七年级数学解一元一次方程(定义)(北师版)(含答案)
2024-2025学年初中数学七年级上册(北师版)教学课件5.1认识方程
你们知道我是怎么做的吗？
知识讲解
问题1.小彬和小华在进行猜年龄游戏，我们来看一看.
找出这道题中有哪些相等的关系，列出方程。
解：设小彬今年x岁，
根据题意“你的年龄乘2再减去5”就是 2x-5 ,
因此得到等式 2x-5 =21。
知识讲解
问题2.甲、乙两地相距 22 km,张叔叔从甲地出发到乙地，
值是方程的解．若左边≠右边，则此数值不是方程的解。
随堂训练
例4.根据下列条件列出方程：
（1）某数比它的4倍小3；
（2）某数的 与15的差的3倍等于2；
（3）比某数的5倍大2 的数是17；
（4）某数的 与它的 的和为5。
解：设某数为，则:
（１）４ − ３＝；
（２） − × ＝２；
第五章 一元一次方程
第五章
一元一次方程
1 认识方程
学习目标
1.能根据实际问题列方程。（难点）
2.归纳并理解一元一次方程的概念。（重点）
3.理解方程的解的概念。
新课导入
我能很快地猜出你们的年龄，相信吗？不管是哪
一个同学，只要回答我一个问题，我就能马上猜到他
的年龄是多少，怎么样？下面让我们来试试吧？
解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60－x）支.
等量关系：x支铅笔的售价+（60－x）支圆珠笔的售价=87，
列方程：1.2 × 0.8 + 2 × 0.9 60 − = 87。
.
课堂小结
方程
认识
方程
含有未知数的表示量相等的等式叫作方程
一元一次方程
在一个方程中,只含有一个未知数,且方程中
北师版初中七年级上册数学精品授课课件 第五章 一元一次方程 第1课时 利用移项的方法解一元一次方程
例 解下列方程：
1 （1）2x + 6 = 1； （2）3x + 3 = 2x + 7.
（2）移项，得 3x – 2x = 7 – 3.
合并同类项，得
x = 4.
例 解方程： 1 x 1 x 3
2
42
解：移项，得 1 x 1 x 3.
合并同类项，得4
因此，方程 5x – 2 = 8 也可以这样解：
移项，得
5x = 8 + 2.
化简，得
5x = 10.
方程两边同除以 5，得 x = 2.
例 解下列方程： 1 （1）2x + 6 = 1； （2）3x + 3 = 2x + 7.
解：（1）移项，得 2x = 1 – 6. 化简，得 2x = – 5.
2
2
解：（4）移项，得 3 x 3x 5 1.
2
2
合并同类项，得
9 3.
x
方程两边同除以 ，得 2 x = 2 .
9
1
2
3
2. 解下列方程：
（1）2.5x + 318 = 1068；
解：移项，得 2.5x = 1068 – 318 . 合并同类项得 2.5x = 750 . 两边都除以 2.5，得 x = 300 .
（2）2.4y + 2y + 2.4 = 6.8 .
解：移项，得 2.4y + 2y = 6.8 – 2.4 . 合并同类项得 4.4y = 4.4 . 两边都除以 4.4，得 y = 1.
3. 某航空公司规定：乘坐飞机普通舱旅客 每人最多可免费托运20kg行李，超过部分每千 克按飞机票价的1.5%购买行李票. 一名旅客托 运了35kg行李，机票连同行李费共付1323元， 求该旅客的机票票价.
北师大版数学七年级上册：5.2 求解一元一次方程 同步练习(附答案)
2 求解一元一次方程第1课时 用移项和合并同类项解一元一次方程1．下列各式中的变形，属于移项的是( )A ．由3y －7－2x ，得2x －7－3yB ．由3x －6＝2x ＋4，得3x －6＝4＋2xC ．由5x ＝4x ＋8，得5x －4x ＝8D ．由x ＋6＝3x －2，得3x －2＝x ＋62．移项：(1)由2x ＋3＝1，得2x ＝ ；(2)由3x －4＝x ＋2，得3x ＝2 ．3．解方程：2＋6x ＝3x －13.解：移项，得 ．合并同类项，得 ．方程两边同除以 ，得x ＝ ．4．若m ＋1与－2互为相反数，则m 的值为 ．5．解下列方程：(1)2x －3＝x ＋1； (2)4－35m ＝7.6．方程3x ＋6＝2x －8移项后，正确的是( )A ．3x ＋2x ＝6－8B ．3x －2x ＝－8＋6C ．3x －2x ＝－6－8D ．3x －2x ＝8－6 7．已知方程2x ＋a ＝ax ＋2的解为x ＝3，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．－2D ．±28．若关于x 的方程3x ＋5＝0与3x ＋3k ＝1的解相同，则k ＝( )A ．－2 B.43 C ．2 D ．－439．若2x n ＋1与3x 2n －1是同类项，则n ＝ ．10．规定一种运算“*”：a*b ＝a －2b ，则方程x*2＝1*x 的解为x ＝ ．11．解下列方程：(1)2x －19＝7x ＋6； (2)x －2＝13x ＋43.12．张新和李明相约到图书城去买书，请你根据他们的对话内容(如图)，求出李明上次所买书籍的原价．第2课时 解带括号的一元一次方程1．解方程1－(2x ＋3)＝6，去括号的结果是( )A ．1＋2x －3＝6B ．1－2x －3＝6C ．1－2x ＋3＝6D ．1＋2x ＋3＝62．解方程：4(x－2)＝2(x＋3)．去括号，得．移项，得．合并同类项，得．方程两边同除以，得．3．方程3x＋2(1－x)＝4的解为．4．解下列方程：(1)－3(x＋3)＝24； (2)4x－3＝2(x－1)； (3)5－(2x－1)＝x.5．在解方程2(x＋1)＝1－(x＋3)的过程中：去括号，得2x＋1＝1－x＋3.①移项、合并同类项，得3x＝3.②方程两边同除以3，得x＝1.③其中开始出现错误的步骤是，正确的答案为．6．若关于x的一元一次方程2x－(2a－1)x＋3＝0的解为x＝3，则a的值是( ) A．1 B．0 C．2 D．37．小明解方程3x－(x－2a)＝4，在去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为x＝－2，那么方程正确的解为( )A ．x ＝2B ．x ＝4C ．x ＝6D ．x ＝88．若式子4－3(x －1)与式子x ＋12的值相等，则x ＝ ．9．解下列方程：(1)2(x ＋1)＝1－(x ＋3)； (2)－2(x －2)－3(4x －2)＝3.10．在端午节来临之际，某商店订购了A 型和B 型两种粽子，A 型粽子28元/千克，B 型粽子24元/千克．若购进B 型粽子的数量比A 型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2 560元，求购进两种型号粽子各多少千克？第3课时 解含分母的一元一次方程1．将方程2t －53＋3－2t 5＝3的分母去掉，应在方程的两边同乘 ． 2．在解方程x －13＋x ＝3x ＋12时，方程两边同时乘6，去分母后，正确的是( ) A ．2x －1＋6x ＝3(3x ＋1)B ．2(x －1)＋6x ＝3(3x ＋1)C ．2(x －1)＋x ＝3(3x ＋1)D ．(x －1)＋x ＝3(x ＋1) 3．将方程x 2－x －16＝1去分母，所得结果正确的是( ) A ．3x －(x －1)＝1 B ．3x －x －1＝1C ．3x －(x －1)＝6D ．3x －x －1＝64．方程x ＋13＝x －1的解是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝45．解方程： x －32－2x －53＝1.6．下列解一元一次方程的过程，正确的是( )A ．将方程4x －5＝3x ＋2移项，得4x －3x ＝－2＋5B ．将方程13x ＝6两边同除以13，得x ＝18 C ．将方程3(x －1)＝2(x ＋3)去括号，得3x －1＝2x ＋6D ．将方程23x －1＝12x ＋3去分母，得4x －6＝3x ＋3 7．解方程：3x －43－x －14＝1－x －112. 解：方程两边同乘 ，得4(3x －4)－3(x －1)＝ － ．去括号，得12x －16－3x ＋3＝ ．移项，得12x －3x ＝12＋1 ．合并同类项，得 ＝ ．两边同除以 ，得x ＝135.(1)－5x ＋1＝－9x ＋82； (2)x ＋23＝x ＋32； (3)x －12＋1＝x －1； (4)2x ＋13＝1－x －15.9．对于方程x 2－x －46＝1，某同学解法如下： 解：方程两边同乘6，得6x －x －4＝1.①合并同类项，得5x ＝5.②两边同除以5，得x ＝1.③(1)上述解答过程中从第 步(填序号)开始出现错误；(2)请写出正确的解答过程．10．某书上有一道解方程的题：1＋□x 3＋1＝x ，□处在印刷时被油墨盖住了，查看后面的答案知这个方程的解是x ＝－2，那么□处应该是数字( )A ．7B ．5C ．2D ．－211．式子2x －13与式子3－2x 的和为4，则x ＝ ． 12．若规定“*”的意义为：a*b ＝a ＋2b 2(其中a ，b 为有理数)，则方程3*x ＝52的解是x ＝ ．(1)x －x －12＝2－x ＋25； (2)15(x ＋15)＝12－13(x －7)； (3)2x －13－3＝0.3x ＋0.50.2.14．小明解方程2x －15＋1＝x ＋a 2时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x ＝4，试求a 的值，并求出方程正确的解．15．在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？参考答案：2 求解一元一次方程第1课时 用移项和合并同类项解一元一次方程1．C2．移项：(1)由2x ＋3＝1，得2x ＝1－3；(2)由3x －4＝x ＋2，得3x －x ＝2＋4．3．解：移项，得6x －3x ＝－13－2．合并同类项，得3x ＝－15．方程两边同除以3，得x ＝－5．4．1．5．(1)2x －3＝x ＋1；解：移项，得2x －x ＝1＋3.合并同类项，得x ＝4.(2)4－35m ＝7.解：移项，得－35m ＝7－4.合并同类项，得－35m ＝3.方程两边同除以－35，得m ＝－5.6．C7．B8．C9．2．10．53． 11．(1)2x －19＝7x ＋6；解：移项，得2x －7x ＝19＋6.合并同类项，得－5x ＝25.方程两边同除以－5，得x ＝－5.(2)x －2＝13x ＋43. 解：移项，得x －13x ＝2＋43. 合并同类项，得23x ＝103. 方程两边同除以23，得x ＝5. 12．解：设李明上次所买书籍的原价是x 元，由题意，得0．8x ＋20＝x －12.解得x ＝160.答：李明上次所买书籍的原价是160元．第2课时 解带括号的一元一次方程1．B2．解方程：4(x －2)＝2(x ＋3)．去括号，得4x －8＝2x ＋6．移项，得4x －2x ＝6＋8．合并同类项，得2x ＝14．方程两边同除以2，得x ＝7．3．x ＝2．4．(1)－3(x ＋3)＝24；解法一：去括号，得－3x －9＝24.移项，得－3x ＝24＋9.合并同类项，得－3x ＝33.方程两边同除以－3，得x ＝－11.解法二：方程两边同除以－3，得x ＋3＝－8.移项，得x ＝－8－3.合并同类项，得x ＝－11.(2)4x －3＝2(x －1)；解：去括号，得4x －3＝2x －2.移项，得4x －2x ＝－2＋3.合并同类项，得2x ＝1.方程两边同除以2，得x ＝12.(3)5－(2x －1)＝x.解：去括号，得5－2x ＋1＝x.移项，得－2x －x ＝－5－1.合并同类项，得－3x ＝－6.方程两边同除以－3，得x ＝2.5．其中开始出现错误的步骤是①，正确的答案为x ＝－43． 6．C7．C8．－54． 9．(1)2(x ＋1)＝1－(x ＋3)；解：去括号，得2x ＋2＝1－x －3.移项、合并同类项，得3x ＝－4.方程两边同除以3，得x ＝－43. (2)－2(x －2)－3(4x －2)＝3.解：去括号，得－2x ＋4－12x ＋6＝3.移项、合并同类项，得－14x ＝－7.方程两边同除以－14，得x ＝12. 10．解：设购进A 型粽子x 千克，则购进B 型粽子(2x －20)千克．由题意，得 28x ＋24(2x －20)＝2 560.解得x ＝40.所以2x －20＝60.答：购进A 型粽子40千克，B 型粽子60千克．第3课时 解含分母的一元一次方程1．15．2．B3．C4．B5．解：去分母，得3(x －3)－2(2x －5)＝6.去括号，得3x －9－4x ＋10＝6.移项，得3x －4x ＝6＋9－10.合并同类项，得－x ＝5.方程两边同除以－1，得x ＝－5.6．B7．解：方程两边同乘12，得4(3x －4)－3(x －1)＝12－(x －1)．去括号，得12x －16－3x ＋3＝12－x ＋1．移项，得12x －3x ＋x ＝12＋1＋16－3．合并同类项，得10x ＝26．两边同除以10，得x ＝135. 8．(1)－5x ＋1＝－9x ＋82；解：去分母，得－10x ＋2＝－9x ＋8.移项、合并同类项，得－x ＝6.方程两边同除以－1，得x ＝－6.(2)x ＋23＝x ＋32； 解：去分母、去括号，得2x ＋4＝3x ＋9.移项、合并同类项，得－x ＝5.方程两边同除以－1，得x ＝－5.(3)x －12＋1＝x －1； 解：去分母，得x －1＋2＝2x －2.移项，得x －2x ＝1－2－2.合并同类项，得－x ＝－3.方程两边同除以－1，得x ＝3.(4)2x ＋13＝1－x －15. 解：去分母，得5(2x ＋1)＝15－3(x －1)．去括号，得10x ＋5＝15－3x ＋3.移项，得10x ＋3x ＝－5＋15＋3.合并同类项，得13x ＝13.方程两边同除以13，得x ＝1.9．(1)①；(2)解：正确解答过程为：去分母，得3x －(x －4)＝6.去括号，得3x －x ＋4＝6.移项、合并同类项，得2x ＝2.方程两边同除以2，得x ＝1.10．B11．－1．12．1．13．(1)x －x －12＝2－x ＋25； 解：去分母，得10x －5(x －1)＝20－2(x ＋2)．去括号，得10x －5x ＋5＝20－2x －4.移项，得10x －5x ＋2x ＝－5＋20－4.合并同类项，得7x ＝11.方程两边同除以7，得x ＝117. (2)15(x ＋15)＝12－13(x －7)； 解：去分母，得6(x ＋15)＝15－10(x －7)．去括号，得6x ＋90＝15－10x ＋70.移项，得6x ＋10x ＝15＋70－90.合并同类项，得16x ＝－5.方程两边同除以16，得x ＝－516. (3)2x －13－3＝0.3x ＋0.50.2.解：原方程整理，得2x －13－3＝3x ＋52. 去分母，得2(2x －1)－18＝3(3x ＋5)．去括号，得4x －2－18＝9x ＋15.移项、合并同类项，得－5x ＝35.方程两边同除以－5，得x ＝－7.14．解：由题意可知：2(2x －1)＋1＝5(x ＋a)，把x ＝4代入，得a ＝－1.将a ＝－1代入原方程，得2x －15＋1＝x －12， 去分母、去括号，得4x －2＋10＝5x －5.移项、合并同类项，得－x ＝－13.方程两边同除以－1，得x ＝13.15．解：设七年级收到的征文有x 篇，则八年级收到的征文有(118－x)篇，根据题意，得 x ＝12(118－x)－2.解得x ＝38. 答：七年级收到的征文有38篇．。
【北师大】七年级上册数学 第15讲 一元一次方程的解法 讲义(含答案)
6.解：移项得：x=3+5=8，故填8．
7.解：去括号得：5x-25+2x=-4
移项得：7x=21
系数化为1得：x=3
8.解：原方程可化为：2x=7-1
合并得：2x=6
系数化为1得：x=3
9.解：〔1〕去括号得：8x+12=8-8x-5x+10，
【例8】关于x的方程mx+2=2〔m-x〕的解满足|x-12|-1=0，求m的值．
同步练习
1.|2-23x|=4，那么x的值是〔 〕
A、-3B、9C、-3或9D、以上结论都不对
2.方程|3x|=15的解的情况是〔 〕
A、有一个解，是5B、无解C、有无数个解D、有两个解，是±5
3.使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x的值是〔 〕
四、典型例题
〔一〕一元一次方程的解
【例1】3是关于x的方程2x-a=1的解，那么a的值是〔 〕
A、-5B、5C、7D、2
【例2】假设关于x的一元一次方程2x-k/3-x-3k/2=1的解是x=-1，那么k的值是〔 〕
A、27B、1C、-13/11D、0
【例3】请写出一个解为x=2的一元一次方程：
【例4】5是关于x的方程3x-2a=7的解，那么a的值为.
7.解：把x=0代入方程2x+n3+1=1-x2+n得：n3+1=12+n，去分母得：2n+6=3+6n，∴n=34，即当n=34时，关于x的方程2x+n3+1=1-x2+n的解为0．
〔二〕解一元一次方程
2024年秋新北师大版数学7年级上册课件 第5章 1元1次方程 5.1 认识方程 5.1 认识方程
1
利用一元一次方程的定义求字母的值
注：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件： ①未知数的次数为1；②未知数的系数不为0.
1.方程3x5-2k -8=0是关于x的一元一次方程，则k=_____.
2
2.方程x|m| +4=0是关于x的一元一次方程，则m=_____.
3.方程(m-1)x -2=0是关于x的一元一次方程，则m_____.
解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60-x）支. 等量关系：x支铅笔的售价+（60-x）支圆珠笔的售价=87，
例1 哪些是一元一次方程？（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；（5） ；（6） ;（7） .
一元一次方程的识别
不是整式方程
不是等式
是不等式，不是方程
是一元一次方程.
是一元一次方程.
未知数的次数是2
含有两个未知数.
3am+15=3
3x-5=5x+4
x2+2x-6=0
-3x+1.8=3y
√
√
7a+8=10
例2 （1）若关于x的方程2 x |n|-1 – 9 = 0是一元一次方程，则 n 的值为 .
（2）方程（m+1） x |m| + 1 = 0是关于x的一元一次方程，则m= .
某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？
列方程：0.52x-(1-0.52)x=80.
等量关系：女生人数-男生人数=80，
例 某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元.求卖出铅笔的支数.
【北师大】七年级上册数学 第18讲 列一元一次方程解应用题(3) 讲义(含答案)
教师讲义〔4〕期数：存入的时间叫期数.〔5〕利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.2.储蓄中的常用公式：〔1〕每个期数内：〔2〕利息=本金〔3〕利息=本金〔4〕本息和=本金+利息四、典型例题及同步练习〔一〕、行程问题【例1】小华和小玲同时从相距700米的两地相对走来，小华每分钟走60米，小玲每分钟走80米．几分钟后两人相遇？分析：先画线段图：假设x分钟后两人相遇，此时小华走了_________米，小玲走了_________米，两人一共走了_________米．找出等量关系，小华和小玲相遇时_________+_________=_________写解题过程：同步练习1假设A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，每小时走60千米，一列快车从B地开出，每小时走65千米．两车同时开出，相向而行，过几小时后两车相遇？分析：先画线段图：写解题过程：需要〔〕A、3小时B、3小时C、4小时D、4小时3、学校到县城有28千米，除公共汽车以外，还需步行一段路程，公共汽车的速度为36千米/时，步行的速度为4千米/时，全程共需1小时，那么步行所用时间是〔〕A、小时B、小时C、小时D、小时4、一个图书馆对图书进行防火保险，如果每年的保险费是图书价值的0.4%，参加保险6年，一共交付保险费7.8万元，那么图书馆的图书价值〔〕A、300万元B、305万元C、320万元D、325万元5、某企业为节约用水，自建污水净水站，3月份净化污水3000吨，4月份净化污水3300吨，那么这个月净化污水的量的增长百分率为〔〕A、7%B、8%C、9%D、10%6、小明同学存入300元的活期储蓄，存满3个月时取出，共得本息和301.35元〔不计利息税〕，那么此活期储蓄的月利率是〔〕A、1.6‰B、1.5‰C、1.8‰D、1.7‰二、填空题〔共5小题，每题5分，总分值25分〕1、A，B两地间的路程为450千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米，一列快车从B地出发，每小时行驶90千米．假设两车同时开出，相向而行，_________小时相遇；假设慢车先开1小时，快车在同地同向开出，快车经过了_________小时可追上慢车．2、某行军纵队以7千米/时的速度行进，队尾的通讯员以11千米/时的速度赶到队伍前送一封信，送交后又立即返回队尾，共用13.2分钟，那么这支队伍的长度为_________千米．3、假设一艘轮船在静水中的速度是7千米/时，水流速度是2千米/时，那么这艘船逆流而上的速度是_________千米/时，顺流而下的速度是_________千米/时．4、环形跑道400米，小明跑步每秒行9米，爸爸骑车每秒行16米，两人同时同地反向而行，经过_________秒两人相遇．5、在一段复线铁道上，两辆火车迎头驶头，A列车车速为20米/秒，B列车车速为25米/秒，假设A列车全长200米，B列车全长160米，两列车错车的时间为_________秒．6、妈妈用10 000元钱为小彬存了6年期的教育储蓄，6年后能取得11 728元，这种储蓄的年利率为_________%．7、某人将一笔钱按定期2年存入银行，年利率为2.25%〔不计复利〕，到期支取扣除20%利息税，实得利息72元，5、从甲地到乙地，公共汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，车速平均每小时增加了20千米，只需5个小时即可到达，求甲、乙两地的路程？6、甲、乙两人骑自行车同时从相距80千米的两地出发，相向而行，2小时后相遇，甲每小时比乙多走2.4千米，求甲、乙每人每小时走多少千米？7、甲、乙二人从相距91千米的A、B两地相向而行，甲先出发1小时，二人在乙出发4小时后相遇，而甲每小时比乙快2千米，求甲、乙二人的速度？附答案典型例题及同步练习〔一〕【例1】解：小华走的路程为60x米，小玲走的路程为80x米，两人一共走了700米，60x+80x=700，解得x=5．答：5分钟后两人相遇．故答案为60x；80x；700；60x；80x；700．同步练习1解：设经过x小时相遇，根据题意可得〔60+65〕x=480，解得：x=3.84〔小时〕．答：两车需要3.84小时相遇．同步练习2解：设货车的速度为x千米/小时，根据题意可作出如下方程及图示：80×4+x×4=600，解得：x=70〔千米/小时〕．答：货车每小时行70千米．【例2】解：〔1〕设爸爸追上小明用了x 分钟，根据题意可得线段图〔红线代表爸爸，黑线代表小明〕：得方程：80×5+80x=180x ，解得：x=4．答：爸爸追上小明用了4分钟．各空依次填：180x 、400、80x 、400+80x=180x ．〔2〕爸爸追上小明用了4分钟，爸爸和小时走了180×4=720〔米〕，此时离学校还有1000﹣720=280米．同步练习1解：设小明x 秒钟追上小兵，7x=6×〔4+x 〕，解得x=24．答：小明24秒钟追上小兵．同步练习2解：设x 秒后小明能追上小华，7x ﹣5x=20，解得x=10．答：10秒后小明能追上小华．同步练习3解：设经过x 小时摩托车可以追赶上自行车，根据题意得：60x －20x ＝80 解得x ＝2所以经过2小时摩托车可以追赶上自行车。
北师大版七年级数学上册第五章《一元一次方程》练习题含答案解析 (3)
一、选择题1.一件羽绒服先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利250元．若设这件羽绒服的成本是x元，根据题意，可得到的方程是( )A．x(1+50%)80%=x−250B．x(1+50%)80%=x+250C．(1+50%x)80%=x−250D．(1+50%x)80%=250−x+3的解也为整数，则所有满足条件的数2.已知a为整数，关于x的一元一次方程2x+1=ax3a的和为( )A．0B．24C．36D．483.某商品提价25%后．欲恢复原价，则应降低( )A．40%B．25%C．20%D．15%4.某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进货价仍获利20%，该商品的进货价为( )A．80元B．85元C．90元D．95元5.妈妈将2万元为小明存了一个6年期的教育储蓄（免利息税），6年后，总共能得27056元，则这种教育储蓄的年利率为( )A．5.86%B．5.88%C．5.84%D．5.82%6.用一根绳子环绕一棵大树，环绕大树3周绳子还多4米，环绕4周又少了3米，则环绕大树一周需要的绳长为( )A．5米B．6米C．7米D．8米7.某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为( )A．240元B．250元C．280元D．300元8.若关于x的方程(k−4)x=3有正整数解，则自然数k的值是( )A．1或3B．5C．5或7D．3或79.如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为( )A．400cm2B．500cm2C．600cm2D．300cm210.一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加了25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台实际售价为( )A．(1+25%)(1+70%)a元B．70%(1+25%)a元C．(1+25%)(1−70%)a元D．(1+25%+70%)a元二、填空题11.9月6日，重庆来福购物中心正式开业，购物中心里的美食店推出了A，B两种套餐和其他美食，当天，A套餐的销售额占总销售额的40%，B套餐的销售额占总销售额的20%．国庆期间，重庆外来旅客增加，此店老板考虑外来游客的饮食口味推出了C套餐，在10月1日这一天，A，B套餐各自的销售额都比9月6日的销售额减少了15%，C套餐的销售额占10月1日当天总销售额的20%，其他美食的销售额不变，则10月1日的总销售额比9月6日的总销售额增加%．12.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有人，这个物品的价格是元．13.丰都县某中学为培养学生综合实践能力，开展了一系列综合实践活动，有一次财商训练活动中，小明同学准备去集市批发两种商品用于活动中交易．预先了解到A，B两种商品的价格之和为27元，小明计划购买B商品的数量比A商品的数量多2件，但一共不超过25件，且每样不少于3件，但小明去购买时发现A商品正打九折销售，而B商品的价格提高了20%，小明决定将A，B 产品的购买数量对调，这样实际花费只比计划多8元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买两种商品实际花费为元．14.如图，∠AOC是平角，∠AOB=60∘，在平面内，OA，OB绕点O顺时针转动，速度分别为每秒40∘和每秒20∘．经过t秒后，首次出现射线OA，OB，OC中的一条是另外两条组成角的角平分线，则t=．15.在一个长为3，宽为m(m<3)的矩形纸片上，剪下一个面积最大的正方形（称为第一次操作）；再在剩下的矩形上剪下一个面积最大的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=2时，m的值为．16.某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件的销售利润为元．17.某种商品的标价为200元，按标价的八折出售，这时仍可盈利25%，若设这种商品的进价是x元，由题意可列方程为．三、解答题18.如图，已知线段AB，点C是线段AB的中点，点D在AB延长线上．(1) 用直尺和圆规在答题纸上作出点C；(2) 已知线段AD的长是7，线段AC的长比线段BD长的一半少1，求线段AC的长．19.已知一张方桌由1个桌面和4条桌腿组成，1立方米木料可制作方桌桌面50张或桌腿300条．现有5立方米木料，那么多少木料做桌面，多少木料做桌腿，可以恰好配套成方桌？20.如图1，O为直线AB上点，过点O作射线OC，∠AOC=30∘，将一直角三角板（∠M=30∘）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．(1) 将图1中的三角板绕点O以每秒3∘的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值．②此时ON是否平分∠AOC？请说明理由．(2) 在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 OC 也绕 O 点以每秒 6∘ 的速度沿顺时针方向旋转一周，如图 3，那么经过多长时间 OC 平分 ∠MON ？请你说明理由．(3) 在（2）问的基础上，经过多长时间 OC 平分 ∠MOB ？请画图并说明理由．21. “六一”期间，小张购进 100 只两种型号的文具并全部售出后获利 500 元，其进价和售价之间的关系如下表：型号进价(元/只)售价(元/只)A 型1012B 型1523问当初小张进货，用了多少元？22. 已知有理数 a ，b ，c 在数轴上对应的点分别为 A ，B ，C ，其中 b 是最小的正整数，a ，c 满足∣a +2∣+(c −5)2=0．(1) 填空：a = ，b = ，c = ；(2) 现将点 A ，点 B 和点 C 分别以每秒 4 个单位长度，1 个单位长度和 1 个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为 t 秒．①定义：已知 M ，N 为数轴上任意两点，将数轴沿线段 MN 的中点 Q 进行折叠，点 M 与点 N 刚好重合，所以我们又称线段 MN 的中点 Q 为点 M 和点 N 的折点． 试问：当 t 为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？②当点 A 在点 C 左侧时（不考虑点 A 与点 B 重合），是否存在一个常数 m 使得 2AC +m ⋅AB 的值在一定时间范围内不随 t 的改变而改变？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由．23. 已知；如图，线段 AB =6，点 C 是线段 AB 的中点．动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 AB 向终点 B 运动，设点 P 运动的时间是 t (秒)．(1) 用含t的代数式表示AP，则AP=．(2) 当点P与点C重合时，求t的值．(3) 用含t的代数式表示CP．(4) 若在点P出发的同时，动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BA向终点A运动，当P，Q两点的距离是1时，直接写出t的值．24.我们把解相同的两个方程称为同解方程．例如：方程2x=6与方程4x=12的解都为x=3，所以它们为同解方程．(1) 若方程2x−3=11与关于x的方程4x+5=3k是同解方程，求k的值．(2) 若关于x的方程3[x−2(x−k3)]=4x和3x+k12−1−5x8=1是同解方程，求k的值．(3) 若关于x的方程2x−3a=b2和4x+a+b2=3是同解方程，求14a2+6ab2+8a+6b2的值．25.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．(1) 若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2) 若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售利润最多，你选择哪一种进货方案？答案一、选择题1. 【答案】B【解析】标价为：x(1+50%)，八折出售的价格为：(1+50%)x×80%，则可列方程为：(1+50%)x×80%=x+250，故选B．【知识点】利润问题2. 【答案】D+3，【解析】∵2x+1=ax3∴(6−a)x=6，+3的解为整数，∵关于x的一元一次方程2x+1=ax3为整数，∴x=66−a∴6−a=±1或±2或±3或±6，又∵a为整数，∴a=5或7或4或8或3或9或0或12，∴所有满足条件的数a的和为：5+7+4+8+3+9+0+12=48．【知识点】含参一元一次方程的解法3. 【答案】C【知识点】利润问题4. 【答案】C【知识点】利润问题5. 【答案】B【知识点】和差倍分6. 【答案】C【解析】设环绕大树一周需要的绳长为x米．根据题意，得3x+4=4x−3，解得x=7，则环绕大树一周需要的绳长为7米．【知识点】和差倍分7. 【答案】A【知识点】利润问题8. 【答案】C【解析】由 (k −4)x =3，解得 x =3k−4，又因为 (k −4)x =3 有正整数解，k 为自然数， 所以 k −4=1或3，所以 k =5或7，所以自然数 k 的值是 5 或 7． 【知识点】含参一元一次方程的解法9. 【答案】A【解析】设一个小长方形的长为 x cm ，宽为 y cm ， 则可列方程组 {x +y =50,x +4y =2x,解得 {x =40,y =10,则一个小长方形的面积 =40 cm ×10 cm =400 cm 2． 【知识点】几何问题10. 【答案】B【解析】可先求销售价 (1+25%)a 元，再求实际售价 70%(1+25%)a 元． 【知识点】利润问题二、填空题11. 【答案】 13.75【解析】设 9 月 6 日的总销售额为 x 元， 则 9 月 6 日 A 套餐的销售额为 40%x 元， B 套餐的销售额为 20%x 元，其他美食的销售额为 (1−40%−20%)x =40%x ，则 10 月 1 日 A 套餐的销售额为 40%x ×(1−15%)=34%x 元， B 套餐的销售额为 20%x ×(1−15%)=17%x 元， 其他美食的销售额为 40%x ，则 10 月 1 日的总销售额为 (34%x +17%x +40%x )÷(1−20%)=1.1375x ，则 10 月 1 日的总销售额比 9 月 6 日的总销售额增加 (1.1375x −x )÷x =13.75%． 【知识点】利润问题12. 【答案】 7 ； 53【解析】设共有 x 人，则这个物品的价格是 (8x −3) 元， 依题意，得：8x −3=7x +4，解得：x =7， ∴8x −3=53． 【知识点】和差倍分13. 【答案】312【解析】设A商品的单价为x元/件，则B商品的单价为(27−x)元/件，计划购买A商品a件，则B商品为(a+2)件，根据题意可得：0.9x×(a+2)+1.2×(27−x)×a=xa+(27−x)(a+2)+8，∴x=62−5.4a−0.3a+3.8，∵a≥3，a+2≥3，a+a+2≤25，x，a均为整数，∴a=10，x=10，∴小明购买两种商品实际花费=9×12+1.2×10×17=312元．【知识点】和差倍分14. 【答案】4【知识点】几何问题15. 【答案】1或2【解析】由题意第一象操作后剩下的矩形长是宽的2倍，由此可得：3−m=2m或m=2(3−m)，解得m=1或2．【知识点】几何问题16. 【答案】4【解析】设该商品每件的销售利润为x元，根据进价+利润=售价，得80+x=120×0.7，解得x=4，故答案为4．【知识点】利润问题17. 【答案】200×80%=(1+25%)x【知识点】利润问题三、解答题18. 【答案】(1) 图略．(2) 设AC的长为x，则BD的长为7−2x．由题意得x=12(7−2x)−1.解得x=54.答：线段AC的长是54．【知识点】几何问题、线段中点的概念及计算、线段的和差19. 【答案】设桌面用木料x立方米，则桌腿用木料(5−x)立方米，根据题意得，50x×4=300(5−x)解得x=35−3=2答：桌面3立方米，桌腿2立方米．【知识点】和差倍分20. 【答案】(1) ① ∵∠AON+∠BOM=90∘，∠COM=∠MOB，∵∠AOC=30∘，∴∠BOC=2∠COM=150∘，∴∠COM=75∘，∴∠CON=15∘，∴∠AON=∠AOC−∠CON=30∘−15∘=15∘，解得t=15∘÷3∘=5秒．②是，理由如下：∵∠CON=15∘，∠AON=15∘，∴ON平分∠AOC．(2) 5秒时OC平分∠MON，理由如下：∵∠AON+∠BOM=90∘，∠CON=∠COM，∵∠MON=90∘，∴∠CON=∠COM=45∘，三角板绕点O以每秒3∘的速度，射线OC也绕O点以每秒6∘的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30∘+6t，∵∠AOC−∠AON=45∘，可得：30+6t−3t=45∘，解得：t=5秒．(3) OC平分∠MOB，∵∠AON+∠BOM=90∘，∠BOC=∠COM，∵三角板绕点O以每秒3∘的速度，射线OC也绕O点以每秒6∘的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30∘+6t，(90∘−3t)，∴∠COM为12∵∠BOM+∠AON=90∘，(90∘−3t)．可得：180∘−(30∘+6t)=12秒．解得：t=703如图：【知识点】角平分线的定义、几何问题、角的计算21. 【答案】A文具为40只，B文具60只，进货用了1300元．【知识点】利润问题22. 【答案】(1) −2；1；5(2) ① t秒后，点A表示的数为−2+4t，点B表示的数为1+t，点C表示的数为5+t．（i）当点A为点B和点C的对折点时，有：(1+t)+(5+t)=2(−2+4t)，解得t=53；（ii）当点B为点A和点C的对折点时，有：(−2+4t)+(5+t)=2(1+t)，解得t=−13<0（舍去）；（iii）当点C为点B和点A的对折点时，有：(−2+4t)+(1+t)=2(5+t)，解得t=113．综上所述，满足条件的t的值是53或113．② t秒后，点A表示的数为−2+4t，点B表示的数为1+t，点C表示的数为5+t．（i）当点A在点B的左侧时，如图所示，AC=(5+t)−(−2+4t)=7−3t，AB=(1+t)−(−2+4t)=3−3t∴2AC+m⋅AB=2(7−3t)+m(3−3t)=(−3m−6)t+3m+14．∵2AC+m⋅AB的值在一定时间范围内不随t的改变而改变，∴−3m−6=0．∴m=−2；（ii）当点A在点B与点C之间时，如图所示，AC=(5+t)−(−2+4t)=7−3t，AB=−(1+t)+(−2+4t)=−3+3t∴2AC+m⋅AB=2(7−3t)+m(−3+3t)=(3m−6)t−3m+14．∵2AC+m⋅AB的值在一定时间范围内不随t的改变而改变，∴3m−6=0．∴m=2．综上：m的值是2或−2．【解析】(1) ∵最小的正整数是1，∴b=1，由题意得，a+2=0，c−5=0，解得a=−2，c=5．【知识点】数轴的概念、行程问题23. 【答案】(1) t(2) ∵AB=6，C是线段AB的中点，∴AC=3，则此时AP=AC=t=3，∴t=3．(3) 0≤t≤3时，PC=3−t，3<t≤6时，PC=t−3．(4) 53或73．【解析】(1) 由题AP=t．(4) AP=t，BQ=2t，P与Q在t=2时相遇，①则0≤t≤2时，PQ=6−3t=1，则t=53符合条件，② 2<t≤3时，PQ=3t−6=1，则t=73符合条件，故t=53或73．【知识点】行程问题、绝对值的几何意义、线段中点的概念及计算、线段的和差24. 【答案】(1) 2x−3=11，解得x=7，∵2x−3=11与4x+5=3k是同解方程，∴把x=7代入4x+5=3k中可得k=11．(2) 3[x−2(x−k3)]=4x，3(x−2x+23k)=4x，−3x+2k=4x，7x=2k，x=27k，3x+k 12−1−5x8=1，2(3x+k)−3(1−5x)=24，6x+2k−3+15x=24，21x=27−2k，x=27−2k21，∵原方程为同解方程，∴27k=27−2k21，6k=27−2k，8k=27，k=278．(3) 2x−3a=b2，x=b2+3a2，4x+a+b2=3，x=3−a−b24．∵原方程为同解方程，b2+3a2=3−a−b24，4b2+12a=6−2a−2b2，6b2+14a=6，14a2+6ab2+8a+6b2=(14a+6b2)+8a+6b2=6a+8a+6b2=14a+6b2= 6.【知识点】含参一元一次方程的解法、解常规一元一次方程25. 【答案】(1) 分三种情况计算：①设购进甲种电视机x台，乙种电视机(50−x)台．1500x+2100(50−x)=90000.解得x=25.则50−x=50−25=25.故购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．②设购进甲种电视机y台，丙种电视机(50−y)台．1500y+2500(50−y)=90000.解得y=35.则50−y=15.故购进买甲种电视机35台，丙种电视机15台．③设购进乙种电视机z台，丙种电视机(50−z)台．2100z+2500(50−z)=90000.解得z=87.5.则50−z=−37.5(不合题意,舍去).故有以下两种进货方案：①甲、乙两种型号的电视机各购进25台；②购进甲种电视机35台，丙种电视机15台．(2) 方案一：25×150+25×200=8750（元）．方案二：35×150+15×250=9000（元）．故购进甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多．【知识点】利润问题、方案决策。
北师大版数学七年级上册：5.2求解一元一次方程同步练习（附答案）
1
4
解：移项，得x—§x = 2+g.
合并同类项，得羡x=¥.
2 方程两边同除以勺，得x = 5.
12.解：设李明上次所买书籍的原价是x元，由题意，得 0. 8x+20 = x-12. 解得x = 160. 答：李明上次所买书籍的原价是160元.
第2课时 解带括号的一元一次方程 1. B 2. 解方程：4(x-2)=2(x+3). 去括号，得4x—8 = 2x+6.
13
两边同除以
，得*=三.
-----------
5
5
8 .解下列方程:
⑵于 —9x+8
(1) —5x+1 = -2-
x+3
2x + l
x— 1
(3)—+l=x—1； (4) 3 =
5
V V—4 9 .对于方程5—丁 =1,某同学解法如下：
解：方程两边同乘6,得6x—X —4=1.①
合并同类项，得5x = 5.②
9
移项，得 4x—2x = 6+8. 合并同类项，得2x=14. 方程两边同除以2,得x = 7. 3. x = 2. 4. (l)-3(x+3)=24； 解法一：去括号，得一3x—9 = 24. 移项，得—3x —24+9. 合并同类项，得-3x = 33. 方程两边同除以一3,得x= 一H. 解法二：方程两边同除以一3,得 x+3 = —8. 移项，得x=—8 —3. 合并同类项，得x = 一H. (2)4x—3 = 2(x—1)； 解：去括号，得4x —3 = 2x —2. 移项，得 4x — 2x=—2 + 3. 合并同类项，得2x=l. 方程两边同除以2,得x=；.
5.2一元一次方程的解法(第二课时+移项解一元一次方程)2024-2025学年北师大版七年级数学上册
对消:合并同类项； 还原：移项
5.2 一元一次方程的解法
知识.巩固
列方程并将过程补充完整
x的5倍与2的和等于x的三倍 与4的差，求x的值.
5x＋2＝3x－4，
列方程为：________________________________
5x-3x＝-2－4，
解方程移项得 ________________________________
5x-2+2=8+2，
5x=8+2. ②
即5x=10，方程两边同时除以5 得x=2
问题一：观察上面求解过程，②这个方程和①相比较那一项发生变化？
发生那些变化？
原方程相比，-2这一项发生变化
-2从方程左边位置移动到右边变
成+2，位置和符号发生了变化.
5.2 一元一次方程的解法
情景导入
5x–2=8
5x = 8 + 2
问这个变形相当于把原方程中的-2改变符号后，从方程一边移到另一边，
这种变形称为移项
注意：移项要变号，正项变负项，负数变正项
5.2 一元一次方程的解法
思考.交流
解方程：5x-2=8①.
方程两边同时加2，得
5x-2+2=8+2，
也就是
5x=8+2. ②
即5x=10，方程两边同时除以5 得x=2
问题二：由①到 ②移项的依据是什么？
(1)8+7x=5x-2
（2） − = −
解：移项，得7x - 5x=-2 - 8.
解：移项，得 − = − + 合
合并同类项，得2x=-10.
北师大版数学七年级上册认识一元一次方程(第1课时一元一次方程及有关的概念)课件
（3）列方程.
解：（1）设正方形的边长为x cm. 等量关系：正方形的边长×4＝周长. 列方程 4x＝24. （2）设x个月后这台计算机的使用时间到达2 450 h. 等量关系已用时间+再用时间＝2 450. 列方程1 700+150x＝2 450.
知识讲授
【归纳总结】
大家刚才都已经自己列出了方程，哪个同学能 够说出你是怎样列出方程的，你在列方程的过程中 大体可以分为哪几步呢？
随堂训练
课后提升
某市对城区主干道路进行绿化，计划把某一段公路的一
侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵并且每两棵
树的间隔相等.若每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；若每隔6
米栽1棵，则树苗正好用完.设有树苗x棵，则根据题意列
出方程，下列正确的是（ A ） A.5（x+21-1）＝6（x-1） B.5（x+21）＝6（x-1）
解：方法一：设宽为x米，由题意，得 2 [ x+ (x+12) ]=200. 方法二：设长为y米，由题意，得 2 [ y+(y-12) ]=200.
知识讲授
问题4 大家视察，这四个式子有什么特点？ （1） 2x 5 21. （2）2.5x+40＝100. （3） 2［x+（x+12）］＝200或 2 [ y+(y-12) ]=200.
知识讲授
B
解析：根据一元一次方程的定义判断.①中未知数的次数不都是 1，④中含有两个未知数且未知数的次数不都是1，⑥中含有两 个未知数.所以①④⑥都不是一元一次方程.
知识讲授
2. 方程的解概念
问题5 一个长方形，长比宽多2 cm，周长为20 cm，则这个长 方形的长和宽各是多少厘米？
初一上数学课件(北师版)-解含括号与分母的一元一次方程
去分母的依据是 等式性质2 .
3．解方程x＋ 184－16(x－5)＝x＋3 3－12，去分母时，两边同乘以( C )
A．72
B．36
C．18
D．12
4．在解方程x－3 1＋x＝3x＋ 2 1时，方程两边同时乘以 6，去分母后，正确的 是( B ) A．2x－1＋6x＝3(3x＋1) B．2(x－1)＋6x＝3(3x＋1) C．2(x－1)＋x＝3(3x＋1) D．(x－1)＋x＝3(3x＋1) 5．方程2－310x－1＝2－56x的解是 x＝－3112 .
6．依据下列解方程0.3x0＋.2 0.5＝2x－3 1的过程，请在前面的括号内填写变形 步骤，在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程变形为3x＋2 5＝2x3－1( 分式的基本性质 )， 去分母得，3(3x＋5)＝2(2x－1)( 等式性质2 )． 去括号，得 9x＋15＝4x－2( 去括号法则 )． ( 移项 )，得 9x－4x＝－15－2( 等式性质1 )． 合并，得 5x＝－17( 合并同类项 )． ( 系数化为1 )，得 x＝－157( 等式性质2 )．
于( D )
A．0
B．21
C．1
D．54
10．解方程 3(x－2)－2(4－x)＝5(2x＋1)，去括号得 3x－6－8＋2x＝10x＋5， 移项得 3x＋2x－10x＝5＋6＋8 ，合并同类项得 －5x＝19 ，系数化
为 1，得 x＝－159 .
11．若整式x－3 1的值比1＋22x的值小 3，则 x 的值应为
解：因为 x－(3－2x)＝2(x＋4)，解得：x＝11，所以 4x－3(a－x)＝5x－7(a －x)的解 x＝16，∴4×16－3(a－16)＝5×16－7(a－16)，所以 a＝20.
七年级数学上第5章一元一次方程5.2求解一元一次方程第2课时用去括号法解一元一次方程北师大
8．解方程 4(x－1)－x＝2x＋12，步骤如下： ①去括号，得 4x－4－x＝2x＋1； ②移项，得 4x－x＋2x＝1＋4； ③合并同类项，得 5x＝5；④系数化为 1，得 x＝1. 经检验知 x＝1 不是原方程的解，说明解题的四个步骤中有 错，其中做．错．的一步是( B ) A．① B．② C．③ D．④
14．解方程：278(x－3)－463(6－2x)－888(7x－21)＝0.
【点拨】方程左右两边都含有x－1，因此将方程左边括 号内的第一项x变为(x－1)＋1后，把x－1视为一个整体进 行运算．
解：原方程可化为 278(x－3)＋463×2(x－3)－888×7(x－3)＝0. 逆用分配律，得(278＋463×2－888×7)(x－3)＝0. 因为278＋463×2－888×7≠0， 所以x－3＝0. 解得x＝3.
4．解方程－2(x－1)－4(x－2)＝4，去括号正确的是( D ) A．－2x＋2－4x－8＝4 B．－2x＋1－4x＋2＝4 C．－2x－2－4x－8＝4 D．－2x＋2－4x＋8＝4
5．下列解方程过程中，变形正确的是( D ) A．由2x－1＝3，得2x＝3－1 B．由2x－3(x＋4)＝5，得2x－3x－4＝5 C．由－75x＝76，得 x＝－7756 D．由2x－(x－1)＝1，得2x－x＝0
易错11 一元一次方程的定义及解一元一次方程(解析版)2021-2022学年七年级数学上册期末突破易
【突破易错·冲刺满分】2021-2022学年七年级数学上册期末突破易错挑战满分（北师大版）易错11 一元一次方程的定义及解一元一次方程【易错1例题】一元一次方程的概念1-1．（2020·浙江浙江·七年级单元测试）下列方程中，是一元一次方程的是_______．（把序号填写出来） ①1x = ②23x y -= ③35x - ④131x x-= ⑤2321x -= ⑥15ax -=（a 为常数） ⑦()2115a x +-=（a 为带数）【答案】①⑦【分析】根据一元一次方程的定义进行判断．【详解】解：①x =1，⑦（a 2+1）x -1=5（a 为常数），符合一元一次方程的定义，故①⑦正确；②x -2y =3，该方程中含有2个未知数，不是一元一次方程，故②错误；③3x -5，它不是方程，故③错误；④3x -1x=1，该方程不是整式方程，故④错误； ⑤3x 2-2=1，该方程中的未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故⑤错误；⑥ax -1=5（a 为常数），当a =0时它不是方程，故⑥错误；故答案为：①⑦．【点睛】本题考查了一元一次方程的概念．属于基础题目，掌握概念是关键．1-2．（2021·山西襄汾·七年级期末）若||(1)20m m x +-=是关于x 的一元一次方程，则m =____________．【答案】1【分析】根据一元一次方程的概念：只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，据此解答即可．【详解】解：∵||(1)20m m x +-=是关于x 的一元一次方程， ∵1,10m m =+≠，∵1m =，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟知定义是解本题的关键．【易错2例题】方程的解2．（2021·吉林公主岭·七年级期末）已知x =2是关于x 的方程1x m -=的解，则m 的值为_________．【答案】1【分析】根据方程的解的定义列出方程, 解方程即可．【详解】解:x =2 是关于x 的方程1x m -= 的解，∴21m -=，解得m =1．故答案为: 1．【点睛】本题主要考查方程的解的定义，掌握方程的解的定义是解题关键．【易错3例题】等式的基本性质3．（2021·甘肃瓜州·七年级期末）在下列方程的变形中，正确的是（ ）A ．由2x +1＝3x ，得2x +3x ＝1B ．由2354x =，得x ＝3542⨯ C ．由2x ＝34，得x ＝32 D ．由﹣13x +＝2，得﹣x +1＝6 【答案】B【分析】 根据等式的基本性质1，等式两边同时加（或减）一个数，等式不变；等式的基本性质2，等式两边同时乘（或除）一个数，等式不变即可得出结果．【详解】A 、由2x +1＝3x 得2x ﹣3x ＝﹣1，原变形错误，故此选项不符合题意；B 、由2354x =得3542x =⨯，原变形正确，故此选项符合题意； C 、由2x ＝34得x ＝38，原变形错误，故此选项不符合题意； D 、由﹣13x +＝2得﹣x ﹣1＝6，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质的内容是解此题的关键．【易错4例题】解一元一次方程4．（2021·重庆市第十一中学校七年级月考）解方程：（1）3312x x -=+； （2）121224x x +--=+ 【答案】（1）8x =- ；（2）4x =【分析】先去分母，再移项，合并同类项，最后系数化为1，即可求解．【详解】解：（1）3312x x -=+ 方程两边同时乘以2，得：2632x x -=+，移项，得：2326x x -=+ ，合并同类项，得：8x -= ，系数化为1，得：8x =- ；（2）121224x x +--=+ 方程两边同时乘以4，得：22482x x +-=+- ，移项，得：28224x x +=+-+ ，合并同类项，得：312x = ，系数化为1，得：4x = ．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．【专题训练】一、选择题1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）下列等式中是一元一次方程的是（ ） A ． 0.5x =B ． 0x y -=C ． 11x =D ． 321-= 【答案】A【分析】只含有一个未知数（元)，并且未知数的指数是1（次)的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是0(ax b a +=，b 是常数且0)a ≠．【详解】解：A 、0.5x =是一元一次方程，此选项说法正确，符合题意；B 、0x y -=是二元一次方程不是一元一次方程，此选项说法错误，不符合题意；C 、11x=是分式方程不是一元一次方程，此选项说法错误，不符合题意； D 、321-=不是方程，此选项说法错误，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．2．（2021·河南淇县·七年级期中）如图，下列四个天平中，均放有球体和圆柱体两种物体，并且相同形状的物体的质量是相等的．若天平①是平衡的，则后三个天平中仍然平衡的有（）A．③B．④C．②③D．③④【答案】C【分析】由第①个天平，得一个球的重量等于两个圆柱的重量，再利用等式的基本性质逐一分析②③④，即可得到答案.【详解】解：由第①个天平，得一个球的重量等于两个圆柱的重量，故第③个天平平衡；两个球的重量等于四个圆柱的重量，故第②个天平平衡，两个球的重量等于四个圆柱的重量，故第④个天平不平衡；所以后三个天平中平衡的有②③故选：C．【点睛】本题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键.3．（2021·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级月考）已知x＝4是关于x的方程2x+a＝x﹣3的解，则a的值是（）A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣4【答案】A【分析】把x=4代入方程计算即可求出a的值．【详解】解：把x =4代入，则2×4+a =4-3，解得：a =-7，故选：A ．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）下列等式变形正确的是（ ）A ．如果ax ＝ay ，那么x ＝yB ．如果a ＝b ，那么a ﹣5＝5﹣bC ．如果a ＝b ，那么2a ＝3bD ．如果a +1＝b +1，那么a ＝b【答案】D【分析】根据等式基本性质逐项分析即可．【详解】A . 如果ax ＝ay ，且0a ≠，那么x ＝y ，故该选项不正确，不符合题意；B . 如果a ＝b ，那么a ﹣5＝b ﹣5，故该选项不正确，不符合题意；C . 如果a ＝b ，那么2a ＝2b ，故该选项不正确，不符合题意；D . 如果a +1＝b +1，那么a ＝b ，故该选项正确，符合题意；故选D【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．5．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学七年级月考）已知方程21(1)90m m x --+=是关于x 的一元一次方程，则m 的值为（ ）A ．1或1-B ．1-C ．12D ．0【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义，只含一个未知数，未知数的次数是1的整式方程，形如0(0)ax b a +=≠，从而可得10m -≠且211m -=，解出m 即可得出答案．【详解】由题可知：10m -≠，解得：1m ≠ ，211m -=，解得：1m =±，综上，1m =-．故选：B ．【点睛】本题考查了一元一次方程的一般形式，熟记一次项系数不为0，且未知数次数为1是解题的关键． 6．（2021·全国·七年级课时练习）下列移项正确的有（ ）（1）125x -=-，移项，得125x -=；（2）73132x x -+=--，移项，得13732x x -=--；（3）2334x x +=+，移项，得2433x x -=-；（4）57211x x --=-，移项，得11725x x -=-．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据移项法则进行判断即可．【详解】解：（1）125x -=-，移项，得125x +=，故（1）错误；（2）73132x x -+=--，移项，得13732x x -=--，故（2）正确；（3）2334x x +=+，移项，得2433x x -=-，故（3）正确；（4）57211x x --=-，移项，得11725x x -=+，故（4）错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是解一元一次方程，熟练掌握移项要变号的法则是解题的关键．7．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级月考）下列方程变形中，正确的是（ ）A ．方程3x ﹣2＝2x +1，移项，得3x ﹣2x ＝﹣1+2B ．方程3﹣x ＝2﹣5（x ﹣1），去括号，得3﹣x ＝2﹣5x ﹣1C ．方程23x ＝32，未知数系数化为1，得x ＝1 D ．方程10.2x -﹣0.5x ＝1化成3x ＝6 【答案】D【分析】按解方程的一般步骤，逐个计算确定变形正确的选择．【详解】解：方程3x −2＝2x ＋1，移项，得3x −2x ＝1＋2，故选项A 错误；方程3−x ＝2−5（x −1），去括号，得3−x ＝2−5x ＋5，故选项B 错误； 方程23x ＝32，未知数系数化为1，得x ＝94，故选项C 错误； 利用分数的基本性质，10.2x -﹣0.5x ＝1化成5x −5−2x ＝1，即：3x ＝6，故选项D 正确． 故选：D ．【点睛】 本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤并能灵活运用是解决本题的关键．二、填空题8．（2021·全国·七年级课时练习）下列各式中，是方程的是_________（填序号）．①321x x -=- ②123+= ③221x x +- ④21x y +=【答案】①④【分析】方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案．【详解】解：①是方程；②不含未知数，故不是方程；③不是等式，故不是方程；④是方程．综上，是方程的是①④．故答案是：①④．【点睛】本题考查了方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．9．（2021·江苏·七年级专题练习）若x＝2是关于x的一元一次方程ax+2＝14的解，则a＝___．【答案】6【分析】把x＝2的方程计算即可求出a的值．【详解】解：把x＝2代入得：2a+2＝14，移项合并得：2a＝12，解得：a＝6．故答案为：6．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．10．（2021·全国·七年级课时练习）方程213132x x--=+的分母的最小公倍数为_______．【答案】6【分析】根据方程中的两个分母即可得分母的最小公倍数．【详解】方程中两个分母分别为2与3，其最小公倍数为6，故方程213132x x--=+的分母的最小公倍数为6．故答案为：6.【点睛】本题考查了解含有分母的一元一次方程中的第一步去分母−找最小公倍数，要注意的是最好找各分母的最小公倍数．11．（2021·浙江平阳·七年级期中）若关于x的方程（m﹣1）x|m﹣2|=3是一元一次方程，则m的值为_____．【答案】3【分析】直接利用一元一次方程的定义分析得出答案．【详解】解：∵关于x的方程（m-1）x|m-2|=3是一元一次方程，∵|m-2|=1且m-1≠0，解得：m=3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．只含有一个未知数，且未知数的次数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．12．（2021·广东徐闻·九年级期中）若x＝1是方程﹣2mx+n﹣1＝0的解，则2020+n﹣2m的值为______．【答案】2021【分析】把x=1代入方程求出n-2m的值，原式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：把x＝1代入方程得：﹣2m+n﹣1＝0，整理得：n﹣2m＝1，则原式＝2020+（n﹣2m）＝2020+1＝2021．故答案是：2021．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，利用了整体代入的思想，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．13．（2021·辽宁抚顺·七年级期末）新定义一种运算“∵”，规定a∵b＝ab+a﹣b．若2∵x＝x∵2，则x的值为___．【答案】2【分析】根据题意，可得：2x+2﹣x＝2x+x﹣2，据此求出x的值为多少即可．【详解】解：∵a∵b＝ab+a﹣b，2∵x＝x∵2，∵2x+2﹣x＝2x+x﹣2，整理，可得：2x＝4，解得x＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了新定义下的运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．14．（2021·吉林公主岭·七年级期末）阅读框图，在四个步骤中，不是．．依据等式性质变形的是________（填序号即可）．【答案】③【分析】等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，依据性质2进行判断即可．【详解】解：①去分母时，在方程两边同时乘上10，依据为：等式的性质2；②移项时，等式两边同时减去2x，依据为：等式的性质1；③合并同类项时，依据是合并同类项法则；不是等式性质；④系数化为1时，在等式两边同时除以3，依据为：等式的性质2；故答案为：③．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．三、解答题15．（2021·黑龙江·绥棱县克音河乡学校七年级期中）解方程（1）(2x-3)=4(x+1)；（2）-16 136x xx+ -=-【答案】（1）72x=-；（2）2x=.【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，最后化系数为1即可；（2）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，最后化系数为1.【详解】解：（1）(2x -3)=4(x +1)2x -3=4x +42x -4x =4+3-2x =772x ∴=-； （2）-16136x x x +-=- 去分母得，62(1)6(6)x x x --=-+去括号得，62+266x x x -=--移项得，26626x x x --+=---合并同类项得，714x -=-化系数为1得，2x =.【点睛】本题考查解一元一次方程，涉及去分母、去括号、移项，合并同类项、化系数为1等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.16．（2021·浙江平阳·七年级期中）解方程：（1）5x +4=3（x ﹣4）； （2）2213x x --=． 【答案】（1）x =﹣8；（2）15x = 【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．【详解】解：（1）5x +4=3（x ﹣4），去括号，得5x +4=3x ﹣12，移项，得5x ﹣3x =﹣12﹣4，合并同类项，得2x =﹣16，系数化成1，得x =﹣8；（2）2213x x --=，去分母，得3（2x ﹣1）=x ﹣2，去括号，得6x ﹣3=x ﹣2，移项，得6x ﹣x =3-2，合并同类项，得5x =1，系数化成1，得x =15． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键，解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1．17．（2021·全国·七年级课时练习）解下列方程：（1）98x -=； （2）516y -=-；（3）3413x +=-； （4）2153x -=． 【答案】（1）17x =；（2）21y =；（3）173x =-；（4）9x =． 【分析】 （1）直接根据等式的性质，等号两边同时加9即可；（2）等号两边同时减去5，然后等号两边同时除以1-即可；（3）等号两边同时减去4，然后等号两边同时除以3即可；（4）等号两边同时加上1，然后等号两边同时除以23即可． 【详解】解：（1）98x -=，等号两边同时加9得：9989x -+=+，解得：17x =；（2）516y -=-，等号两边同时减去5得：55165y --=--，等号两边同时除以1-：21y =；（3）3413x +=-，等号两边同时减去4得：317x =-，然后等号两边同时除以3得：173x =-；（4）2153x-=，等号两边同时加上1得：263x=，然后等号两边同时除以23得：9x=．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知等式的基本性质是解本题的关键．18．（2020·山东青岛·七年级单元测试）解方程：（1）2（x﹣2）﹣3（4x﹣1）＝5（1﹣x）；（2）214x+﹣1＝x﹣10112x+；（3）1﹣7331084x xx +-=-．【答案】（1）x＝﹣1.2；（2）x＝2；（3）x＝21【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；（3）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．【详解】解：（1）去括号得：2x﹣4﹣12x+3＝5﹣5x，移项得：2x﹣12x+5x＝5+4﹣3，合并同类项得：﹣5x＝6，系数化为1得：x＝﹣1.2；（2）去分母得：3（2x+1）﹣12＝12x﹣（10x+1），去括号得：6x+3﹣12＝12x﹣10x﹣1，移项得：6x﹣12x+10x＝﹣1﹣3+12，合并同类项得：4x＝8，系数化为1得：x＝2；（3）去分母得：8﹣（7+3x）＝2（3x﹣10）﹣8x，去括号得：8﹣7﹣3x＝6x﹣20﹣8x，移项得：﹣3x﹣6x+8x＝﹣20﹣8+7，合并同类项得：﹣x ＝﹣21，系数化为1得：x ＝21．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解决本题的关键．19．（2021·全国·七年级课时练习）解下列方程：（1）423x x -=-； （2）7224x x -+=-；（3）215x x -=-+； （4）12233x x -=-+． 【答案】（1）1x =；（2）23x =；（3）53x =-；（4）1x = 【分析】 根据解一元一次方程的基本步骤“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1”逐个求解即可．【详解】解：（1）移项，得432x x +=+，合并同类项，得55=x ，系数化为1，得1x =；（2）移项，得7242x x --=--，合并同类项，得96x -=-，系数化为1，得23x =； （3）移项，得215x x -+=， 合并同类项，得315x -=，系数化为1，得53x =-； （4）移项，得112233x x +=+， 合并同类项，得7733x =，系数化为1，得1x =．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解决本题的关键．20．（2021·全国·七年级课时练习）解下列方程：（1）4118332x x -=-； （2）0.50.7 6.5 1.3x x -=-； （3）12(36)365x x -=-； （4）1231337x x -+=-． 【答案】（1）23x =-；（2）4x =；（3）20x =-；（4）6723x =． 【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；（2）方程移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；（3）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；（4）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．【详解】解：（1）去分母得：8481833x x -=-，移项合并得：1510x =-， 解得：23x =-； （2）移项合并得：1.87.2x =，解得：4x =；（3）去分母得：5(36)1290x x -=-，去括号得：15301290x x -=-，移项合并得：360x =-，解得：20x =-；（4）去分母得：7149363-=+-x x ，移项合并得：2367x =， 解得：6723x =． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的基本步骤．21．（2021·四川·绵阳中学育才学校七年级月考）对于有理数x 、y 规定一种新运算：x ∵y ＝ax ＋y ．其中a 为常数，等式右边是乘法和加法运算，已知2∵3＝11．（1）求常数a 的值． （2）求（﹣34）∵2的值．【答案】（1）4a =；（2）-1．【分析】（1）根据新运算将2∵3=11转化为关于a 的等式，解出a 即可．（2）根据（1）所求a 的值和新定义下的运算将(23)4-※转化为一般运算即可解答． 【详解】（1）根据新运算和2∵3=11，得：2311a +=解得：4a =．（2）根据（1）可知x ∵y =4x +y ， 所以33242144⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭※． 【点睛】本题考查新定义下的计算．理解题意，正确运用x y ax y =+※是解答本题的关键．22．（2021·全国·七年级）若()27440m m xm ---=是关于x 的一元一次方程，求221996m m -+的值． 【答案】2020【分析】根据一元一次方程的定义列式求解即可．【详解】解：因为()27440m m x m ---=是关于x 的一元一次方程．所以40m -≠，271m -=，所以，4m ≠，4m =±所以4m =-．所以22199616819962020m m -+=++=．【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．23．（2021·江苏·七年级专题练习）已知()150mm x -+=是关于x 的一元一次方程． （1）求m 的值，并写出这个方程；（2）判断1, 2.5,3x x x ===是不是方程的解．【答案】（1）1m =-，250x -+=；（2）1x =、3x =不是方程的解， 2.5x =是方程的解【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到关于m 的方程、不等式，解之即可得解；（2）在（1）的基础上，根据方程的解的概念进行判断即可得解．【详解】解：（1）∵方程()150mm x -+=是关于x 的一元一次方程 ∵101m m -≠⎧⎨=⎩∵1m =-，即这个方程是：250x -+=．（2）①当1x =时，方程的左边2153=-⨯+=，方程的右边0=∵方程的左边≠方程的右边∵1x =不是方程的解；②当 2.5x =时，方程的左边2 2.550=-⨯+=，方程的右边0=∵方程的左边=方程的右边∵ 2.5x =是方程的解；③当3x =时，方程的左边2351=-⨯+=-，方程的右边0=∵方程的左边≠方程的右边∵3x =不是方程的解．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义、方程的解的定义、解含绝对值的方程等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。
5.2一元一次方程的解法(去括号解一元一次方程))2024-2025学年北师大版七年级数学上
移项，得
4x＋x=17－2
合并同类项，得 5x=15
方程两边同除以5，得 x=3
问题六：你能总结出解含有括号的一元一次方程的一般步骤吗？
说一说你的看法.
5.2 一元一次方程的解法
知识.归纳
去括号解方程的步骤：
①去括号；乘法对加法的分配律
去括号法则
②移项；移项要变号
等式的基本性质1
那么可列出方程：y-0.5+4y=20-3
5.2 一元一次方程的解法
尝试.思考
问题四：x+4(x+0.5）=20-3这个方程和之前解的方程有什么不同？
方程出现了括号
问题五：怎样解所列的方程？说一说你的看法.
方程有括号先去括号，利用乘法对加法的分配律
5.2 一元一次方程的解法
尝试.思考
解方程：x+4(x+0.5）=20-3
③合并同类项；
合并同类项法则
④系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数. 等式的基本性质2
问题七：步骤中每一步的依据是什么？
5.2 一元一次方程的解法
知识.巩固
解方程：1+6x＝2(3-x)．
解：去括号，得
移项，得
1+6x＝6-2x．
6x+2x-＝6-1.
合并同类项，得 8x＝5.
方程两边都除以8，得 x＝
去括号解方程
的步骤
去括号解一
元一次方程
去括号注意
去括号→移项→合并同类项→系数化为1
括号外的因数是负数，那么去括号后原括号内
各项的符号都要改变；
当乘数与一个多项式相乘时，乘数应乘多项式
北师大版(2024)七年级数学上册 第五章 一元一次方程 习题课件 第6课一元一次方程的解法综合
因为两个方程有相同的解，所以
7m 10
3＝1.
解得m＝－1.
3.
解
方
程x：
3
1
解：去括号，得
1 x2
(41x11()4x11. )
1.
32
去分母，得2x＋6－3(4x－1)＝6.
去括号，得2x＋6－12x＋3＝6.
移项，得2x－12x＝6－6－3.
合并同类项，得－10x＝－3. 系数化为1，得x＝ 3 .
10
4．某制衣厂接受一批服装的订货任务，按计划天数进 行生产．如果平均每天生产20套服装，则比订货任 务少生产100套；如果平均每天生产23套服装，则超 过订货任务20套．这批服装的订货任务有多少套？ 原计划多少天完成？
解：设原计划x天完成．
依题意，得20x＋100＝23x－20，解得x＝40. 订货任务有20×40＋100＝900(套). 答：这批服装的订货任务有900套，原计划40天完成．
5. 已知方程(m－2)x m －1＋3＝m－5是关于x的一元一次 方程，求m的值，并写出该方程．
解：因为方程(m－2)x m －1＋3＝m－5是关于x的一元一 次方程，
(3) 3x 4x 7 1; 16 8
解：去分母，得3x＝2(4x＋7)＋16.
去括号，得3x＝8x＋14＋16. 移项，得3x－8x＝30. 合并同类项，得－5x＝30. 系数化为1，得x＝－6.
(4) 3x 2 1 2x 1 2x 1 .
2
4
5
解：去分母，得10(3x＋2)－20＝5(2x－1)－4(2x＋1).
去括号，得30x＋20－20＝10x－5－8x－4.
移项，得30x－10x＋8x＝－5－4＋20－20.
北师大版七年级数学上册《求解一元一次方程》典型例题(含答案)
《求解一元一次方程》典型例题例1 解方程：89210+-=+-x x例2 解方程：)2(3)3(2+=-x x例3 解方程：7722121-=--x x例4 解方程：6233)5(54--+=--+x x x x例5 解方程：5303.02.05.05.01.24.0=--+x x例6 下面解题过程正确吗？如果正确，请指出每一步的依据；如果不正确，请指出错在哪里，并给出正确的解答．（1）解方程413x x += 两边都乘以12，得 134=-x x ∴1=x（2）解方程83243212x x --+= 去分母，得 x x 326220--+=移项，得 202623--=-x x合并同类项，得 16-=x例7 如果一个正整数的2倍加上18等于这个正整数与3之和的n 倍，试求正整数n 的值．例8 解方程234=-+-x x例9 解方程.132=-+-x x参考答案例1 分析 这个方程可以先移项，再合并同类项．解 移项，得.28910-=+-x x合并同类项，得6=-x把系数化为1，得6-=x说明：初学解方程者应该进行检验，就是把求得的方程的解代入原方程中，看方程的左右两边是否相等，如果相等则是方程的解，否则就不是方程的解．则说明我们的解题过程有误．当熟练之后可以不进行检验，以后我们会知道一元二次方程不会产生增根．例2 分析 这个方程含有括号，我们应先去掉括号，然后再进行合并同类项等．解 去括号，得.6362+=-x x移项，得6632+=-x x合并同类项，得12=-x把系数化为1，得.12-=x说明：在去括号时要注意符号的变化，同时还应该注意要用括号前的数去乘括号内的每一项，避免出现漏乘的现象．例3 分析 该方程中含有分母，一般我们是要先去掉分母，然后再按其他步骤进行．解 去分母，得217)2(3)2(21⨯-⨯=--x x去括号，得1476221-=+-x x移项，得2211476---=--x x合并同类项，得1707-=-x把系数化为1，得.7224=x 说明：初学者在去括号时，如果分子是两项的，应该用括号把分子括上以避免出现符号的错误．例4 分析 在这个方程中既有括号又有分母，先做哪一步这应因题而定．解 去分母，得)2(5)3(10)5(30)4(6--+=--+x x x x去括号，得105301015030246+-+=+-+x x x x移项，得150241*********--+=+--x x x x合并同类项，得13429-=-x把系数化为1，得.29184=x 说明：要灵活应用解方程的步骤，在熟练之后这些解方程的步骤可以省略不写．例5 分析 在这个方程中既有小数又有分数，一般是先把分子分母中的小数都化成整数再进行计算．解 原方程可化为：53320505214=--+x x 去分母，得9)2050(5)214(3=--+x x去括号，得91002506312=+-+x x移项并合并同类项，得196112=x把系数化为1，得431=x 说明：在解方程时解方程的步骤可以灵活使用，如在去括号后发现项比较多时，并有同类项可以合并，也可以先合并一次同类项然后再移项．例6 分析 第（1）小题方程中有两项有分母，另一项没有分母，在去分母时应注意不要漏乘没有分母的项．第（2）小题的各项，尤其是右边两项比较复杂，去分母时必须小心谨慎，防止出错．解 （1）错，错在去分母时漏乘了方程中间的“1”，正确解答如下： 去分母，得 x x 3124+=移项 12 1234==-x x x（2）错，错在将方程的两边乘以8后，832x --这一项应化为)32(x --而不是x 32--，正确解答如下：去分母，得 )32()3(220x x --+=去括号，得 x x 326220+-+=移项，得 516 165=-=-x x 说明 对于比较复杂的方程，求出解后要检验一下看是不是原方程的解，这样有利于减少解方程的错误．在解方程的过程中，认真、细致是解题的关键．例7 解 设已知的正整数为a ，依题意得)3(182+=+a n a ，即n a n 318)2(-=-， ∴.2)6(3--=n n a 因为a 和n 都是正整数，所以.62<<n当3=n 时，9=a ，36)39(31892=+⨯=+⨯；当4=n 时，3=a ，24)33(41832=+⨯=+⨯；当5=n 时，1=a ，.20)31(51812=+⨯=+⨯答：3=n ，或4=n ，或.5=n说明： 本例的解法用到了分类讨论．例8 分析 对于4-x 来说，当4>x 时，44-=-x x ，当4<x 时，x x -=-44，这二者之间的区别显然是很大的，不能混为一谈．同样，3-x 这个式子在3>x 时与在3<x 时也有很大区别．注意到以上情况，是因为我们感到只有把题目中的绝对值符号去掉，才能解出方程．因此，对本题，可以分为434≤≤>x x 、和3<x 三种情况去掉绝对值符号来解．解 当4>x 时，原方程可化为2)3()4(=-+-x x ， 解得.29=x 当43≤≤x 时，原方程可化为2)3()4(=-+-x x ，这个方程无解．当3<x 时，原方程可化为2)3()4(=-+-x x 解得.25=x 所以，原方程的解是29=x ，或.25=x 说明：①从上面解题过程可以看出，带绝对值符号的方程，可以转化为不带绝对值符号的方程来解，而分类思想是实现这样的转化的法宝．②上面解题过程有读者不易察觉的一步，这就是检验．本题检验的具体做法是：在以4>x 为前提，求得29=x 之后，要看一看29是否与4>x 相符．在以3<x 为前提，解出25=x 之后，再看一看25与3<x 是否相符． ③解带有绝对值符号的方程，检验一步不要求书写，但不能以为这一步可有可无．例9 分析 对这类方程的常规解法，用分类讨论去绝对值． 从绝对值的几何意义出发，2-x 和3-x 分别表示数轴上表示x 的点到表示2的点与表示3的点之间的距离．如图所示，设数轴上表示2的点为A ，表示3的点为B ，那么示x 的点不会在点A 的左边或点B 的右边．解 方程132=-+-x x 的几何意义是数轴上表示x 的点到表示2的点的距离与表示3的点的距离之和为1．设数轴上表示2的点为A，表示3的点为B，则线段AB上的点都符合要求，线段AB之外的点均不符合要求．所以，这个方程的解是3≤x．2≤说明：从解方程来说，上面解法并不很重要，但从体会数学中的数形结合思想来说，则值得同学们拍案叫绝．这也是解不定方程的实例．。
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：一元一次方程的定义：在一个方程中，只含有___________，而且方程中的代数式都是________，_________________，这样的方程叫做一元一次方程．
问题2：使方程左右两边的值________的___________叫做方程的解．
问题3：等式的基本性质：①等式两边同时加上（或减去）同一个_________，所得结果仍是等式；
②等式两边同时乘以同一个_________（或除以同一个_________），所得结果仍是等式．
问题4：解方程的五个步骤：①______________；②______________；③_____________；
④______________；⑤_____________．
解一元一次方程（定义）（北师版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.下列各式中，属于一元一次方程的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一元一次方程的定义
2.若是关于x的一元一次方程，则a的值应满足( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：含字母的方程
3.已知是关于x的一元一次方程，则m的值为( )
A.4
B.-4
C.4或-4
D.3
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：含字母的方程
4.若是关于x的方程的解，则的值为( )
A.8
B.-8
C.6
D.-6
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解方程
5.已知是方程的解，则a的值为( )
A. B.2
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解一元一次方程
6.若是方程的解，则m的值为( )
A. B.-4
C.-2
D.4
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：含字母的方程
7.化方程为的形式的依据是( )
A.乘法法则
B.等式的基本性质
C.分数基本性质
D.移项法则
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等式的性质
8.方程分母化为整数得，依据的法则是( )
A.等式的基本性质
B.移项法则
C.分数的基本性质
D.乘法法则
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分数的基本性质
9.对方程进行去分母，正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等式的基本性质
10.把方程中的分子、分母化为整数，正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分数的基本性质。