2.4.1向量在平面几何中的应用
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d Ax
0
By
2
0
C
2
A B
证明：当 B 0 时，在直线 取 P1 ( 0 , C B
l 上任取一点，不妨
), 直线 l 的法向量 n ( A , B ), 则 P 到 l 的
P1 P 在向量 n方向上射影长
C B ),
距离等于向量
P1 P ( x 0 , y 0
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
例2. 求证平行四边形对角线互相平分． 证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线 相交于M，设 A M x A C , B M y B D
则 AM AB BM A M x A Bx y B D x A D , AC AB A M A A BB y ( A D A B ) B M BA A B(1 y y ) D B y A D AB y( AD AB) (1 y ) A B y A D
A F a b B E C b a
BE FD b
D
AE FC
即边AE、FC平行且相等，AECF是平行四边形
用向量方法解决平面几何问题的“三步 曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
5 .利用向量的数量积公式 ，可以求角 cos a b a b
，
1.向量在平面几何中的应用
例1.如图，已知平行四边形ABCD中，E、F在
对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平
行四边形。
证明：由已知设 A B D C a ,
AE AB BE a b FC FD DC b a
根据平面向量基本定理知，这两个分解 式是相同的，所以
x 1 y x y
1 x 2 y 1 2
解得
所以点M是AC、BD的中点，即两条对 角线互相平分.
例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，
PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接DP、EF，求证
D P A Q
C
B
2.向量在解析几何中的应用
例1、求通过点 A ( 1, 2 ) ，且平行于向量a (3, 2 )
的直线方程.
例2、已知直线 l : A x B y C 0, n ( A , B ) ，求证：
n l
例3.点到直线距离公式的推导。 已知点P坐标( x0 ,y0 )，直线l的方程 Ax+By+C=0，P到直线l的距离是d，则
DP ⊥EF.
证明：选择正交基底{ 在这个基底下
AB, AD
}
D P C F
A B (1, 0), A D (0,1)
设 AP (a, a )
A E B
E B (1 a , 0 ), B F (0, a ) E F (1 a , a ) D P A P A D ( a , a 1)
2
D B
C
A
解：设 AB a , AD b ，则
AB
AC
2
BC b , DA a , AC a b ; DB a b
2 2
2
BC
2
2
CD
2
2
DA
2
2
2( a
2
b )
BD
a b
2
a b
2
2 2 a 2a b b a 2a b b 2 a b 2 a b 2 2 2
A
B
D E
C
2 .已知四边形
ABCD 是正方形，
E 、 F 分别在
BC 、 CD 上，且 BE CF 求证： AE BF
A B
E
D
F
C
3 .设 P 、 Q 分别是梯形 AC 与 BD 的中点 (1) 试用向量证明：
ABCD 的对角线
PQ // AB
( 2 ) 若 AB 3 CD , 求 PQ : AB 的值
∴ AB 2 BC 2 CD 2 DA 2 AC 2 BD
2
例5、证明:直径所对的圆周角是直角.
已知：如图所示， AB 为圆 O 的直径， C 为
圆 O 上异于 A 、 B 任意一点 求证： ACB 90
o
C
A O
B
1 .如图，已知矩形
ABCD 的长与宽分别为
2 和 1, E 是 CD 边上的中点， 证明： AE DB
d,
d P1 P
n n
( x0 , y0
C B
)
( Baidu Nhomakorabea, B ) A 2 B 2
Ax 0 By 0 C A 2 B 2
当 B 0时，可直接由图形证得
（略）
用向量方法解决平面几何问题的“三步 曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
D P E F (1 a , a ) ( a , a 1) (1 a ) a a ( a 1) 0
所以D P E F
因此DP⊥EF.
D
例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
已知：平行四边形ABCD。 2 2 2 2 2 AB 求证： BC CD DA AC BD
2.4.1 向量在几何中的应用
1 .要证明 AB CD , 只要证明
AB CD
2 .要证明 AB CD , 只要证明 AB CD 0
3 .要证明 AB // CD , 只要证明存在实数 使得 AB CD 4 .要 证明 A 、 B 、 C 三 点共 线 , 只 要证 明存 在 实 数 ， 使 得 AB CD
0
By
2
0
C
2
A B
证明：当 B 0 时，在直线 取 P1 ( 0 , C B
l 上任取一点，不妨
), 直线 l 的法向量 n ( A , B ), 则 P 到 l 的
P1 P 在向量 n方向上射影长
C B ),
距离等于向量
P1 P ( x 0 , y 0
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
例2. 求证平行四边形对角线互相平分． 证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线 相交于M，设 A M x A C , B M y B D
则 AM AB BM A M x A Bx y B D x A D , AC AB A M A A BB y ( A D A B ) B M BA A B(1 y y ) D B y A D AB y( AD AB) (1 y ) A B y A D
A F a b B E C b a
BE FD b
D
AE FC
即边AE、FC平行且相等，AECF是平行四边形
用向量方法解决平面几何问题的“三步 曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
5 .利用向量的数量积公式 ，可以求角 cos a b a b
，
1.向量在平面几何中的应用
例1.如图，已知平行四边形ABCD中，E、F在
对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平
行四边形。
证明：由已知设 A B D C a ,
AE AB BE a b FC FD DC b a
根据平面向量基本定理知，这两个分解 式是相同的，所以
x 1 y x y
1 x 2 y 1 2
解得
所以点M是AC、BD的中点，即两条对 角线互相平分.
例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，
PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接DP、EF，求证
D P A Q
C
B
2.向量在解析几何中的应用
例1、求通过点 A ( 1, 2 ) ，且平行于向量a (3, 2 )
的直线方程.
例2、已知直线 l : A x B y C 0, n ( A , B ) ，求证：
n l
例3.点到直线距离公式的推导。 已知点P坐标( x0 ,y0 )，直线l的方程 Ax+By+C=0，P到直线l的距离是d，则
DP ⊥EF.
证明：选择正交基底{ 在这个基底下
AB, AD
}
D P C F
A B (1, 0), A D (0,1)
设 AP (a, a )
A E B
E B (1 a , 0 ), B F (0, a ) E F (1 a , a ) D P A P A D ( a , a 1)
2
D B
C
A
解：设 AB a , AD b ，则
AB
AC
2
BC b , DA a , AC a b ; DB a b
2 2
2
BC
2
2
CD
2
2
DA
2
2
2( a
2
b )
BD
a b
2
a b
2
2 2 a 2a b b a 2a b b 2 a b 2 a b 2 2 2
A
B
D E
C
2 .已知四边形
ABCD 是正方形，
E 、 F 分别在
BC 、 CD 上，且 BE CF 求证： AE BF
A B
E
D
F
C
3 .设 P 、 Q 分别是梯形 AC 与 BD 的中点 (1) 试用向量证明：
ABCD 的对角线
PQ // AB
( 2 ) 若 AB 3 CD , 求 PQ : AB 的值
∴ AB 2 BC 2 CD 2 DA 2 AC 2 BD
2
例5、证明:直径所对的圆周角是直角.
已知：如图所示， AB 为圆 O 的直径， C 为
圆 O 上异于 A 、 B 任意一点 求证： ACB 90
o
C
A O
B
1 .如图，已知矩形
ABCD 的长与宽分别为
2 和 1, E 是 CD 边上的中点， 证明： AE DB
d,
d P1 P
n n
( x0 , y0
C B
)
( Baidu Nhomakorabea, B ) A 2 B 2
Ax 0 By 0 C A 2 B 2
当 B 0时，可直接由图形证得
（略）
用向量方法解决平面几何问题的“三步 曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
D P E F (1 a , a ) ( a , a 1) (1 a ) a a ( a 1) 0
所以D P E F
因此DP⊥EF.
D
例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
已知：平行四边形ABCD。 2 2 2 2 2 AB 求证： BC CD DA AC BD
2.4.1 向量在几何中的应用
1 .要证明 AB CD , 只要证明
AB CD
2 .要证明 AB CD , 只要证明 AB CD 0
3 .要证明 AB // CD , 只要证明存在实数 使得 AB CD 4 .要 证明 A 、 B 、 C 三 点共 线 , 只 要证 明存 在 实 数 ， 使 得 AB CD