WKB近似及在一维势阱量子化条件推导的应用

WKB 近似推导一维势阱量子化条件

摘要：在量子力学里，WKB 近似是一种半经典计算方法，可以用来解析薛定谔方程。WKB 近似的应用非常广泛，特别是量子力学相关问题中。本文通过介绍了WKB 近似，并用其导出了一维势阱量子化条件为例，进一步深入了解WKB 近似法求解方程的步骤和过程。 关键词：WKB 近似，一维势阱，量子化条件，薛定谔方程

引言：WKB 近似全名为温侧-克喇末-布里渊近似法，是以三位物理学家Gregor Went zel 、Hendrix Anthony Kram ers 和Leon Brillouin 命名的。他们于1926年成功的发展和应用于量子力学。经过近百年的发展和改进，WKB 近似已得到完善和普及，应用广泛，如处理谐振子问题、开普勒问题、一维及三维定态微扰问题、分波相角计算问题等。本文主

要讲解的是在势场()x V 变化缓慢并且E —()x V 特别大的条件（即WKB 近似条件）下，

用WKB 近似方法求解一维定态薛定谔方程可以得到WKB 波函数，结合转折点处波函数的渐进行为以及边条件能过导出一维势阱中三种典型模型下的束缚态例子的量子化条件。

1.WKB 近似法的基本思想

若薛定谔方程可以分解为几个常微分方程，并且问题又与经典问题相差不大是，则可以将波函数按幂级数展开，而且只取前面少数几项就能得到到小号的结果。所谓问题与经典问题相差不大，是指在研究体系中，研究的动量与其运动空间尺度大，普朗克常量 作用不大，使量子力学问题退化为经典问题。

2.WKB 近似法的基本步骤

求解一个量子系统的薛定谔方程的基本步骤，由基本思想可以归结为以下五步： 首先将波函数打造为一个一个指数函数；其次是将这些指数函数代入薛定谔方程；然后将指数函数展开为普朗克常量的幂级数的多项式函数；再匹配约化普朗克常量同次幂的项目， 得到一个方程组；最后解析这些方程，得到WKB 近似波函数。

3.WKB 近似波函数

根据上述的基本思想和基本步骤，以一维自由粒子为例，解其WKB 近似波函数的过程如下。

考虑到量子力学与经典力学之间的过度条件：，

()M C M Q .0.→→

利用准经典近似法（WKB 近似法），对一维自由粒子波函数以 展开，然后求薛定谔方程并取波函数近似解，即可得到WKB 近似波函数。 这一过程的具体步骤为：

对于一维自由粒子波函数⎪⎭⎫ ⎝⎛±= i Aex p px ψ可记为()⎪⎭

⎫

⎝⎛= i ex p x f ψ，将其

代入薛定谔方程m

22

-

∇()x V ()ψψE x =+V ，可得

()02

2

i =+-

''+'p f f （1）

将

()()()()+++=

x x x x f f f f 2

2

1

…，并代入式（1）可得到 的多项式，

根据 各幂次系数为零有：

()

()

；

；

，；

，；'

'

'''''

+

="

'

==

f f f f f f f p f 02

i 2i 02

2

1

2

1

1

2

2

… 取

()x f 至以及近似，得

()()dt t p x f x

f f

⎰±=+≅0

101 （2） 其中：()()[]x V E m x p -=

2。

将式（2）代入薛定谔方程，得 ()()()()⎪⎭

⎫

⎝⎛+=⎪⎭⎫

⎝⎛'

≅

⎰⎰x x a dt t p x p C

dt t p x p C 001sin i exp ψ （3） 其中：a C C ，，'有具体问题的边界条件和归一化条件确定。

式（3）是一维自由粒WKB 近似波函数的解，该解成立的条件 ：

()()[]x V E m x p -=2 >0，

即E >()x V ，波函数对应图1的区域Ⅱ（经典允许区）。

当()()x V E x p <<，即0时，只需将式（3）中的()x p 变为()i x p ，即可得到与图1中区域Ⅰ和区域Ⅲ（经典禁区）对应的WKB 近似波函数：

()

()()

()⎪⎭⎫

⎝⎛-+⎪⎭⎫

⎝⎛≅

⎰⎰x x dt t p x p tdt p x p C

C

2

01

i exp i exp ψ （4）

其中：C 1，C 2边界条件及过一滑条件决定。

3. 一维势阱量子化

3.1无垂直壁势阱

式（3）（4）分别给出了E >()x V 和E <()x V 的WKB 近似波函数。但是在转折点x 1

，x 2

处()()x x V V E 2

1

==，临近x 1

，x 2

处不满足WKB 近似条件：()()[]12<<-dx

dV

x V

E x λ，其中： ()()[]

x V E m x -=

2 λ。因此，在临近

x 1

，x 2

处式（3）

、式（4）不在成立。此时转折点处波函数可由连接函数与WKB 波函数对照得出。x x 1

=

两侧WKB 波函数的连接公式为：

()()()()⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+⇔⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-⎰

⎰

x x x x dx x p x p dx x p x p 1141sin 2

1exp 1

π （5）

（经典禁区x x

1<） （经典允许区x x 1>）

所以在势阱中的粒子的束缚态的WKB 波函数课表示为： ()()()()

()()()

()⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

≈

'=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+'>≈

=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+

⎰⎰x

x

x

x x x x x p C dx x p x p C x x x x p C dx x p x p C x x

x

x

2

2

2

1

1

1

sin 41

sin sin

41sin 21

，，θθ

ππ

由于在同一区域Ⅱ内（阱内）波函数应保持一致，所以

()()()...3,2,12

1

==+n n x x πθθ

即

()(),...3,2,12

121

==+⎰n n dx x p x x ππ

，由此得到无垂直阱壁势阱模型（见图1）下的量子化条件为：