32全同粒子的特性(精)

2．全同粒子体系的特性
ˆ : 引入交换（置换）算符 P ij
ˆ (q ,...,q ,...,q ,...,q , t ) (q ,...,q ,...,q ,...,q , t ) P ij 1 i j N 1 j i N
ˆH ˆ (q ,...,q ,...,q ,...,q , t ) H ˆ (q ,...,q ,...,q ,...,q , t ) P ij 1 i j N 1 j i N
又
ˆ 的本征值为 于是 P ij 当 1 时，有
1
(...,q j ,...,qi ,...) (...,qi ,...,q j ,...)
则波函数是交换对称的，用 S 表示； 当 1 时，有 (..., q j ,..., qi ,...) (..., qi ,..., q j ,...) 则波函数是交换反对称的，用 Φ A 表示。
三、全同粒子体系的波函数与哈密顿及其特性
1．全同粒子体系的波函数与哈密顿
用 qi (ri , Siz ) 代表第i个粒子的坐标和自旋。 全同粒子体系的波函数和哈密顿分别为
(q1 , q2 ,...,q N , t )
2 1 2 ˆ H (q1 , q2 ,...,q N , t ) i U ( qi , t ) W ( qi , q j ) i 1 2 i j 2 N
（1）交换体系中任一对全同粒子，体系的哈密顿不变。
2 N 1 2 ˆH ˆ (q ,..., q ,..., q ,..., q , t ) P ˆ P U ( q , t ) W ( q , q ) ij 1 i j N ij i i j 2 i 2 i j i 1
§7-5 全同粒子的特性
一、全同粒子 二、全同性原理 三、全同粒子体系的波函数与哈密顿及其特性 四、玻色子和费米子
§7-5 全同粒子的特性
一、全同粒子
1．全同粒子： 所有固有（内禀）性质（静止质量、电荷、寿命、自旋、同位 旋、内禀磁矩等）完全相同的微观粒子。 例如：金属中的电子、氢原子中的电子和氦原子中的电子等。 不论电子处于何种物质中，在什么地方，内禀性质都一样，故所有 电子是全同粒子。 再如：质子和中子，正、负电子，内禀性质不完全相同（如带 电状态不同），它们不是全同粒子。 2．全同粒子体系： 由两个或两个以上的全同粒子组成的体系。 例如：金属中的电子；氦原子中的电子；核中的质子或中子的 集合。
3．全同粒子的不可区分性 经典力学中的两个全同粒子是可以区分的。 例如同一牌子的解放牌汽车，它们不能在同一 时刻处于同一位置，由初始状态和运行轨道的 记录可以区分它们（建立档案）。
1 2
微观全同粒子不可区分，同一时刻它们可 以处于同一位置。两个全同粒子可用两个波函 数表示，在运动过程中，两个波函数会在空间 中发生重叠，在此区域内无法区分这两个粒子。 只有当波函数完全不重叠时，才可区分。
2 2 1 ˆ (q ,..., q ,..., q ,..., q , t ) j U (q j , t ) W (q j , qi ) H 1 i j N 2 2 j 1 j i
N
ˆ (q ,..., q ,..., q ,..., q , t ) H ˆ (q ,..., q ,..., q ,..., q , t ) H 1 i j N 1 j i N
即体系的哈密顿具有交换对称性。
（ 2 ）体系的波函数具有确定的交换对称性，且这种对称性不 随时间改变。 ˆ 与 描写同一状态，它们之间至多差一个 P 根据全同性原理， ij 常数因子，即
ˆ (q ,...,q ,...,q ,...,q , t ) (q ,...,q ,...,q ,...,q , t ) P ij 1 i j N 1 i j N
Leabharlann Baidu 下面证明这种对称性不随时间改变。 由于
ˆH ˆ ˆˆ P ij HP ij
所以
ˆ ,H ˆ]0 [P ij
则
dPij dt d ˆ Φ 0 ΦP ij dt
即宇称算符的平均值不随时间变化，它是守恒量。
结论：描述全同粒子体系的波函数只能是对称或反对称的，它 们的对称性不随时间发生改变。如果体系在某一时刻处于对称状态， 则它将永远处于对称状态；如果体系在某一时刻处于反对称状态， 则它将永远处于反对称状态。
四、玻色子和费米子（Bosons和Fermions）
因为全同粒子的波函数具有确定的对称性，对称的波函数保持 交换不变号；反对称的波函数保持交换变号。所以，微观全同粒子 体系的波函数可按置换对称分为两类（迄今为止，无发现例外）， 即：（1）交换对称；（2）交换反对称。
（ a）凡自旋是 / 2 或 / 2奇数倍的粒子组成的全同粒子体系， 波函数具有交换反对称性，服从费米—狄拉克（Fermi—Dirac）统 计，这类粒子称为费米子。 如，电子、质子、中子等。 （b）凡自旋是零或 的整数倍的粒子组成的全同粒子体系，波 函数具有交换对称性，服从玻色—爱因斯坦（Bose—Einstein）统 计，这类粒子称为玻色子。
ˆ 2 (q ,...,q ,...,q ,...,q , t ) 2 (q ,...,q ,...,q ,...,q , t ) P ij 1 i j N 1 i j N
ˆ 2 (q ,...,q ,...,q ,...,q , t ) (q ,...,q ,...,q ,...,q , t ) P ij 1 i j N 1 i j N
二、全同性原理
全同性原理：全同粒子组成的体系中，任意交换两个全同粒子， 体系的物理状态保持不变。 全同粒子的不可区分性导致了全同性原理。
例如：氦原子中有两个电子，一个处于基态，一个处于第一激 发态，能量分别为 2 2 Z 2 es2 Z es E1 E2 2a0 2a 0 2 2 体系的能量为E E1 E2 。 若交换两个电子的位置和自旋，体系的能量不变。