近世代数考试试题 A卷

专业考试试题（卷）科目：近世代数
一、 G是有限群，A和B是G的两个非空子集。

证明：
如果|A|+|B|>|G|，则G＝AB＝{ab|a∈A，b∈B}。

（本题10分）
二、设 H和K是群G的两个子群，证明：H∪K≤G当且仅当H包含于K或
K包含于H。

（本题14分）
三、设H,K是群G的子群，证明：
（1）（H:H∩K）≤（G：K）；
（2）当（G：K）有限时，则（H:H∩K）＝（G:K）当且仅当G＝HK。

（本题16分）
四、设N是群G的一个正规子群，且|N|＝m，又（m，n）＝1。

证明：若G
中元素a的阶是n，则aN在商群G/N中的阶也是n；反之，若aN的阶
是n，则在G中存在n 阶元b，使bN＝aN。

本题16分）
五、设G是群，H≤G，N是G的正规子群，证明：
（1）N是HN的正规子群；
（2）HN/N≌H/（H∩N）。

（本题16分）
六、证明：有限群G是其Sylow子群的内直积，当且仅当G没有真子群等
于它自己的正规化子。

(本题16分)
七、证明：不存在56阶单群。

（本题12分）。