《概率论》期末考试试题及答案

07级《概率论》期末考试试题B 卷及答案
一、 填空题（满分15分）：
1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）“第一卷出现在旁边”的概率为 5
2 。

5
2!5!422=⨯=p 2.设,)(,)(,)(r AB P q B P p A P ===则=)(B A P r p - 。

性质 r p AB P A P AB A P B A P B A P -=-=-=-=)()()][)()(
3.设随机变量ξ的密度函数为() 00
3，其它⎩⎨⎧>=-x ce x x
ϕ则c= 3 . 33
)(130=⇒===-+∞+∞
∞-⎰⎰c c dx e c dx x x ϕ 4. 设ξ、η为随机变量，且D （ξ＋η）＝7，D （ξ）＝4，D （η）＝1， 则Cov(ξ,η)= 1 .
12
1472)(),cov()
,cov(2)(=--=--+=++=+ηξηξηξηξηξηξD D D D D D 5.设随机变量ξ服从两点分布)
1,1(B ，其分布律为
则ξ的特征函数为=
)(t f ξit e 3132+。

二、 单项选择题（满分15分）：
1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件恰好一个发生”为( ②. ).
① C B A ⋃⋃. ② C B A C B A C B A ++
③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++
2.设随机变量ξ的分布函数为
000)(22<≥⎪⎩⎪⎨⎧+=-x x B
Ae x F x
则其中常数为（① ）。

①A=-1,B=1 ②A=1,B=-1 ③ A=1,B=1 ④ A=-1,B =-1
B
A B e A x F B B e A x F x x x x x x +=+===+==-→→-+∞→+∞→++200222lim )(lim 0lim )(lim 1
解得1,1=-=B A
3设随机变量ξ的分布列为.,2,1,21)2)1(( ==-=k k P k k k
ξ则ξE （ ④ ） ①等于1. ② 等于2ln
③等于2ln - ④ 不存在
445111
=⇒==∑∞=C C C i i ∑∑+∞=+∞
=+=⋅-11114545)
1(i i i i i i i ，由调和级数是发散的知，EX 不存在 4.对于任意两个随机变量ξ与η，下面（④ ）说法与0),cov(=ηξ不等价。

①相关系数0,=Y X ρ ② )()()(ηξηξD D D +=+
③ ηξξηE E E ⋅=)( ④ ξ 与η相互独立
5.设随机变量ξ服从二项分布)2
1
,4(B ,由车贝晓夫不等式有 ( ② ). ①.3
1)32(≤≥-ξP ②.91)32(≤≥-ξP ③ 3
1)32(≥<-ξP . ④ 9
1)32(≥<-ξP 因为9
1)32(,1,2≤≥-==ξξξP D E 三、（满分20分） （1）两人相约7点到8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。

解：
设，分别表示两人到达的时刻，有
{}600,600),(≤≤≤≤=Ωy x y x
(){}
30,"">-==y x y x A 两人能见面，则所求概率为
41)(=Ω=的面积的面积A A P 。

（2）发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1，由于通信系统受到干扰，当发出信号0时，收报台分别以0.8和0.2的概率收到信号0和1；又当发出信号1时，收报台分别以0.9及0.1的概率收到信号1和0。

求（1）收报台收到信号0，此时原发信号也是0的概率；（2）收报台收到信号0，此时原发信号不是0的概率；
解："0""0"收到，发出==B A
（1）所求概率为
949.059
561.03.08.07.08.07.0)()()()()
()()A (==⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B P 。

（2）由（1）的结果，所求概率为
051.059
3)(1)A (==-=B A P B P 。

四、（满分16分）设ηξ,的密度函数为
()其他100,<<<⎩⎨⎧=y x Axy y x p
求：（1）常数A ；（2）求概率P(ηξ+<1)；（3）ηE
解: 818
),(1),(11
10=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰
∞+∞-∞+∞-+∞∞-+∞∞-A A ydy xdx A dxdy y x p dxdy y x p x 解得，，）由（令 (2) 6
18)1(1210==<+⎰⎰-dy y xdx P x x ηξ (3) 可求得其他100
4)(3
<<⎩⎨⎧=y y y p η，故 5
4544)(1
051
04====⎰⎰+∞∞-y dy y dy y yp E ηη。

五、（满分8分）若ξ服从)1,0(N 分布，求2ξη=的密度函数。

解：
20(()()000()00y P F y P y y y p x dx y ηξξ⎧><⎪=<=⎨≤⎪⎩
⎧>⎪=⎨≤⎪⎩
从而 0
,21
21)(21)()(221>=⋅+-
⋅-=--y e y y y p y y p y p y πη
六、（满分18分）
（1）若)()(B A P B A P =，证明：事件A 与事件B 相互独立。

证明：
)
()()()()()()()()()()
(1)()()()()()()()(B P A P AB P AB P B P B P A P B P AB P AB P B P AB P A P B P B A P B P AB P B A P B A P =-=---==⇒= （2）设随机变量21ξξ、为相互独立的随机变量，且其分布为),(~),,(2211p n B p n B ξξ～，利用特征函数证明： 1212 (,).B n n p ηξξ＝＋～＋
()()()()()()()()()()12
121212121212,,(,).
n n it it n n n n it it it t q pe t q pe t t t q pe q pe q pe B n n p ξξηξξφφφφφηξξ+=+=+==++=+证明：因为由唯一性定理知，＝＋～＋
七、（满分8分）设{}n X 为独立同分布的随机变量序列，其分布为
,...2,1,2122==⎭⎬⎫⎩
⎨⎧=k k X P k k n 证明：{}n X 服从大数定律。

证明:因为{}n X 为独立同分布，且
.12121221∑∑+∞=+∞==⋅=k k k k n k k EX 因为∑+∞=121k k 为p=2的p-级数是收敛的，故n EX 存在。

由辛钦大数定律知结论成立。