江苏省苏州市2020届高三数学期中调研试题

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江苏省13市2020届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编：圆锥曲线

江苏省13市2020届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（常州市2020届高三上学期期末考试）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A,过A 做x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B,若2OB a =，则C 的离心率为2、（常州市2020届高三上学期期末考试）在平面直角坐标系xOy 中，圆222:22210C x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点（0,1）的距离为2，则实数a 的取值范围是3、（南京、盐城市2020届高三上学期期末考试）在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y 2 = 4x 上的点 P 到其焦点的距离为 3，则点 P 到点O 的距离为________.4、（南通、泰州市2020届高三上学期期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A ，B 分别在双曲线C : x 2 - y 2 ＝1 的两条渐近线上，且双曲线C 经过线段 AB 的中点.若点 A 的横坐标为 2 ，则点 B 的横坐标为______.5、（苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2020届高三上学期期末考试）在平面直角坐标系xOy中，双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为______.6、（苏州市2020届高三上学期期末考试）在平面直角坐标系xOy 中，己知点F 1，F 2是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 的坐标为(0，b )，若∠F 1PF 2＝120°，则该双曲线的离心率为．7、（无锡市2020届高三上学期期末考试）双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 角圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____.8、（徐州市2020届高三上学期期中考试）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为30º，期C 的离心率为． 9、（扬州市2020届高三上学期期末考试）在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点且以双曲线2213y x -=的右准线为准线的抛物线方程是10、（扬州市2020届高三上学期期中考试）双曲线1422=-x y 的渐近线方程为． 11、（扬州市2020届高三上学期期中考试）抛物线x y 42=上横坐标为4的点到焦点的距离为．12、（镇江市2020届高三上学期期末考试）顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点的抛物线方程是．参考答案：1、22、117117,01,⎡⎤⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 3、23 4、12 5、146、26 7、34- 8、23 9、22y x =- 10、2y x =±11、5 12、216y x =二、解答题1、（常州市2020届高三上学期期末考试）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆右顶点为A ，点2F 在圆22(2)1x y -+=上。

第四关以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)

压轴填空题第四关以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一几何体在变化过程中体积的最值问题典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____类型二几何体的外接球或者内切球问题典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中，对角线23BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC 33= ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题类型三立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______． ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②M 的面积最大值为334； ③M 的周长为定值．【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题【举一反三】如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题类型四立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足2,2PA PB AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB ，11B C 的中点分别为E ，F ，点P 在平面11BCC B 内，作PQ ⊥平面1ACD ，垂足为Q ．当点P 在1EFB △内（包含边界）运动时，点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若四面体ABCD 的外接球半径为5，则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5．已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π，则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6．已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，且13BC BB =，点M 是线段BC 的中点，点N 在矩形11DCC D 内运动（含边界），且满足AND CNM ∠=∠，则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷7．矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =23，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ，8PB =，120BAC ∠=︒，则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）12．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题13．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题14．已知A ，B ，C ，D 205的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________．【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16．已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点，则FMN 的周长为______．【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱1BB ，1CC ，1DD 交于点E ，F ，G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S +的最大值为2； ③12S S 的最大值为14；④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为__________．【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题20．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21．体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ，四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为_______________________．22．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若63A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2；⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2．【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。

2020-2021苏州市高三数学上期中模拟试题及答案

2020-2021苏州市高三数学上期中模拟试题及答案一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（） A ．8B ．10C ．12D ．163．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（）A ．4B ．8C ．12D ．164．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（） A ．5B ．25C ．41D ．525．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）A ．2744n n+B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +6．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（）A ．7B ．5C ．5-D ．7-7．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（） A ．1B ．3C ．6D ．98．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．7109．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<10．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，3a=4b =，则B =（）A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒C ．30B =︒D ．60B =︒12．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（）A ．14B ．21C ．28D ．35二、填空题13．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．14．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=L ____________． 15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________．16．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234y x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .17．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______. 18．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．19．已知数列{}n a 的通项1n n a n+=+15项的和等于_______.20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求12111nS S S ++⋯+． 22．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1）求sin sin CA的值（2）若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积. 23．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=．（1）求角A 的大小：（2）若5a =2b =．求ABC V 的面积．24．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()3m a b =r与()cos ,sin n =A B r平行．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．25．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2223,3A b c abc a π=+-=．（1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的前n 项和.n T【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．C解析：C 【解析】【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论．【详解】Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．3．A解析：A 【解析】【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值．【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知，当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值，此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．4．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin∆=⨯⨯︒=，解得42c =．由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 5．A解析：A 【解析】【分析】【详解】设公差为d 则解得，故选A.6．D解析：D 【解析】【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.7．D解析：D 【解析】【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ，可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6121212673a a a a a ==L ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.8．B解析：B 【解析】试题分析：如下图：由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==o o ,从而可得：30BAC ∠=o 由正弦定理，得：56sin 45sin 30AB =o o， 103AB ∴=那么在Rt ADB ∆中，60ABD o ∠=,3sin 6010315AD AB ∴===o ，即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）. 故选B ．考点：解三角形在实际问题中的应用．9．B解析：B 【解析】试题分析：因为ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 30,23623--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 50,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.10．D解析：D 【解析】【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅，所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=，所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ，所以三角形是等腰或直角三角形．故选D ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．11．C解析：C 【解析】【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒Q ，a=4b =由正弦定理得：sin 1sin2b A B a === a b >Q 60B ∴<︒30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.12．C解析：C 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则()()174127477272822a a a a a a a +⨯+++====L考点：等差数列的前n 项和二、填空题13．【解析】试题分析：由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件如图所示可得则实数m 的取值范围考点：线性规划解析：(,1]-∞【解析】试题分析：由题意，由2{30y xx y =+-=，可求得交点坐标为(1,2)，要使直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,{230,,x y x y x m +-≤--≤≥，如图所示，可得1m ≤，则实数m 的取值范围(,1]-∞．考点：线性规划．14．2018【解析】【分析】数列{an}满足a1＝2a2＝6且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an ）＝2利用等差数列的通项公式可得：an+1﹣an ＝2n+2再利用累加求和方法可得an ＝n （n+1）利解析：2018 【解析】【分析】数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝6，且（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）＝2，利用等差数列的通项公式可得：a n +1﹣a n ＝2n +2．再利用累加求和方法可得a n ＝n （n +1）．利用裂项求和方法即可得出．【详解】∵()()2112n n n n a a a a +++---=，∴数列{a n +1﹣a n }为等差数列，首项为4，公差为2． ∴a n +1﹣a n ＝4+2（n ﹣1）＝2n +2．∴a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 ＝2n +2（n ﹣1）+…+2×2+2()122n n +=⨯=n （n +1）．∴12201911111111111223201920202020a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ． ∴][][122019201920192019201912019201820202020a a a ⎡⎤+++=-=+⎢⎥⎣⎦L ＝2018．故答案为：2018．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法与裂项相消求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解详解：∵等差数列中∴∴设等差数列的公差为则点睛：等差数列的项的下标和的性质即若则这个性质经常和前n 项和公式结合在一起应用利用整体代换的方法可解析：613. 【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解．详解：∵等差数列{}n a 中136S =， ∴()11371313132622a a a S +⨯===， ∴7613a =．设等差数列{}n a 的公差为d ，则()9109109976322213a a a a a a d a -=-+=-==．点睛：等差数列的项的下标和的性质，即若()*,,,,m n p q m n p q Z+=+∈，则m n p q a a a a +=+，这个性质经常和前n 项和公式()12n n n a a S +=结合在一起应用，利用整体代换的方法可使得运算简单．16．【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应解析：()(),14,-∞-⋃+∞【解析】试题分析：因为不等式234y x m m +<-有解，所以2min ()34yx m m +<-，因为0,0x y >>，且141x y+=，所以144()()224444y y x y x x x y y x +=++=++≥=，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时，等号是成立的，所以min ()44yx +=，所以234m m ->，即(1)(4)0m m +->，解得1m <-或4m >.考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.17．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用解析：()()3234212n n n +-++ 【解析】【分析】观察得到21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用裂项相消法计算前n 项和得到答案. 【详解】观察知()2111112222n a n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭.故数列的前n 项和11111113111...232422212n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()3234212n n n +=-++. 故答案为：()()3234212n n n +-++. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项相消求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.18．【解析】【分析】△ACD 中求出AC △ABD 中求出BC △ABC 中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知△ACD 中∠ACD ＝15°∠ADC ＝150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD 中∠BDC ＝15解析：【解析】【分析】△ACD 中求出AC ，△ABD 中求出BC ，△ABC 中利用余弦定理可得结果. 【详解】解：由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，∴∠DAC=15°由正弦定理得80sin15040sin154AC ===oo，△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， ∴∠DBC=30°，由正弦定理，CD BCsin CBD sin BDC=∠∠，所以BC 80sin15160154012CD sin BDC sin sin CBD⋅∠⨯︒===︒=∠；△ABC 中，由余弦定理，AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB＝((08116008160216002-+++⨯⨯⨯16001616004160020=⨯+⨯=⨯解得：AB =则两目标A ，B间的距离为．故答案为．【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．19．【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还解析：3【解析】【分析】将n a =15项的和. 【详解】利用分母有理化得n a ===设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，所以前15项的和为：151215S a a a=+++L1=L1= 413=-= 即：153S =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前n 项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.20．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S 取得最小值易得(C 为锐角)则则解析：5【解析】由正弦定理及sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=, 得2246sin a b ab C +=, 又1sin 2S ab C =,即22412a b S +=, 由于24a b +=,即有()222424164a b a b ab ab +=+-=-, 即有41612ab S =-,由22422a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,即有16128S -≤,解得23S ≥, 当且仅当a=2b =2时,取得等号, 当a =2,b=1,S 取得最小值23,易得2sin 3C =(C 为锐角),则cos 3C =,则2222cos 5c a b ab C =+-=. 三、解答题21．（1）n a n =，12n n b -=；（2）21nn + 【解析】【分析】（1）由题意,要求数列{}n a 与{}n b 的通项公式,只需求公差，公比,因此可将公差,公比分别设为d ，q ,然后根据等差数列的前项和公式,代入226b S =,238b S +=,求出d ，q 即可写出数列{}n a 与{}n b 的通项公式．（2）由（1）可得()11212n S n n n =++⋯+=+,即()121ns n n =+,而要求12111n S S S ++⋯+,故结合1n s 的特征可变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,代入化简即可．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，d ＞0，{}n b 的等比为q则1(1)n a n d =+- ,1n n b q -=,依题意有()26338q d q d ⎧+=⎨++=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩或439d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩（舍去）故1,2n n n a n b -==,（2）由（1）可得()11212n S n n n =++⋯+=+ ∴11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∴1211111111212231n S S S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭．【点睛】本题第一问主要考查了求数列的通项公式,较简单,只要能写出n S 的表达式,然后代入题中的条件正确计算即可得解,但要注意d ＞0．第二问考查了求数列的前n 项和，关键是要分析数列通项的特征,将()121n s n n =+等价变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,然后代入计算，这也是求数列前n 项和的一种常用方法--裂项相消法！22．（1）sin 2sin C A = （2 【解析】【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案．（2）由（1）知sin 2sin c C a A ==，结合题意由余弦定理可解得1a = ，sin B =，从而计算出面积．【详解】（1）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===，所以cos cos 22sin sin cos sin A C c a C AB b B---==即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=- 即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A = 所以sin 2sin CA= （2）由（1）知sin 2sin c C a A==，即2c a =，又因为2b = ，所以由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯，解得1a =,所以2c =，又因为1cos 4B =，所以sin 4B =，故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯. 【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题． 23．（1）4A π=（2）4【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin 0B ≠求出sin cos 0A A -=，即可确定出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．详解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=．即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A -=04A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为()0,A π∈，所以4A π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则220442c c ⎛=+-⋅ ⎝⎭．即2160c -=．解得c =-c =所以1242S =⨯⨯=．·点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.24．（Ⅰ）3π；（Ⅱ）2．【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）根据平面向量//m n r r，列出方程，在利用正弦定理求出tan A 的值，即可求解角A 的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出bc 的最大值，即得ABC ∆的面积的最大值.试题解析：（1）因为向量()m a =r与()cos ,sin n =A B r平行，所以0asinB ＝，由正弦定理得sinAsinB －0sinBcosA ＝，又sin 0B ≠，从而tanA ，由于0<A<π，所以A ＝3π.（2）由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，而a ，b ＝2，A ＝3π，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c>0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bcsinA ＝2. 考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.25．（12）2. 【解析】【分析】（1）由2223b c abc a +-=，利用余弦定理可得2cos 3bc A abc =,结合3A π=可得结果；（2）由正弦定理1sin 2B =，π6B =, 利用三角形内角和定理可得π2C =，由三角形面积公式可得结果. 【详解】（1）由题意，得222b c a +-=. ∵2222cos b c a bc A +-=.∴2cos 3bc A abc =,∵π3A =，∴a A ==（2）∵a =由正弦定理sin sin a b A B =，可得1sin 2B =. ∵a>b ，∴π6B =, ∴ππ2C A B =--=.∴1sin 22ABC S ab C ∆==【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.26．（1）23n a n =-，14n n b -=；（2）4(1)nnT n =+【解析】【分析】（1）将1250,15a a S +==转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式，由此化简131(2)n n n n n nb a b a b ++++=，判断出数列{}n b 是等比数列，进而求得数列{}n b 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，所以11120,1,2,23545152n a d a d a n a d +=⎧⎪∴=-==-⎨⨯+=⎪⎩；由1311(2),(6n 12n 1)b 4nb n n n n n n n n nb a b a b nb +++++=⇒=--+=，14n nb b +∴=，所以数列{}n b 是以4为公比，首项121b a ==的等比数列，14.n n b -∴= （2）因为2111111(),(5)log (22)(2)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++1211111111b b b (1).42233414(n 1)n n nT n n ∴=+++=-+-+-++-=++L L【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式，考查等比数列的通项公式，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.。

2020年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷

高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={−2,−1,0，1，2}，B ={x|x >0}，则A ∩B =______．2. 已知复数z 满足z2+i =i(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为______． 3. 已知向量a ⃗ =(x,2)，b ⃗ =(2,−1)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数x 的值是______． 4. 函数y =√2−x的定义域为______．5. 在等比数列{a n }中，a 1=1，a 4=8，则前5项和S 5= ______ ．6. 已知tanα=2，则sinαcosα+2sinα的值为______．7. “x >2”是“x >1”的______ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个)8. 已知函数y =sin2x 的图象上每个点向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到函数y =sin(2x +π6)的图象，则φ的值为______． 9. 设函数f(x)={e x ,x ≥02x +1,x <0，则不等式f(x +2)>f(x 2)的解集为______．10. 已知函数f(x)=lnx −mx 的极小值大于0，则实数m 的取值范围为______． 11. 已知各项都为正数的等差数列{a n }中，a 5=3，则a 3a 7的最大值为______． 12. 已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，则cosC =______．13. 若方程cos(2x −π6)=35在(0,π)的解为x 1，x 2，则cos(x 1−x 2)=______．14. 已知函数f(x)=3x 2−x 3，g(x)=e x−1−a −lnx ，若对于任意x 1∈(0,3)，总是存在两个不同的x 2，x 3∈(0,3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)，则实数a 的取值范围为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C =120°，c =7，a −b =2．(1)求a ，b 的值； (2)求sin(A +C)的值．16.已知向量a⃗=(cosx,√3cosx)，b⃗ =(cosx,sinx)．]，求x的值；(1)若a⃗//b⃗ ，x∈[0,π2]，求f(x)的最大值及相应x的值．(2)若f(x)=a⃗⋅b⃗ ，x∈[0,π217.已知等比数列{a n}满足a2=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=|a n−2n+1|，求数列{b n}的前n项和为T n．18.如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所米，∠COD=120°，现根据需要把此窑在圆的圆心为O.经测量AB=4米，BC=√33洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF=θ，矩形EFGH的面积为S．(1)求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；(2)求cosθ为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？19. 已知函数f(x)=√x −1√x ．(1)求f(x)的图象在x =1处的切线方程； (2)求函数F(x)=f(x)−x 的极大值；(3)若af(x)≤lnx 对x ∈(0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }满足(n −1)a n+1=na n −a 1,n ∈N ∗．(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2−a 1=1，且对任意的正整数n ，都有13<1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n<43，求整数a 1的值；(3)设数列{b n }满足b n =a n +310，若a 2−a 1=15，且存在正整数s ，t ，使得a s +b t 是整数，求|a 1|的最小值．21. 已知二阶矩阵M =[a13b ]的特征值λ=−1所对应的一个特征向量为[−13]． (1)求矩阵M ；(2)设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C′的方程为y 2=x ，求曲线C 的方程．22. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosα+2√3sinα(α为参数)，直线l 的参数方程为{x =1+tcosβy =tsinβ(t 为参数，0<β<π2)，若曲线C 被直线l 截得的弦长为√13，求β的值．23. 设正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求证：ab+c +bc+a +ca+b ≥32．24. 某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立．(1)求乙、丙二人各自击中目标的概率；(2)设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．25. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =a ，AA 1=b ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且BE =13BB 1，C 1F =13CC 1.设λ=ba ．(1)当λ=3时，求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小； (2)当平面AEF ⊥平面A 1EF 时，求λ的值．答案和解析1.【答案】{1,2}【解析】解：∵集合A ={−2,−1,0，1，2}，B ={x|x >0}， ∴A ∩B ={1,2}．故答案为：{1,2}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】−1【解析】解：由z2+i =i ，得z =i(2+i)=−1+2i ． ∴复数z 的实部为−1．故答案为：−1．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】1【解析】解：∵向量a ⃗ =(x,2)，b ⃗ =(2,−1)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴2x −2=0，求得x =1，故答案为：1．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出x 的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．4.【答案】(1,2)【解析】解：函数y =√2−x中，令{x −1>02−x >0，解得1<x <2，所以函数y 的定义域为(1,2)．故答案为：(1,2)．根据函数的解析式列出不等式组，求出解集即可．本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．5.【答案】31【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=1,a4=8，∴q3=a4a1=8，解得q=2，则前5项和S5=1×(1−25)1−2=25−12−1=31．故答案为：31．6.【答案】25【解析】解：∵tanα=2，∴sinαcosα+2sinα=tanα1+2tanα=21+2×2=25．故答案为：25．由已知利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．7.【答案】充分不必要【解析】解：当x>2时，x>1一定成立．当x>1时，x>2不一定成立，比如当x=32时，满足x>1时，但x>2不成立．∴“x>2”是“x>1”充分不必要条件．故答案为：充分不必要根据充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．8.【答案】π12【解析】解：把函数y=sin2x的图象上每个点向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度，得到函数y=sin(2x+π6)=sin(2x+2φ)的图象，∴2φ=π6，则φ=π12，故答案为：π12．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．9.【答案】(−1,2)【解析】解：根据题意可知函数f(x)在R上单调递增，则不等式f(x+2)>f(x2)等价于x+2>x2，即x2−x−2<0，解得−1<x<2，即不等式的解集为(−1,2)利用该分段函数的单调性可得x+2>x2，解出即可本题考查利用分段函数特征解不等式，涉及函数单调性，不等式解法，属于中档题．10.【答案】(−∞,−1e)【解析】解：由f(x)=lnx−mx ，得f′(x)=x+mx2(x>0)．令f′(x)=0，则x=−m，因为f(x)=lnx−mx的极小值大于0，所以−m>0，所以m<0，所以当x>−m时，f′(x)>0，当0<x<−m时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,−m)上单调递减，在(−m,+∞)上单调递增，所以f(x)极小值=f(−m)=ln(−m)+1>0，所以m<−1e，综上，m的取值范围为(−∞,−1e).故答案为：(−∞,−1e).对f(x)求导，根据f(x)=lnx−mx的极小值大于0，可得m<0，然后判断f(x)的单调性求出极小值，再由f(x)的极小值大于0，建立关于m的不等式，求出m的范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题．11.【答案】9【解析】解：依题意，等差数列{a n }各项都为正数，所以a 3>0，a 7>0，所以a 3a 7≤(a 3+a 72)2=(a 5)2=9．当且仅当a 3=a 7=3时等号成立．故答案为：9．因为等差数列{a n }各项都为正数，所以a 3a 7≤(a 3+a 72)2=(a 5)2=9．本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题．12.【答案】13【解析】解：如图，∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CE =2ED ，由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB⃗⃗⃗⃗⃗ =−6得 (DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CE⃗⃗⃗⃗⃗ )=−6，得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，得−ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2−9+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，得13CD ⃗⃗⃗⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1， ∴13×3×3cosC =1，∴cosC =13，故答案为13．利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 之间的关系即可解决．此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大．13.【答案】−35【解析】解：由方程cos(2x −π6)=35在(0,π)的解为x 1，x 2，得cos(2x 1−π6)=cos(2x 2−π6)， ∵x ∈(0,π)，∴2x −π6∈(−π6,11π6)，∴2x 1−π6+2x 2−π62=π，∴x 1=7π6−x 2．∴cos(x 1−x 2)=cos(7π6−2x 2).又cos(2x 2−π6)=35．∴cos(x 1−x 2)=cos(7π6−2x 2)=−cos(2x 2−π6)=−35．故答案为：−35．由已知可得x 1+x 2=7π6，得到x 1=7π6−x 2，则cos(x 1−x 2)=cos(7π6−2x 2)，结合已知得答案．本题考查y =Acos(ωx +φ)型函数的图象与性质，考查函数零点的判定及其应用，是中档题．14.【答案】[1,e 2−4−ln3)【解析】解：f(x)=3x 2−x 3，x ∈(0,3)， f′(x)=6x −3x 2=3x(2−x)，可得：函数f(x)在(0,2]上单调递增，在(2,3)上单调递减．而f(0)=f(3)=0，f(2)=4． ∴f(x)∈(0,4]=A ．g(x)=e x−1−a −lnx ，x ∈(0,3)， g′(x)=e x−1−1x ，在x ∈(0,3)上单调递增， g′(1)=0，∴函数g(x)在(0,1]上单调递减，在(1,3)上单调递增．x →0+时，g(x)→+∞；g(1)=1−a ，g(3)=e 2−a −ln3．令B =[1−a,e 2−a −ln3)．对于任意x 1∈(0,3)，总是存在两个不同的x 2，x 3∈(0,3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)⇔A ⊆B ．∴1−a ≤0，且4<e 2−a −ln3．解得1≤a <e 2−4−ln3．∴实数a 的取值范围为[1,e 2−4−ln3)．故答案为：[1,e 2−4−ln3)．f(x)=3x2−x3，x∈(0,3)，f′(x)=6x−3x2=3x(2−x)，可得其单调性极值与最值，设其值域为A.g(x)=e x−1−a−lnx，x∈(0,3)，g′(x)=e x−1−1x，在x∈(0,3)上单调递增，g′(1)=0，x→0+时，g(x)→+∞；g(1)=1−a，g(3)=e2−a−ln3.令B= [1−a,e2−a−ln3).对于任意x1∈(0,3)，总是存在两个不同的x2，x3∈(0,3)，使得f(x1)=g(x2)=g(x3)⇔A⊆B.即可得出实数a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】解：(1)∵余弦定理cosC=a2+b2−c22ab，且c=7，C=120°，∴可得a2+b2+ab=49，∵a−b=2，∴b2+2b−15=0，∵b>0，∴可得b=3，a=5．(2)∵由(1)可知a=5，b=3，c=7，∴cosB=a2+c2−b22ac =1314，∵B为△ABC的内角，∴sinB=√1−cos2B=3√314，∵sin(A+C)=sin(π−B)=sinB=3√314，∴sin(A+C)的值为3√314．【解析】(1)由已知利用余弦定理可得a2+b2+ab=49，结合a−b=2，即可解得a，b的值．(2)由(1)及余弦定理可求cos B，根据同角三角函数基本关系式可求sin B的值，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式可求sin(A+C)的值．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】解：(1)∵a⃗=(cosx,√3cosx)，b⃗ =(cosx,sinx)，a⃗//b⃗ ，∴cosxsinx=√3cos2x，∴cosx(sinx−√3cosx)=0，∴cosx =0或sinx −√3cosx =0，即cosx =0；或tanx =√3， ∵x ∈[0,π2]，∴x =π2或x =π3；(2)f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =cos 2x +√3cosxsinx =1+cos2x 2+√32sin2x =sin(2x +π6)+12∵x ∈[0,π2]，∴2x +π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x +π6)∈[−12,1]， ∴f(x)∈[0,32]，故f(x)的最大值为32，此时x =π6．【解析】(1)利用向量共线得到三角方程，转化为三角函数求值问题，易解； (2)把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值．此题考查了向量共线，数量积，三角函数求值等，难度不大．17.【答案】解：(1)设等比数列的公比为q(q ≠0)，∵a 2，a 3+1，a 4成等差数列，∴2(a 3+1)=a 2+a 4， ∵a 2=2，∴2(2q +1)=2+2q 2，解得q =2或q =0(舍)． ∴a 1=a 2q=1．∴数列{a n }的通项公式为a n =2n−1； (2)设c n =a n −2n +1=2n−1−2n +1，∴c n+1−c n =2n −2(n +1)+1−(2n−1−2n +1)=2n−1−2． ∴当n ≥3时，c n+1>c n ．又c 4=1>0，∴当n ≥4时，c n >0，即n ≥4时，b n =c n =2n−1−2n +1． ∵c 1=0，c 2=c 3=−1，∴b 1=0，b 2=b 3=1． ∴T 1=0，T 2=1，T 3=2，当n ≥4时，T n =b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b n=2+b 4+b 5+⋯+b n =2+(23+24+⋯+2n−1)−(7+9+⋯+2n −1) =2+23(1−2n−3)1−2−7+2n−12(n −3)=2n −n 2+3．综上，T n ={0,n =11,n =22,n =32n −n 2+3,n ≥4．【解析】(1)由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，则数列{a n }的通项公式可求；(2)设c n =a n −2n +1=2n−1−2n +1，作差可得当n ≥4时，c n >0，即n ≥4时，b n =c n =2n−1−2n +1，再求出数列{b n }的前3项，然后分类利用数列的分组求和求数列{b n }的前n 项和为T n ．本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查数列的函数特性，是中档题．18.【答案】解：(1)如下图所示，作OP ⊥CD 分别交AB ，GH 于点M ，N ，由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，∠COD =120°，故OM ⊥AB.ON ⊥GH ，P 、M 、N 分别为CD ，AB ，GH 的中点． ∠CON =60°，在Rt △COP 中，CP =2，∠COP =60°，所以OC =43√3，OP =23√3， ∴OM =OP −PM =OP −BC =√33，在Rt △ONG 中，∠GON =∠OGF =θ，OG =OC =43√3， ∴GN =43√3sinθ，ON =43√3cosθ，∴GH=2GN=83√3sinθ，GF=MN=ON−OM=43√3cosθ−√33，∴S=GF⋅GH=(43√3cosθ−√33)⋅83√3sinθ=83(4cosθ−1)sinθ，θ∈(0,π3).∴S关于θ的函数关系式为：S=83(4cosθ−1)sinθ，θ∈(0,π3).(2)根据(1)，知：S′=83(4cos2θ−4sin2θ−cosθ)=83(8cos2θ−cosθ−4)，∵θ∈(0,π3)，∴cosθ∈(12,1)．故令S′=0，解得cosθ=1+√12916∈(12,1)．设θ0∈(0,π3)且cosθ=1+√12916，∴S′>0，得0<θ<θ0，即S在(0,θ0)单调递增，S′<0，得θ0<θ<π3，即S在(θ0,π3)单调递减，∴当θ=θ0时，S取得最大值，∴当cosθ0=1+√12916时，矩形EFGH的面积S最大．【解析】本题第(1)题结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；第(2)题要对S关于变量θ的函数关系式进行求导分析，算出S′=0时的cosθ的值，三角计算即可得出结果．本题主要考查根据图形进行计算，掌握运用直角三角形勾股定理知识，三角函数的计算，函数的一阶导数分析能力．本题属中档题．19.【答案】解：(1)函数f(x)=√x√x f′(x)=2√x+2x√x，∴f′(1)=1．f(1)=0，∴切点(1,0)．∴f(x)的图象在x=1处的切线方程为：y=x−1．(2)F(x)=f(x)−x=√x√x−x(x>0)．F′(x)=2√x2x√x1，∴F′(x)在(0,+∞)上单调递减，又F′(1)=0．x∈(0,1)时，F′(x)>0，函数F(x)在(0,1)上单调递增；x∈(1,+∞)时，F′(x)<0，函数F(x)在(0,1)上单调递减．∴x=1时，函数F(x)取得极大值，F(1)=−1．(3)令g(x)=lnx−af(x)=lnx−a(√x√x)，x∈(0,1]，∴g′(x)=1x −a2(x x x)=√x)2√x−a2x x．①a≤0时，g′(x)>0，对x∈(0,1]恒成立，∴g(x)在x∈(0,1]单调递增．又g(1)=0，∴∃x0∈(0,1]时，g(x0)<0，与af(x)≤lnx对x∈(0,1]恒成立矛盾，舍去．②a≥1时，设u(x)=−a(√x)2+2√x−a，x∈(0,1]，△=4−4a2≤0，∴u(x)≤0，∴g′(x)≤0，对x∈(0,1]恒成立，∴g(x)在x∈(0,1]单调递减．又g(1)=0，∴g(x)≥g(1)=0，这与af(x)≤lnx对x∈(0,1]恒成立，∴a≥1成立．③0<a<1时，设u(x)=−a(√x)2+2√x−a，x∈(0,1]，△=4−4a2>0，由u(x)=0，解得：√x1=1−√1−a2a =2∈(0,1)；√x2=1+√1−a2a>1．∴0<x1<1<x2．∴x∈(x1,1)时，u(x)>0，∴g′(x)>0，∴g(x)在x∈(x1,1)单调递增．又g(1)=0，∴g(x1)<g(1)=0，这与af(x)≤lnx对x∈(0,1]恒成立，舍去．综上可得：a≥1成立．【解析】(1)函数f(x)=√x√x f′(x)=2√x2x√x，可得f′(1)=1.切点(1,0).利用点斜式即可得出切线方程．(2)F(x)=f(x)−x=√x√x −x(x>0).F′(x)=2√x+2x√x1，F′(x)在(0,+∞)上单调递减，而F′(1)=0.即可得出单调性与极值．(3)令g(x)=lnx−af(x)=lnx−a(√x√x )，x∈(0,1]，∴g′(x)=1x−a2(√x+x√x)=√x)2√x−a2x√x.a分类讨论，令u(x)=−a(√x)2+2√x−a，x∈(0,1]，△=4−4a2，利用导数研究其单调性即可得出实数a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】证明：(1)数列{a n}满足(n−1)a n+1=na n−a1,n∈N∗.①当n≥2时，(n−2)a n=(n−1)a n−1−a1,n∈N∗②①−②得(n−1)a n+1−2(n−1)a n+(n−1)a n−1=0，所以a n+1−2a n+a n−1=0，所以数列{a n}为等差数列．(2)由(1)得a2−a1=1，所以数列的公差为1，由于对任意的正整数n ，都有13<1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n<43，所以13<1S 1<43，则34<S 1<3，即34<a 1<3．所以1S 1+1S 2=1+13=43，这与题意相矛盾，所以a 1≠1．当a 1=2时，a n =n +1，所以S n =n(n+3)2>0，1S 1=12>13，1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n>13恒成立．由于1S n=23(1n −1n+3)，所以1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n=23(1−14+12−15+13−16+⋯+1n−2−1n+1+1n−1−1n+2+1n −1n+3)，=23(1+12+13−1n+1−1n+2−1n+3)<119<43．综上所述a 1=2．(3)由于a 2−a 1=15，所以数列{a n }的公差d 为15，所以a n =a 1+15(n −1)，则b n =a 1+15n +110，由题意知设存在正实数s 和t ，使得a s +b t =l ，则a 1+s5+a 1+t5+110=l ，则20a 1=2(5l −s −t)+1由于5l −s −t ∈Z ，所以2(5l −s −t)为偶数，所以|20a 1|≥1，所以|a 1|≥120．当a 1=120时，b 4=1920，所以存在a 1+b 4=l ∈Z ，综上所述，|a 1|=120．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用，利用等差中项进行证明． (2)利用放缩法的应用和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明． (3)利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值．本题考查的知识要点：等差数列的证明和通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用，假设法在数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.【答案】解：(1)依题意，得[a 13b]⋅[−13]=[1−3]，即{−a +3=1−3+3b =−3，解得{a =2b =0， ∴M =[2130]．(2)设曲线C 上一点P(x,y)在矩阵M 的作用下得到曲线y 2=x 上一点P′(x′,y′)，则 [x′y′]=[2130]⋅[xy ]，即{x′=2x +y y′=3x ．∵y′2=x′， ∴9x 2=2x +y ，∴曲线C 的方程为y =9x 2−2x ．【解析】本题第(1)题根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得a 、b 的值，即可得到矩阵M ；第(2)题根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程．本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程．本题属中档题．22.【答案】解：曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosα+2√3sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −√3)2=4．转换为直角坐标方程为y =k(x −1)(k =tanβ)，由于曲线C 被直线l 截得的弦长为√13，所以圆心到直线的距离d =√4−134=√32=√3−k|2，解得k =±√3，由于0<β<π2，所以k =tanβ=√3，解得β=π3．【解析】首先利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】证明：由于a +b +c =1，则a b+c +b c+a +c a+b =1−(b+c)b+c+1−(c+a)c+a+1−(a+b)a+b=1b+c+1c+a +1a+b −3，对于正数a ，b ，c ，由柯西不等式 [(b +c)+(c +a)+(a +b)](1b+c+1c+a+1a+b)≥(√b +c √b+c√c +a ⋅√c+a√a +b ⋅√a+b )2=9，所以1b+c +1c+a +1a+b ≥92，从而ab+c +bc+a +ca+b ≥92−3=32，当且仅当a =b =c =13时取等号，【解析】根据条件及要证的不等式左端结构，可先将分子化为1，再配凑柯西不等式．本题主要考查柯西不等式，关键在于配凑出柯西不等式的代数结构．24.【答案】解：(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A ，B ，C ，则P(A)=34，且有{P(A −)P(C −)=112P(B)P(C)=14，即{(1−34)[1−P(C)]=112P(B)P(C)=14，解得P(B)=38，P(C)=23．∴乙击中目标的概率为38，丙击中目标的概率为23． (2)由题意X 的可能取值为0，1，2， P(X =2)=14，P(X =0)=P(B −)P(C −)=58×13=524， P(X =1)=1−P(X =0)−P(X =2)=1324，∴X 的分布列为：E(X)=0×524+1×1324+2×14=2524．【解析】(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A ，B ，C ，则P(A)=34，且{P(A −)P(C −)=112P(B)P(C)=14，由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率．(2)由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.【答案】解：(1)∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，∴AA 1⊥平面ABC ，∵AB ，AC ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ， ∵∠BAC =90°，∴建立分别以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，设a =1，则AB =AC =1，AA 1=3，∴A(0,0，0)，E(1,0，1)，A 1(0,0，3)，F(0,1，2)， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， ∵|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1， ∴cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1F⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√2=−12，∴向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 和A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角为120°． ∴异面直线AE 与A 1F 所成角为60°．(2)∵E(a,0，b3)，F(0,a ，2b3)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0，b3)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ，2b3)，设平面AEF 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +b3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ay +2b3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(−λ3,−2λ3,1)，同理得平面A 1EF 的一个法向量p ⃗ =(2λ3,λ3,1)，∵平面AEF ⊥平面A 1EF ， ∴m ⃗⃗⃗ ⋅p ⃗ =−2λ29−2λ29+1=0，解得λ=23．∴当平面AEF ⊥平面A 1EF 时，λ的值为23．【解析】(1)推导出AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，建立分别以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE 与A 1F 所成角． (2)推导出平面AEF 的法向量和平面A 1EF 的一个法向量，由平面AEF ⊥平面A 1EF ，能求出λ的值．本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

江苏省苏州市三校2020届高三下学期5月联考数学试题 Word版含解析

4.运行如图所示的伪代码，其结果为．
【答案】17
【解析】
试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17
考点：循环结构流程图
5.如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，则该作品的平均分为___________.
(2)∵ ，是的中点，∴ ．又∵在直三棱柱中，底面 ⊥侧面，交线为，平面，∴ 平面．∵ 平面，∴ .∵ ，∴ ．而，∴ ，从而，∴ ，∴ .又∵ ，平面，平面，∴ 平面．
17.植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：
方案① 多边形为直角三角形（），如图1所示，其中；
(1)求证：BC1∥平面A1CD;
(2)若点P在线段BB1上，且BP＝ BB1，求证：AP⊥平面A1CD.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
（1）连接，与交于点，连结，可以证明，根据线面平行的判定可以可证明平面．（2）中易证，只要证明就可以证明平面，它可以由得到．
【详解】(1)连接，与交于点，连结，∵四边形是矩形，∴ 是的中点．在中，分别是的中点，∴ ，又∵ 平面，平面，∴ 平面．
【答案】
【解析】
【分析】
由茎叶图知，最高分为94，最低分为86，去掉这两个数后，剩下的5个数利用平均数的计算公式计算即可.
【详解】由茎叶图知，最高分为94，最低分为86，由题意，剩下5个数分别为，

2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷07(解析版)

直线 AB 的方程为____________．
答案：x＋y－3＝0
解析：设圆心为 C，由题知 kAB·kCP＝－1，又 kCP＝2－1＝1，∴ kAB＝－1，∴ 直线 AB 的方程为 y＝ 1－0
－(x－1)＋2，即 x＋y－3＝0.
11. 在△ABC 中，BC＝2，A＝2π，则A→B·A→C的最小值为________． 3
抛物线 y2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案： y＝± 3x 解析：由题设知a2＝1，又易知双曲线焦点在 x 轴上，且 a＝1，所以 b2＝c2－a2＝3，从而双曲线方程为
c2
x2－y2＝1，所以双曲线渐近线方程为 y＝± 3x. 3
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(m，1)到直线 4x－3y－1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y≥3 表示的平面区域内，则 m＝________．答案：6 解析：由题知|4m－4|＝4，得 m＝6 或－4，∴ P(6，1)或 P(－4，1)．又 2x＋y≥3，∴ m＝6. 5
11
＝
a
[π
－ 1 x4＋4x3－12x2 25 3
＋12×104]，(10
分)
11
令 f(x)＝－ 1 x4＋4x3－12x2，则 25 3
f′(x)＝－
4
x3＋4x2－24x＝－4x
1 x2－x＋6 25
.
25
由 f′(x)＝0，解得 x＝0(舍去)或 x＝10 或 x＝15，(12 分)
列表如下：
a
a
14. 已知等比数列{an}的首项为4，公比为－1，其前 n 项和为 Sn，若 A≤Sn－ 1 ≤B 对 n∈N*恒成立，则 B

苏州市2019-2020学年第一学期高三期中调研试卷数学试题含附加题配答案

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（2）由（1）知 a 5,b 3, c 7 ，所以 cos B a2 c2 b2 13 ，................................. 10 分
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14
因为 B 为 ABC 的内角，所以 sin B 1 cos2 B 3 3 ，................................................12 分 14
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江苏省苏州市2020学年度高三数学期中考试卷新课标人教版

江苏省苏州市2020学年度高三数学期中考试卷一、选择题： 2020。

11。

14。

1、若sin cos 0θθ⋅<，则θ在A 、第一、二象限B 、第一、三象限C 、第二、三象限D 、第二、四象限 2、设全集{2,4,6,8,10}U =，集合{2,4,6}A =，{4,8}B =，则()U A C B =IA 、{2,6}B 、{4,6}C 、{4}D 、{6} 3、函数32()31f x x x =-+的极小值为A 、2B 、1C 、3-D 、4- 4、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图象与y 轴交于点(0,4)（如图所示），则方程()0f x =在[2,6]上的根是A 、6B 、4C 、2D 、2- 5、已知函数3()2cos()12f x x ππ=-+，则下列正确的是A 、()f x 是周期为1的奇函数B 、()f x 是周期为2的奇函数C 、()f x 是周期为2的偶函数D 、()f x 是周期为2的非奇非偶函数 6、设等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若6312S S =，则93S S = A 、13 B 、12 C 、23 D 、347、给出如下两个命题：命题A ：函数(1)y a x =-为增函数命题B ：不等式2(1)40()x a x a R +++≤∈的解集为∅ 若A 与B 中有且仅有一个是真命题，则实数a 的取值范围是 A 、(5,1][3,)-+∞U B 、[5,1](3,)-+∞U C 、(5,1)[3,)-+∞U D 、(5,1)(3,)-+∞U 8、已知数列{}n a 满足10a =，12524n n n a a a +-=-，则2006a =A 、0B 、1C 、43D 、29、已知非零向量AB u u u r 与AC u u u r 满足()||cos ||cos AB ACBC AB AC AB B AC C+⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则ABC ∆为 A 、三边均不等的三角形B 、直角三角形C 、等腰非等边三角形D 、等边三角形10、某纺织厂的一个车间有技术工人m 名（m N *∈），编号分别为1，2，3，……，m ，有n 台（n N *∈）织布机，编号分别为1，2，3，……，n ，定义记号ij a ：若第i 名工人操作了第j 号织布机，规定1ij a =，否则0ij a =，则等式41424343n a a a a ++++=L L 的实际意义是 A 、第4名工人操作了3台织布机 B 、第4名工人操作了n 台织布机C 、第3名工人操作了4台织布机D 、第3名工人操作了n 台织布机二、填空题：11、若向量(1,3)a =-r ，(,2)b x =r，且//a b r r ，则x =__________12、函数y =____________13、直线2my x =与圆2240x y mx ny +++-=交于,M N 两点，且,M N 关于直线0x y +=对称，则弦MN 的长为________________14、在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，11tan ,tan 23A B ==，且ABC ∆最短边的长为1，则ABC ∆的面积为_____________15、在等差数列{}n a 中，1a 为首项，n S 是其前n 项的和，将1()2n n a a nS +=整理为11122n n S a a n =+后可知：点121122(,),(,),,(,),12n n n S S S P a P a P a nL L L L （n 是正整数）都在直线11122y x a =+上，类似地，若{}n a 是首项为1a ，公比为(1)q q ≠的等比数列，则点111222(,),(,),,(,),n n n P a S P a S P a S L L L L （n 是正整数）在直线_______________上16、设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使12()()2f x f x c +=（c 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为c给出下列四个函数：（1）3y x =；（2）4sin y x =；（3）lg y x =；（4）2xy =，则满足在其定义域上均值为2的函数的序号是___________ 三、解答题：17、已知圆C 经过点(2,1)A -，和直线1:1l x y +=相切，圆心在直线20x y +=上（1）求圆C 的方程。

2020届江苏高三数学模拟试题以及答案

2020届江苏高三数学模拟试题以及答案1.已知集合U={-1.0.1.2.3.23}，A={2.3}，则U-A={-1.0.1.4.5.23}。

2.已知复数z=a+bi是纯虚数，则a=0.3.若输出y的值为4，则输入x的值为-1.4.该组数据的方差为 9.5.2只球都是白球的概率为 3/10.6.不等式f(x)>f(-x)的解集为x2.7.S3的值为 61/8.8.该双曲线的离心率为 sqrt(3)/2.9.该几何体的体积为27π/2.10.sin2α的值为 1/2.11.λ+μ的值为 1/2.12.离墙距离为 3.5m时，视角θ最大。

13.实数a的值为 2.14.CD的最小值为 3/2.15.在△ABC中，已知$a$，$b$，$c$分别为角$A$，$B$，$C$所对边的长度，且$a(\sin A-\sin B)=(c-b)(\sin B+\sin C)$。

1）求角$C$的值；2）若$a=4b$，求$\sin B$的值。

16.如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，平面$BPC$⊥平面$DPC$，$BP=BC$，$E$，$F$分别是$PC$，$AD$的中点。

证明：（1）$BE\perp CD$；（2）$EF\parallel$平面$PAB$。

17.如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，经过点$M(0,1)$。

1）求椭圆$C$的方程；2）过点$M$作直线$l_1$交椭圆$C$于$P$，$Q$两点，过点$M$作直线$l_1$的垂线$l_2$交圆$N(x_0,0)$于另一点$N$。

若$\triangle PQN$的面积为$3$，求直线$l_1$的斜率。

18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一。

现用一张长$2$米，宽$1.5$米的长方形牛皮纸$ABCD$裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边$AB$，$AD$上取点$E$，$F$，将三角形$AEF$沿直线$EF$翻折到$A'EF$处，点$A'$落在牛皮纸上，沿$A'E$，$A'F$裁剪并展开，得到风筝面$AEA'F$，如图$1$。

2020届江苏省高三高考全真模拟(一)数学试题(含答案解析)

5．已知是定义在R上的奇函数．当时，，若，则实数t的值为_____________．
6．为了践行“健康中国”理念更好地开展群众健身活动，某社区对居民的健身情况进行调查，统计数据显示，每天健身时间（单位：min）在，，，，内的共有600人，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这600名居民中每天健身时间在内的人数为_____________．
2020届江苏省高三高考全真模拟（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合，，则 _____________．
2．已知复数（i为数单位）为纯虚数，则实数a的值为_____________．
（3）设，数列为数列的“偏差数列”，、且，若，（）对任意的恒成立，求的最小值．
21．已知矩阵，对应的变换把点变成点．
（1）求a，b的特征值；
（2）求矩阵M的特征值．
22．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的极坐标方程为、直线的极坐标方程为．
（1）求函数的极值；
（2）若函数有2个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的，恒成立，求实数a的最大值．
20．若数列，满足，则称数列是数列的“偏差数列”．
（1）若常数列是数列的“偏差数列”，试判断数列是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列是各项均为正整数的等比数列，且，数列为数列的“偏差数列”，数列为递减数列，求数列的通项公式；
7．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，E为PD的中点，已知，，，则三棱锥的体积为_____________．

江苏省南师大苏州实验学校2020届高三年级阶段测试数学试卷(WORD含解析2020.05.19)

南师大苏州实验学校2020届高三阶段测试数学试卷 2020.05.19一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案写在答题卡相应位置．) 1．集合A ＝{1，0}，B ＝{22a +，3}，若A U B ＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为． 2．已知复数i z 230+=，复数z 满足003z z z z +=⋅，则复数z = ．3．某校有200名师生参加了全程马拉松比赛，他们的成绩的频率分布直方图如图，则用时不超过4h 的师生大约有名．4．现有4名学生A ，B ，C ，D 申报清华、北大的2020年强基计划招生，每校有两人申报，则“A ，B 两人恰好申报同一所大学”的概率为．5．上图求3＋6＋9＋…＋2019的值的伪代码中，正整数m 的最大值为．（第3题）（第5题）6．有一个半径为4的球是用橡皮泥制作的，现要将该球所用的橡皮泥重新制作成一个圆柱和一个圆锥，使得圆柱和圆锥有相等的底面半径和相等的高，若它们的高为8，则它们的底面圆的半径是．7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1≤1a ≤3，3≤13a S +≤6，则21a a 的取值范围是． 8．已知0ω>，02πϕ<<，函数()2cos()f x x ωϕ=+过点(0，且在(2π，π)上单调递增，则ω的取值范围是．9．在△ABC 中，若D 在边AB 上，且AD ＝DB ，F 在线段CD 上，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，AF xa yb =+u u ur r r ，则14x y+的最小值为．10．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式20201131>-n T 成立的最大正整数n 的值是． 11．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线MN 过F 2，且与双曲线右支交于M 、N 两点，若cos ∠F 1MN ＝cos ∠F 1F 2M ，11FM 1F N2=，则双曲线的离心率等于． 12．已知a ＞0，函数2()3f x x x a =+--在[﹣1，1]上的最大值为2，则a ＝． 13．已知点)0,1(M ，点A 在圆422=+y x 上，点B 在圆922=+y x 上，若3=⋅MB MA ，则MB MA +的最大值是．14．用max{a ，b }表示a ，b 中的最大值，设函数()f x ＝max{341x kx -+-，ln x }（x ＞0）有三个零点，则实数k 的取值范围是．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．已知△ABC 中，2AB AC S 7⋅=u u u r u u u r （S 表示△ABC 的面积）．（1）若BC ＝2，求△ABC 外接圆的半径；（2）若B ﹣C ＝4π，求sinB 的值．16．如图，三角形PCD 所在的平面与等腰梯形ABCD 所在的平面垂直，AB ＝AD ＝12CD ，AB ∥CD ，CP ⊥CD ，M 为PD 的中点．（1）求证：AM ∥平面PBC ；（2）求证：BD ⊥平面PBC ．17．如图，一条东西流向的笔直河流．现利用监控船D 监控河流南岸相距150米的A 、B 两处（A在B 的正西侧）．监控中心C 在河流北岸，测得∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，AB ＝．监控过程中，保证监控船D 观测A 和监控中心C 的视角为120°．A ，B ，C ，D 视为在同一个平面上，记△ADC 的面积为S ，∠DAC ＝θ．（1）求AC 的长度；（2）试用θ表示S ，并求S 的最大值．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦（不经过原点），直线(0)y kx k =>经过弦AB 的中点，与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线AB 的斜率为1k ．（1）若点Q 的坐标为(1，32)，求椭圆C 的方程；（2）求证：1k k 为定值；（3）过P 作x 轴的垂线，垂足为R ，若直线AB 和直线QR 倾斜角互补，且△PQR 的面积为，求椭圆C 的方程．19．已知函数()1xxf x mx e =-+．（1）当m ＝1时，求()y f x =在[﹣1，1]最小值；（2）若()f x 有两个零点，求m 的取值范围．20．设n S 是各项均为非零实数的数列{}n a 的前n 项和，给出如下两个命题：命题p ：{}n a 是等差数列；命题q ：等式1223111111n n n kn b a a a a a a a a ++++++=L 对任意n (N n *∈)恒成立，其中k 、b 是常数．（1）若p 是q 的充分条件，求k ，b 的值；（2）对于（1）中的k 与b ，问p 是否为q 的必要条件，请说明理由；（3）若p 为真命题，对于给定的正整数n (n ＞1)和正数M ，数列{}n a 满足条件2211n a a ++≤M ，试求n S 的最大值．南师大苏州实验学校高三阶段测试数学试卷（附加题） 2020051921A. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=71,1221M ,求5M21B. 在平面直角坐标系xOy 中，射线l：y =(x ≥0)，曲线C 1的参数方程为3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线C 2的方程为22(2)4x y +-=；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为8sin ρθ=．（1）写出射线l 的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程；（2）已知射线l 与C 2交于O ，M ，与C 3交于O ，N ，求MN 的值．22.为迎接《全国高中毕业生体能测试》，学校组织学生开展为期两个月的某项运动训练活动，并在结束后对学生进行了考核．记X 表示学生的考核成绩，并规定X ≥85为考核优秀．为了了解本期训练活动的效果，在参加训练的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图．（1）从参加训练的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（2）从图中考核成绩满足X ∈[70，79]的学生中任取3人，设Y 表示这3人重成绩满足X 85-≤10的人数，求Y 的分布列和数学期望．3210095421187776321854331061109876523．已知2220122(1)(N )nn n x a a x a x a x n ++=++++∈L ．（1）求12212n n a a a a --++-L 的值；（2）求122121111n na a a a --++-L 的值．南师大苏州实验学校2020届高三阶段测试数学参考答案1、02、i 231-3、504、315、20226、227、]35,0[8、]47,23[ 9、6+42 10、6 11、2 12、3或4513、123+ 14、（3,5）16、略。

江苏省苏州市2020-2021学年高三第一学期期中考试数学试卷

江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试高三数学2020．11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A ＝{}260x x x --≤，B ＝{}24x x >，则A B ＝A ．(2，3)B ．[2，3]C ．(2，3]D ．[2，3] {﹣2}2．角α的终边经过点(3﹣sin α，cos α)，则sin α的值为A ．15B ．14C ．13D ．343．等差数列{}n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列的前20项和等于A ．160B ．180C ．200D ．2204．函数“()f x =的定义域为R”是“a ≥1”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数2(e e )cos ()x x x f x x --=的部分图像大致是6．已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点(0，﹣e)，且与曲线C ：()y f x =相切，则直线l 的斜率为A ．﹣2B ．2C ．﹣eD ．e 7．衣棚里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：e kt V a -=⋅．已知新丸经过50天后，体积变为49a ．若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为A ．125B ．100C ．75D ．508．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，112a =，2n S <，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是A ．(0，34]B ．(0，23]C ．(0，34)D ．(0，23)二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则A ．()g x 的图像关于点(2，0)对称B ．()g x 的图像的一条对称轴是x ＝6πC ．()g x 在(56π-，6π)上递减D ．()g x 在(3π-，3π)值域为(0，1)10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差d ≠0，则A ．若59S S >，则150S >B ．若59S S =，则7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则78S S >D ．若67S S >，则56S S >11．已知函数()lg(1)f x x =-，1b a >>且()()f a f b =，则A ．1＜a ＜2B ．a ＋b ＝abC ．ab 的最小值为1D ．11211a b +>--12．函数ln ()e 1x x k f x x +=--在(0，+∞)上有唯一零点0x ，则A ．00e 1x x =B ．0112x <<C ．1k =D ．1k >三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知函数22()(2)f x ax a x a =+++为偶函数，则不等式(2)()0x f x -<的解集为．14．对任意正数x ，满足224y xy y x +=-，则正实数y 的最大值为．15．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款1000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为．（取1.211＝7.5，1.212＝9）16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当x ≥0时，()1xf x '>()f x -．若对任意x ∈R ，不等式e (e )e ()0x x x f ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数()sin()f x x ωϕ=-(ω＞0，ϕ≤2π)的最小正周期为π．（1）求ω的值及()(6g f πϕ=的值域；（2）若3πϕ=，sin 2cos 0αα-=，求()f α的值．18．（本小题满分12分）已知函数321()232a f x x x x =-+-(a ∈R)．（1）当a ＝3时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若对于任意x ∈[1，+∞)都有()2(1)f x a <-成立，求实数a 的取值范围．在①c sin B C 2+＝a sinC ，②2cosA(b cosC ＋c cosB)＝a ，③(sinB ﹣sinC)2＝sin 2A ﹣sinBsinC 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c ＝(1)b ，．（1）求C 的值；（2）若△ABC 的面积为3-，求b 的值．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足112a b ==，35730a a a ++=，2316b b a =．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．①是否存在正整数k ，使得1k T +=32k k T b ++成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式n n S b ≥．若函数()f x 在x ∈[a ，b ]时，函数值y 的取值区间恰为[k b ，k a](k ＞0)，则称[a ，b ]为()f x 的一个“k 倍倒域区间”．定义在[﹣4，4]上的奇函数()g x ，当x ∈[0，4]时，2()g x x =-4x +．（1）求()g x 的解析式；（2）求()g x 在[2，4]内的“8倍倒域区间”；（3）若()g x 在定义域内存在“k (k ≥8)倍倒域区间”，求k 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()e sin x f x ax x =+⋅．（1）求曲线C ：()y f x =在x ＝0处的切线方程；（2）当a ＝﹣2时，设函数()()f x g x x=，若0x 是()g x 在(﹣π，0)上的一个极值点，求证：0x 是函数()g x 在(﹣π，0)上的唯一极大值点，且0＜0()g x ＜2．。

江苏省苏州市常熟市2020届高三阶段性抽测三数学试题 Word版含解析

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数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）
1.已知集合{}2A x x =≤，(){}40B x x x =-≤，则
()A B =R ________. 【答案】(]2,4
【解析】
【分析】
对集合B 进行化简，先求出A R ，根据集合的交集运算，得到答案.
【详解】集合(){}{}4004B x x x x x =-≤=≤≤
因为集合{}2A x x =≤
所以
{}2R A x x => 所以(){}(]242,4R A B x x ⋂=<≤=.
故答案为：(]2,4.
【点睛】本题考查解一元二次不等式，集合的补集、交集运算，属于简单题.
2.若i 是虚数单位，复数()()12z a i i =++是纯虚数，则实数a
的值为________.
【答案】2
【解析】
【分析】
对复数z 进行化简，然后根据纯虚数的概念，得到a 的值.
详解】复数()()12z a i i =++ 222a i ai i =+++
()()221a a i =-++
因为z 为纯虚数，所以20a -=,210a +≠ ，所以2a =.
故答案为：2。

江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研数学试题(一)

江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把[答案]直接填写在答题卡相应位置上。

1.已知i为虚数单位，复数11zi=+，则｜z｜=2.已知集合A={x｜0≤x≤1}，B={x｜a-1≤x≤3}，若A⋂B中有且只有一个元素，则实数a的值为3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2221(0)4x yaa-=>的一条渐近线方程为23y x=，则a=5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是6.右图是一个算法的流程图，则输出的x的值为7.“直线l1:ax+y+1=0与直线l2:4x+ay+3=0平行”是“a=2”的条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8.已知等差数列{a n}的前n项和为Sn，a1=9，9595S S-＝－4，则a n=9.已知点M是曲线y=2ln x+x2-3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为10.已知3cos2α＝4sin(4π－α)，α∈(,4ππ)，则sin2α=11.如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB =1，BC =2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ，EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为12.在∆ABC 中，，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是 13.若函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1<m <n )，则a 的取值范围是14.如图，在∆ABC 中，AB =4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE =2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB ，则∆ABC 面积的最大值为二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年6月江苏省苏北七市2020届高三毕业班下学期第三次调研联考数学试题(解析版)

绝密★启用前江苏省苏北七市普通高中(南通泰州扬州徐州淮安连云港宿迁)2020届高三毕业班下学期第三次联合调研考试数学试题(解析版)2020年6月一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1. 已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，则A B＝_______．【答案】{﹣1，0，1，2}【解析】【分析】直接利用集合的并集运算求解.【详解】解：∵集合A＝{﹣1,0,1},B＝{0,2},∴A B＝{﹣1,0,1,2}．故答案为：{﹣1,0,1,2}【点睛】本题主要考查集合的并集运算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.2. 设复数z满足(3﹣i)z,其中i为虚数单位,则z的模是_______．【答案】1【解析】【分析】先利用复数的除法求出复数z,再求复数的模得解.【详解】解：∵(3﹣i)z＝10,∴1010(3)3101031010i i i z ++====+, ∴2231010()()11010z =+=．故答案为：1【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数模的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.3. 如图是一个算法流程图,则输出的k 的值是____．【答案】5【解析】【分析】由已知中的框图可知进入循环的条件为不满足条件2k 4k 0，->模拟程序的运行结果,即可得到输出的k 值【详解】模拟执行程序,可得k=1不满足条件2k 4k 0,->执行循环体,k=2不满足条件2k 4k 0,->执行循环体,k=3不满足条件2k 4k 0,->执行循环体,k=4。

江苏省苏州市2020届高三数学上学期期中调研试题(含解析)

江苏省苏州市2020届高三数学上学期期中调研试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}0x x >，则A I B ＝．答案：{1，2}考点：集合的交集运算解析：∵集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}0x x >， ∴A I B ＝{1，2}． 2．已知复数z 满足i 2iz=+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为．答案：﹣1 考点：复数解析：∵i 2iz=+ ∴2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，则复数z 的实部为﹣1．3．已知向量a r ＝(x ，2)，b r ＝(2，﹣1)，且a r ⊥b r，则实数x 的值是．答案：1考点：平面向量数量积坐标运算解析：∵a r ＝(x ，2)，b r＝(2，﹣1)， ∴a r ·b r＝2x ﹣2 ∵a r ⊥b r∴a r ·b r＝2x ﹣2＝0，解得x ＝1．4．函数y =的定义域为．答案：(1，2)考点：函数的定义域解析：由题意得：1020x x ->⎧⎨->⎩，解得1＜x ＜2，即原函数定义域为(1，2)．5．等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S = ．答案：31考点：等比数列前n 项和解析：由题意，341881a q a ===，解得q ＝2， ∴55213121S -==-． 6．已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为．答案：25考点：同角三角函数关系式解析：sin sin tan 22cos cos 2sin cos 2sin 12tan 1225cos αααααααααα====++++⨯． 7．“2x >”是“1x >”的条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．）答案：充分不必要考点：充分条件、必要条件、充要条件的判断解析：因为“2x >”一定能推出“1x >”，但“1x >”不能推出“2x >”，故“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 8．已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ(π02ϕ<<)个单位长度得到函数y ＝πsin(2)6x +的图象，则ϕ的值为．答案：12π 考点：三角函数的图像与性质解析：函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ(π02ϕ<<)个单位则得sin 2()y x ϕ=+，即sin 2()y x ϕ=+＝πsin(2)6x +求得12πϕ=．9．设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式2(2)()f x f x +>的解集为．答案：(﹣1，2) 考点：函数的单调性解析：根据题意可得函数()f x 是R 上的单调递增函数，又2(2)()f x f x +> 22x x +>，220x x --<，解得﹣1＜x ＜2，∴原不等式解集为(﹣1，2)．10．已知函数()ln mf x x x=-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为．答案：(-∞，1e-) 考点：利用导数研究函数极值解析：∵函数()ln m f x x x=-， ∴221()m x mf x x x x +'=+=，当m ≥0时，()f x '＞0，()f x 在(0，+∞)单调递增；当m ＜0时，当x ＝﹣m 时，()f x 有极小值()ln()10f m m -=-+>，解得：1m e<-． 11．已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为．答案：9考点：等差数列的性质，基本不等式解析：∵各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =， ∴37526a a a +==∴23737()92a a a a +≤=，当且仅当37a a =＝3时取“＝”． 12．已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE 2ED =u u u r u u u r ，若AE EB 6⋅=-u u u r u u u r，则cosC ＝．答案：13考点：平面向量数量积解析：∵AE EB 6⋅=-u u u r u u u r，∴(AD DE)(CB CE)6+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r12(CB CD)(CB CD)633--⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，2221CB CD CB CD 693-++⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r，∵菱形ABCD 的棱长为3，求得CB CD ⋅u u u r u u u r ＝3，∴CB CD 31cos C 93CB CD ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ．13．若方程π3cos(2)65x -=在(0，π)的解为1x ，2x ，则12cos()x x -= ．答案：35-考点：三角函数的图像与性质，诱导公式解析：根据题意，令函数()cos(2)6f x x π=-，当3()5f x =时，在(0，π)上有两个零点1x ，2x ，一方面13cos(2)65x π-=，另一方面可得两个零点1x ，2x 关于直线12x π=对称，则2176x x π=-，则1211177cos()cos[()]cos(2)66x x x x x ππ-=--=- 113cos(2)cos(2)665x x πππ=--=--=-．14．已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x ea x -=--，若对于任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为．答案：[1，2ln34e --) 考点：函数与不等式解析：根据23111()3f x x x =-，1x ∈(0，3)，求得1()f x 的值域为(0，4]， 1()ln x g x ea x -=--，11()x g x ex-'=-，可以判断()g x '在(0，3)上单调递增又(1)0g '=，故当0＜x ＜1时，()g x '＜0，()g x 在(0，1)单调递减当1＜x ＜3时，()g x '＞0，()g x 在(0，1)单调递增计算得(1)1g a =-，2(3)ln 3g e a =--，要使任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则210ln 34a e a -≤⎧⎨-->⎩，求得1≤a ＜2ln34e --．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，c ＝7，a ﹣b ＝2．（1）求a ，b 的值；（2）求sin(A ＋C)的值．16．（本题满分14分）已知向量a r ＝(cos x ，3cos x )，b r＝(cos x ，sin x )．（1）若a r ∥b r ，x ∈[0，2π]，求x 的值；（2）若()f x a b =⋅r r ，x ∈[0，2π]，求()f x 的最大值及相应x 的值．17．（本题满分14分）已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．（本题满分16分）如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆心为O．经测量AB＝4米，BC＝3米，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF＝θ，矩形EFGH的面积为S．（1）求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；（2）求cosθ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？19．（本题满分16分）已知函数()f x x x=-．（1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对x ∈(0，1]恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足11(1)n n n a na a +-=-，n *∈N ．（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有1113S <2311143n S S S +++⋅⋅⋅+<，求整数1a 的值；（3）设数列{}n b 满足310n n b a =+，若2115a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s ta b +是整数，求1a 的最小值．附加题（共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（本题满分10分）已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程．B ．（本题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为2cos 23ραα=+（α为参数），直线l 的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，π02β<<），若曲线C 被直线l 13求β的值．C ．（本题满分10分）设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++．22．（本题满分10分）某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14．甲乙丙是否击中目标相互独立．（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．23．（本题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且113BE BB =，1113C F CC =．设b a λ=．（1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．。

B04-江苏省苏州市2020届高三第一学期期中调研数学试题

江苏省苏州市2020届高三年级期中考试数学I 卷(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{}x |x>0，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z 满足z2＋i ＝i (i 为虚数单位)，则复数z 的实部为________．3. 已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则实数x 的值是________．4. 函数y ＝lg （x －1）2－x的定义域为________．5. 等比数列{}a n 中，a 1＝1，a 4＝8，S n 是{}a n 的前n 项和，则S 5＝________．6. 已知tan α＝2，则sin αcos α＋2sin α的值为________．7. “x>2”是“x>1”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)8. 已知函数y ＝sin 2x 的图象上每个点向左平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，则φ的值为________． 9. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x， x ≥0，2x ＋1， x<0，则不等式f(x ＋2)>f(x 2)的解集为________．10. 已知函数f(x)＝ln x －mx 的极小值大于0，则实数m 的取值范围为________．11. 已知各项都为正数的等差数列{}a n 中，a 5＝3，则a 3a 7的最大值为________． 12. 已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE →＝2ED →，若AE →·EB →＝－6，则cos C ＝________．13. 若方程cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝35在(0，π)的解为x 1，x 2，则cos (x 1－x 2)＝________． 14. 已知函数f(x)＝3x 2－x 3，g(x)＝e x －1－a －ln x ，若对于任意x 1∈(0，3)，总是存在两个不同的x 2，x 3∈(0，3)，使得f(x 1)＝g(x 2)＝g(x 3)，则实数a 的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，c ＝7，a －b ＝2. (1) 求a ，b 的值；(2) 求sin (A ＋C)的值．16. (本小题满分14分)已知向量a ＝(cos x ，3cos x )，b ＝(cos x ，sin x )． (1) 若a ∥b ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求x 的值； (2) 若f (x )＝a·b ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求f (x )的最大值及相应x 的值．已知等比数列{}a n 满足a 2＝2，且a 2，a 3＋1，a 4成等差数列． (1) 求数列{}a n 的通项公式；(2) 设b n ＝||a n －2n ＋1，求数列{}b n 的前n 项和T n .如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆心为O.经测量AB＝4米，BC＝33米，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF＝θ，矩形EFGH 的面积为S.(1) 求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；(2) 求cosθ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？已知函数f(x)＝x－1 x .(1) 求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2) 求函数F(x)＝f(x)－x的极大值；(3) 若af(x)≤ln x对x∈(0，1]恒成立，求实数a的取值范围．已知数列{}a n 满足(n －1)a n ＋1＝na n －a 1，n ∈N *. (1) 证明：数列{}a n 为等差数列；(2) 设数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a 2－a 1＝1，且对任意的正整数n ，都有13<1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <43，求整数a 1的值；(3) 设数列{}b n 满足b n ＝a n ＋310，若a 2－a 1＝15，且存在正整数s ，t ，使得a s ＋b t 是整数，求||a 1的最小值．2020届高三年级期中模拟考试(一)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. (本小题满分10分)已知二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 13b 的特征值λ＝－1所对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13.(1) 求矩阵M ；(2) 设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C ′的方程为y 2＝x ，求曲线C 的方程．B. (本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos α＋23sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos β，y ＝t sin β⎝⎛⎭⎫t 为参数，0<β<π2，若曲线C 被直线l 截得的弦长为13，求β的值．C. (本小题满分10分)设正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32.22. (本小题满分10分)某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲、乙、丙三人是否击中目标相互独立．(1) 求乙、丙二人各自击中目标的概率；(2) 设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．23. (本小题满分10分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，AA 1＝b ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且BE ＝13BB 1，C 1F ＝13CC 1.设λ＝b a.(1) 当λ＝3时，求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小；(2) 当平面AEF ⊥平面A 1EF 时，求λ的值．2020届高三年级期中模拟考试(一)(苏州)数学参考答案1. {1，2} 解析：因为集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{}x |x>0，所以A ∩B ＝{1，2}． 2. －1 解析：因为z2＋i＝i ，所以z ＝i (2＋i )＝2i ＋i 2＝－1＋2i ，则复数z 的实部为－1. 3. 1 解析：因为a ＝(x ，2)，b ＝(2，－1)，所以a·b ＝2x －2.因为a ⊥b ，所以a·b ＝2x －2＝0，解得x ＝1.4. (1，2) 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2－x>0，解得1＜x ＜2，即原函数的定义域为(1，2)．5. 31 解析：由题意，q 3＝a 4a 1＝81＝8，解得q ＝2，所以S 5＝25－12－1＝31.6. 25 解析：sin αcos α＋2sin α＝sin αcos αcos α＋2sin αcos α＝tan α1＋2tan α＝21＋2×2＝25. 7. 充分不必要解析：因为“x>2”一定能推出“x>1”，但“x>1”不能推出“x>2”，故“x>2”是“x>1”的充分不必要条件．8.π12解析：函数y ＝sin 2x 的图象上每个点向左平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度，得到y ＝sin 2(x ＋φ)，即y ＝sin 2(x ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，即φ＝π12. 9. (－1，2) 解析：根据题意可得函数f(x)是R 上的单调增函数，又f (x ＋2)>f (x 2)，x ＋2>x 2，x 2－x －2<0，解得－1＜x ＜2，所以原不等式的解集为(－1，2)．10. ⎝⎛⎭⎫－∞，－1e 解析：因为函数f(x)＝ln x －m x ，所以f′(x)＝1x ＋m x 2＝x ＋mx 2，当m ≥0时，f′(x)＞0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当m ＜0时，当x ＝－m 时，f(x)有极小值f(－m)＝ln (－m)＋1>0，解得m<－1e.11. 9 解析：因为各项都为正数的等差数列{}a n 中，a 5＝3，所以a 3＋a 7＝2a 5＝6，所以a 3a 7≤⎝⎛⎭⎫a 3＋a 722＝9，当且仅当a 3＝a 7＝3时取等号．12. 13 解析：因为AE →·EB →＝－6，所以(AD →＋DE →)·(CB →－CE →)＝－6，⎝⎛⎭⎫－CB →－13CD →·(CB →－23CD →)＝－6，－|CB →|2＋29|CD →|2＋13CB →·CD →＝－6，因为菱形ABCD 的棱长为3，所以CB →·CD →＝3，所以cos C ＝CB →·CD →||CB →·||CD→＝39＝13.13. －35 解析：根据题意，令函数f(x)＝cos (2x －π6)，当f(x)＝35时，在(0，π)上有两个零点x 1，x 2，一方面cos ⎝⎛⎭⎫2x 1－π6＝35，另一方面可得两个零点x 1，x 2关于直线x ＝π12对称，则x 2＝7π6－x 1，则cos (x 1－x 2)＝cos [x 1－(7π6－x 1)]＝cos (2x 1－7π6)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 1－π6－π＝－cos (2x 1－π6)＝－35.14. [1，e 2－ln 3－4) 解析：根据f(x 1)＝3x 21－x 31，x 1∈(0，3)，求得f(x 1)的值域为(0，4]，g(x)＝e x －1－a －ln x ，g′(x)＝e x －1－1x ，可以判断g′(x)在区间(0，3)上单调递增．又g′(1)＝0，故当0＜x ＜1时，g′(x)＜0，g(x)在区间(0，1)上单调递减．当1＜x ＜3时，g′(x)＞0，g(x)在区间(0，1)上单调递增，计算得g(1)＝1－a ，g(3)＝e 2－a －ln 3，要使任意x 1∈(0，3)，总是存在两个不同的x 2，x 3∈(0，3)，使得f(x 1)＝g(x 2)＝g(x 3)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤0，e 2－a －ln 3>4，解得1≤a ＜e 2－ln 3－4.15. (1) 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，且c ＝7，C ＝120°可得a 2＋b 2＋ab ＝49.(3分)因为a －b ＝2，所以b 2＋2b －15＝0.(5分) 因为b>0，所以b ＝3，a ＝5，综上所述，a ＝5，b ＝3.(7分) (2) 由(1)知a ＝5，b ＝3，c ＝7，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1314.(10分)因为B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝1－cos 2B ＝3314.(12分)因为sin (A ＋C)＝sin (π－B)＝sin B ＝3314，所以sin (A ＋C)的值为3314.(14分)16. (1) 因为a ＝(cos x ，3cos x )，b ＝(cos x ，sin x )，a ∥b ，所以cos x sin x ＝3cos 2x ，所以cos x (sin x －3cos x )＝0，(2分)所以cos x ＝0或sin x －3cos x ＝0，即cos x ＝0或tan x ＝ 3.(4分)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＝π2或x ＝π3.(6分) (2) 因为a ＝(cos x ，3cos x )，b ＝(cos x ，sin x )，所以f (x )＝a·b ＝cos 2x ＋3cos x sin x (8分) ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12.(10分) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，32，(12分)所以f (x )的最大值为32，此时x ＝π6.(14分) 17. (1) 设等比数列{a n }的公比为q(不为0)，因为a 2，a 3＋1，a 4成等差数列，所以2(a 3＋1)＝a 2＋a 4.(1分)因为a 2＝2，所以2(2q ＋1)＝2＋2q 2，解得q ＝2或q ＝0(舍)，所以a 1＝a 2q＝1，(3分) 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(5分)(2) 设c n ＝a n －2n ＋1＝2n －1－2n ＋1，所以c n ＋1－c n ＝2n －2(n ＋1)＋1－(2n －1－2n ＋1)＝2n －1－2，所以n ≥3，c n ＋1>c n .(7分)又因为c 4＝1>0，所以n ≥4时，c n >0，即n ≥4时，b n ＝c n ＝2n －1－2n ＋1.因为c 1＝0，c 2＝－1，c 3＝－1，所以b 1＝0，b 2＝1，b 3＝1，所以T 1＝0，T 2＝1，T 3＝2.(10分)当n ≥4时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n ＝(0＋1＋1)＋b 4＋b 5＋…＋b n＝2＋(23＋24＋…＋2n －1)－(7＋9＋…＋2n －1) ＝2＋23（1－2n －3）1－2－7＋2n －12·(n －3)＝2n －n 2＋3.(13分) 综上T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝1，1， n ＝2，2， n ＝3，2n －n 2＋3， n ≥4.(14分) 18. (1) 如图，作OP ⊥CD 分别交AB ，GH 于点M ，N ，因为四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，∠COD ＝120°，所以OM ⊥AB ，ON ⊥GH ，P ，M ，N 分别为CD ，AB ，GH 的中点，∠CON ＝60°.在Rt △COP 中，CP ＝2，∠COP ＝60°，所以OC ＝433，OP ＝233，所以OM ＝OP －PM ＝OP －BC ＝33.(3分) 在Rt △ONG 中，∠GON ＝∠OGF ＝θ，OG ＝OC ＝433，所以GN ＝433sin θ，ON ＝433cos θ，所以GH ＝2GN ＝833sin θ，GF ＝MN ＝ON －OM ＝433cos θ－33，(6分) 所以S ＝GF·GH ＝⎝⎛⎭⎫433cos θ－33·833sin θ＝83(4cos θ－1)sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以S 关于θ的函数关系式为S ＝83(4cos θ－1)sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3.(8分)(2) S′＝83(4cos 2θ－4sin 2θ－cos θ)＝83(8cos 2θ－cos θ－4)．(10分) 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以cos θ∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以S′＝0，得cos θ＝1＋12916∈⎝⎛⎭⎫12，1.(12分) 设θ0∈⎝⎛⎭⎫0，π3且cos θ0＝1＋12916，所以由S′>0，得0<θ<θ0，即S 在区间(0，θ0)上单调递增，由S′<0，得θ0<θ<π3，即S 在区间⎝⎛⎭⎫θ0，π3上单调递减，(14分) 所以当θ＝θ0时，S 取得最大值，所以当cos θ＝1＋12916时，矩形EFGH 的面积S 最大．(16分)19. (1) 因为f(x)＝x －1x ，所以f′(x)＝12x ＋12x x，所以f′(1)＝1.(2分) 因为y ＝f(x)经过点(1，0)，所以f(x)的图象在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.(4分)(2) 因为F(x)＝x －1x－x ，x>0，所以F′(x)＝12x ＋12x x－1， F′(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，又F′(1)＝0，(5分)所以在x ∈(0，1)，F′(x)>0，即F(x)在区间(0，1)上单调递增；在x ∈(1，＋∞)，F′(x)<0，即F(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，(7分)所以在x ＝1处，F(x)的极大值为F(1)＝－1.(8分)(3) 设g(x)＝ln x －af(x)＝ln x －a(x －1x)，x ∈(0，1]，所以g′(x)＝1x －a 2(1x ＋1x x )＝－a （x ）2＋2x －a 2x x， ①当a ≤0时，g′(x)>0对x ∈(0，1]恒成立，所以g(x)在区间(0，1]上单调递增，又g(1)＝0，所以∃x 0∈(0，1)时，g(x 0)<0，这与af(x)≤ln x 对x ∈(0，1]恒成立矛盾；(10分)②当a ≥1时，设φ(x)＝－a(x)2＋2x －a ，x ∈(0，1]，Δ＝4－4a 2≤0，所以φ(x)≤0，x ∈(0，1]，所以g′(x)≤0对x ∈(0，1]恒成立，所以g(x)在区间(0，1]上单调递减，又g(1)＝0，所以g(x)≥0对x ∈(0，1]恒成立，所以a ≥1成立；(12分)③当0<a<1时，设φ(x)＝－a(x)2＋2x －a ，x ∈(0，1]，Δ＝4－4a 2>0，解φ(x)＝0得两根为x 1，x 2，其中x 2＝1＋1－a 2a >1，x 1＝1－1－a 2a ＝a 1＋1－a 2∈(0，1)，所以0<x 1<1，x 2>1，所以x ∈(x 1，1)，φ(x)>0，g′(x)>0，所以g(x)在区间(x 1，1)上单调递增，又g(1)＝0，所以g(x 1)<0，这与af(x)≤ln x 对x ∈(0，1]恒成立矛盾，(15分) 综上所述，a ≥1.(16分)20. (1) 因为(n －1)a n ＋1＝na n －a 1，n ∈N *，①所以(n －2)a n ＝(n －1)a n －1－a 1，n ≥2且n ∈N *，②①－②得(n －1)a n ＋1－2(n －1)a n ＋(n －1)a n －1＝0，n ≥2且n ∈N *，(2分)所以a n ＋1－2a n ＋a n －1＝0，n ≥2且n ∈N *，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝…＝a 2－a 1，所以数列{a n }为等差数列．(4分)(2) 因为a 2－a 1＝1，所以{a n }的公差为1. 因为对任意的正整数n ，都有13<1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <43，所以13<1S 1<43，所以34<S 1<3，即34<a 1<3，所以a 1＝1或a 1＝2.(6分)当a 1＝1时，a 2＝1，S 1＝1，S 2＝3，所以1S 1＋1S 2＝1＋13＝43，这与题意矛盾，所以a 1≠1.(7分)当a 1＝2时，a n ＝n ＋1，S n ＝n （n ＋3）2>0，1S 1＝12>13，1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n >13恒成立．(8分)因为1S n ＝23⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋3， 1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝23×(1－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －2－1n ＋1＋1n －1－1n ＋2＋1n －1n ＋3)＝23⎝⎛⎭⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<119<43，综上所述，a 1的值为2.(10分) (3) 因为a 2－a 1＝15，所以{a n }的公差为15，所以a n ＝a 1＋15(n －1)，所以b n ＝a 1＋15n ＋110.(11分) 由题意，设存在正整数s ，t ，使得a s ＋b t ＝l ，l ∈Z ，则a 1＋s 5－15＋a 1＋t 5＋110＝l ，即20a 1＝2(5l －s －t )＋1. 因为5l －s －t ∈Z ，所以2(5l －s －t )是偶数，所以|20a 1|≥1，所以|a 1|≥120，(14分) 当a 1＝120时，b 4＝1920，所以存在a 1＋b 4＝1∈Z ，综上所述，|a 1|的最小值为120.(16分) 21. A. (1) 由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 13 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3，(2分) 即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3＝1，－3＋3b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，(4分) 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤213 0.(5分)(2) 设曲线C 上一点P (x ，y )在矩阵M 的作用下得到曲线y 2＝x 上一点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2130⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋y ，y ′＝3x .(8分) 因为y ′2＝x ′，所以9x 2＝2x ＋y ，所以曲线C 的方程为y ＝9x 2－2x .(10分)B. 以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，(2分)直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos β，y ＝t sin β(t 为参数，0<β<π2)在直角坐标系下的方程为y ＝k (x －1)(k ＝tan β)，(4分)因为圆C 被直线l 截得的弦长为13，所以圆心到直线l 的距离为32，(6分) 所以|k －3－k |1＋k 2＝32，所以k ＝±3.(8分) 因为0<β<π2，所以k ＝tan β＝3，所以β＝π3.(10分) C. 因为a ，b ，c >0，a ＋b ＋c ＝1，所以a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ＝1－b －c b ＋c ＋1－c －a c ＋a ＋1－a －b a ＋b＝1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b－3，(4分) 由2＝2(a ＋b ＋c )＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]，由柯西不等式，得[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )]·(1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b )≥(b ＋c ·1b ＋c＋c ＋a ·1c ＋a ＋a ＋b ·1a ＋b)2＝9，(8分) 所以1b ＋c ＋1a ＋c ＋1a ＋b ≥92，即a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≥92－3＝32.(10分) 22. (1) 设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A 、B 、C ，则P(A)＝34，且有⎩⎨⎧P （A ）P （C ）＝112，P （B ）P （C ）＝14，即⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫1－34[1－P （C ）]＝112，P （B ）P （C ）＝14.(4分)解得P(B)＝38，P(C)＝23.(5分) (2) 由题意，得X ＝0，1，2.P(X ＝2)＝14， P(X ＝0)＝P(B)P(C)＝58×13＝524， P(X ＝1)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝2)＝1324，所以随机变量X 的分布列为(8分)所以E(X)＝0×524＋1×1324＋2×14＝2524，所以X 的数学期望为2524.(10分) 23. 因为直三棱柱ABCA 1B 1C 1，所以AA 1⊥平面ABC ，因为AB ，AC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，又因为∠BAC ＝90°，所以建立分别以AB ，AC ，AA 1为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系Axyz.(1) 设a ＝1，则AB ＝AC ＝1，AA 1＝3，各点的坐标为A(0，0，0)，E(1，0，1)，A 1(0，0，3)，F(0，1，2).AE →＝(1，0，1)，A 1F →＝(0，1，－1)．因为|AE →|＝|A 1F →|＝2，AE →·A 1F →＝－1，(2分)所以cos 〈AE →，A 1F →〉＝AE →·A 1F →|AE →||A 1F →|＝－12×2＝－12，所以向量AE →和A 1F →所成的角为120°，所以异面直线AE 与A 1F 所成的角为60°.(4分)(2) 因为E ⎝⎛⎭⎫a ，0，b 3，F ⎝⎛⎭⎫0，a ，2b 3，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫a ，0，b 3，AF →＝⎝⎛⎭⎫0，a ，2b 3. 设平面AEF 的法向量为n 1(x ，y ，z )，则n 1·AE →＝0，且n 1·AF →＝0，即ax ＋bz 3＝0，且ay ＋2bz 3＝0. 令z ＝1，则x ＝－b 3a ，y ＝－2b 3a，所以n 1＝⎝⎛⎭⎫－b 3a ，－2b 3a ，1＝⎝⎛⎭⎫－λ3，－2λ3，1是平面AEF 的一个法向量，(6分) 同理，n 2＝⎝⎛⎭⎫2b 3a ，b 3a ，1＝⎝⎛⎭⎫2λ3，λ3，1是平面A 1EF 的一个法向量．(8分) 因为平面AEF ⊥平面A 1EF ，所以n 1·n 2＝0，所以－2λ29－2λ29＋1＝0，解得λ＝32，所以当平面AEF ⊥平面A 1EF 时，λ＝32.(10分)。