人教版数学选修2-3第一章《计数原理》教案

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一、复习知识点：

1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有n k种方法可以完成。那么，完成这件工作共有n1+n2+……+n k种不同的方法。

2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有n K种不同的方法。那么，完成这件工作共有n1×n2×……×n k种不同方法

二、典型例题

1、.用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有种。

2、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可用，则不同的染色方法共有多少种？

3、用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_______.

4、用0,1,2,3,4五个数字

（1）可以排出多少个三位数字的电话号码？

（2）可以排成多少个三位数？

（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？

5、用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的比2000大的四位奇数______个。

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求以按依次填个空位来考虑，

排列数公式：

=

（）

说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是，共有个因数；

（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列

全排列数：（叫做n 的阶乘）

4.例子：

例1．计算：（1）； （2）； （3）． 解：（1） ＝＝3360 ； （2） ＝＝720 ； （3）＝＝360

例2．（1）若，则 ， ．

（2）若则用排列数符号表

示 ． 解：（1） 17 ， 14 ． （2）若则＝ ．

例3．（1）从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？

（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？

（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？

解：（1）； （2）； （3）

课堂练习：P20 练习 第1题

m

n A m (1)(2)

(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)

(1)m n A n n n n m =---+!()!

n n m -,,m n N m n *

∈≤n 1n m -+m n m =n (1)(2)

21!n

n A n n n n =--⋅=316A 66A 4

6A 3

16A 161514⨯⨯6

6A 6!4

6A 6543⨯⨯⨯17161554m n A =⨯⨯⨯

⨯⨯n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----n =m =,n N ∈(55)(56)

(68)(69)n n n n ----15

69n A -2,3,5,7,112

55420A =⨯=5

554321120A =⨯⨯⨯⨯=2

141413182A =⨯=

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解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；问题可以用“捆绑法”；“分离”2)

(n m -+(1)(2)

21!n n n n =-⋅=

等．

解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．

互斥分类——分类法

先后有序——位置法

反面明了——排除法

相邻排列——捆绑法

分离排列——插空法

例1求不同的排法种数：

（1）6男2女排成一排，2女相邻；

（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；

（3）4男4女排成一排，同性者相邻；

（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．

例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？

分析符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．

解符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．

答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．

例3 某小组6个人排队照相留念．

(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？

(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？

(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？

(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？

(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？

分析：(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．

(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．

(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．

(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．

(5)采用“插空法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．

(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．