第五章晶体中电子能带理论1小结

第五章 晶体中电子能带理论
模型的建立
绝热近似 单电子近似 周期场近似
将复杂的多粒子体系问题简化为周期场中单电子的运动
§5.1 布洛赫波函数
一、 布洛赫定理及证明 （有关周期场中单电子薛定谔方程的本征函数）
二、 波矢k的取值与物理意义
布洛赫定理(Bloch theorem)及证明
布洛赫定理：
对于周期性势场，即 V r V r Rn 其中 Rn 取布拉维
(Rn ) eikRn ei(k Kh )Rn
为使 k 与本征值一一对应，必须把波矢 k 的取值限制在
一个倒格子原胞区间内（第一布里渊区）
k取值是量子化的，在 k 空间均匀分布，一个 k 值
平均占据体积：
k b1 ( b2 b3 ) Ω* (2π)3 (2π)3 N1 N2 N3 N N Ω V
格子的所有格矢，则单电子薛定谔方程:
H
(r
)
2
2m
2
V
r
(r
)
(r
)
的本征函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即
k (r) eik
ruk (r )
且
u k
r
u k
r Rn
对 Rn 取布拉维格子的所有格矢成立。 Rn n1a1 n2a2 n3a3
(r Rn ) eik•Rn (r )
N Ω V 为晶体的体积
在第一布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞 数目N=N1N2N3。在波矢空间内，由于N的数目很大，波 矢点的分布是准连续的。
电子的波矢密度为： V
(2π)3
k l1b1 l2b2 l3b3 N1 N2 N3
(1)引入平移对称算符 T Rn
(2)说明: [Tˆ , Hˆ ] 0
Baidu Nhomakorabea
路 (3) Tˆ (Rn ) eikRn Rn n1a1 n2a2 n3a3
波矢k的取值与物理意义
k l1b1 l2b2 l3b3 N1 N2 N3
l1, l2 , l3 为整数 取分立值
(Rn ) eikRn
布洛赫电子(Bloch electron) 把遵从周期势单电子薛定谔方程的电子，或用布洛赫波 函数描述的电子称为布洛赫电子，相应的描述晶体电子行 为的这种波称为布洛赫波。
布洛赫定理的证明 对属于布拉维格子的所有格矢 Rn ,只要证得
(r Rn ) eik •Rn (r ) 即可。
证 明 思