离散数学第七章群与环

，并且X中其余元素保持不变，则称p
由轮换的定义可知，轮换中任何元素均可排在首位，他们表示是同一 个轮换，如（ ）=（ ）。
例7.20 令S={1，2，3，4，5}，S上的5阶置换p= 换（1 2 4）。
是S上的3阶轮
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7.2 群
定义 7.10： 集合的置换：令X是非空有限集合，从X到X的双射函数，称为 集合X中的置换，并称|X|为置换的阶。 集合上的所有置换（双射）与复合运算，构成的代数系统是一个群， 称为对称群。 由n个元素的集合而构成的所有n!个n阶置换的集合 ◇构成群< 若 ，◇>，它便是n次n!阶对称群。 ，则称由Q和◇构成的群<Q，◇>为置换群。 与复合置换运算
第七章 群与环
离散数学
陈志奎主编 人民邮电出版社
概述
本章将讨论特殊的代数系统——群与环。群是具有一个二元运算的抽 象代数。半群与群在形式语言、快速加法器设计、纠错码定制和自动 机理论中都有卓有成效的应用。环是具有两个二元运算的代数系统， 它和群以及半群有密切的联系。 群最初是由Evariste Galois在1830年所提出的，它应用于满足某些性质 的一个有限集的一系列置换中。Galois于1811年生于法国巴黎，直到 12岁才进入巴黎一所公立中学学习，在此之前，他在家中有母亲进行 教育。16岁时，完全沉浸在数学的学习之中，以至于忽略了其他课程 的学习。两次参加Ecole Polytechnique的入学考试，但均未通过，最后 进入Ecole Normale研究所进修。 1830年法国革命期间，Galois因为指责其学校领导而被学校开除。此 外Galois还曾因为政治活动二被捕入狱。在1832年5月30日，他在一场 决斗中受伤，并在第二天去世，年仅20岁。在决斗前，Galois留了一 封信给他的一位朋友，信中详细描述了他的研究成果。他的成果对于 当时的人来书实在太超前了，因此直到1870年他的所有研究成果才完 全展现在世人面前。
G是一个群，H是G的一个子群，那么H也是关于G中运算的一个群， 因为G中的结合性质在H中也成立。
7.3.1 子群的概念
定义7.14 给定群<G，⊙>及非空集合HG，则<H, ⊙>是<G，⊙>的子群 （a）（b）（a，b∈Ha⊙b∈H）（a）（a∈H ∈H）。
本定理表明<H，⊙>是<G，⊙>的子群的充要条件是H对于⊙封闭及H中每 个元素存在逆元。 定理7.6 设G为群，H是G的非空子集。则H是G的子群当且仅当a，b属于H 有a ∈H。
7.3.2 群的陪集与拉格朗日定理
例7.23 证明6阶群中必含有3阶元。 证明：设G是6阶群，由拉格朗日定理可知G中的元素只能是1阶，2阶3阶或6 阶元。 若G中含有6阶元，设这6阶元为a，则 是3阶元。
若G中不含6阶元，下满证明G中必含有3阶元。若不然，G中只含有1阶和
2阶元，即a∈G，有 =e，可知G是Abel群，取G中的两个不同的2阶元a和 b，令H={e，a，b，ab}易知H是G的子群，但|H|=4，|G|=6，与拉格朗日 定理矛盾。 综上所述，6阶群中必含有3阶元。
7.3.2 群的陪集与拉格朗日定理
给定一子群H和G内的某一元素a，则可定义出一个左陪集 aH={ah;h∈H}。 因为a为可逆的，由φ(h) = ah给出之映射φ : H → aH为一个双射。更甚地， 每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中；其左陪集为对应于一 等价关系的等价类，其等价关系a1 ~ a2当且仅当a1−1a2会在H内。H的左 陪集之数目称之为H在G内的“指数”，并标记为[G:H]。 拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言， 其中o(G)和o(H)分别为G和H的目。特别地是，每一个G的子群的目(和每一 个G内元素的目)都必须为o(G)的因子。 右陪集为相类比之定义：Ha = {ha : h∈H}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类，且其个数亦会相等于 [G:H]。 若对于每个在G内的a，aH=Ha，则H称之为正规子群。每一个指数2的子群 皆为正规的：左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。
7.2 群
例 7.12 设G={e，a，b，c}，G上的运算由表7.2表示，不难验证G是一个群。 由表中可以看出G的运算具有以下特点：e为G中的单位元；G中的运算是 可交换的；每个元素的逆元就是它自己；在a，b，c三个元素中，任意两 个元素运算的结果都等于另一个元素。这个群为Klein四元群，简称四元群。
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半群 群 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域
7.4 循环群与置换群
定义7.15 设<G，>是群，若a∈G，对x∈G，k∈Z，有x= ，则称<G， >是循环群，记作G=<a>，称a是群<G，>的生成元。
然而，在给出的运算下该集合是一个幺半群。 例7.16 在一般意义下的乘法运算下，所有非零实数组成的集合构成一个群。 a≠0的逆是1/a。
7.2 群
定义 7.9 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群。群G的基数 称为群G的阶。含有单位元的群称为平凡群。
7.2 群
例7.17 <Z，+>是无穷群，<S，⊙>，其中S={a，b，c}，⊙的运算表如表7.3 可以验证，<S，⊙>是群，a为幺元，b和c互为逆元；又因为|G|=3，故<S， ⊙>是3阶群。 ⊙ a b c a a b c b b c a c c a b
定义7.6 ：给定半群<S，⊙>以及任意的a∈S，则有<{a，a2，a3，…}，⊙> 是<S，⊙>的循环子半群。
例7.8 ：给定半群<S，⊙>以及任意的a∈S，证明<{a， ，},⊙>是循环子
半群。
7.1 半群
例7.9 给定两个半群<S，⊙>和<T，*>。称<S×T，⊗>为<S，⊙>和<T，*> 的积半群，其中S×T为集合S与T的笛卡儿积，运算⊗定义如下：<s1， t1>⊗<s2，t2> =<s1⊙s2，t1*t2>，其中s1，s2∈S，t1，t2∈T。由于⊗是 由⊙和*定义的，易知积半群是个半群。
e e e a a b b c c
a
b c
a
b c
e
c b
c
e a
b
a e
7.来自百度文库 群
定义7.8 给定群G，若⊙是可交换的，则称G是可交换群或G是Abel群。
例7.14 具有一般意义下的加法运算的所有整数的集合Z是一个Abel群，如 果a∈Z，那么a的逆是他的负数-a。
例7.15 在一般意义下的乘法运算 不是一个群，因为 中的元素2没有你元素。
例7.7 令半群<S，*>，其中S={a，b，c，d}，*定义如表7.1，试证明生成集 G={a，b}。 * a b c d A D B C A b c b c b c b b c c d a b c d
7.1 半群
定义7.5 ：给定半群<S，⊙>及非空集合T⊆S，若T对⊙封闭，则称<T，⊙> 为<S，⊙>的子半群。
例 7.3 集合P（S），其中S是一个集合，加上并运算，它就构成一个交换
半群。因为并运算满足结合律和交换律。
7.1 半群
定义7.2 ：给定<M，⊙>，若<M，⊙>是半群且⊙有幺元或⊙满足结合律 且拥有幺元，则称<M，⊙>为独异点或含幺半群或拟群。
例7.4 给定<N，+>和<N，*>，其中N是自然数集合，+和*为一般意义下的 加法和乘法。易知<N，+>和<N，*>都是半群，而且还是独异点。因为0是
是a和b的积。如果⊙是一个可交换的二元运算，则称半群<S，⊙>是一个
可交换半群。
7.1 半群
例 7.1 <Z,+>是一个可交换半群。因为加法满足结合率，同时加法是可交 换的，所以<Z,+>是一个可交换半群。
例 7.2 集合Z以及一般意义下的除法运算就不构成一个半群，因为除法运 算不是可结合的。
半群 群 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域
7.3.1 子群的概念
子群就是群的子代数。 定义 7.13 给定群G，H是G的子集，使得 （1）G的单位元eH ， （2）如果a和bH ，那么abH ， （3）如果aH ，那么 H。
则称H为G的一个子群，（1）和（3）说明H是G的子幺半群。如果
内容安排
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半群 群 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域
7.1 半群
定义7.1 给定<S，⊙>，若⊙满足结合律，则称<S，⊙>为半群。 可见，半群就是由集合及在此集合上的一个具有集合率的二元运算组成的代 数系统。 半群就是非空集合S以及一个定义在S上的可结合的二元运算⊙，将用<S，⊙> 表示半群，或者当运算⊙很清楚时可以简记为S。此外还可以把a⊙b看成
7.2 群
定义 7.11 集合X是无限的，令TX表示所有从集合X到X的变换的集合，具 有下列性质： – – –
–
<TX，º >构成群，在代数中称为变换群。置换群是变换群的特例。
7.2 群
定义7.12 设p是集合X={ p（ ）= ，，p（ 为X上的n阶轮换，记为（ ， ）= ，， }上的n阶置换，若p（ ）= ）若n=2，称p为X上的对换。 ，
例 7.11 给定<Z，+>和<Q，*>，其中Z和Q分别为整数集和有理数集，+和*
分别是一般意义下的加法和乘法。可知<Z，+>是群，0是幺元，每个元素
i∈Z的逆元为-1；<Q，*>不是群，1是幺元，0无逆元。但<Q-{0}，*>是群。
在半群、独异点、群这些概念中，由于只含有一个二元运算，所以在不发 生混淆的情况下，可以将算符省去。例如将x*y写成xy。在下面的讨论中， 我们将常使用这种简略表示方法。
7.1 半群
定理7.1 ：若半群<S，⊙>和半群<T，>是可交换的，则<S×T，>也是可 交换的。
定理7.2 ：给定半群<S，⊙>和半群<T，>，且e1 和 e2分别是他们的幺元， 则积半群<S×T>含有幺元 <e1 ,e2> 。
7.1 半群
定理7.3：给定半群<S，⊙>和半群<T，>，且 的零元，则积半群<S×T>含有零元 和 分别是他们
定义7.4 给定半群<S，⊙>及G⊆S，则G为<S，⊙>的生成集：
(∀a)(a∈S→a=⊙(G))∧min|G|这里⊙(G)表示用G中的元素经⊙的复合而生
成的元素。类似地定义独异点<M，⊙，e>的生成集。
7.1 半群
例7.6： 给定<N，+>，其中N是自然数集合，+为一般意义下的加法，则<N， +>是无穷循环独异点，0是幺元，1是生成元。
7.2 群
例7.18 <Z，+>和<R，+>是无限群，<Zn，>是有限群也是n阶群。klein四 元群是四阶群。<{0}，+>是平凡群。上述的所有群都是交换群，但是n阶 （n≥2）实可逆矩阵的集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群，因为矩阵 乘法不满足交换律。
定理 7.5 给定群<G，>，则
定理7.4：给定半群<S，⊙>和半群<T，>，且s∈S的逆元 元 ，则积半群<S×T>中的逆元为
，t∈T的逆
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半群 群 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域
7.2 群
定义7.7 给定代数系统Ｖ＝<G，⊙>，若<G，⊙>是独异点并且每个元素均 存在逆元，或满足⊙是可结合的并且关于⊙存在幺元并且G中每个元素关 于⊙是可逆的，则称<G，⊙>是群。记为G。群比独异点具有更强的条件。
+的幺元，1是*的幺元。
例7.5 < ，+>，<N，+>，<Q，+>，<R，+>，<C，+>都是半群，+是一般意
义下的加法，在这些半群中，除< ，+>外都是独异点。其余几个中含有幺
元0，而< ，+>中无幺元存在。
7.1 半群
定义7.3 给定半群<S，⊙>和g∈S，以及自然数集合N，则g为<S，⊙>的生 成元有：(∀x)(x∈S→(∃n)(n∈N∧x = ))。此时也说，元素g生成半群<S，⊙>， 而且称该半群为循环半群，g为生成元。