§13.4 全等三角形的应用教案

§13．4 全等三角形的应用

教学目标

（一）教学知识点应用三角形全等的有关知识图、测量旗杆的高度．

（二）能力训练要求

1．利用全等概念及其基本的图形变换寻求全等关系．

2．掌握构造全等三角形的基本方法．

（三）情感与价值观要求

通过活动，提高学生的建模意识与建模能力，培养学生的创新意识，激发他们勇于探索、热爱科学的精神．

教学重点根据三角形全等的知识测量旗杆的高度．构造全等三角形的方法与技巧．教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

出示投影，提出问题．

观察下列图形的特点：

有几组全等图形？请一一指出．

[生甲]两个小圆全等，还有两个锐角三角形全等．

[生乙]两个小“L”形也是全等的．

[师]根据什么可以判断它们全等呢？

[生]观察它们形状、大小是否一致，这里可以用工具量，也可以通过平移、翻折、旋转来看它们是否完全重合，若能就是全等形．这是全等的概念．

[师]很好，生活中许多美妙的图案都是通过全等形拼接出来的．如我们的衣服上好多图案就是根据全等形设计的图案．下面请同学们做活动，体验全等三角形的奇妙作用．Ⅱ．导入新课

[活动一]下图是两个根据全等形设计的图案．仔细观察一下，每个图案中有哪些全等形？哪些是全等三角形？

通过观察和讨论不难发现：

图甲中四个菱形全等，四个黑色的四边形全等，八个三角形全等．

图乙中四个小正方形全等，1～8这八个小三角形全等，9～12•这四个三角形全等．

另外我们还可以发现一些拼接后的全等形．如：1、9、2；8、10、7；6、11、5；4、12、3分别组成的四个长方形全等．还有很多，有兴趣的话下课后继续找．

[活动二]测量旗杆的高度

操场上有一根旗杆．你能利用一些简易工具，根据全等形的有关知识，测量出旗杆的高吗？

[师]在你的桌子上构建一个操场模型，以笔作旗杆，试试看，怎样可以解决这个问题？同伴间交流操作方法．

（给学生充分的思考和讨论时间，一旦有合理的部分就给予鼓励和肯定，并指出不足，适时引导，使操作方法更趋完善和简便）

[生甲]我的想法是这样的，人站在离旗杆一定距离处，看旗杆顶端有一个仰角，将这个

仰角侧出．因为旗杆与地面垂直，并且旗杆底部与人的距离可以测出，那这个直角三角形就是一个确定的三角形．然后我们在操场地面上再作出与这个直角三角形全等的三角形．量出与旗杆相等的对应边长，就知道旗杆的高了．如图所示：

[师]我们不能爬上旗杆顶端，通过你的构造解决了一大难题，把旗杆搬到了地面上，这样可以用皮尺量长度了。但老师想问一个问题：你的仰角大小如何测量？

[生甲]用量角器啊．

[生乙]你的视线是看上去的一个方向，这条线没法画，我看用量角器没法量．地面上三角形的角倒是可以量．

[师]有道理．而且这样做由于三角形比较大，在做直角和量角器测角时都有较大误差．即使能做也不是理想的做法，那么我们能不能在此基础上改进一下呢．

[生丙]我爸爸是搞工程的，我见过他有一个测角仪，用它测角比量角器测角既方便又准确．所以我想这样测可以解决上述两点不足．用一根竹竿，将它平放在旗杆底部，使它的一端与旗杆底部重合，人站在竹竿的另一端用测角仪测得此时的仰角，然后转身再测一仰角与刚才的仰角互余，移动竹竿，使其仰角线正好过竹竿顶端．这时利用全等三角形知识可得人到竹竿的距离即旗杆的高．如图所示．

ABC EDA AB ED BAC DEA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩

所以△ABC ≌△EDA ．

所以AD=CB ．

量出AD 的长即旗杆BC 的高．

[师]很好，你的想法又进一步．可是我们没有测角仪，只有一些简单的工具，比如说：皮尺和竹竿．如何改进能测出旗杆的高度呢？请同学们再讨论讨论．

[生]要是不测角的话，能不能让竹竿立起来保持与旗杆平行，使人的视线恰好过竹竿顶端和旗杆顶端，这样就有两个直角三角形了．并且可以测量出人到竹竿的距离与人到旗杆的距离．但它们不是全等三角形呀．那么这两个距离有什么关系呢？

[师]你能将你的想法用图表示出来吗？

[生]可以．（如图所示）

[师]你的想法是很有价值，请同学们想一想，能不能在这个图形的基础上再构造出一些全等三角形呢？假如测得BD=

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AB ． （学生讨论）

[生甲]我想出来了，可以将AB 五等分，分别过等分点作AC 的平行线与BC 有交点，此时这些交点也将BC 五等分，再过这些等分点作AB 的平行线，就可以得出一些小三角形，这些小三角形是全等的．（如图所示）

数数看有5个三角形全等，这也就是说旗杆高有5个竹竿的长度，这时我们只要量出竹竿的长度，再乘以5，就是旗杆的高度了．

[生乙]我同意他的想法，但我不同意他的算法，我们再观察图6和图7，可以发现DE 的长度应该等于竹竿高度减去人身高，最后算出的旗杆高度应等于5DE+人身高．

[生丙]假如AB 不是BD 的整数倍呢？

[生丁]那可调节竹竿的高度嘛．

[生戊]那我们能不能推测若AB=nBD ，旗杆高度就是竹竿高度的n 倍呢？即使n 不是整数也可以．

[师]是这样的，这在我们以后学的相似形中会得以证明．

同学们，通过探究，我们已经有了基本思路，现在请大家写出一个操作方案来． 操作步骤：

第一步：人站定，测量人脚底到旗杆底端的距离．

第二步：取一竹竿，移动竹竿使竹竿同时满足下列条件．

①竹竿与地面垂直．

②竹竿底端、人脚部、旗杆底端在一条直线上．

③人看旗杆顶端的视线恰好过竹竿顶端．

第三步：测量人脚底到竹竿底端的距离．

第四步：测量竹竿的高度．

第五步：计算旗杆的高度．计算方法如下：

①算出人脚底到旗杆底端距离与到竹竿底端距离的倍数n．

②竹竿高度－人身高＝h．

③旗杆高度＝nh＋人身高．

这时教师可播放多媒体课件，使学生能更直观地了解测量过程与测量原理，获得更大的感观理解，增强学习信心与兴趣．

Ⅲ．课时小结

通过本节数学活动你有什么收获？

1．复习全等三角形的有关知识．

2．构造全等三角形的基本方法．

3．了解数学建模的一般思路．

Ⅳ．课后作业

1．观察生活，再找一个利用全等三角形测量距离的实际问题，并亲自实践．

2．就实践情况，写一份测量报告．

Ⅴ．活动与探究

请你找两个被建筑物隔开的物体，然后想办法测量这两个物体之间的距离，并说明利用什么数学知识．

过程：通过室外活动，使学生进一步了解利用数学知识来解决实际问题的基本方法，体会数学与实际生活的联系．

结果：主要是利用构造全等三角形来测量距离．

板书设计

全等三角形的应用

活动一：数一数哪些是全等形．

活动二：测量旗杆的高度．

操作步骤：

小结：

备课资料

参考练习

1．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=•BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC•≌△ABC，•得到ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（）