新课标人教A版选修4-4第一讲极坐标系课时作业
高中数学 第1讲 坐标系 1 平面直角坐标系课后练习 新人教A版选修4-4(2021年整理)
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人教A版选修4—4一、选择题（每小题5分，共20分）1．点P(2，3）关于y轴的对称点是( )A．（2,3) B．(－2,3）C．（2，－3) D．(－2，－3）解析：点（x，y)关于y轴的对称点坐标为（－x，y）．所以点（2,3)关于y轴的对称点坐标是(－2，3)．答案: B2．在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换｛x′＝5·x，y′＝3·y后,曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝1，则曲线C的方程为（)A．50x2＋72y2＝1 B．9x2＋100y2＝1C．10x2＋24y2＝1 D．错误!x2＋错误!y2＝1解析: 将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．将错误!直接代入2x′2＋8y′2＝1,得2·（5x)2＋8(3y)2＝1，则50x2＋72y2＝1即为所求曲线C的方程．答案: A3．将曲线C按伸缩变换公式错误!变换得曲线方程为x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为( )A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．4x2＋9y2＝36 D．4x2＋9y2＝1解析：将x′＝2x，y′＝3y代入方程x′2＋y′2＝1得（2x）2＋（3y)2＝1，即4x2＋9y2＝1.故选D．答案：D4．将曲线F（x，y）＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的错误!,得到的曲线方程为（)A．F错误!＝0 B．F错误!＝0C．F错误!＝0 D．F错误!＝0解析: 由横坐标伸长到原来的2倍知x′＝错误!，纵坐标缩短到原来的错误!知y′＝3y。
高中数学第一章坐标系1.2.1极坐标系的概念课时提升作业含解析新人教A版选修4_4
极坐标系的概念课时提升作业一、选择题(每小题6分,共18分)1.在极坐标系中,下面点与M相同的点为( )A. B.C. D.【解析】选D.由于相同的点必须满足极径相等,极角的终边相同,且与的终边相同,所以选D.2.极坐标系中,极坐标对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为极坐标对应的点的极径大于0,极角的终边在平面直角坐标系中第三象限,所以点在第三象限.【补偿训练】在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系.若点P的直角坐标与其极坐标在数值上相同,则点P在( ) A.x轴上 B.y轴上C.射线Ox上D.射线Oy上【解析】选C.Ox轴上点的直角坐标为(x′,0)(x′≥0)与其极坐标在数值上相同.3.(2016·合肥高二检测)在极坐标系中,已知点A(4,1),B,则线段AB的长度是( )A.1B.C.7D.5【解析】选D.设极点为O.因为点A(4,1),B.所以OA⊥OB,所以AB==5.二、填空题(每小题6分,共12分)4.在极坐标系中,若两点A,B的极坐标分别为,,则△AOB(其中O为极点)的面积为_____________.【解析】由题意,∠AOB=,AO=3,OB=4,所以△AOB(其中O为极点)的面积为×3×4×sin=3.答案:35.已知在极坐标系中,极点为O,0≤θ<2π,M,在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________.【解析】在射线OM上符合条件的点为,在射线OM反向延长线上符合条件的点为.答案:或【误区警示】解析中易出现漏掉的错误,应对点M的位置全面考虑.三、解答题(每小题10分,共30分)。
高中数学第一讲极坐标系与平面直角坐标系的互化同步测试新人教A版选修4-4
极坐标系与平面直角坐标系的互化典题探究例1 将点M 的极坐标2(5,)3π化成直角坐标.例2将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标.例3在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离。
例4已知,,A B C 三点的极坐标分别是52(2,),(6,),(4,6123πππ）,求ABC ∆的面积.演练方阵A 档（巩固专练）1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 2．点M 的极坐标是(2，3π)，则M 的直角坐标为（ ） A ．(1，3) B ．(−3，1) C ．(3，1) D ．(−1，3) 3．极坐标方程 cos ＝sin2( ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆 B ．两条射线或一个圆 C ．两条直线D ．一条射线或一个圆4．极坐标方程θρcos ＋12＝ 化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1) B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )5.点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为 . 6 化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .7.将下列各点的极坐标化成直角坐标:3(3,),(4,).42A B ππ--8.将下列各点的直角坐标化成极坐标:(4,43),(1,1).C D ---9.在极坐标系中,求下列两点之间的距离： (1)5(7,),(2,)44A B ππ； (2)11(6,),(4,)412A B ππ-.10.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，将下列直角坐标方程（极坐标方程）转化为极坐标方程（直角坐标方程）.（1）cos sin 0x y αα-=；（2）24cos52θρ=.B 档（提升精练）1．点P 在曲线 cos ＋2 sin ＝3上，其中0≤≤4π，＞0，则点P 的轨迹是( )．A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ． 圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段2．设点P 在曲线 sin＝2上，点Q 在曲线＝－2cos上，则|PQ |的最小值为 ( )．A ．2B ．1C ．3D ．0 3．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ． 圆4．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ＝3截得的弦长为( )．A ．22B ．2C ．52D ．325 直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________6.极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是 。
选修4-4 第1讲 坐标系 配套课时作业
配套课时作业1．(2019·深圳模拟)圆心C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，且圆C 经过极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)求过圆心C 和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．解 (1)圆心C 的直角坐标为(2，2)，则设圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝r 2，依题意可知r 2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ·(sin θ＋cos θ)＝0，即ρ＝22(sin θ＋cos θ)．(2)在圆C 的直角坐标方程x 2＋y 2－22(x ＋y )＝0中，令y ＝0，得x 2－22x ＝0，解得x ＝0或22，于是得到圆C 与x 轴的交点坐标(0,0)，(22，0)，由于直线过圆心C (2，2)和点(22，0)，则该直线的直角坐标方程为y －0＝2－02－22(x －22)，即x ＋y －22＝0.化为极坐标方程得ρcos θ＋ρsin θ－22＝0.2．(2019·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝33x ，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP |·|OQ |的值． 解 (1)曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4， 即x 2＋y 2－23x －4y ＋3＝0，则曲线C 1的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0. ∵直线C 2的方程为y ＝33x ，∴直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． (2)设P (ρ1，θ1)，Q (ρ2，θ2)，将θ＝π6(ρ∈R )代入ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0得，ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP |·|OQ |＝ρ1ρ2＝3.3．(2019·福州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ<π)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程，并求C 1与C 2交点的极坐标；(2)射线θ＝β⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤β≤π3与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (A ，B 异于原点)，求|OA ||OB |的取值范围．解 (1)由题意可得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θ，ρcos 2θ＝sin θ，得4sin θcos 2θ＝sin θ，此时0≤θ<π，①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)；②当sin θ≠0时，cos 2θ＝14，当cos θ＝12时，θ＝π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3， 当cos θ＝－12时，θ＝2π3，ρ＝23， 得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3，∴C 1与C 2交点的极坐标为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3.(2)将θ＝β代入C 1的极坐标方程中，得ρ1＝4sin β， 代入C 2的极坐标方程中，得ρ2＝sin βcos 2β，∴|OA ||OB |＝4sin βsin βcos 2β＝4cos 2β，∵π6≤β≤π3，∴1≤4cos 2β≤3， ∴|OA ||OB |的取值范围为[1,3]．4．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ＝1.(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．解 (1)由ρ2cos2θ＝1，得ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1，化成直角坐标方程为x 2－y 2＝1.(2)解法一：把直线l 的参数方程化为标准参数方程，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12m ，y ＝32m (m 为参数)，①把①代入x 2－y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12m 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32m 2＝1，整理得m 2－4m －6＝0.设其两根为m 1，m 2，则m 1＋m 2＝4，m 1m 2＝－6. 从而弦长为|m 1－m 2|＝(m 1＋m 2)2－4m 1m 2＝42－4×(－6)＝40＝210.解法二：把直线l 的参数方程化为普通方程，得y ＝3(x －2)，代入x 2－y 2＝1，得2x 2－12x ＋13＝0.设直线l 与曲线C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝132， 所以|AB |＝1＋3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝262－26＝210.5．(2019·长春模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值． 解 (1)ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (1，－1)，若直线l 被曲线C 截得的弦长最小，则直线l 与OC 垂直，即k l ·k OC ＝－1，因而k l ＝1，故直线l 的直角坐标方程为y ＝x .(2)因为M 是曲线C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝－1＋2sin φ(φ为参数)，则x ＋y ＝2sin φ＋2cos φ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝1时，x ＋y 取得最大值2 2.6．(2019·兰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2cos θ，射线l ：θ＝α(ρ≥0)，设射线l 与曲线C 1交于点P .(1)求曲线C 1的普通方程；(2)设直线l ′：⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t (t 为参数且t ≠0)与曲线C 2交于点R ，若α＝π3，求△OPR 的面积．解 (1)曲线C 1的普通方程为x 29＋y 23＝1.(2)∵直线l ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝3t (t 为参数且t ≠0)，∴直线l ′的普通方程为y ＝－3x (x ≠0)， 极坐标方程为θ＝－π3(ρ∈R 且ρ≠0)．将直线l ′：θ＝－π3(ρ∈R 且ρ≠0)代入曲线C 2：ρ＝2cos θ中，得ρ＝1，即|OR |＝1.将射线l ：θ＝π3代入曲线C 1：ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ3＝1中，得ρ＝3105，即|OP |＝3105.设△OPR 的面积为S ，则S ＝12|OP ||OR |sin ∠POR ＝12×3105×1×sin 2π3＝33020. 7．(2019·广西模拟)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理，得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.8．(2019·合肥模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0，以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O ) .(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<π2时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围． 解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，∴x 22＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ. ∵x 2＋y 2－2y ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)由(1)得|OA |2＝ρ2＝21＋sin 2α，|OB |2＝ρ2＝4sin 2α， ∴|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2α ＝21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－4，∵0<α<π2，∴1<1＋sin 2α<2， ∴6<21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)<9，∴|OA |2＋|OB |2的取值范围为(2,5)．。
最新整理高中数学人教A版选修4-4课后训练：极坐标系 Word版含解析.doc
二 极坐标系练习1若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )．A ．关于极轴所在的直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．重合2下列的点在极轴上方的是( )．A ．(3,0)B ．(3，76π) C ．(4，74π) D ．(4，174π) 3已知点M 的极坐标为(－5，3π)，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )．A ．(5，3π-)B ．(5，43π)C ．(5，23π-)D ．(－5，53π-) 4点P 的直角坐标为(2,2-)，那么它的极坐标可表示为( )．A ．(2，4π) B ．(2，34π) C ．(2，54π) D ．(2，74π) 5已知两点的极坐标A (3，2π)，B (3，6π)，则|AB |＝________，直线AB 的倾斜角为________．6若A (3，3π)，B (4，6π-)，则|AB |＝__________，S △AOB ＝________.(其中O 是极点) 7极坐标系中，点A 的极坐标是(3，6π)，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ＞0，θ∈[0,2π))8已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)．9某大学校园的部分平面示意图如图用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0))．10在极坐标系中，若A (3，3π)，B (4，76π)，求△ABO (O 为极点)的面积． 参考答案1. 答案：B2. 答案：D 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3,0)在极轴上，点(3，76π)，(4，74π)在极轴下方，点(4，174π)在极轴上方，故选D.3．答案：A 化为直角坐标可知，点M 在第三象限，而选项A 中的点在直角坐标系中的第四象限．4. 答案：D ∵ρ＝22(2)(2)-+＝2，tan θ＝22-＝－1，点P 在第四象限， ∴θ＝74π.∴点P 的极坐标为(2，74π)． 5. 答案：356π根据极坐标的定义可得|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝60°，即△AOB 为等边三角形，所以|AB |＝|AO |＝|BO |＝3，∠ACx ＝56π(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)． 6. 答案：5 67. 答案：(1)(3，116π) (2)(3，76π) (3)(3，56π) 8. 答案：解：由题意知，|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |＝2，∠xOA ＝4π，∠xOB ＝34π，∠xOC ＝54π，∠xOD ＝74π. ∴正方形的顶点的极坐标分别为A (2，4π)，B (2，34π)，C (2，54π)，D (2，74π)．9. 答案：解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝6π，∠OAC ＝2π，得|AC |＝300 m ，|OA |＝3003m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m. 同理，得|OE |＝2|OG |＝3002m ，所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，C (600，6π)，D (300，2π)，E (3002，34π)，F (300，π)，G (1502，34π)． 10. 答案：解：在△ABO 中，|OA |＝3，|OB |＝4，∠AOB ＝75636πππ-=，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12×3×4×sin 56π＝3.。
2018-2019学年高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲 二 极坐标系 Word版含答案
_坐_标_系[对应学生用书P4] 1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 长度，用θ表示射线Ox 到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ，θ)就叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(3)极坐标与直角坐标的区别与联系2．极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)..[对应学生用书P4][例1] 已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标． (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点．[思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义．[解] (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z )．所以，点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z )．(2)由P 、Q 关于直线θ＝π2对称， 得它们的极径|OP |＝|OQ |，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z )， 所以点P 的坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z )．设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．1．在极坐标系中，画出点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4.解：如图所示．2．在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π])．解：作出图形，可知A (3，π6)关于直线θ＝π2的对称点是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.点的极坐标与直角坐标的互化[例2] (1)把点A 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)． [思路点拨] 依据极坐标与直角坐标互化的公式解题． [解] (1)x ＝2cos 7π6＝－3， y ＝2sin 7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－ 3. 又因为点P 在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝5π3. 因此点P 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3.(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．3．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4 解析：点P (－2，2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴夹角为3π4. 答案：B4．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． (1)已知点A 的极坐标(4，5π3)，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)解：(1)∵x ＝ρcos θ＝4·cos 5π3＝2. y ＝ρsin θ＝4sin 5π3＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22， tan θ＝－22＝－1.且点B 位于第四象限内， ∴θ＝7π4，∴点B 的极坐标为(22，7π4)． 又∵x ＝0，y ＜0，∴ρ＝15，θ＝32π. ∴点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，3π2.[对应学生用书P5] 一、选择题1．在极坐标平面内，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－200π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( )A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H解析：由极坐标的定义知，M 、N 表示同一个点． 答案：A2．将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( )A ．(5,53)B ．(53，5)C ．(5,5)D ．(－5，－5)解析：x ＝ρcos θ＝10×cos π3＝5，y ＝ρsin θ＝10sin π3＝5 3. 答案：A3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M (ρ1，θ1)和N (ρ2，θ2)重合的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．答案：A4．已知A ，B 两点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3和⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，则线段AB 中点的直角坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 解析：AB 中点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3，根据互化公式x ＝ρcos θ＝cos 4π3＝－12，y ＝ρsin θ＝sin 4π3＝－32，因此，所求直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.答案：B 二、填空题5．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6关于极点的对称点为________．解析：如图，易知对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π66．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4两点，则|AB |＝________.解析：|AB |＝12＋22－2×1×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝ 5.答案： 57．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3， ∠AOB ＝π3－π6＝π6， 所以∠OAB ＝π－π62＝5π12， 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4. 答案：π4 三、解答题8．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标．解：设M (r,0)， 因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以(42)2＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．9．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π2，求它们的直角坐标．(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53，C ()－2，－23，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫322，－322， B (－1，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，D (0，－4)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3.10．已知定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．解：(1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sin π62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3. ∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3， ∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3. ∴P 点的新坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2. ∴P 点的新坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2.。
高中数学选修4-4(人教A版)第一讲坐标系1.3知识点总结含同步练习及答案
第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程
一、知识清单
极坐标与极坐标方程
二、知识讲解
1.极坐标与极坐标方程 描述： 极坐标系 在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向（通常取 逆时针方向），合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox称为极轴．平面任一点M 的位置可以由 线段OM 的长度ρ 和从Ox到OM 的角度θ 来刻画．这两个数组成的有序对(ρ, θ)称为点M 的极坐 标．ρ 称为极径，θ 称为极角． 在极坐标系(ρ, θ)中，一般限定ρ ≥ 0．当ρ = 0时，就与极点重合，此时θ 不确定．给定点的极坐 标(ρ, θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有 无穷多种表示形式．事实上，(ρ, θ)和(ρ, θ + 2kπ)代表同一个点，其中k 为整数．可见，平面上的 点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处，如果限定ρ ≥ 0， 0 ≤ θ ≤ 2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标系构成一一对应关系． ρ < 0，此时极坐标(ρ, θ)对应的点M 的位置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ 角的射线的反向 延长线上，它到极点O 的距离为|ρ|，即规定当ρ < 0时，点M (ρ, θ)就是点M (−ρ, θ + π)． 极坐标与直角坐标系的关系 设M 为平面上的一点，它的直角坐标系为(x, y)，极坐标为(ρ, θ)．则有{ x = ρ cos θ 或
⎧ ρ2 = x 2 + y 2 ⎨ ⎩ tan θ = y (x ≠ 0) ，ρ < 0也成立． x
y = ρ sin θ
曲线的极坐标方程 在给定的平面上极坐标系下，有一个二元方程F (ρ, θ) = 0．如果曲线C 是由极坐标(ρ, θ)满足方程 的所有点组成的，则称此二元方程F (ρ, θ) = 0为曲线C 的极坐标方程． 圆心(a, 0)在极轴上且过极点的圆，其极坐标方程是ρ = 2a cos θ ；圆心在点(a, 圆，其极坐标方程是ρ = 2a sin θ，0 ≤ θ ≤ π．
高中数学 第一章 坐标系 1.1 平面直角坐标系课时提升作业(含解析)新人教A版选修4-4(202
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平面直角坐标系课时提升作业一、选择题(每小题6分，共18分）1.(2016·泰安高二检测）函数y=xsinx的图象关于( ）A.原点对称 B。
y轴对称C.y=x对称D。
y=-x对称【解析】选B.函数y=xsinx的定义域为R，且为偶函数,所以函数的图象关于y轴对称.2.如图曲线的方程为( ）A.｜x｜+y=1B.x+｜y｜=1C.|x｜—|y|=1D.|x｜+｜y|=1【解析】选D.因为曲线关于坐标轴对称，也关于原点对称，且过点（±1，0）,（0,±1）,故选D。
【补偿训练】如图所示的曲线方程是（)A.｜x｜—y=0B。
x—|y｜=0C。
x-1=｜y|D.|x｜—1=y【解析】选B.由图象知：一个x对应两个y值且y可以为0。
3。
(2016·成都高二检测）在同一坐标系中,将曲线y=3sin2x变为曲线y′=sinx′的伸缩变换是( ）A. B.C.D。
【解析】选B.设P(x,y）为曲线y=3sin2x上任一点，经过伸缩变换得到P′（x′，y′）,将代入y=3sin2x，得y′=3sin x′，所以y′=3μsin x′,由于y′=sinx′，所以所以所以二、填空题（每小题6分，共12分)4.将复数z=1+i(i为虚数单位）对应的向量绕起点逆时针旋转30°所得复数为________。
人教A版选修4-4 第1讲 2 第2课时 极坐标和直角坐标的互化
第2课时极坐标和直角坐标的互化学习目标 1.了解极坐标和直角坐标互化的条件.2.掌握极坐标与直角坐标互化的公式，能进行极坐标和直角坐标间的互化.3.掌握极坐标系的简单应用．知识点极坐标和直角坐标的互化思考1 平面内的一个点M的坐标既可以用直角坐标表示也可以用极坐标表示，那么这两个坐标之间能否转化？答案可以．思考2 要进行极坐标和直角坐标的互化，两个坐标系有什么联系？答案①直角坐标的原点为极点；②x轴的正半轴为极轴；③单位长度相同．梳理互化的条件及互化公式(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式①极坐标化直角坐标：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ.②直角坐标化极坐标：⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tanθ＝yx (x ≠0).类型一 点的极坐标化直角坐标 例1 把下列点的极坐标化为直角坐标． (1)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6；(2)B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4；(3)M ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6.解 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得(1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin 7π6＝－1，∴点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝322，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－322，∴点B 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫322，－322.(3)x ＝6cos 5π6＝－33，y ＝6sin 5π6＝3，∴点M 的直角坐标为(－33，3)．反思与感悟 由极坐标化直角坐标是惟一的．由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ惟一确定．跟踪训练1 已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π2，求它们的直角坐标．解 根据x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ， 得A(－1，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C(0，－4)． 类型二 点的直角坐标化极坐标例2 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)． (1)(－2,23)；(2)(6，－2)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tanθ＝yx ＝－3，θ∈[0,2π)．由于点(－2,23)在第二象限，∴θ＝2π3.∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3.(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22，tanθ＝y x ＝－33，θ∈[0,2π)，由于点(6，－2)在第四象限， ∴θ＝11π6.∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6. (3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tanθ＝y x ＝1，θ∈[0,2π)．由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4. ∴点的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.引申探究1．若规定θ∈R ，上述点的极坐标还惟一吗？解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3＋2kπ(k ∈Z)．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6＋2kπ(k ∈Z)． (3)⎝⎛⎭⎪⎫32π2，π4＋2kπ(k ∈Z)． 极坐标不惟一．2．若点的直角坐标为(1)(0,23)，(2)(0，－2)，(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0化为极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解 结合坐标系及直角坐标的特点知， (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π2.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2.(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0. 反思与感悟 (1)将直角坐标(x ，y)化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)进行求解，先求极径，再求极角．(2)在[0,2π)范围内，由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可． 跟踪训练2 在直角坐标系中，求与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532的距离为1且与原点距离最近的点N 的极坐标．解 把点M 的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532化为极坐标，得ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－5322＝5，tanθ＝－53252＝－ 3. 因为点M 在第四象限，所以θ＝5π3＋2kπ，k ∈Z ，则点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π3＋2kπ，k ∈Z.依题意知，M ，N ，O 三点共线，则点N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π3＋2kπ，k ∈Z.类型三 极坐标与直角坐标互化的应用例3 已知A ，B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3和⎝⎛⎭⎪⎫8，4π3，求线段AB 中点的直角坐标．解 因为A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，所以x A ＝6×cos π3＝3，y A ＝6×sin π3＝33，所以A(3,33)，同理可得B(－4，－43)．设线段AB 的中点为M(m ，n)，由线段中点的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4＋32＝－12，n ＝－43＋332＝－32，所以线段AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.引申探究1．若本例条件不变，求线段AB 中点的极坐标． 解 由例3知，AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴ρ2＝x 2＋y 2＝1，∴ρ＝1.又tanθ＝y x ＝3，∴θ＝4π3，∴极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3. 2．若本例条件不变，求AB 的直线方程． 解 因为A 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，所以x A ＝6×cos π3＝3，y A ＝6×sin π3＝33，所以A(3,33)．又因为直线AB 的倾斜角为π3，故斜率k ＝3，故直线AB 的方程为y －33＝3(x －3)，即3x －y ＝0. 反思与感悟 应用点的极坐标与直角坐标互化的策略在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时，若不方便利用极坐标直接解决，可先将极坐标化为直角坐标，利用直角坐标系中的公式、性质解决，再转化为极坐标系中的问题即可．跟踪训练3 在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．解 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A(2，2)．对于B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4有ρ＝2，θ＝5π4，∴x ＝2cos 5π4＝－2，y ＝2sin 5π4＝－ 2.∴B(－2，－2)．设点C 的坐标为(x ，y)，由于△ABC 为等边三角形， 故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4.∴⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16.解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.∴点C 的坐标为(6，－6)或(－6，6)．∴ρ＝6＋6＝23，tanθ＝－66＝－1或tanθ＝6－6＝－1，∴θ＝7π4或θ＝3π4.故点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.1．将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( ) A ．(5,53) B ．(53，5) C ．(5,5) D ．(－5，－5)答案 A2．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4答案 B解析 设点P 的极坐标为(ρ，θ)， ∵ρ2＝x 2＋y 2＝4，∴ρ＝2，又tanθ＝y x ＝－1，且点P 在第二象限，∴θ＝3π4.3．若M 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6，则M 点的直角坐标是( )A ．(－3，1)B ．(－3，－1)C ．(3，－1)D ．(3，1) 答案 A解析 由公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ＝2cos 5π6＝－3，y ＝ρsinθ＝2sin 5π6＝1，∴M 点的直角坐标为(－3，1)．4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3 B.⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 答案 C解析 以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则由极坐标与直角坐标的互化公式，得 ρ＝x 2＋y 2＝12＋(－3)2＝2，tanθ＝y x ＝－31＝－ 3.∵点P 在第四象限，结合选项知，θ可以是－π3，∴点P 的极坐标可以是⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 5．已知点M 的直角坐标为(－3，－33)，若ρ>0,0≤θ<2π，则点M 的极坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3解析 ρ＝(－3)2＋(－33)2＝6， 由6cosθ＝－3，得cosθ＝－12，又0≤θ<2π，且M(－3，－33)在第三象限， ∴θ＝4π3，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3.极坐标与直角坐标的互化任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带，事实上，若ρ>0，sinθ＝y ρ，cosθ＝x ρ，所以x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，ρ2＝x 2＋y 2，tanθ＝y x(x ≠0)．一、选择题1．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π3，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－2π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－5π3答案 A2．直角坐标为(－2,2)的点M 的极坐标可以为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4 B.⎝⎛⎭⎪⎫－22，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫22，－π4答案 C解析 易知ρ＝(－2)2＋22＝22，tanθ＝2－2＝－1，因为点M 在第二象限，所以可取θ＝3π4，则点M 的极坐标可以为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4. 3．若点M 的极坐标为(5，θ)，且tanθ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为( )A ．(3,4)B ．(4,3)C ．(－4,3)D ．(－3,4) 答案 D4．点M 的直角坐标是(3，3)，则点M 的极坐标可能为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，5π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6D.⎝⎛⎭⎪⎫23，－5π6 答案 B解析 ρ＝x 2＋y 2＝23，tanθ＝y x ＝33，又θ的终边过点(3，3)，所以θ＝π6＋2kπ，k ∈Z ，所以M 的极坐标可能为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6. 5．在极坐标系中，已知△OAB 的顶点A 的极坐标为(2，π)，AB 边的中点D 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4.若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B 的直角坐标为( ) A ．(32，42) B ．(－32，42) C ．(－32，－42) D ．(32，－42)答案 C解析 设顶点B 的直角坐标为(x 0，y 0)．把A ，D 两点的极坐标化为直角坐标，得A(－2，0)，D(－22，－22)，则由中点坐标公式得－2＋x 02＝－22，0＋y 02＝－22，解得x 0＝－32，y 0＝－42，故顶点B 的直角坐标为(－32，－42)． 二、填空题6．把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－10，π6化为直角坐标为________． 答案 (－53，－5)7．已知两点的极坐标A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线AB 的倾斜角为________．答案5π6解析 点A ，B 的直角坐标分别为(0,3)，⎝⎛⎭⎪⎫332，32， 故k AB ＝32－3332－0＝－33，故直线AB 的倾斜角为5π6.8．将向量OM →＝(－1，3)绕原点逆时针旋转120°得到向量的直角坐标为________． 答案 (－1，－3)解析 由于M(－1，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，绕极点(即原点)逆时针旋转120°得到的点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3，化为直角坐标为(－1，－3)．9．在极坐标系中，O 是极点，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，2π3，则点O 到AB 所在直线的距离是________．答案125解析 点A ，B 的直角坐标分别为(23，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，则直线AB 的方程为y －2332－2＝x －23－32－23，即(4－33)x －(43＋3)y ＋24＝0，则点O 到直线AB 的距离为24(4－33)2＋[－(43＋3)]2＝125.10．在极轴上与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标为________． 答案 (1,0)或(7,0)解析 设M(r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以(42)2＋r 2－82r·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)． 三、解答题11．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标； (2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ>0,0≤θ<2π)解 (1)∵x ＝ρcosθ＝4cos 5π3＝2， y ＝ρsinθ＝4sin 5π3＝－23， ∴A 点的直角坐标为(2，－23)．(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22，tanθ＝－22＝－1，且点B 位于第四象限内， ∴θ＝7π4，∴点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y<0，∴ρ＝15，θ＝3π2. ∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2. 12．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫43，7π6. (1)求|AB|的值；(2)求△AOB 的面积(O 为极点)．解 如图所示，(1)∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以|AB|2＝32＋(43)2－2×3×43cos 5π6＝93，所以|AB|＝93.(2)S △AOB ＝12OA·OBsin∠AOB ＝12×3×43×12＝3 3. 13．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N(2,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6.判断M ，N ，P 三点是否共线？说明理由． 解 将极坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N(2,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6分别化为直角坐标，得M(1，－3)，N(2,0)，P(3，3)． 方法一 因为k MN ＝k PN ＝3，所以M ，N ，P 三点共线．方法二 因为MN →＝NP →＝(1，3)，所以MN →∥NP →，所以M ，N ，P 三点共线．四、探究与拓展14．已知点P 在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，54π 解析 ∵点P(x ，y)在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，∴x ＝－2，y ＝－2，∴ρ＝x 2＋y 2＝2 2.又tanθ＝y x ＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝54π. 因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π. 15．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π6，极点O ′在直角坐标系xOy 中的直角坐标为(2,3)，极轴平行于x 轴，极轴的方向与x 轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M 的直角坐标．解 如图所示．设M 在直角坐标系x ′O ′y ′中的坐标为(x ′，y ′)，则x ′＝ρcosθ＝4cos π6＝23，y ′＝ρsinθ＝4sin π6＝2， 又M 在原坐标系中的坐标为(x ，y)，则x ＝x ′＋2＝23＋2，y ＝y ′＋3＝5，∴点M 的直角坐标是(23＋2,5)．。
高中数学 第1讲 坐标系 4 柱坐标系与球坐标系简介课后练习 新人教A版选修4-4(2021年整理)
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后练习新人教A版选修4—4一、选择题（每小题5分，共20分）1．在空间球坐标系中，方程r＝2错误!表示（)A．圆B．半圆C．球面D．半球面解析：当r＝2，0≤φ≤π，0≤θ<2π时表示半径为1的球面，但由于0≤φ≤错误!，0≤θ〈2π故此方程表示半径为1的半球面．答案：D2．已知点M的直角坐标为(0,0,1）,则点M的球坐标可以是( ）A．（1,0,0) B．(0,1，0）C．（0，0,1) D．(1，π，0）解析: 利用公式错误!进行公式转化:r＝错误!＝1cos φ＝1,φ＝0;tan θ＝错误!＝0，故θ＝0所以球坐标的(1，0,0)．答案: A3．某点的柱坐标为错误!，则其直角坐标为（)A．（1，错误!，3) B．(错误!，1,3）C．（1，－错误!,3）D．(－错误!，1,3）解析：由错误!得错误!即直角坐标为（错误!，1，3)．答案：B4．已知点M的球坐标为错误!,则点M到Oz轴的距离为( ）A．2错误!B．错误!C．2 D．4解析: 设点M的直角坐标为(x，y，z),∵(r,φ，θ）＝错误!，∴错误!∴M(－2,2，2错误!）,到Oz轴的距离为错误!＝2错误!.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分）5．已知柱坐标系Oxyz中，点M的柱坐标为错误!，则|OM|＝________。
新人教A版选修4-4《极点坐标》习题及答案
高中数学 1.2极点坐标练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理1．极坐标系的建立．在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定____________和______________________(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O 称为极点，射线Ox 称为极轴)．设M 为平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的________，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的________，记为θ，有序实数对________叫作点M 的极坐标，记作________，一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．直角坐标与极坐标的互化．以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P的直角坐标和极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ 或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝ ，tan θ＝ （x ≠0）. ►预习思考 1．写出下图中各点的极坐标：A ________，B ________，C ________．2．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，π3，则它化成直角坐标为________．,预习梳理1．一个长度单位 一个角度单位及其正方向 极径 极角 (ρ，θ) M (ρ，θ) 2．ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2yx预习思考1．(4，0) ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 ⎝⎛⎭⎪⎫3，π22.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532一层练习1．极坐标系中，和点⎝⎛⎭⎪⎫3，π6表示同一点的是________．1.⎝⎛⎭⎪⎫3，－11π62．极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．2.⎝⎛⎭⎪⎫3，π33．在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标可能是________．3.⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4 4．在极坐标系中，已知M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，74π，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则|M 1M 2|＝________．4．25．以极点为原点，极轴的方向为x 轴的正方向，建立直角坐标系，则极坐标M ⎝⎛⎭⎪⎫2 014，5π3表示的点在第________象限． 二层练习5．解析：由于x ＝ρcos θ＝2014cos 5π31007，y ＝ρsin θ＝2014sin5π3＝－10073， 故点(1007，－10073)在第四象限． 答案：四6．已知A 、B 两点极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－2π3，则线段AB 中点的极坐标为________．6.⎝⎛⎭⎪⎫1，－2π37．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则△AOB 的面积S ＝________．7．28．极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6(规定ρ>0，θ∈[0，2π))，则：(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________________．8．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6 9．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1，则圆心C 的极坐标为__________(ρ＞0，0≤θ＜2π)．9.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π310．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)． (1)(3，3)； (2)(－1，－1)；(3)(－3，0)．10．解析：(1)ρ＝（3）2＋32＝23，tan θ＝33＝ 3.又因为点在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3. (2)ρ＝（－1）2＋（－1）2＝2，tan θ＝1. 又因为点在第三象限，所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4. (3)ρ＝（－3）2＋02＝3，画图，可知极角为π，所以点(－3，0)的极坐标为(3，π) 三层练习11．在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3和(3，0)，O 为极点，则三角形OAB 的面积＝________．11.33212．在极坐标系中，定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，点B 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ρ，116π(ρ>0)，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为________________．12.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11π6＋2k π(k ∈Z)13．以直角坐标系Oxy 的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)，正六边形ABCDEF 的顶点极径都是ρ＝2，且A 、B 、C 、D 、E 、F 依逆时针次序排列．若点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，则点B 的直角坐标为________．13．(－1，3)14．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 14．解析：设M (r ，0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以（42）2＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以点M 的坐标为(1，0)或(7，0)．答案：(1，0)或(7，0)1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．2．在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置． 3．极坐标与直角坐标的互化．我们把极轴与平面直角坐标系xOy 的x 轴的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位，设P (x ，y )是平面上的任意一点，如右图：则有换算公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，① 或⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）.② 在换算公式①和②中，一般θ∈[0，2π)就可以了．【习题1.2】1．解析：由题图可知各点的坐标分别为A (3，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，D ⎝⎛⎭⎪⎫1，5π6，E (2.5，π)，F ⎝⎛⎭⎪⎫5，4π3，G (4，5π3)． 2．解析：以广东省汕尾市为极点，正东方向的射线为极轴(单位长度为1公里)建立极坐标系，如右图所示，则该台风中心所在位置的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫440，7π4.3．解析：因为∠AOB ＝2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以A ，O ，B 三点共线．所以A ，B 两点间的距离为|AB |＝3＋1＝4.4．解析：直角坐标与极坐标的互化公式为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，分别将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π代入上述公式得各点的直角坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，322，()－1，3，(0，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0.5．解析：直角坐标与极坐标的互化公式为ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)，分别将直角坐标()3，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0，()－2，－23代入上述公式得各点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3.。
高中数学 第一节 坐标系课时提升作业 新人教A版选修44
【全程复习方略】（福建专用）2014版高中数学第一节坐标系课时提升作业新人教A版选修4-41.极坐标系中,曲线ρ=-4sinθ和ρcosθ=1相交于点A,B,求|AB|.2.在极坐标系中,已知圆C的圆心C(3,错误!未找到引用源。
),半径r=3.(1)求圆C的极坐标方程.(2)若Q点在圆C上运动,P在OQ的延长线上,且OQ2QP,=u u u r u u u r求动点P的轨迹的极坐标方程.3.已知半圆的直径|AB|=2r(r>0),半圆外一条直线l与AB所在直线垂直相交于点T,并且|AT|=2a(2a<错误!未找到引用源。
r 2).建立极坐标系证明:如果半圆上相异两点M,N到l的距离|MP|,|NQ|满足|MP|=|MA|,|NQ|=|NA|,那么|MA|+|NA|为定值.4.已知点A是曲线ρ=3cosθ上任意一点,求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值.5.已知极坐标方程C1:ρ=10,C2:ρsin(θ-错误!未找到引用源。
)=6,(1)化C1,C2的极坐标方程为直角坐标方程,并分别判断曲线形状.(2)求C1,C2交点间的距离.6.已知圆C的极坐标方程ρ=2asinθ,求:(1)圆C关于极轴对称的圆的极坐标方程.(2)圆C关于直线θ=错误!未找到引用源。
34π对称的圆的极坐标方程.7.(2012·抚顺模拟)已知定直线l:ρcosθ=a,a>0,O为极点,Q为l上的任意一点,连接OQ,以OQ为一边作正三角形OPQ,且O,P,Q三点按顺时针方向排列,求当点Q在l上运动时点P的极坐标方程,并化成直角坐标方程.8.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos(θ-错误!未指定书签。
)=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标.(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.9.在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为错误!未找到引用源。
高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案 第一讲 第2节 极坐标系 Word版含答案
[核心必知]．极坐标系的概念()极坐标系的建立在平面内取一个定点，叫做极点，自极点引一条射线，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．()点的极坐标设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为ρ；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为θ．有序数对(ρ，θ)叫做点的极坐标，记作(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥，θ可取任意实数．．极坐标与直角坐标的互化()互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．()互化公式θ，＝ρ θ；))θ＝()（≠）Ｗ.))[问题思考]．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋π)或(－ρ，θ＋(＋)π)(其中∈)．．若ρ>，≤θ<π，则除极点外，点(ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？提示：如果我们规定ρ＞，≤θ＜π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．．若点的极坐标为(ρ，θ)，则点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点的极坐标是(ρ，θ)，则点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．已知定点.()将极点移至′处极轴方向不变，求点的新坐标；()极点不变，将极轴顺时针转动角，求点的新坐标．[精讲详析]本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．()设点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知′＝，＝，∠＝，∠′＝，∴∠′＝.在△′中，ρ＝＋()－···＝＋－＝，∴ρ＝.即′＝.∴＝′＋′，∠′＝.∴∠′＝.。
20202021学年数学选修44课时作业第一讲二第一课时极坐标系的概念含解析.docx
［课酎作业］［A组基础巩固J1、点M^.(p>0)的轨迹是( )A.点B,射夜C、直线 D.圆解析：由于动点M错误!的极角9 =错误!，〃取~切非负教，故点M71的轨迹是极角为日的终适，是~条射线，故选B。
答秦：B2、极坐标条中，点错误!关于极轴所在直编的对称点的极生标为r )A.错误！B.错误！C.错误！D。
错误！解析:由于点错误!关于极轴所在直线的对称点的极坐标为错误!，根据终适相同的角的概念，此点即错误! o答秦：A3、在极坐才示条中与点A错误!关于极轴所在的直编对称的点的极坐标是r )A.错误！B.错误！C.错误！D.错误！解析：与A错误!关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为错误！侬€Z),只有B满足.答秦：B4.在极坐标平面内，点M错误!，N错误!，G错误!,H错误!中互相重合的两个点是( )A、M 和NB、M和GC. M和HD. N和H解析:把极坐标化成最简形式M错误! JV错误!，G错误!，H错误!，故M,N是相互重合的点.答秦：A5.~个三角形的~个顶点在极点,其他两个顶点的极坐标分别为Pi C-5,109°J ,P2 C4, 49°J,则这个三角形P1OP2的面积为r )A、5错误！ B. 10错误！C.错误！错D. 10误！解析：点Pi的坐标可写为(5, -71°),则Z P1OP2 =:120°,S/\PiOP2 =错误ix4x5sin 120° = 5 错误！。
答秦：A6,极坐标系中，极坐标为（6,2）的点的极角为.解析：极坐标系中，极坐标为（6, 2J的点的极角为2.答秦：27、关于极坐标系的下列叙述：①极轴是~条射线;②极点的极坐标是（0,0）；③点（0,0）表示极点；④点M错误!与点N错误!表示同~个点；⑤劫A M（5, 0）（0〉0）的轨迹是以极点为圆心，半径为5的圆,其中，所有正确叙述的序号.解析：结合极坐标条概念可知①③⑤正确，其中，②极点的极坐标应为（0, 0）,。
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选修4-4 极坐标系课时作业
一、选择题
1．在极坐标系中，点M (－2，π6
)的位置，可按如下规则确定( ) A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6
，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6
OP 上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使∠xOP ＝
7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2 D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6
，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 解析：当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点．
答案：B
2．在极坐标平面内，点M (π3，200π)，N (－π3，201π)，G (－π3，－200π)，H (2π＋π3
，200π)中互相重合的两个点是( )
A ．M 和N
B ．M 和G
C ．M 和H
D ．N 和H
解析：由极坐标定义可知，M 、N 表示同一个点．
答案：A
3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )
A ．关于极轴所在直线对称
B ．关于极点对称
C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称
D ．两点重合
解析：因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．
答案：A
4．已知极坐标平面内的点P (2，－
5π3
)，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )
A ．(2，π3)，(1，3)
B ．(2，－π3)，(1，－3)
C ．(2，2π3)，(－1，3)
D ．(2，－2π3
)，(－1，－3) 解析：点P (2，－5π3)关于极点的对称点为(2，－5π3
＋π)， 即(2，－2π3)，且x ＝2cos (－2π3)＝－2cos π3
＝－1， y ＝2sin (－2π3
＝－2sin π3＝－ 3. 答案：D
二、填空题
5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．
解析：点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )，依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2.
∴y ＝θ＝0，ρ>0，∴M (ρ，0)．
答案：(ρ，0)
6．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M (3，π3
)，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．
解析：如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π
3
，在直线OM 上取点P 、Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3
，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.
答案：(7，π3)或(1，4π3
) 7．直线l 过点A (3，π3)，B (3，π6
)，则直线l 与极轴夹角等于________． 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是
个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．
因为|AO |＝|BO |＝3，
∠AOB ＝π3－π6＝π6
， 所以∠OAB ＝π－
π62＝5π12. 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4
. 答案：π4
8．已知点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2
<θ<π，则点M 的直角坐标为________． 解析：∵tan θ＝－43，π2
<θ<π， ∴cos θ＝－35sin θ＝45
∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4.
∴点M 的直角坐标为(－3,4)．
答案：(－3,4)
三、解答题
9．设点A (1，π3
)，直线L 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A 关于极轴，直线L ，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)
解：如图所示：关于极轴的对称点为
B (1，－π3
) 关于直线L 的对称点为C (1，2π3
)． 关于极点O 的对称点为D (1，－2π3
)． 10．已知点P 的直角坐标按伸缩变换îíì
x ′＝2x y ′＝3y
变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ≤2π时，求点P 的极坐标．
解：设点P 的直角坐标为(x ，y )， 由题意得îíì 6＝2x －3＝3y ，解得î
íì x ＝3，y ＝－ 3. ∴点P 的直角坐标为(3，－3)．
ρ＝32＋(－3)2＝23，tan θ＝－33
， ∵0≤θ<2π，点P 在第四象限，∴θ＝
11π6. ∴点P 的极坐标为(23，11π6
)． 11．(创新预测题)在极轴上求与点A (42，π4
)的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r,0)，
因为A (42，π4
)，
所以(42)2＋r2－82r·cos π
4 5.
即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7. 所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．。