2019年中考数学专题复习《几何证明》压轴题((有答案))(可编辑修改word版)
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2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AG∥DB 交 CB 的延长线于 G． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
[解析] （1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
A
B
E
F
D
C
2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AG∥DB 交 CB 的延长线于 G． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
3、如图 13－1，一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形
6、如图，已知 O 为原点，点 A 的坐标为（4，3），
⊙A 的半径为 2．过 A 作直线 l 平行于 x 轴，点 P 在直线 l 上运动．
（１）当点 P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标； （２）设点 P 的横坐标为 12，试判断直线 OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由.
7、如图，延长⊙O 的半径 OA 到 B，使 OA=AB，DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点 B 作 DE 的垂线，垂足为点 C. 求证：∠ACB= 1 ∠OAC.
ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边 EF 的中点 O（点 O 也是 BD 中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图 13－2，当 EF 与 AB 相交于点 M，GF 与 BD 相交于点 N 时，通过观察或测量 BM，FN 的长度，
猜想 BM，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺 GEF 旋转到如图 13－3 所示的位置时，线段 FE 的延长线与 AB 的延长线相交于点 M，线段
3
C
E
D
O
AB
8、如图１，一架长 4 米的梯子 AB 斜靠在与地面 OM 垂直的墙壁 ON 上，梯子与地面的倾斜角 α 为 60 ．
⑴求 AO 与 BO 的长； ⑵若梯子顶端 A 沿 NO 下滑，同时底端 B 沿 OM 向右滑行. ①如图 2，设 A 点下滑到 C 点，B 点向右滑行到 D 点，并且 AC:BD=2:3，试计算梯子顶端 A 沿 NO 下滑多 少米； ②如图３，当 A 点下滑到 A’点，B 点向右滑行到 B’点时，梯子 AB 的中点 P 也随之运动到 P’点．若
论；
(6) 在（2）的条件下，当 BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求 sin∠BFE 的值.
[解析] （1）过 A 作 DC 的垂线 AM 交 DC 于 M,
A
B
则 AM=BC=2.
又 tan∠ADC=2,所以 DM 2 1.即 DC=BC. 2
E
(2)等腰三角形.
证明：因为 DE DF, EDC FBC, DC BC .
几何证明压轴题（中考）
1、如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠BCD=90°,且 AB=1，BC=2，tan∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF 的形状，并证明你的结 论； (3) 在（2）的条件下，当 BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求 sin∠BFE 的值.
∵四边形 BEDF 是菱形，
∴DE＝BE ．
∵AE＝BE ，
∴AE＝BE＝DE ．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°．
∴四边形 AGBD 是矩形
3、如图 13－1，一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形
（1）若 sin ∠BAD 3 ，求 CD 的长； 5
（2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形 OAC（阴影部分）的面积（结果保留 ）。
5、如图，已知：C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，CH⊥AB 于点 H，直线 AC 与过 B 点的切线相交于点 D，E 为 CH 中点，连接 AE 并延长交 BD 于点 F，直线 CF 交直线 AB 于点 G. （1）求证：点 F 是 BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若 FB=FE=2，求⊙O 的半径．
∠POP’＝ 15 ，试求 AA’的长．
[解析]
⑴ RtAOB 中,∠O= 90 ,∠α= 60 ∴,∠OAB= 30 ，又ＡＢ＝4 米， ∴ OB 1 AB 2 米. 2
几何证明压轴题（中考）解析
1、如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠BCD=90°,且 AB=1，BC=2，tan∠ADC=2. (4) 求证：DC=BC; (5) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF 的形状，并证明你的结
所以，△DEC≌△BFC
所以， CE CF, ECD BCF .
所以，
F
D
Cห้องสมุดไป่ตู้
ECF BCF
即△ECF 是等腰直角三角形.
（3）设 BE k ,则 CE CF 2k ，所以 EF 2 2k . 因为 BEC 135 ，又 CEF 45 ，所以 BEF 90 .
所以 BF k 2 (2 2k)2 3k 所以 sin BFE k 1 .
BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成
立，请说明理由．
D( F )
C
O
A( G )
B( E )
图 13－1
F
D
C
N O
G
A
MB
E
图 13－2
N
D
C
F O
A G
E BM
图 13－3
4、如图，已知⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E，连结 AD、BD、OC、OD，且 OD＝5。
∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．
∵点 E 、F 分别是 AB、CD 的中点，
1
1
∴AE＝ AB ，CF＝ CD ．
2
2
∴AE＝CF
∴△ADE≌△CBF ．
（2）当四边形 BEDF 是菱形时，
四边形 AGBD 是矩形．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC ．
∵AG∥BD ， ∴四边形 AGBD 是平行四边形．
2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AG∥DB 交 CB 的延长线于 G． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
[解析] （1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
A
B
E
F
D
C
2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AG∥DB 交 CB 的延长线于 G． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
3、如图 13－1，一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形
6、如图，已知 O 为原点，点 A 的坐标为（4，3），
⊙A 的半径为 2．过 A 作直线 l 平行于 x 轴，点 P 在直线 l 上运动．
（１）当点 P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标； （２）设点 P 的横坐标为 12，试判断直线 OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由.
7、如图，延长⊙O 的半径 OA 到 B，使 OA=AB，DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点 B 作 DE 的垂线，垂足为点 C. 求证：∠ACB= 1 ∠OAC.
ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边 EF 的中点 O（点 O 也是 BD 中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图 13－2，当 EF 与 AB 相交于点 M，GF 与 BD 相交于点 N 时，通过观察或测量 BM，FN 的长度，
猜想 BM，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺 GEF 旋转到如图 13－3 所示的位置时，线段 FE 的延长线与 AB 的延长线相交于点 M，线段
3
C
E
D
O
AB
8、如图１，一架长 4 米的梯子 AB 斜靠在与地面 OM 垂直的墙壁 ON 上，梯子与地面的倾斜角 α 为 60 ．
⑴求 AO 与 BO 的长； ⑵若梯子顶端 A 沿 NO 下滑，同时底端 B 沿 OM 向右滑行. ①如图 2，设 A 点下滑到 C 点，B 点向右滑行到 D 点，并且 AC:BD=2:3，试计算梯子顶端 A 沿 NO 下滑多 少米； ②如图３，当 A 点下滑到 A’点，B 点向右滑行到 B’点时，梯子 AB 的中点 P 也随之运动到 P’点．若
论；
(6) 在（2）的条件下，当 BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求 sin∠BFE 的值.
[解析] （1）过 A 作 DC 的垂线 AM 交 DC 于 M,
A
B
则 AM=BC=2.
又 tan∠ADC=2,所以 DM 2 1.即 DC=BC. 2
E
(2)等腰三角形.
证明：因为 DE DF, EDC FBC, DC BC .
几何证明压轴题（中考）
1、如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠BCD=90°,且 AB=1，BC=2，tan∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF 的形状，并证明你的结 论； (3) 在（2）的条件下，当 BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求 sin∠BFE 的值.
∵四边形 BEDF 是菱形，
∴DE＝BE ．
∵AE＝BE ，
∴AE＝BE＝DE ．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°．
∴四边形 AGBD 是矩形
3、如图 13－1，一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形
（1）若 sin ∠BAD 3 ，求 CD 的长； 5
（2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形 OAC（阴影部分）的面积（结果保留 ）。
5、如图，已知：C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，CH⊥AB 于点 H，直线 AC 与过 B 点的切线相交于点 D，E 为 CH 中点，连接 AE 并延长交 BD 于点 F，直线 CF 交直线 AB 于点 G. （1）求证：点 F 是 BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若 FB=FE=2，求⊙O 的半径．
∠POP’＝ 15 ，试求 AA’的长．
[解析]
⑴ RtAOB 中,∠O= 90 ,∠α= 60 ∴,∠OAB= 30 ，又ＡＢ＝4 米， ∴ OB 1 AB 2 米. 2
几何证明压轴题（中考）解析
1、如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠BCD=90°,且 AB=1，BC=2，tan∠ADC=2. (4) 求证：DC=BC; (5) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF 的形状，并证明你的结
所以，△DEC≌△BFC
所以， CE CF, ECD BCF .
所以，
F
D
Cห้องสมุดไป่ตู้
ECF BCF
即△ECF 是等腰直角三角形.
（3）设 BE k ,则 CE CF 2k ，所以 EF 2 2k . 因为 BEC 135 ，又 CEF 45 ，所以 BEF 90 .
所以 BF k 2 (2 2k)2 3k 所以 sin BFE k 1 .
BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成
立，请说明理由．
D( F )
C
O
A( G )
B( E )
图 13－1
F
D
C
N O
G
A
MB
E
图 13－2
N
D
C
F O
A G
E BM
图 13－3
4、如图，已知⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E，连结 AD、BD、OC、OD，且 OD＝5。
∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．
∵点 E 、F 分别是 AB、CD 的中点，
1
1
∴AE＝ AB ，CF＝ CD ．
2
2
∴AE＝CF
∴△ADE≌△CBF ．
（2）当四边形 BEDF 是菱形时，
四边形 AGBD 是矩形．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC ．
∵AG∥BD ， ∴四边形 AGBD 是平行四边形．