA=4，∴OP==，∴ON=OP=，将OP，ON代入①式得，OE=PE=（16+x2），∵∠EFM+∠OEN=90°，∠AOP+∠OEN=90°，∴∠EFM=∠AOP，在Rt△EFM和Rt△POA中，，∴Rt △EFM ≌Rt △POA （ASA ），∴EM=AP=x ．∴FG=CF=OM=OE ﹣EM=（16+x 2）﹣x=x 2﹣x+2，∴S 梯形EFGP =S 梯形OCFE =（FG+OE ）×BC= 【x 2﹣x+2+（16+x 2）】×4=（x ﹣2）2+6，∴当x=2时，S 梯形EFGP 最小，最小值是6，∴AP=2，∴P （2，4）．3..已知点，点为直线上的动点，设。
苏科版七年级数学下册 第7章 平面图形的认识(二)章末易错题专题突破训练(附答案)
2020-2021年度苏科版七年级数学下册第7章平面图形的认识（二）章末综合易错题专题突破训练（附答案）1．如图，CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∠A＝80°，则∠BDC＝（）A．35°B．40°C．30°D．45°2．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．三角形的三边长可以是（）A．2，11，13B．5，12，7C．5，5，11D．5，12，134．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．10或11或12 5．如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1的大小为（）A．14°B．16°C．24°D．30°6．如图，AB∥DE，那么∠BCD＝（）A．180°+∠1﹣∠2B．∠1+∠2C．∠2﹣∠1D．180°+∠2﹣2∠17．下列命题是真命题的有（）个．①对顶角相等，邻补角互补；②两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．0B．1C．2D．38．如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠CBE+∠D＝90°；④∠DEB＝2∠ABC，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．△ABC的三边长分别为1，3，x，且x为整数，则x的值是．10．一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠1+∠2＝°．11．如图，已知点D，F分别在∠BAC边AB和AC上，点E在∠BAC的内部，DF平分∠ADE．若∠BAC＝∠BDE＝70°，则∠AFD的度数为．12．已知在△ABC中，∠A＝30°，BD是△ABC的高，∠BCD＝80°，则∠ACB＝°．13．如果两个角的两边分别平行，其中一个角为45°，则另一个角的度数为．14．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，a与b之间的距离为5，b与c之间的距离为2，则a与c之间的距离为．15．已知∠A与∠B（0°＜∠A＜180，0°＜∠B＜180°）的两边一边平行，另一边互相垂直，且2∠A﹣∠B＝18°，则∠A的度数为°．16．如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝69°，则∠5＝°．17．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的外部．已知∠A＝30°，∠1＝100°，则∠2的度数是度．18．如图，AB∥CD，直线MN交AB于点F，过点F作FE⊥MN，交CD于点E，若∠1＝42°，则∠2＝．19．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝．20．如图，AM、CM平分∠BAD和∠BCD，若∠B＝34°，∠D＝42°，则∠M＝．21．如图所示（1）独立思考：①图中的对顶角有对；②图中互补的角有（写出2对即可）；③写出图中的同位角2对，，内错角2对，；（2）合作探究：如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，你能判断哪两条直线平行，写出来，并说明平行理由．22．已知一个正多边形相邻的内角比外角大140°．（1）求这个正多边形的内角与外角的度数；（2）直接写出这个正多边形的边数；（3）只用这个正多边形若干个，能否镶嵌？并说明理由．23．如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，请说明AD∥BC．24．如图，AB∥CD，点E在BD上．（1）试探讨∠BFE、∠DGE和∠FEG三者之间的关系，并说明理由；（2）已知∠BFE＝∠BEF，∠DEG＝∠DGE，试判断线段EF与EG的位置关系，并说明理由．25．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．（1）如图①，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；（2）如图②，探究∠CDE与∠B，∠E的数量关系，并说明理由．26．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＞∠B，过点A作AF⊥BC于点F （1）试探索∠DAF与∠B、∠C的大小关系；（2）若E为AD上一点，且EF⊥BC于F，试探索∠DEF与∠B、∠C的大小关系；（3）当点E在AD的延长线上时，其他条件都不变，上述结论是否还成立，请说明理由．27．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°．（1）若点I是∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，则∠BIC＝°．（2）若点D是∠ABC，∠ACB的外角平分线的交点，则∠BDC＝°．（3）若点E是∠ABC，∠ACG的平分线的交点，探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．（4）在（3）的条件下，若CE∥AB，求∠ACB的度数．参考答案1．解：∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∵CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∴∠DCE＝∠ACE，∠DBE＝∠ABC，∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝∠ACE﹣∠ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝＝＝40°，故选：B．2．解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b；故选：C．3．解：A.2，11，13中，2+11＝13，不合题意；B.5，12，7中，5+7＝12，不合题意；C.5，5，11中，5+5＜11，不合题意；D.5，12，13中，5+12＞13，能组成三角形；故选：D．4．解：设多边形截去一个角的边数为n，则（n﹣2）•180°＝1620°，解得n＝11，∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，∴原来多边形的边数是10或11或12．故选：D．5．解：如图：∵矩形的对边平行，∴∠2＝∠3＝44°，根据三角形外角性质，可得∠3＝∠1+30°，∴∠1＝44°﹣30°＝14°，故选：A．6．解：过点C作CF∥AB，如图：∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠BCF＝∠1①，∠2+∠DCF＝180°②，∴①+②得，∠BCF+∠DCF+∠2＝∠1+180°，即∠BCD＝180°+∠1﹣∠2．故选：A．7．解：①对顶角相等，邻补角互补，原说法正确，故①是真命题；②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，原说法错误，故②是假命题③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原说法错误，故③是假命题；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，故④是假命题；所以真命题的有1个．故选：B．8．解：∵AF∥CD，∴∠ABC＝∠ECB，∠EDB＝∠DBF，∠DEB＝∠EBA，∵CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，∴∠ECB＝∠BCA，∠EBD＝∠DBF，∴∠EDB＝∠DBE，∵BC⊥BD，∴∠EDB+∠ECB＝90°，∠DBE+∠EBC＝90°，∴∠ECB＝∠EBC，∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA，∴BC平分∠ABE，①正确；∵∠EBC＝∠BCA，∴AC∥BE，②正确；∴∠CBE+∠EDB＝90°，③正确；∵∠DEB＝∠EBA＝2∠ABC，故④正确；故选：D．9．解：根据三角形三边关系，∴三角形的第三边x满足：3﹣1＜x＜3+1，即2＜x＜4，∵x为整数，∴x＝3，故答案为：3．10．解：如图：由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，∴∠2＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠1＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，∴∠1+∠2＝84°+48°＝132°，故答案为：132．11．解：因为∠BAC＝∠BDE，所以DE∥AC，所以∠BAC+∠ADE＝180°，因为∠BAC＝70°，所以∠ADE＝180°﹣∠BAC＝180°﹣70°＝110°，因为DF平分∠ADE，所以∠AFD＝∠ADE＝×110°＝55°．故答案为：55°．12．解：（1）如图，当△ABC为锐角三角形时，∠ACB＝∠BCD＝80°，（2）如图，当△ABC为钝角三角形时，∠ACB＝180°﹣∠BCD＝100°．故答案为：80°或100．13．解：其中一个角为45°，若两角相等，则另一个角的度数为45°；若两角互补，则另一个角的度数为180°﹣45°＝135°；故答案为：45°或135°．14．解：有两种情况：①如图①所示，直线a与c之间的距离是5+2＝7；②如图②所示，直线a与c之间的距离是5﹣2＝3；综上所述，a与c之间的距离为7或3．故答案为：7或3．15．解：若∠DAC是锐角时，过点C作FC∥AD，如图1所示：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵∠1+∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝90°，又∵FC∥AD，∴∠A＝∠1，又∵AD∥BE，∴FC∥BE，∴∠2＝∠B，∴∠A+∠B＝90°，又∵2∠A﹣∠B＝18°，∴∠A＝36°；若∠DAC是钝角时．过点C作FC∥AD，如图2所示：同理可得：∠1+∠2＝90°，∵CF∥AD，∴∠A+∠1＝180°，又∵AD∥BE，∴CF∥BE，∴∠2+∠B＝180°，∴∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠A+∠B＝270°，又∵2∠A﹣∠B＝18°，∴∠A＝96°；综合所述：∠A的度数为36°或96°，故答案为36或96．16．解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝69°，∴∠5＝360°﹣69°×4＝360°﹣276°＝84°．故答案为：84．17．解：如图∵∠1＝100°，∴∠ADF＝80°，∵△A′ED是△AED翻折变换而成，∴∠A′＝∠A＝30°，∵∠A′FE是△ADF的外角，∴∠A′FE＝∠A+∠ADF＝30°+80°＝110°，∵∠A′FE+∠2+∠A′＝180°，∴110°+∠2+30°＝180°，∴∠2＝40°．故答案为：40．18．解：如图：∵AB∥CD，∴∠3＝∠1＝42°．又∵FE⊥MN，∴∠MFE＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝48°．故答案为：48°．19．解：∵AE∥BD，∴∠1＝∠3，又∵∠ABC＝90°，∴∠3+∠2＝180°﹣90°＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故答案为：90°．20．解：∵∠B+∠BAM＝∠M+∠BCM，∴∠BAM﹣∠BCM＝∠M﹣∠B，同理，∠MAD﹣∠MCD＝∠D﹣∠M，∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BAM＝∠MAD，∠BCM＝∠MCD，∴∠M﹣∠B＝∠D﹣∠M，∴∠M＝（∠B+∠D）＝（34°+42°）＝38°．故答案为38°．21．解：（1）①图中的对顶角有4对：∠1和∠CGD，∠AGC和∠EGD，∠AMB和∠FMD，∠AMF和∠BMD；②互补的角有：∠1和∠EGD，∠2和∠BFC；③同位角：∠1和∠AMB，∠2和∠C，内错角：∠EGD和∠AMF，∠CGD和∠AMB；（2）如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，不能判断图中的直线平行，因为不具备平行的条件．22．解：（1）设正多边形的外角为x°，则内角为（180﹣x）°，∴180﹣x﹣x＝140，解得x＝20，∴正多边形的内角为160°，外角为20°；（2）这个正多边形的边数为：360°÷20°＝18．（3）正多边形的内角为160°，不能整除360°，不能镶嵌．23．证明：∵AB∥CD（已知），∴∠4＝∠BAE（两直线平行，同位角相等），∵∠3＝∠4（已知）∴∠3＝∠BAE（等量代换），∵∠1＝∠2（已知），∴∠CAE+∠1＝∠CAE+∠2，即∠BAE＝∠DAC，∴∠3＝∠DAC，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．24．解：过点E作EF∥AB，如图所示：（1）∠FEG＝∠BFE+∠DGE，理由如下：∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠1，又∵EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠2＝∠DGE，又∵∠FEG＝∠1+∠2，∴∠FEG＝∠BFE+∠DGE；（2）EF⊥EG，理由如下：∵∠BFE＝∠BEF，∠DEG＝∠DGE，∴∠1＝∠BEF，∠2＝∠DEG，又∵∠1+∠2+∠BEF+∠DEG＝180°，∴∠1+∠2＝90°，∴EF⊥EG．25．解：（1）如图①，设CD、BE交于点F，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，又∠BFD＝∠BED+∠D，∴∠B＝∠BED+∠D；（2）如图②，延长CD交BE于点F，∵AB∥CD，∴∠B＝∠DFE，又∠CDE＝∠DFE+∠BED，∴∠CDE＝∠B+∠BED．26．解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC，∵AF⊥BC，∴∠CAF＝90°﹣∠C，∴∠DAF＝∠CAD﹣∠CAF＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）＝∠C﹣∠B＝（∠C﹣∠B）；（2）如图2，过A作AG⊥BC于G，∵EF⊥BC，∴AG∥EF，∴∠DAG＝∠DEF，由（1）可得，∠DAG＝（∠C﹣∠B），∴∠DEF＝（∠C﹣∠B）；（3）仍成立．如图3，过A作AG⊥BC于G，∵EF⊥BC，∴AG∥EF，∴∠DAG＝∠DEF，由（1）可得，∠DAG＝（∠C﹣∠B），∴∠DEF＝（∠C﹣∠B）．27．解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵点I是∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，∴∠IBC+∠ICB＝65°，∴△IBC中，∠BIC＝180°﹣65°＝115°；（2）∵△ABC中，∠BAC＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠ABC，∠ACB的外角之和＝360°﹣130°＝230°，∵点D是∠ABC，∠ACB的外角平分线的交点，∴∠DBC+∠DCB＝115°，∴△DBC中，∠BDC＝180°﹣115°＝65°；（3）∠BEC＝∠BAC．∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠E＝∠DCE﹣∠CBE，∵点E是∠ABC，∠ACG的平分线的交点，∴∠DCE＝∠ACD，∠CBE＝∠ABC，∴∠E＝∠ACD﹣∠ABC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，即∠BEC＝∠BAC；（4）∵CE∥AB，∴∠A＝∠ACE＝50°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACD＝100°，∴∠ACB＝180°﹣100＝80°．。
(完整版)翻折专题
翻折专题1.（本小题10分）（I）如图1,在平面直角坐标系；〔中，将矩形纸片一二「二的顶点三与原点0重合，边放在二轴的正半轴上，边放在y轴的正半轴上，仝二上二'将纸片折叠，使点.落在边丄上的点上处，过点二作二,丄三「于点L，折痕.'J：'所在直线与直线'」相交于点P,连结0P.求证：四边形是菱形;（n）设点P坐标是；，点P的轨迹称为折叠曲线，求「与…的函数关系式（用含■■:的代数式表示）;（川）将矩形纸片-二匚二如图2放置，-二=—二二二二，将纸片折叠，当点三与点二重合时，折痕与的延长线交于点「.试问在这条折叠曲线上是否存在点，使得△KCF的面积是△ KOC面积的_，若存在，写出点二的坐标；若不存在，请说明理由.3答案（I）由题意知OM = ME, IOMN=I EMN,•/ 0M // EP,A Z OMN = / MPE.A Z EMN= / MPE. /• ME= EP. /• OM = EP. /•四边形OMEP 是平行四边形.又••• ME= EP, A四边形(n ) •/ 四边形 OMEP 是菱形，「.OPuPE.••厂戸,_込一 - ,•/ EQ=OA=m,PQ=y,••• PE=m — y. •••xn> firUP.•.宀ar -urw '■wafat气 册I -- - ■- ■ 一 !:-:….2小2(川)假设折叠曲线上存在点 K 满足条件•当 二 ---.作KG 丄DC 于G, KH 丄OC 于H.设K(x,y),则二 …W….当 -■ . ••• F(12,— 5) • CF =5迂住A G F-KG 三丄恋(12_或s.™ =lco =-xl2 V-12 — x1 12 — x 1• K 「 ------ ).•点 K 在. 一 .--上 , • ------------- =一 .- - •化简得：4 16416解得_- '' _ ---''-当.—一 -"■时…「一~^ ■•••存在点 KJ .,：,—-).2•如图，将一个正方形纸片 AOCD ,放置在平面直角坐标系中， 点A (0, 4),点O ( 0,0), 点D 在第一象限•点 P 为正方形AD 边上的一点(不与点 A 、点D 重合)，将正方形纸片 折叠，使点O 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ,折痕为EF ，连接OP , O H .设P 点的横坐标为m . (I )若 / APO=60，求 / OPG 的大小；(n )当点P 在边AD 上移动时，△ PDH 的周长I 是否发生变化？若变化，用含 m 的式子 表示I ;若不变化，求出周长 I ;(川)设四边形EFGP 的面积为S,当S 取得最小值时，求点P 的坐标(直接写出结果即可).12-x7'答案详解 【解答】解：(1) I 正方形纸片折叠，使点 0落在点P 处，点C 落在点G 处，II POC=I OPG,•/ 四边形 AOCD 是正方形，••• AD // 0C •••/ APO= / POC A / APO= / OPG , •••/ APO=60 ,OPG=6° ,(2) △ PDH 的周长不发生变化，理由：如图，过B 作OQ 丄PG ,垂足为Q .• / DAO=90 , DAO= / PQO=90，由(1)知，/ APO= / OPG , •/ OP=OP ,•••△ AOP ◎△ QOP , • AP=QP , AO=QO , v AO=OC , • OC=OQ , V / OCD= / OQH=9° , OH=OH , •Rt A OCH 也 Rt △ OQH , • CH=QH , PDH 的周长 l=PD+DH+PH=PD+DH+P Q+QH =PD+PQ+DH+QH=PD+AP+DH+CH=AD+CD=8 • △ PDH 的周长不发生变化，周长为定值 8;(3)如图2,过点F 作FM 丄OA ,由折叠知，△ EON 与厶EPN 关于直线 EF 对称，EONEPN , • ON=PN , EP=EO , E N 丄 PO , v/ A= / ENO , / AON= / AOP , EON POA , 设 AP=x , v 点 A (0, 4), •OA=4 , •OP= =.., v/ EFM+ / OEN=90 , / AOP+ / OEN=90 , •/ EFM= / AOP ,在 Rt △ EFM 和 Rt △ POA 中，《 FM 二OA,L ZA=ZE!flFPO PA OA _•:①• ON =*OP =*Ji6+/，将OP , ON 代入①式得,OE =PE=(16+x 2),••• Rt △EFM-Rt△ POA ( ASA )」EM=AP=x •••• FG=CF=OM=OE -EM= (16+灼- x==x 2- x+2,6,•••当 x=2 时，S 梯形 EFGP 最小，最小值是 6, ••• AP=2 , ••• P (2, 4)3..已知点 I ,点，为直线匚上的动点，设.。
苏科版七年级数学下第七章《平面图形的认识(二)》尖子生训练(有答案)
苏科版七年级数学下第七章《平面图形的认识（二）》尖子生训练（有答案）1 / 22七下第七章《平面图形的认识（二）》尖子生训练一、选择题1. 下列结论错误的是( )A. 垂直于同一直线的两条直线互相平行．B. 两直线平行，同旁内角互补．C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．D. 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．2. 下列条件：①∠ A −∠B =∠C; ②∠A: ∠B: ∠C =2:3:5;③∠A =12∠B =13∠C ；④∠A =∠B =2∠C ，⑤ ∠A =∠B =12∠C ，其中能确定△ABC 为直角三角形的条件有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3. 两本长方形书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是( )A. ∠1与∠2B. ∠2与∠3C. ∠1与∠3D. 三个角都相等4. 如图，已知AB//CD//EF ，BC//AD ，AC 平分∠BAD 且与EF 交于点O ，则与∠AOE 相等的角有A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5. △ABC 的三边a 、b 、c 都是正整数，且满足a ≤b ≤c ，如果b =4，那么这样的三角形个数共有( )A. 4B. 6C. 8D. 106. 有5根小木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 、6cm ，任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个7. 将一张宽度相等的长方形纸条按如图所示的方式折叠一下，如果∠1=140∘，那么∠2的度数是( )A. 100∘B. 110∘C. 120∘D. 140∘8.如图，△ABC的面积等于35cm2，AE=ED，BD=3DC，则图中阴影部分的面积等于()A. 15B. 17.5C. 18D. 20二、填空题9.如图，与∠1构成同位角的是____，与∠2构成内错角的是____．10.已知，等腰三角形的两边长分别为5cm和11cm，则它的周长是______cm．11.如图，AB//CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是_____12.在▵ABC中，∠BCA=90∘，AC=3,BC=4,AB=5，P为直线AB上的一个动点，连接PC，则线段PC的最小值为__________.13.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=________度．苏科版七年级数学下第七章《平面图形的认识（二）》尖子生训练（有答案）3 / 2214. 如图，AF 平分∠BAD ，CF 平分∠BCD 的邻补角∠BCE ，且AF 与CF 相交于点F ，∠B =40°，∠D =20°，则∠F =_____ ．15. 如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D ，、C位置，若∠EFB =65°，则∠AED′= ______16. 如图，长方形ABCD 中，AB =4cm ，BC =3cm ，点E是CD 的中点，动点P 从A 点出发，以每秒1 cm 的速度沿A →B →C →E 运动，最终到达点E.若点P 运动的时间为x 秒，那么当x =_______秒时，的面积等于5cm 2． 三、解答题17. 将一副三角板如图1所示位置摆放．(1)试猜想∠BOC 与∠AOD 在数量上存在相等、互余还是互补关系，并证明你的猜想； (2)图1中的三角板AOB 不动，将三角板COD 绕点O 旋转至CO//AB(如图2)，判断DO 与AB 的位置关系，并证明．(3)在(2)的条件下，三角板COD 绕点O 旋转的过程中，能否使CD ⊥AB ？若能，求出此时∠AOC 的度数；若不能，请说明理由．18.ΔABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．(1)如图1，求证：∠AIB=∠ADI;(2)如图2，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F．①判断DI与CF的位置关系，并说明理由;②若∠BAC=70∘，求∠F的度数．19.【提出问题】如图1，P是∠ABC、∠ACB的角平分线交点，你能找到∠P、∠A的关系吗？【分析问题】在解决这个问题时，某小组同学是这样做的：先赋予∠A几个特殊值：当∠A=80°时，计算出∠P=130°；当∠A=40°时，计算出∠P=110°；当∠A=100°时，计算出∠P=140°；苏科版七年级数学下第七章《平面图形的认识（二）》尖子生训练（有答案） 5 / 22…由以上特例猜想∠P 与∠A 的关系为：∠P =90°+12∠A.再证明这一结论： 证明：∵点P 是∠ABC 、∠ACB 的角平分线的交点． ∴∠PBC =12∠ABC ；∠PCB =12∠ACB∴∠PBC +∠PCB =12(∠ABC +∠ACB)又∵∠A +(∠ABC +∠ACB)=180° ∴∠ABC +∠ACB =180°−∠A∴∠PBC +∠PCB =12(∠ABC +∠ACB)=12(180°−∠A) ∴∠P =180°−(∠PBC +∠PCB) =180°−12(180°−∠A)=90°+12∠A【解决问题】请运用以上解决问题的“思想方法”解决下面的几个问题： (1)如图2，若点P 时∠ABC 、∠ACB 的三等分线的交点，即∠PBC =13∠ABC ，∠PCB =13∠ACB ，猜测∠P 与∠A 的关系为 ，并仿照前面的证明，证明你的结论．(2)若点P 时∠ABC 、∠ACB 的四等分线的交点，即∠PBC =14∠ABC ，∠PCB =14∠ACB ，则∠P 与∠A 的关系为 .(直接写出答案，不需要证明)(3)若点P 是∠ABC 、∠ACB 的n 等分线的交点，即∠PBC =1n∠ABC ，∠PCB =1n∠ACB ，则∠P 与∠A 的关系为 .(直接写出答案，不需要证明)20.动手操作：如图①：将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．(1)若∠BCD=150°，求∠ACE的度数；(2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；(3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究当CD//AB时，∠BCD等于多少度，并简要说明理由．(4)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究当AB与DE所在直线互相垂直时，∠BCD等于多少度(直接写出答案)．21.如图，∠B、∠D的两边分别平行。
专题17 图形翻折问题(原卷版)-备战2022年中考数学必刷300题(全国通用)
十七、图形翻折问题知识点拨图形翻折问题长用到的工具及方法1、勾股定理2、相似3、等面积法例题演练1．如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，若点C恰好在线段B'D上，若∠BCD＝90°，DC：CB'＝3：2，AB＝16，则CE的长度为（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，点D是边AB上的中点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折，得到△ECD，CE与AB交于点F，连接AE．若AB＝6，CD＝4，AE＝2，则点C到AB的距离为（）A．B．4C．D．23．如图，在矩形ABCD中，在CD上取点E，连接AE，在AE，AB上分别取点F，G，连接DF，GF，AG＝GF，将△ADF沿FD翻折，点A落在BC边的A′处，若GF∥A′D，且AB＝3，AD＝5，则AF的长是（）A．B．C．D．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点D′处，CD′交AB于点F，则AF的长为（）A．6B．5C．4D．35．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝8，D，E分别为边AB，BC上一点，且满足AD：DB＝1：3．连接DE，将△DBE沿DE翻折，点B的对应点F恰好落在边AC上，则CF的长度为（）A．B．C．D．6．已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝20，点D为斜边中点，连接CD，将△BCD 沿CD翻折得△B′CD，B′D交AC于点E，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，矩形ABCD中，已知点M为边BC的中点，沿DM将三角形CDM进行翻折，点C的对应点为点E，若AB＝6，BC＝8，则BE的长度为（）A．4B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝+，点D为边AB上一点，连接CD．将△ACD沿直线CD翻折至△ECD，CE恰好过AB的中点F．连接AE交CD的延长线于点H，若∠ACD＝15°，则DH的长为（）A．B．C．D．19．如图，在△ABC中，AB＝11，AC＝10，BC＝3，点D是AB边上一点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折得△B1CD，DB1⊥AC且交于点E，则CD的值为（）A．3B．6C．3D．310．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB 边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（）A．B．C．D．11．在矩形ABCD中，BC＝2，DC＝，取AD中点E，连接BD、BE，将△BDE沿BE 翻折至△BEF，过点A作AG⊥BF于G，则AG的值为（）A．B．C．D．12．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（）A．B．3C．2D．13．如图，在正方形ABCD中，边长AB＝10，E是为BC中点，连接AE，BD，把△ABE 沿着AE翻折，得到△AB′E，则点B′到BD的距离为（）A．2B．4C．3D．14．如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F，如果AB＝2，BC＝4，则AF的长是（）A．2B．2.5C．2.8D．315．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，D为AC上一点，连接BD，将△BDC沿BD翻折，点C恰好落在AB上的点E处，连CE．若AD＝，tan∠ABD＝，则CD的长度为（）A．B．C．D．16．如图，在△ABC中，tan∠ACB＝，D为AC的中点，点E在BC上，连接DE，将△CDE沿着DE翻折，得到△FDE，点C的对应点是点F，EF交AC于点G，当EF⊥EC 时，△DGF的面积，连接AF，则AF的长度为（）A．2B．C．D．17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，点D为AB边的中点，点E为线段AC上的一点，连接EB，将△ABE沿AB翻折得到△ABE'，连接DE、DE'，当BC ∥DE'时，则BE'的长是（）A．B．C．D．18．在Rt△ABC中，∠A＝90°，tan∠C＝，E为AC上一点，且CE＝5AE，点D为BC 中点，把△CDE沿ED翻折到△FDE，且EG＝，则DF的长度为（）A．B．C．D．219．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM：MD＝1：2．将△BMA 沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（）A．B．C．3D．20．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，在BC边上取一点E，连接AE、DE，使得DE＝AD，H为AE中点，连接DH，在DE上取一点F，连接AF，将△AEF沿着AF翻折得到△AGF，且GF⊥AD于M，连接GD，若AE＝4，则点F到直线DG的距离为（）A．2B．C．D．。
专题16 第7章《平面图形的认识(二)》中翻折问题尖子生培优训练(解析版)
专题16 第7章《平面图形的认识（二）》中翻折问题尖子生培优训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、解答题（本大题共7小题，共70分）1.(1)如图①，在△ABC中，点D是BC边上的一点，将△ABD沿AD折叠，得到△AED，AE与BC交于点F.已知∠B=50°，∠BAD=15°，求∠AFC的度数．(2)如图②，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，∠1、∠2与∠A之间存在一定的数量关系，请判断它们之间的关系，并说明理由．(3)如图③，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，此时∠1、∠2与∠A之间也存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的关系，无需说明理由．【答案】解：(1)由折叠的性质可知，∠EAD=∠BAD=15°，∴∠BAF=30°，∴∠AFC=∠BAF+∠B=80°；(2)∠1+∠2=2∠DAE；理由如下：连接AA′，由折叠的性质可知，∠DA′E=∠DAE，由三角形的外角的性质可知，∠1=∠DAA′+∠DA′A，∠2=∠EAA′+∠EA′A，∴∠1+∠2=∠DAA′+∠DA′A+∠EAA′+∠EA′A=2∠DAE；(3)∠1−∠2=2∠A．理由如下：由折叠的性质可知，∠A′=∠A，∠1=∠3+∠A，∠3=∠2+∠A′，∴∠1=∠2+∠A+∠A′，∴∠1−∠2=2∠A．【解析】(1)根据折叠的性质可知：∠EAD=∠BAD=15°，根据三角形的外角的性质计算；(2)连接AA′，根据折叠的性质到底∠DA′E=∠DAE，根据三角形的外角的性质证明；(3)根据折叠的性质得到∠A′=∠A，根据三角形的外角的性质证明．本题考查的是折叠的性质、三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和是解题的关键．2.在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．(1)如(图1)，当AE⊥BC时，求证：DE//AC(2)若∠C=2∠B，∠BAD=x°(0<x<60)①如(图2)，当DE⊥BC时，求x的值．②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明：∵∠BAC=90°，AE⊥BC，∴∠CAF+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°，∴∠CAF=∠B，由翻折可知，∠B=∠E，∴∠CAF=∠E，∴AC//DE；(2)①∵∠C=2∠B，∠C+∠B=90°，∴∠C=60°，∠B=30°，∵DE⊥BC，∠E=∠B=30°，∴∠BFE=60°，∵∠BFE=∠B+∠BAF，∴∠BAF=30°，∠BAF=15°；由翻折可知，x=∠BAD=12②∠BAD=x°，则∠FDE=(120−2x)°，∠DFE=(2x+30)°，当∠EDF=∠DFE时，120−2x=2x+30，解得，x=22.5，当∠DFE=∠E=30°时，2x+30=30，解得，x=0，∵0<x<60，∴不合题意，故舍去，当∠EDF=∠E=30°，120−2x=30，解得，x=45，综上可知，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等，且x=22.5或45．【解析】(1)根据折叠的性质得到∠B=∠E，根据平行线的判定定理证明；(2)①根据三角形内角和定理分别求出∠C=60°，∠B=30°，根据折叠的性质计算即可；②分∠EDF=∠DFE、∠DFE=∠E、∠EDF=∠E三种情况，列方程解答即可．本题考查的是翻转变换的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握三角形内角和等于180°、翻转变换的性质是解题的关键．3.喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏．如图1，纸条的一组对边PN//QM(纸条的长度视为可延伸)，在PN，QM上分别找一点A，B，使得∠ABM=α．如图2，将纸条作第一次折叠，使BM′与BA在同一条直线上，折痕记为BR1．解决下面的问题：(1)聪明的小白想计算当α=90°时，∠BR1N′的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：如图3，PN//QM，A，B分别在PN，QM上，且∠ABM=90°，由折叠：BR1平分______，BM′//R1N′，求∠BR1N′的度数．(2)聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条(如图4)，是否有可能使AM′′⊥BR1？如果能，请直接写出此时α的度数；如果不能，请说明理由．(3)笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<α≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使BM′与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2(如图5)；将纸条展开，作第三次折叠，使BM′与BR2在同一条直线上，折痕记为BR3；…以此类推．①第二次折叠时，∠BR2N′=______(用α的式子表示)；②第n次折叠时，∠BR n N′=______(用α和n的式子表示)．【答案】∠ABM180°−α4180°−α2n【解析】解：(1)根据折叠的性质可得，∠MBR1=∠M′BR1，即，BR1平分∠ABM，故答案为：∠ABM，∵∠ABM=90°，∴∠MBR1=∠M′BR1=12∠ABM=45°，在四边形M′BR1N′中，∠M′=∠N′=∠M=∠N=90°，∴∠BR1N′=360°−90°−90°−45°=135°；(2)α=60°；由折叠可得，∠PAB=α=60°，∠ABR1=30°，∠R1AM″=60°，∴∠BAM″=180°−60°−60°=60°，∴∠ABR1+∠BAM″=30°+60°=90°，∴AM′′⊥BR1；(3)①由折叠可得∠R1BR2=12×12α=α4，在四边形M′BR2N′中，∠M′=∠N′=∠M=∠N=90°，∴∠BR2N′=360°−90°−90°−α4=180°−α4；故答案为：180°−α4；②折叠n次可得∠R n BR n+1=12×12×…××12α=α2n，在四边形中有内角和可得，∠BR n N′=360°−90°−90°−α2n =180°−α2n，故答案为：180°−α2n．(1)根据折叠的性质可得，BR1平分∠ABM，由折叠得出对应角相等，再根据四边形的内角和为360°可求出答案；(2)求证当α=60°时，使AM′′⊥BR1，由折叠对应角相等，再根据三角形的内角和得出结论；(3)①根据折叠得出∠R1BR2=12×12α=α4，进而利用四边形的内角和求出结果，②折叠n次可得∠R n BR n+1=12×12×…××12α=α2n，再根据四边形的内角和求出结果．本题考查平行线的性质，折叠轴对称的性质以及找规律，根据平行线的性质、折叠得到各个角之间的关系是解决问题的关键．4.人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：如图，在△ABC中，如果AB>AC，那么我们可以将△ABC折桑，使边AC落在AB 上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则∠C=∠ADE∵∠ADE>∠B(想一想为什么)，∴∠C>∠B.(1)请证明上文中的∠ADE>∠B；(2)如图，在ΔABC中，如果∠ACB>∠B，能否证明AB>AC？同学小雅提供了一种方法：将ΔABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明；(3)如图，在ΔABC中，∠C=2∠B，按照(1)的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA=110∘，求∠DEM的度数．【答案】(1)证明：，；(2)证明：由题意得BF=CF，∵AF+FC>AC，∴AF+BF>AC，∴AB>AC；(3)解：，，，∵ME//AC，，，，，，．【解析】本题主要考查了三角形的三边关系、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识点．(1)根据三角形的外角性质即可求解；(2)首先得出BF=CF，然后根据三角形的三边关系进行解答即可；(3)首先，然后证明，最后证明即可求解．5.(1)如图1，将长方形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C’处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为______°；(2)小明手中有一张长方形纸片ABCD，AB=12，AD=27.【算一算】如图2，点F在这张长方形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A’，B’处，若AG=7，求B’D的长．【画一画】如图3，点E在这张长方形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN(点M，N分别在边AD，BC上)，利用直尺和圆规画出折痕MN(不写作法，保留作图痕迹)；【答案】解：(1)23；(2)【算一算】∵AG=7，AD=27，∴GD=20，∵将纸片折叠，使FB落在射线FD上，∴∠BFG=∠GFD，BF=B′F，∵AD//BC，∴∠DGF=∠BFG，∴GD=DF=20，∴CF=√ DF2−CD2=√400−144=16，∴BF=BC−CF=11，∴B′F=11，∴B′D=DF−B′F=20−11=9．【画一画】如图2所示：【解析】【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．(1)利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；(2)【算一算】首先求出GD=20，由矩形的性质得出AD//BC，BC=AD=27，由平行线的性质得出∠DGF=∠BFG，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，证出∠DFG=∠DGF，由等腰三角形的判定定理证出DF=DG=20，再由勾股定理求出CF，可得BF，再利用翻折不变性，可知FB′=FB，由此即可解决问题．【画一画】，如图2中，延长BA交CE的延长线由G，作∠BGC的角平分线交AD于M，交BC于N，直线MN即为所求；【解答】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠ADB=∠DBC=46°，∠DBC=23°，由折叠的性质可得：BC′=BC，∠C′BE=∠CBE=12故答案为23；(2)【算一算】见答案；【画一画】见答案．6.如图1，点D为△ABC边BC的延长线上一点．(1)若，，求的度数；(2)若的角平分线与的角平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P.求证：；(3)在(2)的条件下，将△MBC沿直线BC翻折得到△NBC，的角平分线与的角平分线交于点Q(如图2)，则∠BQC与∠A的数量关系是_____________________．【答案】解：(1)∵∠A：∠ABC=3：4，∴可设∠A=3k，∠ABC=4k，又∵∠ACD=∠A+∠ABC=140°，∴3k+4k=140°，解得k=20°.∴∠A=3k=60°；(2)证明：∵∠MCD是△MBC的外角，∴∠M=∠MCD−∠MBC.同理可得，∠A=∠ACD−∠ABC.∵MC、MB分别平分∠ACD、∠ABC，∴∠MCD=12∠ACD，∠MBC=12∠ABC，∴∠M=12(∠ACD−∠ABC)=12∠A.∵CP⊥BM，∴∠MCP=90°−∠M=90°−12∠A；(3)∠BQC=90°+14∠A.【解析】【分析】本题考查的是三角形内角和定理，在解答此题时要注意翻折变换、三角形外角的定义及角平分线的性质等知识的灵活运用．(1)先根据∠A：∠ABC=3：4，设∠A=3k，∠ABC=4k，再由三角形外角的性质求出k 的值，进而可得出结论；(2)根据三角形外角的性质得出∠M=∠MCD−∠MBC，∠A=∠ACD−∠ABC.再由MC、MB分别平分∠ACD、∠ABC得出∠MCD=12∠ACD，∠MBC=12∠ABC，故∠M=12(∠ACD−∠ABC)=12∠A.根据CP⊥BM即可得出结论；(3)根据BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN可知∠QBC=12∠CBN，∠QCB=12∠BCN，再根据三角形内角和定理可知，∠Q=180°−12(∠CBN+∠BCN)=180°−12(180°−∠N)=90°+12∠N.由(2)知：∠M=12∠A.根据翻折可知：∠M=∠N，由此可得出结论．【解答】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)猜想∠BQC=90°+14∠A.证明如下：∵BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN，∴∠QBC=12∠CBN，∠QCB=12∠BCN，∴∠Q=180°−12(∠CBN+∠BCN)=180°−12(180°−∠N)=90°+12∠N.由(2)知：∠M=12∠A.又由轴对称性质知：∠M=∠N，∴∠BQC=90°+14∠A．故答案为∠BQC=90°+14∠A．7.如图①，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…将余下部分沿∠B n A n C(n为正整数)的平分线A n B n+1折叠，点Bn与点C重合．无论折叠多少次，只要最后一次B n与点C恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图②，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC是平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图③，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．【探究发现】(1)如图③，△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？______.(填：“是”或“不是”)(2)归纳猜想：①如图④，小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C(∠B>∠C)之间的等量关系，并说明理由．②根据以上内容猜想：若经过n(n为正整数)次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C(∠B>∠C)之间的等量关系为______.(直接写出结论)【应用提升】(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．【答案】是∠B=n∠C【解析】解：(1)△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C(外角定理)，∴∠B=2∠C；故答案为：是；(2)①∠B=3∠C；理由如下：在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．理由如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1−∠A1B1C=∠BAC+2∠B−2C= 180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；②由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C；故答案为：∠B=n∠C；(3)由(2)知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∵最小角是4°是△ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°(其中m、n都是正整数)．由题意，得4m+4mn+4=180，∴m(n+1)=44．∵m、n都是正整数，∴m与n+1是44的整数因子，因此有：m=4，n+1=11；∴m=4，n=10；∴4m=16°，4mn=160°；∴该三角形的另外两个角的度数分别为：16°，160°．(1)仔细分析题意根据折叠的性质及“好角”的定义即可作出判断；(2)①经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C，由∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得结果；②由小丽展示的情形即可得出结论；(3)根据好角的定义进行推理计算，即可得出结果．此题是三角形综合题，主要考查了折叠问题，找规律，三角形的内角和定理，从折叠有限次数中找到规律是解本题的关键，也是难点．。
自学初中数学资料 折叠问题 图形的翻折、轴对称(资料附答案)
自学资料一、图形的翻折、轴对称【知识探索】1．如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．【说明】（1）两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变；（2）在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴．2．把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．【错题精练】第1页共26页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训第2页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训例1．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP ，连接B′A ，则下列判断：①当AP=BP 时，AB′∥CP ；②当AP=BP 时，∠B′PC=2∠B′AC③当CP ⊥AB 时，AP=175；④B′A 长度的最小值是1．其中正确的判断是______ （填入正确结论的序号）【解答】解：①∵在△ABC 中，∠ACB=90°，AP=BP ，∴AP=BP=CP ，∠BPC=12（180°-∠APB′），由折叠的性质可得：CP=B′P ，∠CPB′=∠BPC=12（180°-∠APB′），∴AP=B′P ，∴∠AB′P=∠B′AP=12（180°-∠APB′），∴∠AB′P=∠CPB′，∴AB′∥CP ；故①正确；②∵AP=BP ，∴PA=PB′=PC=PB ，∴点A ，B′，C ，B 在以P 为圆心，PA 长为半径的圆上，∵由折叠的性质可得：BC=B′C ， ∴BC ̂=B′C ̂，∴∠B′PC=2∠B′AC ；故②正确；③当CP ⊥AB 时，∠APC=∠ACB ，∵∠PAC=∠CAB ，∴△ACP ∽△ABC ，∴APAC =ACAB ，∵在Rt △ABC 中，由勾股定理可知：AC=√AB 2−BC 2=√52−32=4，∴AP=AC 2AB =165；故③错误；④由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∵AB'≥AC-CB'∴AB′的长度有最小值．AB′有最小值=AC-B′C=4-3=1．故④正确．故答案为：①②④．【答案】①②④例2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．现给出以下四个命题（1）∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长不发生变化；（3）∠PBH=45°；（4）BP=BH．其中正确的命题是______．【解答】（1）证明：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．故（1）正确；（2））△PHD的周长不变为定值8．第3页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第4页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．由（1）知∠APB=∠BPH ，在△ABP 和△QBP 中，{∠APB =∠BPH∠A =∠BQP BP =BP∴△ABP ≌△QBP （AAS ）．∴AP=QP ，AB=BQ ．又∵AB=BC ，∴BC=BQ ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，∴△BCH ≌△BQH ．∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．故（2）正确；（3）解：∵△ABP ≌△QBP （AAS ）、△BCH ≌△BQH ．∴∠QBH=∠HBC ，∠ABP=∠PBQ ，∴∠PBH=∠PBQ+∠QBH=12∠ABC=45°．故（3）正确；（4）解：∵∠PBH=45°固定不变，∴当点P 在AD 上移动时，∠BPH 的度数不断发生变化，∴∠BPH 的度数与∠BHP 不一定相等，故BP 与BH 不一定相等．故答案为：（1）（2）（3）．【答案】（1）（2）（3）例3．如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A′点，D 点的对称点为D′点，若∠FPG ＝90°，△A′EP 的面积为4，△D′PH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于【答案】例4．如图，在菱形紙片ABCD中，AB=2．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点B′处（不与A，D重合），点C落在C′处，线段B′C′与直线CD交于点G，折痕为EF，则下列说法①若∠A=90，B′为AD中点时，AE=34②若∠A=60°，B′为AD中点时，点E恰好是AB的中点③若∠A=60°，C′F⊥CD时，CFFD =√3−12其中正确的是（）第5页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第6页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【解答】解：①∵∠A=90°，四边形ABCD 是菱形，∴四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∵B′为AD 中点时，∴AB'=1，设AE=x ，则B'E=BE=2-x ，在Rt △AB'E 中，由勾股定理得：12+x 2=（2-x ）2，解得：x=34，①正确； ②连接BD 、BE'，如图：∵∠A=60°，AB=AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵B′为AD 中点，∴∠AB'B=90°，∠ABB'=30°∵BE=B'E ，∴∠BB'E=∠ABB'=30°，∴∠AB'E=60°，∴△AB'E 是等边三角形，∴AE=B'E=BE ，∴点E 是AB 的中点，②正确；③设CF=x ，由折叠的性质得：C'F=CF=x ，∠C'=∠C=∠A=60°，∵C′F ⊥CD ，∴∠C'GF=30°，∴C'G=2C'F=2x ，GF=√3C'F=√3x ，∴DG=CD-GF-CF=2-√3x-x ，∵∠D=180°-∠A=120°，∠DGB'=∠C'GF=30°，∴∠DB'G=30°，∴DB'=DG ，设BD 交B'C'于H ，则B'H=GH=12B'G=12（2-2x ）=1-x ，∴DG=2（1−x ）√3，∴2（1−x ）√3=2-√3x-x ， 解得：x=4-2√3，∴CF=4-2√3，FD=2-（4-2√3）=2√3-2，∴CF FD =√3−12，③正确； 故选：D ．【答案】D例5．如图，以半圆的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD＝4，BD=8，则CB的长为__________【解答】第7页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】例6．如图，矩形ABCD中，BC=3，且BC＞AB，E为AB边上任意一点（不与A，B重合），设BE=t，将△BCE沿CE对折，得到△FCE，延长EF交CD的延长线于点G，则tan∠CGE= （用含t的代数式表示）．【解答】解：如图连接BF交EC于O，作EM⊥CD于M，∵∠EMC=∠EBC=∠BCM=90°，∴四边形EBCM是矩形，∴CM=EB=t，EM=BC=3，在RT△EBC中，∵EB=t，BC=3，∴EC=√t2+32=√t2+9，∵EB=EF，CB=CF，∴EC垂直平分BF，∵12•EC•BO=12•EB•BC，∴BO=3t√t2+9，BF=2BO=6t√t2+9∵∠AEF+∠BEF=180°，∠BEF+∠BCF=180°，∴∠AEF=∠BCF，∵AB∥CD，∴∠BEC=∠ECG=∠CEF，∠AEF=∠G=∠BCF ∴GE=GC，∴∠GCE=∠GEC=∠CFB=∠CBF，∴△CBF∽△GCE，∴GCBC =ECBF，第8页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴GC=t 2+92t，GM=GC-CM=9−t22t，∴tan∠CGE=EMGM =6t9−t2．故答案为6t9−t2．【答案】6t9−t2例7．阅读下面材料：在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？小明发现：若∠ABC=60°，①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为______；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长______（填“改变”或“不变”）．请帮助小明解决下面问题：如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m．（1）如图3，若∠ABC=120°，则六边形AEFCHG的周长为______；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，则六边形AEFCHG的周长可表示为______．【解答】解：①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．∴六边形AEFCHG的周长为6；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．∴六边形AEFCHG的周长为6．故六边形AEFCHG的周长不变．（1）如图3，若∠ABC=120°，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长为2×2+2×sin60°×2=4+2√3；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长可表示为2×2+2×sinα×2=4+4sinα．故答案为：①6；②不变．（1）4+2√3；（2）4+4sinα．第9页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】6不变4+2√34+4sinα例8．已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；（2）求sin∠DAB1的值；（3）如果题设中“BE=2CE”改为“BECE=x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．【解答】（1）解：∵AB∥DF，∴ABCF =BECE，∵BE=2CE，AB=3，∴3CF =2CECE，∴CF=32；（2）解：①若点E在线段BC上，如图1，设直线AB1与DC相交于点M．由题意翻折得：∠1=∠2．∵AB∥DF，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AM=MF．设DM=x，则CM=3−x．又∵CF=1.5，∴AM=MF=92−x，在Rt△ADM中，AD2+DM2=AM2，∴32+x2=(92−x)2，∴x=54，∴DM=54，AM=134，第10页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴sin∠DAB1=DMAM =513；②若点E在边BC的延长线上，如图2，设直线AB1与CD延长线相交于点N．同理可得：AN=NF．∵BE=2CE，∴BC=CE=AD．∵AD∥BE，∴ADCE =DFFC，∴DF=FC=32，设DN=x，则AN=NF=x+32．在Rt△ADN中，AD2+DN2=AN2，∴32+x2=(x+32)2，∴x=94．∴DN=94，AN=154sin∠DAB1=DNAN=35；（3）解：若点E在线段BC上，y=9x2x+2，定义域为x>0；若点E在边BC的延长线上，y=9x−92x，定义域为x>1．【答案】（1）32；（2）①513，②35；（3）略．【举一反三】1．如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，E是AB的中点，F是AC边上一个，综上所述，EF的长为72或143．72或1432．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE=______，EF=______．【解答】解：如图过点E作EH⊥AD于H，EN⊥AB于N，过点A作AM⊥CD于M∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=AB=CD=AB=4∴∠ADM=∠BAD=∠HDE=60°∵E是CD中点∴DE=2在Rt△DHE，中，DE=2，HE⊥DH，∠HDE=60°∴DH=1，HE=√3∵折叠∴AG=GE，AF=EF在Rt△HGE中，GE2=GH2+HE 2∴GE2=（4-GE+1）2+3∴GE=2.8在Rt△AMD中，AD=4，AM⊥DM，∠ADM=60°∴MD=2，AM=2√3∵AB∥CD，AM∥EN∴AMEN是平行四边形且AM⊥CD∴AMEN是矩形∴AN=ME=2+2=4，（即N与B重合）AM=EN=2√3在Rt△FBE中，EF2=EN2+FB 2EF2=（4-EF）2+12EF=3.5【答案】2.83.53．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=______．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE=AD=x，∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH=DC=x+2，∵HE=1，∴AH=AE-HE=x-1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，∴x2+（x-1）2=（x+2）2，整理得x2-6x-3=0，解得x1=3+2√3，x2=3-2√3（舍去），即AD的长为3+2√3．故答案为3+2√3．【答案】3+2√34．小明尝试着将矩形纸片 ABCD （如图①， AD＞CD ）沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处，折痕为 AE （如图②）；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处， E 点落在 AE 边上的点 M 处，折痕为 DG （如图③）．如果第二次折叠后， M 点正好在 ∠ NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为．【答案】√2：1 ．5．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连接OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O 的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A. CG=1B. 矩形ABCD的面积为6+4√3C. ∠ACB=30°D. AF=2√3【解答】解：如图，设⊙O 与BC 的切点为M ，连接MO 并延长MO 交AD 于点N ，∵将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ，∴OG=DG ，∵OG ⊥DG ，∴∠MGO+∠DGC=90°，∵∠MOG+∠MGO=90°，∴∠MOG=∠DGC ，在△OMG 和△GCD 中，{∠OMG =∠DCG =90°∠MOG =∠DGC OG =DG，∴△OMG ≌△GCD ，∴OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．故A 正确，∵AB=CD ，∴BC-AB=2．设AB=a ，BC=b ，AC=c ，⊙O 的半径为r ，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆可得r=12（a+b-c ），∴c=a+b-2．在Rt △ABC 中，由勾股定理可得a 2+b 2=（a+b-2）2，整理得2ab-4a-4b+4=0，又∵BC-AB=2即b=2+a ，代入可得2a （2+a ）-4a-4（2+a ）+4=0，解得a 1=1+√3，a 2=1-√3（舍去），∴a=1+√3，b=3+√3，∴S 矩形ABCD =AB•BC=6+4√3，故B 正确，∴tan ∠ACB=AB BC =√33，∴∠ACB=30°，故C 正确，再设DF=x ，在Rt △ONF 中，FN=3+√3-1-x ，OF=x ，ON=1+√3-1=√3，由勾股定理可得（2+√3-x ）2+（√3）2=x 2，解得x=4-√3，∴AF=AD-DF=2√3-1，故D 错误，故选：D ．【答案】D6．如图，在⊙O 中，将AB̂沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⊙O 于点C ，AC 切ADB ̂所在的圆于点A ，则tan ∠C 的值是（ ）A. √3B. 43C. 2+√3D. 1+√2【解答】解：作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．根据对称性可知，ADB̂所在圆的圆心在直线AH上，∵AC切ADB̂所在的圆于点A，∴AC⊥AH，∴∠CAH=90°，∴CH是⊙O的直径，∴∠CBH=90°，∴∠ABD=∠ABH=45°，∴∠AHC=∠ABC=45°，∴∠ACH=∠AHC=45°，∴AC=AH，∵OC=OH，∴AD垂直平分线段CH，∴DC=DH，∴∠DCH=∠DHC，∵BD=BH，∴∠BDH=∠BHD=45°，∵∠BDH=∠DCH+∠DHC，∴∠DCH=22.5°，∴∠ACD=∠CHB=67.5°，设BD=BH=a，则CD=DH=√2a，∴tan∠ACB=tan∠CHB=BCBH =a+√2aa=1+√2，故选：D．【答案】D7．半径为2的圆弧形纸片按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是______．【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=1，在Rt△AOC中，∵OA=2，OC=1，∴cos∠AOC=OCOA =12，AC=√OA2−OC2=√3∴∠AOC=60°，AB=2AC=2√3，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB=120π×22360-12×2√3×1=4π3-√3，S阴影=S半圆-2S弓形ABM=1 2π×22-2（4π3-√3）=2√3−23π．故答案为：2√3−23π．【答案】2√3−23π8．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．（1）求证：△BC1F∽△AGC1；（2）若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．1．如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则BC= ．【解答】解：如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，当四边形ABCE为平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，则∠NAD=60°，∴∠AND=90°，∵四边形ABCE面积为2，∴设BT=x，则BC=EC=2x，故2x×x=2，解得：x=1（负数舍去），故BC=2；如图2，当四边形BEDF是平行四边形，∵BE=BF，∴平行四边形BEDF是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠ADB=∠BDC=15°，∵BE=DE，∴∠AEB=30°，∴设AB=y，则BE=2y，∵四边形BEDF面积为2，∴AB×DE=2y2=2，解得：y=1，故BC=1，综上所述：BC=2或1．故答案为：2或1．【答案】2或1̂沿BD翻折，点C的对称点C′恰好落在AB 2．如图，已知半圆的内接四边形ABCD，AB是直径，DCB上．若AC′=4，C′B=5，则BD的长是（）A. 4√3B. 3√7C. 7D. 8【解答】解：作DE⊥AB于E，连接DC′，由折叠的性质可知，CD=C′D，∠CBD=∠C′BD，∴DA=DC，∴AD=C′D，又DE⊥AB，∴AE=EC′=2，∴EB=7，由射影定理得，DE2=AE•EB=14，在Rt△DEB中，BD2=DE2+BE2=63，∴BD=3√7，故选：B．【答案】B3．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③与∠AGB相等的角有5个；④S△FGC=910．其中正确的是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【解答】解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，∴DE=13×3=1，CE=3-1=2，∵△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，∴AB=AF=AD，在Rt△ABG和Rt△AFG中，{AG=AGAB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=FG，设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3-x，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，即（1+x）2=（3-x）2+22，解得，x=32，∴CG=3-32=3 2，∴BG=CG=32，即点G是BC中点，故①正确；∵tan∠AGB=ABBG =332=2，∴∠AGB≠60°，∴∠CGF≠180°-60°×2≠60°，又∵BG=CG=FG，∴△CGF不是等边三角形，∴FG≠FC，故②错误；由（1）知Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴∠AGB=∠AGF=12∠BGF ，根据三角形的外角性质，∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF ，∴∠GCF=∠GFC=∠AGB ，∵AD ∥BC ，∴∠AGB=∠GAD ，∴与∠AGB 相等的角有4个，故③错误；△CGE 的面积=12CG•CE=12×32×2=32， ∵EF ：FG=1：32=2：3，∴S △FGC =32+3×32=910，故④正确； 综上所述，正确的结论有①④．故选：C ．【答案】C4．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=5，点P 在线段BC 上运动，现将纸片折叠，使点A 与点P 重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点），设BP=x ，当点E 落在线段AB 上，点F 落在线段AD 上时，x 的取值范围是______．【解答】解：如图；①当F 、D 重合时，BP 的值最小；根据折叠的性质知：AF=PF=5；在Rt △PFC 中，PF=5，FC=2，则PC=√21；∴BP 的最小值为5-√21；②当E 、B 重合时，BP 的值最大；由折叠的性质可得AB=BP=2，即BP的最大值为2．所以x的取值范围是5-√21≤x≤2．故答案为：5-√21≤x≤2．【答案】5-√21≤x≤25．如图，现有边长为5的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF连结BP，BH．当AP=2时，PH=______．【解答】解：设AE=x，则BE=5-x．由翻折的性质可知：BE=PE=x，∠APG=∠ABC=90°．∴∠APE+∠DPH=90°．∵∠AEP+∠APE=90°，∴∠AEP=∠DPH．又∵∠A=∠D=90°，∴△APE∽△DHP．在Rt△APE中，PE2=AE2+AP2，即（5-x）2=x2+22，解得x=2.1．则PE=5-2.1=2.9．∵△APE∽△DHP，∴EPPH =AEPD，即2.9PH=2.13，解得：PH=297．故答案为：297．【答案】2976．如图，矩形纸片ABCD中，AD=15cm，AB=10cm，点P、Q分别为AB、CD的中点，E、G分别为BC、PQ上的点，将这张纸片沿AE折叠，使点B与点G重合，则△AGE的外接圆的面积为______．【解答】解：由翻折的性质得，AG=AB，∠GAE=∠BAE，∵点P、Q分别为AB、CD的中点，∴AP=12AB，∴AP=12AG，∴∠AGP=30°，∴∠PAG=90°-∠AGP=90°-30°=60°，∴∠BAE=12∠PAG=12×60°=30°，在Rt△ABE中，AE=AB÷cos30°=10÷√32=20√33cm，∴△AGE的外接圆的面积=π（AE2）2=π（12×20√33）2=1003πcm2．故答案为：1003πcm2．【答案】1003πcm27．如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点E为边DC上一动点，连接AE，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为______．【解答】解：∵△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，∴DE=D′E，AD=AD′=10，当∠DD′C=90°时，如图1，∵DE=D′E，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∴∠3=∠4，∴ED′=EC，CD=4；∴DE=EC=12当∠DCD′=90°时，则点D′落在BC上，如图2，设DE=x，则ED′=x，CE=8-x，∵AD′=AD=10，∴在Rt△ABD′中，BD′=√102−82=6，∴CD′=4，在Rt△CED′中，（8-x）2+42=x2，解得x=5，即DE的长为5，综上所述，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5．故答案为4或5．【答案】4或5。
2023年中考数学几何模型之几何图形的翻折变换(讲+练)(原卷版)
专题10几何图形的翻折变换折叠型问题是历年中考的热点问题，题型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
同样的翻折类题目，条件不一样，用到的知识和方法也不尽相同。
本专题整理这类题目，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，从而找到这类问题特有的解题方法。
题型一、直角三角形中的折叠问题例1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为图1【变式训练1】如图在△ABC中，∠C＝90º，将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB 边上的点D处.（1）当∠B＝28º时，求∠CAE的度数；（2）当AC＝6，AB＝10时，求线段DE的长.【变式训练2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF ，当线段AF =AC 时，BE 的长为．【变式训练3】如图，在Rt ABC 中，90A ，AB AC ，1BC ，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C 为直角三角形，则BM 的长为．图1【变式训练4】如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（1，2），连接OB ，将△OAB 沿直线OB 翻折，点A 落在点D 的位置，则cos ∠COD 的值是（）A ．3/5B ．1/2C ．3/4D ．4/5题型二、等腰或等边三角形中的折叠问题例1.如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A′处，当△A′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（）A ．2B ．233C ．2或233D ．2或433例2.如图，等边△ABC 中，D 是BC 边上的一点，把△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，折痕与边AB 、AC 分别交于点M 、N ，若AM ＝2，AN ＝3，那么边BC 长为_____．【变式训练1】已知ABC 中，AC BC ，Rt C ．如图，将ABC 进行折叠，使点A 落在线段BC 上（包括点B 和点C ），设点A 的落点为D ，折痕为EF ，当DEF 是等腰三角形时，点D 可能的位置共有（）．A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【变式训练2】如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，点P 为BC 上一动点（不与端点重合）连接AP ，将△ABP 沿着AP 折叠，点B 落到M 处，连接BM 、CM ，若△BMC 为等腰三角形，则BP 的长度为.【变式训练3】如图正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则DB ′的长为.题型三、菱形中的折叠问题例.如图，在菱形ABCD 中，AB =5，tan D =，点E 在BC 上运动（不与B ，C 重合），将四边形AECD 沿直线AE 翻折后，点C 落在C ′处，点D ′落在D 处，C ′D ′与AB 交于点F ，当C ′D '⊥AB 时，CE 长为．【变式训练1】如图，在菱形纸片ABCD 中，AB =15，tan ∠ABC =，将菱形纸片沿折痕FG 翻折，使点B 落在AD 边上的点E 处，若CE ⊥AD ，则cos ∠EFG 的值为．【变式训练2】如图在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ＝3，点P 是对角线AC 上的一个动点，过点P 作EF ⊥AC 交CD 于点E ，交AB 于点F ，将△AEF 沿EF 折叠点A 落在G 处，当△CGB 为等腰三角形时，则AP 的长为_________.题型四、矩形中的折叠问题例1.如图，矩形纸片ABCD ，AB =4，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP =OF ，则AD DF 的值为A ．1113B ．1315C ．1517D ．1719【变式训练1】矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为()A ．3B ．32C ．2或3D ．3或32【变式训练2】如图，在一张矩形纸片ABCD 中，对角线AC ＝14，点E 、F 分别是CD 和AB 的中点，现将这张纸片折叠，使点B 落在EF 上的点G 处，折痕为AH ，若HG 的延长线恰好经过点D ，则点G 到对角线AC 的距离为（）A. B. C. D.【变式训练3】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝，E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A ′，当点E ，A ′，C 三点在一条直线上时，DF 的长为_____．【变式训练4】如图，以矩形ABOD 的两边OD 、OB 为坐标轴建立直角坐标系，若E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交OD 于F 点．若OF ＝1，FD ＝2，则G 点的坐标为()A ．(35，5)B ．(35，5)C ．(25，5)D ．(25，5)课后训练1、矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为()A．3B．32C．2或3D．3或322.如图，矩形ABCD中，已知点M为边BC的中点，沿DM将三角形CDM进行翻折，点C 的对应点为点E，若AB＝6，BC＝8，则BE的长度为（）A.4B.C.D.3.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠使点A落在点G处，延长BG交CD于点F，连接EF，若CF＝1，DF＝2，则BC的长是（）A. B. C.5 D.4.如图，正方形纸片ABCD沿直线BE折叠，点C恰好落在点G处，连接BG并延长，交CD于点H，延长EG交AD于点F，连接FH.若AF＝FD＝6，则FH的长为.5.如图，矩形纸片ABCD ，5AB ，3BC ，点P 在BC 边上，将CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF ，则AF 的值为_____________．6.如图，将矩形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点B 与点D 重合，再将△CDN 沿DN 折叠。
专题14 第7章《平面图形的认识(二)》中旋转问题尖子生培优训练(原卷版)
专题14 第7章《平面图形的认识（二）》中旋转问题尖子生培优训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、解答题（本大题共10小题，共100分）1.“成绵乐高铁”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒2度．假定主道路是平行的，即PQ//MN，且∠BAM︰∠BAN=2︰1．(1)填空：∠BAN=________；(2)若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图2，若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，则在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒时，∠ACB=120°．2.十九大报告中提出“广泛开展全民健身活动，加快推进体育强国建设”.为了响应号召，提升学生训练兴趣，某中学自编“功夫扇”课间操.若设最外侧两根大扇骨形成的角为∠COD，当“功夫扇”完全展开时∠COD=160°.在扇子舞动过程中，扇钉O始终在水平线AB上．小华是个爱思考的孩子，不但将以上实际问题抽象为数学问题，而且还在抽象出的图中画出了∠BOC的平分线OE，以便继续探究．(1)当扇子完全展开且一侧扇骨OD呈水平状态时，如图1所示.请在抽象出的图2中画出∠BOC的平分线OE，此时∠DOE的度数为_________；(2)“功夫扇”课间操有一个动作是把扇子由图1旋转到图3所示位置，即将图2中的∠COD绕点O旋转至图4所示位置，其他条件不变，小华尝试用如下两种方案探究了∠AOC和∠DOE度数之间的关系．(180∘−方案一：设∠BOE的度数为x.可得出∠AOC=180∘−2x，则x=12∠AOC．∠DOE=160∘−x，则x=160∘−∠DOE.进而可得∠AOC)=90∘−12∠AOC和∠DOE度数之间的关系．∠AOC+方案二：如图5，过点O作∠AOC的平分线OF.易得∠EOF=90∘，即12∠COE=90∘.由∠COD=160∘，可得∠DOE+∠COE=160∘.进而可得∠AOC 和∠DOE度数之间的关系.参考小华的思路可得∠AOC和∠DOE度数之间的关系为_________；(3)继续将扇子旋转至图6所示位置，即将∠COD绕点O旋转至如图7所示的位置，其他条件不变，请问(2)中结论是否依然成立？说明理由．3.如图，已知AB//CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E.∠ADC=70°．(1)求∠EDC的度数；(2)若∠ABC=n°，求∠BED的度数(用含n的代数式表示)；(3)将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，画出图形并判断∠BED的度数是否改变，若改变，求出它的度数(用含n的式子表示)，不改变，请说明理由．4.为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图①所示，灯A的光线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B的光线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B 转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ//MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．(1)填空：∠BAN=_________°；(2)若灯B先转动30秒，灯A才开始转动，在灯B的光线到达BQ之前，灯A转动多少秒时，两灯的光线互相平行？(3)如图②所示，若两灯同时转动，在灯A的光线到达AN之前．若两灯的光线交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在两灯转动的过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化，若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．5.如图1，已知直线PQ//MN，点A在直线PQ上，点C，D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC=50°，∠ADC=30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于点E．(1)求∠AEC的度数；(2)若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC=50°，∠A1D1C=30°，求∠A1EC的度数；(3)若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与(2)相同，求此时∠A1EC的度数(直接写出结果)．6.如图(1)，直角△ABC与直角△BCD中∠ACB=90°，∠A=30°，∠D=45°，固定△BCD，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一个大小为α的角(0°<α≤180°)得△ACB′．(1)在旋转过程中，当B′C⊥BD时，α=______°；(2)如图(2)，旋转过程中，若边AB′与边BC相交于点E，与边BD相交于点F，连接AD，设∠DAB′=x，∠BCB′=y，∠ADB=z，试探究x+y+z的值是否发生变化，若不变请求出这个值，若变化，请说明理由；(3)在旋转过程中，当AB′与△BCD的边垂直时，直接写出α的度数．7.【生活常识】:射到平面镜上的光线(入射光线)和变向后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等。
2023年中考数学几何模型(全国通用版)：图形变换中的重要模型之翻折(折叠)(原卷版)
专题15图形变换中的重要模型之翻折（折叠）模型几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。
涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。
无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。
本专题以各类几个图形（三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。
以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
对于翻折和折叠问题主要分两大类题型：直接计算型和分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了。
翻折折叠题型(1)：直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。
一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路。
翻折折叠题型(2)：分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。
般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析。
解决翻折题型的策略：1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
模型1.矩形中的折叠模型1）常规计算型例1．（2022·浙江·宁波一模）如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别在矩形的边AB 、AD 上，将矩形纸片沿CE 、CF 折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C 、H 、G 恰好在同一直线上，若9AB ，6AD ，3BE ，则DF 的长是（）A ．72B ．4C．4D ．3变式1（2021·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE ，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为B'，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B ¢上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．2）线段比值型例1．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形ABCD 中23AB BC ．动点M 从点A 出发，沿边AD 向点D 匀速运动，动点N 从点B 出发，沿边BC 向点C 匀速运动，连接MN ．动点M ，N 同时出发，点M 运动的速度为1v ，点N 运动的速度为2v ，且12v v ．当点N 到达点C 时，M ，N 两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN 沿MN 翻折，得到四边形MA B N ．若在某一时刻，点B 的对应点B 恰好在CD 的中点重合，则12v v 的值为______．变式1．（2022·湖北襄阳·二模）如图，如图，将矩形ABCD 对折，折痕为PQ ，然后将其展开，E 为BC 边上一点，再将∠C 沿DE 折叠，使点C 刚好落在线段AQ 的中点F 处，则CE BE=____3）分类讨论型例1．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD 为矩形，3AB AD ，点E 为边BC 上一点，将DCE △沿DE 翻折，点C 的对应点为点F ，过点F 作DE 的平行线交AD 于点G ，交直线BC 于点H ．若点G 是边AD 的三等分点，则FG 的长是____________．变式1．（2022·河南省实验中学一模）如图，在矩形ABCD 中，已知10AB ，6AD ，动点P 从点D 出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC 向终点C 运动，运动时间为t 秒，连接AP ，把ADP △沿着AP 翻折得到AEP △．作射线PE 与边AB 交于点Q ，当QE QB 时，t _______．4）路径（轨迹）型例1．（2022·重庆十八中两江实验中学一模）如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，则三角形AGC 的面积的最小值为（）A ．32B ．43C ．54D ．3变式1．（2022·四川成都·模拟预测）如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，在点E 从A 到D 的运动过程中，点G 的运动路径=________，△CEF 面积的最小值是________．5）综合证明型例1．（2022·广东·一模）如图，在矩形ABCD 中，4AB ，5AD ，E 是CD 上一点，沿AE 折叠矩形，BC 的对应边B C 经过点D ，连接BB ，与AE 、AD 分别交于点G 、H ，连接BD 交AE 于点.F 下列结论：B DH ①是等腰三角形；GH ②：'1B H ：3；BB ③平分ABD ；50.13AFD S ④其中结论正确有（）A ．②④B ．②④C ．①②③D ．①②④变式1．（2022·吉林·长春市二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 的边OA 、OB 分别在y 轴和x 轴上，已知对角线5OC ．3tan 4BOC ．F 是BC 边上一点，过点F 的反比例函数 0k y k x的图象与AC 边交于点E ，若将CEF △沿EF 翻折后，点C 恰好落在OB 上的点M 处，则k 的值为（）A ．2B ．175C ．3D ．218模型2.特殊三角形中的折叠模型1）常规计算型例1．（2021·重庆·中考真题）如图，ABC 中，点D 为边BC 的中点，连接AD ，将ADC △沿直线AD 翻折至ABC 所在平面内，得ADC ，连接CC ，分别与边AB 交于点E ，与AD 交于点O ．若AE BE ，2BC ，则AD 的长为__________．变式1．（2022.广西九年级模拟）如图，在△ABC 中，AB ＜AC ，∠C ＝45°，AB ＝5，BC ＝D 在AC 上运动，连接BD ，把△BCD 沿BD 折叠得到BC D △，BC 交AC 于点E ，C D AB ∥，则图中阴影部分的面积是（）A ．78B ．127C ．52D ．2072）分类讨论型例1．（2022.重庆九年级期末）如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB AC =4，点D 是AB 的中点，点E 是边BC 上一动点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B ′DE 的位置，B ′D 交边BC 于点F ，若△CB ′F 为直角三角形，则CB ′的长为______．变式1．（2022.河南九年级模拟）如图，90POQ ，定长为a 的线段端点A ，B 分别在射线OP ，OQ 上运动（点A ，B 不与点O 重合），C 为AB 的中点，作OAC 关于直线OC 对称的OA C △，A O 交AB 于点D ，当OBD 是等腰三角形时，OBD 的度数为______．3）综合证明型例1．（2020·江苏淮安·中考真题）【初步尝试】（1）如图①，在三角形纸片ABC 中，90ACB ，将ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为；【思考说理】（2）如图②，在三角形纸片ABC 中，6AC BC ，10AB ，将ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AM BM的值．【拓展延伸】（3）如图③，在三角形纸片ABC 中，9AB ，6BC ，2ACB A ，将ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B 处，折痕为CM ．①求线段AC 的长；②若点O 是边AC 的中点，点P 为线段OB 上的一个动点，将APM △沿PM 折叠得到A PM ，点A 的对应点为点A ，A M 与CP 交于点F ，求PF MF 的取值范围．变式1．（2022·福建三明·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线14:3l y x 与直线2:(0)l y kx b k 相交于点(,3)A a ，直线2l 与y 轴交于点(0,5)B ．(1)求直线2l 的函数解析式；(2)将OAB 沿直线2l 翻折得到CAB △，使点O 与点C 重合，AC 与x 轴交于点D ．求证：AC OB ∥；(3)在直线BC 下方是否存在点P ，使BCP 为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．模型3.平行四边形中的折叠模型1）常规计算型例1．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，将ABC 沿着AC 所在的直线翻折得到AB CV ，B C 交AD 于点E ，连接B D ，若=60B ，45ACB ，AC B D 的长是（）A ．1BCD ．2变式1．（2021·江西·中考真题）如图，将ABCD Y 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，若80B ，2ACE ECD ，FC a ，FD b ，则ABCD Y 的周长为______．2）分类讨论型例1．（2022·湖北随州·中考模拟）在 ABCD 中，AB ＜BC ，已知∠B=30°，△ABC 沿AC 翻折至△AB′C ，使点B′落在 ABCD 所在的平面内，连接B′D ．若△AB′D 是直角三角形，则BC 的长为_____．变式1．在平行四边形ABCD 中，∠A 60°，4AB ，点E 、F 分别为AD 、BC 的中点，沿EF 折叠平行四边形，使线段CD 落在直线AB 上，点C 的对应点为1C ，点D 的对应点为1D ，若1BD 2 ，则AD 的长为___________.3）综合证明型例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在ABCD 中，AN 为BC 边上的高，AD m AN，点M 在AD 边上，且BA BM ，点E 是线段AM 上任意一点，连接BE ，将ABE 沿BE 翻折得FBE ．(1)问题解决：如图①，当60BAD ，将ABE 沿BE 翻折后，使点F 与点M 重合，则AM AN______；(2)问题探究：如图②，当45BAD ，将ABE 沿BE 翻折后，使EF BM ∥，求ABE 的度数，并求出此时m 的最小值；(3)拓展延伸：当30BAD ，将ABE 沿BE 翻折后，若EF AD ，且AE MD ，根据题意在备用图中画出图形，并求出m 的值．变式1．（2021·山西·中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在ABCD Y 中，BE AD ，垂足为E ，F 为CD 的中点，连接EF ，BF ，试猜想EF 与BF 的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将ABCD Y 沿着BF （F 为CD 的中点）所在直线折叠，如图②，点C 的对应点为'C ，连接'DC 并延长交AB 于点G ，请判断AG 与BG 的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将ABCD Y 沿过点B 的直线折叠，如图③，点A 的对应点为'A ，使'A B CD 于点H ，折痕交AD 于点M ，连接'A M ，交CD 于点N ．该小组提出一个问题：若此ABCD Y 的面积为20，边长5AB ，BC ，求图中阴影部分（四边形BHNM ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．模型4.菱形中的折叠1）基本计算型例1．（2021·辽宁大连·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60BAD ，点E 在边BC 上，将ABE △沿直线AE 翻折180°，得到'AB E △，点B 的对应点是点B 若AB BD ，2BE ，则BB 的长是__________．变式1．（2022·宁夏·银川市二模）如图，在菱形ABCD 中，AB =4，∠C =60°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的G 点处（不与B ，D 重合），折痕为EF ，若DG =13BG ，则BE 的长为（）A ．145B ．135C ．137D ．752）分类讨论型例1．（2022·河南·潢川县第二中学一模）如图，在菱形ABCD 中，45DAB ，4AB ，点P 为线段AB 上一动点，过点P 作PE AB 交AD 于点E ，沿PE 将A 折叠，点A 的对称点为点F ，连接EF 、DF 、CF ，当CDF 为等腰三角形时，AP 的长为______．变式1.（2022山西中考模拟）如图在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ＝3，点P 是对角线AC 上的一个动点，过点P 作EF ⊥AC 交CD 于点E ，交AB 于点F ，将△AEF 沿EF 折叠点A 落在G 处，当△CGB 为等腰三角形时，则AP 的长为_________.3）综合证明型例1．（2022·河北·邢台市二模）如图1，菱形纸片ABCD 的边长为2，60ABC ．如图2，翻折ABC ，ADC ，使两个角的顶点重合于对角线BD 上一点P ，EF ，GH 分别是折痕，设BE x （02x ），下列判断：①当1x 时，DP 3②EF GH 的值随x 的变化而变化；③六边形AEFCHG 面积的最大值是33④六边形AEFCHG 周长的值不变．其中正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③④D ．①③④变式1．（2022·湖北武汉·校联考一模）问题背景:如图1，点E 在BC 上，AB ⊥BC ，AE ⊥ED ，DC ⊥BC ，求证：AE BEDE DC．尝试应用:：如图2，在平行四边形ABCD 中，点F 在DC 边上，将△ADF 沿AF 折叠得到△AEF ，且点E 恰好为BC 边的中点，求FCFD的值．拓展创新：如图3，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，∠AFE ＝∠D ，AE ⊥FE ，FC ＝2．EC ＝6．请直接写出EFAF的值．模型5.正方形中的折叠模型1）常规计算型例1.（2022·广西·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，42AB ,AC BD 相交于点O ．点E 是对角线AC 上一点，连接BE ，过点E 作EF BE ，分别交,CD BD 于点F 、G ，连接BF ，交AC 于点H ，将EFH △沿EF 翻折，点H 的对应点H 恰好落在BD 上，得到EFH △若点F 为CD 的中点，则EGH △的周长是_______．变式1．（2022·四川成都·二模）如图，在正方形ABCD 中，2AB ，E 为BC 中点，沿直线DF 翻折ADF △，使点A 的对应点A ′恰好落在线段AE 上，分别在AD ，A D 上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点A 与点D 重合，则线段MN 的长为________．2）分类讨论型例1．（2022·浙江·二模）正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，将BCM 沿直线BM 翻折，使得点C 落在同一平面内的点'C 处，联结'DC 并延长交正方形ABCD 一边于点N ．当BN DM 时，CM 的长为___．变式1．（2022·河南·民权一模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是AB 边上一动点，将△BEF 沿EF 折叠得到B EF ，连接B C ，作B EC △关于B C 对称的B E C △，连接DB ，DE ．当DB E △是等腰三角形时，BF 的长为______．3）综合证明型例1．（2022·四川渠县一模）如图，将正方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在AD 边的点P 处（不与点A ，点D 重合），点C 落在G 点处，PG 交DC 于点H ，连接BP ，BH ．BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：①PB 平分∠APG ；②PH =AP +CH ；③BM =22BP ，④若BE =53，AP =1，则S 四边形BEPM =113，其中正确结论的序号是（）A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②④变式1．（2022·福建·厦门二模）如图，正方形纸片ABCD ，P 为正方形AD 边上的一点（不与点A ，点D 重合）．将正方形纸片折叠，使点B 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接BP ，BH ，BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：①BE ＝PE ；②BP ＝EF ；③PB 平分∠APG ；④PH ＝AP +HC ；⑤MH ＝MF ，其中正确结论的个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．2模型6.圆中的折叠模型1）角度、长度型例1．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将 BC 沿BC 翻折交AB 于点D ．再将 BD沿AB 翻折交BC 于点E ．若 BE DE ，设ABC ，则 所在的范围是（）A ．21.922.3B ．22.322.7C ．22.723.1D ．23.123.5变式1．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形AOB 中，点C ，D 在 AB 上，将 CD沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ．已知120AOB ，6OA ，则 EF 的度数为_______；折痕CD 的长为_______．2）面积型例1．（2022·山西太原·统考二模）如图是一张圆心为O ，半径为4cm 的圆形纸片，沿弦AC 所在直线折叠，使得 AC 经过点O ，将纸片O 展平后，作半径OB OA ，则图中阴影部分的面积等于（）A ． 24cmB ．243cmC ．216cm3 D ．220cm3 变式1．（2022·山西大同·校联考三模）如图，边长为6的正六边形ABCDEF 内接于O ，沿AE 折叠，点F 与点O 重合，过点E 作O 的切线与AD 的延长线交于点G ，则图中阴影部分的面积是（）A ．6πB ．6πC ．9πD ．3π课后专题训练1．（2022·山东烟台·一模）如图，在矩形ABCD 中，BC =6，E 是BC 的中点，连接AE ，3tan 4BAE ，P 是AD 边上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D ¢处，当APD △是直角三角形时，PD 的值为（）A ．23或67B ．83或247C ．83或307D ．103或1872．（2022·山东模拟预测）矩形纸片ABCD 中，5AB ，4 AD ，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的B 处，折痕为AE ．延长B E 交AB 的延长线于M ，折痕AE 上有点P ，下列五个结论中正确的有（）①M B AM ；②PB PB ；③AE④MB AB ；⑤若B P CD ，则四边形BPB E 是菱形．A ．2B ．3C ．4D ．53.（2022.山东中考模拟）如图，在ABC 中，点D 是线段AB 上的一点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，将BDE 沿DE 翻折，得到B DE ，若点C 恰好在线段B D 上，若90BCD ，DC ：3CB ：2，162AB ，则CE 的长度为（）A ．42B ．722C ．32D ．5224．（2020·江苏镇江·中考真题）如图①，AB ＝5，射线AM ∥BN ，点C 在射线BN 上，将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，点P ，Q 分别在射线AM 、BN 上，PQ ∥AB ．设AP ＝x ，QD ＝y ．若y 关于x 的函数图象（如图②）经过点E (9，2)，则cos B 的值等于（）A ．25B ．12C ．35D ．7105．（2022·河南商丘·统考三模）如图菱形OABC ，在平面直角坐标系中，点A (8，0)，∠C ＝60°，点P 为OA 上的一点，且点P (3，0)，Q 是BC 边上的一个动点，将四边形OPQC 沿直线PQ 折叠，O 的对应点O ，当BO 的长度最小时，则点Q 的坐标为（）A ．(﹣1，3B ．(﹣2，3C ．(﹣3，3D ．(0，36．（2021·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，60DAB ，23AD P 为对角线AC 上的一个动点，过P 作EF AC 交AD 于点E ，交AB 于点F ，将AEF △沿EF 折叠，点A 的对应点恰好落在对角线AC 上的点G 处，若CBG 是等腰三角形时，则AP 的长为（）A ．332B ．32C ．6 或4D ．6 或327．（2022·安徽·模拟预测）正方形ABCD 的边长为8，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，将正方形沿EF 折叠，使点A 落在A 处，点B 落在B 处，A B 交BC 于G ．下列结论错误的是（）A ．当A 为CD 中点时，则tan DA E ＝34B ．当::3:4:5A D DE A E ＝时，则AC ＝163C ．连接AA ，则A E A FD ．当A （点A 不与C 、D 重合）在CD 上移动时，A CG 周长随着A 位置变化而变化8．（2022春·福建福州·九年级阶段练习）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，先将 BC 沿BC 翻折交AB 于点D ，再将 BD沿AB 翻折交BC 于点E ．若 BE DE ，则∠BCD 的度数是（）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．60°9．（2022秋·九年级课时练习）如图，将⊙O 上的 BC 沿弦BC 翻折交半径OA 于点D ，再将 BD 沿BD 翻折交BC 于点E ，连接DE ．若AD ＝2OD ，则DEAB的值为（）A ．6B C D 10.（2022·四川成都·二模）如图，在矩形ABCD 中，23BC AB ．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC边上的E 处，得到四边形FEPG ，连接,AE PC ，若3tan ,4CGP GF PEC S ________．11．（2022.河北中考模拟）如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数22y x 的图象与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．将ABO 沿直线AB 翻折得到ABC ．若点C 在反比例函数(0)ky k x的图象上，则k ____．12．（2022·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，4AB AC ，90BAC ，点M 是线段AC 上一个动点，连接BM ，将线段BA 沿直线BM 进行翻折，点A 落在点N 处，连接CN ，以CN 为斜边在直线CN 的左侧(或者下方)构造等腰直角三角形CND ，则点M 从A 运动到C 的过程中，线段CD 的最小值是______，当M 从点A 运动到点C 时，点D 的运动总路径长是______．13．（2022·河南许昌·统考二模）如图，在菱形ABCD 中，12AB ，60A ，点E 为边AD 的中点，F 为射线AB 上一动点，连接EF ，把AEF △沿EF 折叠，得到A EF △，当A F 与菱形的边垂直时，线段AF 的长为______．14．（2022·湖北襄阳·一模）如图，正方形ABCD 的边长为24，点E 是对角线BD 上一点，且3BE DE ，F 是BC 的中点．连接,,,AE EF AF AF 与BD 交点G ，将EFG 沿EF 翻折，得到EFH △，连接AH ，交EF 于点M ，则MH _________．15．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）在O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD ．（1）如图1，若点D 与圆心O 重合，则BAC 的度数为__；（2）如图2，若点D 与圆心O 不重合，16BAC ，则DCA 的度数为__．16．（2021·浙江金华·统考中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA ，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP ．（1）如图1，若75O ，且BO 与 AB 所在的圆相切于点B ．①求APO 的度数．②求AP 的长．（2）如图2，BO 与 AB 相交于点D ，若点D 为 AB 的中点，且//PD OB ，求 AB 的长．17．（2022·辽宁·沈阳市九年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．(1)迁移探究：①如图1，当点M 在EF 上时，EMB ___________°，MBQ ___________°．②改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合），如图2，判断MBQ 与CBQ 的数量关系，并说明理由．③已知正方形纸片ABCD 的边长为8，当1FQ 时，直接写出AP 的长．(2)拓展应用：正方形ABCD 的边长为8，点P 在边AD 上，将ABP 沿直线BP 翻折，使得点A 落在正方形内的点M 处，连接DM 并延长交正方形ABCD 一边于点G ．当BG DP 时，则DP 的长为___________．18．（2022·江苏无锡·统考一模）菱形ABCD 中，tan D E 在AD 边上，F 在BC 边上，(1)如图1若点F 与点B 重合且6AB ，以直线EB 为轴，将菱形ABCD 折叠，使点C 、D 分别落在点C 、D ¢，且90C AD ，请求出C A 的长．(2)如图2以直线EF 为轴，将菱形ABCD 折叠，使点C 、D 分别落在点C 、D ¢，且C D 过点A ，当C F AB 时，请求出BFFC的值．2119．（2021·吉林·统考中考真题）如图①，在Rt ABC 中，90ACB ，60A ，CD 是斜边AB 上的中线，点E 为射线BC 上一点，将BDE △沿DE 折叠，点B 的对应点为点F．（1）若AB a =．直接写出CD 的长（用含a 的代数式表示）；（2）若DF BC ，垂足为G ，点F 与点D 在直线CE 的异侧，连接CF ，如图②，判断四边形ADFC 的形状，并说明理由；（3）若DF AB ，直接写出BDE 的度数．22。
七年级数学试卷平面图形的认识(二)压轴解答题专题练习(附答案)
七年级数学试卷平面图形的认识（二）压轴解答题专题练习(附答案)一、平面图形的认识（二）压轴解答题1．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F.（1）如（图1），当AE⊥BC时，求证：DE∥AC（2）若∠C＝2∠B，∠BAD＝x°（0＜x＜60）①如（图2），当DE⊥BC时，求x的值.②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由.2．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE 和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n.（1）如图①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC = ________°；（2）如图②，若∠BEC=140°，求∠BE1C的度数；（3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BE n C = ________ °.3．综合与实践：七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线.（1）知识初探如图1，长方形纸条ABCD中，，，，将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在处，点D落在处，交CD于点G.①若，求的度数；②若，则▲（用含的式子表示）（2）类比再探如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处，点B落在处，得到折痕，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？并说明理由.4．己知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间。
（1）如图①，试说明：∠AEC=∠BAE+∠ECD；（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿射线CD平移至FG。
初中数学试卷分类汇编平面图形的认识(二)压轴解答题(含答案)
初中数学试卷分类汇编平面图形的认识（二）压轴解答题(含答案)一、平面图形的认识（二）压轴解答题1．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F.（1）如（图1），当AE⊥BC时，求证：DE∥AC（2）若∠C＝2∠B，∠BAD＝x°（0＜x＜60）①如（图2），当DE⊥BC时，求x的值.②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由.2．综合与实践：七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线.（1）知识初探如图1，长方形纸条ABCD中，，，，将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在处，点D落在处，交CD于点G.①若，求的度数；②若，则▲（用含的式子表示）（2）类比再探如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处，点B落在处，得到折痕，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？并说明理由.3．如图1，已知点A，点D在BC上方，过点A，D分别作CD，AB的平行线，两条平行线交于点M(点M在BC下方)，且与BC分别交于E，F两点，连结AD。
（1）∠BAM与∠CDM相等吗？请说明理由。
（2）根据题中条件，判断∠AEF，∠DFE，∠BAE三个角之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，Q是AD下方一点，连结AQ，DQ，且∠DAQ= ∠BAD，∠ADQ= ∠ADC，若∠AQD=112°，请直接写出∠BAE的度数。
4．如图，在中，，点D在上，又在的垂直平分线l上，点E在的延长线上，点F在上， .（1）试说明： .（2）若平分，求的度数.5．如图，现有一块含有30°的直角三角板ABC，且l1∥l2，其中∠ABC=30°。
（1）如图(1)，当直线l1 和l2分别过三角板ABC的两个顶点时，且∠1=35°，则∠2=________°（2）如图(2)，当∠ADE=80°时，求∠GFB的度数。
专题7.9第7章平面图形的认识(二)单元测试-2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典
专题7.9第7章平面图形的认识（二）单元测试（基础卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式即可．【解析】设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：6﹣3＜x＜6+3，解得：3＜x＜9，故选：C．2．（2020春•溧阳市期末）如图，a∥b，c∥d，则图中与∠1互补的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的性质解答即可．【解析】∵a∥b，c∥d，∴∠2＝∠3，∠1+∠2＝180°，∴∠1+∠3＝180°，∵∠3＝∠4，∠2＝∠5，∴∠1+∠4＝180°，∠1+∠5＝180°，故选：D．3．（2020•庆云县模拟）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】先根据余角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解析】∵直角三角板的直角顶点在直线a上，∠1＝30°，∴∠3＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝60°，故选：D．4．（2020春•魏县期末）下列图形中有稳定性的是（）A．正方形B．长方形C．直角三角形D．平行四边形【分析】稳定性是三角形的特性．【解析】根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有直角三角形具有稳定性．故选：C．5．（2020春•高淳区期末）下列图形中，由AB∥CD能得到∠1＝∠2的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线的性质求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解析】A、∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，故A正确；B、∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°，故A错误；C、∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠CDA，若AC∥BD，可得∠1＝∠2；故C错误；D、若梯形ABCD是等腰梯形，可得∠1＝∠2，故D错误．故选：A．6．（2020春•兴化市月考）下列现象中，属于平移的是（）①小朋友在荡秋千；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④瓶装饮料在传送带上移动．A．①②B．①③C．②③D．②④【分析】根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解．【解析】①小朋友在荡秋千是旋转，不属于平移；②打气筒打气时，活塞的运动，属于平移；③钟摆的摆动是旋转，不属于平移；④瓶装饮料在传送带上移动，属于平移．故选：D．7．（2020秋•姑苏区期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，将∠A折叠，使点A落在边CB 上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝（）A．16°B．20°C．26°D．28°【分析】利用三角形内角和定理求出∠B，再利用翻折不变性以及三角形的外角的性质求解即可．【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝58°，∴∠B＝90°﹣∠A＝32°，由翻折的性质可知，∠CA′D＝∠A＝58°，∵∠CA′D＝′B+′A′DB，∴∠A′DB＝58°﹣32°＝26°，故选：C．8．（2020春•灌云县校级月考）若一个正多边形的外角等于其内角，则这个正多边形的边数为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据一个正多边形的外角等于其内角，可得外角度数，再根据外角和得出这个正多边形的边数．【解析】∵正多边形的外角等于其内角，∴外角和内角均为90°，又∵多边形的外角和等于360°，∴这个正多边形的边数为360°÷90°＝4，故选：B．9．（2020春•工业园区校级期中）如图，下列推理中正确的是（）A．∵∠1＝∠4，∴BC∥ADB．∵∠2＝∠3，∴AB∥CDC．∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BCD．∵∠CBA+∠C＝180°，∴BC∥AD【分析】结合图形分析相等或互补的两角之间的关系，根据平行线的判定方法判断．【解析】A、∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，故选项错误；B、∵∠2＝∠3，∴BC∥AD，故选项错误；D、∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，故选项正确；C、∵∠CBA+∠C＝180°，∴AB∥CD，故选项错误．故选：C．10．（2020春•邳州市期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：①如果∠2＝30°，则AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，则∠4＝∠C．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．【解析】∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，∴∠1＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正确；∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；∵BC∥AD，∠B＝45°，∴∠3＝∠B＝45°，∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，∴∠2＝45°，故③错误；∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAE＝30°，∵∠E＝60°，∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，∴∠4+∠B＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∵∠C＝45°，∴∠4＝∠C，故④正确；所以其中正确的结论有①②④，3个．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•大安市期末）如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是三角形的稳定性．【分析】根据三角形的稳定性进行解答．【解析】给凳子加了两根木条之后形成了三角形，所以“这样凳子就比较牢固了”的数学原理是：三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．12．（2020秋•松山区期末）在△ABC中，∠A=12∠B=13∠C，则∠B＝60度．【分析】本题考查的是三角形内角和定理．设∠A为X，然后根据三角形内角和为180°的等量关系求解即可．【解析】设∠A为x．x+2x+3x＝180°⇒x＝30°．∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．故填60．13．（2020秋•沭阳县期中）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、AE，则∠CAE的度数为60°．【分析】由正六边形的性质得出∠B＝∠BAF＝∠F＝120°，BC＝AB＝AF＝FE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠BAC＝∠BCA＝30°，∠F AE＝∠FEA＝30°，求出∠CAE＝60°．【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠B＝∠BAF＝∠F＝120°，BC＝AB＝AF＝FE，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∠F AE＝∠FEA＝30°，∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠F AE＝120°﹣30°﹣30°＝60°．故答案为：60°．14．（2020春•溧阳市期末）如图，现将一块含有30°角的直角三角板的顶点放在平行线的一条直线上，与另一条直线的夹角为∠2，若∠1＝2∠2，那么∠1＝80°．【分析】根据平行线的性质得出∠3＝∠2，进而利用平角解答即可．【解析】∵a∥b，∴∠2＝∠3，∴∠1+60°+∠3＝180°，∵∠1＝2∠2，∴2∠2+60°+∠2＝180°，∴∠2＝40°，∴∠1＝2∠2＝80°，故答案为：80°．15．（2020春•崇川区校级月考）如图，AB∥CD，∠A＝75°，∠C＝30°，∠E的度数为45°．【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF及∠CEF的度数，再结合∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF即可求出∠AEC的度数．【解析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示.∵EF∥AB，EF∥CD，∴∠AEF＝∠A＝75°，∠CEF＝∠C＝30°，∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝75°﹣30°＝45°．故答案为：45°．16．（2020秋•靖江市期中）如图，将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开．如果∠1＝66°，那么∠2＝48°．【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到∠2的度数，从而可以解答本题．【解析】由折叠的性质可知，∠1＝∠3，∵∠1＝66°，∴∠3＝66°，∵长方形的两条长边平行，∴∠2+∠1+∠3＝180°，∴∠2＝48°，故答案为：48°．17．（2020秋•溧阳市期中）如图，△DEF是由△ABC沿直线BC向右平移得到，若BC＝6，当点E刚好移动到BC的中点时，则CF＝3．【分析】根据平移性质得出BC＝EF，BE＝CF，进而解答即可．【解析】由平移的性质可得：BC＝EF，BE＝CF，∵BC＝6，点E刚好移动到BC的中点，∴BE＝EC＝CF＝3，故答案为：3．18．（2020春•高新区期中）如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝45°．【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得∠BFD的度数，本题得以解决．【解析】∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2，∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC，∴∠ABE+∠EDC＝90°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠1+∠3＝45°，∵∠5＝∠2+∠3，∴∠5＝∠1+∠3＝45°，即∠BFD＝45°，故答案为：45°．三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•亭湖区校级期中）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，其中每个格子的边长为1个单位长度．（1）画出△ABC边AB上的高；（2）请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段之间的关系是平行且相等．【分析】（1）依据三角形高线的概念即可得到△ABC边AB上的高；（2）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的三角形A′B′C′；（3）依据平移的性质，即可得到BB′，CC′这两条线段之间的关系是平行且相等．【解析】（1）如图所示，CD即为△ABC的边AB上的高；（2）如图所示，△A'B'C'即为所求；（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段之间的关系是平行且相等．故答案为：平行且相等．20．（2020秋•大安市期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形的边数是多少？【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1260度．n 边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）•180＝360×3+180，解得：n＝9．则这个多边形的边数是9．21．（2019春•新沂市期末）请将下列证明过程补充完整：已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD证明：∵CE平分∠ACD∴∠2＝∠ECD（角平分线的定义_），∵∠1＝∠2．（已知）∴∠1＝∠ECD（等量代换）∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）【分析】根据平行线的判定依据角平分线的定义即可解决问题．【解析】证明：∵CE平分∠ACD∴∠2＝∠ECD（角平分线的定义），∵∠1＝∠2．（已知）∴∠1＝∠ECD（等量代换））∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．故答案为：2，ECD，角平分线的定义，ECD，等量代换，内错角相等两直线平行．22．（2019秋•沛县期末）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上任意一点，（1）过点P分别画OA、OB的垂线，垂足分别为N，M．并通过测量发现PM＝PN．（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）过点P画OA的平行线，交OB于点Q．通过测量发现PQ＝OQ．（填“＞”或“＜”或“＝”）（3）直接判断PQ与PM的大小关系，并说明理由．【分析】（1）通过测量可得结论；（2）通过测量可得结论；（3）由垂线段最短可求解．【解析】如图，（1）可得PM＝PN；（2）PQ＝OQ；（3）由垂线段最短可得，PQ＞PM．23．（2020春•泰兴市期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）若∠A＝45°，∠BDC＝60°，求∠BED的度数；（2）若∠A﹣∠ABD＝31°，∠EDC＝76°，求∠A的度数．【分析】（1）由外角的性质可得∠ABD＝15°，由角平分线的性质可得∠EBC＝30°，由平行线的性质可求解；（2）由外角的性质和平行线的性质可得∠A+2∠ABD＝76°，解方程组可求解．【解析】（1）∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣45°＝15°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠EBC＝2∠ABD＝30°，∵DE∥BC，∴∠BED+∠EBC＝180°，∴∠BED＝180°﹣30°＝150°；（2）∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC＝∠ABD，∵∠EDC＝∠EDB+∠BDC＝∠EDB+∠A+∠ABD，∴∠A+2∠ABD＝76°，又∵∠A﹣∠ABD＝31°，∴∠A＝46°．24．（2020春•泰兴市期末）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且EF∥AD．求证：∠AGF＝∠F．【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，可以证明结论成立．【解析】证明：∵EF∥AD，∴∠F＝∠DAC，∠AGF＝∠GAD，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠GAD＝∠DAC，∴∠AGF＝∠F．25．（2020春•邳州市期末）已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC．（2）如图2，若BD⊥BC，BD与CE交于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE，∠BAC＝∠BAD时，直接写出∠BAD的度数为99°．【分析】（1）根据AC∥BD，可得∠DAE＝∠D，再根据∠C＝∠D，即可得到∠DAE＝∠C，进而判定AD∥BC；（2）根据∠CGB是△ADG是外角，即可得到∠CGB＝∠D+∠DAE，再根据△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，即可得到∠D+∠DAE+∠C＝90°，进而得出2∠C+∠DAE＝90°；（3）设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∠AFD＝180°﹣8α，根据DF∥BC，即可得到∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，再根据2∠C+∠DAE＝90°，即可得到2（180°﹣8α）+α＝90°，求得α的值，即可运用三角形内角和定理得到∠BAD的度数．【解析】（1）如图1，∵AC∥BD，∴∠DAE＝∠D，又∵∠C＝∠D，∴∠DAE＝∠C，∴AD∥BC；（2）∠EAD+2∠C＝90°．证明：如图2，设CE与BD交点为G，∵∠CGB是△ADG是外角，∴∠CGB＝∠D+∠DAE，∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，∴∠D+∠DAE+∠C＝90°，又∵∠D＝∠C，∴2∠C+∠DAE＝90°；（3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∵∠DFE+∠AFD＝180°，∴∠AFD＝180°﹣8α，∵DF∥BC，∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，又∵2∠C+∠DAE＝90°，∴2（180°﹣8α）+α＝90°，∴α＝18°，∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，∴∠ABC＝∠ABD=12∠CBD＝45°，∴△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．故答案为：99°．26．（2020春•姑苏区期中）已知：直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M为两平行线内部一点．（1）如图1，∠AEM，∠M，∠CFM的数量关系为∠M＝∠AEM+∠CFM；（直接写出答案）（2）如图2，∠MEB和∠MFD的角平分线交于点N，若∠EMF等于130°，求∠ENF的度数；（3）如图3，点G为直线CD上一点，延长GM交直线AB于点Q，点P为MG上一点，射线PF、EH相交于点H，满足∠PFG=13∠MFG，∠BEH=13∠BEM，设∠EMF＝α，求∠H的度数（用含α的代数式表示）．【分析】（1）过点M作ML∥AB，利用平行线的性质可得∠1＝∠AEM，∠2＝∠CFM，由∠EMF＝∠1+∠2，等量代换可得结论；（2）过M作ME∥AB，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．（3）如图3中设∠BEH＝x，∠PFG＝y，则∠BEM＝3x，∠MFG＝3y，设EH交CD于K．证明∠H＝x ﹣y，求出x﹣y即可解决问题．【解析】（1）如图1，过点M作ML∥AB，∵AB∥CD，∴ML∥AB∥CD，∴∠1＝∠AEM，∠2＝∠CFM，∵∠EMF＝∠1+∠2，∴∠M＝∠AEM+∠CFM．故答案为：∠M＝∠AEM+∠CFM；（2）如图2，过M作ME'∥AB，∵AB∥CD，∴ME'∥CD，∴∠BEM+∠2＝∠DFM+∠4＝180°，∴∠BEM＝180°﹣∠2，∠DFM＝180°﹣∠4，∵EN，FN分别平分∠MEB和∠DFM，∴∠1=12∠BEM，∠3=12∠DFM，∴∠1+∠3=12（180°﹣∠2）+12（180°﹣∠4）＝180°−12×（∠2+∠4）＝180°−12×130°＝115°，∴∠ENF＝360°﹣∠1﹣∠3﹣∠E'MF＝360°﹣115°﹣130°＝115°；（3）如图3中设∠BEH＝x，∠PFG＝y，则∠BEM＝3x，∠MFG＝3y，设EH交CD于K．∵AB∥CD，∴∠BEH＝∠DKH＝x，∵∠PFG＝∠HFK＝y，∠DKH＝∠H+∠HFK，∴∠H＝x﹣y，∵∠EMF＝α＝∠AEM+∠MFG，∴∠EMF＝180°﹣3x+3y＝α∴x﹣y＝60°−13α，∴∠H＝60°−13α．。
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专题16 第7章《平面图形的认识（二）》中翻折问题尖
子生培优训练
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题（本大题共7小题，共70分）
1.(1)如图①，在△ABC中，点D是BC边上的一点，将△ABD沿AD折叠，得到△AED，
AE与BC交于点F.已知∠B=50°，∠BAD=15°，求∠AFC的度数．
(2)如图②，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位
置，∠1、∠2与∠A之间存在一定的数量关系，请判断它们之间的关系，并说明理由．
(3)如图③，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位
置，此时∠1、∠2与∠A之间也存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的关系，无需说明理由．
2.在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，
边AE交射线BC于点F．
(1)如(图1)，当AE⊥BC时，求证：DE//AC
(2)若∠C=2∠B，∠BAD=x°(0<x<60)
①如(图2)，当DE⊥BC时，求x的值．
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不
存在，请说明理由．
3.喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏．
如图1，纸条的一组对边PN//QM(纸条的长度视为可延伸)，在PN，QM上分别找
一点A，B，使得∠ABM=α．
如图2，将纸条作第一次折叠，使BM′与BA在同一条直线上，折痕记为BR1．
解决下面的问题：
(1)聪明的小白想计算当α=90°时，∠BR1N′的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：
如图3，PN//QM，A，B分别在PN，QM上，且∠ABM=90°，由折叠：BR1平分______，BM′//R1N′，求∠BR1N′的度数．
(2)聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条(如图4)，是否有可能使AM′′⊥BR1？如果能，请直接写出此时α的度数；如果不能，请说明理由．
(3)笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<α≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使BM′与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2(如图5)；将纸条展开，作第三次折叠，使BM′与BR2在同一条直线上，折痕记为BR3；…以此类推．
①第二次折叠时，∠BR2N′=______(用α的式子表示)；
②第n次折叠时，∠BR n N′=______(用α和n的式子表示)．
4.人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关
系”，部分原文如下：
如图，在△ABC中，如果AB>AC，那么我们可以将△ABC折桑，使边AC落在AB 上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则∠C=∠ADE
∵∠ADE>∠B(想一想为什么)，
∴∠C>∠B.
(1)请证明上文中的∠ADE>∠B；
(2)如图，在ΔABC中，如果∠ACB>∠B，能否证明AB>AC？
同学小雅提供了一种方法：将ΔABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明；
(3)如图，在ΔABC中，∠C=2∠B，按照(1)的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E
作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA=110∘，求∠DEM的度数．
5.(1)如图1，将长方形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落
在点C’处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为______°；
(2)小明手中有一张长方形纸片ABCD，AB=12，AD=27.【算一算】
如图2，点F在这张长方形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A’，B’处，若AG=7，求B’D的长．
【画一画】
如图3，点E在这张长方形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN(点M，N分别在边AD，BC上)，利用直尺和圆规画出折痕MN(不写作法，保留作图痕迹)；
6.如图1，点D为△ABC边BC的延长线上一点．
(1)若，，求的度数；
(2)若的角平分线与的角平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P.
求证：；
(3)在(2)的条件下，将△MBC沿直线BC翻折得到△NBC，的角平分线与
的角平分线交于点Q(如图2)，则∠BQC与∠A的数量关系是_____________________．
7.如图①，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿
∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…将余下部分沿∠B n A n C(n为正整数)的平分线A n B n+1折叠，点Bn与点C重合．无论折叠多少次，只要最后一次B n与点C恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．
情形一：如图②，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC是平分线AB1折叠，点B与点C重合；
情形二：如图③，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．
【探究发现】
(1)如图③，△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？
______.(填：“是”或“不是”)
(2)归纳猜想：
①如图④，小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C(∠B>∠C)之间的等量关系，并说明理由．
②根据以上内容猜想：若经过n(n为正整数)次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C(∠B>∠C)之间的等量关系为______.(直接写出结论)
【应用提升】
(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．。