大学高数总习题六及课外习题课后参考答案及知识总结
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总习题六
★★★1．求由曲线
32)4(x y -=与纵轴所围图形面积。
思路：曲线2
3
(4),(4)y x x =-≤关于x 轴对称，又曲线的一条分支3/2
(4)y x =-是关于x 的减函
数，见图6-1可知用y 型或用对称性求图形面积较为简单。
解：曲线表达为3
/24y
x -=，它和y 轴的交点：（8,0±）
∴51285332(2)4(2)4(8
3/58
88
03/23
/2=
-=-=-=⎰⎰-y dy y dy y S ★★★2．求介于直线
π
2,0==x x 之间、由曲线
x y sin =和x y cos =所围成的平面图形的面积。
解：⎰
-=
π
20
cos sin dx x x S
24)sin (cos )cos (sin )sin (cos 24
/54
/54
/4
/0
=-+-+-=⎰
⎰
⎰
π
ππππdx x x dx x x dx x x
★★★3．直线
x y =将椭圆y y x 6322=+分成两块，设小块面积为A ，大块面积为B ，求B A /的
值。
思路：由于x y =和y y x 632
2
=+的交点为)0,0(及)2/3 , 2/3(，12/3>，因此面积较小的一
部分用y 型做较简单，见图6-3
解：较小部分区域表达为：A D ：⎩⎨
⎧-≤≤≤≤2
362
/30y y x y y
则
sin 1
3/2
/6
20
93
)84
x t
y t A y dy
tdt ππ
=+-==
-=-⎰
⎰，
3344B =+=+
，∴/A B =
★★★4．求椭圆
13122=+
y x 和13
1
22=+y x 公共部分的面积。 思路：由图形的对称性可得所求面积是0=x 和x y =及22
113
y x +=所围在第一象限内区域1D 面积
的8倍，见图6-4
解： 1D
：02y y x ⎧≤≤⎪
⎨≤≤⎪⎩
∴1260
088)cos 3y t D S
S y dy tdt π==-=
★★★5．求由曲线
t a y t a x 33sin ,cos ==所围图形面积。
思路：图形为星形线，所以由图形的对称性可得所求面积是第一象限内区域1D 面积的4倍 解： 1D ：⎩⎨
⎧≤≤≤≤)
(00x y y a
x ，（设)(x y y =是星形线函数）
∴331cos 0
2320
/2
sin 4()4sin 3cos (sin )x a t a
D y a t
S
S y x dx
a t t t dt π=====
⨯-⎰⎰
2
/2
220
3(sin 2cos 2sin 2)2
a t t t dt π=-⎰
22
/2
/2
220
31cos 433
sin 2(sin 2)2
24
8
a t a dt td t a πππ-=-=⎰
⎰
★★★6．圆
1=ρ被心形线θρcos 1+=分割成两部分，求这两部分的面积
思路：设分割成的右边图形为D ，由图形的对称性可得所求面积是极轴上半部分1D 面积的2倍，见图
6-6
解： 1=ρ和θρcos 1+=相交于2/πθ±=，
∴1D 由
A 、
B 两部分组成，A ：⎩⎨
⎧≤≤≤≤1
02
/0ρπθ，B ：⎩⎨⎧+≤≤≤≤θρπθπcos 102/， ∴2
/2152[(1cos )]2424D S d πππ
θθπ=++=-⎰，左边部分的面积24
D S π=-
★★★★7．设
sin , 02
y x x π
=≤≤
，问t 取何值，右图中阴影部分的面积1S 与2S 之和S 最小？最大？
解：⎰
⎰-=-=
2
/2
1)sin (sin ,)sin (sin πt
t
dx t x S
dx x t S ，21)(S S t S +=，
0cos )22(]sin )2[(sin sin )sin ()(=-='----'='t t t t t t t t t S ππ，得4
π
=
t ，
比较12
)2(,12)4(,1sin )0(2
/0
-=-===⎰
π
πππS S xdx S ， ∴12,1min max
-==S S
★★★8．由曲线
)10(12≤≤-=x x y 与y x ,轴围成的区域，被曲线)0(2>=a ax y 分为面积为相等
的两部分，求a 的值，见图6-8
解：两曲线)10(12
≤≤-=x x y ，)0(2
>=a ax y 交于：（
a
a
a ++1,
11
），
1222001:; :1a y x a D D ax y x x ⎧
≤≤⎧⎪≤≤+⎪⎪
⎨⎪≤≤-≤≤⎩
∴1
220
)D
S x ax dx =--=
213/23/210
22((1))33a
a a
a D S dy y y ++==--=⎰
由1
2D
D S S =，计算可得3=a
★★★9．求星形线
)0(3/23/23/2>=+a a y x 所围图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积。
知识点：旋转体体积