概率论课件：第二章随机变量及其概率分布
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章
随机变量及其概率分布
（一）基本题 27.假设随机变量 X~N（0，1） ，求下列随机变量 Y 的概率密度函数：
(1)Y = e X ; (2)Y = 2 X 2 + 1; (3)Y = X . 26.假设随机变量 X 具有连续的分布函数 F ( x) ，证明: Y = F ( X ) 在区间（0,1）上服从均匀
分布.
⎧e − x , x ≥ 0, 25.设随机变量X的概率密度为fX(x)= ⎨ 求随机变量Y=ex的概率密度fY(y). ⎩ 0, x < 0,
24.随机变量X服从（0,2）上的均匀分布，试求随机变量Y=X2的概率密度 f Y ( y ) .
⎛1 2 23.设随机变量 X 的分布律为 ⎜ 1 1 ⎜ ⎝2 4 n 1 2n ⎞ ⎟, Y = sin π X ，求 Y 的分布律。 ⎟ 2 ⎠
它意味着第 i 次（ i ≥ k ）成功，且 i − 1 次试验中成功 k − 1 次，设这两个事件分别为A1 ，A2，
则A = A 1 A 2 , 且P(A) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 )(A 1与A 2 独立 ), 而 P(A 1 ) = p,
1 k −1 1 k −1 i − k P( A2 ) = Cik−− ⋅ q i −1−( k −1) = Cik−− q . 1 p 1 ⋅ p
7、解 设 X=｛该外国人在 5 个选择题中答对的题数｝ ，则 X~B（5， 1 / 4 ）.又设 A=｛答
对题数不少于两题｝ ，则依题设知 P ( A) =
∑
k =3
5
P{X = k } =
∑C
k =3
5
k 5
1 3 ( ) k ( ) 5− k = 0.1035. 4 4
8、解 设 X=｛180 台同类设备中同时发生故障的设备的台数｝ ，则 X~B（180，0.01）.又
13.设随机变量 X 的概率密度为
k 的取值范围. 12.已知随机变量 X 的概率密度函数 f ( x) = 11.设连续型随机变量 X 的分布函数为
1 −x e ,−∞ < x < +∞ ，试求 X 的分布函数. 2
⎧a + b exp(− x 2 / 2), x ≥ 0 F ( x) = ⎨ x < 0, ⎩0,
∴ X 的分布律为：
P{X = 0} = P ( A1 ) = 1 / 2; P{X = 1} = P ( A1 A2 ) = 1 / 2 2 ; P{X = 2} = P ( A1 A2 A3 ) = 1 / 2 3 ;
X Pi
0
1
2
3
1 2
1 4
1 8
1 8
3、解 设“ξ=k”表示前 k 次取出白球，第 k+1 次取黑球，则ξ的分布列为 m(m − 1) (m − k + 1)(n − m) P(ξ = k ) = (k = 0,1, , m). n(n − 1) (n − k ) 4、解 （1）∵
17.设某地长为 t 的时间内发生地震的次数 N(t)服从参数为λt 的泊松分布，设 T 表示相邻 两次地震之间的时间间隔.（1）求 T 的分布函数； （2）求连续 5 年未发生地震的情形下，在未 来 5 年内仍不会发生地震的概率 Q. 16.考虑一元二次方程 x 2 + Bx + C = 0 ，其中 B，C 分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现 的点数，求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q.
3
设配备 N 个维修人员，则所求概率为
P{X > N } = P{X ≥ N + 1} =
180
k = N +1
∑ P{X = k}
k 180 − k
180
k ， 而 P{X = k } = C180 (0.01) k (0.99)180 − k ， 故
P{X > N } =
k = N +1
∑
c (0.01) (0.99)
22 、 解 21.设随机变量 X 的概率密度
Y = 2}. 以 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件 {X ≤ 1 / 2} 出现的次数，求 p{
20.在电源电压不超过 200V、在 200~240V和超过 240V三种情形下，某种电子元件损坏的 概率分别为 0.1、0.001 和 0.2，假设电源电压X服从正态分布N(220,252)，试求： （1）该电子元 件损坏的概率 α ； （2）该电子元件损坏时，是电源电压在 200V~240V的概率β. 19.某种电池的寿命 X 服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) ，其中μ=300h, σ = 35h. （1）求电池寿命 在 250h 以上的概率； （2）求 x ，使寿命在 μ − x 与
∑ P( X = k ) =∑ 15 = 15 ∑ = 15 × 5 = 3 = 1,
k =1 k =1 k =1
5
5
c
c
5
c
c
∴ c = 3.
1 ≤ X ≤ 3} = （2） P{
∑
1 3 = . 5 5 k =1
3
（3） P{0.5 < X < 2.5} =
∑ 5 = 5.
k =1
2
1
2
5、解 设进行了 i 次试验，其中有k次试验成功之事件设为A，则此事件包含有两层意思：
=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398,
P{X = 2} = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) =0.092，
因此，X 的概率分布为
P{X = 3} = P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) =0.1×0.2×0.3=0.006.
（1）试确定常数 C； （2）求 P{ 1 ≤ X ≤ 3} ； （3） P{0.5 < X < 2.5} .
不放回地连续从袋中取球， 直到取出黑球为止. 3.一个口袋中装有 m 个白球，n − m 个黑球， 设此时已经取出了 X 个白球，试求 X 的分布律.
2
2.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与
P ( A3 ) = 0.30. 由于A1，A2，A3相互独立，因此，有
P{X = 1} = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 )
P{X = 0} = P( A 1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = (1 − 0.1) × (1 − 0.2) × (1 − 0.3) = 0.504,
1
15.某型号的飞机雷达发射管的寿命 X（单位：h）服从参数为
1 的指数分布，求下列事 200
件的概率， （1）发射管的寿命不超过 100h； （2）发射管的寿命超过 300h. 14.设某地区每天的用电量 X（单位：100 万 KW）是一连续型随机变量，其概率密度
⎧12 x(1 − x) 2 , 0 < x < 1 f ( x) = ⎨ 其他 ⎩0,
于是，所需试验次数 X 的分布律为
1 k −1 i − k 1 k i−k P{X = i} = p ⋅ cik−− q = cik−− (i = k , k + 1, ; q = 1 − p). 1 p 1 p q 6 、解：设ξ为该种商品每月销售数，则 ξ～π（ 7 ） ， x 为该种商品每月进货数，则 P(ξ ≤ x) ≥ 0.999 .查普哇松分布的数值表，得 x ≥13.
假设该地区每天的供电量仅有 80 万 KW，求该地区每天供电量不足的概率.若每天的供电量上 升到 90 万 KW，每天供电量不足的概率又是多少？ ⎧1 / 3, x ∈ [0,1] ⎪ f ( x) = ⎨2 / 9, x ∈ [3,6] ⎪0, 其它. ⎩ 若 k 使得 P{X ≥ k } = 2 / 3 ，试求
X
0
1
2
3
P 0.504 0.398 0.092 0.006 10、解 F(x)为一阶梯状函数，则 X 可能取得值为 F(x)的跳跃点： −1 ，1，3 P ( X = −1) = F (−1) − F ( −1 − 0) = 0.4, P ( X = 1) = F (1) − F (1 − 0) = 0.8 − 0.4 = 0.4,
π 3π ⎞ ⎛ π 0 ⎟ 22.设随机变量 X 的分布律为 ⎜ 2 2 ⎟ ，求 Y 的分布律： ⎜ ⎝ 0.3 0.2 0.4 0.1 ⎠
（1） Y = ( 2 X − π ) ;
2
（2） Y = cos( 2 X − π ). ⎧2 x , 0 < x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩0 , 其它
μ + x 之间的概率不小于 0.9.
18.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布 N (72, σ 2 ) ，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率. [附表] x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.500 0.692 表中 Φ( x) 是标准正态分布函数. Φ ( x) 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999
, ( 2,6),
, (6,1),
例如(6,1) , (6,6)} .这里，
8
5 36
9
4 36
10
3 36
11
2 36
12
1 36
PK
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
概率 P{X = k }, k = 0,1,2,3.
2、分析： 显然 X 服从离散型概率分布，而且 X 的可能取值为 0，1，2，3.问题归结为求
（1）求常数 a 和 b； （2）求随机变量 X 的概率密度函数. 10.设随机变量 X 的分布函数
x < −1 ⎧ 0, ⎪0.4, − 1 ≤ x < 1 ⎪ F ( x) = P{X ≤ x} = ⎨ ⎪0.8, 1 ≤ x < 3 ⎪ x ≥ 3, ⎩ 1,
试求 X 的分布律.
9.一台设备由三大部件构成，在设备运行中各部件需要调整的概率相应为 0.10，0.20 和 0.30，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 X 的概率分布. 8.为保证设备的正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员.现有同类设备 180 台，且各 台工作相互独立，任意时刻发生故障的概率都是 0.01，假设一台设备的故障需一人进行修理， 问至少应配备多少名修理工人，才能保证设备发生故障后能得到及时维修的概率不小于 0.99？ 7.一个完全不懂中文的外国人去瞎懵一个中文考试，假设此考试有 5 个选择题，每题有 4 种选择，其中只有一种答案是正确的.试求：他居然能答对三题以上而及格的概率. 6.设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为 5 的泊松分布，问在月初进货时要库存 此种商品多少，才能保证当月不脱销的概率为 0.999. 5.设一个试验只有两种结果：成功或失败，且每次试验成功的概率为 p(0<p<1)，现反复试 验，直到获得 k 次成功为止.以 X 表示试验停止时一共进行的试验次数，求 X 的分布律. 4.设离散型随机变量 X 的分布律为 P{X = k } = c / 15, k = 1,2,3,4,5. .
其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红 灯前已通过的路口的个数，求 X 的分布律. 1.掷一颗匀称的骰子两次，以 X 表示前后两次出现的点数之和，求 X 的分布律. （二）解答 1、 解 样本空间 V = {(1,1), (1,2), , (1,6), (2,1), ( 2,2), 表示掷第一次得 6 点，掷第二次得 1 点.其余类推. 以 X 表示两次所得点数的和.则 X 的分布律为 X 2 3 4 5 6 7
解：由题设，X的可能值为 0，1，2，3. 以 Ai (i = 1,2,3) 表示事件“汽车在第i个路口 遇到
红灯” ；A1，A2，A3相互独立，且 P ( Ai ) = P ( Ai ) = 1 / 2, i = 1,2,3. 于是
P{X = 3} = P( A1 A2 A3 ) = 1 / 2 3 .
k 180
(1.8) k −1.8 ≈ ∑ e k! k = N +1
∞
，
这
里Байду номын сангаас
np = 180 × 0.01 = 1.8 = λ .
欲使
1.8 k −1.8 e ≤ 1 − 0.99 = 0.01 ，查泊松分布表，可知 N+1=7，因而至少应配备 6 名工人. k! k = N +1
∑
∞
，则 P ( A1 ) = 0.10, P ( A2 ) = 0.20, 9、解 设 Ai = {部件 i需要调整 }（ i =1,2,3）
随机变量及其概率分布
（一）基本题 27.假设随机变量 X~N（0，1） ，求下列随机变量 Y 的概率密度函数：
(1)Y = e X ; (2)Y = 2 X 2 + 1; (3)Y = X . 26.假设随机变量 X 具有连续的分布函数 F ( x) ，证明: Y = F ( X ) 在区间（0,1）上服从均匀
分布.
⎧e − x , x ≥ 0, 25.设随机变量X的概率密度为fX(x)= ⎨ 求随机变量Y=ex的概率密度fY(y). ⎩ 0, x < 0,
24.随机变量X服从（0,2）上的均匀分布，试求随机变量Y=X2的概率密度 f Y ( y ) .
⎛1 2 23.设随机变量 X 的分布律为 ⎜ 1 1 ⎜ ⎝2 4 n 1 2n ⎞ ⎟, Y = sin π X ，求 Y 的分布律。 ⎟ 2 ⎠
它意味着第 i 次（ i ≥ k ）成功，且 i − 1 次试验中成功 k − 1 次，设这两个事件分别为A1 ，A2，
则A = A 1 A 2 , 且P(A) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 )(A 1与A 2 独立 ), 而 P(A 1 ) = p,
1 k −1 1 k −1 i − k P( A2 ) = Cik−− ⋅ q i −1−( k −1) = Cik−− q . 1 p 1 ⋅ p
7、解 设 X=｛该外国人在 5 个选择题中答对的题数｝ ，则 X~B（5， 1 / 4 ）.又设 A=｛答
对题数不少于两题｝ ，则依题设知 P ( A) =
∑
k =3
5
P{X = k } =
∑C
k =3
5
k 5
1 3 ( ) k ( ) 5− k = 0.1035. 4 4
8、解 设 X=｛180 台同类设备中同时发生故障的设备的台数｝ ，则 X~B（180，0.01）.又
13.设随机变量 X 的概率密度为
k 的取值范围. 12.已知随机变量 X 的概率密度函数 f ( x) = 11.设连续型随机变量 X 的分布函数为
1 −x e ,−∞ < x < +∞ ，试求 X 的分布函数. 2
⎧a + b exp(− x 2 / 2), x ≥ 0 F ( x) = ⎨ x < 0, ⎩0,
∴ X 的分布律为：
P{X = 0} = P ( A1 ) = 1 / 2; P{X = 1} = P ( A1 A2 ) = 1 / 2 2 ; P{X = 2} = P ( A1 A2 A3 ) = 1 / 2 3 ;
X Pi
0
1
2
3
1 2
1 4
1 8
1 8
3、解 设“ξ=k”表示前 k 次取出白球，第 k+1 次取黑球，则ξ的分布列为 m(m − 1) (m − k + 1)(n − m) P(ξ = k ) = (k = 0,1, , m). n(n − 1) (n − k ) 4、解 （1）∵
17.设某地长为 t 的时间内发生地震的次数 N(t)服从参数为λt 的泊松分布，设 T 表示相邻 两次地震之间的时间间隔.（1）求 T 的分布函数； （2）求连续 5 年未发生地震的情形下，在未 来 5 年内仍不会发生地震的概率 Q. 16.考虑一元二次方程 x 2 + Bx + C = 0 ，其中 B，C 分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现 的点数，求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q.
3
设配备 N 个维修人员，则所求概率为
P{X > N } = P{X ≥ N + 1} =
180
k = N +1
∑ P{X = k}
k 180 − k
180
k ， 而 P{X = k } = C180 (0.01) k (0.99)180 − k ， 故
P{X > N } =
k = N +1
∑
c (0.01) (0.99)
22 、 解 21.设随机变量 X 的概率密度
Y = 2}. 以 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件 {X ≤ 1 / 2} 出现的次数，求 p{
20.在电源电压不超过 200V、在 200~240V和超过 240V三种情形下，某种电子元件损坏的 概率分别为 0.1、0.001 和 0.2，假设电源电压X服从正态分布N(220,252)，试求： （1）该电子元 件损坏的概率 α ； （2）该电子元件损坏时，是电源电压在 200V~240V的概率β. 19.某种电池的寿命 X 服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) ，其中μ=300h, σ = 35h. （1）求电池寿命 在 250h 以上的概率； （2）求 x ，使寿命在 μ − x 与
∑ P( X = k ) =∑ 15 = 15 ∑ = 15 × 5 = 3 = 1,
k =1 k =1 k =1
5
5
c
c
5
c
c
∴ c = 3.
1 ≤ X ≤ 3} = （2） P{
∑
1 3 = . 5 5 k =1
3
（3） P{0.5 < X < 2.5} =
∑ 5 = 5.
k =1
2
1
2
5、解 设进行了 i 次试验，其中有k次试验成功之事件设为A，则此事件包含有两层意思：
=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398,
P{X = 2} = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) =0.092，
因此，X 的概率分布为
P{X = 3} = P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) =0.1×0.2×0.3=0.006.
（1）试确定常数 C； （2）求 P{ 1 ≤ X ≤ 3} ； （3） P{0.5 < X < 2.5} .
不放回地连续从袋中取球， 直到取出黑球为止. 3.一个口袋中装有 m 个白球，n − m 个黑球， 设此时已经取出了 X 个白球，试求 X 的分布律.
2
2.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与
P ( A3 ) = 0.30. 由于A1，A2，A3相互独立，因此，有
P{X = 1} = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 )
P{X = 0} = P( A 1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = (1 − 0.1) × (1 − 0.2) × (1 − 0.3) = 0.504,
1
15.某型号的飞机雷达发射管的寿命 X（单位：h）服从参数为
1 的指数分布，求下列事 200
件的概率， （1）发射管的寿命不超过 100h； （2）发射管的寿命超过 300h. 14.设某地区每天的用电量 X（单位：100 万 KW）是一连续型随机变量，其概率密度
⎧12 x(1 − x) 2 , 0 < x < 1 f ( x) = ⎨ 其他 ⎩0,
于是，所需试验次数 X 的分布律为
1 k −1 i − k 1 k i−k P{X = i} = p ⋅ cik−− q = cik−− (i = k , k + 1, ; q = 1 − p). 1 p 1 p q 6 、解：设ξ为该种商品每月销售数，则 ξ～π（ 7 ） ， x 为该种商品每月进货数，则 P(ξ ≤ x) ≥ 0.999 .查普哇松分布的数值表，得 x ≥13.
假设该地区每天的供电量仅有 80 万 KW，求该地区每天供电量不足的概率.若每天的供电量上 升到 90 万 KW，每天供电量不足的概率又是多少？ ⎧1 / 3, x ∈ [0,1] ⎪ f ( x) = ⎨2 / 9, x ∈ [3,6] ⎪0, 其它. ⎩ 若 k 使得 P{X ≥ k } = 2 / 3 ，试求
X
0
1
2
3
P 0.504 0.398 0.092 0.006 10、解 F(x)为一阶梯状函数，则 X 可能取得值为 F(x)的跳跃点： −1 ，1，3 P ( X = −1) = F (−1) − F ( −1 − 0) = 0.4, P ( X = 1) = F (1) − F (1 − 0) = 0.8 − 0.4 = 0.4,
π 3π ⎞ ⎛ π 0 ⎟ 22.设随机变量 X 的分布律为 ⎜ 2 2 ⎟ ，求 Y 的分布律： ⎜ ⎝ 0.3 0.2 0.4 0.1 ⎠
（1） Y = ( 2 X − π ) ;
2
（2） Y = cos( 2 X − π ). ⎧2 x , 0 < x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩0 , 其它
μ + x 之间的概率不小于 0.9.
18.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布 N (72, σ 2 ) ，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率. [附表] x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.500 0.692 表中 Φ( x) 是标准正态分布函数. Φ ( x) 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999
, ( 2,6),
, (6,1),
例如(6,1) , (6,6)} .这里，
8
5 36
9
4 36
10
3 36
11
2 36
12
1 36
PK
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
概率 P{X = k }, k = 0,1,2,3.
2、分析： 显然 X 服从离散型概率分布，而且 X 的可能取值为 0，1，2，3.问题归结为求
（1）求常数 a 和 b； （2）求随机变量 X 的概率密度函数. 10.设随机变量 X 的分布函数
x < −1 ⎧ 0, ⎪0.4, − 1 ≤ x < 1 ⎪ F ( x) = P{X ≤ x} = ⎨ ⎪0.8, 1 ≤ x < 3 ⎪ x ≥ 3, ⎩ 1,
试求 X 的分布律.
9.一台设备由三大部件构成，在设备运行中各部件需要调整的概率相应为 0.10，0.20 和 0.30，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 X 的概率分布. 8.为保证设备的正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员.现有同类设备 180 台，且各 台工作相互独立，任意时刻发生故障的概率都是 0.01，假设一台设备的故障需一人进行修理， 问至少应配备多少名修理工人，才能保证设备发生故障后能得到及时维修的概率不小于 0.99？ 7.一个完全不懂中文的外国人去瞎懵一个中文考试，假设此考试有 5 个选择题，每题有 4 种选择，其中只有一种答案是正确的.试求：他居然能答对三题以上而及格的概率. 6.设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为 5 的泊松分布，问在月初进货时要库存 此种商品多少，才能保证当月不脱销的概率为 0.999. 5.设一个试验只有两种结果：成功或失败，且每次试验成功的概率为 p(0<p<1)，现反复试 验，直到获得 k 次成功为止.以 X 表示试验停止时一共进行的试验次数，求 X 的分布律. 4.设离散型随机变量 X 的分布律为 P{X = k } = c / 15, k = 1,2,3,4,5. .
其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红 灯前已通过的路口的个数，求 X 的分布律. 1.掷一颗匀称的骰子两次，以 X 表示前后两次出现的点数之和，求 X 的分布律. （二）解答 1、 解 样本空间 V = {(1,1), (1,2), , (1,6), (2,1), ( 2,2), 表示掷第一次得 6 点，掷第二次得 1 点.其余类推. 以 X 表示两次所得点数的和.则 X 的分布律为 X 2 3 4 5 6 7
解：由题设，X的可能值为 0，1，2，3. 以 Ai (i = 1,2,3) 表示事件“汽车在第i个路口 遇到
红灯” ；A1，A2，A3相互独立，且 P ( Ai ) = P ( Ai ) = 1 / 2, i = 1,2,3. 于是
P{X = 3} = P( A1 A2 A3 ) = 1 / 2 3 .
k 180
(1.8) k −1.8 ≈ ∑ e k! k = N +1
∞
，
这
里Байду номын сангаас
np = 180 × 0.01 = 1.8 = λ .
欲使
1.8 k −1.8 e ≤ 1 − 0.99 = 0.01 ，查泊松分布表，可知 N+1=7，因而至少应配备 6 名工人. k! k = N +1
∑
∞
，则 P ( A1 ) = 0.10, P ( A2 ) = 0.20, 9、解 设 Ai = {部件 i需要调整 }（ i =1,2,3）