近世代数考试试题 A卷
近世代数试卷2020春期中测试a
南阳师范学院2020春期数学与统计学院各专业《近世代数》课程期中测试题(2020.4.19)一、判断题（正确的打√，错误的打×）：（每小题1分，共12分）1．（ ）设A ,B ,C 为群G 的三个非空子集合，则()A B C AB AC ⋃=⋃.2．（ ）无限循环群存在着无限个循环子群.3．（ ）置换(12)(234)σ=为6阶元素.4．（ ）群G 的子群H 是正规子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,.5．（ ）设H G ≤，,. a b G aH bH ∈≠时，可能有aH bH φ⋂≠.6．（ ）有限半群G 满足左消去律，则G 作成群.7．（ ）集合M 上的等价关系确定M 上的一个分类.8．（ ）如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群.9．（ ）一个群中两个子群的交与并都作成群.10.（ ）一个集合上的全体双射变换作成一个变换群..11.（ ）有理数加群不能与非零有理数乘法群同构.12.（ ）群不一定与其商群同态.二、填空或单项选择填空题：（每小题2分，共32分）1. M 为实数集合,代数运算是普通乘法.则 是M 上的自同态映射:1A. ||; B. ; C. 2; D. x x x x x x x x -→→→→-.2. 设F 是数域，则下列 的法则ϕ为X 到Y 的单射：A. ()n X M F =，Y =F . :||A A ϕ→；B. X Z =，Y 为有理数集合. 2:x x ϕ→；C. n X F =，Y =F . 121:(,,,)n a a a a ϕ→K ；D. ()n X M F Y ==，()n C M F ∈是可逆方阵. 1:A CAC ϕ-→3. 下列 的法则ϕ为X 到Y 的映射：A. X ，Y 为正有理数集合. 法则:x ϕ→B. {1,2,3},{2,4,6,12}.X Y ==法则:2x x ϕ→；C. X 为有理数集合，Y 为实数集合. 法则1+3:x x ϕ→；D. X Y =均为有理数集合，法则:ba ab ϕ→+.4．X 是数域F 上的全体n 级方阵的集合，Y =F . 下列 的法则ϕ不是X 到Y 的满射：A. :||A A ϕ→；B. :()A Tr A ϕ→；C. :()A A ϕ→秩；D. *:A A →ϕ 5. M 是有理数集合，下列M 的关系 是M 的等价关系：A.|aRb a b ⇔；B.aRb a b ⇔<；C.0ba aRb ⇔>；D.220aRb a b ⇔+≥.6．设21:G G f →是一个群同态满射，那么下列错误的命题是（ ）A.f 的同态核是1G 的正规子群；B.2G 的正规子群的逆象是1G 的正规子群；C.1G 的子群的象是2G 的正规子群；D.1G 的正规子群的象是2G 的正规子群.7．13阶有限群的子群个数为（ ）A. 0；B. 2；C. 1；D. 5.8. M 是非零有理数集合，代数运算为通常的乘法. 下列映射 是M 的自同构映射：A. 1:a aϕ→； B. 2:2a a ϕ→；C. :1a a ϕ→+；D. :31a a ϕ→+ 9．下列运算是代数运算的为 .A.在整数集Z 上，abb a b a +=ο； B.在有理数集Q 上，ab b a =ο； C.在正实数集+R 上，b a b a ln =ο；D.在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -=ο. 10.设H 是群G 的6阶子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,，则=G .A.6；B.24；C.10；D.1211．设()ο,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++=οο:，这里k 为G 中固定的常数.那么群()ο,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是 .A.0和x -；B.1和0；C.k 和k x 2-；D.k -和)2(k x +-.12．设G 为一个群，,H G K G ≤≤，下列命题中不成立的是（ ）A. ||(:)||G G H H =；B.||||G H G 是有限群时,；C. 如果,H K G 在中指数均有限，则H K ⋂在G 中的指数也有限；D. ()||||:是有限群时,=⋅G G H G H .13．凯莱定理：任一个群都同一个 同构.14.给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π .15．在同构意义下，无限循环群只有 个，它（们）是 ，生成元素有 个.16．群的正规子群、特征子群、全特征子群之间的关系是_______________________.三、 计算题（每小题8分，共24分）1. 试写出15阶循环群G a =<>的所有生成元素和子群， 并写出子群在群中的指数． 2．3S 关于{(1),(12)}=H 的所有左陪集和右陪集，并给出对应的左、右陪集的代表系.3．设有置换(135)(47),(263)(27)(14)στ==.(1) 求11,στσστσ--；(2) 确定置换1στσ-的奇偶性．四、讨论与证明题（每小题8分，共32分）1. 下列结论是否正确？正确的给出证明，错误的请给出反例．（1）正规子群的正规子群仍是正规子群；（2）不存在所有元素阶都有限的无限群;2．设M 为有理数集，又令(,):(,,0).a b x ax b a b M a τ+∈≠a 讨论：(,){|,,0}a b G a b M a τ=∈≠ 关于变换的乘法是否作成群？是M 的双射还是非双射变换群？3．证明：()2:()ϕ∀∈a A A A GL Q 是从2阶线性群()2GL Q 到非零有理数乘群*Q 的同态满射，并求出同态核，根据同态基本定理证明()2GL Q 的一个商群与*Q 同构.4．证明：4阶群G 若不是循环群则必与Klein 四元群同构。
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一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、B 、C 、D 、{}a {},a e {}3,e a {}3,,e a a 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设、、是三个置换，其中，，1σ2σ3σ1(12)(23)(13)σ=2(24)(14)σ=，则（ ）3(1324)σ=3σ=A 、 B 、 C 、 D 、21σ12σσ21σσ22σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群6、12阶有限群的任何子群一定不是（ ）。
A 、2阶B 、3 阶C 、4 阶D 、 5 阶7、设G 是群，G 有（ ）个元素，则不能肯定G 是交换群。
A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个8、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。
A 、偶数B 、奇数C 、4的倍数D 、2的正整数次幂9、若I,J 均是环A 的理想，则（ ）不一定是A 的理想。
A 、I+JB 、I∩JC 、I∪JD 、IJ10、中元素(123)的中心化子有（ ）3S A 、(1),(123),(132) B 、（12），(13)，(23)C 、(1)，(123)D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。
[精华版]近世代数期末考试试卷及答案
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[精华版]近世代数期末考试试卷及答案[精华版]近世代数期末考试试卷及答案⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1、设G 有6个元素的循环群，a是⽣成元，则G的⼦集( )是⼦群。
33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下⾯的代数系统(G，*)中，( )不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在⾃然数集N上，下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|,,,,,,3322114、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，= ,3(1324)，则=( )22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意⼀个具有2个或以上元的半群，它( )。
A、不可能是群,,,B、不⼀定是群C、⼀定是群D、是交换群⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
1、凯莱定理说:任⼀个⼦群都同⼀个----------同构。
2、⼀个有单位元的⽆零因⼦-----称为整环。
4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。
4、a的阶若是⼀个有限整数n，那么G与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。
6、若映射既是单射⼜是满射，则称为-----------------。
,,a,a,？,a01n,FF7、叫做域的⼀个代数元，如果存在的-----使得na，a，,？，a,,001n。
x,A8、是代数系统的元素，对任何均成⽴，则称为---------。
ax,a,xa(A,0) GG9、有限群的另⼀定义:⼀个有乘法的有限⾮空集合作成⼀个群，如果满⾜对于乘法封闭;结合律成⽴、---------。
近世代数考试试题题库
近世代数考试试题题库近世代数是一门研究代数结构的数学分支，它主要研究群、环、域等代数结构的性质和它们之间的关系。
以下是一份近世代数考试试题题库的示例内容：一、选择题1. 以下哪个不是群的公理？A. 单位元存在性B. 可逆性C. 交换律D. 结合律2. 一个集合G，配合一个二元运算*，若满足以下条件，则G是一个群：A. 存在单位元B. 每个元素都有逆元C. 运算满足结合律D. 所有上述条件3. 在群G中，若a属于G，a的阶是最小的正整数n，使得a^n等于单位元，那么a的阶是：A. 1B. nC. 0D. G的阶4. 以下哪个是有限群的拉格朗日定理的表述？A. 群的子群的阶总是群的阶的因子B. 群的子群的阶等于群的阶C. 群的子群的阶总是群的阶的倍数D. 群的阶总是其子群的阶的倍数5. 环R中，若存在单位元1，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b=b*a，则R是一个：A. 群B. 域C. 交换环D. 模二、填空题6. 群的______性质保证了每个元素都有逆元。
7. 一个有单位元的结合环，如果其每个非零元素都有逆元，则这个环称为一个______。
8. 一个环的加法群是阿贝尔群，如果它的加法运算满足______律。
9. 一个环R中，如果a^2 = a对于所有a属于R，则R被称为______环。
10. 一个域的特征是2，这意味着域中1+1=______。
三、简答题11. 解释什么是子群，并给出一个不是子群的例子。
12. 描述拉格朗日定理，并说明它在群论中的重要性。
13. 什么是环的雅各比恒等式，并解释它在交换环中的意义。
14. 举例说明什么是有限域，并讨论它的性质。
15. 解释什么是主理想环，并讨论它与环的整性之间的关系。
四、证明题16. 证明：如果H是群G的一个子群，那么G/H的阶等于[G:H]。
17. 证明：任何群的子群都是阿贝尔的当且仅当该群本身是阿贝尔的。
18. 证明：如果R是一个有单位元的交换环，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b = b*a，则R是一个域。
近世代数A答案
贵州大学2008-2009学年第二学期研究生考试试卷近世代数姓名：一、（10分）设G 是一个群，u 是在G 中取定的元，在G 中规定结合法"" ： 1a b au b -= , 证明：（G ，）是一个群。
证明 “。
“是G 中的二元运算为显然。
设a,b,c 为G 中任意元。
则（a 。
b ）。
c=(au-1b)u-1c=au-1(bu-1c)=au-1(b 。
c)=a 。
(b 。
c) “。
”满足结合律。
易知，u 是（G,。
）的单位元，对a G ∀∈,直接可验证可知，ua-1u 是a 的逆元，所以（G ，。
）是一个群。
二、（10分）设A ，B ，C 是G 的子群,下面命题中哪些是正确的？给出证明或举出反例。
1) ;2) ;3) ;4) ()A B A C B C A B A C B C AB AC B C A B C AB AC⋃=⋃⇒=⋂=⋂⇒==⇒=⋃=⋃命题1）不正确。
例如取G=S3,A=S3,B={(1)},C={(1),(12)}. 命题2）不正确。
例如取G ＝S3，A ＝｛（1），（12）｝，B ＝｛（1），（13）｝，C ＝｛（1）,(23)｝ 命题3）不正确。
例如取G ＝S3，A ＝S3，B ＝｛（1），（12）｝,C={(1)} 命题4）正确。
因为(),x A B C ∀∈⋃有x=ay,其中..a A y B y C ∈∈∈或三、（10分）证明1f x x-:是G的一个自同构的充要条件是：G是可换群。
椭圆曲线密码体制来源于对椭圆曲线的研究，所谓椭圆曲线指的是由韦尔斯特拉斯（Weierstrass）方程：y＾2+a1xy+a3y=x＾3+a2x＾2+a4x+a6 (1)所确定的平面曲线。
其中系数ai(I=1,2,…,6)定义在某个域上，可以是有理数域、实数域、复数域，还可以是有限域GF（pr），椭圆曲线密码体制中用到的椭圆曲线都是定义在有限域上的。
椭圆曲线上所有的点外加一个叫做无穷远点的特殊点构成的集合连同一个定义的加法运算构成一个Abel群。
《近世代数》练习题及参考答案
《近世代数》练习题及参考答案1．设A={a ，b ，c ，d}试写出集合A 的所有不同的等价关系。
2．证明：:实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。
3．证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.4．设G=。
⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,a R a a a a a 证明：G 关于矩阵的乘法构成群。
5．证明：所有形如n m 32的有理数（m ，n ∈Z ）的集合关于数的乘法构成群。
参考答案1． 设A= 试写出集合A 的所有不同的等价关系。
解2．证明：:实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。
证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。
（2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。
（3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。
（4）零元是零矩阵。
∀A ∈Mn(R),A+0=0+A=A 。
（5）∀A ∈Mn(R),负元是-A 。
A+(-A)=(-A)+A=0。
∴（Mn(R),+）构成一个Abel 群。
3．证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.证：（1）由于E ∈On (R),∵On (R)非空。
(2 ) 任意A,B ∈On (R)，有（AB ）T=B T A T =B -1A -1=(AB) -1,∴AB ∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。
(3) ∵矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。
（4）对任意A ∈On (R)，有AE=EA=A ．∴E 为On (R)的单位元。
（5）对任意A ∈On (R)，存在A T ∈On (R)，满足AA T =E=AA -1, A T A=E=A -1A ．∴A T 为A 在On (R)中的逆元。
∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。
{}d c b a ,,,4．设G=。
近世代数函授A答案
河南教育学院函授考试《近世代数》试卷A 卷答案一：单选题1B 2B 3A 4c 5B 6B 7C 8C 9C 10A二：判断题1错 2错 3对 4对 5错 7对 8对 三：填空题1. H=H （1）= H （12），H （123）= H （13），H （132）= H （23）。
2. [1], [3], [5], [7]3. (1)4. ]2[]2[]2[23---x x x5. n!6. 整数加群，模n 的剩余类加群7. 52-x四：证明题1. 证明： （1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100101111c b a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101222c b a =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++1010112121221c c b c a b a a ，封闭。
（2分）（2）结合律易证 （4分）（3）单位矩阵为单位元。
（6分）（4）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100101c b a 的逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----1101111ccab a。
（10分）2. 证明：设21,N N 是G 的两个不变子群，由子群的交还是子群，21N N ⋂是子群，（2分）∈∈∀n G g ,21N N ⋂，131,N n N n ∈∃∈ 使,3a n an = （4分）同样242,N n N n ∈∃∈ 使,4a n an = （6分）1-ana=13-aa n =43n n =∈21N N ⋂，故两个不变子群的交集还是一个不变子群。
（10分）3.证明：R 加法成为加群，（2分） 对乘法封闭，满足结合律，交换律，（4分） 乘法对加法满足分配律。
故R 是一个交换环。
（6分） 又复数域无零因子，从而R 也无零因子，（8分） 且1∈R 。
所以R 是一个整环。
（10分）4.证明：F 加法成为加群，（1分） 对乘法封闭，满足结合律，交换律，（3分） 乘法对加法满足分配律。
故F 是一个交换环。
（4分） 又复数域无零因子，从而F 也无零因子，（5分） 且1∈R 。
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近世代数期末考试试卷及答案1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则G的子集（）是子群.A、 aB、a, eC、e, a3D、e, a,a 32、下面的代数系统（ G，* ）中，（）不是群A、G为整数集合， * 为加法 B 、G为偶数集合， * 为加法C、G为有理数集合， * 为加法 D 、G为有理数集合， * 为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、 a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设 1 、 2 、3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13）， 2 =（24）（14），3 =（ 1324），则3 =（）A、 2 B 、1 2C 、 2 D 、 2 11 25、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）.A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 ---------- 同构 .2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环 .3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a4 的阶等于 ------.4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与------- 同构 .5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A∩B=-----.6、若映射既是单射又是满射，则称为----------------- .7、叫做域F的一个代数元，如果存在 F 的a0 , a1 ,, a n使得aa1 a nn0 .8、a是代数系统( A,0)的元素，对任何x A 均成立x ax，则称a为 --------- .9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、 ---------.10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------.三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A={1,2,3}G 是 A 上的置换群， H 是 G的子群， H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集.2、设 E 是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是 E 中的运算，（ E，?）是一个代数系统，问（ E，?）是不是群，为什么？3、a=493, b=391,求(a,b), [a,b]和p, q.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若 <G，*> 是群，则对于任意的a、 b∈ G，必有惟一的 x∈ G使得 a*x ＝ b.2、设 m是一个正整数，利用m定义整数集 Z 上的二元关系： a? b 当且仅当 m︱ a– b.近世代数模拟试题三一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）.A、2阶B、3 阶C、4阶D、6阶2、设 G是群， G有（）个元素，则不能肯定G是交换群 .A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）.A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（ {2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),)5、设 S3＝ {(1) ， (12) ， (13) ， (23) ，(123) ，(132)} ，那么，在 S3 中可以与 (123) 交换的所有元素有（）A、(1) ， (123) ，(132) B 、 12) ，(13) ，(23)C、(1) ， (123) D 、 S3 中的所有元素二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .1、群的单位元是 -------- 的，每个元素的逆元素是 -------- 的 .2、如果f是 A 与A间的一一映射，a是 A 的一个元，则f1f a---------- .3、区间 [1 ， 2] 上的运算ab{min a,b}的单位元是 -------.4、可换群 G中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= —————————— .5、环 Z8的零因子有 ----------------------- .6、一个子群 H 的右、左陪集的个数 ---------- .7、从同构的观点，每个群只能同构于他/ 它自己的 --------- .8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R的----------- .9、设群G中元素a的阶为m，如果ane，那么m与n存在整除关系为 -------- .三、解答题（本大题共 3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1， S2是 A的子环，则 S1∩ S2也是子环 .S 1 +S2也是子环吗？3、设有置换(1345)(1245) ，(234)(456) S6.1．求和1；2．确定置换1的奇偶性 . 和四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想.2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a 和 ab2a=e.近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题 .1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分).1、1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1 , 2,0 , 2,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构 ;7 、零、 -a ；8、S=I 或 S=R ；9、域；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6)可知为奇置换，为偶置换.和可以写成如下对换的乘积：(13)(15)(16)(24)(27)(13)(12)(48)(57)B 1(A A) C1(A A)，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对2、解：设 A 是任意方阵，令 2 ， 2称矩阵，且AB C.若令有AB1C1 ，这里B1 和C1 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B B1C1C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B B1 ，C C1，所以，表示法唯一.3、答：（Mm，m）不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素0 和 m.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、对于 G中任意元 x，y，由于(xy)2 e ，所以 xy ( xy) 1 y 1 x1yx（对每个 x，从x2 e 可得 x x 1 ）.2、证明在 F 里ab 1 b 1 a a (a, b R, b 0)bQ所有a(a,b R, b0)有意义，作 F 的子集 bQ显然是 R 的一个商域证毕.近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分).二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分).1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、{2} ；6、一一映射；7、不都等于零的元； 8、右单位元； 9、消去律成立； 10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、解： H的 3 个右陪集为： {I,(1 2)} ，{(123) ，(1 3)} ，{(1 32) ，(23)}H的 3 个左陪集为： {I,(1 2)} ，{(1 2 3) ，(2 3)} ，{(1 3 2 ) ，(1 3 )}2、答：（ E，?）不是群，因为（ E，?）中无单位元 .3、解方法一、辗转相除法 . 列以下算式：a=b+102b=3× 102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339.然后回代： 17=102-85=102-(b-3 ×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明设e是群<G，*>的幺元.令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b. 所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝ b 的解 .若 x ∈G也是 a*x ＝ b 的解，则 x ＝e*x ＝(a － 1*a)*x ＝a－1*(a*x ) ＝a－1*b ＝ x. 所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝ b 的惟一解 .2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为 Zm，每个整数 a 所在的等价类记为 [a]= ｛x∈ Z； m︱ x– a｝或者也可记为a，称之为模 m剩余类 . 若 m ︱a– b 也记为 a≡b(m).当 m=2时， Z2 仅含 2 个元： [0] 与[1].近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案 . 错填、不填均无分 .1、唯一、唯一；2、a； 3、 2； 4、 24；5、； 6、相等； 7、商群； 8、特征； 9、m n；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法. 用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，等等，可得总共8 种 .2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈ S1∩S2 有 a-b, ab ∈ S1∩S2：因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, ab ∈S1 和 a-b, ab ∈S2 ，因而 a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以 S1∩ S2 是子环 .S1+S2不一定是子环 . 在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1 ．(1243)(56) ，1(16524 ) ；2．两个都是偶置换 .四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明：假定是 R 的一个理想而不是零理想，那么 a 0，由理想的定义a 1a 1，因而R的任意元b b ?1这就是说=R，证毕 .2、证必要性：将 b 代入即可得 . 充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以 b=a-1.。
(word版)近世代数期末考试题库(包括模拟卷和1套题)
多所高校近世代数题库一、〔2021年近世代数〕判断题〔以下命题你认为正确的在题后括号内打“√〞，错的打“×〞；每题1分，共10分〕1、设A与B都是非空集合，那么A B xx A且x B。
〔〕2、设A、B、D都是非空集合，那么AB到D的每个映射都叫作二元运算。
〔〕3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射G f1。
〔〕4G a中生成元a的阶是无限的，那么与整数加群同构。
〔〕、如果循环群5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。
〔〕6、近世代数中，群G的子群H是不变子群的充要条件为gG,h H;g1Hg H。
〔〕7、如果环R的阶2，那么R的单位元10。
〔〕8、假设环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。
〔〕9、F(x)中满足条件p()0的多项式叫做元在域F上的极小多项式。
〔〕10、假设域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z同构的子域，这里Z是整数环，p是由素数p生成的主理想。
p〔〕二、〔2021年近世代数〕单项选择题〔从以下各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每题f是1分，共10分〕、设12n和D 都是非空集合，而12An到D的一个映射，那么〔〕1A,A,,A AA①集合A1,A2,,A n,D中两两都不相同；②A1,A2,,A n的次序不能调换；③A1A2A n中不同的元对应的象必不相同；④一个元a1,a2, ,a n的象可以不唯一。
2、指出以下那些运算是二元运算〔〕①在整数集Z上，a b a b②在有理数集Q上，a b ab；；ab③在正实数集R上，ab alnb；④在集合n Zn0上，a ba b。
3、设是整数集Z上的二元运算，其中a b maxa,b 〔即取a与b中的最大者〕，那么在Z中〔〕①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
4、设G,为群，其中G是实数集，而乘法:a b a b k，这里k为G中固定的常数。
近世代数期末考试题(卷)库
世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ d ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（c ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（d ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。
广州大学近世代数2018(A卷)试卷及参考答案
广州大学2017-2018学年第一学期考试卷近世代数 参考答案警示：《广州大学授予学士学位工作细则》第五条：“考试作弊而被给予记过、留校察看或开除学籍处分并且被取消相应课程本次考试成绩的，不授予学士学位。
”一、简答题（每小题5分，共25分）1．集合A 上的关系是怎么定义的？答：设R 为直积A A ⨯的子集，则称R 为集合A 上的一个关系。
对于任意的元素A b a ∈,，如果R b a ∈),(，则称a 与b 具有关系R ，否则称a 与b 不具有关系R 。
评分标准：考试要点有两个，一个是：关系是直积的子集，另一个是：两个元素有没有关系的含义。
完整答出这两方面的含义给5分，其余情况酌情给分。
2．试问n 阶循环群有多少个生成元？答：n 阶循环群有)(n ϕ个生成元，其中)(n ϕ为欧拉函数，定义为集合{1,2,…,n}中与n 互素的整数的个数。
理由是：假定生成元为α，则α的阶为n ，群中每个元素都可写为i α，其中n i <≤0，元素i α为生成元当且仅当i α的阶为n ，而i α的阶等于),/(i n n ，因此i α为生成元当且仅当(n,i)=1，即i 与n 互素，故生成元的个数为)(n ϕ。
评分标准：考试要点有三个，(1) 生成元的阶为n ；(2) a k 的阶的计算方法；(3) 欧拉函数。
完整答出这三方面的含义给5分，其余情况酌情给分。
3．试说明什么是剩余类环？答：假定R 为环，I 为R 的理想。
考虑加法群，I 是R 的正规子群，R/I={a+I|a R ∈}。
在集合R/I 中定义加法(a+I)+(b+I)=(a+b)+I, 定义乘法(a+I)(b+I)=ab+I ，则R/I 关于新定义的加法和乘法构成一个环，称为剩余类环。
评分标准：考试要点有三个，(1) 由理想构造剩余类环；(2) R/I 中元素的形式；(3) 如何定义运算。
完整答出这三方面的含义给5分，其余情况酌情给分。
4．试解释什么是域的有限扩张。
《近世代数》期末试卷A试题-参考答案
二、计算证明题（共80分，4个小题，每小题20分）
1.设 是整数集，规定 ，证明： 关于所定义的
运算构成交换群
2.在四元对称群 中,设 .
(1)写出 的轮换分解式(即将 写成一些互不相交的轮换的乘积);
(2)设集合 ,试写出 中全部元素(用轮换分解式表示);
3.有一队士兵, 三三数余二, 五五数余一, 七七数余三. 问:
答：
6.求出剩余类环 的所有理想和所有极大理想。
答：在剩余类环Z8中，令<4>={0,4}，<2>={0,2,4,6}，
则<4>不是Z8的素理想（因为2·2=4∈<4>，但是2∈<4>），也不是Z8的极大理想（因为<4><2>Z8）.但是，易知<2>既是Z8的素理想也是Z8的极大理想。
《近世代数》期末考试A卷
姓名：
专业：
学号：
学习中心：
1、判断题(共20分，5个小题，每小题4分）
1.剩余类环 中没有非零的零因子。 （ ）
2.群中指数为2的子群一定是正规子群 （ ）
3.已知 是有限群 的子群， 和 分别表示 和 的元素个数，则 不一定能整除 （ ）
4.数域上的全矩阵环不是单环。 （ ）
这队士兵有多少人? 试求最小正整数解. (要写出解题过程)
4.求出剩余类环 的所有理想和所有极大理想。
答案在第二页
2、判断题(共20分，5个小பைடு நூலகம்，每小题4分）
6.剩余类环 中没有非零的零因子。 （ 对 ）
7.群中指数为2的子群一定是正规子群 （ 对 ）
8.已知 是有限群 的子群， 和 分别表示 和 的元素个数，则 不一定能整除 （ 错 ）
近世代数（含答案）
近世代数（含答案）近世代数一、单项选择题1、6阶有限群的任何一个子群一定不是（ C ）。
A ．2阶 B ．3阶 C ．4阶 D ．6阶2、设G 是群，G 有（ C ）个元素，则不能肯定G 是交换群。
A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3、下面的代数系统(,*)G 中，（ D ）不是群。
A ．G 为整数集合，*为加法B ．G 为偶数集合，*为加法C ．G 为有理数集合，*为加法D ．G 为有理数集合，*为乘法4、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ C ）是子群。
A ．{}aB ．{},a eC ．{}3,e aD ．{}3,,e a a5、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ）A ．*a b a b =?B ．{}*max ,a b a b =C ．*2a b a b =+D ．a b a b +=?二、填空题1、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于（ 25 ）。
2、一个有单位元的无零因子的（交换环）称为整环。
3、群的单位元是（唯一）的，每个元素的逆元素是（唯一）的。
4、一个子群H 的右、左陪集的个数（相等）。
5、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的（特征）。
6、设群G 中元素a 的阶为m ，如果na e =，那么m 与n 存在整除关系为（ |m n ）。
7、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则1[()]ff a ?=（ a ）。
8、循环群的子群是（循环群）。
9、若{}2,5A =，{}1,0,2B =?，则A B ×=（ {}(2,1),(2,0),(2,2),(5,1),(5,0),(5,2)?? ）。
10、如果G 是一个含有15个元素的群，那么，对于a G ?∈，则元素a 的阶只可能是（ 1,3,5,15 ）。
三、问答题 1、什么是集合A 上的等价关系？举例说明。
【答案】设R 是某个集合上的一个二元关系。
近世代数习题与答案
一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) (从下列备选答案中选择正确答案)1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。
(A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（ ）。
(A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。
(A) （2），（3） (B) （2） (C)（3）4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。
(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命题是( )。
(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分）（请将正确答案填入空格内）1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ） （a ）。
2、F 是域，则[](())F x f x 是域当且仅当 。
3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~:A ～B ⇔秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。
4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。
5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。
三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分） （请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”）1、设G 是群，∅≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （ ）2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。
( )3、商环6Z Z 是一个域。
（ ）4、设f 是群G 到群-G 的同态映射，若1()f H G -， 则H G 。
（ ）5、任意群都同构于一个变换群。
（ ）四、计算题（本题共2小题,每小题10分，共20分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、找出6Z 的全部理想，并指出哪些是极大理想。
近世代数参考答案
近世代数参考答案《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案⼀、判断题（每题4分，共60分）1、如果循环群G=(a)中⽣成元a 的阶是⽆限的，则G 与整数加群同构。
（ √ ）2、如果群G 的⼦群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ × ）3、两个⼦群的交⼀定还是⼦群。
（ × ）4、若环R 满⾜左消定律，那么R 必定没有右零因⼦。
（ √ ）5、任意置换均可表⽰为若⼲个对换的乘积。
（ √ ）6、F （x)中满⾜条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极⼩多项式。
（ × ）7、已知H 是群G 的⼦群，则H 是群G 的正规⼦群当且仅当g G ?∈，都有 1gHg H -= （ √ ）8、唯⼀分解环必是主理想环。
( × )9、已知R 是交换环，I 是R 的理想，则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。
（ √ ）10、欧⽒环必是主理想环。
（ √ ）11、整环中，不可约元⼀定是素元。
（ √ ）12、⼦群的并集必是⼦群。
（ × ）13、任何群都同构于某个变化群。
( √ )14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。
( √ )15、集合,A Z B N ==，::2f A B nn →+是从A 到B 的映射。
（ × ）⼆、证明题（每题20分，共300分）1Q 上的最⼩多项式。
解：令=u 32==u u .于是3223323315(32-?-=+-+=u u u u u u .移项后得32152(3+-=-u u u 两边平⽅，得到3222(152)(35)5+-=-?u u u .这是u 上满⾜的Q 上6次⽅程，故[():]6≤Q u Q .⼜3(2=u ()Q u .由[]2=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，知2|[():]Q u Q .u (()=Q u Q u .⼜[]3=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，得3|[():]Q u Q .于是6|[():]Q u Q ，因⽽[():]6=Q u Q . 由于3222(152)(35)50+---?=u u u ，故6次多项式3222(152)5(35)+---x x x 是u 在Q 上的最⼩多项式.2、求出阶是32的循环群(a )的所有⼦群，这些⼦群是否都是不变⼦群。
近世代数A参考答案与评分标准
近世代数A 参考答案与评分标准一、判断题：本题共10小题，每小题2分，满分20分．1. 对，2. 错，3. 错，4. 错，5 对，6. 对，7. 对，8. 错，9. 对，10. 对 。
二、填空题：本题共9小题，每小2分，满分18分．11. 11(...)n n i i i -， 12. 7， 13 ()()(){}23,12,13， 14. ,,ra na r R n Z +∈∈，15．是，16. (162)(3457)，17. [0],[4]，18. 反身律，19. U 是最大理想。
三、解答题：本题共7小题，每小题6分，满分42分．20． 证明：对于N 的任意元 12n n ，，G 的任意元a ，1212121212()()()()()n n a n n a n an n a n a n n ====，（3分）111111n a n ann n nan an ------===，故N 是子群。
（5分） 由于N 的元可与G 的元交换，故aN Na =，即N 是不变子群。
（6分）21．证明：不妨设右单位元为e ，g 的右逆元是1g -，1g -的右逆元为'g ，则1gge -=，1'g g e -=；（2分）于是1111'11'1'1'()g g g ge g gg g g gg g g eg g g e --------======，（4分）即右逆元是左逆元。
再者，若11,()()ge g eg gg g g g g ge g --=====。
（6分）22．证明：假定U 是包含()p 且比()p 大的理想。
由于I 是主理想整环，故()()p U a ⊂=，（2分）因而，,p ya y I =∈（3分），a 是p 的因子，但p 是素元，所以a 不是p 的相伴元，就是单位。
（4分）若a 是p 的相伴元，a p ε=，那么(),()()a p a U p ∈=⊂，与假设矛盾。
近世代数试卷(时间120分钟)
《近世代数》试卷（时间120分钟）一、填空题（共20分） 1. 设G ＝（a ）是6阶循环群，则G 的子群有 。
2. 设A 、B 是集合，| A |＝2，| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。
3. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［10］＋［5］＝ ，［10］·［5］＝ ，方程x 2＝[1]的所有根为 。
4. 在5次对称群S 5中，（12）（145）＝ ，（4521）－1＝ ， （354）的阶为 。
5. 整环Z 中的单位有 。
6. 在多项式环Z 11［x ］中，（［6］x ＋［2］）11＝。
二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分） 1. （ ）若群G 的每一个元满足方程x 2=e(其中e 是G 的单位元)，则G 是交换群。
2. （ ）一个阶是13的群只有两个子群。
3. （ ）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
4. （ ）设G 是群，H 1是G 的不变子群，H 2是H 1的不变子群，则H 2是G 的不变子群。
5. （ ）主理想整环R 上的一元多项式环R[x]是主理想整环。
6. （ ）存在特征是2003的无零因子环。
7. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
8. （ ）模21的剩余类环Z 21是域。
9. （ ）整除关系是整环R 的元素间的一个等价关系。
10. （ ）除环只有零理想和单位理想。
姓 名：_______________专业：班级： 学号：______________ ------------------------------------------密-------------------------------封-------------------------------线-------------------------------------------------------三、解答题（共30分）1. 设H＝｛（1），（123），（132）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么？2. 设G是一交换群，n是一正整数，H是G中所有阶数是n的因数的元素的集合。
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专业考试试题（卷）科目：近世代数
一、 G是有限群，A和B是G的两个非空子集。
证明：
如果|A|+|B|>|G|，则G＝AB＝{ab|a∈A，b∈B}。
（本题10分）
二、设 H和K是群G的两个子群，证明：H∪K≤G当且仅当H包含于K或
K包含于H。
（本题14分）
三、设H,K是群G的子群，证明：
（1）（H:H∩K）≤（G：K）；
（2）当（G：K）有限时，则（H:H∩K）＝（G:K）当且仅当G＝HK。
（本题16分）
四、设N是群G的一个正规子群，且|N|＝m，又（m，n）＝1。
证明：若G
中元素a的阶是n，则aN在商群G/N中的阶也是n；反之，若aN的阶
是n，则在G中存在n 阶元b，使bN＝aN。
本题16分）
五、设G是群，H≤G，N是G的正规子群，证明：
（1）N是HN的正规子群；
（2）HN/N≌H/（H∩N）。
（本题16分）
六、证明：有限群G是其Sylow子群的内直积，当且仅当G没有真子群等
于它自己的正规化子。
(本题16分)
七、证明：不存在56阶单群。
（本题12分）。