直线的斜率与方程式
直线的两点式方程
课堂小结： 课堂小结：
1. 两点式、截距式、中点坐标 两点式、截距式、 2. 我们所学过的直线方程的表达 形式有多少种？它们之间有什么关系？ 形式有多少种？它们之间有什么关系？
作业： 作业：
3.2A组 3.2A组 4，9
练习： 练习：
1 过P(4, -3)且在坐标轴上截距相等 且在坐标轴上截距相等 的直线有( 的直线有 A. 1条 条 ) C. 3条 条 D. 4条 条
y − y1 x − x1 3. 两点式方程： 两点式方程： = y2 − y1 x2 − x1
[已知两定点 不适合与 轴 已知两定点(不适合与 已知两定点 不适合与x轴 轴垂直的直线)] 或y轴垂直的直线 轴垂直的直线
x y + =1 4. 截距式方程： 截距式方程： a b
[已知截距 与x轴交点 已知截距a(与 轴交点 轴交点(a,0))及截距 与y轴 及截距b(与 轴 已知截距 及截距 交点(0, 不适合过原点的直线 不适合过原点的直线] 交点 b))不适合过原点的直线
＋ ＋ ＝ 5. 一般式方程： Ax＋By＋C＝0 一般式方程： (A、B不同时为 不同时为0) 、 不同时为 特别的， ＝ ＋ 特别的，l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2， ＝ ＋ 则 l1 //l2 ⇔ k1＝k2，且b1≠b2； l1⊥ l2⇔k1·k2 ＝－ ＝－1.
已知截距a(与 轴交点 轴交点(a,0))及截距 与y轴 及截距b(与 轴 已知截距 与x轴交点 及截距 交点(0, b))，不适合过原点的直线 交点 ，
1.直线的两点式方程及其适用范围是什么？ 直线的两点式方程及其适用范围是什么？ 直线的两点式方程及其适用范围是什么 2.直线的截距式方程及其适用范围是什么？ 直线的截距式方程及其适用范围是什么？ 直线的截距式方程及其适用范围是什么
直线方程的五种形式
2 x 5 y 10 0
五.直线方程的一般式
在平面直角坐标系中 , 对于任何一条直线 , 都有一
个表示这条直线的关于 x, y的二元一次方程 形式为 证明: 关于x, y的二元一次方程的一般
Ax By C 0( A, B不同时为 0)
A C A 1)当B 0时, 有y x , 这 是 斜 率 为 , BC B B 在y轴 上 的 斜 距 为 的直线方程 . B C 2)当B 0时,因A, B不 同 时 为 0, 故A 0, x . A 它表示一条与 y轴平行或重合的直线 .
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A, B代入两点式 ,得
y0 x (5) 3 0 3 (5)
3x 8 y 15 0
把B, C代入两点式 ,得
y 3 x 3 23 03
5x 3 y 6 0
A(5,0), B(3,3), C (0,2) 例3三角形的顶点是
二
名称
直线方程的五种形式
方程 说明 不包括y轴和平行于y轴 的直线 不包括y轴和平行于y轴 的直线
已知条件
点斜式 点P1(x1,y1)和斜率 y-y1=k(x-x1) k 斜截式 斜率k和y轴上截 距 两点式 点P1(x1,y1)和点 P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a 在y轴上的截距b 一般式 A、B不同时为零 y=kx+b
已知直线 l的 斜 率 为 k , 与y轴 的 交 点 是 (0, b), 求直线的方程 . 解: 由直线的点斜式,得 y b k ( x 0)
即y kx b
y
l
方程 y kx b叫做直线方程的斜截式 .
3.2.1直线的点斜式方程
1 6
，且与坐标轴围成面积为3的三角形，
求该直线的方程．
解：设直线方程为y＝- 16x＋b，
当 x＝0 时，y＝b，即直线与 y 轴的交点为(0，b)； 当 y＝0 时，x＝－6b，即直线与 x 轴的交点(－6b,0)． 又S＝12·|b|·|－6b|＝3b2＝3，故b＝±1，
∴所求直线方程为y＝- 16x＋1或y＝- x16－1.
4.写出满足下列条件的直线的方程．
(1)斜率为5，在y轴上截距为－1，________； (2)倾斜角30°，在y轴上截距为 ，________.
(3)已知直线l1：y＝－2x＋3，l2：y＝4x－2，直线l与l1平 行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.
（3）由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2， 又因为l∥l1，所以kl＝－2. 由题意知，l2在y轴上的截距为－2， 所以直线l在y轴上的截距b＝－2. 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
y
.p2L
O .P1 α
x
L1⊥ L2 k1k2= -1
探究一：点斜式方程
y
l
解:设P(x,y)是直线L上不
Px，y 同于P0的任意一点.
P0(x0,y0)
O
x
点斜式
(1)
定义： 方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，我们把（1）叫做 直线的点斜式方程，简称点斜式.
注意：①斜率要存在！
②已知直线上一点以及直线的斜率
（1）l1 // l2 的条件是什么？（2）l1 l2 的条件是什么？
解：（1）若 l1 // l2 ,则k1 k2 . 此时 l1，l2与y轴的交点不同即 b1 b2;
反之 k1 k2 且b1 b2 时，l1 // l2 .
直线方程式及其图形
称 b 为 L 的 y 截距。
直线方程式及其图形 page 10/26
3 p.102
直线方程式及其图形 page 11/26
(1) 设直线 L 的斜率为 2，y 截距为 3，试求 L 的直线方程式。
(1) 因为 L 的 y 截距为 3
所以 L 过点 0 , 3
又直线 QR 通过点B 2 , 0
所以直线 QR 的方程式为 y 3( x 2)
7 p.110
直线方程式及其图形 page 25/26
如右图所示，在坐标平面上有四点 A0 , 3， B 2 , 0，C 0 , 1，D 4 , 0。今欲作
一矩形 PQRS 使得 A、B、C、D 分别落在
6 p.108
解下列联立方程式：
(2)
2x 4 x
y3 。 2y 3
直线方程式及其图形 page 20/26
(2)
2x 4 x
y3 2y 3
③ ④
将③式乘以 2 减去④式，得 0 3，矛盾
故联立方程式无解
6 p.108
解下列联立方程式：
(3)
2x 4 x
直线方程式及其图形 page 1/26
直线方程式及其图形
直线的斜率 直线的方程式 两直线关系
直线的斜率 p.96~p.99
直线方程式及其图形 page 2/26
直线的斜率 设直线 L 不是铅垂线，且 A( x1 , y1)，B( x2 , y2 ) 为 L 上 相异两点，则 L 的斜率 m= y2 y1 。
解
y
3
1 3xBiblioteka y 3 x 2得Q
3.2.1 直线的一般式方程
y
解： 由 x 2 y 6 0 1 y x3 有 2 1 故 l 的斜率 k 2 纵截距为3 令y 0 则
B(0,3)
A(6,0)
0
x
x 6
即横截距为－6
针对性练习：课本P99 练习1、2、3
课堂小结：
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式
y y0 k ( x x0 )
轴
平行
；
时，方
2.当 A 0，B 0，C为任意实数 程表示的直线与x轴垂直；
3.当 A 0，B 0，C 0 时，方程表示的直 重合 线与x轴———————— ；
4.当A 0，B 0，C 0 时，方程 表示的直线与y轴重合 ；
5.当 C 0, A, B不同时为0 时，方程
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求①BC边所在直线的方程 ②AC边所在直线的方程
y C .
. A
O
x
. B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求③BC边上中线所在直线的方程
y C .
. A
O
.M
. B
x
中点坐标公式
y
A(x1，y1)
.
C
. A
O
.
M
x
.
B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，
求①BC边所在直线的方程
②AC边所在直线的方程
两点式 截距式
③BC边上中线所在直线的方程 两点式
④BC边上垂直平分线所在直线的方程? 点斜式
⑤BC边上高所在直线的方程?
点斜式
直线方程的几种形式
1 2 1 2 1 1
x1 x2 , y1 y2
a,b存在且 都不为零
x y 1 a b
1、对于平面直角坐标系中任一条直线，都有一 个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程。 2、任何关于x,y的二元一次方程都表示一直线。 直线方程式的一般式:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)
x
B
例：经过点A(1,2)并且在两坐标轴上截距的绝对 值相等的直线. 答案:x+y=3,-x+y=1,y=2x
直线方程形式的灵活选择技巧
直线方程的几种形式都有使用的局限性 一般地，已知一点通常选用点斜式；已知斜率选择 斜截式和点斜式；已知截距或两点选择截距式或两 点式 待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法， 一般几个待定系数就应列出几个方程（一般，已知 一点就待定斜率k，但应注意斜率不存在的情况； 如果已知斜率k，一般选择斜截式待定纵截距b；如 果已知直线与坐标轴围成三角形的问题就选择截距 式，待定横、纵截距） 有的直线方程可以同时选用几种形式，但选择的形 式不同，导致运算繁简程度不同
直线在x,y轴上的截距分别为a,b，与截距有关的问题： (1)与坐标轴成三角形的周长为 a b （）与坐标轴成三角形的面积为S 2 a 2 b2
1 ab 2 （）直线在两坐标轴上的截距相等，则k 1或过原点， 3 常设方程为x y =a或y kx
简单的对称问题
7、一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射，通过点 B(-1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程 8、光线由点A(-1,4)射出，在直线l:2x+3y-6=0上进 62 行反射，已知反射光线过点B(3, )，求反射光线 13 所在直线的方程.
直线方程的斜率公式
直线方程的斜率公式如果知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线可表示为：y-y0=k(x-x0)。
当k不存在时，直线可表示为：x=x0。
点斜式方程是通过直线过的一个点和其斜率求该直线平面方程的一种方法。
在平时做解析几何的题目时，会更多地运用点斜式方程来解题，直接的体现直线的性质。
方程式：y－y1=k（x－x1）其中（x1，y1）为坐标系上过直线的一点的座标，k为该直线的斜率。
推导：若直线l1经过点p1（x1，y1），且斜率为k，求l1方程。
设点p(x，y)就是直线上不同于点p1的任一一点，直线pp1的斜率应当等与直线l1的斜率，根据经过两点的直线的斜率公式得k=(y－y1)/（x－x1） (且：x≠x1）所以，直线l1：y－y1=k（x－x1）表明：(1)这个方程是由直线上一点和斜率确定的，这一点必须在直线上，否则点斜式方程不成立；(2)当直线l的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1；(3)当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程为x=x1。
已经开始自学时通常厚边两条斜率不成正比（非平行）的直线的交点，接着就是与抛物线的交点，通过点斜式方程代入抛物线方程，谋出来交点的个数和座标。
除了平面解析几何，比如说椭圆、圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线问题化解的紧固套路，方程阿提斯鲁夫尔谷的时候就习惯用点斜式。
在求曲线切线方程中，一般会告诉切点和曲线方程。
这时利用导数公式可求出切线斜率k，利用点斜式可以表示此直线方程。
另外，有时题目可以说曲线外一点(a,b)和曲线方程，这时只需设立切点座标a（x,y)，利用导数公式谋出来导数的表达式m，再并使y-b/x-a=m即可谋出来切点a的座标。
利用点斜式可以将方程则表示出。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
高中数学第三章 3.2.1直线的点斜式方程优秀课件
类型三 平行与垂直的应用
例3 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2 平行？
解 由题意可知，kl1＝－1，kl2 ＝a2－2，
∵l1∥l2，∴a22a－≠22＝，－1， 解得 a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2： y＝(a2－2)x＋2平行.
思考1 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程 是什么？ 答案 将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得y＝kx＋b. 思考2 方程y＝kx＋b表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以 为负数和零？ 答案 y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零.
梳理 已知条件
图示 方程式 适用条件
3.直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.( × )
类型一 直线的点斜式方程
例1 (1)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得到直线l， y－3＝－12(x－1)
那么直线l的点斜式方程是________________. 解析 由题意知，直线 l 与直线 y＝2x＋1 垂直，则直线 l 的斜率为－12. 由点斜式方程可得 l 的方程为 y－3＝－12(x－1).
斜截式 斜率k和直线在y轴上的截距b
_y_＝线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. ①l1∥l2⇔ k1＝k2且b1≠b2 ， ②l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 .
[思考辨析 判断正误] 1.对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝ yx－ －yx00. ( × ) 2.直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3).( √ )
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
3.2.1 直线的点斜式方程
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
解 由题意可知，kl1＝2a－1，kl2 ＝4，
∵l1⊥l2， ∴4(2a－1)＝－1，解得 a＝38. 故当 a＝38时，直线 l1：y＝(2a－1)x＋3 与直线 l2：y＝4x－3 垂直.
反思与感悟 设直线l1和l2的斜率k1，k2都存在，其方程分别为l1：y＝ k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，那么： (1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2； (2)两条直线重合⇔k1＝k2，且b1＝b2； (3)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
跟踪训练 2 已知直线 l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形，
求 l 的斜截式方程. 解 设直线方程为 y＝16x＋b，则当 x＝0 时，y＝b； 当 y＝0 时，x＝－6b.由已知可得12·|b|·|－6b|＝3， 即6|b|2＝6，∴b＝±1. 故所求直线 l 的斜截式方程为 y＝16x＋1 或 y＝16x－1.
跟踪训练 3 已知直线 l：y＝(a2－2)x＋2a＋9 与直线 y＝－12x＋1 垂直， 且与直线 y＝3x＋5 在 y 轴上的截距相同，求 a 的值.
解 由题意知(a2－2)×－12＝－1，解得 a＝±2. ∴当a＝2时，直线l：y＝2x＋13； 当a＝－2时，直线l：y＝2x＋5. 又直线l与直线y＝3x＋5在y轴上的截距相同， ∴a＝－2.
2.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有
A.k>0，b>0 C.k<0，b>0
√B.k>0，b<0
D.k<0，b<0
解析 ∵直线经过第一、三、四象限， ∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
中点弦公式斜率结论
中点弦公式斜率结论
中点弦公式是数学中的基础公式之一，一般应用于解析几何中的
直线问题，其基本思想是通过一条直线的两点，求解出中点对应的直
线的斜率。
中点弦公式的数学表达式为：
斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 分别表示直线上的两个点，k 表示
直线的斜率。
中点弦公式的原理是基于物理学中的斜率定义，即“斜
率（或坡度）表示垂直方向的变化量与水平方向的变化量之比”。
在应用中点弦公式时，需要遵循一些基本原则：
1. 两点必须在同一直线上，否则计算得出的斜率将无意义。
2. 中点必须在两点之间，不能在两点外部或超过两点的限定范围。
3. 中点弦公式仅计算直线的斜率，不能用于求解直线的方程式或
直线的长度。
中点弦公式具有广泛的应用价值，它可以帮助我们理解直线的性质、斜率的概念以及直线与坐标系之间的关系。
例如，在几何学中，
中点弦公式可以用于证明两条平行线之间距离等于任意一点到两直线
间的距离。
而在物理学中，中点弦公式可以用于计算物体的速度或加
速度，并且可以推导出物理学中的牛顿第二定律公式。
总之，中点弦公式是一种基础的数学工具，对于理解数学、几何和物理的基本概念以及解决实际问题具有重要的意义。
我们要时刻学习和运用这一公式，提高我们的数学素养和解决问题的能力。
直线方程的几种形式
3 3 y = − x − 3∴ k = − , b = −3. 2 2
所求直线方程为 y = − 3 x − 3
三.直线的两点式方程 直线的两点式方程
y 2 − y1 ( x 1 ≠ x 2 ). 解: 依题意 , k = x 2 − x1
代入点斜式,得 代入点斜式 得
已知直线 l经过两点 P1 ( x 1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), 经过两点 且x 1 ≠ x 2 , 求直线的方程 .
对于方程 y − y 1 = k ( x − x 1 ), 直线 l 上的每一个 点 P ( x , y )都是这个方程的解 ; 反之 ,以方程的 解为坐标的点都在直线 l 上 . y l
y − y1 = k ( x − x1 )
α
P1
P2
O
x
是过点P1 ( x1 , y1 ), 斜率为k的直线l的方程. 特征: 特征 (1)已知直线上的一个点 P ( x1 , y1 );
3 x + 8 y + 15 = 0
5x + 3 y − 6 = 0
把B,C代入两点式, 得
y +3 x −3 = 2+3 0−3
例3三角形的顶点是 A( −5,0), B( 3,−3), C (0,2)
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A,C代入两点式 , 得 y − 0 x − (−5) = 2 − 0 0 − (−5)
一.直线的点斜式方程
y − y1 y − y1 = k ( x − x1 )(2) k= (1) x − x1 显然,点 的坐标不满足方程(1) 显然 点P1的坐标不满足方程
而满足方程(2)，因此， 不在方程(1)表示的 而满足方程 ，因此，点P1不在方程 表示的 图形上而在方程(2)表示的图形上 方程(1)不能 表示的图形上， 图形上而在方程 表示的图形上，方程 不能 称作直线的方程． 称作直线的方程．
点斜式方程公式
点斜式方程公式
方程式：y－y1=k（x－x1）
其中（x1,y1）为坐标系上过直线的一点的坐标,k为该直线的斜率。
推导：若直线L1经过点P1（x1,y1）,且斜率为k,求L1方程。
设点P(x,y)是直线上不同于点P1的任意一点,直线PP1的斜率应等与直线L1的斜率,根据经过两点的直线的斜率公式得k=(y－y1)/（x－x1） (且：x≠x1）所以,直线L1：y－y1=k（x－x1）
说明：
(1)这个方程是由直线上一点和斜率确定的,这一点必须在直线上,否则点斜式方程不成立；
(2)当直线l的倾斜角为0°时,直线方程为y=y1；
(3)当直线倾斜角为90°时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示,这时直线方程为x=x1。
用3.2.2直线的两点式方程(高中数学人教版必修二)
课堂小结 想一想：
1．直线的两点式方程 y－ y1 x－ x1 经过两点 P1 (x1， y1 )， P2(x2， y2)(其中 x1≠ x2， y1≠ y2 )的直线的两点式方程为 ＝ . y2 － y1 x2 － x1 与坐标轴垂直的直线没有两点式方程． 2．直线的截距式方程 x y 与两坐标轴的交点分别是 P1 (a,0)， P2 (0， b)(其中 ab≠ 0)的截距式方程为 ＋ ＝ 1. a b 与坐标轴垂直和过原点的直线方程均没有截距式． 3．中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为 (x1，y1 )，(x2，y2)，且线段 P1 P2 的中点 M 的坐标为(x，y)，则 x ＋x x＝ 2 ， y ＋y y＝ 2 .
y
l P1(x1，y1)
x
P2(x2，y2)
说明： （1）这个方程是由直线上两点确定，叫两点式. （2）当直线没斜率或斜率为0时，不能用两点式来表示；
分子，分母中的减数相同
练 1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程 . 习 y 1 x2 y 2x 3 (1)P(2，1)，Q(0，-3)
一般的，在两坐标轴上的截距相等的直线有2条， 在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线有3条.
练习 1. △ABC的顶点是A（0，5）、B（1，-2）、C（-7，4），求BC边上的中线 所在直线的方程．
四、各类方程的适用范围
直线方程名称 点斜式
直线方程形式
y y0 k ( x x0 )
适用范围
3 1
02
(2)A(0，5)，B(5，0)
(3)C(-4，-5)，D(0，0) 方法小结
y 5 x0 05 50
y x 5
5 y x 4
2.2 直线的方程(解析版)
2.2 直线的方程思维导图新课标要求根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。
知识梳理1.直线的点斜式方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程和截距式方程4.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.5.直线的一般式方程6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系3.2.1 直线的点斜式方程名师导学知识点1 求直线的点斜式方程【例1-1】（2019·南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A (－4，3)，斜率k ＝3； (2)经过点B (－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C (－1，2)，且与y 轴平行；(4)过点D (2，1)和E (3，－4)． 【分析】求直线的点斜式方程的思路【解答】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y －3＝3[x －(－4)]．(2)由题意知，直线的斜率k ＝tan 135°＝－1，故所求直线的方程为y －4＝－(x ＋1)．(3)∵直线与y 轴平行，斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示，由于直线上所有点的横坐标都是－1， 故这条直线的方程为x ＝－1. (4)∵直线过点D (2，1)和E (3，－4)， ∴斜率k ＝－4－13－2＝－5.由点斜式得y －1＝－5(x －2)．【变式训练1-1】（2019·蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2，5)，斜率是4； (2)经过点B (2，3)，倾斜角是45°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．【解析】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y －5＝4(x －2)； (2)∵直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线方程为y －3＝x －2； (3)y ＝－1.知识点2 直线的斜截式方程【例2-1】（2019·菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3.【分析】直线的斜截式方程的求解策略：(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y 轴上的截距，代入方程即可． (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．【解答】 (1)由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y ＝2x ＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33. 由斜截式可得方程为y ＝－33x －2. (3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k ＝tan 60°＝ 3. ∵直线与y 轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3. ∴所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.【变式训练2-1】（2020·宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2.【解析】 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y ＝3x －3. (2)∵k ＝tan 60°＝3，∴y ＝3x ＋5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2， ∴直线过点(4，0)和(0，－2)． ∴k ＝－2－00－4＝12，∴y ＝12x －2.知识点3 点斜式、斜截式方程的综合应用【例3-1】（2020春·新华区校级期末）(1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？【分析】在解决有关直线位置关系的问题时，常常用到数形结合思想和待定系数法．数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法．而待定系数法是解析几何中求直线方程或其他曲线方程的重要方法．【解答】(1)∵l 1∥l 2，∴a 2－2＝－1， 又2a ≠2，解得a ＝－1.(2)∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.【变式训练3-1】（2020·黄冈期末）求证：不论m 为何值，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限． 【证明】 法一 直线l 的方程可化为y －3＝(m －1)(x ＋2)， ∴直线l 过定点(－2，3)，由于点(－2，3)在第二象限，故直线l 总过第二象限． 法二 直线l 的方程可化为m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. ∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2，3)． ∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．【变式训练3-2】（2020春·赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5?【解析】 假设存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5.由题意可知，直线l 的斜率一定存在且不为零，设直线的斜率为k (k ≠0)，则直线方程为y ＋4＝k (x ＋5)，则分别令y ＝0，x ＝0，可得直线l 与x 轴的交点为(－5k ＋4k ，0)，与y 轴的交点为(0，5k －4)．因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，所以12|－5k ＋4k |·|5k －4|＝5，所以－5k ＋4k ·(5k －4)＝±10，即25k 2－30k ＋16＝0(无解)或25k 2－50k ＋16＝0，所以k ＝85或k ＝25，所以存在直线l 满足题意，直线l 的方程为y ＋4＝85(x ＋5)或y ＋4＝25(x ＋5).名师导练A 组-[应知应会]1．（2020春·宣城期末）过点()3,2，斜率是23的直线方程是（ ） A ．243y x =+ B ．223y x =+ C ．230x y -=D ．320x y -=【答案】C【解析】∵直线过点()3,2且斜率为23， 由直线方程的点斜式得：22(3)3y x -=-， 整理得：230x y -=. 故选C.2．（2020春·绵阳期末）已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B 直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 【答案】C【解析】方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.选C. 3．（2020春·上饶期末）直线y ＝3(x －3)的斜率与在y 轴上的截距分别是( ) A ．3，3 B ．3，－3 C ．3，3 D ．－3，－3 【答案】B【解析】由直线方程知直线斜率为3，令x ＝0可得在y 轴上的截距为y ＝－3.故选B. 4．（2020春·通州区期末）直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0【答案】 B【解析】 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.5．（2020春·龙凤区校级期末）过点()2,0且与直线25y x =+垂直的直线l 的方程是（ ）A ．24y x =-B ．24y x =-+C ．112y x =- D ．112y x =-+ 【答案】D【解析】因为所求直线与直线25y x =+垂直，所以其斜率为12k =-， 又所求直线过点()2,0， 因此，所求直线方程为：()122y x =--，即112y x =-+. 故选D.6．（2020春·南关区校级期末）已知直线l 过点()2,0，且与直线21y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．24y x =-+D ．24y x =--【答案】C 【解析】直线l 与直线21y x =-+平行，∴直线l 的斜率与21y x =-+的斜率相等，即直线l 的斜率：2k =-；又直线l 过点()2,0，则由点斜式可知直线方程为()022y x -=-- 整理可得：24y x =-+ 故选C.7．（2020春·兴庆区校级期末）直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是________． 【答案】 －5【解析】 ∵令x ＝0，则y ＝－5， ∴直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是－5.8．（2020春·无锡期末）在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________． 【答案】 y ＝3x －6或y ＝－3x －6【解析】 与y 轴相交成30°角的直线方程的斜率为： k ＝tan 60°＝3，或k ＝tan 120°＝－3，∴y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是：y ＝3x －6或y ＝－3x －6.9．（2020春·金牛区校级期末）与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________． 【答案】 y ＝34x －3【解析】 根据题意知直线l 的斜率k ＝34，故直线l 1的斜率k 1＝34.设直线l 1的方程为y ＝34x ＋b ，则令y ＝0，得它在x 轴上的截距a ＝－43b .∵a ＋b ＝－43b ＋b ＝－13b ＝1，∴b ＝－3.∴直线l 1的方程为y ＝34x －3.10．（2020春·南岗区校级期末）斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．【答案】 y ＝34x ±3【解析】 设所求直线方程为y ＝34x ＋b ，令y ＝0得x ＝－4b3.由题意得：|b |＋⎪⎪⎪⎪－43b ＋b 2＋16b 29＝12， 即|b |＋43|b |＋53|b |＝12，即4|b |＝12，∴b ＝±3， ∴所求直线方程为y ＝34x ±3.11．（2020春·金华校级月考）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线的倾斜角为45°且在y 轴上的截距是2； (2)直线过点A (3，1)且在y 轴上的截距是－1.【解析】 (1)斜率k ＝tan 45°＝1，可得斜截式：y ＝x ＋2. (2)k ＝－1－10－3＝23，可得斜截式方程：y ＝23x －1.12．（2020春·洛龙区校级期末）(1)求经过点(1，1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的点斜式方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的斜截式方程． 【解析】 (1)∵所求直线与直线y ＝2x ＋7平行， ∴所求直线斜率为2， 由点斜式方程可得 y －1＝2(x －1)．(2)∵所求直线与直线y ＝3x －5垂直， ∴所求直线的斜率为－13，由点斜式方程得：y ＋2＝－13(x ＋2)，即y ＝－13x －83.故所求的直线方程为y ＝－13x －83.B 组-[素养提升]1．（2020春·诸暨市校级期中）已知三角形的顶点坐标是A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，试求这个三角形的三条边所在直线的斜截式方程．【解析】 直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－（－5）＝－38，又过点A (－5，0)，∴直线AB 的点斜式方程为y ＝－38(x＋5)，即所求边AB 所在直线的斜截式方程为y ＝－38x －158.同理，直线BC 的方程为y －2＝－53x ，即y ＝－53x ＋2.直线AC 的方程为y －2＝25x ，即y ＝25x ＋2.∴边AB ，BC ，AC 所在直线的斜截式方程分别为y ＝ －38x －158，y ＝－53x ＋2，y ＝25x ＋2. 3.2.2 直线的两点式方程名师导学知识点1 直线的两点式方程【例1-1】（2020春·武侯区校级期末）已知三角形的顶点是A (1，3)，B (－2，－1)，C (1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程．【分析】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 【解答】直线AB 过A (1，3)，B (－2，－1)，其两点式方程为y －3－1－3＝x －1－2－1，整理，得4x －3y ＋5＝0，这就是直线AB 的方程．直线AC 垂直于x 轴，其方程为x ＝1.直线BC 平行于x 轴，其方程为y ＝－1.【变式训练1-1】（2020·开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为 ( ) A ．2x －y －1＝0 B ．x －2y ＋3＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 【答案】C【解析】∵直线过两点(1，1)和(2，－1)，∴直线的两点式方程为y －（－1）1－（－1）＝x －21－2，整理得2x ＋y －3＝0，故选C.知识点2 直线的截距式方程【例2-1】（2020·诸暨市校级期中）求过点A (3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程． 【分析】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况． 【解答】(1)当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y－a ＝1.又l 过点A (3，4)，所以3a ＋4－a ＝1，解得a ＝－1.所以直线l 的方程为x －1＋y1＝1，即x －y ＋1＝0.(2)当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l 过原点时，设直线l 的方程为y ＝kx ，因为l 过点A (3，4)，所以4＝k ·3，解得k ＝43，直线l 的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.综上，直线l 的方程为x －y ＋1＝0或4x －3y ＝0.【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 【解析】(1)当截距不为0时，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，又知l 过(3，4)，∴3a ＋4a ＝1，解得a ＝7， ∴直线l 的方程为x ＋y －7＝0.(2)当截距为0时，直线方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －7＝0或4x －3y ＝0.知识点3 直线的综合应用【例3-1】（2020春·沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【分析】(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 【解答】如图，过B (3，－3)，C (0，2)的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0，整理得5x ＋3y －6＝0.这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为(3＋02，－3＋22)，即(32，－12)．过A (－5，0)，M (32，－12)的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 这就是BC 边上中线所在直线的方程．【变式训练3-1】（2020春·天心区校级期末）求过点A (4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程．【解析】当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意． 此时，直线的斜率为12，所以直线l 的方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.又因为过点A ，所以4a ＋2b ＝1. ①因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， 所以|a |＝|b |. ② 由①②联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x 2＋y－2＝1，化简得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2， 即直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x －y －2＝0，综上，直线l 的方程为x －2y ＝0或x ＋y －6＝0或x －y －2＝0.名师导练A 组-[应知应会]1．（2020春·锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为 ( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2【解析】 代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.【答案】 A2．（2020·红桥区期中）经过P (4，0)，Q (0，－3)两点的直线方程是 ( ) A.x 4＋y3＝1 B.x 3＋y 4＝1 C.x 4－y3＝1D.x 3－y 4＝1【解析】 由P ，Q 两点坐标知直线在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为x 4＋y －3＝1，即x4－y3＝1. 【答案】 C3．（2020春·江宁区校级月考）过点P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有 ( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】 当直线过原点时显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，把点P (4，－3)代入方程得a ＝1.因而所求直线有2条． 【答案】 B4．（2020春·临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为 ( ) A ．5x ＋3y －25＝0 B ．5x －3y －25＝0 C ．3x －5y －25＝0D ．5x －3y ＋25＝0【解析】 经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为： y －0－5－0＝x －52－5，整理，得5x －3y －25＝0. 故选B. 【答案】 B5．（2020春·朝阳区校级月考）已知直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( ) A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1【解析】 显然a ≠0.把直线l ：ax ＋y －2＝0化为x 2a ＋y2＝1.∵直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等， ∴2a ＝2，解得a ＝1，故选A. 【答案】 A6．（2019·庐江县校级期末）点M (4，m )关于点N (n ，－3)的对称点为P (6，－9)，则 ( ) A ．m ＝－3，n ＝10 B ．m ＝3，n ＝10 C ．m ＝－3，n ＝5D ．m ＝3，n ＝5【解析】 ∵M (4，m )关于点N (n ，－3)的对称点为P (6，－9)，∴4＋62＝n ，m －92＝－3；∴n ＝5，m ＝3，故选D. 【答案】 D7．（2020春·海淀区校级期末）已知A (2，－1)，B (6，1)，则在y 轴上的截距是－3，且经过线段AB 中点的直线方程为________．【解析】 由于A (2，－1)，B (6，1)，故线段AB 中点的坐标为(4，0)， 又直线在y 轴上的截距是－3，∴直线方程为x 4－y3＝1，即3x －4y －12＝0.【答案】 3x －4y －12＝08．（2020春·红岗区校级期末）过点P (3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________． 【解析】 当直线过原点时，斜率等于2－03－0＝23，故直线的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＋m ＝0，把P (3，2)代入直线的方程得m ＝－5， 故求得的直线方程为x ＋y －5＝0，综上，满足条件的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 【答案】 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝09．（2020春·兴庆区校级期末）求经过点A (－2，3)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．【解】 (1)当横截距、纵截距都是零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－2，3)代入y ＝kx 中，得k ＝－32，此时，直线方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.(2)当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程式为x 2a ＋ya＝1，将(－2，3)代入所设方程，解得a ＝2，此时，直线方程为x ＋2y －4＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y －4＝0或3x ＋2y ＝0.10．（2020春·城关区校级期末）求经过点A (－2，3)，B (4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．【解】 过A ，B 两点的直线的两点式方程是y ＋13＋1＝x －4－2－4.点斜式为：y ＋1＝－23(x －4)，斜截式为：y ＝－23x ＋53，截距式为：x 52＋y53＝1.B 组-[素养提升]1．（2020春·鼓楼区校级期末）两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1.假定l 1的位置，判断a ，b 的正负，从而确定l 2的位置，知A 项符合． 【答案】 A2.（2020春·秦州区校级期末）直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【解析】 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B (3，0)时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C (－3，0)时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.【答案】 D3．（2020春·金湖县校级期中）垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．【解析】 设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3，－d 4，∴6＝12×|－d 3|×|－d 4|＝d 224，∴d ＝±12，则直线在x 轴上的截距为3或－3.【答案】 3或－34．（2020春·启东市校级月考）已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 【解析】 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取得最大值3. 【答案】 35．（2019秋·杨浦区校级期末）在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程． 【解】 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0－22，BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎫x 0＋72，y 0＋32.因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.所以C (－5，－3)． (2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1，0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.3.2.3 直线的一般式方程名师导学知识点1 直线的一般式方程与其他形式的转化【例1-1】（2020·水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A.3B ．－5C.95D ．－33【分析】(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋CB ＝0，只需确定A B ，CB的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．【解答】(1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项．又y ＝－43x ＋14过点(0，14)即直线过第一象限，所以只有B 项满足要求． (2)令y ＝0，则x ＝－3 3.【变式训练1-1】（2020·包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A (5，3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (4)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.【解析】(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y －3＝3(x －5)，化为一般式为：3x －y ＋3－53＝0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为：y ＝4x －2， 化为一般式为：4x －y －2＝0.(3)由两点式方程可知，所求直线方程为：y －5－1－5＝x －（－1）2－（－1）.化为一般式方程为：2x ＋y －3＝0.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为x －3＋y－1＝1，化成一般式方程为：x ＋3y ＋3＝0.知识点2 直线的一般式方程的应用【例2-1】（2019·上虞区期末）(1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________．(2)已知方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1表示直线．当m ＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m ＝____________时，直线在x 轴上的截距为1.【解析】(1)若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，方程表示一条直线． (2)因为已知直线的倾斜角为45°， 所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－（m 2－m ）， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.因为已知直线在x 轴上的截距为1， 令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.【例2-2】（2020·柳南区校级期末）已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)过点(－1，3)，且与l 垂直． 【解析】l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.法一 (1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1，3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1，3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1，3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1，3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.【变式训练2-1】（2020·佛山校级月考）已知直线l 经过点P (2，1)，且与直线2x －y ＋2＝0平行，那么直线l 的方程是( ) A ．2x －y －3＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x －y －4＝0D ．x －2y －4＝0【解析】 由题意可设所求的方程为2x －y ＋c ＝0(c ≠2)， 代入已知点(2，1)，可得4－1＋c ＝0，即c ＝－3， 故所求直线的方程为：2x －y －3＝0，故选A. 【答案】 A【变式训练2-2】（2020·西湖区校级月考）设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________．【解析】 直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0，分别化为：y ＝－a ＋13x －23，y ＝－12x －12.若l 1∥l 2，则－a ＋13＝－12，解得a ＝12.若l 1⊥l 2，则－a ＋13×(－12)＝－1，解得a ＝－7.【答案】 12 －7名师导练A 组-[应知应会]1．（2020·芜湖校级月考）已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【解析】 由题意可把ax ＋by ＝c 化为y ＝－a b x ＋cb.∵ab <0，bc ＜0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限． 【答案】 C2．（2019·南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0【解析】 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1，0)．故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.【答案】 A3．（2020春·辽源期末）若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A ．－1B ．1C.12D ．－12【解析】 由两直线垂直，得1×2＋(－2)m ＝0，解得m ＝1. 【答案】 B4．（2020·宜兴县校级期中）直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )【解析】 将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C. 【答案】 C5．（2019秋·城关区校级期末）直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2C ．－3D ．3 【解析】∵直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，当m 2＝4时，与题意不符，∴2m 2－5m ＋2m 2－4＝tan 45°＝1，解得m ＝3或m ＝2(舍去)． 故选D.【答案】 D6．（2020·金凤区校级期末）若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于________．【解析】 ∵直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0分别化为y ＝－a 2x －12，y ＝－x ＋2， 则－a 2＝－1， 解得a ＝2.【答案】 27．（2020春·越秀区校级期末）已知过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0互相垂直，则m ＝________．【解析】 因为两条直线垂直，直线2x ＋y －1＝0的斜率为－2，所以过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线的斜率4－m m ＋2＝－12，解得m ＝2. 【答案】 28．（2020春·凯里市校级期末）已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2，3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．【解析】 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求．【答案】 2x ＋3y ＋4＝09．（2020春·和平区校级期中）若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线．(1)求实数m 需满足的条件；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．【解】 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2≠0，m －2≠0，解得m ≠2. (2)由题意知，m ≠2，由－m 2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0. 10．（2020·如东县期中）(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？【解】 法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.B 组-[素养提升]1．（2020·昌江区校级期末）若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3能构成三角形，则a 满足的条件是________．【解析】 由直线x ＋y ＝0与x －y ＝0都过(0，0)点，而x ＋ay ＝3不过(0，0)点，故只需满足x ＋ay ＝3不与x ＋y ＝0与x －y ＝0平行即可，故a ≠±1.【答案】 a ≠±12．（2020·河南校级月考）已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．(1)【证明】 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．(2)【解】 当a ＝0时，直线l 的方程为5y －3＝0，不符合题意，故要使l 不经过第二象限，需a >0且l 在y 轴上的截距不大于零，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a －35≤0，∴a ≥3. 3．（2019·镜湖区校级期中）已知平面内两点A (8，－6)，B (2，2)．(1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程；(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．【解】 (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2， 所以AB 的中点坐标为(5，－2)．因为k AB ＝－6－28－2＝－43， 所以AB 的中垂线的斜率为34， 故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5) 即3x －4y －23＝0.(2)由(1)知k AB ＝－43， 所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)， 即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2，2)关于直线l 的对称点为B ′(m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－145，n ＝－85， 所以B ′(－145，－85)，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127，所以反射光线所在直线方程为y＋6＝－1127(x－8)．即11x＋27y＋74＝0.。
关于直线与直线对称的直线的求法
关于直线与直线对称的直线的求法
直线与直线对称的直线是指两条直线，它们之间存在着对称关系，即它们的斜率相反，且它们的距离相等。
求出这样的直线，可以采用以下步骤：
首先，确定原直线的斜率。
如果原直线的斜率为k，则对称直
线的斜率为-1/k。
其次，确定原直线的一个点，如A(x1,y1)，则对称直线的一个点为A'(x2,y2)，其中x2=2x1-x1，y2=2y1-y1。
最后，根据斜率和点的坐标，可以求出对称直线的方程式。
如果原直线的方程式为y=kx+b，则对称直线的方程式为y=-
1/kx+2b-y1。
以上就是求出直线与直线对称的直线的方法。
在实际应用中，我们可以根据这种方法，求出任意两条直线之间的对称关系，从而解决一些实际问题。
二元一次方程式与直线斜率的关系
相容方程組－有一組解
方程組
a1x a2 x
b1
y
c1
0，m1
a1 b1
b2
y
c2
0，m2
由斜率定義知：
m
y x
y0 x0
y – y0 = m (x – x0)
稱為直線L的點斜式
兩點式
已知 (x1,y1)、(x2,y2) 為平面上相異兩點，若
x1≠x2 ，則由此兩點所決定的直線方程式L
為 y–y1=
y2 x2
y1 x1
(
x–x1)
稱為直線L的兩點式
斜截式
設直線L的斜率為m，且y截距為b，即L通過 (0,b)，由點斜式得 y – b = m (x – 0) y = mx + b 稱為直線L的斜截式
二元一次方程式與直線斜率的關係
設直線L：ax + by + c = 0 ( a2 + b2≠0 ) 1.若b = 0 L：x = – c 垂直x軸，斜率不存在
a
2.若a = 0 L：y = – c 垂直y軸，斜率m = 0
b
3.若ab≠0
L的斜率m = –
a b
求平行線或垂直線的方法
若 a1 b1 c1，方程組稱為矛盾方程組，
a2 b2 c2
m1=m2，兩直線平行，無解
相依方程組－有無限多組解
一次函数图象斜线求法
一次函数图象斜线求法
1、斜截式：y=kx+b,例子：直线斜率为2,y轴上截距为2,则直线方程为y=2x+2
2、点斜式：y-a=k(x-b),例子：已知直线过点（1,1）,且斜率为1,则直线方程为y-1=1(x-1)
3、两点式：(y-y1)(x-x2)=(y-y2)(x-x1),例子：已知直线过点（1,1）,（2,3）,则直线方程为(y-1)(x-2)=(y-3)(x-1)
4、截距式：x/a+y/b=1（其中a,b分别为该直线在x轴和y轴上的截距）,例子：已知直线在x轴、y轴上的截距分别为1,2,则有直线方程为x/1+y/2=1
斜率
斜率表示直线倾斜程度
1、对于一次函数y=kx+b，（斜截式）k即该函数图像的斜率，|k|=tan a
2、a为倾斜角当a为90°时直线没有斜率。
3、|k|=tanα=（y2-y1）/（x2-x1）
4、当直线L的斜率存在时，斜截式y=kx+b当k=0时y=b
5、当直线L的斜率存在时，点斜式y2—y1=k(X2—X1），
6、当直线L在两坐标轴上存在非零截距时，有截距式X/a+y/b=1
7、对于任意函数上任意一点，其斜率等于其切线与x轴正方向的夹角，即tanα
8、计算：ax+by+c=0中，k=-a/b.
9、直线斜率公式:k=(y2-y1)/(x2-x1)
10、两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1：k1*k2=-1。
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第 1 章 直線方程式
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07
老師講解 求下列各直線的斜率： (1) 2 y + 5 x − 3 = 0 (2) 7 x + 1 = 0
學生練習
求下列各直線的斜率： (1) 3x − 4 y + 5 = 0 (2) 8 y − 6 = 0
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老師講解 (1) 過點 ( −2,1) 且和 L 平行 (2) 過點 ( −2,1) 且和 L 垂直
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老師講解
學生練習
02
若三點 A (1, −1) 、 B ( 3,3) 、 C ( k , k + 1) 在同一直 若 A ( k − 2, −5 ) 、 B ( 3, 2 ) 、 C ( −6, 4 ) 三點無法構 線上，則 k = ？ 成一個三角形，則 k = ？
第 1 章 直線方程式
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學生練習
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求下列各直線方程式 設直線 L : 4x + 3 y − 1 = 0，求下列各直線方程式 設直線 L : 3x − 2 y − 5 = 0， (1) 過點 (1,4 ) 且和 L 平行 (2) 過點 (1,4 ) 且和 L 垂直
第 1 章 直線方程式
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1-4 直線的斜率與方程式
重點整理
1. 斜率的定義：設 A ( x 1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 為平面上相異二點，直線 AB 的斜率 m= y1 − y2 y2 − y1 = 。 x1 − x2 x2 − x1
(1)
(2)
(3)
∴ y1 = y2
(4)
4.
直線的截距： (1) 平面上，一直線 L • 若和 x 軸只交於一點 ( a, 0 ) ，則稱 L 的 x 截距為 a 。 ‚ 若和 y 軸只交於一點 ( 0, b ) ，則稱 L 的 y 截距為 b 。
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，則 L 的方程式為 (2) 斜截式：設平面上一直線 L 的 y 截距 b 、斜率 m （ m 存在） y = mx + b 。 (3) 截距式：設平面上一直線 L 的 x 截距 a 、 y 截距 b （ a ≠ 0 ， b ≠ 0 ） ，則 L 的方程式為 x y + = 1。 a b 二元一次方程組的解之幾何意義 a x + b1 y + c1 = 0 方程組 1 a2 x + b2 y + c2 = 0 a1 b1 ≠ a2 b2 相容方程組 恰有一組解 二直線交於一點 a1 b1 c1 = = a2 b2 c2 相依方程組 無限多組解 二直線重合 a1 b1 c1 = ≠ a2 b2 c2 矛盾方程組 無解 二直線平行
3.
直線方程式： (1) 平面上，設直線 L 的斜率為 m ，且過一點 ( x0 , y0 ) ，則 L 的方程式為 • m 存在： y − y0 = m ( x − x0 ) ［點斜式］ 。 ‚ m 不存在： x = x0 。 (2) 平面上，設相異兩點 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ，則直線 AB 的方程式為 • x1 ≠ x2 ： y − y1 = ‚ x1 = x2 ： x = x1 。 (3) 平面上，設直線 L 的方程式為 ax + by + c = 0 ，斜率為 m ，則 a • b ≠ 0 ：m = − 。 ‚ b = 0 ： m 不存在。 b (4) 直線 L : ax + by + c = 0 （ a ≠ 0 ， b ≠ 0 ）可設 • 和 L 平行的直線為 ax + by + k = 0 。 ‚ 和 L 垂直的直線為 bx − ay + k = 0 。 y1 − y2 。 ( x − x1 ) ［兩點式］ x1 − x2
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老師講解 求下列各直線方程式： (1) 過點 ( 3,1) ，斜率為 −2 。 (2) 過點 (1, −4 ) ，斜率為 0 。
學生練習
04
求下列各直線方程式： 2 (1) 過點 ( −3,5 ) ，斜率為 。 3 (2) 過點 ( 5,3) ，斜率不存在。
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05 老師講解 求下列各直線方程式： (1) 經過 ( 5, − 2 ) 與 ( 7,3) 二點 (2) 經過 ( 3, −4 ) 與 ( 3, 2 ) 二點 學生練習 05 求下列各直線方程式： (1) 經過 ( 2,3) 與 ( 3, −5 ) 二點 (2) 經過 ( −1, 6 ) 與 ( 3, 6 ) 二點
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老師講解Βιβλιοθήκη 學生練習設 A (1, −2 ) 、 B ( −3, 4 ) 、 C ( −2, −1) 、 D ( 4, k ) 四 設 A ( 2,1) 、 B ( 6, k ) 、 C ( t ,3) 、 D ( 4, 5) 四點， 點 (1) 若 AB // CD ，則 k = ？ (2) 若 AB ⊥ CD ，則 k = ？ 若 AB // AD 且 AC ⊥ AD ，求 k 和 t 各為何。
∴ x1 = x2
由左下往右上傾斜
由左上往右下傾斜
水平線 （平行 x 軸）
鉛直線 （垂直 x 軸）
m>0
m<0
m=0
m 不存在
2.
平行線與垂直線的斜率：平面上，設二相異直線 L1 、 L2 的斜率分別為 m1 、 m2 (1) 若 L1 // L2 ， 則 • m1 、 m2 均存在： m1 = m2 。 ‚ m1 不存在， m2 亦不存在。 (2) 若 L1 ⊥ L2 ，則 • m1 、 m2 均存在且 m1 、 m2 ≠ 0 ： m1 × m2 = −1 。 ‚ m1 不存在： m2 = 0 。 ƒ m2 不存在： m1 = 0 。
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老師講解
學生練習
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設 A (1, 2 ) 、 B ( −1, 0 ) 、 C ( 2,1) 三點，求下列各 設 A ( −1, −2 ) 、 B ( −2, 4 ) 、 C ( −4, 3) 三點，求下 直線方程式： (1) 過 A 且和 BC 平行 (2) 過 A 且和 BC 垂直 列各直線方程式： (1) 過 C 且和 AB 平行 (2) 過 C 且和 AB 垂直
5.
名稱 解的個數 幾何意義
基本練習題
01 老師講解 求通過下列各點之直線斜率： (1) (2) 學生練習 01
求通過下列各點之直線斜率： (1) (2)
( 6,3) 與 ( −1, −2 ) ( −5, 6 ) 與 ( −5, −1)
( −1, 0 ) 與 ( 2, −6 ) ( 3, 4 ) 與 ( −2, 4 )