用向量解决几何问题类型及例题

用向量解决几何问题类型及例题

1.重点知识

(1）若),(),,(2211y x b y x a ==，夹角为θ则有：

①2121y y x x b a +==⋅θ且πθ≤≤0； ②

2

2

2

121cos y

x y y x x b a ++=

=

θ;

③b a b a λ=⇔//（λ为非零实数）01221=-⇔y x y x ， 002121=+⇔=⋅⇔⊥y y x x b a b a . （2）若),(),,(2211y x B y x A ，),(2121y y x x AB --=,

212212)()(y y x x -+-=.

（3）若),,(),,,,(222111z y x b z y x a =，夹角为θ，则有

①θb a =⋅; ②

b a =

θcos 2

221112

12121z y x z y x z z y y x x ++++++=

.

（4)若),,(),,,(222111z y x B z y x A 则有

①),,(122212z z y y x x AB ---=212222212)()()(z z y y x x -+-+-=；

②222212212,)()()(z z y y x x d B A -+-+-=.

(5)),,(000z y x M 与平面0=+++D Cz By Ax 之间的距离为 2

2

2

000C

B A D

Cz By Ax d +++++=

.

2.向量在平面几何中的应用

用向量方法解决平面几何问题可以分为以下步骤:

（1）找出并创建平面几何与向量的相关联系,再把问题中所涉及的几何元素用向量表示出来,最后将平面几何问题转化为向量问题； （2）利用向量知识,将运算结果改换成几何元素. 可简述：形到向量−→−向量运算−→−向量和数再到形. 2.1 利用向量处理位置问题 2.1.1证明线线平行

例1 试证明梯形两对角线中点的连线与底边平行. 分析: 容易猜测是平行的关系.要证明

BC EF //则可以引用两个非零向量b a ,共线 的充要条件b a λ=（其中λ是实数）的知

识来证明.

证 如图所示,设b AD a AB ==,,因为 BC AD //,所以一定存在实数λ使得

a -

b ,=-==AB AD BD AD BC 则λ,

因为E 为BD 的中点,所以 )(2

1

21a b BD BE -==,

又F 是AC 中点,所以)(21

)(21)(21a b AB BC BC BA BF -=-=+=λ,

因此可得b a b a b BE BF CF )1(21

)(21)(21-=---=-=λλ,

所以EF 与BC 平行.

例2 已知

2,1(),1,3(),0,1(C B A --BC BF AC AE 3

1

,31==

,求证：EF //分析: 证明该题需要利用 两个非零向量共线的充要条件.

解 因为 )3,2(),2,2(),1,4(-==-=BC AC AB

B

A

D

C

E

F

图1

图2

所以 BC BF AC AE 3

1

,31==

, 同理可得BC FC AC EC 32,32==

即 )3

2

,38(3232-=-=-=BC AC FC EC EF , 又因为EF AB 23

)32,38(23)1,4(=-=-=,因此 EF AB //.

2.1.2证明线线垂直

例3 如下图所示,若平行

四边形ABCD 为菱形,其中CD AB ,

为该菱形的对角线.求证:AC 与BD 互相垂直.

证明 因为平行四边形ABCD 为菱形所以可以设

b DC AB a BC AD ====,

=,

因此有)()(AB AD BC AB BD AC -⋅+=⋅=)()(b a a b -⋅+

0= 所以AC 与BD 互相垂直得证.

点评：证明两线平行的思想及方法是将线垂直问题转化为两向量数量积为零即可.

2.1.3证明线线共点

例4

证 如图所示,设三角形ABC BC AC ,两边上的高交于P 再设

c PC b PB a PA ===,,,

那么c a CA b c BC a b AB -=-=-=,,, 因为BC PA ⊥,所以0)(=-⋅b c a ,即b a c a =,

又因为0c -a b ,=⊥）（所以CA PB 即c b b a =,从而c b c a =即0)(=-b a c , 所以AB PC ⊥,

D B

A

B

C

图3

图4

这就证明了点P 在三角形ABC 的第三条边AB 上,所以三角形ABC 的三条高线交于一点. 2.1.4证明点点共线

例5 在平行四边形ABCD 中,M 是

中点,N 是BD 上一点,BN =

3

1

BD , 求证：C N M ,,三点共线.

分析: 要证C N M ,,三点共线,需利用共线向量的基本定理,即证明存在实数

λ,使得MN MC λ=成立.

解 设b AB a AD ==,,所以)(3

1

213121b a b BD b MN -+=+==)2(61b a +,

可得 )2(21

21b a a b BC MB MC +=+=+=,

又因为 MN MC 3=,所以 MN MC //, 又有公共点M ,所以C N M ,,三点共线. 2.2利用向量处理度量问题 2.2.1证明线段相等

例6 如图,平行四边形ABCD 中, 点F E ,分别是AD ,DC 边的中点,

BF BE ,分别与AC 交与T R ,两

点,你能发现TC RT AR ,,之间的关系吗?

分析: 假设 RC RT AR ==.如果用传统的方法去思考,感觉无从下手,而当

用向量法分析时,利用线线共线的相关知识解题使问题变得简单易解. 解 设AB =a ,AD =b ,AR =r ,则AC =a +b ,

由于AR 与AC 共线,故设r =n (a +b ),n ∈r ,又因为ER 与EB 共线,所以设,

ER =m EB =m (a -2

1

b ), D

A

B

E R

T

图5 图6 C

D

F