2020年浙江省舟山中学高考数学模拟试卷(3月份)

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【20套精选试卷合集】浙江省舟山市2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

高考模拟数学试卷一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的）1. 已知集合12{|||1},{|log 0},M x x N x x =<=>则N M I 为（）Ａ．(1,1)- Ｂ．(0,1) Ｃ．1(0,)2Ｄ．∅ 2. 如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数(z i i ⋅是虚数单位)的共轭复数所对应的点为( )A ．1ZB ．2ZC ．3ZD ．4Z3.已知向量(cos ,2),(sin ,1),//a b a b αα=-=r r r r 则tan()4πα-等于( )A ．3 B.3- C.13 D. 13-4．以下四个命题中,其中真命题的个数为( )①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈，均有210x x ++≥； ③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1 ④命题:"3"p x >是"5"x >的充分不必要条件；A ．1B ．2C ．3D ．4 5．将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ,则ϕ的值可以是 ( )A ．35π B ．65π C ．2πD ．6π6. 已知实数[1,10]x∈，执行右图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为（）A.19B.29C.49D.597．已知0a>,,x y满足约束条件()133xx yy a x⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y=+的最小值为1,则a=（）A．12B．13C．1D．28.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA OB OC OD+++u u u r u u u r u u u r u u u r等于（）..2.3.4A OMB OMC OMD OMu u u u r u u u u r u u u u r u u u u r9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3272π- B．3182π-C．273π- D．183π-10. 如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆。

2020年高考模拟试卷浙江省高考数学全真模拟试卷(3月) 含解析

2020年高考模拟高考数学全真模拟试卷（3月份）一、选择题1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．124．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．76．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣28．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0] 10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．12．设函数，，则函数的最小值为；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是，含x2项的系数是．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}【分析】根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，∴∁U A＝{3，4}，则（∁U A）∪B＝{2，3，4}，故选：C．2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，作出二面角B﹣PA﹣C的平面角，设PE＝a，求解直角三角形得到EG、EF、FG的长度，再由余弦定理得答案．解：如图，在PA上任取一点E，在平面APB内过E作EF⊥PA交PB于F，在平面APC内过E 作EG⊥PA交PC于G，连接GF，设PE＝a，在Rt△PEG中，∵∠EPG＝60°，∴PG＝2a，GE＝a，同理求得PF＝2a，EF＝a，则GF＝2a，在△FGE中，由余弦定理得：cos∠FEG＝＝．故选：C．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．12【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S＝×（2+4）×2＝6，棱柱的高为1，故棱柱的体积V＝6．故选：C．4．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）【分析】根据分段函数的表达式，先得到x＝0是f（x）与y＝ax的一个根，利用参数分离法构造函数h（x），得到h（x）与y＝a有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0是方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．7【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：不等式组表示的平面区域如图所示，由解得A（2，1）当直线z＝3x﹣y过点A（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．故选：C．6．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．【分析】先求得x的值，然后计算出EX，再利用方差公式求解即可．解：根据随机变量分布列的性质，知0.4+0.1+x＝1，所以x＝0.5，EX＝0.4+0.3+2.5＝3.2，DX＝2.22×0.4+0.22×0.1+1.82×0.5＝3.56，故选：A．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣2【分析】P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．根据点到直线的距离公式能够求出a﹣b的值，注意a＞b，从而得到a+b的值．解：∵P（a，b）点在双曲线上，∴有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．∵A（a，b）到直线y＝x的距离为，∴d＝＝，∴|a﹣b|＝2．又P点在右支上，则有a＞b，∴a﹣b＝2．∴a+b＝，故选：B．8．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．【分析】首先利用关系式的两边取对数求出数列的通项公式，进一步得到数列为等差数列，最后求出结果．解：数列{a n}满足，两边取对数得到，整理得a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}是以2为公差的等差数列．则a2+a4+a6＝3a4＝9，整理得a4＝3，所以a7＝a4+2（7﹣4）＝3+6＝9，故a5+a7+a9＝3a7＝27，所以．故选：C．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0]【分析】可设n≤x＜n+1，从而得出[x]＝n，先可得出﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n，从而可求出[x]﹣x的范围，即得出f（x）的值域．解：设n≤x＜n+1，则[x]＝n；∴﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n；∴﹣1＜[x]﹣x≤0；∴f（x）的值域为（﹣1，0]．故选：D．10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．【分析】利用余弦定理可得AC，cos B，再利用三角形面积计算公式即可得出．解：AC2＝32+42﹣2×3×4cos D＝52+62﹣2×5×6cos B，cos B+cos D＝0．∴AC2＝，∴cos B＝，可得sin B＝＝．∴△ABC的面积S＝×＝．故答案为：．12．设函数，，则函数的最小值为2；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【分析】由已知结合基本不等式可求函数的最小值；由，使得a2﹣a≥f （x）成立，可得a2﹣a≥f（x）min，然后解不等式可求．解：∵，由基本不等式可得，＝2，当且仅当x＝即x＝1时取得最小值2，∵，使得a2﹣a≥f（x）成立，∴a2﹣a≥f（x）min，∴a2﹣a≥2，解不等式可得，a≥2或a≤﹣1，故a的范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．故答案为：2；（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是64，含x2项的系数是240．【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝6，再利用二项展开式的通项公式求得含x2项的系数．解：在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是2n＝26＝64，而通项公式为T r+1＝•（﹣1）r 26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，可得含x2项的系数是•24＝240，故答案为：64；240．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是[1，2]；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是﹣2．【分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．②当x≥0时，设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y＝1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，可得y的取值范围是[1，2]．②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+bx+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），带入计算可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，∴f（x）＝﹣x2+2x+1，当x＜0时，﹣x＞0．∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1即f（x）＝﹣x2﹣2x+1．令y＝1，可得1＝﹣x2﹣2x+1．解得：x＝﹣2．结合图象可得b的最大值为﹣2．故答案为：[1，2]；﹣2．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．【分析】建立坐标系，设A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则||+2||＝CD+2BC，构造相似三角形，设E（1，），可得△AEC∽△ACD，所以||+2||＝CD+2BC＝2（BC+CE）≥2BE＝．解：如图，A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则向量满足||＝，设＝，所以点C为以A为圆心，以为半径的圆上的一点，所以||＝|﹣|＝|CD|，同理2||＝2|BC|，取点E（1，），则，又因∠CAE＝∠DAC，所以△AEC∽△ACD，所以，即CD＝2CE，所以||+2||＝CD+2BC＝2CE+2BC＝2（BC+CE），由三角形的三边关系知2（BC+CE）≥2BE＝2＝2×＝．故填：．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是[﹣1，+∞）【分析】先根据导数和函数的最值得关系，以及f（x）≥1恒成立，可得当a＞0时，b ≥alna﹣a+1，代入≥＝lna+﹣2，构造函数g（a）＝lna+﹣2，a＞0，利用导数求出函数的最值即可解：∵f（x）＝e x﹣ax+b，∴f′（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）单调递增，f（x）≥1不恒成立，当a＞0时，令f′（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+b，∵f（x）≥1恒成立，∵a﹣alna+b≥1∴b≥alna﹣a+1，∴≥＝lna+﹣2，设g（a）＝lna+﹣2，a＞0∴g′（a）＝﹣＝，令g′（a）＝0，解得a＝1，当a∈（0，1）时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∴g（a）min＝0+1﹣2＝﹣1，∴≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为6π；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．【分析】设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，然后求解球O的表面积推出最值；四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），利用函数的导数，求解PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解即可．解：设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，所以AB⊥PD，又PD⊥AC，所以PD⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，从而球心O的表面积为：＝3π[（x﹣1）2+2]≥6π．四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），则V′＝﹣x2+2x，当0＜x＜2时，V′＞0，当2＜x＜3时，V′＜0，所以V max＝V（2）此时AD＝CD＝2，PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．∵DH＝＝，∴tan∠AHD＝＝．故答案为：6π；．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．【分析】（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），不等式化为m≥﹣2sin2x+sin x；求出g（x）＝﹣2sin2x+sin x，在x∈[0，]的最大值即可；（2）根据三角函数的图象与性质，结合题意列方程和不等式，即可求出ω的最大值．解：（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），则y＝f（x﹣）+f（2x+）＝sin[（x﹣）+]+sin[（2x+）+]＝sin x+cos2x ＝1﹣2sin2x+sin x；不等式f（x﹣）+f（2x+）﹣m≤1，可化为m≥﹣2sin2x+sin x；设g（x）＝﹣2sin2x+sin x，x∈[0，]，则g（x）＝﹣2+，且x∈[0，]时，sin x∈[0，]，所以sin x＝时，g（x）取得最大值是，所以实数m的取值范围是m≥；（2）若，则x＝是f（x）的对称轴，即ω•+φ＝kπ+，k∈Z；又，则﹣ω+φ＝kπ，k∈Z；所以φ＝，ω＝6k+，k∈Z；又f（x）在单调递增，则，解得ω≤2；综上知，ω的最大值是．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．【分析】（I）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，由三角形的中位线定理，易得AE ∥FB1，DE∥B1C，进而由面面平行的判定定理得到平面B1FC∥平面EAD；（II）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，我们可判断出△ABC是正三角形，进而得到AD⊥BC1，DE⊥BC1，结合线面垂直的判定定理即可得到BC1⊥平面EAD．【解答】证明：（Ⅰ）由已知可得AF∥B1E，AF＝B1E，∴四边形AFB1E是平行四边形，∴AE∥FB1，…（1分）∵AE⊄平面B1FC，FB1⊂平面B1FC，∴AE∥平面B1FC；…又D，E分别是BC，BB1的中点，∴DE∥B1C，…∵ED⊄平面B1FC，B1C⊂平面B1FC，∴ED∥平面B1FC；…∵AE∩DE＝E，AE⊂平面EAD，ED⊂平面EAD，…∴平面B1FC∥平面EAD．…（Ⅱ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴C1C⊥面ABC，又∵AD⊂面ABC，∴C1C⊥AD．…又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，∴△ABC是正三角形，∴BC⊥AD，…而C1C∩BC＝C，CC1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，∴AD⊥面BCC1B1，…故AD⊥BC1．…∵四边形BCC1B1是菱形，∴BC1⊥B1C，…而DE∥B1C，故DE⊥BC1，…由AD∩DE＝D，AD⊂面EAD，ED⊂面EAD，得BC1⊥面EAD．…20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．【分析】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a1+a2+…+a2013＝0，可得a1007＝0，a1008＝d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k ＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．解：（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013＝0，∴＝0，∴a1+a2013＝0，即a1007＝0，∴a1008＝d，当d＝0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013＝，∴1006d+d＝，即d＝，∴a n＝a1007+（n﹣1007）d＝（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n＝，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|＝|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|＝1，∴|S k|（k＝1，2，…，n）．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）当|PF|＝2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．解：（1）设P（x，y），则y+1＝2，∴y＝1，∴x＝±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y＝x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1＝0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|＝•|2+2﹣2+2|＝8．平行于直线l：x﹣y+1＝0的直线设为x﹣y+c＝0，与抛物线C：x2＝4y联立，可得x2﹣4x﹣4c＝0，∴△＝16+16c＝0，∴c＝﹣1，两条平行线间的距离为＝，∴△PAB的面积的最大值为＝4．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）利用导数来求出函数的单调区间．（2）利用导数来求出函数的极值，利用（1）的结论．（3）不等式g（x）≥f（x）恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立，h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，利用导数，求出h（x）的最大值，问题得以解决．解：（1）f（x）＝﹣x3+x2+x+a，f'（x）＝﹣3x2+2x+1，．．．（2）由（1）可知，当时，函数f（x）取得极小值，函数的极小值为当x＝1时，函数f（x）取得极大值，函数的极大值为f（1）＝a+1，（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，即对于任意x∈[0，1]，不等式a≥x2+x恒成立，设h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，则h'（x）＝2x+1，∵x∈[0，1]，∴h'（x）＝2x+1＞0恒成立，∴h（x）＝x2+x在区间[0，1]上单调递增，∴[h（x）]max＝h（1）＝2∴a≥2，∴a的取值范围是[2，+∞）。

浙江省舟山市定海第一高级中学2019-2020学年高三数学理模拟试卷含解析

浙江省舟山市定海第一高级中学2019-2020学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 曲线在点A处的切线与直线平行，则点A的坐标为（A）（B）（C）（D）参考答案：2. 已知，则（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】先求出a,b,c的范围，即得解.【详解】因为，.所以故选：B【点睛】本题主要考查指数对数函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3. 将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（）种。

（A）150 （B）180 （C）240 （D）540参考答案：A4. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为（1,4）的“同族函数”共有（）A、7个B、8个C、9个D、10个参考答案：C由题意，问题的关键在于确定函数定义域的个数：函数解析式为，值域为，那么定义域内的元素可为，则定义域可为下列的9种：，，因此“同族函数”有9个.5. 《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是( )A．B．C．D．参考答案：D试题分析：据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，.故反映这个命题本质的式子是.故选D考点：数列递推式6. “”是“对于任意的正数，均有”的(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件参考答案：A当时，，当且仅当，即取等号，此时为充分条件，若时，，此时也有，所以“”是“对于任意的正数，均有”的充分不必要条件，选A.7. 满足M?{1，2，3，4，5}，且M∩{1，2，3}={1，3}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据M∩{1，2，3}={1，3}得到1，3∈M，即可得到结论．【解答】解：依题意集合M可能为{1，3}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，3，4，5}．故选：D8. 设全集U=R，集合=A． B． C．{0，2} D．参考答案：C，，∴．9. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：C，循环结束，输出的为8，故选C10. 若关于x的方程k(x-1)2=有4个不同的实数根,且其所有实数根的和为S,则实数S 的取值范围为A.(2,)B.(3,)C.(2,)D.(3,)参考答案：B本题主要考查方程的根、二次函数的图象等知识,意在考查考生的分类讨论、函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想.显然x=1是方程的1个根.当x≠1时,k=所以由题意,函数y=与y=的图象有3个不同的交点,由图可知,0<,k>4.不妨设方程的4个实数根分别为x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,由图得x1+x2=×2=1,x3=1,当时,由x2-x=(当x>1时),得x=,所以1<x4<,故3<S<.故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数则____________.参考答案：略12. 设抛物线的焦点为F，点A(0，2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为___________．参考答案：解析：,,将代入解得到该抛物线准线的距离为13. 若实数满足则的最小值为 .参考答案：14. 已知点落在角的终边上，且，则的值为_____________；参考答案：15. 已知变量a，θ∈R，则（a﹣2cosθ）2+（a﹣5﹣2sinθ）2的最小值为．参考答案：9略16. 已知是定义在R上周期为4的奇函数，且时，则时，=_________________.参考答案：略17. 函数y＝的定义域是．参考答案：(1,2)三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)(有解析)

2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={l,2，3，4，5，6}，集合A ={l,2，4，6}，集合B ={l,3，5}，则A ∪(∁U B)=( )A. {l,2，3，4，5，6}B. {1,2，4，6}C. {2,4，6}D. {2,3，4，5，6}2. 把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当B 、D 两点距离为a 时，二面角B −AC −D 的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为( )A. 4√3B. 4√33C. 8√3D. 8√334. 已知函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，若关于x 的方程f(f(x))=m 有两个不同的实数根x 1，x 2，则x 1+x 2的取值范围为( )A. [2,3)B. (2,3)C. [2ln2,4)D. (2ln2,4)5. 已知实数x ，y 满足条件{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0，那么2x −y 的最大值为( )A. −3B. −2C. 1D. 26. 已知随机变量X 的分布列如表，则D(X)=( )X 0 1 3P 0.2 0.2 yA. 0.4B. 1.2C. 1.6D. 27. 若双曲线x 2−y 2=2右支上一点(s,t)到直线y =x 的距离为2，则s −t 的值等于( )A. 2B. 2√2C. −2D. −2√28.已知数列{a n}满足a1=32，a n+1=3a na n+3，则a2019=()A. 32020B. 20203C. 20193D. 202139.已知[x]表示不超过x的最大整数，则f(x)=√1−log2[x]的定义域为()A. (0,3]B. [0,3)C. (1,3]D. [1,3)10.“α≠β”是“cosα≠cosβ”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11.在ΔABC中，已知AB=√3，AC=1，A=30∘，则ΔABC的面积为________________．12.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=8，|b⃗ |=12，则|a⃗+b⃗ |的最小值是__________．13.若函数f(x)，g(x)满足：∀x∈(0,+∞)，均有f(x)>x，g(x)<x成立，则称“f(x)与g(x)关于y=x分离”.已知函数f(x)=a x与g(x)=log a x(a>0，且a≠1)关于y=x分离，则a的取值范围是______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.已知a,b为正实数，且a+b=2，则2a +1b+1的最小值为(1)，(a2+3)(b2+3)的最小值为(2)．15.在二项式(x−√x )7的展开式中，所有项系数之和为，含x4的项的系数是．16.已知定义域为R的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=−(x−1)2+1． ①当x∈[−1,0]时，f(x)的取值范围是(1); ②当函数f(x)的图像在直线y=x的下方时，x的取值范围是(2)．17.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为45∘，则棱AA1的长为；二面角B−DD1−C的大小为．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.知函数f(x)=x2+2xsinθ−1,x∈[−√32,12],θ∈[0,2π)．(1)当θ=π6时，求f(x)的最值；(2)若f(x)是单调函数，求θ的取值范围．19.如下图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．(1)求证：平面AD1E//平面BGF．(2)求证：D1E⊥AC．20.在等差数列{a n}中，a4+a7+a10=17，a4+a5+⋯+a14=77，求此数列的通项公式．若a k=13，求k的值．21.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，求点P的坐标．(a∈R).22.已知函数f(x)=ax+(1−a)lnx+1x(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)当a<0时，求f(x)的单调区间．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵全集U={1,2，3，4，5，6}，集合A={1,2，4，6}，集合B={1,3，5}，∴∁U B={2,4，6}，则A∪(∁U B)={1,2，4，6}．故选：B．根据全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：D解析：解：如图，连接AC，BD交于O，则DO⊥AC，BO⊥AC，∴∠BOD为二面角B−AC−D的平面角，∵正方形ABCD的边长为a，则BO=DO=√2a，2a，BD=a，可得BO2+OD2=BD2，在△BOD中，由BO=DO=√22则∠BOD=90°．∴二面角B−AC−D的大小为90°．故选：D．由题意画出图形，求出二面角B−AC−D的平面角，解三角形得答案．本题考查二面角的平面角及其求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．3.答案：B解析：本题是基础题，考查三视图的视图能力，计算能力，空间想象能力，常考题型．依据三视图的数据，求出几何体的体积．解：三视图复原的几何体是以俯视图为底面，高为2的三棱锥，所以三棱锥的体积为：13×12×2×2√3×2=4√33．故选：B ． 4.答案：A解析：解：函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象如下：当m ≥1时，f(t)=m ，有两个解t 1，t 2，其中t 1≤0，t 2≥2，f(x)=t 1有一个解，f(x)=t 2有两个解，不符合题意．当m <0时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈(0,1)，f(x)=t 有一个解，不符合题意．当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意．可得1−x 1=log 2x 2=t ，且t ∈[1,2)，x 1+x 2=2t −t +1，令g(t)=2t −t +1，g′(t)=2t lnt −1>0，故g(t)在[1,2)单调递增，∴g(t)∈[2,3)．故选：A ．画出函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象，可求得当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意．可得1−x1=log2x=t，且t∈[1,2)，x1+x2=2t−t+1，令g(t)=2t−t+1，利用导数求解．本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．5.答案：C解析：解：由约束条件作出图形：易知可行域为一个三角形，验证当直线过点A(0,−1)时，z取得最大值z=2×0−(−1)=1，故选：C．先根据约束条件画出可行域，z=2x−y表示斜率为2的直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．本题是考查线性规划问题，准确作图以及利用几何意义求最值是解决问题的关键，属中档题．6.答案：C解析：解：由题意0.2+0.2+y=1，所以y=0.6所以E(X)=1×0.2+3×0.6=2所以D(X)=4×0.2+1×0.2+1×0.6=1.6故选C．利用概率和为1，确定y的值，计算出期望，即可求得方差．本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，考查学生的计算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵双曲线x2−y2=2右支上一点(s,t)到直线y=x的距离为2，∴d=√2=2，∴|s−t|=2√2．又P点在右支上，则有s>t，∴s−t=2√2．故选B．根据点到直线的距离公式能够求出s−t的值．本题考查双曲线的性质和点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用．8.答案：A解析：本题考查了数列的通项公式与数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．运用数列的递推公式可得数列{1an }是以首项为1a1=23，公差为13的等差数列，进而由等差数列的通项公式可求出a2019．解：∵a n+1=3a na n+3⇒1a n+1=13+1a n⇒1a n+1−1a n=13，∴数列{1a n }是以首项为1a1=23，公差为13的等差数列，∴1a2019=23+(2019−1)×13=20203，∴a2019=32020．故选A．9.答案：D解析：本题主要考查函数定义域的求解，结合根式和对数的性质建立不等式关系是解决本题的关键，属基础题．根据函数表达式建立不等式，结合[x]的定义进行求解即可．解：要使函数有意义，则1−log2[x]≥0，即log2[x]≤1且[x]>0得0<[x]≤2，则1≤x<3，即函数的定义域为[1,3)，故选：D．10.答案：B解析：解：若“α≠β”则“cosα≠cosβ”的逆否命题是：若“cosα=cosβ”则“α=β”，∵α=β⇒cosα=cosβ，又当cosα=cosβ时，α=±β+2kπ，k∈Z，∴cosα=cosβ推不出α=β，∴“cosα=cosβ”是“α=β”的必要非充分条件，即“α≠β”是“cosα≠cosβ”的必要不充分条件．故选：B．根据充分必要条件的定义结合三角函数的性质判断即可．本题考查必要条件、充分条件和充要条件的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．11.答案：√34解析：本题考查三角面积公式，根据题意利用三角形面积公式SΔABC=12AB·AC·sinA，即可求得结果．解：S△ABC=12AB·ACsinA=12×√3×1×sin30°=√34，故答案为√34．12.答案：4解析：本题考查了平面向量数量积中模长公式的应用问题，属于基础题．设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则θ∈[0,π]，利用|b⃗ |−|a⃗|≤|a⃗+b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |，得出θ=π时，|a⃗+b⃗ |取得最小值．解：设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则θ∈[0,π]，∵|a⃗|=8，|b⃗ |=12，∴|b⃗ |−|a⃗|≤|a⃗+b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |，即4≤|a⃗+b⃗ |≤20，∴θ=π时，|a⃗+b⃗ |的最小值为4．故答案为4．13.答案：(e1e,+∞)解析：解：由题意，a>1．故问题等价于a x>x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立．构造函数f(x)=a x−x，则f′(x)=a x lna−1，由f′(x)=0，得x=log a(log a e)，x>log a(log a e)时，f′(x)>0，f(x)递增；0<x<log a(log a e)，f′(x)<0，f(x)递减．则x=log a(log a e)时，函数f(x)取到最小值，故有a log a(log a e)−log a(log a e)>0，解得a>e1e．故答案为：(e1e,+∞)．由题意可得y=a x与y=log a x互为反函数，a>1，故问题等价于a x>x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立，利用导数进行解决．本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．14.答案：3+2√2316解析：本题考查了利用基本不等式求最值，构造13(a+b+1)=1，由“1”的用法利用基本不等式得2a+1b+1的最小值，由a2+b2=4−2ab可得(a2+3)(b2+3)=(ab−3)2+12，由2=a+b≥2√ab，得0<ab≤1，即可得出最小值．解：由a+b=2，则13(a+b+1)=1，所以2a +1b+1=13(a+b+1)(2a+1b+1)=13[3+2(b+1)a+ab+1]≥13(3+2√2(b+1)a·ab+1)=3+2√23，当且仅当2(b+1)a =ab+1时等号成立，由a+b=2得a2+b2=4−2ab，所以(a2+3)(b2+3)=a2b2+3(a2+b2)+9=a2b2+3(4−2ab)+9=(ab−3)2+12，由a+b=2得2=a+b≥2√ab，得0<ab≤1，当且仅当a=b=1等号成立，所以当ab=1时，(ab−3)2+12取得最小值为16，即(a2+3)(b2+3)的最小值为16，故答案为3+2√23；16．15.答案：−184解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，赋值法求所有项的系数和，属于基础题．赋值法求出所有项的系数之和，写出二项展开式的通项公式，令7−32r=4，得r=2，再代入公式中即可求出含x4项的系数．解：二项式(x−√x )7的展开式中，令x=1，所有项的项式系数之和为(1−2)7=−1，二项展开式的通项公式T r+1=C7r(x)7−rx)r=C7r·(−2)r·x7−32r，由7−32r=4，得r=2，∴含x4项的系数为C72·(−2)2 =21×4=84．故答案为−1；84．16.答案：[−1,0](−1,0)∪(1,+∞)解析：本题考查函数的奇偶性的应用，二次函数的图像以及性质的应用，属于中档题．①由函数的奇偶性，以及二次函数在x ∈[0,1]时的值域即可求得在x ∈[−1,0]时的值域； ②由函数的图像可得x 的取值范围．解：①当x >0时，f(x)=−(x −1)2+1，∴当x ∈[0,1]时，f (x )∈[0,1]，因为f(x)为奇函数，∴当x ∈[−1,0]时，f(x)的取值范围是[−1,0]；②函数f(x)的图像如图所示，当函数f(x)的图像在直线y =x 的下方时，得x 的取值范围是(−1,0)∪(1,+∞).故答案为①[−1,0] ；② (−1,0)∪(1,+∞).17.答案：√245∘解析：(1)由D 1B 与平面ABCD 所成的角为45∘可知∠D 1BD =45∘，又易知在等腰直角三角形DD 1B 中，DD 1=DB =√2，所以AA 1=√2.(2)BD ⊥DD 1，CD ⊥DD 1，∠BDC 即为所求二面角的平面角，为45∘． 18.答案：解：(1)当θ=π6时，f(x)=x 2+x −1=(x +12)2−54，又x ∈[−√32,12]，所以当x =−12时，f(x)min =−54；x =12时，f(x)max =−14；(2)因为f(x)=x 2+2xsinθ−1的对称轴为x =−sinθ，又欲使f(x)在x ∈[−√32,12]上单调，则−sinθ≤−√32或−sinθ≥12，又θ∈[0,2π)，所以θ∈[π3,2π3]∪[7π6,11π6]．解析：本题主要考查三角函数性质的应用，熟悉三角函数求最值的方法是解答本题的关键，属于中档题，(1)由题意得，直接运用三角函数和二次函数的性质即可求解；(2)由题意得，直接运用三角函数的图像与性质即可求解．19.答案：证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F=BE，且D1F//BE，∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E//BF．∵D1E不在平面BGF内，BF⊂平面BGF，∴D1E//平面BGF．∵FG是△DAD1的中位线，∴FG//AD1．又AD1不在平面BGF内，FG⊂平面BGF，∴AD1//平面BGF．∵AD1∩D1E=D1，∴平面AD1E//平面BGF.(2)如图，连接BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD．∵D1D⊥AC，D1D∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1B1．∵D1E⊂平面BDD1B1，∴ D 1E ⊥AC.解析：(1)由于E ，F 分别是B 1B 和D 1D 的中点可证得D 1E//BF 再由线面平行的性质定理得到D 1E//平面BGF.同理证得FG//AD 1再由线面平行的性质定理得到AD 1//平面BGF ，再由面面平行的性质定理得到平面AD 1E//平面BGF.(2)由已知可证得AC ⊥平面BDD 1B 1.再由线面垂直的性质定理得到D 1E ⊥AC.20.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4+a 7+a 10=17，a 4+a 5+a 6+⋯+a 14=77．∴3a 1+18d =17，14a 1+14×132d −(3a 1+3d )=77，化为{3a 1+18d =17a 1+8d =7，解得a 1=53，d =23． ∴a n =53+23(n −1)=2n+33．(2)∵13=a k =2k+33，解得k =18．解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4+a 7+a 10=17，a 4+a 5+a 6+⋯+a 14=77.可得3a 1+18d =17，14a 1+14×132d −(3a 1+3d )=77，联立解出即可．(2)由(1)可得：13=a k=2k+33，解得k．21.答案：解：设p(x,y)由抛物线的焦半径公式知|PF|=x+p2，又p=1，所以10=x+1，解得x=9，又P在y2=4x上，解出y=±6．所以P(9,6)或(9,−6)解析：本题考察抛物线的焦半径公式，利用焦半径公式|PF|=x+p2求出P的横坐标，然后P在抛物线上，求出纵坐标。

【百强名校】浙江省舟山中学2020届高三高考仿真模拟考数学学科试题

__________ 姓名：__________ 班级：__________评卷人得分一、选择题1．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a 、b 、i 的值分别为6、8、0，则输出a 和i 的值分别为（）A. 0，3B. 0，4C. 2，3D. 2，42．已知某空间几何体的三视图如图所示，左视图是正方形，则该几何体的体积是( )A.5π612+ B. π112+C.5π64+ D.2π312+ 3．已知函数()()xxf x ex ae =-恰有两个极值点()1212,x x x x <，则a 的取值范围是（）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,3C. 1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且02πα-<<，则2sin 22sin αα+等于（）A. 255-B. 25-C.25D.255评卷人得分二、填空题5．在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒．2BC =，则AB 的取值范围是_____．【答案】()62,62-+【解析】【分析】如图所示，延长BA ，CD 交于点E ，在△BCE 与在△BCF 中，分别由正弦定理可求出AB 的取值范围．【详解】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin30sin75BE=，解得BE 6+2AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin30sin75BF =，解得62AB 的取值范围626+2. 故答案为(62,62.【点睛】本题考查求AB 的取值范围，考查三角形中的几何计算及正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．6．对于三次函数()()220f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()x f ''是函数()y f x ＝的导数()'y f x ＝的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()00()x f x ，为函数()y f x ＝的“拐点”.任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现为条件，函数()3231324f x x x x =-+-，计算1232012...2013201320132013f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=____ 7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1357910a a a a a ++++=，228236a a -=，则10S 的值为_____．评卷人得分三、解答题8．为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N μσ（0u u =，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%；（i ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）（ii ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y .（说明11()1()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6ϕ=，(0.6554)0.4ϕ=）9．如图，已知椭圆14:221=+y x C 的左、右顶点为1A ，2A ，上、下顶点为1B ，2B ，记四边形1122A B A B 的内切圆为2C . （1）求圆2C 的标准方程；（2）已知圆2C 的一条不与坐标轴平行的切线l 交椭圆1C 于P ，M 两点. （i ）求证：OP OM ⊥；（ii ）试探究2211OP OM +是否为定值.10．已知圆221:420C x y x y +-+=与圆222:240C x y y +--=.(1)求两圆公共弦所在直线的方程；(2)求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程. 11．(12分)已知函数()xf x xe a =+。

浙江省舟山市高考数学三模试卷

浙江省舟山市高考数学三模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·大名月考) 已知集合则等于（）A . {0，1，2，3，4}B .C . {-2，-1，0，1，2，3，4}D . {2，3，4}2. （2分）设i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A . -4-3iB . -4+3iC . 4+3iD . 4-3i3. （2分）(2017·郴州模拟) 已知均为单位向量，且，则向量的夹角为（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·中原模拟) 已知实数满足，则的最大值为（）A . 2B . 8C . 11D . 155. （2分）已知抛物线的准线过双曲线的左焦点且与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，则双曲线的离心率为（）A .B . 4C . 3D . 26. （2分） (2018高一下·石家庄期末) 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的体积为（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·保定模拟) 如图所示的程序框图中，输出的为（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高二上·天水期末) 已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））的处的切线过点（2，11），则 a=（）A .B .C . 1D . 29. （2分）已知点A（-3,1,4），则点A关于原点的对称点的坐标是（）A . (1，-3，-4)B . (-4，1，3)C . (3，-1，-4)D . (4，-1，3)10. （2分）甲、乙两同学5次综合测评的成绩如茎叶图所示．甲乙9883372109●9老师在计算甲、乙两人平均分时，发现乙同学成绩的一个数字无法看清．若从{0，1，2，…，9}随机取一个数字代替，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·全国Ⅱ卷理) 在长方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1= ,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A .B .C .D .12. （2分）已知是函数（）的导函数，当时，，记，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·柳州期末) 在x（1+ ）6的展开式中，含x3项系数是________．（用数字作答）14. （1分） (2018高一上·海安月考) 将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为________．15. （1分） (2016高三上·德州期中) 定义：f1（x）=f（x），当n≥2且x∈N*时，fn（x）=f（fn﹣1（x）），对于函数f（x）定义域内的x0 ，若正在正整数n是使得fn（x0）=x0成立的最小正整数，则称n是点x0的最小正周期，x0称为f（x）的n～周期点，已知定义在[0，1]上的函数f（x）的图象如图，对于函数f（x），下列说法正确的是________（写出所有正确命题的编号）①1是f（x）的一个3～周期点；②3是点的最小正周期；③对于任意正整数n，都有fn（）= ；④若x0∈（，1]，则x0是f（x）的一个2～周期点．16. （1分）(2017·太原模拟) 在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=90°，点D在AB上，点E在CD上，且∠ACB=∠DBE=∠DEB，则DC=________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高二下·辽宁期中) 已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+an（x ﹣1）n ，（其中n∈N*）（1）求a0及Sn=a1+2a2+3a3+…+nan；（2）试比较Sn与n3的大小，并说明理由．18. （10分）(2020·金堂模拟) 中央政府为了对应因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：参考数据：.（1）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异：（2）若从年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查，求选中的2人中恰有1人支持“延迟退休”的概率.19. （10分）(2020·乌鲁木齐模拟) 如图，在四棱锥中，平面，是正方形，是中点，点在上，且 .（1）证明平面；（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.20. （10分）(2014·山东理) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．（1）求C的方程；（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．21. （5分）已知函数f（x）=ex+x2﹣x，若对任意x1 ，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k恒成立，求k的取值范围．22. （10分） (2018高二下·永春期末) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为 .（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，求 .23. （15分） (2018高二上·武邑月考) 已知二次函数满足，且对一切实数恒成立.（1）求；（2）求的解析式；（3）求证：．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。

浙江省舟山中学高三数学仿真试卷理(含解析)

2016年浙江省舟山中学高考数学仿真试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．集合A={0，2，3}，B={x|y=3x﹣x0}，则A∩B=（）A．{0} B．{8，26} C．{8} D．{2，3}2．若函数f（x）=3sin（2x+θ）（0＜θ＜π）是偶函数，则f（x）在[0，π]上的递增区间是（）A．[0，] B．[，π] C．[，] D．[，π]3．已知a，b是两条互相垂直的异面直线，下列说法中不正确的是（）A．存在平面α，使得a⊂α且b⊥αB．存在平面β，使得b⊂β且a∥βC．若点A，B分别在直线a，b上，且满足AB⊥b，则一定有AB⊥aD．过空间某点不一定存在与直线a，b都平行的平面4．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，若|PF2|=2|PF1|，∠F1PF2=60°，则双曲线离心率等于（）A．B．C． +D．﹣5．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得的最小值为（）A．B．C．D．6．已知x，y满足的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3．则a的取值范围是（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[﹣1，0] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）7．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设坐标原点为O，若（m，n∈R），且mn=，则该双曲线的渐近线为（）A．B．C． D．8．若函数f（x）=x2+ax+b有两个零点x1，x2，且3＜x1＜x2＜5，那么f（3），f（5）（）A．只有一个小于1 B．都小于1C．都大于1 D．至少有一个小于1二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．若点A（0，1）落在圆C：x2+y2+2x﹣4y+k=0（C为圆心）的外部，则|AC|= ，实数k的取值范围是．10．设，为单位向量，且，的夹角为60°，若=+3， =2，则|+|等于，向量在方向上的投影为．11．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的所有棱长之和等于，棱锥的体积等于．12．已知数列{a n}为首项为a的等差数列，数列{+2n}是公比为q的等比数列，则q= ，实数a的取值范围是．13．抛物线x2=﹣8y的准线交y轴于点A，过A作直线交抛物线于M，N两点，点B在抛物线的对称轴上，若（2+）⊥，则||的取值范围是．14．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列命题正确的是．（写出所有正确的命题的编号）①线段BM的长是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE．15．△ABC中，AB=5，AC=2，BC上的高AH=4， =x+y，则= ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足=，b=，cos2C=．（Ⅰ）求B，a的值；（Ⅱ）若A＞，如图，D为边BC中点，P是边AB上动点，求|CP|+|PD|的最小值．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：AD⊥BM；（Ⅱ）若=λ（0＜λ＜1），当二面角E﹣AM﹣D大小为时，求λ 的值．18．已知数列{a n}的前n项和记为S n，且满足S n=2a n﹣n（n∈N*）．（1）求a1，a2的值，并证明：数列{a n+1}是等比数列；（2）证明：．19．已知中心在原点O的椭圆左，右焦点分别为F1，F2，F2（1，0），且椭圆过点（1，）（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=ax2+bx+c，当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立．（Ⅰ）若a=1，b=c，求实数b的取值范围；（Ⅱ）若g（x）=|cx2﹣bx+a|，当|x|≤1时，求g（x）的最大值．2016年浙江省舟山中学高考数学仿真试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．集合A={0，2，3}，B={x|y=3x﹣x0}，则A∩B=（）A．{0} B．{8，26} C．{8} D．{2，3}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={0，2，3}，B={x|y=3x﹣x0}={x|x≠0}，∴A∩B={2，3}，故选：D．2．若函数f（x）=3sin（2x+θ）（0＜θ＜π）是偶函数，则f（x）在[0，π]上的递增区间是（）A．[0，] B．[，π] C．[，] D．[，π]【考点】正弦函数的奇偶性．【分析】利用诱导公式，余弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=3sin（2x+θ）（0＜θ＜π）是偶函数，∴φ=，f（x）=3sin （2x+）=3cos2x，令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ，可得函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z．则f（x）在[0，π]上的递增区间为[，π]，故选：B．3．已知a，b是两条互相垂直的异面直线，下列说法中不正确的是（）A．存在平面α，使得a⊂α且b⊥αB．存在平面β，使得b⊂β且a∥βC．若点A，B分别在直线a，b上，且满足AB⊥b，则一定有AB⊥aD．过空间某点不一定存在与直线a，b都平行的平面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据异面直线的性质进行逐项分析判断．【解答】解：对于A，设a，b的公垂线为AB，其中A∈a，B∈b．过B作a的平行线a′，设直线a与a′确定的平面为平面α，则AB⊂α，a⊂α，a′⊂α，∵b⊥AB，b⊥a，∴b⊥α．故A正确；对于B，过b上一点C作a′∥a，设b与a′所确定的平面为β，则a∥β，故B正确．对于C，设a，b的公垂线为CB，且C∈a，B∈b．在a上取异于C的点A，则b⊥平面ABC，∴AB⊥b，但显然AB与a不垂直，故C错误；对于D，当空间一点在直线a或直线b上时，显然不存在与直线a，b都平行的平面，故D 正确．故选：C．4．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，若|PF2|=2|PF1|，∠F1PF2=60°，则双曲线离心率等于（）A．B．C． +D．﹣【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，结合双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由双曲线的定义可得，|PF2|﹣|PF1|=2a，由|PF2|=2|PF1|，可得|PF2|=4a，|PF1|=2a，在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF2|2+|PF1|2﹣2|PF2|•|PF1|cos∠F1PF2，即为4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•=12a2，即有c=a，则e==．故选：B．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得的最小值为（）A．B．C．D．【考点】基本不等式；等比数列的通项公式．【分析】由 a7=a6+2a5求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．【解答】解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足 a7=a6+2a5，可得，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．∵，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，∴，当且仅当=时，等号成立．故的最小值等于，故选A．6．已知x，y满足的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3．则a的取值范围是（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[﹣1，0] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出x、y满足约束条件图形，由图形判断出最优解，列出关于a的不等关系，再由不等式求出a的取值范围即可．【解答】解：画出x、y满足约束条件所围成的图形，有3个顶点（3，9），（3，﹣3），（﹣3，3），把它们分别代入ax+y得（3，9）⇒z=3a+9（3，﹣3）⇒z=3a﹣3（﹣3，3）⇒z=﹣3a+3由题意得，解得﹣1≤a≤1．故选B．7．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设坐标原点为O，若（m，n∈R），且mn=，则该双曲线的渐近线为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出A、C坐标，然后求出P的坐标，代入双曲线方程，利用mn=，即可求出双曲线的离心率，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由题意可知A（c，），B（c，），代入=（（m+n）c，（m﹣n）），得P（（m+n）c，（m﹣n）），代入双曲线方程=1，整理可得4e2mn=1，因为mn=，所以可得e=，所以=，所以1+=，所以=，所以双曲线的渐近线方程为y=±x，故选：B．8．若函数f（x）=x2+ax+b有两个零点x1，x2，且3＜x1＜x2＜5，那么f（3），f（5）（）A．只有一个小于1 B．都小于1C．都大于1 D．至少有一个小于1【考点】二次函数的性质．【分析】由题意可得f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2），利用基本不等式可得f（3）•f（5）＜1，从而得出结论．【解答】解：由题意可得函数f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2），∴f（3）=（3﹣x1）（3﹣x2）=（x1﹣3）（x2﹣3），f（5）=（5﹣x1）（5﹣x2），∴f（3）•f（5）=（x1﹣3）（x2﹣3）（5﹣x1）（5﹣x2）=[（x1﹣3）（5﹣x1）][（x2﹣3）（5﹣x2）]＜（）2（）2=1×1=1，即 f（3）•f（5）＜1．故f（3），f（5）两个函数值中至少有一个小于1，故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．若点A（0，1）落在圆C：x2+y2+2x﹣4y+k=0（C为圆心）的外部，则|AC|= ，实数k的取值范围是（3，5）．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆的圆心坐标，利用距离公式求解|AC|，列出不等式求解实数k的取值范围．【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+k=0，C为圆心（﹣1，2），半径为：．则|AC|==．点A（0，1）落在圆C：x2+y2+2x﹣4y+k=0（C为圆心）的外部，，可得：k∈（3，5）．故答案为：10．设，为单位向量，且，的夹角为60°，若=+3， =2，则|+|等于3，向量在方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量的运算和向量模的即可求出，利用向量在向量方向上的投影公式求得答案．【解答】解：∵设，为单位向量，且，的夹角为60°，=+3， =2，∴|+|2=2+2+||||cos60°=1+1+1=3，∴|+|=，∴+=3+3=3（+），∴|+|=3，∵•=（+3）•2=6•+22=6×1×1×+2=5，||=|2|=2，∴向量在方向上的投影为=，故答案为：，．11．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的所有棱长之和等于4+4，棱锥的体积等于．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，在对应的正方体中作出此三棱锥，利用正方体的长度和位置关系求出各个棱长，利用分割法和椎体的体积公式求出此三棱锥的体积．【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥A﹣BCD，如图：图中的正方体的棱长是2，其中A、B、E、F分别是对应边的中点，C、D是对应面的中心，由图得，AB⊥平面CDE，AB=CD=2，CF=AE=BE=1，又BF=，则BC==，即AD=BD=AC=BC=所以棱锥的各棱长之和：4+4，又DE=EC=BF=，CD=2，所以几何体的体积V=V A﹣DEC+V B﹣DEC=2×=2×=，故答案为：．12．已知数列{a n}为首项为a的等差数列，数列{+2n}是公比为q的等比数列，则q= 1，或2 ，实数a的取值范围是a≠﹣1 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∴a2+2=a+2+d，a4+4=a+3d+4，a8+8=a+7d+8，∵数列{+2n}是公比为q的等比数列，∴（a+3d+4）2=（a+2+d）（a+7d+8），化为：d=﹣1或d=a．①d=﹣1时，a2+2=a+1，a4+4=a+1，a8+8=a+1，a≠﹣1时，q=1．②d=a，a2+2=2a+2，a4+4=4a+4，a8+8=8a+8，a≠﹣1时，q=2．综上可得：q=1，2，a≠﹣1．故答案分别为：q=1，2；a≠﹣1．13．抛物线x2=﹣8y的准线交y轴于点A，过A作直线交抛物线于M，N两点，点B在抛物线的对称轴上，若（2+）⊥，则||的取值范围是（6，+∞）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可设直线MN的方程为y=kx+2，M （x1，x2），N（x2，y2），MN 的中点E（x0，y0），联立方程可得x2+8kx+16=0，由△＞0可求k的范围，由方程的根与系数关系及中点坐标公式可求MN的中点E，由即BE⊥MN即M在MN的垂直平分线，则MN的垂直平分线与y轴的交点即是B，令x=0可求B的纵坐标，结合K的范围可求||的范围【解答】解：由题意可得A（0，2），直线MN的斜率k存在且k≠0设直线MN的方程为y=kx+2，M （x1，x2），N（x2，y2），MN 的中点E（x0，y0），联立方程可得x2+8kx+16=0则可得，△=64k2﹣64＞0，即k2＞1，x1+x2=﹣8k，y1+y2=k（x1+x2）+4=4﹣8k2∴x0=（x1+x2）=﹣4k，y0=（y1+y2）=2﹣4k2即E（﹣4k，2﹣4k2）又2+=2+2=2，∵（2+）⊥，即BE⊥MN即M在MN的垂直平分线则MN的垂直平分线y+4k2﹣2=﹣（x+4k）与y轴的交点即是B，令x=0可得，y=﹣2﹣4k2则||=2+4k2＞6故答案为（6，+∞）．14．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列命题正确的是①②④．（写出所有正确的命题的编号）①线段BM的长是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得①②正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得③不正确．【解答】解：①取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，FB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故①正确．②∵B是定点，∴M是在以B为球心，MB为半径的球上，故②正确，③∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确，故③错误．④取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；故正确的命题有：①②④，故答案为：①②④．15．△ABC中，AB=5，AC=2，BC上的高AH=4， =x+y，则= ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可过H作AC的平行线交AB于D，作AB的平行线，交AC于E，这样根据正弦定理及平行线的知识、三角函数的诱导公式即可得出，而由条件容易求出cosC，cosB 的值，进而得出．由向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义可得到，进而可以求出x，y，从而得出的值．【解答】解：如图，过H分别作AC，AB的平行线，分别交AB于D，AC于E；则四边形ADHE为平行四边形；由正弦定理，；在Rt△ABH中，AB=5，AH=4；∴BH=3，cosB=；同理cosC=；∴；∵=；又；∴；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足=，b=，cos2C=．（Ⅰ）求B，a的值；（Ⅱ）若A＞，如图，D为边BC中点，P是边AB上动点，求|CP|+|PD|的最小值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出关系式代入求出cosB的值，确定出B的度数，由题意确定出sinC的值，再由b与sinB的值，利用正弦定理求出c的值，再利用余弦定理求出a的值即可；（Ⅱ）由A＞，知a=2，作C关于AB的对称点C′，连C′D，C′P，C′B，如图所示，由余弦定理求出C′D的长，利用两点之间线段最短即可确定出|CP|+|PD|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得： ==，整理得：a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，∵B为△ABC的内角，∴B=；由cos2C=，得到sinC=，∵b=，sinB=，由正弦定理得： =，即=，解得：c=3，由b2=a2+c2﹣ac，得7=a2+9﹣3a，即a2﹣3a+2=0，解得：a=1或a=2；（Ⅱ）由A＞，知a=2，作C关于AB的对称点C′，连C′D，C′P，C′B，由余弦定理得：|C′D|2=|BD|2+|BC′|2+|BD|•|BC′|=12+22+2=7，|CP|+|PD|=|C′P|+|PD|≥|C′D|=，当C′，P，D共线时取等号，则CP+PD的最小值为．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：AD⊥BM；（Ⅱ）若=λ（0＜λ＜1），当二面角E﹣AM﹣D大小为时，求λ 的值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出BM⊥AM，从而BM⊥平面ADM，由此能证明AD⊥BM．（Ⅱ）法一：过点E作MB的平行线交DM于F，过点F作AM的垂线，垂足为H，连接HE，则∠EHF即为二面角E﹣AM﹣D的平面角，由此能求出当二面角E﹣AM﹣D大小为时λ 的值．法二：以M为原点，MA，MB 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当二面角E﹣AM﹣D大小为时λ 的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵，∴BM⊥AM，又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面ADM．又AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM．解：（Ⅱ）（方法一）过点E作MB的平行线交DM于F，由BM⊥平面ADM，得EF⊥平面ADM，在平面ADM中过点F作AM的垂线，垂足为H，连接HE，则∠EHF即为二面角E﹣AM﹣D的平面角，大小为．设FM=x，则，在Rt△FHM 中，由∠EFH=90°，∠EHF=60°，则．由EF∥MB，MB=2，则，即，解得x=4﹣2．故当二面角E﹣AM﹣D 大小为时，，即．（方法二）以M为原点，MA，MB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，M（0，0，0），，，，且，所以，，设平面EAM 的法向量为，则，，所以，．又平面DAM 的法向量为，所以，，解得，或（舍去）．所以，．18．已知数列{a n}的前n项和记为S n，且满足S n=2a n﹣n（n∈N*）．（1）求a1，a2的值，并证明：数列{a n+1}是等比数列；（2）证明：．【考点】数列的求和．【分析】（1）分别令n=1，2，计算即可得到所求；由当n≥2时，S n=2a n﹣n，S n﹣1=2a n﹣1﹣（n ﹣1），相减再由构造数列，即可得证；（2）先证得﹣•≤＜，累加再由不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）当n=1时，2a1﹣1=S1，解得a1=1，当n=2时，S2=2a2﹣2⇒a1+a2=2a2﹣2⇒a2=a1+2=3，当n≥2时，S n=2a n﹣n，S n﹣1=2a n﹣1﹣（n﹣1），两式相减得：a n=2a n﹣2a n﹣1﹣1，即a n=2a n﹣1+1，两边同加1得到：a n+1=2（a n﹣1+1），所以{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）证明：，，求和得到不等式：，因为，所以原不等式成立．19．已知中心在原点O的椭圆左，右焦点分别为F1，F2，F2（1，0），且椭圆过点（1，）（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）方法一、求得c=1，将已知点代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；方法二、运用椭圆的定义，结合两点的距离公式，求得a=2，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆的半径R，可得三角形的面积为4R，可设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求最大值及此时直线的方程．【解答】解：（1）法一：由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）．由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，将（1，）代入椭圆方程可得+=1，解得a=2，b=，可得椭圆方程为+=1；法二：直接用椭圆的定义，由椭圆的焦点为（﹣1，0），（1，0）且过（1，），可得，即a=2，c=1，b==，得到椭圆方程为为+=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆的半径R，由椭圆的定义可得△F1AB的周长为4a=8，可得，因此△F1AB面积最大，R就最大，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则S=|F1F2|•（y1﹣y2）===，令t=，则m2=t2﹣1，代入得=≤=3，即当t=1，m=0时，S≤3，又因为S=4R，所以R max=，这时所求内切圆面积的最大值为πR2=，故存在直线方程为x=1，△F1AB内切圆面积的最大值为．20．已知函数f（x）=ax2+bx+c，当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立．（Ⅰ）若a=1，b=c，求实数b的取值范围；（Ⅱ）若g（x）=|cx2﹣bx+a|，当|x|≤1时，求g（x）的最大值．【考点】二次函数的性质；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）若a=1，b=c，则|f（1）|=|1+b+b|≤1，f（x）的对称轴，进而求得实数b的取值范围；（Ⅱ）由当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立，可知|f（﹣1）|≤1，|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，利用放缩法，可得当x=0时，g（x）=|﹣x2+2|取到最大值2．【解答】解：（Ⅰ）由a=1且b=c，得，…当x=1时，|f（1）|=|1+b+b|≤1，得﹣1≤b≤0．…故f（x）的对称轴，所以当|x|≤1时，，…解得…综上，实数b的取值范围为．…（Ⅱ）由当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立，可知|f（﹣1）|≤1，|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，…且由 f（﹣1）=a﹣b+c，f（0）=c，f（1）=a+b+c，解得，，c=f（0）．…故≤1+1=2…且当a=2，b=0，c=﹣1时，若|x|≤1，则|f（x）|=|2x2﹣1|≤1恒成立，且当x=0时，g（x）=|﹣x2+2|取到最大值2．所以，g（x）的最大值为2．…。

2020年浙江省舟山市市第二高级中学高一数学理模拟试题含解析

2020年浙江省舟山市市第二高级中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 倾斜角为135?，在轴上的截距为的直线方程是（）A. B. C. D.参考答案：D2. 函数f(x)=ln(x-)的图象是（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】求出函数的定义域，通过函数的定义域，判断函数的单调性，推出选项即可．【解答】解：因为x-＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函数f(x)=ln(x-)的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A、C不正确．当x∈（﹣1，0）时， g(x)=x-是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f(x)=ln(x-)是增函数．故选B．【点评】本题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用，考查基本知识的综合应用，考查数形结合，计算能力．判断图象问题，一般借助：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、以及函数的图象的变化趋势等等．3. 下列计算正确的是( )A．（a3）2=a9 B．log26﹣log23=1C．a?a=0 D．log3（﹣4）2=2log3（﹣4）参考答案：B【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用有理指数幂以及对数运算法则判断选项即可．【解答】解：（a3）2=a6，A不正确；log26﹣log23=log22=1，B正确；a?a=a0=1，C不正确；log3（﹣4）2=2log3（﹣4），不正确；故选：B．【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，是基础题．4. 设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：5. （4分）下列各数中最小的数是（）A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．1111111（2）参考答案：考点：进位制．专题：算法和程序框图．分析：将四个答案中的数都转化为十进制的数，进而可以比较其大小．解答：85（9）=8×9+5=77，210（6）=2×62+1×6=78，1000（4）=1×43=64，1111111（2）=1×27﹣1=127，故最小的数是1000（4）故选：C点评：本题考查的知识点是不同进制数之间的转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的转化规则．6. 已知的图像关于原点对称，且时，，则时，（）．A．B．C．D．参考答案：D∵的图象关于原点对称，∴是奇函数，又∵当时，，∴时，，故选．7. 已知函数f（x）的定义域为[0，1]，则函数f（x+2）的定义域为（）A．[﹣2，﹣1] B．[2，3] C．[﹣2，2] D．[﹣1，3]参考答案：A【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的定义域求出x+2的范围，解出即可．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[0，1]，∴0≤x+2≤1，解得：﹣2≤x≤﹣1，故选：A．【点评】本题考查了求抽象函数的定义域问题，是一道基础题．8. 利用“长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四面体A1BC1D”的特点，求得四面体PMNR（其中PM=NR=，PN=MR=，MN=PR=）的外接球的表面积为（）A．14πB．16πC．13πD．15π参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为，，，则长方体的对角线长等于四面体PMNR外接球的直径，即可求出四面体PMNR外接球的表面积．【解答】解：由题意，构造长方体，使得面上的对角线长分别为，，，则长方体的对角线长等于四面体PMNR外接球的直径．设长方体的棱长分别为x，y，z，则x2+y2=10，y2+z2=13，x2+z2=5，∴x2+y2+z2=14∴三棱锥O﹣ABC外接球的直径为，∴三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为π?14=14π，故选A．9. 已知，则的值为A. B. C. D.参考答案：B10. 设a=log1.10.5，b=log1.10.6，c=1.10.6，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】先利用函数的单调性比较a与b的大小，再利用中间量比较c与a、b大小．【解答】解：因为对数函数y=log1.1x在（0，+∞）上单调递增，且0.5＜0.6＜1所以a＜b＜0，又c=1.10.6＞1，所以a＜b＜c，故选A．【点评】本题考察比较大小，属基础题，比较三者的大小时常用中间量（0、1）法．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知集合A={x|1＜x﹣1≤4}，B=（﹣∞，a），若A?B，则实数a的取值范围是．参考答案：（5，+∞）【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】先解出集合A=（2，5]，而根据A?B便得到，a＞5，即可得出结论．【解答】解：A=（2，5]，A?B；∴5＜a，∴a∈（5，+∞）．故答案为：（5，+∞）．【点评】考查子集的概念，注意由A?B得到5＜a，而不是5≤a．12. 若a，b是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．参考答案：9试题分析：由可知同号，且有，假设，因为排序后可组成等差数列，可知其排序必为，可列等式，又排序后可组成等比数列，可知其排序必为，可列等式，联解上述两个等式，可得，则．考点：等差数列中项以及等比数列中项公式的运用．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q．13. 已知二次函数在上是增函数，则的取值范围是_________.参考答案：略14. 直线l1:与直线l2：的交点在第二象限内，则a的取值范围是。

浙江省舟山中学2020届高三3月月考数学试题(含答案)

舟山中学高三数学学科 3 月月考卷
考生须知：
1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷．
选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
| PF | −d 的最大值是
．
15．在 ΔABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若C = 2B ，4b = 3c ，a = 1 ，则sin A =
的面积是
．
，ΔABC
16．已知 x, y R ，且满足 4x + y + 2xy +1 = 0 ，则 x2 + y2 + x + 4 y 的最小值是
B． an + an+1 ln 3
C． S2020 666
D． a2n−1 a2n
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．
11．若复数 z = 2 + i ( i 为虚数单位)，则 z =
．
1−i
12．我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六
…………15 分
平面 BDB1 即为平面 BDP ，平面 ACC1 即平面 ACP ,
设直线 A1B1 与平面 ACC1 所成角为θ
过 P 作 PG ⊥ BD ,垂足为 G ,因为 BP = 6 ,所以 BG = 3 3

【精品解析】2020年浙江省舟山中学高三下学期6月高考仿真模拟数学试题

2．A
故选A
3．
试题分析：A．不能得出，所以本题条件是的不充分条件；B．，当时，不一定有故本命题正确；C．不能得出，故不满足充分条件；D．不能得出，故不满足充分条件；故选B.
考点：平面与平面垂直的方法.
4．D
由，可得，解得，故选D.
考点：空间向量坐标形式的运算.
5．D
试题分析：作出平面区域如图，目标函数在x-y+2=0与3x-y-6=0的交点出取得最大值12，所以有，即，所以．
对B：反例：，，
满足，
此时，，，，数列不是单调递增数列.
对C：反例：，满足条件.
但对任意的有，
因此不存在正整数M，当时，恒成立.
对D：当时，
因此，
即
因此存在正整数，
当时，恒成立，故D正确.
故选：D
本题考查由数列的递推公式研究数列的性质，属于难题.
10．D
先求得，，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
14．已知，，，则 _______； __.
三、填空题
15．已知，满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围为__________．
16．如图，已知正方体的棱长为，长为的线段的一个端点在棱上运动，点在正方体的底面内运动，则的中点的轨迹的面积是________．
17．已知平面向量满足，则的夹角为___________．
考点：简单线性规划、基本不等式在最值中的应用．
6．B
试题分析：两个曲线的，和，故两个曲线的相等，即焦距相等，而两个曲线的，另一个，所以离心率不同，虚轴也不同，故选B．
考点：双曲线的性质

2020年浙江省舟山市市普陀中学高三数学文月考试题含解析

2020年浙江省舟山市市普陀中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的函数是A. B.C. D.参考答案：C略2. 函数的图象的大致形状是（）参考答案：D3. 若函数，当时,,若在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是( )....参考答案：A4. 设函数，则使得成立的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C11.设，则的大小关系为（）A．B． C. D．参考答案：A6. 不等式的解集是( )A． B． C． D．参考答案：A略7. i为虚数单位，, 则的共轭复数为 ( )A. 2-iB. 2+iC. -2-iD. -2+i 参考答案：【知识点】复数代数形式的乘除运算;共轭复数.【答案解析】C解析：解：因为，故的共轭复数为，故选C.【思路点拨】先把原式化简，再利用共轭复数的概念即可求得结果.8. 已知i为虚数单位，（1﹣2i）?z=i3．则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由（1﹣2i）?z=i3，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由（1﹣2i）?z=i3，得=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第四象限．故选：D．9. 已知函数在点处的切线与的图象有三个公共点，则的取值范围是（）．A. B.C. D.参考答案：D10. 已知函数，若存在实数满足其中，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B试题分析：由题意知，因此，，得，令，得或，由图知，令，得或，，，故答案为B考点：1、函数的图象；2、对数的运算性质二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，其中实数满足，则的最大值是参考答案： 8 略12. 已知函数的图象为，则下列说法：①图象关于点对称；②图象关于直线对称；③函数在区间内是增函数；④由的图象向左平移个单位长度可以得到图象．其中正确的说法的序号为 .参考答案：②③13. 设函数．若有唯一的零点（），则实数a ＝．参考答案： 414. 已知函数的值域为,则实数的取值范围是参考答案：[0,1]15. 若变量x,y 满足约束条件则Z=2x-y 的最大值为（）A.2B.5C.1D.4参考答案：B略16. 在二项式的展开式中，的一次项系数是，则实数的值为．参考答案：117. 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为.（Ⅰ）如果不限定车型，，则最大车流量为辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，, 则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加辆/小时.参考答案：（Ⅰ）1900；（Ⅱ）100三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020届浙江省舟山中学2017级高三3月月考数学试卷无答案

+
1 2
cos
2x+
6
.
（Ⅰ）求
f
24
的值；（Ⅱ）求函数
y
=
f
(x)
的最小正周期及其单调递增区间．
19．（本小题满分
15
分）如图，在四棱台
ABCD −
A1B1C1D1 中，底面
ABCD 是菱形，ABC
=
3
， B1BD
=
6
，
B1BA = B1BC ， AB = 2A1B1 = 2 ， B1B = 3 ．
（Ⅰ）求证：直线 AC ⊥ 平面 BDB1；
（Ⅱ）求直线 A1B1 与平面 ACC1 所成角的正弦值．
高三数学学科试题第2页（共 4 页）
第 19 题图
20．（本小题满分 15 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn ，满足 a4 − a2 = 12 ， S4 + 2S2 = 3S3 ，数列bn 满足 b1 = 0 ，且 n(bn+1 +1) − (n +1)(bn +1) = n(n +1) （ n N* ）．
B． an + an+1 ln 3
C． S2020 666
D． a2n−1 a2n
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．
11．若复数 z = 2 + i ( i 为虚数单位)，则 z =
．
1−i
12．我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六
B． E ( X ) = E (Y )

浙江省舟山中学2020届高三3月月考数学试题

朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算．”其大意为“某人行路，每天走的路是前一天的一半，6 天共走了
378 里．”则他第六天走
里路，前三天共走了
里路．
13．在二项式
x2
−
1 x
6
的展开式中，常数项是
，所有二项式系数之和是
．
14．设椭圆 C : x2 + y2 = 1的左焦点为 F ，直线l : x − y + 2 = 0 ．动点 P 在椭圆 C 上，记点 P 到直线l 的距离为d ，则 2
D．以上均不正确
( ) 10．已知数列 an 满足： a1 = 0, an+1 = ln ean +1 − an （ n N* ），前 n 项和为 Sn
( 参考数据： ln 2 0.693, ln 3 1.099 )，则下列选项中错．误．的是
A． a2 n−1 是单调递增数列，a2n 是单调递减数列
=
3x ，则双曲线的离心率是
A． 10
B． 10 10
C． 3 10 10
D． 3 10
x − y +6 0
3．若直线
y
=
ax
+
2a
与不等式组
x
3
表示的平面区域有公共点，则实数 a 的取值范围是
x + y − 3 0
3
A．
0,
9 5
B． 0, 9
C．0, +)
D． (−,9
6
4．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），该几何体的体积（单位： cm3 ）是
B． an + an+1 ln 3
C． S2020 666

浙江省舟山中学2022届高三下学期3月质量抽查数学试题Word版含解析

浙江省舟山中学2022届高三下学期3月质量抽查数学试题一、单选题1．若集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|516B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 组成的集合为（） A ．{}|27a a ≤≤ B ．{}|67a a ≤≤C ．{}7|a a ≤D ．∅2．直线413y x =+截圆22(1)(4)4x y -+-=所得的弦长AB =（）A ．1BC ．2D ．3．不等式312ax x +--≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．[)2,+∞D ．a R ∈4．已知函数()1f x x x=+，()cos g x x =，则部分图像为如图的函数可能是（）A ．()()y f x g x =+B ．()()y f x g x =-C ．()()y f x g x =⋅D ．()()g x y f x =5．定义在R 上的奇函数()f x 的周期为4，若()12f -=-，则()()2021f f -的值是（） A ．2-B ．1-C ．1D ．26．现有,,,,A B C D E 五名志愿者分配到甲，乙，丙三个不同社区参加志愿者活动，每个社区至少安排一人，则A 和B 分配到同一社区的概率为（） A ．320B ．325C ．625D ．6357．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，数列{}n c 满足*()n n n c a b n N =∈.若12c =，26c =，312c =，则8c =（）A ．28B ．56C ．72D ．908．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为正三角形，侧棱1AA 垂直于底面ABC ,D 为AC 中点，则下列判断不正确．．．的是（）A ．1C D 与1BB 是异面直线 B ．11BD AC ⊥ C ．面1BDC ⊥面11AAC CD ．11//A B 面1BDC9．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( ) A ．(],2-∞ B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()2,-+∞10．已知函数()f x 满足())11f x x R +=∈，则()()20212022f f +的最大值是（）A ．4B ．2C ．2D ．2二、双空题11．若复数z 满足(1i)12i z -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是________，z =_________．12．等比数列{}n a 满足()1*192N n n n a a n -++=⋅∈，则1a =___________；7100122224log log log log 3333a a a a+++⋅⋅⋅+=___________. 13．已知函数2log ,0()3+1,0x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则[](1)=f f ____；若()1f x =-，则=x ____.14．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，第()*N ,2n n n ∈≥行的数字之和为______；去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前46项和为______.三、填空题15．平面向量,,a b e 满足1e =，1,2,2a e b e a b ⋅=⋅=-=，则a b ⋅的最小值为________. 16．不等式322312x a x a ++--+>对任意的x ∈R 是恒成立的，则实数a 取值范围为__________.17．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1BD 上的动点，下列四个结论：①存在点M ，使得1//C M 平面1AB C ；①存在点M ，使得直线AM 与直线1B C 所成的角为60︒；①存在点M ，使得三棱锥11D C DM -的体积为18；①存在点M ，使得αβ>，其中α为二面角1M AA B --的大小，β为直线1MA 与直线AB 所成的角.则上述结论正确的有____________.（填上正确结论的序号）四、解答题18．设函数()()sin cos f x x x x R =-∈.(1)求()()22y f x f x ππ=+⋅-的最小值和对称轴方程；(2)'()f x 为()f x 的导函数，若'00()3()f x f x =-，求000sin 2cos 2tan 4x x x π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的值.19．如图，三棱锥A BCD -中，ABC 为等边三角形，且面ABC ⊥面BCD ，CD AB ⊥．(1)求证：CD BC ⊥；(2)当AD 与平面BCD 所成角为45°时，求二面角C AD B --的余弦值．20．已知数列{}n a 是等差数列，其首项和公差都为1，数列{}n b 是等比数列，其首项和公比都为2，数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ． (1)求n S ；(2)证明：当*n ∈N 时，12111710n S S S +++<． 21．如图，已知椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，斜率为k 且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A ､B 两点.(1)若OA OB +与(3,1)a k =-共线. （i ）求椭圆的离心率；（ii ）设P 为椭圆上任意一点，且OP OA OB λμ=+（λ，μ∈R ），当1k ≥时，求证：2234λμ+>.(2)已知椭圆的面积0=S ab π，当k =1时，①AOB 的面积为S ，求S S的最小值.22．已知函数()ln 1f x ax x =--. (1)若()0f x ≥恒成立，求a 的最小值；(2)求证：ln 10xe x x x-++-≥；(3)已知2()ln x k e x x x x -+≥-恒成立，求k 的取值范围．参考答案：1．C 【解析】考虑A =∅和A ≠∅两种情况，得到21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得答案.【详解】当A =∅时，即2135a a +>-，6a <时成立；当A ≠∅时，满足21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得67a ≤≤；综上所述：7a ≤. 故选：C. 【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集的情况是容易发生的错误. 2．D 【解析】【分析】求出已知圆的圆心到直线413y x =+的距离，再利用几何法求出弦长即可得解. 【详解】依题意，圆22(1)(4)4x y -+-=的圆心(1,4)C ，半径2r =，则点C 到直线413y x =+，即4330x y -+=的距离1d ==，于是得AB =所以AB = 故选：D 3．C 【解析】【详解】试题分析：因()31g x x x =+--的最大值为4，故24a ≥，解之得2a ≥，所以应选C. 考点：绝对值不等式恒成立的问题及处理方法． 4．D 【解析】【分析】先求解()1f x x x=+与()cos g x x =的奇偶性，进而判断出()()y f x g x =+与()()y f x g x =-非奇非偶函数，排除AB 选项，再结合x 从正数趋向于0时，()()y f x g x =⋅与()()g x y f x =的趋向的值，选出正确答案. 【详解】因为()1f x x x=+定义域为()(),00,∞-+∞，()()1f x x f x x-=--=-，所以()1f x x x =+为奇函数，()cos g x x =定义域为R ，且()()()cos cos g x x x g x -=-==，所以()cos g x x =为偶函数，则()()y f x g x =+与()()y f x g x =-是非奇非偶函数，()()y f x g x =⋅和()()g x y f x =为奇函数，当x 从正数趋向于0时，()()1cos y f x g x x x x ⎛⎫==⋅+→+∞ ⎪⎝⎭，C 选项错误；当x 从正数趋向于0时，()()cos 01g x xy f x x x==→+，符合题意. 故选：D 5．A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性及周期性即可得解. 【详解】由()f x 为定义在R 上的奇函数且周期为4，()00f ∴=()()()()()2021011(1)2f f f f f f ∴-=-=-=-=-故选：A6．C 【解析】【分析】把,,,,A B C D E 五名志愿者分配到甲，乙，丙三个不同社区的基本事件分为1,1,3和1,2,2两种情况，从而求基本事件的总数；然后再求A 和B 分配到同一社区所包含的基本事件个数，从而求出概率. 【详解】把,,,,A B C D E 分成三组有1,1,3和1,2,2两种情况，①当为1,1,3时，基本事件的个数为113354332260C C C A N A ==； ①当为1,2,2时，基本事件的个数为122354232290C C C A N A ==，所以基本事件的总数为6090150N =+=；A 和B 分配到同一社区包含的基本事件个数为213133133336n C C A C A =+=，所以A 和B 分配到同一社区的概率为36615025P ==，故选：C. 7．C 【解析】【分析】设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ，则()()111212,n n a d n a d b d n b d =+-=+-，则()()111212n n n a c a d n d d n b d b +-+-⎡⎦=⎣=⎤⎡⎤⎦⎣，则数列{}n c 的通项为二次三项式，可设2n c an bn c =++，再根据12c =，26c =，312c =，求得a 、b 、c ，从而可得答案.【详解】解：设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ，则()()111212,n n a d n a d b d n b d =+-=+-，则()()111212n n n a c a d n d d n b d b +-+-⎡⎦=⎣=⎤⎡⎤⎦⎣，则数列{}n c 的通项为二次三项式，可设2n c an bn c =++，因为12c =，26c =，312c =，则有24269312a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得110a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以2n c n n =+，所以864872c =+=.故选：C. 8．D 【解析】【分析】根据异面直线的定义结合三棱柱111ABC A B C -的性质即可判断A ；证明BD ⊥平面11ACC A ，根据线面垂直的性质即可判断B ；由BD ⊥平面11ACC A ，利用面面垂直的判定定理即可判断C ；由AB ⋂平面1BDC B =，11AB A B ∕∕，即可得11A B 与面1BDC 不平行，从而判断D. 【详解】解：对于A ，在三棱柱111ABC A B C -中，11BB CC ∕∕，1CC ⊂平面11ACC A ，所以1BB ∕∕平面11ACC A ，又111CC C D C ⋂=，所以1C D 与1BB 是异面直线，故A 正确；对于B ，因为1AA 垂直于底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1AA BD ⊥，又因ABC 为正三角形，且D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，又1AC CC C =，所以BD ⊥平面 11ACC A ，又11A C ⊂11ACC A ，所以11BD A C ⊥，故B 正确；对于C ，因为BD ⊥平面11ACC A ，BD ⊂平面1BDC ，所以面1BDC ⊥面11AAC C ，故C 正确；对于D ，因为AB ⋂平面1BDC B =，所以AB 与面1BDC 不平行，又11AB A B ∕∕，所以11A B 与面1BDC 不平行，故D 错误. 故选：D. 9．D 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，f (x )在1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调增区间，等价于()0f x '>在1()22，上有有解，然后参变分离即可求解﹒ 【详解】①函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1()22，内存在单调递增区间， ①1()20f x ax x '=+>在区间1()22，上有解(成立)，即min212()a x >-在区间1()22，上成立，又函数2yx 在1()22，上单调递增， ①函数21y x =-在1()22，上单调递增，故当12x =时，21y x =-取最小值，即min 21()=4x--，即24a >-，得2a >-．故选：D ﹒ 10．B 【解析】【分析】将条件进行平方，利用作差法构造函数()()()22g x f x f x =-，然后利用基本不等式的性质，转化为关于()()20212020f f +的一元二次不等式，进行求解即可．【详解】解：由()()11f x x R +=∈，得()()220f x f x -≥，得()02f x ≤≤，平方得()()()22112f x f x f x +=+-①，又()212f x +=+，所以①－①得()()2211f x f x +-+()()2212f x f x ⎡⎤=++-⎣⎦()()212f x f x ⎡⎤=--⎣⎦，即()()()()2221121f x f x f x f x +-++-=①，设()()()22g x f x f x =-，则①等价为()()11g x g x ++=，即()()()()2111g x g x g x g x +++=++=，①()()2g x g x +=，则()()()()()()()()0242020,1352021g g g g g g g g ========，则()()()()20212020101g g g g +=+=，①()()()()222202120212202020201f f f f -+-=，即()()()()22220212020202120201f f f f ⎡⎤⎡⎤+-+=⎣⎦⎣⎦，即()()()()()()2220212020202120202202120201f f f f f f ⎡⎤⎡⎤+-++=⎣⎦⎣⎦，()()()()()()()()222021202021202012021202022021202022f f f f f f f f ⎡⎤+⎡⎤⎡⎤=++-+≤⨯⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()21202120202f f ⎡⎤=+⎣⎦，设()()20212020t f f =+，则不等式等价为221122t t t +-≤，整理得2420t t -+≤，得22t -≤+即()()2120202f f ≤+≤()()12020f f +的最大值为2 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数最值的求解，根据条件利用平方法，构造函数，结合基本不等式的性质，转化为一元二次不等式是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．11．32【解析】【分析】首先化简复数z 得到13i 22z =-+，再求虚部和模长即可. 【详解】因为(1i)12i z -=+，所以()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222z +++-+====-+--+. 所以z 的虚部是32.z = 故答案为：3212． 3 1683 【解析】【分析】利用给定的递推公式求出公比q ，进而求得a 1；写出数列{}n a 的通项，再求出2log 3na 的表达式即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比q ，因*n N ∈，1192n n n a a -++=⋅，211192292nn n n n n a a q a a ++-++⋅===+⋅，而219a a +=，即119q a a +=⋅，所以1a =3； 132n n a -=⋅，则212log log 132n n n a -=-=，所以数列2{log }3n a是首项为0，公差为1的等差数列，7100122224log log log log 0369916833333a a a a+++⋅⋅⋅+=++++=.故答案为：3；1683 13． 2 12【解析】【分析】根据分段函数，直接将数代入计算可得[](1)f f ，然后根据函数特点可得3+10x ->，所以可得()1f x =-时，此时x 的值. 【详解】由题可知：2(1)log 10f ==，所以[]()0(1)=0312f f f =+=又3+10x ->，所以当()1f x =-时，则2log 1x =-，所以12x = 故答案为：2，12 14． 12n - 2037 【解析】【分析】由n 次二项式系数对应杨辉三角形的第1n +行，从而求系数和即可得第一个空, 若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，进而找到第46项所在的位置,利用每一行的和为等比数列的基础上减去等差数列的和,即可得解. 【详解】n 次二项式系数对应杨辉三角形的第1n +行，例如：()22121x x x +=++，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第三行：令1x =，就可以求出该行的系数和，第1行为02，第2行为12，第3行为22，依此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，即杨辉三角第()*,2n n N n ∈≥行的数字之和为12n -，杨辉三角的前n 行的所有项的和为122112nn n S -==--. 若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则()12n n n T +=，且945T =，可得当9n =即第11行，再加上第12行的前1个数（去除两边的1），所有项的个数和为46，则杨辉三角形的前11行所有项的和为111121S =-.则此数列前46项的和为111121112112037S -+=-=.故答案为：12n -，2037. 【点睛】本题属于二项式和等差等比数列的综合题,以杨辉三角为背景处理和的问题,属于难题. 15．54【分析】利用平面向量坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 【详解】因为1e =，不妨设(1,0)e =，设1122(,)(,)a x y b x y =⋅=，所以1212(,)a b x x y y -=--，因为1a e ⋅=，所以11x =，因为2b e ⋅=，所以22x =，因此12(1,)a b y y -=--因为2a b -=2=，因此12y y -=因此22122222252()22(4a b y y y y y y ⋅=+=+=+=+，当23y =时，a b ⋅有最小值，最小值为54，故答案为：5416．()(),31,-∞-⋃+∞ 【解析】【分析】利用绝对值不等式可化2221a a +>++，整理即可得出结果. 【详解】不等式可化为：322321x a x a ++->++对任意的x ∈R 恒成立， 3223322322x a x x a x a ++-≥++-=+，2221a a ∴+>++，故12a +>，解得：1a >或3a <-. 故答案为：()(),31,-∞-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式.属于较易题. 17．①①【分析】①由平面1//ACB 平面11DC A 可判断; ①由直线1CB ⊥平面11ABC D 可判断; ①由点M 到平面11CDD C 的距离1h BC ≤=，11111111366D C DM M C DD C DD h V V S h --===≤可判断；①过M 作11//MO D A ,由11D A ⊥平面11ABB A ,所以OM ⊥平面11ABB A ，进一步作出1M AA B --的平面角，即α，又由//NO AB ，直线1MA 与直线ON 所成的角为β，根据最小角定理可判断，得出答案. 【详解】对于①. 连接1111,,AC DC DA ,由11//A C AC ,AC ⊂平面1ACB ,11A C ⊄平面1ACB , 所以11//A C 平面1ACB .同理1//DC 平面1ACB 且1111AC DC C ⋂=所以平面1//ACB 平面11DC A ,显然直线1D B 与平面11DC A 相交，设交点为M. 则1C M ⊂平面11DC A ，所以1//C M 平面1AB C ，所以①正确.对于①. 连接11，D A BC ,则11BC CB ⊥,111D C CB ⊥且1111D C C B C ⋂= 所以直线1CB ⊥平面11ABC D ,而AM ⊂平面11ABC D , 所以1AM CB ⊥,所以①不正确.对于①. 由点M 为线段1BD 上的动点，所以点M 到平面11CDD C 的距离1h BC ≤=. 11111111111133266D C DM M C DD C DD h V V Sh h --===⨯⨯⨯⨯=≤.所以存在点M ，使得三棱锥11D C DM -的体积为18，故①正确.对于①. 过M 作11//MO D A ,由11D A ⊥平面11ABB A ,所以OM ⊥平面11ABB A 过O 作1NO AA ⊥交1AA 于点N ，则//NO AB ，连接MN .所以1OM AA ⊥,又1NO AA ⊥，且MO ON O ⋂=,所以1AA ⊥平面MNO . 所以1AA MN ⊥，所以MNO ∠为二面角1M AA B --的平面角，即MNO α∠= 由//NO AB ，所以直线1MA 与直线AB 所成的角与直线1MA 与直线ON 所成的角相等. 所以直线1MA 与直线ON 所成的角为β. 由1AA ⊥平面MNO ，1AA ⊂平面1A MN ,所以平面1A MN ⊥平面OMN ,且平面1A MN ⋂平面OMN MN = 所以直线NO 在平面1A MN 上的射影为MN .所以直线NO 与平面1A MN 所成的角为MNO ∠，即为α.直线NO 与平面1A MN 内的直线（MN ，1MA ）所成角中（由最小角定理可得），线面角最小.所以α小于等于直线1MA 与直线ON 所成的角β.所以①不正确. 故答案为：①①下面补证最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于直线与平面内其他直线的夹角．直线AB 与平面α斜交，斜足为B ，AO ⊥平面α，BC OC ⊥，由AO ⊥平面α，BC OC ⊥，可证明BC ⊥平面AOC ，则BC AC ⊥．则cos BO ABO AB ∠=，cos BCABC AB ∠=，cos BC OBC BO∠=，所以cos cos BO BC BC ABO OBC AB BO AB∠⋅∠=⨯=，即cos cos cos ABC ABO OBC ∠=∠⋅∠，故cos cos ABC ABO ∠<∠，ABC ABO ∠>∠．【点睛】本题考查线面平行的证明，体积的求解，二面角和异面直线成角的大小的比较，考查存在问题的探索，考查最小角定理，属于难题. 18．(1)min 2y =-，()24k x k Z ππ=+∈ (2)225【解析】【分析】（1）结合诱导公式、辅助角公式及二倍角公式化简可得1sin2y x =--，进而求解最值和对称轴；（2）结合导数和'00()3()f x f x =-，可得01tan 2x =，再由万能公式和两角和的正切公式可求000sin 2cos 2tan 4x x x π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的值.(1)()sin cos )4f x x x x π=--. 23()()2sin()sin()2sin ()22444y f x f x x x x πππππ=+⋅-=+-=-+1sin2x =--，当 sin 21x =时，()2224x k x k k Z ππππ=+⇒=+∈时，min 2y =-，令()2224k x k x k Z ππππ=+⇒=+∈时，①对称轴方程()24k x k Z ππ=+∈； (2)()cos sin f x x x '=+，00()3()f x f x '=-，01tan 2x ∴=， ∴原式000sin 2cos 2tan 4x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭2000220002tan 1tan 1tan 1tan 1tan 1tan x x x x x x -+=++++-225=.19．(1)证明见解析【解析】【分析】（1）取BC 的中点O ，连接OA ，则OA BC ⊥，由面面垂直的性质可得OA ⊥面BCD ，从而可得OA CD ⊥，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）取BD 的中点E ，连接,OE OD ，易得,,OA OE BC 两两垂直，由OA ⊥面BCD ，可得ODA ∠即为AD 与平面BCD 所成角的平面角，从而可得OA OD =，以点O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. (1)证明：取BC 的中点O ，连接OA ，因为ABC 为等边三角形，所以OA BC ⊥，又因为面ABC ⊥面BCD ，面ABC 面BCD BC =，OA ⊂面ABC ，所以OA ⊥面BCD ，又CD ⊂面BCD ，所以OA CD ⊥，因为CD AB ⊥，AB OA A ⋂=，所以CD ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以CD BC ⊥； (2)取BD 的中点E ，连接,OE OD ，则OE CD ∕∕，因为CD BC ⊥，所以OE BC ⊥，又OA ⊥面BCD ，则ODA ∠即为AD 与平面BCD 所成角的平面角，所以45ODA ∠=︒，所以OA OD =，又OE ⊂面BCD ，所以OA OE ⊥，如图，以点O 为原点，建立空间直角坐标系，设2BC =，则1,OB OC OA OD ====CD =则(()()(),1,0,0,1,0,0,A B C D --，则()()()()1,0,3,2,2,0,1,0,3,0,2,0AB BD AC CD =-=-=--=，设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，则020n AC x n CD y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取()3,0,1n =-，设平面ABD 的法向量(),,m a b c =，同理可取()3,m =，则3cos ,2n m n m n m⋅-===⨯所以二面角C AD B --20．(1)1(1)22n n S n +=-+ (2)证明见解析【解析】【分析】（1）由已知条件求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，从而可求得{}n n a b ⋅的通项，然后利用错位相减法求n S ，（2）由（1）可得1211710S S +<，当2n ≥时，可得1112n nS S +<，从而可得当3n ≥时，22121222211111111222n n S S S S S S S S -+++<+++++，化简可得结论(1)因为数列{}n a 是等差数列，所以()111n a n n =+-⨯=．因为数列{}n b 是等比数列，所以2nn b =．所以23222322n n S n =+⨯+⨯++⨯．①2341222232(1)22n n n S n n +=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+．①由①-①得：2341222222n n n S n +-=++++⋅⋅⋅+-，所以1(1)22n n S n +=-+．(2)证明：因为121111,210S S ==，所以11710S <，1211710S S +<．当2n ≥时，因为()2222124n n n n +++>-+，所以12n n S S +>，即1112n nS S +<．当3n ≥时，22121222211111111222n n S S S S S S S S -+++<+++++111102111712251012n⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=+<+=-．所以，当*N n ∈时，12111710n S S S +++<． 21．(1)（i ；（ii ）证明见解析 (2)2π 【解析】【分析】（1）设出直线方程，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，利用向量共线化简可得223a b ，（i ）从而求出离心率；（ii ）设()00,P x y ，根据向量关系用,A B 坐标表示，代入椭圆方程，化简可得222212131k k λμλμ-++⋅=+，令22131k t k -=+换元后，利用均值不等式及函数单调性求解即可.（2）利用12S AB d =⋅求出S ，直接计算0S S ，利用()221,2t e =-∈换元后配方求最值即可.(1)设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程为()y k x c =-，联立直线与椭圆方程得()()222222222220k a b x k a cx k c b a +-+-=，()22122222222122222k a c x x k a b k c b a x x k a b ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，()2121222222kb cy y k x x kc k a b -+=+-=+， ()222121222222222,,k a c kb c OA OB x x y y k a b k a b ⎛⎫-+=++= ⎪++⎝⎭，因OA OB +与()3,1a k =-共线，则222222222226k a c k b ck a b k a b--=++，得223a b ，（i）22223c e e a ==⇒=（ii ）设()00,P x y ，由OP OA OB λμ=+得01212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩ 代入椭圆方程得()()2212122213x x y y b b λμλμ+++=整理得()()()222222112212122332313x y x y x x y y b λμλμ+++++=（*）由（i ）得2221133x y b +=（1），2222233x y b +=（2）()()222222221212222323133313131k b b k c k b k x x y y k k k ---+=+=+++（3）将（1）（2）（3）代入（*）得222212131k k λμλμ-++⋅=+，令222411130,313313k t k k -⎡⎫==-∈⎪⎢++⎣⎭则()()()22222222221123t t λμλμλμλμλμλμ=++⋅≤+++<+++ （iii ）即2243λμ+>(2)O 到直线AB的距离d =，12S AB d =⋅=220πa b S S +===设()221,2t e =-∈，()21,2t ∈原式2π=≥，即SS 的最小值为2π. 22．(1)1； (2)证明见解析； (3)[1,)+∞．【解析】【分析】（1）求()0f x ≥恒成立，即()0f x ≥等价于ln 1x a x +≥，求出ln 1x x+的最大值，a 大于等于ln 1x x+的最大值，即可求出a 的最小值；（2）当1a =时，得ln 1x x ≥+，即ln 1(0)t t t ≥+>，xe t x-=，代入化简即可证明. （3）由题意知2()ln x k e x x x x -+≥-恒成立，即分离参数后得ln 11xxe x x x k e x x --++-≥-+，再结合第二问的结论，即可求出k 的取值范围. (1)()0f x ≥等价于ln 1x a x +≥，令'2ln 1ln ()(0),()x x g x x g x x x+-=>=，当(0,1)x ∈时，'()0g x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x <.则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max ()(1)1g x g ∴==，则1a ≥，a ∴的最小值为1.(2)证明：当1a =时，由（1）得ln 1x x ≥+，即ln 1(0)t t t ≥+>.令xe t x -=，则ln ln ,ln 1x e x x t x x x ---=∴≥--+，即ln 10xe x x x -++-≥.(3)2()ln xk e x x x x -+≥-恒成立，即()1ln xe k x x x-+≥-恒成立,ln 11ln 1xx x e x x x x k e e x x x x ---++--∴≥=-++，由（2）知ln 10x e x x x -++-≥恒成立， ln 1111xxe x x x k e x x --++--≤∴≥+，，故k 的取值范围为[1,)+∞.。