数学中的排列问题
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。
下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。
高中数学排列组合解题技巧
高中数学排列组合解题技巧在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和考点。
它涉及到对一组对象进行有序或无序地选择和排列的问题，常常出现在数学竞赛和高考中。
掌握排列组合的解题技巧对于提高数学成绩至关重要。
本文将介绍一些常见的排列组合题型，并提供解题技巧和例题分析，帮助高中学生和家长更好地掌握这一知识点。
一、排列问题排列问题是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择一部分或全部对象的问题。
常见的排列问题有全排列、循环排列和有条件的排列等。
1. 全排列全排列是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序选取m个元素进行排列的问题。
全排列的计算公式为P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。
例题1：从1、2、3、4中任选3个数字，共有多少种排列方式？解析：根据全排列的计算公式，P(4, 3) = 4! / (4-3)! = 4! / 1! = 4 × 3 × 2 = 24。
因此，共有24种排列方式。
2. 循环排列循环排列是指将n个不同的元素排成一个环状，不计顺序的排列问题。
循环排列的计算公式为C(n) = (n-1)!，其中n!表示n的阶乘。
例题2：将1、2、3、4排成一个环状，共有多少种循环排列方式？解析：根据循环排列的计算公式，C(4) = (4-1)! = 3! = 3 × 2 = 6。
因此，共有6种循环排列方式。
二、组合问题组合问题是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择一部分对象的问题。
与排列不同的是，组合不考虑对象的顺序，只关注对象的选择。
常见的组合问题有选择问题和有条件的组合等。
1. 选择问题选择问题是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序选取m个元素的问题。
选择问题的计算公式为C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)。
例题3：从1、2、3、4中任选3个数字，共有多少种选择方式？解析：根据选择问题的计算公式，C(4, 3) = 4! / (3! × (4-3)!) = 4! / (3! × 1!) = 4。
排列组合问题的解决方法
排列组合问题的解决方法排列组合问题是数学中的一个重要概念，也是许多实际问题中常见的一种情况。
在解决排列组合问题时，我们需要运用一定的方法和技巧，以得到准确的答案。
本文将介绍一些常见的解决排列组合问题的方法。
一、排列问题的解决方法排列是从若干个元素中选取一部分进行排序的问题。
在解决排列问题时，我们可以运用以下方法：1.全排列法：全排列法适用于待排元素个数较少的情况。
通过穷举待排元素的所有可能排列，我们可以得到准确的答案。
但当待排元素个数较多时，全排列法的计算量会变得非常大，不适用于实际问题。
2.递归法：递归法是解决排列问题的常用方法之一。
通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到排列问题的解。
递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。
3.数学公式法：对于一些特殊的排列问题，我们可以运用数学公式来求解。
比如，计算从n个元素中选取m个元素进行排列的方法数，可以使用排列组合公式P(n,m) = n! / (n-m)!来计算。
二、组合问题的解决方法组合是从若干个元素中选取一部分进行组合的问题。
在解决组合问题时，我们可以运用以下方法：1.枚举法：枚举法是解决组合问题的常用方法之一。
通过枚举待选元素的所有可能组合，我们可以得到准确的答案。
但同样地，当待选元素个数较多时，枚举法的计算量会非常大。
2.递归法：递归法同样适用于解决组合问题。
通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到组合问题的解。
递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。
3.数学公式法：对于一些特殊的组合问题，我们可以运用数学公式来求解。
比如，计算从n个元素中选取m个元素进行组合的方法数，可以使用排列组合公式C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)来计算。
三、排列组合问题的综合应用在实际问题中，排列组合常常与其他数学概念和方法相结合，以解决更为复杂的问题。
高中数学排列组合问题的类型及解答
高中数学排列组合问题的类型及解答一、相邻问题捆绑法例16名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）种A. 720B. 360 C. 240D. 120解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法；甲、乙两人之间有种排法。
由分步计数原理可知，共有=240种不同排法，选C。
评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
二、相离问题插空法例2 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）解：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种；这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目，有种排法。
由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种。
评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。
此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。
三、定序问题缩倍法例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。
现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）。
解：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10（种）。
评法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。
这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。
四、标号排位问题分步法例4同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（）A. 6种 B. 9种C. 11种D. 23种解：此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。
组合数学中的数列和排列问题
组合数学中的数列和排列问题组合数学是研究集合的计数和组合规则的数学学科。
在组合数学中，数列和排列问题是其中的重要内容。
数列和排列问题涉及到集合中元素的排列组合方式以及它们的性质和应用。
一、数列问题数列是按一定顺序排列的一组数字。
在组合数学中，数列问题主要涉及到数列的性质、递推关系和求和公式等方面。
首先，我们来讨论数列的性质。
数列可以是有限的也可以是无限的，可以是递增的也可以是递减的。
对于有限数列，研究其特定位置的元素值、元素间差值的规律是常见的问题。
而对于无限数列，我们主要关注其收敛性和极限。
接下来，数列的递推关系在组合数学中扮演着重要的角色。
递推关系指的是通过已知的数列元素来求解后续元素的关系。
递推关系的建立可以通过观察数列的特点、利用数学归纳法或者递推公式等方式。
递推关系可以用来求解数列的任意位置的元素。
另外，数列的求和公式是数列问题中常用的工具。
数列的求和问题是通过对数列的各个元素进行相加来得到总和。
常用的数列求和公式有等差数列的求和公式、等比数列的求和公式以及算术级数的求和公式等。
通过应用这些求和公式，我们可以快速计算数列的和。
数列在组合数学中有着广泛的应用。
它们可以用来刻画自然现象中的规律，研究计算机算法的性能，解决概率和统计问题等。
二、排列问题排列是指将一组元素按照一定顺序进行排列的方式。
在组合数学中，排列问题主要涉及到排列的计数、排列的性质和排列的应用等方面。
首先，我们来讨论排列的计数问题。
计数问题是指给定一组元素，求出可以由这组元素构成的不同排列的个数。
在计数排列时，可以使用基本原理、乘法原理和组合数等方法。
对于有限元素的排列，我们可以使用阶乘运算来计算。
对于有重复元素的排列，我们需要考虑重复元素的情况。
其次，排列的性质是组合数学中的重要内容。
排列可以是有序的，也可以是无序的。
有序排列可以通过交换元素的位置来得到不同的排列。
而无序排列可以看作是有序排列去除元素位置的不同，因此无序排列的计数可以转化为有序排列的计数问题。
数学思维训练——排列问题、组合问题
数学思维训练——排列问题、组合问题一、排列问题例1、乐乐周末准备先去动物园玩，再去博物馆，请问他一共有多少种路线可以走？【分析】1、审题，提取题目重点信息。
乐乐先去动物园，再去博物馆，一共有多少种路线可以走。
2、解题方法。
方法一：连线法（连线要全面、有序地进行，做到不重复、不遗漏）方法二：计算法乐乐去动物园有4种路线，从动物园到博物馆有3种路线，则乐乐从家到博物馆一共有4×3=12(种)3、写出答案。
（学会用乘法做题速度更快）答：一共有12种路线可以走。
举一反三小练笔：1、小天有3件上衣、3条裤子和2双鞋，每天小天要穿一件上衣、一条裤子和一双鞋，请问小天一共有多少种穿法？3×3×2=18（种）答：小天一共有18种穿法。
2、学校举办运动会，准备了许多小彩旗和旗杆，彩旗的颜色有红、黄、蓝三种，旗杆有木制的和塑料的两种，男生、女生在拿彩旗加油的时候，一共有多少种可能？3×2×2=12(种）答：一共有12种可能。
3、下面是学校午餐的菜单，一共有多少种搭配方法？(每种搭配方法只能有一种主食、一种菜品和一种汤）2×4×2=16（种）答：一共有16种搭配方法。
二、组合问题例2、用1、3、5、7这四个数字不重复组合，可以组成几个比200大的数？【分析】1、认真审题。
（先读题，在列出组成数字的条件）用4个不同的数字组合，可以列出几个比200大的数。
2、用题目中的数字列出所有符合条件的情况。
比200 大的数，分两种情况讨论。
(1)组成的数为三位数三位数比200 大的话，百位是3、5、7 三种情况，数字不能重复，则十位有三个数字可用，即有3种情况，同理个位有2种情况。
则一共有3×3×2=18(个)(2)组成的数为四位数。
组成的四位数无论什么情况都比200 大，所以只需要列出所有组成的四位数的情况即可。
千位有4种情况，百位在千位用了一个数字后有3种情况，同理十位有2种情况，个位有1种情况。
高中数学中的排列组合问题解析
高中数学中的排列组合问题解析在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和工具，用于解决各种实际问题和数学题目。
排列组合问题涉及到对一组元素进行选择、排列或组合的方式和方法。
在本文中，我们将对排列组合问题进行详细解析，包括排列、组合、二项式定理等内容。
一、排列排列是指从一组元素中选取一部分元素按照一定的顺序进行排列的方式。
排列问题可以分为有放回排列和无放回排列两种情况。
有放回排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，选取的元素在排列过程中可以重复使用。
例如，从1、2、3三个元素中选取两个进行排列，可以得到以下六种排列：12、21、13、31、23、32。
无放回排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，选取的元素在排列过程中不可重复使用。
例如，从1、2、3三个元素中选取两个进行排列，可以得到以下两种排列：12、21。
二、组合组合是指从一组元素中选取一部分元素按照任意的顺序进行组合的方式。
组合问题也可以分为有放回组合和无放回组合两种情况。
有放回组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合，选取的元素在组合过程中可以重复使用。
例如，从1、2、3三个元素中选取两个进行组合，可以得到以下三种组合：11、12、22。
无放回组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合，选取的元素在组合过程中不可重复使用。
例如，从1、2、3三个元素中选取两个进行组合，可以得到以下三种组合：12、13、23。
三、二项式定理二项式定理是排列组合问题中的一个重要定理，它描述了两个数的幂次展开的规律。
二项式定理可以用于计算排列组合问题中的各种情况。
二项式定理的公式为：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n, n-1)ab^(n-1) + C(n, n)b^n其中，C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素进行组合的方式数，也称为组合数。
排列问题及其解法：
排列问题及其解法：排列问题及其解法排列问题是离散数学中的一个重要概念，在组合数学和计算机科学中都有广泛应用。
本文将介绍排列问题的基本定义及解法。
基本定义排列是指对一组元素进行不重复地排列，即按照一定的顺序对元素进行选择和摆放。
在数学中，排列常用于解决从一组元素中选择若干个元素的情况，且元素的顺序具有重要意义。
对于给定的n个元素，不同的排列方式的数量可以由排列数nPn来表示，其中n为待排列元素的个数。
全排列全排列是最基本和常见的排列问题，即给定一组元素，求出它们所有可能的排列方式。
全排列的解法可以采用递归算法，其基本思想是依次固定每个位置的元素，并将问题规模缩小，直至最后一个位置。
以下是一个递归算法的示例代码：def permute(nums):if len(nums) == 0:return []if len(nums) == 1:return [nums]result = []for i in range(len(nums)):m = nums[i]remain_nums = nums[:i] + nums[i+1:]for p in permute(remain_nums):result.append([m] + p)return result排列组合排列组合是指从一组元素中选择若干个元素并进行排列的问题。
在排列组合中，元素的选取可以不按照顺序进行。
排列组合的解法可以通过组合数学中的公式进行求解。
以下是一个计算组合数的示例代码：import mathreturn math.factorial(n) // (math.factorial(k) * math.factorial(n - k))应用场景排列问题的应用非常广泛，常见的应用场景包括：- 密码破解：通过穷举法对所有可能的密码排列进行尝试，找出正确的密码。
- 电子产品编码：对一组数字或字符进行全排列，生成唯一的编码序列。
- 任务调度：将一组任务进行全排列，找出最优的任务调度顺序。
高中数学排列组合典型题大全含答案
排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A 、38 B、83 C、38A D 、38C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共(A)10种(B) 20种(C) 25种(D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题的类型及解答策略排列组合问题是数学中一个重要的分支，主要研究给定一组对象（元素）的排列和组合形式。
在各个领域中，排列组合问题都有很多实际应用，如密码学、统计学、概率论等。
下面将介绍排列组合问题的类型及解答策略，并给出相关参考内容。
1. 排列问题排列问题是指从给定的n个元素中，选取m个元素进行排列，其中m<=n。
排列问题中的元素顺序是重要的，即同样的元素组成的不同排列被认为是不同的结果。
解答策略：排列问题可以使用递归、回溯法或动态规划等方法进行解答。
参考内容：- 《Introduction to the Theory of Computation》(第3版) by Michael Sipser- 《Discrete Mathematics and Its Applications》(第7版) by Kenneth H. Rosen- 《Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science》(第2版) by Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik2. 组合问题组合问题是指从给定的n个元素中，选取m个元素进行组合，其中m<=n。
组合问题中的元素顺序不重要，即同样的元素组成的不同组合被认为是相同的结果。
解答策略：组合问题可以使用递归、回溯法或组合数学的相关公式进行解答。
其中，组合数学中的二项式系数的性质是解决组合问题的关键。
参考内容：- 《Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science》(第2版) by Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik- 《Combinatorial Mathematics for Recreation》 by Ronald L. Graham, Edouard Lucas, and Donald E. Knuth- 《Applied Combinatorics》(第6版) by Alan Tucker3. 排列组合问题排列组合问题是指在从给定的n个元素中选取m个元素的基础上，对选取出的元素进行排列的问题。
数学精华课件：排列组合问题
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法, 把其余4四人依次 依次插入共有 把其余4四人依次插入共有 4*5*6*7 方法
练习题 10人身高各不相等,排成前后排，每排5 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 人身高各不相等 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
小集团排列问题中， 小集团排列问题中，先整体后局 小集团 再结合其它策略进行处理。 部，再结合其它策略进行处理。 3 1245
计划展出10幅不同的画 其中1幅水彩画 １.计划展出 幅不同的画 其中 幅水彩画 ４ 计划展出 幅不同的画,其中 幅水彩画,４ 幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 幅油画 ５幅国画 排成一行陈列 要求同一 品种的必须连在一起， 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两 2 5 4 A2 A5 A4 那么共有陈列方式的种数为_______ 端，那么共有陈列方式的种数为 2. 5男生和５女生站成一排照像 男生相邻 女 男生和５ 男生相邻,女 男生和 女生站成一排照像,男生相邻 2 5 5 生也相邻的排法有_______种 生也相邻的排法有 A2 A5 A5 种
练习题 1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 1.10个相同的球装5个盒中, 10个相同的球装 4 有多少装法？ 个，有多少装法？
C
9
十.正难则反总体淘汰策略 例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三 从 这十个数字中取出三 个数，使其和为不小于10的偶数 的偶数,不同的 个数，使其和为不小于 的偶数 不同的 取法有多少种？ 取法有多少种？ 这问题中如果直接求不小于10的偶数很 解：这问题中如果直接求不小于 的偶数很 困难,可用总体淘汰法 这十个数字中有5 可用总体淘汰法。 困难 可用总体淘汰法。 这十个数字中有5 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂, 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂, 个偶数5个奇数,所取的三个数含有3 个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶 而它的反面往往比较简捷, 而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的 3 C5 数的取法有____,只含有1 ____,只含有 数的取法有____,只含有1个偶数的取法 反面,再从整体中淘汰. 反面,再从整体中淘汰. 1 2 3 1 2 CC5 和为偶数的取法共有_________ _____,和为偶数的取法共有 CC5+ C 5 5 有_____,和为偶数的取法共有_________ 5 再淘汰和小于10的偶数共 的偶数共___________ 再淘汰和小于 的偶数共 9 3 1 2 符合条件的取法共有___________ 符合条件的取法共有CC5+ C 5 - 9 5
高中数学排列组合问题的几种基本方法
前 排
后 排
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
练习题：有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位， 现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且 这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是
346
A 2 17
2 20
4 C52 A 4
排列组合混合问题先选后排策略
5 5
4 6
练习2：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个 节 目插入原节目单中，那么不同插法的种数为多 少？ 练习3：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两 个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相 邻，那么不同插法的种数为多少？
5 13 4 8 4 4 2 2
C C C /A
1540
C C A / A 90
2 2 4 2 2 6 2 2
例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少 种不同的排法？
解：分两步进行： 第1步，把除甲乙外的一般人排列： 问题时，可以先排“一 般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以 解决. ♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法. 故所求方法有15×9＝135种.
7.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一 种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解 答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直 线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标 原点的直线有_________条. 解：所有这样的直线共有
数学中的排列与组合问题
数学中的排列与组合问题在数学中，排列与组合是一类常见的问题，它们在各个领域都有广泛的应用，尤其是在概率论、组合数学、计算机科学等方面。
本文将介绍排列和组合问题的概念、性质以及解题方法。
一、排列问题1.1 排列的概念排列是指从一组元素中选取若干个元素进行有序的安排。
常用的排列记作P(n, k)，表示从n个元素中选取k个元素进行排列。
排列中的元素顺序不同，即使元素相同，也会视为不同的排列。
1.2 排列的性质排列问题具有以下性质：性质1：P(n, 0) = 1，表示从n个元素中选取0个元素进行排列，只有一种情况，即空集。
性质2：P(n, n) = n!，表示从n个元素中选取n个元素进行排列，有n!种情况，即全排列。
性质3：P(n, k) = n! / (n-k)!，表示从n个元素中选取k个元素进行排列，有P(n, k) = n! / (n-k)!种情况。
1.3 解题方法解排列问题的一种常见方法是使用数学公式计算。
根据性质3，可以直接计算出排列的种类数。
此外，还可以采用递归的思想求解排列问题。
通过从第一个元素开始选取并固定，然后对剩下的元素进行排列，即可得到所有的排列情况。
二、组合问题2.1 组合的概念组合是指从一组元素中选取若干个元素进行无序的组合。
常用的组合记作C(n, k)，表示从n个元素中选取k个元素进行组合。
组合中的元素顺序无关，即使元素相同，也视为相同的组合。
2.2 组合的性质组合问题具有以下性质：性质1：C(n, 0) = 1，表示从n个元素中选取0个元素进行组合，只有一种情况，即空集。
性质2：C(n, n) = 1，表示从n个元素中选取n个元素进行组合，只有一种情况，即全集。
性质3：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，表示从n个元素中选取k 个元素进行组合，可以分为两种情况：选择了第一个元素，再从剩下的n-1个元素中选取k-1个元素；不选择第一个元素，从剩下的n-1个元素中选取k个元素。
高中数学必修3《排列组合问题经典题型与通用方法》
排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
人教版(2023春)数学三年级下册8-1 排列问题
随堂小练
做一做
1.用0、2、4、6可以组成多少个没有重复数字的两位数？ (教材P94做一做第1题)
十位
2
个位 0 4 6
4 026
6 024
3×3=9（个） 可以组成9个没有重复数字的两位数。
随堂小练
做一做
2.把 5块巧克力全部分给小丽、小明、小红，每人至少分1 块。有多少种分法？(教材P94做一做第2题)
当堂检测
2.用3、6、5、7可以组成（ 12 ）个没有重复数字的两 位数。
4×3=12（个）
课堂小结 学习完本节课，你有什么收获？
课堂小结
通过本节课的学习，我们学会了解决排列问题。
解决数的排列问题,可以用列举的方法,先考虑高位, 再考虑低位,有顺序地依次排列,做到不重复不遗漏。
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
探索新知
1 (教材P94 例3)
用0、1、3、5能组成多少个没有重复数字的两位数？
选数字3 在十位上， 依次写出 两位数。
十个
30 50 31 51 35 53
用同样的方法把 5写在十位上。
探索新知
1 (教材P94 例3)
用0、1、3、5能组成多少个没有重复数字的两位数？
十位相同, 个位不同 的两位数 各有3个。
8 数学广角——搭配（二）
8.1 排列问题
学习目标
1. 联系生活实际进行观察、猜测、实践等活动，经历寻找稍复杂事物排列数 的过程，掌握解决方法。（重点）
2. 尝试用数学的方法来解决生活中的实际问题。（难点） 3. 通过学习感受数学在生活中的广泛应用，培养初步的观察、分析及推理
能力。
情境导入 排一排，有哪些不同的排法？
高中数学排列组合难题十一种方法
高考数学排列组合难题解决方法1.分类计数原理 ( 加法原理 )完成一件事，有 n 类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有 m2种不同的方法，⋯，在第 n 类办法中有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N m1m2m n种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第 1 步有m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法，⋯，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N m1m2m n种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题 ( 有序 ) 还是组合 ( 无序 ) 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元素 .4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 .解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置 .先排末位共有 C31然后排首位共有 C41C41 A 43C31最后排其它位置共有 A43由分步计数原理得 C41C31 A43288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主 , 需先安排特殊元素 , 再处理其它元素 . 若以位置分析为主 , 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 . 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合问题的基本解法
排列组合问题的基本解法排列组合问题是组合数学中常见的一类问题，涉及到在给定条件下对一组元素进行排列或组合的情况。
它在多个领域中都有广泛的应用，如概率论、统计学、计算机算法等。
本文将介绍排列组合问题的基本概念和解法。
排列是指将一组元素按照一定顺序进行排列的方式。
设有n个元素，从中选择r个元素进行排列，排列的总数可以使用阶乘的方式计算。
例如，当n=5，r=3时，可以从5个元素中选择3个进行排列，排列的总数为5!/(5-3)。
= 60.组合是指在一组元素中选择r个元素，并忽略其排列顺序的方式。
组合的总数可以使用组合数的方式计算。
例如，当n=5，r=3时，可以从5个元素中选择3个进行组合，组合的总数为5!/[3!(5-3)!] = 10.公式法排列组合问题可以通过数学公式直接计算。
当需要求解排列数时，使用阶乘的公式可得到结果。
当需要求解组合数时，使用组合数的公式可得到结果。
递归法递归法是一种常用的解决排列组合问题的方法。
通过将问题分解为较小规模的子问题，并逐步求解，最终得到结果。
递归法可以使用编程语言中的递归函数来实现。
迭代法迭代法是一种通过循环计算的方法，逐步生成排列组合的所有可能性。
可以使用循环结构和条件判断来实现迭代法。
以上是排列组合问题的基本解法介绍，具体问题的求解方法可以根据实际情况选择合适的解法。
排列问题排列问题是数学中的一个概念，指的是从给定的一组元素中选择若干个元素并按照一定的顺序排列的问题。
在排列问题中，每个元素只能出现一次。
解决排列问题时，我们需要确定以下几个要素：元素的总数：即给定的一组元素中有多少个元素。
选取元素的个数：即从给定的一组元素中选择多少个元素进行排列。
元素的顺序：即排列中每个元素的位置相对于其他元素的位置。
解决排列问题解决排列问题的基本思路是利用排列的性质进行计算。
以下是解决排列问题的基本步骤：确定元素的总数和选取元素的个数。
计算排列的总数，可以使用排列公式来计算，排列公式如下：排列公式](/____formula.png)其中，n 表示元素的总数，r 表示选取元素的个数。
初二数学中常见的排列组合问题
初二数学中常见的排列组合问题在初二数学学习中，常常会遇到排列组合的问题。
排列组合是数学中的一个重要概念，它描述了不同元素之间的选择、排列和组合方式。
本文将介绍一些常见的初二数学排列组合问题，帮助读者更好地理解和解决这些问题。
一、排列问题排列问题是指从一组元素中按照一定的顺序选择若干个元素的问题。
在初二数学中，常见的排列问题有：1. 从n个元素中选取r个元素进行排列的问题。
解答这类问题时，通常使用排列的定义和公式：P(n,r) = n! / (n-r)!2. 循环排列问题。
指将n个元素排成一个环形，求不同循环排列的个数。
解答这类问题时，可以使用排列的性质和循环排列的定义。
举例说明：1. 从5个不同的数字中选取3个数字进行排列，共有多少种排列方式？解答：根据排列的定义，可以得到P(5,3) = 5! / (5-3)! = 60 种排列方式。
2. 将3个相同的球和2个相同的盒子排列成一排，共有多少种排列方式？解答：根据循环排列的定义，可以得到3! / (2!*1!) = 3 种排列方式。
二、组合问题组合问题是指从一组元素中选择若干个元素的问题，不考虑元素的顺序。
在初二数学中，常见的组合问题有：1. 从n个元素中选取r个元素进行组合的问题。
解答这类问题时，通常使用组合的定义和公式：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)2. 组合恒等式问题。
指证明组合恒等式的正确性，例如：C(n,0) +C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n。
举例说明：1. 从6个不同的球中选取4个球进行组合，共有多少种组合方式？解答：根据组合的定义，可以得到C(6,4) = 6! / (4!(6-4)!) = 15 种组合方式。
2. 证明组合恒等式 C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n。
解答：可以利用组合的性质和数学归纳法证明。
三、排列组合问题的应用排列组合问题在实际生活中具有广泛的应用，特别是在概率统计和计算概率的问题中常常需要运用排列组合的知识。
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1 1 2 2
中
2 3 1 3
右
3 2 3 1
左
2
中
1
右
3
左
2
中
3
右
1
3
1 3 1 2
1
2 2 3 3
2
3 1 2 1
3
1 3 1 2
2
3 1 2 1
1
2 2 3 3
3
3
1
2
2
1
固定法+换位法
三、应用拓展，深化方法
第3关 排位游戏： 2 3 1 小丽、小清、小红这3个小朋友，在3个位置上 坐成一排拍照合影。一共有几种坐法？ 左
用红、黄、蓝这3种颜色，在两个地方涂上不 同的颜色。一共有几种涂色方法？
方法相同
你发现了什么？
三、应用拓展，深化方法
第3关 排位游戏：
小丽、小清、小红这3个小朋友，在3个位置上 坐成一排拍照合影。
左 中 右 一共有几种坐法？
……
三、应用拓展，深化方法
第3关 排位游戏： 2 3 1 小丽、小清、小红这3个小朋友，在3个位置上 坐成一排拍照合影。一共有几种坐法？
2 3 1 3
中
1 1 2 2
右
3 2 3 1
2×3=6（种）
1
2
3
3
2
1
四、巩固提高，深化认识
1．用4、7、0这三个数字组成两位数，如果每 个两位数都没有重复数字，那么一共能组成 几个两位数？
十位 个位
4 4 7 7
7 0 4 0
一共能组成4个两位数。
四、巩固提高，深化认识
2．有《算术》《文学》《历史》 3本不同书， 送给小丽、小清、小红各1本，一共有多少 种送法？
二、变化情境，巩固方法
第2关 涂色游戏：
用红、黄、蓝这3种颜色，在两个地方涂上不 同的颜色。一共有几种涂色方法？
A地
红 黄 红 蓝 黄 蓝
换位法
B地
黄 红 蓝 红 蓝 黄
A地
红 红 黄 黄 蓝 蓝
固定法
B地
黄 蓝 红 蓝 红 黄
二、变化情境，巩固方法
第1关 组数游戏： 用1、2、3这3个数字，组成两位数，每个两位数 的十位和个位不能一样。一共能组成几个两位数？ 第2关 涂色游戏：
十位
1 2 1 3 2 3
个位
2 1 3 1 3 2
十位
1
1 2
个位
2
3 1
十位
2 3Байду номын сангаас1
个位
1 1 2
2
3 3
3
1 2
3
1 2
2
3 3
换位法
固定十位法 固定法 固定个位法
二、变化情境，巩固方法
第2关 涂色游戏：
用红、黄、蓝这3种颜色，在两个地方涂上不 同的颜色。
A地 B地 一共有几种涂色方法？
……
算术 文学 历史 小丽 小清 小红 小丽 小红 小清 小清 小丽 小红 一共有6种送法。
小清 小红 小丽 小红 小清 小丽 小红 小丽 小清
五、课堂小结，回顾方法
今天我们勇闯三关，解决了 “组数”“涂色”“排位” 等问题，这些问题都和顺序 有关，属于数学中的排列问 题。解决排列问题怎样解决， 才能不重复、不遗漏呢？你 还有哪些收获？
第八单元
数学广角——搭配(一)
数学中的排列问题
一、自主探究，感知方法
第1关 组数游戏： 用1、2、3这3个数字，组成两位数，每个两位数 的十位和个位不能一样。
十位 个位
一共能组成几个 两位数？
一、自主探究，感知方法
第1关 组数游戏： 用1、2、3这3个数字，组成两位数，每个两位数 的十位和个位不能一样。一共能组成几个两位数？