2019年高考数学(理)一轮复习不等式选讲 第2节 不等式的证明学案

≥ a 1a 2…a n ，当且仅当 a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．

②比商法：若 B >0，欲证 A ≥B ，只需证 ≥1.

2 ≥ ab ，当且仅当 a ＝b 时，等号成立． 3

≥ abc ，当且仅当 a ＝b ＝c 时，等号成立．定

理 3：如果 a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c

b c d 2 2

第二节 不等式的证明

[考纲传真] (教师用书独具)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合

法、分析法．

(对应学生用书第 206 页)

[基础知识填充]

1．基本不等式

定理 1：设 a ，b ∈R ，则 a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当 a ＝b 时，等号成立．

a ＋b

定理 2：如果 a ，b 为正数，则

3

定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式 )如果 a 1，a 2，…， a n 为 n 个正数，则

a 1＋a 2＋…＋a n

n n

2．柯西不等式

(1)柯西不等式的代数形式：设 a ，，， 都是

实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当

且仅当 ad ＝bc 时，等号成立)．

(2)柯西不等式的向量形式：设 α ，β 是两个向量，则|α ||β |≥|α ·β |，当且 仅当 β 是零向量，或存在实数 k ，使 α ＝k β 时，等号成立．

(3)柯西不等式的三角不等式：设 x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，

则 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋ (x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥ (x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.

(4)柯西不等式的一般形式：设 a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则

(a 2

＋a 2＋…＋ a n )(b 2＋b 2＋…＋ b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋ a n b n )2，当且仅当 b i ＝0(i ＝

1,2

，…，n )或存在一个数

k ，使得 a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．

3．不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等．

(1)比较法：

①比差法的依据是：a －b >0 a >b 步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手

段，变形的目的是判断差的符号．

A

B

(2)综合法与分析法：

①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，

2．(教材改编)若 a ＞b ＞1，x ＝a ＋ ，y ＝b ＋ ，则 x 与 y 的大小关系是(

)

A [x －y ＝a ＋ － b ＋b ⎪

＝a －b ＋b －a ＝(a －b )(ab －1)

.

所以 ＞0，即 x －y ＞0，所以 x ＞y .]

4．已知 a ＞0，b ＞0 且 ln(a ＋b )＝0，则 ＋ 的最小值是________.

所以 ＋ ＝ a ＋b ⎪(a ＋b )＝2＋ ＋a

b ⎝

这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．

②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转

化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可

以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．(

)

(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，

最后达到待证的结论．(

)

(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成

立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(

)

(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．(

)

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×

1 1

a b

A ．x ＞y

C ．x ≥y

B ．x ＜y

D ．x ≤y

1 ⎛ 1⎫ a ⎝ ⎭

ab ab

由 a ＞b ＞1 得 ab ＞1，a －b ＞0，

(a －b )(ab －1)

ab

3．若 a ＝ 3－ 2，b ＝ 6－ 5，c ＝ 7－ 6，则 a ，b ，c 的大小关系为(

)

A ．a >b >c

C ．b >c >a

A [“分子”有理化得 a ＝

1 3＋

2 ，b ＝ B ．a >c >b

D ．c >a >b

1 6＋ 5 ，c ＝

1

7＋ 6 ，

所以 a >b >c .]

1 1

a b

【导学号：79140398】

4 [由题意得，a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，

1 1 ⎛1 1⎫ b a

⎭

a b

≥2＋2

b

·

a

＝4，

当且仅当a＝b＝时等号成立．]

＋

b⎫

⎪－(a＋b)

⎝b a⎭

⎛a⎫⎛b⎫a－b b－a

＝ －b⎪＋ －a⎪＝＋

∴

a

∴

a

a b

1

2

5．已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.

[证明]因为x＞0，y＞0，

33

所以1＋x＋y2≥3xy2＞0,1＋x2＋y≥3x2y＞0，

33

故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3xy2·3x2y＝9xy.

(对应学生用书第207页)

比较法证明不等式已知a＞0，b＞0，求证：

a b

＋≥a＋b.

b a

⎛a

[证明]法一：∵

⎝b⎭⎝a⎭b a

＝

(a－b)(a－b)(a＋b)(a－b)2

＝≥0，

ab ab

b

＋≥a＋b.

b a

a b

＋

b a

法二：由于＝

a＋b

a a＋

b b

ab(a＋b)

＝

(a＋b)(a－ab＋b)

ab(a＋b)

＝

a＋b

－1

ab

≥

2ab

ab

－1＝1.

又a＞0，b＞0，ab＞0，

b

＋≥a＋b.

b a