矩阵分析小论文-线性变换的可交换性

λ1 , λ2 , , λn 的特征向量。由于 λ1 , λ2 , , λn 互异， α1 , α 2 , , αn 可构成 V 的一组基。
1) 必要性 由于 AB=BA，则对于 α i (i = 1, 2, n) 有： A (= B (αi )) AB = (αi ) B ( = A (αi )) B = (λi αi ) λi B (αi ) 所以： B (αi ) ∈ Vλi 而 dim Vλi =1，所以 ∀µi ∈ F，使得 B (αi )=µi αi (i = 1, 2, n) 故 α i (i = 1, 2, n) 都是 B 的特征向量 充分性 若 α i (i = 1, 2, n) 都是 B 的特征向量 则 ∀µi ∈ F，使得 B (αi )=µi αi (i = 1, 2, n) 于是 AB = (αi ) A = ( µi αi ) µ = µi λi αi =λi µi αi =λi B (αi )=B = (λi αi ) BA (αi ) i A (α i ) 由于 α1 , α 2 , , αn 是 V 的一组基，故 AB=BA 2) 必要性 由于 AB=BA，由 1)知： α i (i = 1, 2, n) 是 B 的特征向量 则 ∀µi ∈ F，使得 B (αi )=µi αi (i = 1, 2, n)
所以该方程组有唯一解，设其为 (a1 , a2 , an )T
n −1 即Baidu Nhomakorabea a1 +a2 λi an λ= µ = 1, 2, n) i i (i
则 (a1 +a2 λi an λin −1 )(α i ) = µiα i 由 A (αi ) = λi αi , B (αi )=µi αi 可知：
(a1ε +a2B + +an −1B n −1 )(αi )=A (αi )
由于 α1 , α 2 , , α n 是 V 的一组基 故 A = a1ε +a2B + +an −1B n −1 充分性 若 A = a1ε +a2B + +an −1B n −1 ，则
BA = α1B +a2B 2 + +an B n ， AB = α1B +a2B 2 + +an B n
线性变换的可交换性
摘要：可交换性是线性变换的特殊性质，本文以其为主题，首先介绍了线性变换可交换的定 义和线性变换的基本运算，然后列出了线性变换可交换的一项重要性质，最后阐述了线性变 换可交换在求证相关问题的应用。 关键词：线性变换；可交换；特征向量
1 定义
设 V 为线性空间，A,B 为 V 上的两个线性变换，如果 AB=BA，则称线性变换 A,B 可交换。
λ1 λ2 于是有： A (α1 , α 2 , , α n )=(α1 , α 2 , , α n ) λn
µ1 B (α1 , α 2 , , α n )=(α1 , α 2 , , α n )
µ2
µn
x1 + λ1 x2 + + λ1n −1 xn = µ1 n −1 µ2 x + λ x + + λ2 xn = 考虑方程组 1 2 2 n −1 µn x1 + λn x2 + + λn xn =
1 λ1 λ1n −1 1 λ2 λ2 n −1 = ∏ (λi − λ j ) ≠ 0 该方程组的系数行列式 1≤ j ≤i ≤ n 1 λn λn n −1
2 运算
设 A,B 为线性空间 V 上的两个线性变换，则： 乘积 AB (α ) = A (B (α )) 加法 ( A + B )(α ) = A (α ) + B (α ) 数乘 (k A )(α ) = k A (α )
3 性质
设 V 为线性空间，A,B 为 V 上的两个线性变换，且 AB=BA，则： (1) A 的特征子空间是 B 的不变子空间； (2) A 与 B 至少有一个公共的特征向量。 证明：(1)记 Vλ 表示 A 的特征子空间， λ 是 A 的特征值 若 ∀ξ ∈ Vλ ，则有： A (ξ ) = λξ 从而： A (B = (ξ )) AB = (ξ ) B ( A = (ξ )) B = (λξ ) λB (ξ ) 故可知： B (ξ ) 是 A 的特征值 λ 的特征向量，即 B (ξ ) ∈ Vλ 所以 Vλ 是 B 的不变子空间 (2)由于 Vλ 是 B 的不变子空间，记作 B|λ = τ 在复数域上， τ 必有特征值 µ ，并存在非零向量 ξ ∈ Vλ ，使得 τ (ξ )=µξ 故： B (ξ )=τ (ξ )=µξ ，又 A (ξ ) = λξ 所以 ξ 是 A 与 B 的公共特征向量
故 AB=BA
参考文献 [1] 史荣昌,魏丰.矩阵分析（第 3 版）[M].北京：北京理工大学出版社，2010 [2] 高明.线性变换及矩阵可交换的性质与应用[J].阴山学刊(自然科学版).2013(3)
4 应用
设 V 是数域 F 上的 n 线性空间， A,B 为 V 上的两个线性变换， A 在 F 上有 n 个互异的特征 值，则：1) AB=BA 的充要条件是 A 的特征向量都是 B 的特征向量；2) AB=BA 的充要条件是 B 是 ε , A , A 2 , , A n −1 的线性组合，其中 ε 为 V 的恒等变换。 证明：设 λ1 , λ2 , , λn 是 A 的 n 个互异的特征值， α1 , α 2 , , αn 是 A 的分别属于特征值