初中 直线与圆的位置关系
八年级直线与圆的位置关系
直角与圆的位置关系一、知识要点（一）点和圆的位置关系1.点和圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，. 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点在圆外Ûd>r ；点在圆上Ûd=r ；点在圆内Ûd<r ； 2.过三点的圆：不在同一直线上的三点确定一个圆.经过三角形的三个顶点，可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆. （二）直线和圆的位置关系 1.直线和圆的位置关系：lll直线l 和⊙O 相交Ûd<r ；直线l 和⊙O 相切Ûd=r ；直线l 和⊙O 相交Ûd>r ； 其中，r 为⊙O 半径，d 为圆心O 到直线l 的距离. 2.切线的判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图，在⊙O 中，经过半径OA 的外端点A 作直线l ⊥OA ，则直线l 是⊙O 的切线 3.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 如图，直线l 切⊙O 于点A ，则l ⊥OA※结论1：如图，直线l 切⊙O 于点A ，直线l 1过圆心O ，且l 1⊥l ，则直线l 1过点A . ※结论2：如图，直线l 切⊙O 于点A ，直线l 1过点A ，且l 1⊥l ，则直线l 1过圆心O . 总结：这个定理共有三个条件，一条直线满足：①垂直于切线；②过切点；③过圆心. 定理可以直接用，结论需要证明. 4.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 如图，PA 、PB 是的切线，切点分别为A 、B ，则PA=PB ，OP 平分∠APB.5.三角形的内心和外心（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆；（2）三角形的外心：经过三角形的三个顶点，可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心；（3）三角形的内心：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心；lA（4）直角三角形的内切圆半径与三边关系：图1、图2、图3中、、分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，面积为S，图1、图2中：Srp=，其中1()2p a b c=++；图3中，∠C=90°，则1()2r a b c=+-F图1 图2 图3二、基础知识测试知识要点1：圆的定义1.已知同心圆O，大圆半径AO、BO分别交小圆于C、D，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由知识要点2：点和圆的位置关系2.在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CM是中线，CN是斜边上的高，以C为圆心，以3为半径画圆，则对A、B、C、M、N五点，在圆外的有，在圆上的有，在圆内的有.知识要点3：垂径定理3.已知AB为⊙O的直径，且AB=15，弦CD⊥AB于M，若O M∶OA=3∶5，则CD的长为（）A. 3B. 6C. 12D. 24知识要点4：圆中弦、弧、圆心角关系定理4.如图，在⊙O中，M、N分别是两条不平行的弦AB和CD的中点，且AB=CD，∠MON=126°，则∠AMN=（）A. 63°B. 73°C. 54°D.90°第3题图第4题图第5题图第6题图第7题图知识要点5：圆周角定理5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC为（）A. 22°B. 26°C. 32°D. 68°6.如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO为（）A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，则∠BOD为（）知识要:6：直线和圆的位置关系8.（1）一直线与圆有公共点时，最多有 个，这时这条直线叫圆的 ；最少有 个，这时这条直线叫圆的 .（2）已知，⊙O 的直径为10，点O 到直线l 的距离为d ：①若直线l 与⊙O 相切，则d= ；②若d=4，则直线l 与⊙O 有 个交点；③若d=6，则直线l 与⊙O 的位置关系是 知识要点7：切线的判定9.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，点C 在⊙O 上，∠CAB=30°，则直线CD 与⊙O 的位置关系是DAAD第9题图 第10题图 知识要点8：切线的性质10.如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别切于D 、E 、F ，若∠FDE=70°，则∠A= 三、例题解析※点和圆的位置关系 思路：连圆心，得半径【例1】在⊙O 中，直径AB=6，BC 是弦，∠ABC=30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP ⊥PQ. （1）如图1，当PQ ∥AB 时，求PQ 的长（2）如图2，当点P 在BC 上移动时，求PQ 的最大值〖练1〗如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，若BC=6，AC=8，∠ABD=45° （1）求BD 的长；（2）求图中阴影部分的面积.※直线和圆的位置关系 （一）切线的判定：1.经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例2】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DE⊥AC于E，求证：直线DE是⊙O的切线〖练2〗（1）如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的半⊙O与AB边交于D，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线.A（2）如图，在△OBC中，∠OBC=90°，以O为圆心，OB为半径的圆与BO的延长线交于点E，过点E 作ED∥OC交⊙O于D，直线CD、BE交于点A.①试判直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；②若AD=4，AE=2，求⊙O的半径2. r为⊙O半径，d为圆心O到直线l的距离，则直线l和⊙O相切Ûd=r思路：作垂直，证半径【例3】（1）如图，在梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，以AB为直径作⊙O.①求证：CD是⊙O的切线；②试探索以CD为直径的圆与AB有怎样的位置关系？证明你的结论（2）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PBE是⊙O的割线，交⊙O于B、E，M是BE的中点，连OM ①若把直线PA沿OP对折，得对应直线为PD，求证：PD是⊙O的切线；②连PO交⊙O于F，若PA=PF=4，求⊙O的半径及∠AMO的度数.〖练3〗（1）如图，△ABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，OD⊥AB，以O为圆心，OD为半径作⊙O，求证：AC与O相切B（2）如图，AD是△ABC的高，AD=12BC，E、F分别为AB、AC的中点，以EF为直线作⊙O，试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由（二）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径【例4】（1）如图，直线AC与⊙O相切于点A，AB是弦，P是优弧AB是一动点①若AP经过圆O，请判断∠P与∠BAC的数量关系，并加以证明②若AP不经过圆O，∠P与∠BAC是否存在某种确定的数量关系，证明你的结论（2）如图，OA和OB是⊙O的半径，OA⊥OB，P是OA上一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q的⊙O 的切线交直线OA于R.①求证：RP=RQ；②若P在OA的延长线上，其余条件不变，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.〖练4〗（1）如图，EB为半⊙O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半⊙O于D，BC⊥AD于C，若AB=2，半⊙O的半径为2，求BC的长；ACB（2）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在优弧AB上，若∠P=50°，求∠（三）切线长定理：1.经过圆外一点引圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长；2.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【例5】（1）为了测量一个圆形铁环的直径，某同学采用如下方法，将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角30°的三角板和一把刻度尺，按照如图所示的方法得到相关的数据，进而可以求铁环的半径，若测得PA=5，铁环的半径是（2）如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 相切于A 、B ，PA=4，∠APB=40°，C 是弧AB 上任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E①求△PDE 的周长；②求∠DOE 的度数；③当点C 在弧AB 上移动时，试确定∠PAC+∠PBC 的值.（3）如图，⊙O 分别切△ABC 的三边AB 、BC 、CA 于D 、E 、F ，若BC=a ，AC=b ，AB=c ①求AD 、BE 、CF 的长；②当∠A=90°时，求内切圆的半径〖练5〗（1）⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点. 1）求证：①AD=AF=2AB AC BC +-；②BD=BE=2BA BC AC+-；③CE 与CF 呢？你能从中发现什么规律？2）如图，当∠C=90°时，求证：2a b cr +-=（其中r 是△ABC 内切圆的半径）.（2）如图，直线334y x=-+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C（m，n）是第二象限内任意一点，以C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F.①当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；②如图，若⊙O与y轴相切于点D，求⊙C的半径r.（四）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.【例6】如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，求证：BD=ID DB C〖练6〗如图，△ABC的三边满足1()2BC AB AC=+，O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H.求证：（1）AI=BD；（2）OI=12 AE。
直线和圆的位置关系(初三复习)
C
AB 2 AC 2 62 32 3 3cm
例2：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B， OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．
• 分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直 径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出 ∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此 △CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°． • 证明：连结OD． • ∵OA＝OD，∴∠1＝∠2， • ∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． • ∴∠3＝∠4． D • ∵OD＝OB，OC＝OC， 2 • ∴△ODC≌△OBC． 4 3 A1 • ∴∠ODC＝∠OBC． O • ∵BC是⊙O的切线， • ∴∠OBC＝90°． • ∴∠ODC＝90°． • ∴DC是⊙O的切线．
直线和圆的位置 图形 相交 r d •O 相切 •O r d 相离 • r d
O
公共点个数 圆心到直线距离 d与半径r的关系 公共点名称 直线名称
2
d<r
1
d=r
0
d>r
交点
割线
切点
切线
无
无
一、切线的证明
小结：
1、如何判定一条直线是已知圆的切线？
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (d=r) (3)过半径外端并且和半径垂直的直线是圆的切线；
2.圆的外切四边形的两组对边的和相等
例1 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD
初中数学直线和圆的位置关系知识点总结
初中数学直线和圆的位置关系知识点总结直线和圆的位置关系是初中数学中的一个重要知识点，它涉及到点、线、圆之间的相对位置关系。
我们可以通过以下几个方面来总结这一知识点：1.判定圆和直线的位置关系：a.直线包含于圆内：当直线上的所有点都在圆内时，称直线包含于圆内。
此时，直线与圆的交点为无穷个（无限多个）。
b.直线与圆相交：当直线和圆有一个或两个交点时，称直线与圆相交。
相交的情况还可以细分为相离相交、相切相交和截割相交。
-相离相交：直线和圆相切于两个点，相交与标准的两个正数圆相交；-相切相交：直线和圆相交于一个点，直线切圆；-截割相交：直线和圆相交于两个点，直线截割圆；c.直线与圆相离：当直线上的所有点都不在圆内时，称直线与圆相离。
此时，直线与圆的交点为零个。
d.直线与圆重合：当直线上的所有点都在圆上时，称直线与圆重合。
2.圆心与直线间的距离：a.圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于圆心到直线的垂直距离，垂直距离是圆心到直线的最短距离。
b.两圆心间的距离：两个圆心之间的直线距离等于两个圆相切时的直线距离。
3.判断点与直线的位置关系：a.点在直线上：当一个点恰好在直线上时，称这个点在直线上。
b.点在直线上方：当一个点位于直线的上方时，称这个点在直线上方。
c.点在直线下方：当一个点位于直线的下方时，称这个点在直线下方。
4.判断点与圆的位置关系：a.点在圆内：当一个点位于圆内时，称这个点在圆内。
b.点在圆上：当一个点正好位于圆上时，称这个点在圆上。
c.点在圆外：当一个点位于圆外时，称这个点在圆外。
5.判断直线与圆相交的条件：a.直线与圆有交点的条件：直线和圆有交点当且仅当直线的距离小于圆的半径。
b.直线与圆相切的条件：直线和圆相切当且仅当直线的距离等于圆的半径。
6.判断两圆的位置关系：a.内离：两圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和，此时两个圆的内部没有共同点。
b.相离：两圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，此时两个圆相切于外公切点。
初中数学直线与圆知识点总结
直线与圆知识点总结直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种。
圆定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
圆心：一般符号O表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
直径一般用字母d表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。
半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。
圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。
计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。
90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
πr^2;，用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
周长计算公式1.、已知直径：C=πd2、已知半径：C=2πr3、已知周长：D=c/π4、圆周长的一半:1/2周长(曲线)5、半圆的周长：1/2周长+直径（π÷2+1）面积计算公式：1、已知半径：S=πr^2;2、已知直径：S=π(d/2)^2;;3、已知周长：S=π[c÷(2π)]^2;;圆的种类：（1）整体圆形，（2）弧形圆，（3）扁圆，（4）椭形圆，（5）缠丝圆，（6）螺旋圆，（7）圆中圆、圆外圆，（8）重圆，（9）横圆，（10）竖圆，（11）斜圆。
九年级数学直线和圆的位置关系
高档题型解析及思路拓展
例题3
解析
思路拓展
已知直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，直线$l_{2}$过点$P$且与圆 $O_{1}$相交于另一点$Q$，求直线 $l_{2}$的方程。
由于直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，因此点$P$是切点，且直线 $l_{1}$在点$P$处的切线斜率与直线 $l_{2}$的斜率相等。我们可以通过求 出点$P$的坐标和切线斜率，再利用点 斜式求出直线$l_{2}$的方程。
若直线与圆相切，则直线到圆心的距 离等于半径，由此可求出切线方程。
直线与圆的交点坐标
联立直线方程和圆方程求解，可得交 点坐标。若有两个交点，则它们关于 圆心对称。
02
直线与圆的位置关系分类
相离关系
定义
直线与圆没有公共点，称为相离。
判定方法
通过比较圆心到直线的距离与圆的 半径大小来判断。若圆心到直线的 距离大于圆的半径，则直线与圆相 离。
直线与圆的交点个数
通过观察图形或计算，确定直线与圆的交点个数。若有两个交点，则直线与圆 相交；若有一个交点，则直线与圆相切；若没有交点，则直线与圆相离。
综合应用举例
解法一
联立直线l和圆C的方程，消去一 个未知数得到一个一元二次方程 。根据判别式的值判断位置关系 。
解法二
计算圆心(a,b)到直线l的距离d，根 据d与半径r的大小关系判断位置关 系。
圆的性质
圆上任意一点到圆心的距 离等于半径；圆的任意弦 所对的圆周角等于弦所对 圆心角的一半。
圆的切线
与圆有且仅有一个交点的 直线称为圆的切线，切线 与半径垂直。
直线与圆的交点问题
直线与圆的位置关系
直线与圆的切线问题
初三数学直线和圆的位置关系
初三数学直线和圆的位置关系一.直线和圆的位置关系：①相交：直线和圆有两个公共点，这时说这条直线和圆相交；这条直线叫做圆的割线；②相切：直线和圆有唯一公共点，这时说这条直线和圆相切；这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.③相离：直线和圆没有公共点，这时说这条直线和圆相离．二.直线和圆的位置关系的判定：（1）定理：若⊙O的半径为R，圆心到直线l 的距离为d. 则直线l与⊙O相交d﹤R；直线l与⊙O相切 d =R；直线l与⊙O相离d﹥R；（2）“圆心到直线的距离d和半径R的数量关系”与“直线和圆的位置关系”之间的对应与等价关系列表如下：例1、1.在Rt△ABC中，∠C=，AC=3cm，AB=6cm，以点C为圆心，与AB边相切的圆的半径为_________cm.2.如图，⊙O的半径OD为5cm，直线l⊥OD，垂足为O，则直线l沿射线OD方向平移_________cm时与⊙O相切.3.已知⊙O的直径为6cm，如果直线l上的一点C到圆心的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系是_________.4.⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离d与R是方程x2－6x＋9=0的两个实数根，则直线l和⊙O的位置关系是_________.三．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；2．切线的性质：①切线垂直于过切点的半径；②切线和圆心的距离等于半径；③经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；④经过切点垂直于切线的直线必过圆心.综上所述，在解决有关圆的切线的问题，连接圆心和切点的线段是最常见的辅助线.四、切线长的定义及切线长定理过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长，如图所示，PA，PB 是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段PA，PB的长即为点P到⊙O的切线长．切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．例2、如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AD∥CO.求证：CD是⊙O的切线.1、⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是（）A.d>RB.d<RC.d≤RD.d≥R2、点A为直线l上任一点，过A点与直线l相切的圆有（）个.A.1 B.2C.不存在 D.无数个3、在Rt△ABC中，∠A=，BA=12，CA=5，若以A为圆心，5为半径作圆，则斜边BC与⊙A的位置关系是（）A.相交 B.相离C.相切 D.不确定4、等边△ABC的边长为6，点O为△ABC的外心，以O为圆心，为半径的圆与△ABC的三边（）A.都相交B.都相离C.都相切D.不确定5、两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，作大圆的弦MN=8cm，则MN与小圆的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离D．无法判断6、如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相交C．相切 D．以上三种情形都有可能7、下列说法正确的是（）A．垂直于切线的直线必过切点B．垂直于半径的直线是圆的切线C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于切线的直线必经过圆心8、已知Rt△ABC的直角边AC=BC=4cm，若以C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则这个圆与斜边所在的直线的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离 D．不能确定9、如右上图，在△ABC中，AB=2，AC=1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为（）10、如下图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，∠D=__________．11、如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC相切时，OA=__________．12、设⊙O的半径为R，⊙O的圆心到直线的距离为d，若d、R是方程x2－6x＋m=0的两根，则直线l 与⊙O相切时，m的值为__________．13、已知∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心，2cm为半径作⊙O，则⊙O与BC的位置关系是__________．14、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D．求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB＋EB=AC．15、如图，以边长为4的正△ABC的BC边为直径作⊙O与AB相交于点D，⊙O的切线DE交AC于E，EF⊥BC，点F是垂足，求EF的长．16、如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B．求证：PB是⊙O的切线．17、如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，∠BAC=30°，点C在⊙O上，过点C与⊙O相切的直线交AB 的延长线于点D，求线段BD的长．1．弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：2．扇形面积公式：（1）和含n°圆心角的扇形的面积公式同样不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：．（2）将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式：。
圆与直线的位置关系与判定
圆与直线的位置关系与判定圆与直线是几何学中最基本的图形，它们之间的位置关系和判定方法在数学问题中有着广泛的应用。
本文将从不同角度探讨圆与直线之间的位置关系，并介绍几种常用的判定方法。
一、圆与直线的位置关系1. 直线经过圆心：当一条直线穿过圆心时，我们称其为圆的直径线或直径。
直径线是圆的特殊位置关系，它将圆分成两个相等的半圆，且直径线的长度等于圆的直径。
2. 直线在圆内部：当一条直线完全位于圆的内部时，我们称之为直线在圆内部。
在这种情况下，直线与圆相交于两个不同的点。
例如，图中的直线AB位于圆O的内部。
3. 直线切圆：当一条直线与圆相切时，我们称之为直线切圆。
直线与圆相切于圆上的一点，此点既属于圆，又属于直线。
例如，图中的直线AB切圆O于点C。
4. 直线在圆外：当一条直线完全位于圆的外部时，我们称之为直线在圆外部。
在这种情况下，直线与圆没有交点。
例如，图中的直线AB位于圆O的外部。
二、圆与直线的位置判定方法1. 判断直线是否经过圆心：通过直线的方程可以判断该直线是否经过圆心。
直线的方程一般可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。
如果圆的圆心坐标为(x0, y0)，则当直线方程中的x0和y0满足方程y = kx + b时，直线经过圆心。
2. 判断直线与圆的位置关系：通过直线与圆的方程可以判断它们的位置关系。
设圆的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，直线的方程为y =kx + c。
将直线的方程代入圆的方程中，可得一个关于x的一元二次方程。
通过求解该方程，可以得到方程的解，从而判断直线与圆的位置关系。
3. 判断直线是否切圆：通过直线与圆的切点个数可以判断直线是否切圆。
直线与圆相切时，方程的解只有一个，此时直线切圆。
当方程有两个不相等的解或者无解时，直线与圆没有交点。
4. 判断直线是否在圆内部或外部：通过圆的半径和圆心到直线的距离可以判断直线是否在圆的内部或外部。
初中数学——(54)直线与圆的位置关系
初中数学——（54）直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系（一）相交：直线与圆有两个公共点，d＜r（二）相切：直线与圆有一个公共点，d＝r1、切线：垂直于半径且与圆相切的直线就是切线2、切线垂直于过切点的半径3、过切点垂直于切线的直线必过圆心（三）相离：直线与圆有没有公共点，d＞r二、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角，即：PA,PB是两条切线，且PA＝PB，那么OP平分∠BAP三、圆幂定理定理图形结论相交弦定理PA·PB＝PC·PD相交弦定理推论PC2＝PA·PB 切割线定理PT2＝PA·PB切割线定理推论PA·PB＝PC·PD圆幂定理P'C·P'D＝r2－OP'2 PA·PB＝OP2－r2四、圆柱计算（一）S 表 ＝ S 侧＋2S 底 ＝ 2πrh ＋2πr 2 （二）V 体 ＝ πr 2h五、圆锥计算（一）S 表 ＝ S 侧＋S 底 ＝ πRr ＋πr 2（二）V 体 ＝31πr 2h六、练习题（一）以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为多少？B1RrCBO（二）AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作⊙O的切线，切点为B，连结AC交⊙O于D，∠C＝38°。
点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），求∠AED的大小（三）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=，且AE：BE =1：3，求AB的长（四）已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D1、如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；2、如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小（五）如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。
直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有三种：如图所示. （1）直线与圆相交：有两个公共点； （2）直线与圆相切：有一个公共点； （3）直线与圆相离：没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定的两种方法：直线l 和圆C 的方程分别为：Ax+By+C=0，x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 1）代数法判断直线与圆的位置关系：由l 和C 的方程联立方程组220Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩， ①若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交； ②若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切； ③若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.2）几何法判断直线与圆的位置关系：圆心C(a ，b)到直线的距离d=22||Aa Bb C A B+++与半径r 作比较①若d<r 时，直线l 和圆C 相交；②若d=r 时，直线l 和圆C 相切；③若d>r 时，直线l 和圆C 相离. 3、圆的切线的求法：（1）当点(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时，切线方程为x 0x+y 0y=r 2；（2）若点(x 0，y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上时，切线方程为(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)=r 2； （3）斜率为k 且与圆x 2+y 2=r 2相切的切线方程为21y kx k =±+；斜率为k 且与圆(x －a)2+(y －b)2=r 2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y=kx+m ，然后变成一般 式kx －y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m ；（4）点(x 0，y 0)在圆外面，则切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离 等于半径，解出k ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上. 4、直线与圆相交的弦长公式1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A 、B ，线段AB 的长 即为直线l 与圆相交的弦长.设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为AB ，则有 222()2AB d r +=，即AB=222r d - . 2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当直线AB 的倾斜角存在时，联 立方程组，消元得到一个关于x 的一元二次方程，求得x 1+x 2和x 1x 2.于是2121212||()4x x x x x x -=+-，这样就求得2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-。
初中直线与圆的位置关系
山水相接的地方出现了一道红霞，过了一会儿，那里 出现了太阳的小半边脸。慢慢儿，一纵一纵地使劲儿 向上升。到了最后，它终于冲破了云霞，完全跳出了 海面。
—巴金
初中-直线与圆的位置关系
A C
点和圆的位置关系有几种？
点到圆心的距离为d， B 圆的半径为r，则：
点在圆外 点在圆上 点在圆内
d .┐r l
A
. r ┐d .
B
lC
相切 相交
1
2
d=r
d<r
切点
直线名称
切线
初中-直线与圆的位置关系
割线
已知⊙O的半径r=7cm,直线l1 // l2, 且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm. 求l1与l2的距离m.
。 o C
l2
A B
l1 l2
初中-直线与圆的位置关系
讨论
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm， 以C为圆心，r为半径作圆。
①当r满足 ②当r满足 ③当r满足
0﹤r﹤1630 r= 60
13
r﹥60
13
时， 直线ＡＢ与⊙Ｃ相离。 60
CD= cm
时，直线ＡＢ与⊙Ｃ相切。 13
B
时，直线ＡＢ与⊙Ｃ相交。 13
④当r满足
r= 60 或5﹤r≤12
13
时,
线段ＡＢ与⊙Ｃ只有一个公共点。
12
D
C5A
初中-直线与圆的位置关系
在同一平面内,已知点O到直线l的距离 为5.以点O为圆心,r为半径画圆.
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ;
2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm
初中数学直线和圆的位置关系知识点总结
初中数学直线和圆的位置关系知识点总结初中数学直线和圆的位置关系知识点总结直线和圆位置关系①直线和圆无公共点，称相离。
AB与圆O相离，d>r。
②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。
AB 与⊙O相交，d③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
AB与⊙O相切，d=r。
(d为圆心到直线的距离)平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的.方程如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴(或垂直于x轴)，将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1当x=-C/Ax2时，直线与圆相离;拓展阅读：初中数学知识点总结：平面直角坐标系平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
初中数学直线和圆的位置关系知识点总结
三一文库（）/总结〔初中数学直线和圆的位置关系知识点总结〕当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹就是一个圆。
下面是小编为你带来的初中数学直线和圆的位置关系知识点总结，欢迎阅读。
▲直线和圆位置关系①直线和圆无公共点，称相离。
AB与圆相离，dr。
②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。
AB与⊙相交，d③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
AB与⊙相切，d=r。
(d为圆心到直线的距离)平面内，直线Ax+By+=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+=0，可得y=(--Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b^2-4a0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
第1页共3页如果b^2-4a=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4a0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+=0，即x=-/A，它平行于y轴(或垂直于x轴)，将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1当x=-/Ax2时，直线与圆相离;▲拓展阅读：初中数学知识点总结：平面直角坐标系▲平面直角坐标系▲平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合▲三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左23。
初中数学 如何判断一条直线与圆的位置关系
初中数学如何判断一条直线与圆的位置关系
判断一条直线与圆的位置关系有几种情况：相离、相切、相交。
下面我将详细介绍这些情况以及判断的方法：
1. 直线与圆相离：
当直线与圆没有交点时，它们被认为是相离的。
判断直线与圆相离的方法有两种：-计算直线到圆心的距离，如果距离大于圆的半径，则直线与圆相离。
-判断直线与圆的方程是否满足不相交的条件。
2. 直线与圆相切：
当直线与圆有且仅有一个交点时，它们被认为是相切的。
判断直线与圆相切的方法有两种：
-计算直线到圆心的距离，如果距离等于圆的半径，则直线与圆相切。
-判断直线与圆的方程是否满足切线的条件。
3. 直线与圆相交：
当直线与圆有两个交点时，它们被认为是相交的。
判断直线与圆相交的方法有两种：-计算直线与圆心的距离，如果距离小于圆的半径，则直线与圆相交。
-判断直线与圆的方程是否满足相交的条件。
在判断直线与圆的位置关系时，可以使用以下工具和方法：
-距离公式：计算直线到圆心的距离可以使用距离公式来求解。
-圆的方程：圆的方程可以用来判断直线与圆的位置关系。
需要注意的是，判断直线与圆的位置关系时，可以结合使用上述方法，以确保准确判断它们之间的关系。
以上是关于判断直线与圆的位置关系的方法和步骤的介绍。
希望以上内容能够满足你对直线与圆位置关系的了解。
人教版初中数学九年级上册第二十四章直线和圆的位置关系
练习
练习3 已知⊙O 到直线 l 的距离为 d，⊙O 的半径 为 r，若 d、r 是方程 x2 -7x+12=0 的两个根，则直线 l 和⊙O 的位置关系是__相__交__或__相__离____．
课堂小结
1．直线和圆的位置关系有三种：相离、相切和相交． 2．识别直线和圆的位置关系的方法：
（1）一种是根据定义进行识别： 直线 l 和⊙O 没有公共点 直线 l 和⊙O 相离； 直线 l 和⊙O 只有一个公共点 直线 l 和⊙O 相切； 直线 l 和⊙O 有两个公共点 直线 l 和⊙O 相交．
24.2 直线和圆的位置关系
• 学习目标：
1．理解直线和圆相交、相切、相离等概念； 2．理解直线和圆相交、相切、相离的判定方法和性质．
• 学习重点：
利用圆心到直线的距离与半径的关系判别直线和圆的位置关系．
1．情境引入
2．直线和圆的位置关系
l
2．直线和圆的位置关系（图形特征）
O l
O Al
O A Bl
切点
切线
d=r
相离
d Or l
没有 － － d＞r
4．练习
练习1 圆的直径是 13 cm，如果直线和圆心的距离分别 是 ① 4.5 cm；② 6.5 cm；③ 8 cm，那么直线和圆分别是什么 位置关系？有几个公共点？
练习
练习2 已知⊙A 的直径为 6，点 A 的坐标为（-3，
-4），则⊙A 与 x 轴的位置关系是相__离___，⊙A 与 y 轴的位置
（2）另一种是根据圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 的大小关系来进行识别：
d ＞r 直线 l 和⊙O 相离； d ＝r 直线 l 和⊙O 相切； d ＜r 直线 l 和⊙O 相交．
九年级数学直线和圆的位置关系
(2) 当 r = 2.4cm时, 有 d = r, 因此C和AB相切.
(3) 当 r = 3cm时, 有 d < r, 因此C和AB相离.
（四） 课堂练习
一 判断题
1. 直线上一点到圆的距离大于半径 , 则直线与圆相离 ( ) 2. 直线上一点到圆的距离等于半径,则直线与圆相切( ) 3. 直线上一点到圆的距离小于半径,则直线与圆相交( )
直 线 和 圆 的 位 置 关 系
直线和圆的位置关系
教学内容:
1 直线和圆的三种位置关系及有关定义 2 直线和圆的位置关系的性质与判定 3 例题讲述
4 课堂练习
5 内容小结
6 课后作业布置
l
一 ） 直 线 和 圆 的 位 置 关 系
(
1.直线和圆的位置关系有三种(从直线与圆 公共点的个数) 2.用图形表示如下:
B D B A D B D
C
C
A
(1)
C
A
(2)
(3)
解：过C作CD⊥AB，垂足为D（如上图）.在RtABC中,根据勾股定理
得:AB=5cm. 再根据三角形的面积公式有 CD· AB=AC· BC,
∴CD•5=3Х4 ∴CD=2.4cm 即圆心C到AB的距离d=2.4cm.
(1) 当 r = 2cm时, 有 d > r, 因此C和AB相离.
1
M
B
(五) 内容小节
一 直线和圆的位置关系有三种
相离 相切 相交
二 直线和圆位置关系的性质与判定 （ r与d的数量大小关系）
① 直线L和O相离
(性质）
（判定） （性质） （判定） （性质） （判定）
d>r
②
直线L和O相切
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课堂练习：
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距 离为d, 根据条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ;
2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm
;
3)若AB和⊙O相交,则 d < 5cm
①当r满足 ②当r满足 ③当r满足
0﹤r﹤1630 r= 60
13
r﹥60
13
时， 直线ＡＢ与⊙Ｃ相离。 60
CD= cm
时，直线ＡＢ与⊙Ｃ相切。 13
B
时，直线ＡＢ与⊙Ｃ相交。 13
④当r满足
r= 60 或5﹤r≤12
13
时,
线段ＡＢ与⊙Ｃ只有一个公共点。
12
D
C5A
在同一平面内,已知点O到直线l的距离 为5.以点O为圆心,r为半径画圆.
叫做直线和圆相交。
C
.A .A .B
a(地平线)
观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与 地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化?
（1） l
·O
看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
（2）
（3）
l
·O ·O
l
相离
相交
相切
注意：直线是可以无限延伸的．
二、直线和圆的位置关系（用圆心o到直线l的距 离d与圆的半径r的关系来区分）
1、直线和圆相离
d>r
．Ｏ
r
d
┐
l
2、直线和圆相切
d=r
．ｏ
rd
┐l
3、直线和圆相交
d<r
．O
r ┐d
l
课堂练习：
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离 为d ：
1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有__2__个公共点.
2)若d=6.5cm ,则直线与圆__相__切__, 直线与圆有__1__个公共点.
(1)当r= 时,⊙O上有且只有 1个点到直线l的距离为3;
(2)当r= 时, ⊙O上有且只有3 个点到直线l的距离为3;
(3)随着r的变化, ⊙O上到直线l 的距离等于3的点的个数有那些变化?
·O
B
l1
l A
l2 C
17、如图，在直角坐标系中，O为原点，⊙O的半径为1，
则直线 yx 2 与⊙O的位置关系怎样？
.
如图,在△ABC中,∠A=450,AC=4,以C为圆心,r为半 径的圆与直线AB有怎样的位置关系?为什么?
(1) r=2
(2) r=2 2
(3) r=3
C
C·
4
22
4
22
A 450
D B A 450
DB
相离
相切
C
·
4
22
A 450
B
D
相交
当堂检测：
1.判断正误
1)பைடு நூலகம்圆有公共点的直线是圆的切线
(× )
．ｏ
．O
d .┐r l
A
. r ┐d .
B
lC
相切 相交
1
2
d=r 切点 切线
d<r 割线
已知⊙O的半径r=7cm,直线l1 // l2, 且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm. 求l1与l2的距离m.
。 o C
l2
A B
l1 l2
讨论
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm， 以C为圆心，r为半径作圆。
初中数学九年级上册 （苏科版）
5.5 直线和圆的位置关系
（1）
知识改变命运 拼搏成就未来
山水相接的地方出现了一道红霞，过了一会儿，那里 出现了太阳的小半边脸。慢慢儿，一纵一纵地使劲儿 向上升。到了最后，它终于冲破了云霞，完全跳出了 海面。
—巴金
A C
点和圆的位置关系有几种？
点到圆心的距离为d， B 圆的半径为r，则：
2)过圆外一点画一条直线,则直线与圆相离( × )
3)过圆内一点画一条直线,则直线与圆相交( √ )
2. 设⊙O的半径为3，直线a上一点到圆心的距离
为3，则直线a与⊙O的位置关系是（ D ）
（A）相交
（B）相切
（C）相离
（D）相切或相交
拓展:已知⊙A的直径为6，点A的坐标为
（-3，-4），则x轴与⊙A的位置关系是_相__离__, y轴与⊙A的位置关系是_相__切__。
点在圆外 点在圆上 点在圆内
d>r; d=r； d<r.
直线与圆的位置关系
●
O
●
●
O
O
(地平线)
●
●
O
O a(地平线)
一、直线与圆的位置关系 （用公共点的个数来区分）
特点： 直线和圆没有公共点， 叫直线和圆相离
特点： 直线和圆有惟一的公共点， 叫做直线和圆相切。 这时的直线叫切线
惟一的公共点叫切点。 特点： 直线和圆有两个公共点，
y
B
D
A
x
O
下课了!
知识像一艘船
让它载着我们 驶向理想的 ……
y
B -1 O -1 x
4 A.(-3,-4) C
3
思考:若⊙A要与x轴相切，则⊙A该向上
移动多少个单位？若⊙A要与x轴相交呢？
y
-1
B
O -1 x
4
A .(-3,3-4) C
图形
直线与圆的 位置关系
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
公共点的名称
．Ｏ r d┐ l
相离
0
d>r
直线名称