新课标人教A版选修4-4第一讲极坐标系课时作业

选修4-4 极坐标系课时作业

一、选择题

1．在极坐标系中，点M (－2，π6

)的位置，可按如下规则确定( ) A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6

，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6

OP 上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使∠xOP ＝

7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2 D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6

，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 解析：当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点．

答案：B

2．在极坐标平面内，点M (π3，200π)，N (－π3，201π)，G (－π3，－200π)，H (2π＋π3

，200π)中互相重合的两个点是( )

A ．M 和N

B ．M 和G

C ．M 和H

D ．N 和H

解析：由极坐标定义可知，M 、N 表示同一个点．

答案：A

3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )

A ．关于极轴所在直线对称

B ．关于极点对称

C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称

D ．两点重合

解析：因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．

答案：A

4．已知极坐标平面内的点P (2，－

5π3

)，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )

A ．(2，π3)，(1，3)

B ．(2，－π3)，(1，－3)

C ．(2，2π3)，(－1，3)

D ．(2，－2π3

)，(－1，－3) 解析：点P (2，－5π3)关于极点的对称点为(2，－5π3

＋π)， 即(2，－2π3)，且x ＝2cos (－2π3)＝－2cos π3

＝－1， y ＝2sin (－2π3

＝－2sin π3＝－ 3. 答案：D

二、填空题

5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．

解析：点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )，依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2.

∴y ＝θ＝0，ρ>0，∴M (ρ，0)．

答案：(ρ，0)

6．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M (3，π3

)，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．

解析：如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π

3

，在直线OM 上取点P 、Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3

，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.

答案：(7，π3)或(1，4π3

) 7．直线l 过点A (3，π3)，B (3，π6

)，则直线l 与极轴夹角等于________． 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是

个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．

因为|AO |＝|BO |＝3，

∠AOB ＝π3－π6＝π6

， 所以∠OAB ＝π－

π62＝5π12. 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4

. 答案：π4

8．已知点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2

<θ<π，则点M 的直角坐标为________． 解析：∵tan θ＝－43，π2

<θ<π， ∴cos θ＝－35sin θ＝45

∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4.

∴点M 的直角坐标为(－3,4)．

答案：(－3,4)

三、解答题

9．设点A (1，π3

)，直线L 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A 关于极轴，直线L ，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)

解：如图所示：关于极轴的对称点为

B (1，－π3

) 关于直线L 的对称点为C (1，2π3

)． 关于极点O 的对称点为D (1，－2π3

)． 10．已知点P 的直角坐标按伸缩变换îíì

x ′＝2x y ′＝3y

变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ≤2π时，求点P 的极坐标．

解：设点P 的直角坐标为(x ，y )， 由题意得îíì 6＝2x －3＝3y ，解得î

íì x ＝3，y ＝－ 3. ∴点P 的直角坐标为(3，－3)．

ρ＝32＋(－3)2＝23，tan θ＝－33

， ∵0≤θ<2π，点P 在第四象限，∴θ＝

11π6. ∴点P 的极坐标为(23，11π6

)． 11．(创新预测题)在极轴上求与点A (42，π4

)的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r,0)，

因为A (42，π4

)，

所以(42)2＋r2－82r·cos π

4 5.

即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7. 所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．