矩阵分析小论文-线性变换的可交换性
矩阵可交换性质
矩阵可交换的条件及其性质摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。
本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法.关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵The Conditions For The Commutation Of Matrix and SomePropertiesAbstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the coreof the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced.Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix目录1 引言........................................................................................................................................ - 1 -2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 -3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 -3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 -4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. -5 -5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 -5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 -6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 -7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -1 引言矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n阶实方阵）.2 可交换矩阵的基本定义一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即BAAB≠，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义.定义2.1[]1对于两个n阶方阵A,B，若BAAB=,则称方阵A与B是可交换的。
矩阵分析与计算--02-线性变换
,n ) A , n ) B
基发生变化
A 与 B 的 关 系？
定理2 线性变换T 在不同基下的所对应的矩阵 是相似的
设T 在Vn的两个基1 , 2 , , n 及1 , 2 ,
,n ) P
, n
下的矩阵分别为A与B, 且有
（1 , 2 , , n）=(1 , 2 ,
线性变换的逆
基本性质
4）可逆线性变换把线性无关的向量组映射成向量 无关的向量组，即， 若x1 , x2 , 线性无关 xr 线性无关，则T ( x1 ), T ( x2 ), T ( xr )
线性变换的多项式
1．线性变换的幂
设T 为V中线性变换，n N , 定义 T T
n n
T
称之为T 的n次幂
T ( r 1 ) a1r 1 1 a2r 1 2 arr 1 r ar 1r 1 r 1 ,,anr 1 n T ( n ) a1n 1 a2n 2 arn1 r ar 1n r 1 ,,ann n
T( + )=T( )+T( ) T(k )=kT( )
, Vn
Vn , k P
则称T 为Vn到Vm的线性映射或线性算子
线性映射
Vn
Vm
T
应用：
T ( ) T ( )
k1T ( )
Vn , k2 P
k1
k2
k2T ( )
k1T ( ) k2T ( )
线性变换的逆
设T 为V的线性变换，若有V的线性变换S TS ST I 则称T 为可逆变换，称S 为T的逆变换， 记作T
-1
线性变换的逆
与a可交换的矩阵特点
与a可交换的矩阵特点
在线性代数中，矩阵是一个常见且重要的数学概念。
在矩阵运算中，有一种特
殊情况，即与一个特定矩阵a相乘后结果与a交换位置仍然保持不变的矩阵。
这种
矩阵具有一些特点，下面将详细介绍。
首先，我们定义一个n×n的矩阵A，并设一个m×m的矩阵a，其中n>m。
如
果满足以下条件，即Aa = aA成立，那么我们称矩阵A与矩阵a是可交换的。
首先，可交换的矩阵A和a必须具有相同的特征值。
特征值是对于一个矩阵的
线性变换，通过一个标量因子来表示矩阵的性质。
当两个矩阵具有相同的特征值时，它们可以交换位置并保持结果不变。
其次，可交换的矩阵A和a必须具有相同的特征向量。
特征向量是与特征值相
关联的非零向量，通过矩阵的线性变换后，仍在同一方向上。
此外，可交换的矩阵A和a之间必须满足可逆的条件，即它们的乘积和交换位
置后的乘积都是可逆的。
可逆矩阵是指存在一个逆矩阵，乘以该矩阵后得到单位矩阵。
如果A和a不可逆，它们将无法交换位置并保持结果不变。
需要注意的是，矩阵的可交换性并不常见，大多数矩阵在与其他矩阵相乘后无
法交换位置并保持结果不变。
因此，可交换矩阵的特性在某些特定领域和问题中具有重要意义，如量子力学中的观测和测量。
总结起来，与一个特定矩阵a可交换的矩阵具有相同的特征值和特征向量，并
且可逆。
这种可交换矩阵在某些数学和物理领域中具有重要作用，并为我们理解矩阵运算的特殊情况提供了一定的指导。
论文,夏杰矩阵可交换的条件
长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练矩阵可交换的条件系部：信息与计算科学专业：数学与应用数学学号： 2009031123学生姓名：夏杰成绩：2012 年６月矩阵可交换的条件夏杰长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022摘要：本文通过对矩阵的理论研究，给出了矩阵可交换的部分充分条件和部分充要条件． 关键词：矩阵，可交换1 引言在高等代数以及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。
由矩阵的理论可知。
矩阵的乘法不同于数的乘法，矩阵的乘法不满足交换律，即当矩阵A B 有意义时，矩阵B A 未必有意义，即使矩阵A B 、B A 都有意义时它们也未必相等。
或者说，在一般情况下，矩阵AB BA ≠，但是在某些特殊情况下，矩阵的乘法也是满足交换律的，从而研究矩阵A B 与B A 的关系具有重要的意义。
我们知道若对n 阶实方阵A 、B ，如果满足AB BA =，则称A 与B 可交换。
可交换矩阵有许多良好的性质，研究矩阵可交换的条件及可交换矩阵的一些性质对矩阵理论的研究具有重要的意义(文中的矩阵均指n 阶实方阵)．2 矩阵可交换的充分条件定理1[１] (1)设,A B 至少有一个为零距阵，则,A B 可交换；(2)设,A B 至少有一个为单位矩阵，则,A B 可交换；(3)设,A B 至少有一个为数量矩阵，则,A B 可交换；(4)设,A B 均为对角矩阵，则,A B 可交换；(5)设,A B 均为准对角矩阵，则,A B 可交换；(6)设A *是A 的伴随矩阵，则A 与A *可交换；(7)设A 可逆，则A 与1A -可逆；(8)设AB E =，则,A B 可交换．证明 (1)对任意矩阵A ，均有：00A A =，0表示零距阵；(2)对任意矩阵A ，均有：AE EA =，E 表示单位矩阵；(3)对任意矩阵A ，均有：()()A kE kE A =，k 为任意实数；(4)、(5)显然成立；(6) A A AA A E **==；(7) 11A A AA E --==；(8)当AB E =时，,A B 均可逆，且互为逆矩阵．定理2[１] (1)设AB A B αβ=+，其中,αβ为非零实数，则,A B 可交换；(2)设m A AB E α+=，其中m 为正整数，α为非零实数，则,A B 可交换．证明 (1)由AB A B αβ=+可得()()A E B E E βααβ--= 即1()()A E B E E βααβ--= 故依定理1(8)得1()()B E A E E αβαβ--=于是BA A B E E αβαβαβ--+=所以BA A B AB αβ=+=；(2)由m A AB E α+=得1()m A A B E α-+=，故依定理1(8)得1()m A B A E α-+=， 于是m A BA E α+=，所以可得AB BA =．定理3[１] (1)设A 可逆，若0A B =或A AB =或A BA =，则,A B 可交换；(2)设,A B 均可逆，若对任意实数k ，均有()A A kE B =-，则,A B 可交换．证明 (1)若0A B =，由A 可逆得11()()0B A A B A AB --===，从而0B A =，故AB BA =；若A AB =同理可得111()()B A A B A AB A A E ---====，故AB BA =；若A BA =，则111()()B B AA BA A AA E ---====，故AB BA =．(2)因,A B 均可逆，故由()A A kE B =-得A kE -可逆且1()B A kE A -=-，则 1[()][()]A B A kE B A kE A -''''=--111()[()]()()()()()B A kE A A kE B A A kA A kE B A A kE A kE B A E B A A B ---''''=--'''''=--''''=--'''''===两边取转置可得AB BA =．３ 矩阵可交换的几个充要条件定理4[１] 下列均是,A B 可交换的充要条件:(1)22()()()()A B A B A B A B A B -=+-=-+；(2)222()2A B A AB B ±=±+；(3)()AB A B '''=；(4)()AB A B ***=．证明 (1)由22()()A B A B A AB AB B +-=-+-及22()()A B A B A AB AB B -+=+--可证得；(2)由222()A B A AB AB B ±=±±+可证得；(3)分别由,()AB BA AB A B '''==两边取转置可证得；(4)分别由,()AB BA AB A B ***==两边取转置可证得．定理5[１] 可逆矩阵,A B 可交换的充要条件是111()AB A B ---=．证明 分别111,()AB BA AB A B ---==两边取逆矩阵可证得．定理6[１] (1)设,A B 均为（反）对称矩阵，则,A B 可交换的充要条件是A B 为对称矩阵；(2)设,A B 有一为对称矩阵，另一为反对称矩阵，则,A B 可交换的充要条件是A B 为反对称矩阵．证明 (1)设,A B 均为对称矩阵，由定理4（3），()AB A B AB '''==，因此A B 为对称矩阵；若,A B 为反对称矩阵，则()()()AB A B A B AB '''==--=，因此A B 也为对称矩阵．(2)仿照(1)可证得．定理7[１] 设,A B 均为对称正定矩阵，则,A B 可交换的充要条件是A B 为对称正定矩阵．证明 充分性由定理6（1）可得；下证必要性：因,A B 为对称正定矩阵，故由可逆矩阵,P Q ，使,A PP B QQ ''==，于是1,()()AB PP Q Q P ABP P Q P Q -'''''==，所以1P ABP -为对称正定矩阵，其特征值全为正数，而A B 与1P ABP -相似，从而A B 的特征值也全为正数，因此A B 为对称正定矩阵．引理1[2] 当A 矩阵为对角阵，即12(,,,)n A diag a a a = ，且(1,2,,)i a i n = 互不相同时，与它可交换的B 矩阵必可表示成A 的1n -次多项式．证明 与对角矩阵可交换的矩阵用求解方程()AB BA =的办法可以得到结论：B 必须是一个对角阵12(,,,),(1,2,,)n i B diag c c c c i n == 可以取任何实数．如果我们考虑下面方程：1011n n B p I p A p A --=++ ．它实际上是一个011,,,n p p p - 作为未知数的线性方程组，其系数矩阵正好是一个范德蒙行列式，当(1,2,,)i a i n = 互不相同时，该系数行列式不为零，所以可求得(0,1,2,,1)i p i n =- 是唯一解，故引理的结论得证．定理8[2] 一个矩阵A 化成Jordan 标准型J 后，若J 中没有纯量矩阵的Jordan 块c J ，那么与A 可交换的B 矩阵其充要条件为B 可以化成A 的1n -次多项式，即11011()n n n B P A p I p A p A ---==++ ．证明 对于与A 可交换的B 矩阵应满足的方程AB BA =中，若将A 化成Jordan 标准型1A P JP -=，其中P 为满秩阵J 的标准型，将A 代入上面方程，得11P JPB BP JP --=．若令1X PBP -=，则方程化成JX X J =．这就表明：要求A 的可交换矩阵，可先求A 的Jordan 标准型J 的可交换矩阵C ，则与A 可交换的矩阵1B PCP -=．由于本定理的前提中表明Jordan 标准型J 中没有c J 型（纯量矩阵Jordan 块），c J 型Jordan 块由引理1即知与n J 可交换的矩阵可表示为n J 的1n -次多项式．我们知道，将一个矩阵化成Jordan 标准型工作量很大，要等到标准型化成才能应用被定理作出判断，那也太麻烦了，事实上不必作出Jordan 标准型的分解即可判别一个矩阵是否含有纯量矩阵Jordan 块．参考文献[1] 王霞．矩阵可交换成立的条件及性质［J ］．内江科技，2009，8（30）：161.[2] 钱微微，蔡耀志．论矩阵可交换的充要条件［J ］．大学数学，2007，5（23）：143-146.[3] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2003.9．。
【论文】线性变换的分析与应用.docx
III
线性变换的分析及应用
பைடு நூலகம்
第一章
1.1 选题背景
绪
论
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，线性空 间，线性变换和有限维的线性方程组。线性变换是现代数学的一个重要课题；通过 解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于 科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型， 使得线性代数被广泛地应用 于自然科学和社会科学中。同时也是理工类、经管类数学课程的重要内容。 作为证明定理而使用的纯抽象概念，线性变换属于抽象代数的一部分，而且已 经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：在差分方程中的应用、在微分方 程的应用、在空间几何上的应用、在一些数学建模上的应用。
线性变换的分析及应用
摘
要
由于线性变换是线性代数中最基本概念之一，其理论具有深刻的意义，而其实际在应用中 各个领域也发挥着重要的地位，线性变换也是一种较好的变量代换， 合理应用既优化了解题 过程， 提高了解题速度， 也增强了解题的灵活性。所以对线性变换进行分析与应用是非常有 必要的。本文共分五章，在系统的总结并分析线性变换的理论知识的同时，着重对线性变换在 各个领域的应用进行了研究与分析，如线性变换在空间解析几何中的欧式变换、相似变换、仿 射变换及平移变换，线性变换在差分方程及微分方程中的齐次方程组的应用，差分方程的化简 为一阶方程组及线性非齐次微分方程的应用，线性变换在种群繁殖问题中的应用，并用 MATLAB对其中的应用实例予以实现分析。
4.2 在微分方程中的应用 ........................................................................................... 19
(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.
内蒙古财经大学本科学年论文可交换矩阵成立的条件与性质作者：系别：专业：年级：学号：指导教师：导师职称:指导教师评语：该学生在整个论文书写过程中态度端正,能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。
在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范.但对参考书目及参考文献的依赖性太大,应在论文中添加自己独立的理解及总结。
成绩：中指导教师:内容提要矩阵是高等数学中一个重要的内容,在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义。
众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的,即在通常情况下，BAAB≠。
但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用。
本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrix is an important content in altitude—mathematics，it has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science fields。
As far as we have concerned， the multiplication of matrix could not satisfy the exchange ruleAB≠. Whereas, in some certain under the normal condition, that is to say, normally，BAconditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effections。
关于线性变换的可对角化问题—数学本科毕业论文设计
本科毕业论文（设计）题目：关于线性变换的可对角化问题学生：学号: 学院：专业: 入学时间：年月日指导教师：职称: 完成日期：年月日诚信承诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《关于线性变换的可对角化问题》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。
承诺人（签名）：年月日关于线性变换的可对角化问题摘要：线性变换可对角化问题是高等代数的重要内容.我们可以通过探讨矩阵的可对角化问题来研究线性变换的可对角化问题.本文先给出可对角化的概念;再探讨线性变换可对角化的判定以及其在高等代数中应用，并简略介绍几种特殊的可对角化问题.关键词：线性变换可对角化；特征值；特征向量；最小多项式；矩阵可对角化；实对称矩阵Diagonolization of linear transformationAbstract: The diagonolization of linear transformation, which can be studied by the diagonalization of matrix, is important in higher algebra. In this paper, we first introduce the conception of diagonolization, then discuss the decision of diagonolization of linear transformation and its applications in the advanced algebra, moreover, we introduce briefly several kinds of special diagonolization problems.Key words: Diagonalization of linear transformation; Eigenvalue; Eigenvector; Minimal polynomial ; Matrix diagonalization; Real symmetric matrices目录1 引言........................................................ . (1)2 可对角化的概念 (1)3 判定方法 (1)4 两个矩阵同时合同对角化 (4)5 几类特别的可对角化矩阵 (6)6 应用........................................................ . (6)6.1 矩阵相似的判断 (6)6.2 方阵高次幂 (7)6.3 化实对称矩阵为对角形矩阵 (7)6.4 求特征值 (8)6.5 经典例题 (8)7 小结........................................................ .. (9)参考文献........................................................ ..101 引言我们要想研究可对角化问题,可以从它在某组基下的矩阵下手.那我们该如何研究这个问题?它的概念是什么?对角化有哪些判断方法?它们应该如何应用?下面将综合介绍一下以上问题.2 可对角化的概念定义[8] 设δ是n 维线性空间V 的一个线性变换, A 为δ在某一组基下的矩阵且A 与矩阵B 相似，其中矩阵B 是对角形矩阵，则称A 可对角化,也称线性变换δ可对角化.我们把B 叫做A 的相似对角形矩阵.3 判定方法3.1 定理1[8] 设n 维线性空间内有一个线性变换，且A 为它在某一组基下的矩阵，要是A 为对角形矩阵，那么δ可对角化.例1设在三维线性空间内有一个线性变换δ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4000300031A 是δ在基321,,ααα下的矩阵，由于1A 为对角形矩阵，可知δ可对角化.3.2 定理2[1] 设δ是n 维线性空间内的一个线性变换，且δ有n 个线性无关的特征向量，则δ可对角化.证明 “必要性” 假设δ可对角化，令=),,,(21n αααδ ),,,(21n ααα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m λλλ 21. 即i i i αλαδ=)( ，n i ,2,1=；特征值为n λλλ 21,，则 n ααα,,,21 是δ的特征向量,由已学知识可知n ααα,,,21 是不相关的.“充分性” 设有n 个不相关的向量n ααα,,,21 ，并且它们都是δ的特征向量，设i i i αλαδ=)( ，其中n i ,2,1=； 将n ααα,,,21 作为线性空间中的一组基，则满足：)(,),(),((21n αδαδαδ )),,,(2211n n αλαλαλ ==),,,(21n ααα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m λλλ 21.即δ在基n ααα,,,21 下的矩阵为对角形矩阵，从而δ可对角化.例2[2] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163222123A 是δ在基321,,ααα下的矩阵，试利用定理2判断δ是否可对角化.解 由于)4()2(1632221232+-=+---+--=-λλλλλλA E ，A 的特征值为：4,2321-===λλλ.对于221==λλ，由()02=-X A E 知基础解系是：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012和⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101. 由已学知识可知它们是线性无关的，故它们对应的特征向量为：2112ααε+-=, 312ααε+=.对于43-=λ，由()04=-X A E 知基础解系是：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-13231.由已学知识可知它是线性无关的，故它对应的特征向量为：32133231αααε+-=. 由以上可知δ包含三个特征向量1ε，2ε，3ε，并且它们是线性无关的.其个数刚好等于空间维数，由定理1知δ可对角化.3.2推论1[2] 设δ是n 维线性空间V 的一个线性变换，若在数域P 中δ的特征多项式包含n 个互不相等的根，那么δ可对角化.例3 设二维线性空间内有一个线性变换δ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3102A 是它在基21,αα下的矩阵，试利用推论1判断δ是否可对角化.解 由3102---=-λλλA E )3)(2(--=λλ知A 的特征值为3,221==λλ.因为它们是不相等的，所以特征值的个数与空间维数相等.由推论1知δ可对角化.3.3 推论2[5] 设n 维线性空间V 内有一个线性变换δ，其中δ的特征值是n λλλ ,,21，并且它们是不相同的.用iir i i ααα,,,21 来表示i λ对应的i r 个特征向量，;,,2,1k i =那么：[]1 n r r r i =+++ 21，则δ可对角化.[]2 n r r r i <+++ 21，则δ不可对角化.例4 已知 ,4001300132⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4000301033A ，试利用推论2判断它们是否可对角化.解 通过计算02=-A E λ和03=-A E λ知32,A A 的特征值是相同的，它们全部为31=λ（二重），42=λ.首先讨论2A ，对于31=λ（二重），由()032=-X A E 知它的基础解系是：()T 0,0,11=α.因为31=λ是2A 的特征值而且是二重根，但只对应一个特征向量，故2A 只包含2个特征向量.它的个数比空间维数要少，由推论2知2A 不可对角化.最后讨论3A ，对于31=λ（二重），由()033=-X A E 知它的基础解系是：()()T T 01000121，，和，，==εε . 对于42=λ，由()043=-X A E 知它的基础解系是：()T 1013，，=ε；故3A 有3个特征向量而且它们是线性无关的，特征向量的个数与空间维数相等，由推论2知3A 可对角化.3.4 定理3[7] 在数域P 上，设k λλλλ，，，， 3,21是矩阵A 的所有互不相同的特征值.如果满足()()()()0321=----E A E A E A E A k λλλλ ，那么A 可以对角化.例5 设有一个线性变换δ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163222123A 是它在基321,,ααα下的矩阵，试利用定理3判断δ能否可对角化. 解 由上面例2知()()422+-=-λλλA E ，故4-2与是矩阵A 的所有不同特征值.又()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-00000000036322212736324212142E A E A . 通过定理3知A 可以对角化.3.5 定理4[9] A 是复数域上的矩阵，当矩阵A 的最小多项式没有重根时，则A 可以对角化.例6 设一个线性变换δ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163222123A 是它在基321,,ααα下的矩阵，试利用定理4判断δ是否可对角化.解 由上面例2知()()422+-=-λλλA E ，则A 的最小多项式有以下两种可能：()()()()42422+-+-λλλλ或.计算()()042=+-E A E A 推出A 的最小多项式为()()42+-λλ.通过定理4知A 可对角化.4[10] 两个矩阵同时合同对角化4.1 定义[10] 设矩阵A ，B n n R ⨯∈，若存在可逆矩阵P ，使AP P T 和BP P T 同时为对角形矩阵，则A 、B 可同时合同对角化.4.2[10] 同时合同对角化的计算方法下面是以A 为n 阶实对阵正定矩阵，B 为n 阶实对阵矩阵为例给出计算步骤：（1）求出A 的n 个特征值，再求出特征向量；（2）对于每个不一样的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通过列的形式构成n 阶正交阵1P ，那么()n T diagAP P λλλ，，， 2111=，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n d ia g P P λλλ111211，，， ， 则P 是可逆的，同时满足AP P T E =；（3）解出BP P T ，再求出它的n 个特征值i μ和它的n 个特征向量i η；（4）对每个不同的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通过列的形式构成n阶正交矩阵Q ，则()()n T T diag Q BP P Q μμμ，，， 21=； （5）记PQ T =，则()n T T diag BT T E AT T μμμ，，，， 21==.例7设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011010200021012B A ，，求可逆矩阵T 将A 、B 可同时合同对角化.解 计算0=-A E λ可知321321===λλλ，，为A 的特征值.对于11=λ，由()01=-X A E λ得出它的一个特征向量为()T0111，，-=ξ； 对于22=λ，由()02=-X A E λ得出它的一个特征向量为()T 1002，，=ξ；对于33=λ，由()03=-X A E λ得出它的一个特征向量为()T 0113，，=ξ.将其单位化得()TT T ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=021,2110002121321，，，，，，，，ααα.则正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=01021021210211P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=32111AP P T . 记⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=02106102161021312111P P ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210321010321021AP P T . 其特征方程为()031131=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-μμμμBP P E T . 它们的特征值为31131321==-=μμμ，，.由()01=-X BP P E T μ知()T23011-=，，η是1μ的一个特征向量； 由()02=-X BP P E T μ知()T0102，，=η是2μ的一个特征向量；由()03=-X BP P E T μ知()T23013+=，，η是3μ的一个特征向量； 将其单位化，则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--+-=322322032223010322103221Q ； 于是有：()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=31131Q BP P Q TT .⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--+--==021032613032613326103261PQ T ，则T 可逆，且()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-====31131BT T E EQ Q Q AP P Q AT T T T T T T ，， 故T 就是合乎题意的矩阵. 5 几类特别的可对角化矩阵命题4.1[4] 如果一个矩阵为实对称矩阵，那么该矩阵可以对角化. 命题 4.2[4] 如果一个矩阵为对合矩阵()E A =2，那么该矩阵可以对角化.命题4.3[4] 如果一个矩阵为周期矩阵)(E A m =，那么该矩阵可以对角化.命题 4.4[7] 如果一个矩阵为幂等矩阵()A A =2，那么该矩阵可以对角化.命题4.5[7] 如果一个矩阵为循回矩阵，那么该矩阵可以对角化. 命题4.6[4] 如果一个矩阵为幂零矩阵)00(=≠m A A ，，那么该矩阵不可以对角化.解 通过计算01=-A E λ，02=-A E λ和03=-A E λ知321,,A A A 的特征值相同，它们全部为31=λ（二重），42=λ；其中1A 已经是对角形矩阵，所以只需判断2A ，3A 是否可对角化.首先讨论2A ，对于31=λ（二重），由()032=-X A E 知它的基础解系是：()T 0,0,11=α.因为31=λ是2A 的特征值而且是二重根，但只对应一个特征向量，故2A 只包含2个特征向量.它的个数比空间维数要少，由推论2知2A 不可对角化，则1A 与2A 不相似.最后讨论3A ，对于31=λ（二重），由()033=-X A E 知它的基础解系是：()()T T 01000121，，和，，==εε . 对于42=λ，由()043=-X A E 知它的基础解系为：()T 1013，，=ε,故3A 有3个特征向量而且它们是线性无关的，特征向量的个数与空间维数相等，由推论2知3A 可对角化, 则1A 与3A 相似.参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．北京，2003：299．[2] 邱森．高等代数．武汉：武汉大学出版社，2008：216-219．[3] 张禾端，郝炳新．高等代数[M]．4版．北京：高等教育出版社，2000．[4] 李志慧，李永明．高等代数中的典型问题与方法[J]．北京：科学出版社，2008：204．[5] 唐忠明，戴桂生．高等代数[M]．南京：南京大学出版社，2000：146-147．[6] 张正成．可对角化矩阵的应用[J]．科技资讯，2007．252（2）：252-253．[7] 冯莉．矩阵对角化的若干方法[J]．赤峰学院学报（自然科学版），2011，27（9）：9-11．[8] 徐新萍．有关对角化问题综述[J]．江苏教育学院学报（自然科学），2010，26（6）：44-46．[9] 李至琳．关于矩阵可对角化的问题[J]．黔东南民族师专学报，1998，16（5）：1-3．[10] 周立仁．矩阵同时对角化的条件[J]．理工学院学报，2007，20（1）：8-10．内部资料仅供参考。
矩阵可交换的论文
4 结论............................................................................................. 21
Matrix Inverse and Its Application
Major: Mathematics and Applied Mathematics(Normal) Class: 4 Author: Wu Mingyan Supervisor: Long ShuDe
Abstract: This article mainly researches on the different methods of solving the inversion of matrix and its application in coding theory.It is consists of two parts.In the first part ,it defines the inverse matrix and puts forward its property at first.Then,it summarizes and certifies the six methods of solving the inversion of matrix.Finally,it puts forwards the advantages and disadvantages of each method.In the second part,it illustrates the application of the vertical matrices in coding theory by examples.
矩阵可交换性质
矩阵可交换的条件及其性质摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。
本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法.关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵The Conditions For The Commutation Of Matrix and SomePropertiesAbstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the coreof the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced.Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix目录1 引言........................................................................................................................................ - 1 -2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 -3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 -3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 -4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. -5 -5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 -5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 -6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 -7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -1 引言矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n阶实方阵）.2 可交换矩阵的基本定义一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即BAAB≠，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义.定义2.1[]1对于两个n阶方阵A,B，若BAAB=,则称方阵A与B是可交换的。
关于线性变换的可交换问题的一些讨论
Ａｂ ｔａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ａ ｒ ｂ ｅ ａ ｏ ｔｃ ｍｍｕ ａ ｉｅ ｏ ｎ ａ ｒ ｎ ｆｒ ｉ ｎ ｉ ｐ ｒａ ｔａ ｐ ｃ ｆｔａ ｈ ｎ ｎ ｅ ｅ ｒ ｈ ｎ ｎ ｐ ｏ ｌ ｍ ｂ ｕ ｏ ｔ ｔ ｆｌ ｅ ｒｔａ ｓｏ ｍ ｓａ ｍ ｏ ｔｎ ｓ ｅ ｔｏ ｅ ｃ ｉ ｇ ａ ｄ ｒ ｓ ａｃ ｉ ｇ ｉ ｖ ｉ ｈ ｇ ｅ ｌ ｅ ｒ ． ｅ ｍｕｓ ｏ ｉｈ ｒ ａｇ ｂ ａ Ｗ ｔｃ ｍｂｉ ｅ ｔ ｅ ｒ ｔ ｅ ｃ ｉ ｇ ｐｒ ｃｉｅ， ｏｌ ｃ ｏ ｘ ｒ ｉｅ ｎ ｏ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍｓ ａ ｏ ｔ ｎ ｈ ｏ ｙ ｗｉｈ ｔ ａ ｈ ｎ ａ ｔｃ ｃ ｌ ｔｓ ｍｅ ｅ ｅｃ ｓ ｓ ａ ｄ ｓ ｍ ｒ ｂ ｅ ｂ ｕ ｅ ｃ ｍｍｕ ａ ｉｅ ０ ｉ ｅ ｒ ｔａ ｓｏ ａｉｎ ｉ ｔｒａ ｓ ｏ ｏ ｔ ｔ ｆｌｎ ａ ｒ ｎ ｆ ｒ ｔｏ ｎ ｍａ ｅ ｉｌ ｃ ｍｍｏ ｌ ｓ ｄ，ｈ ｎ ｃａ ｓｆ ｈ ｍ ．Ｔ ｅ ａ ｒ ｄ ｓ ｕ ｓ ｓ ｔ ｅ ｖ ｍ ｎ ｙ ｕ ｅ ｔｅ ｌ ｓ ｉ ｔ ｅ ｙ ｈ ｐ ｐｅ ｉｃ ｓｅ ｈ
ｉｓ ｅ ａ ０ ｔａ ｃａ ｓｏ ｏｎｎ ｔ ｔ ｅ ｏ ｎ ａ ｓｕ ｂ ｕ １ ｓ ｆｃ ｉＩｕ ａ ｉ ｆｌ ｅ ｒ￣ａ ｓｏ ｍ ，ｈ ｎ ｐ ｉｔ ｓｏ ｔｗｈ ｔ ｅ ｈ ｓｋ ｎ ｆｃ ｍｍｕ ａｉｅ ｏ ｉ ｅ ｒ ｖ ｉ ｎ ｆｒ ｔ ｅ ｏｎ ｅ ｕ ｅ ｈ ｒｔ ｉ ｉ ｄ ｏ ｏ ｔｔｖ ｆｌｎ ａ
ｔａ ｆ ｒ ｎ ｉ ａ ｉ ｉ — ｉ ｎｓｏ ａ ｐ ｃ ｒ ｅ ａｅ ． ｒｎｓｏ ｍ ａ ｄｌ ｎｅ ｒｆｎｔ ｄ ｍｅ ｉｎ ｌｓ ａ ｅ ａ ｅ ｒ ｌｔ ｄ ｅ Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ：ｌｎ ａ ｐ ｃ ｌｎ ａ ｒ ｎ ｆｒ ； ｏ ｍｕ ａ ｉｅ； ｉ ｎ ｉｎ ｄ ｉ ｅ ｒｓ ａ ｅ；ｉ ｅ ｒｔａ ｓｏ ｍ ｃｍ ｔｔ ｖ ｄ ｍｅ ｓｏ
矩阵可交换的条件及其性质
中文摘要特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用.关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵上三角矩阵数量矩阵ABSTRACTSpecial matrices play an important role in matrix analysis and matrix computation and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutativity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields.Keywords:the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special matrices,upper triangle matrices,scalar matrices矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等，满足可交换条件的矩阵进行了探究.在高等代数及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。
关于线性变换的可交换问题的一些讨论
对(2.2)分别左乘、右乘τ可得
2τ2=2τ=στ+τστ=τστ+τσ，
这就说明此时στ=τσ=τ.
当στ=τσ=τ时，由式(2.1)可知σ-τ是幂等变换
问题18中给定线性变换σ与τ都是n维向量空间Vn上的幂等线性变换，我们的解答表明问题18的结论对一般线性空间也是成立的.
3一类线性变换的可交换性判定的一些讨论
文献[14]非常重视可交换问题，不仅在[14,§7.11]中有“与可交换的矩阵”专题，而在[14,§9.10.1]中还系统地介绍“可交换的变换族”。
在上述问题的分类说明时不难发现,分类的标准不是完全绝对的。这样的分类是基于要考虑的主要性质，实际上是互相有交叉的(如不变子空间、公共特征向量、幂等线性变换的性质几乎可和每组都有重叠).
关于线性变换的可交换问题的一些讨论
杨忠鹏1，王海明1，张金辉1，吴秀清1，2
【摘要】摘要：给定线性变换的可交换问题是高等代数教学及研究的重要内容，对常用教材中线性变换可交换的问题作了收集整理与分类，讨论了一类线性变换可交换的判定问题，指出了这类线性变换可交换与线性空间是否为有限维是有关的.
【期刊名称】北华大学学报（自然科学版）
AB=A+B，因为E=AB-A-B+E=(A-E)(B-E)，E为单位矩阵.
注意到A-E，B-E∈ n×n，所以可得
E=(B-E)(A-E)=BA-B-A+E，
这样就有BA=A+B=AB；再从式(1.1)～(1.2),(3.1)可知στ=τσ.
在命题3.1证明中，本质在于
στ=ε⟹τσ=ε，σ，τ∈L(Vn( )).
(1.1)
在(1.1)所设下，令f为L(Vn( ))到n×n上的映射，且f(σ)=A，σ∈L(Vn( ))，则f是L(Vn( ))到n×n的同构映射，因此
论文：浅谈矩阵的可交换性3
浅谈矩阵的可交换性摘要：交换矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具,交换矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点,而在我们的大学学习中,交换矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究。
因此本文针对一般的矩阵可交换这一性质进行了深入研究，对一些特殊的矩阵如上三角矩阵、数量矩阵等给出了一些可交换性质的充分条件和必要条件。
关键字：矩阵交换矩阵上三角矩阵数量矩阵本文分二章第一章为引言,主要介绍了对于矩阵可交换性研究的选题背景和本文有关的一些定义和相关概念。
第二章主要参考一些特殊的公式和通过一些特殊的矩阵如对角矩阵、数量矩阵、上三角矩阵等的研究来对矩阵可交换性的充分条件、必要条件的探讨和总结以及矩阵可交换性的一些性质的探讨。
选题背景随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步,科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视,其应用范围已经渗透到各个学科领域计算机的日益普及,使得矩阵理论与应用越来越受到数学学者、工程技术人员和科技人员的关注，矩阵理论不仅仅是一们重要的数学理论,而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用,还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景，由于利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时,具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点。
因此研究矩阵的可交换性对我的后继学习有极大的帮助。
研究现状及本文所做的工作目前,对于交换矩阵性质的研究主要是围绕交换矩阵的基本性质进行的,重点是交换矩阵的运算性质、交换矩阵的继承性质以及交换矩阵的有关性质。
本文的主要工作是把交换矩阵的性质进行分类并进行相应的总结参考资料【1】高丽一类上三角形矩阵可交换的充要条件。
滨州师范学院学报，2000，16（4）31-33【2】阎家灏赵锡英可交换矩阵兰州工业高等专科学校学报，2002，9（3）：51-54【3】曾梅兰。
有关线性变换的运算及其应用 数学专业毕业论文
有关线性变换的运算及其应用数学专业毕业论文摘要本篇论文主要研究线性变换及其相关运算，具体包括：线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵表示、矩阵乘法的性质、线性变换的应用等。
通过对相关理论知识的掌握和深入研究，能够更好地理解线性代数的基本概念和原理，对掌握高等数学等相关课程具有重要意义。
关键词：线性变换；矩阵表示；矩阵乘法；线性代数；运算AbstractThis paper mainly studies the linear transformation and its related operations, including the definition of linear transformation, the operation of linear transformation, the matrix representation of linear transformation, the properties of matrix multiplication, and the application of linear transformation. Through the mastery and in-depth study of the relevant theoretical knowledge, it can better understand the basic concepts and principles of linear algebra, and has important significance for mastering related courses such as advanced mathematics.Keywords: linear transformation; matrix representation; matrix multiplication; linear algebra; operation一、引言线性代数是数学中的一个重要分支，它在许多领域中都具有重要的应用价值，如物理学、计算机科学、经济学、工程等领域。
矩阵可交换的条件及其性质
中文摘要特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用.关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵上三角矩阵数量矩阵ABSTRACTSpecial matrices play an important role in matrix analysis and matrix computation and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutativity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields.Keywords:the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special matrices,upper triangle matrices,scalar matrices矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等，满足可交换条件的矩阵进行了探究.在高等代数及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。
可交换矩阵的性质及应用_孟献青
１ 性质
性质 １ 设矩阵 A，B 可交换，且
λn
n
1
n n
n
n
n n n
λ1
n n n
n
n
A＝
n n
……
n n
n
n
n n
λ
1n n
n
n
n
n
n n
λ
， n
n
则
bn
n n
1
n
n
n
n
B
＝
n n
n
n
n
n
n
n
n
b2 b3 … b1 b2 …
…… b1
bn
n
n n
bn
n－1
n n
n
n
n
n
bn
2
n n
n
b1
。 n
λ I ≠
≠ ≠
1 n1
≠
≠
≠
T－1AT＝
≠ ≠ ≠
≠
≠
≠
≠
≠≠
≠
λ2In2
…
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
λI ≠
s
ns
≠≠ ≠
收稿日期：2012－12－12
基金项目：山西省高等学校科技研究开发项目[20121015]
作者简介：孟献青（1979－），女，山西怀仁人，硕士，讲师，研究方向：图论与高等数学。
组基，在此基下 A，B 对应的线性变换 A，B 的矩
阵分别为
2 2 2 2 λ α
μβ
A1 ＝ 0 Α2 B1 ＝ 0 B2 ，
【论文】线性变换的分析与应用.docx
1.1 选题背景 ................................................................................................................. 1 1.2 研究意义 ................................................................................................................. 1 第二章 线性变换 ............................................................................................................. 2 2.1 线性变换 ................................................................................................................. 2 2.2 基的变换和坐标变换 ............................................................................................. 3 2.3 特征值与特征向量 ................................................................................................. 4 2.4 线性变换的值域与核 ............................................................................................. 5 第三章 线性变换在解析几何上的应用及 MATLAB 实现 .......................................... 7 3.1 欧式变换 ................................................................................................................. 7 3.2 相似变换 ............................................................................................................... 10 3.3 仿射变换 ............................................................................................................... 13 3.4 平移变换 ............................................................................................................... 15 第四章 线性变换的若干应用及 MATLAB 实现 ........................................................ 17 4.1 在差分方程中的应用 ........................................................................................... 17
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故 AB=BA
参考文献 [1] 史荣昌,魏丰.矩阵分析（第 3 版）[M].北京：北京理工大学出版社，2010 [2] 高明.线性变换及矩阵可交换的性质与应用[J].阴山学刊(自然科学版).2013(3)
x1 + λ1 x2 + + λ1n −1 xn = µ1 n −1 µ2 x + λ x + + λ2 xn = 考虑方程组 1 2 2 n −1 µn x1 + λn x2 + + λn xn =
1 λ1 λ1n −1 1 λ2 λ2 n −1 = ∏ (λi − λ j ) ≠ 0 该方程组的系数行列式 1≤ j ≤i ≤ n 1 λn λn n −1
4 应用
设 V 是数域 F 上的 n 线性空间， A,B 为 V 上的两个线性变换， A 在 F 上有 n 个互异的特征 值，则：1) AB=BA 的充要条件是 A 的特征向量都是 B 的特征向量；2) AB=BA 的充要条件是 B 是 ε , A , A 2 , , A n −1 的线性组合，其中 ε 为 V 的恒等变换。 证明：设 λ1 , λ2 , , λn 是 A 的 n 个互异的特征值， α1 , α 2 , , αn 是 A 的分别属于特征值
(a1ε +a2B + +an −1B n −1 )(αi )=A (αi )
由于 α1 , α 2 , , α n 是 V 的一组基 故 A = a1ε +a2B + +an −1B n −1 充分性 若 A = a1ε +a2B + +an −1B n −1 ，则
BA = α1B +a2B 2 + +an B n ， AB = α1B +a2B 2 + +an B n
所以该方程组有唯一解，设其为 (a1 , a2 , an )T
n −1 即： a1 +a2 λi an λ= µ = 1, 2, n) i i (i
则 (a1 +a2 λi an λin −1 )(α i ) = µiα i 由 A (αi ) = λi αi , B (αi )=µi αi 可知：
2 运算
设 A,B 为线性空间 V 上的两个线性变换，则： 乘积 AB (α ) = A (B (α )) 加法 ( A + B )(α ) = A (α ) + B (α ) 数乘 (k A )(α ) = k A (α )
3 性质
设 V 为线性空间，A,B 为 V 上的两个线性变换，且 AB=BA，则： (1) A 的特征子空间是 B 的不变子空间； (2) A 与 B 至少有一个公共的特征向量。 证明：(1)记 Vλ 表示 A 的特征子空间， λ 是 A 的特征值 若 ∀ξ ∈ Vλ ，则有： A (ξ ) = λξ 从而： A (B = (ξ )) AB = (ξ ) B ( A = (ξ )) B = (λξ ) λB (ξ ) 故可知： B (ξ ) 是 A 的特征值 λ 的特征向量，即 B (ξ ) ∈ Vλ 所以 Vλ 是 B 的不变子空间 (2)由于 Vλ 是 B 的不变子空间，记作 B|λ = τ 在复数域上， τ 必有特征值 µ ，并存在非零向量 ξ ∈ Vλ ，使得 τ (ξ )=µξ 故： B (ξ )=τ (ξ )=µξ ，又 A (ξ ) = λξ 所以 ξ 是 A 与 B 的公共特征向量
线性变换的可交换性
摘要：可交换性是线性变换的特殊性质，本文以其为主题，首先介绍了线性变换可交换的定 义和线性变换的基本运算，然后列出了线性变换可交换的一项重要性质，最后阐述了线性变 换可交换在求证相关问题的应用。 关键词：线性变换；可交换；特征向量
1 定义
设 V 为线性空间，A,B 为V 上的两个线性变换，如果 AB=BA，则称线性变换 A,B 可交换。
λ1 λ2 于是有： A (α1 , α 2 , , α n )=(α1 , α 2 , , α n ) λn
µ1 B (α1 , α 2 , , α n )=(α1 , α 2 , , α n )
µ2
µn
λ1 , λ2 , , λn 的特征向量。由于 λ1 , λ2 , , λn 互异， α1 , α 2 , , αn 可构成 V 的一组基。
1) 必要性 由于 AB=BA，则对于 α i (i = 1, 2, n) 有： A (= B (αi )) AB = (αi ) B ( = A (αi )) B = (λi αi ) λi B (αi ) 所以： B (αi ) ∈ Vλi 而 dim Vλi =1，所以 ∀µi ∈ F，使得 B (αi )=µi αi (i = 1, 2, n) 故 α i (i = 1, 2, n) 都是 B 的特征向量 充分性 若 α i (i = 1, 2, n) 都是 B 的特征向量 则 ∀µi ∈ F，使得 B (αi )=µi αi (i = 1, 2, n) 于是 AB = (αi ) A = ( µi αi ) µ = µi λi αi =λi µi αi =λi B (αi )=B = (λi αi ) BA (αi ) i A (α i ) 由于 α1 , α 2 , , αn 是 V 的一组基，故 AB=BA 2) 必要性 由于 AB=BA，由 1)知： α i (i = 1, 2, n) 是 B 的特征向量 则 ∀µi ∈ F，使得 B (αi )=µi αi (i = 1, 2, n)