2.2 平稳随机过程和各态历经过程

X ( t ) 为平稳过程
, 其数学期望和自相关函
数为 :
2
E [ X ( t )] E [ Y ],
E [ X ( t ) X ( t )] E [Y ]
T
X ( t ) lim
1 2T
T

T
X ( t ) dt lim
1 2T
T

T
T
Ydt Y
E[ X (t )] X (t ), X (t )的均值不具备各态历经性
2
2.2.1 严平稳过程
如果对于任意的
, 随机过程 X ( t ) 的任意 n 维概率密度满足
f X ( x1 , x 2 , , x n ; t1 , t 2 , , t n ) f X ( x1 , x 2 , , x n ; t1 , t 2 , , t n ) 则称 X ( t ) 为严平稳过程 .
E[ A ] E[cos( )]
2
13
2.2.3 各态历经过程
各态历经过程 非各态历经过程
两个图所示的都是平稳过程 随机过程的各个样本函数都同样地经历了随机过程的 各种可能状态，因此从随机过程的任何一个样本函数 就能得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函 数的特性都能充分地代表整个随机过程的特性。
14
1. 对于二阶平稳过程X (t ), 若 X (t ) E[ X (t )] mX 以概 率1成立, 则称随机过程X (t )的均值具有各态历经性.
随机过程的时间均值定
义为 : X ( t ) lim
1 2T
T

T
T
X ( t ) dt
2. 对于二阶平稳过程X (t ), 若 X (t ) X (t ) E[ X (t ) X (t )] RX ( ) 以概率1成立, 则称随机过程X (t )的自相关函数具有各 态历经性.
随机过程 X ( t ) 的时间自相关函数定义 1 2T 为 :
X ( t ) X ( t ) lim
T

T
T
X ( t ) X ( t ) dt
15
3 若X (t )的均值和自相关函数都具有各态历经性, 、 且X (t )是广义平稳过程, 则称X (t )是广义各态历经 过程, 简称为各态历经过程.
X ( t ) a cos( t )

a
2
E [ a cos( t ) cos( t )]
2
a
2
E [cos( 2 t 2 ) cos( )]
a
2
2
R X ( ) cos( )
E [ X ( t )] R X ( 0 )
2 2 Ay
2
e
(t )
一维概率密度与 时间有关，故不 是严平稳过程。
7
2.2.2 宽平稳过程 （广义平稳过程）
若随机过程 X ( t ) 满足 : E [ X ( t )] m X ( t ) m X ,
2
R X ( t1 , t 2 ) R X ( ), 且 E [ X ( t )] , 则称 X ( t ) 为广义平稳随机过程 , 式中 t 2 t 1 .
2Байду номын сангаас
T
2T a
2
T T
T
4T a
2
[
T

T
T
cos( 0 ) dt ]
T
4T
2 T cos( 0 )
2
cos( 0 ) R X ( )
X (t )的自相关函数具有各态历经性
X (t )为各态历经过程
18
例2.2.4 随机过程X (t ) Y , Y是方差不为零的随机 变量, 试讨论其各态历经性.
2.2 平稳随机过程和各态历经过程
噪声电压
1
随机相位的正弦信号
随机幅度的正弦信号
X (t ) a cos(t )
X (t ) A cos(t )
随机频率的正弦信号
幅度、相位和频率都是随机的
X (t ) a cos(t )
X (t ) A cos(t )
X ( t ) a cos( t )
(c ) 从图中就可看出X (t )
的数学期望与时间有 关, 故不是平稳过程.
11
( b ) E [ X ( t )] E [ A ] cos( t )
D[ X (t )]与时间有关
X (t )不是平稳过程
例 2 . 2 . 2 判断图示的四个随机过 的 a , , 是常数 ,
E [cos( t ) cos sin( t ) sin ]
X ( t ) A cos( t )
E [cos ] E [sin ] 0
E[ X (t )] 0
12
例 2 . 2 . 2 判断图示的四个随机过 的 a , , 是常数 ,
sin( 0 t )
a [sin( 0 T ) sin( 0 T )] 2T 0
T
0
E[ X (t )] X (t ) 0, X (t )的均值具有各态历经性.
17
X ( t ) X ( t ) lim lim lim lim lim 1 2T a
严平稳过程的n维概率密度不随时间平 移而变化，或者说与时间起点无关。 在任何时刻计算严平稳过程的统计结果都是相同的
如果上式不是对任意的 n 都成立 , 而是仅
3
在 n N 时成立 , 则称 X ( t ) 是 N 阶平稳的 .
如果两个随机过程 概率密度满足 :
X ( t ) 和 Y ( t ) 的任意 n m 维联合
f XY ( x 1 , x 2 , , x n , y 1 , y 2 , , y m ; t1 , t 2 , , t n , t1 , t 2 , , t m )
' ' '
f XY ( x 1 , x 2 , , x n , y 1 , y 2 , , y m ; t1 , t 2 , , t n , t1 , t 2 , , t m )
T

2T
(1

2T
0
)[ B ( 1 ) RX ( )]d 1 0
2
1 2T
T

T
T
X ( t ) X ( t ) dt
T

T
T T
a cos( 0 t ) a cos( 0 t 0 ) dt cos( 0 t ) cos( 0 t 0 ) dt cos( 2 0 t 0 2 ) dt a
2

2
2
X (t )平稳
10
例 2 . 2 . 2 判断图示的四个随机过 的 a , , 是常数 ,
程是否平稳
. 表达式中 .
A , , 是互相独立的随机变量 .
随机变量 在 [ 0 , 2 ] 上均匀分布
P 图2.6 59
X ( t ) A cos( t )
' ' '
则称随机过程
X ( t ) 和 Y ( t ) 是联合严平稳过程
.
4
严平稳过程具有以下性质
1、严平稳过程X(t)的一维概率密度与时间无关 严平稳过程的数学期望和方差与时间无关
5
2、严平稳过程X(t)的二维概率密度只与两个时 刻t1和t2的间隔有关，与时间起点无关。
严平稳过程X(t)的自相关函数和协方差 函数都只是时间间隔 t2 t1 的函数。
X (t )不是各态历经过程
19
各态历经过程的必要条件和充分条件
1、各态历经过程必须是平稳的，但 平稳过程不一定都具有各态历经性。
2 平稳过程X (t )的均值具有各态历经性 、 的充要条件是 : lim 1 T
T

2T
(1

2T
0
)[ RX ( ) m X ]d 0
2
20
3 平稳过程X (t )的自相关函数具有各态历经性的充要 、 条件是 : lim 1 T
X (t )为平稳过程, 且E[ X (t )] 0, RX ( )
X ( t ) lim 1 2T
a
2
2
cos(0 )
T

T
T
X ( t ) dt lim
1 2T
T T
T

T
T
a cos( 0 t ) dt
lim lim
a 2T 0
T
C X ( ) RX ( ) m
2 X
当 0时 , C X (0) R X (0) m X
2
2 X
一阶平稳过程的概率密度满足f X ( x, t ) f X ( x) 二阶平稳过程的概率密度同时满足上式和下式 f X ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f X ( x1 , x2 ; )
m X ( t ) m A y ( t ),
X ( t ) 的一维概率密度为
X ( t ) A y ( t ).
2 2 2
: f X ( x, t)
1 2
X

(xm X ) 2
2 X
2
e
f X ( x, t )
1 2 y (t ) A

[ x m A y ( t )] 2
程是否平稳
. 表达式中 .
A , , 是互相独立的随机变量 .
随机变量 在 [ 0 , 2 ] 上均匀分布
P 图2.6 59
(d ) :
E [ X ( t )] E [ A cos( t )]
E [ A ] E [cos( t )]
cos( ) cos cos sin sin
4、 如果两个随机过程X (t )和Y (t )都是各态历经过程, 且它们的时间互相关函数等于统计互相关函数, 即 : X (t )Y (t ) lim
T
2T
1
T
T
X (t )Y (t )dt RXY ( )
则称它们是联合各态历经过程.
16
例2.2.3 讨论随机过程X (t ) a cos(0t )的各态历经性. 其中a为常数, 是在[0,2 ]上均匀分布的随机变量.
程是否平稳
. 表达式中 .
A , , 是互相独立的随机变量 .
随机变量 在 [ 0 , 2 ] 上均匀分布
P 图2.6 59
(d )
E[ X (t )] 0
X ( t ) A cos( t )
X (t )为 平稳过程
R X ( t , t ) E [ X ( t ) X ( t )]
一个严平稳过程只要它的均方值有限，则它必 定是广义平稳的。但是，反之则不一定成立。 广义平稳的高斯过程必定也是严平稳的，即对 于高斯过程来说，严平稳与宽平稳是等价的。
8
当两个随机过程 平稳过程时
X ( t ) 和 Y ( t ) 分别是广义 足 :
, 若它们的互相关函数满
R XY ( t1 , t1 ) E [ X ( t1 ) Y ( t1 )] R XY ( ) 则称 X ( t ) 和 Y ( t ) 是联合广义平稳过程 称为联合宽平稳过程 . ,或
9
例 2 . 2 . 2 判断图示的四个随机过 的 a , , 是常数 ,
程是否平稳
. 表达式中 .
A , , 是互相独立的随机变量 .
E [ X ( t )] 0
随机变量 在 [ 0 , 2 ] 上均匀分布
P 图2.6 59
(a ) :
R X ( t , t ) E [ X ( t ) X ( t )]
6
例 2 . 2 . 1 随机过程 X ( t ) Ay ( t ), 其中 A 是高斯变量 确定的时间函数
1 2
A (am A ) 2
2 A 2
, y ( t )为 .
.判断 X ( t ) 是否为严平稳过程
f A (a )
e
在固定时刻, y (t )为常 数, X (t )为高斯分布
2
E [ A cos( t ) cos( t )]
E [ A ] E [cos( t ) cos( t )]
2
1 2
E [cos( 2 t 2 ) cos( )]
RX ( )
1 2