2019届百师联盟全国高三模拟考(三)全国 Ⅰ卷数学(文)试题(解析版)

2019届百师联盟全国高三模拟考（三）全国 Ⅰ卷数学（文）试题一、单选题1．设集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1，x ∈R }，B ＝{x |﹣2≤x ≤3，x ∈Z }，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3] B ．[﹣1，3]C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3} 【答案】C【解析】先求集合A ，再用列举法表示出集合B ，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解：∵集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1，x ∈R }＝{y |y ＞﹣1}， B ＝{x |﹣2≤x ≤3，x ∈Z }＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A ∩B ＝{0，1，2，3}， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题． 2．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+【答案】B 【解析】复数11122a i a a z i i --+==-+，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a 的不等式组，解得a 的范围. 【详解】11122a i a a z i i --+==-+， 由其在复平面对应的点在第二象限，得1010a a -<⎧⎨+<⎩，则1a <-.故选：B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．下列函数中，是偶函数且在区间()0,1上单调递减的是（ ） A ．sin y x = B ．2y x =C ．cos y x =D ．ln y x =【答案】C【解析】逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论． 【详解】选项A ：sin y x =是奇函数，不符题意；选项B ：2y x =在区间()0,1上单调递增，不符题意；选项C ：cos y x =符合题意；选项B ：ln y x =在区间()0,1上单调递增，不符题意； 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性和奇偶性，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答的关键．4．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =u u u r u u u r ，若BE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ） A ．1 B ．23-C ．13-D ．34-【答案】B【解析】选取向量AB u u u r ，AC u u u r 为基底，由向量线性运算，求出BE u u u r，即可求得结果. 【详解】13BE AE AB AD AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.5．已知函数()f x m =，则“0m ≥”是0[2,2]x ∃∈-，()00f x ≥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】0≥知，0m ≥，必有0()0f x ≥，故满足充分条件；但当0()0f x ≥时，也00m ∃<，例如00x =时，1m =- ，故不满足必要条件. 【详解】若0m ≥，则0[2,2]x ∃∈-，0()0f x ≥， 而0()0f x ≥，未必有0m ≥， 例如(0)20f m =+≥，解得2m ≥-. 故选：A. 【点睛】本题考查了充分条件，必要条件的判断问题，考查了逻辑推理的能力，属于基础题. 6．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a ，b ，c ，d ，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表：则a ，b ，c ，d 四个出水口放水速度最快的是（ ） A ．d B ．bC ．cD ．a【答案】A【解析】利用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可. 【详解】由题易解得a ，b ，c ，d 放水时间分别为70，100，90，50，所以d 出水速度最快. 故选：A. 【点睛】本题考查了方程的思想，属于基础题.7．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为Γ的离心率为（ ）A ．2B ．233C ．73D ．213【答案】D【解析】由圆22:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又122223AF F AOF S S ab ∆===V ，由此求出a 的值，利用离心率公式，求出e . 【详解】由题意得2b =，1223AF F S ab ∆==，3a ∴=，222113b e a ∴=+=. 故选：D. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题. 8．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．1【答案】C【解析】利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD ，算出长度. 【详解】几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为23AD =故选：C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题. 9．函数ln ||()xx x f x e=的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12f -<判断A 选项正确. 【详解】1.11.1ln |1.1|( 1.1)0f e --=<，排除掉C ，D ；1211ln 122()22f e e---==122e <=Q 2e <，1()212f e ∴-=<.故选：A ． 【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题. 10．已知关于x 3sin 2x x m π⎛⎫+-=⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,1【答案】C【解析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】由题化简得3sin cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x -=，(1)2f =．数列{}n a 满足22n n S a =-，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，则()()561a f a f a -+=（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2-【答案】D【解析】根据奇偶性，对称性，周期性三者之间的关系，得出函数()f x 是周期函数，再利用数列中n a 与n S 的关系，求得数列{}n a 的通项公式，代入所求函数式，求值. 【详解】由(2)()f x f x -=得函数对称轴为1x =， 由()f x 是奇函数，所以周期为4．12a =，2n ≥，1122n n n n n a S S a a --=-=-，2n n a ∴=，()()561(31)(64)(1)(0)2f a f a f f f f ∴-+=+=-+=-.故选：D. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，对称性，周期性的综合应用，数列通项的求法，属于中档题.12．已知函数2,0()2,0x xx f x e x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2(0,)3eB ．2(,0)3e-C ．(,0)2e-D ．(0,)2e【答案】D【解析】将函数的零点个数问题转化为函数()y f x =与直线1()2y k x =+的交点的个数问题，画出函数()y f x =的图象，易知直线1()2y k x =+过定点1(,0)2-，故与()f x 在0x <时的图象必有两个交点，故只需与()f x 在0x >时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解. 【详解】由图知()y f x =与1()2y k x =+有4个公共点即可，即()0,k k ∈切，当设切点()00,x y ，则000011()2x x x k e x k x e -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，0122x k e ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩2k e∴∈.故选：D. 【点睛】本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.二、填空题13．已知ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．4a =，6b =，3A π=则cos2B =_________．【答案】716【解析】利用正弦定理求得角B ，再利用二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】由正弦定理得6sin 3B =，32sin 8B ∴=，187cos 2126416B =-⨯=． 故答案为：716. 【点睛】本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.14．已知x ，y 满足约束条件260100x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪⎩…，则22z x y =+的最大值为________．【答案】9【解析】根据题意，画出可行域，将目标函数看成可行域内的点与原点距离的平方，利用图象即可求解. 【详解】 可行域如图所示，易知当0x =，3y =时，22z x y =+的最大值为9． 故答案为：9. 【点睛】本题考查了利用几何法解决非线性规划问题，属于中档题.15．已知椭圆22:1y C x m+=，M ，若椭圆C 上存在点N 使得OMN ∆为等边三角形（O 为原点），则椭圆C 的离心率为_________．【解析】根据题意求出点N 的坐标，将其代入椭圆的方程，求出参数m 的值，再根据离心率的定义求值. 【详解】由题意得,22N ±， 将其代入椭圆方程得3m =，所以3e ==.. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，属于中档题.16．已知四棱锥P ABCD -，底面四边形ABCD 为正方形，PA PB PC PD ===，四棱锥的体积为3，在该四棱锥内放置一球O ，则球O 体积的最大值为_________．【解析】由题知，该四棱锥为正四棱锥P ABCD -，作出该正四棱锥的高PH 和斜高PE ，连接HE ，则球心O 必在Rt PHE V 的PH 边上，设OEH θ∠=，由球与四棱锥的内切关系可知2PEH θ∠=，设2AB a =，用a 和θ表示四棱锥的体积，解得a 和θ的关系，进而表示出内切球的半径，并求出半径的最大值，进而求出球的体积的最大值. 【详解】设OEH θ∠=，2AB a =，由球O 内切于四棱锥可知，2PEH θ∠=，EH a =， 则tan 2PH a θ=，球O 的半径tan R a θ=，21264tan 23P ABCD V a a θ-∴=⨯⨯=， 36tan 2a θ∴=，36a ∴=， 3333326tan 6tan tan 1tan R a θθθθθ===- ()226tan 1tan 64θθ-=≤当且仅当2tan θ=时，等号成立， 此时46631612o V ππ==. 故答案为：612π.【点睛】本题考查了棱锥的体积问题，内切球问题，考查空间想象能力，属于较难的填空压轴题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足15a =，122n n a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()24n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）1232n n a -=+⨯；（2）13(1)26n n S n +=-⨯+【解析】（1）根据递推公式，用配凑法构造等比数列{}2n a -，求其通项公式，进而求出{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】解：（1）122n n a a -+=Q ，()1222n n a a -∴-=-，123a -={}2n a ∴-是首项为3，公比为2的等比数列．所以1232n n a --=⨯，1232n n a -∴=+⨯．（2）()432432n nn b n n =+⨯-=⨯ ()12331222322n n S n =⨯⨯+⨯+⨯++⨯L()2341231222322n n S n +=⨯⨯+⨯+⨯++⨯L()()1231121232222233212n n n n n S n n ++⨯--=⨯++++-⨯=⨯-⨯-L13(1)26n n S n +∴=-⨯+.【点睛】本题考查了由数列的递推公式求通项公式，错位相减法求数列的前n 项和的问题，属于中档题.18．如图，在棱长为22的正方形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 边上的中点，现以EF 为折痕将点C 旋转至点P 的位置，使得P EF A --为直二面角．（1）证明：EF PA ⊥；（2）求PD 与面ABF 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（26【解析】（1）在折叠前的正方形ABCD 中，作出对角线AC ，BD ，由正方形性质知AC BD ⊥，又EF //BD ，则AC EF ⊥于点H ，则由直二面角可知PH ⊥面ABEFD ，故PH EF ⊥.又AH EF ⊥，则EF ⊥面PAH ，故命题得证；（2）作出线面角PDH ∠，在直角三角形中求解该角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在正方形ABCD 中，连结AC 交EF 于H ．因为,AC BD EF ⊥//BD ，故可得AC EF ⊥，即,EF AH EF CH ⊥⊥又旋转不改变上述垂直关系，且,AH CH ⊂平面PAH ,EF ∴⊥面PAH ，又PA ⊂Q 面PAH ，所以EF PA ⊥（2）因为P EF A --为直二面角，故平面PEF ⊥平面AEF ,又其交线为EF ,且,PH EF PH ⊥⊂平面PEF ,故可得PH ⊥底面ABF ，连结DH ，则PDH ∠即为PD 与面ABF 所成角，连结BD 交AH 于O ，在Rt ODH △中，225DH DO OH =+=，1PH CH ==在Rt PHD ∆中226DP DH PH +=，6sin 6PH PDH DP ∠===． 所以PD 与面ABF 6 【点睛】本题考查了线面垂直的证明与性质，利用定义求线面角，属于中档题.19．某网络商城在2019年1月1日开展“庆元旦”活动，当天各店铺销售额破十亿，为了提高各店铺销售的积极性，采用摇号抽奖的方式，抽取了40家店铺进行红包奖励.如图是抽取的40家店铺元旦当天的销售额（单位：千元）的频率分布直方图．（1）求抽取的这40家店铺，元旦当天销售额的平均值；（2）估计抽取的40家店铺中元旦当天销售额不低于4000元的有多少家；（3）为了了解抽取的各店铺的销售方案，销售额在[)0,2和[]8,10的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究，求抽取的店铺销售额在[)0,2和[]8,10各一个的概率．【答案】（1）5500元；（2）32家；（3）815【解析】（1）频率分布直方图中每个小矩形底边的中点作为该组数据的代表，求出平均数；（2）在频率分布直方图中找到销售额不低于4000的3个小矩形，算出概率，由此估计40家中有多少家销售额不低于4000；（3）本题为古典概型，将销售额在[)0,2的2家店铺和销售额在[]8,10的4家店铺分别编号，用列举法求概率.【详解】解：（1）频率分布直方图销售额的平均值为2(0.02510.07530.250.1570.059) 5.5⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元，所以销售额的平均值为5500元；（2）不低于4000元的有40(0.20.150.05)232⨯++⨯=家；（3）销售额在[)0,2的店铺有2家，编号为m ，n ；销售额在[]8,10的店铺有4家，编号为a ，b ，c ，d ．选取两家，共有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a m ，(,)a n ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b m ，(,)b n ，(,)c d ，(,)c m ，(,)c n ，(,)d m ，(,)d n ，(,)m n 15分选取方式，其中满足条件的有(,)a m ，(,)a n ，(,)b m ，(,)b n ，(,)c m ，(,)c n ，(,)d m ，(,)d n 共8种，所以选取的两人销售额在[)0,2和[]8,10各一个的概率为815． 【点睛】本题考查了由频率分布直方图估计平均数，计算频数，用列举法求解古典概型的问题，属于中档题.20．直线l 与抛物线2:2C y px =(0)p >相交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，若P ，Q 到x 轴距离的乘积为16．（1）求C 的方程；（2）设点F 为抛物线C 的焦点，当PFQ ∆面积最小时，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）4x =【解析】（1）设出两点的坐标，由距离之积为16，可得1216y y =-.利用向量的数量积坐标运算，将OP OQ ⊥转化为12120OP OQ x x y y ⋅=+=u u u r u u u r .再利用两点均在抛物线上，即可求得p 的值，从而求出抛物线的方程；（2）设出直线l 的方程，代入抛物线方程，由韦达定理发现直线l 恒过定点()4,0M ，将PFQ ∆面积用参数t 表示，求出其最值，并得出此时的直线方程.【详解】解：（1）由题设()11,P x y ，()22,Q x y因为P ，Q 到x 轴的距离的积为16，所以1216y y =-，又因为OP OQ ⊥，12120OP OQ x x y y ∴⋅=+=u u u r u u u r，221212225616224y y x x p p p ∴==⋅=，2p ∴= 所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）因为直线l 与抛物线两个公共点，所以l 的斜率不为0，所以设:PQ l x ty m =+联立24x ty m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty m --=， 即124y y t +=，12164y y m =-=-，4m ∴=即直线l 恒过定点()4,0M ，所以121||2PFQ S FM y y ∆=-= 当0t =时，PFQ ∆面积取得最小值12，此时4x =.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线相交的问题，其中垂直条件的转化，直线过定点均为该题的关键，属于综合性较强的题.21．已知函数21()2x f x xe x x =--． （1）求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当0x >时，2()()(1)x k f x x '-≥-+，求整数k 的最大值．【答案】（1）12(1)2y e x e =-+-；（2）2 【解析】（1）利用导数的几何意义，求出在该点处的切线的斜率，再结合点的坐标，求出切线方程；（2）整理该不等式，将其恒成立问题，转化为新的函数的最值问题，采用分类讨论，求最值，再构造关于k 的新函数，分析其单调性和函数值的正负，从而确定整数k 的最大值.【详解】解：（1）()()(1)1x f x x e '=+-， (1)2(1)f e '=-，3(1)2f e =-， 3:2(1)(1)2l y e e x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，1:2(1)2l y e x e ∴=-+- 所以切线方程为12(1)2y e x e =-+-； （2）2()()(1)x k f x x '-≥-+，即()()110x x k e x --++≥． 令()()()11x g x x k e x =--++，只需min ()0g x ≥． ()(1)x g x x k e '=-+当1k ≤时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+单调递增，所以()(0)10g x g >=>满足题意；当1k >时，由()0g x '>，得1x k >-，由()0g x '<，得01x k <<-，所以()g x 在()0,1k -上单调递减，在()1,k -+∞上单调递增，min 1()(1)10k g x g k e k e∴=-=-⋅++≥， 令1()1k h k e k e =-⋅++，1()1kh k e e '=-⋅， (1)0h '=，()h k '单调递减，所以()0h k '<，所以()h k 在()1,+∞上单调递减，(1)10h =>，(2)30h e =->，2(3)40h e =-<综上可知，整数k 的最大值为2．【点睛】本题考查了导数的几何意义，求切线方程，利用导数解决函数恒成立问题，判断函数的单调性，属于难度较大的压轴题.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为112212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）和曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点M 是射线1:l θα=([0,])2πα∈与直线l 的公共点，点N 是1l 与曲线C 的公共点，求||||ON OM 的最大值． 【答案】（1）sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2cos ρθ=；（2）max ()2ON OM = 【解析】（1）先将直线l 和圆C 的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程； （2）写出点M 和点N 的极坐标，根据极径的定义分别表示出ON 和OM ，利用三角函数的性质求出||||ON OM 的最大值. 【详解】 解：（1）1:2l x y +=，1cos sin 2ρθρθ+=，即极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22:(1)1C x y -+=，极坐标方程2cos ρθ=．（2）由题可知12(,)sin cos M ααα+，(2cos ,)N αα ||2cos 1||2sin cos N M ON OM ραραα==+ 4cos (sin cos )ααα=+2sin 22(cos 21)αα=++)24πα=++， ∴当8πα=时，max ()2ON OM =. 【点睛】本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.23．已知函数()2|2|f x x m =--(0)m >，若(2)0f x +<的解集为()2,2-． （1）求m 的值；（2）若正实数a ，b ，c 满足23++=a b c m ，求证：1119234a b c ++≥． 【答案】（1）4m =；（2）证明见详解.【解析】（1）将不等式(2)0f x +<的解集用m 表示出来，结合题中的解集，求出m 的值；（2）利用柯西不等式证明.【详解】解：（1）(2)2||0f x x m +=-<，||2m x <， 22m m x ∴-<<， 因为()20f x +<的解集为()2,2-，所以22m =， 4m ∴=；（2）由（1）234a b c ++= 由柯西不等式2111()(23)(111)923a b c a b c++++≥++=， 1119234a b c ∴++≥ 当且仅当43a =，23b =，49c =，等号成立． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.。