材料力学(单辉祖)第十章组合变形
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第10章-组合变形
W a T T T Wp 2W FN A
应力状态－单向＋纯剪切 强度条件（塑性材料）
2 r3 M N 4 T [ ] 2 2 r4 M N 3 T [ ] 2
单辉祖:材料力学教程
15
例 题
例10-3 图示钢质传动轴，Fy = 3.64 kN, Fz= 10 kN, F’z =1.82 kN, F’y = 5 kN, D1 = 0.2 m, D2 = 0.4 m, [] = 100 MPa, 轴径 d=52 mm, 试按第四强度理论校核轴的强度
③ 将所得结果叠加，即得杆件组合变形时的应力。
单辉祖:材料力学教程 5
§2 弯拉（压）组合 §3 偏心压缩
弯拉（压）组合 例题
偏心压缩
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6
弯拉（压）组合
产生弯曲与轴向拉压的组合变形的情况：
杆上除作用有横向力外，同时还作用有轴向力； 外力作用线虽然平行于杆轴，但不通过截面形心。
max
8.66 103 N 8.27 103 N m 111.5MPa [ ] 3 2 5 3 1.8110 m 7.75 10 m
9
单辉祖:材料力学教程
例10-2 图中所示结构，承受载荷F=12kN作用。横梁AC用 No14工字钢制成，许用应力[σ]=160MPa，试校核其强度。
2 2 M T r3 [ ] W
2 2 r4 M 3 T [ ]
2 2 M 0 . 75 T r4 [ ] W 单辉祖:材料力学教程
14
弯拉(压)扭组合强度计算
弯拉扭组合 危险截面－截面A 危 险 点－ a
a M N M
应力状态－单向＋纯剪切 强度条件（塑性材料）
2 r3 M N 4 T [ ] 2 2 r4 M N 3 T [ ] 2
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15
例 题
例10-3 图示钢质传动轴，Fy = 3.64 kN, Fz= 10 kN, F’z =1.82 kN, F’y = 5 kN, D1 = 0.2 m, D2 = 0.4 m, [] = 100 MPa, 轴径 d=52 mm, 试按第四强度理论校核轴的强度
③ 将所得结果叠加，即得杆件组合变形时的应力。
单辉祖:材料力学教程 5
§2 弯拉（压）组合 §3 偏心压缩
弯拉（压）组合 例题
偏心压缩
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6
弯拉（压）组合
产生弯曲与轴向拉压的组合变形的情况：
杆上除作用有横向力外，同时还作用有轴向力； 外力作用线虽然平行于杆轴，但不通过截面形心。
max
8.66 103 N 8.27 103 N m 111.5MPa [ ] 3 2 5 3 1.8110 m 7.75 10 m
9
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例10-2 图中所示结构，承受载荷F=12kN作用。横梁AC用 No14工字钢制成，许用应力[σ]=160MPa，试校核其强度。
2 2 M T r3 [ ] W
2 2 r4 M 3 T [ ]
2 2 M 0 . 75 T r4 [ ] W 单辉祖:材料力学教程
14
弯拉(压)扭组合强度计算
弯拉扭组合 危险截面－截面A 危 险 点－ a
a M N M
材料力学第10章 组合变形
因此，截面O为危险截面。
危险截面上，由轴力引起的正应力均匀分布，其值
为
，由弯矩引起的正应力线性分布，其值为
。利用叠加原理，将拉伸及弯曲正应力叠加
后，危险截面上正应力沿截面高度的变化情况如图10.5
（e）所示，仍为线性分布。而且可以看出，最大拉应
力和最大压应力分别发生在O截面上、下边缘各点，其
值为
（10.4）
图10.5
依据上述分析，弯拉（压）组合变形时危险点处于单向应力状态，所以可将 截面上的σmax与材料的许用应力相比较建立其强度条件。对于拉压强度相等 的材料，强度条件为
对于抗拉与抗压性能不同的材料，强度条件为
下面举例说明弯拉（压）组合变形的强度计算。 例10.2如图10.6（a）所示的钢支架，已知载荷F=45 kN，尺寸如图。 （1）如材料为钢材，许用应力［σ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。 （2）如材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30 MPa，许用压应力［σc］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm ，Iy=5.31×10－5 m4。试校核AC杆的强度。
其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向一致（见图10.2（b））。 为了确定横截面上最大正应力点的位置，先求截面中性轴位置。记中性轴上 任一点的坐标为(y0，z0)，由于中性轴上各点处的正应力均为零，所以由式 可得中性轴方程为
（10.2） 可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的 夹角θ为
图10.3 例10.1如图10.4（a）所示，20a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力
。已知钢的许用弯曲正应力［σ］=160 MPa，a=1 m。试求梁的许可 载荷集度［q］。 解由于梁所受到的横向力不在梁的两个纵向对称面内，此时可以将横向力向 两个纵向对称面分解（向y和z轴分解），从而将其看成是梁在其两个相互垂
第十章-组合变形
= 1.064kN ⋅ m
0.227kN.m 1kN.m Mz 图 0.364kN.m
2 2 M C = M yC + M zC
My 图 0.568kN.m
_
= 0.227 + 0.568 = 0.612kN ⋅ m
2
2
B截面为危险截面。 截面为危险截面。 截面为危险截面
T 图 1kN..m
3）校核强度
2
=
M +T Wz
2
M r3 = Wz
2
σ r4 =
M + 0.75T Wz
2
M r4 = Wz
σ r3 =
M +T Wz
2
2
σ r4 =
M + 0.75T Wz
2
2
第三、 第三、第四强度理论的第三种表达形式
M r3 = M + T
2
2
M r 4 = M + 0.75T
2
2
第三、第四强度理论的相当弯矩 第三、 使用条件： 使用条件： 符合第二种表达形式的使用条件， 1. 符合第二种表达形式的使用条件， 圆截面杆， 2. 圆截面杆， 正应力主要由弯矩产生， 3. 正应力主要由弯矩产生， 切应力主要由扭矩产生。 4. 切应力主要由扭矩产生。
偏心拉伸（压缩） 二、偏心拉伸（压缩）
F z (yF，zF) y F z y My My=FzF F Mz My Mz=FyF z y
1. 应力计算：对载荷进行等效平移、分组和叠加。 应力计算：对载荷进行等效平移、分组和叠加。
P z y My z y Mz z y
σ=
FN M y z0 M z y0 ± ± Iz Iy A
材料力学10组合变形
10 组合变形110 组合变形10.1 斜弯曲10.2 拉伸（压缩）与弯曲组合变形10.3 弯曲与扭转组合变形10.4 偏心拉伸与压缩10.5 截面核心23轴向拉压M eM e扭转○○○F平面弯曲一、基本变形回顾FF4轴向拉压AF N=σFFFF NFσ5扭转PI M T ρτ=Pm axW M T =τM eM eM eM TM Tτmaxτmaxρτ6平面弯曲z z I y M =σ中性层xyz主轴平面xyσ(M z )中性轴zzW M ±=m in m ax σσF Qy M z7zx yσ(M y )中性轴平面弯曲yy I z M =σyy W M ±=m in m axσσ中性层xyz主轴平面xzF Qz M yyxz8事实上，基本变形不过是简化模型，只有在一种变形特别突出，其余变形可以忽略不计的情况下才有可能发生。
FF q ＜＜FFF当几种基本变形的影响相近时再用简单模型计算，将会引起较大的误差。
二、组合变形结构上同时发生两种或两种以上的基本变形。
F檩条斜弯曲：两平面弯曲的组合910压弯组合变形ABF AxF AyPF F xF y压弯组合变形1112偏心压缩拉弯组合变形1314q弯扭组合变形15弯扭组合变形F双向弯曲与扭转组合变形16组合变形的形式有很多种，本章学习四种典型形式。
1. 斜弯曲；2. 拉伸（压缩）与弯曲组合；3. 弯曲与扭转组合；4. 偏心拉伸与压缩。
应注意通过这四种典型组合变形的学习，学会一般组合变形的计算原理和方法。
1718三、组合变形下的计算⑤用强度理论进行强度计算。
基本解法：①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种基本变形；②分别计算各基本变形下的内力及应力；④对危险点进行应力分析；分析方法：叠加法前提条件：小变形思考题1. 分析组合变形时，先分后合的依据是什么？2.叠加原理的适用条件是什么？能否应用于大变形情况？1920平面弯曲斜弯曲：两个相互垂直平面内平面弯曲的组合一、斜弯曲的特征10.1 斜弯曲21受力特征：外力作用线通过截面的弯曲中心，但不与任一形心主轴重合或平行；变形特征：变形后的挠曲线不与外力作用面相重合或平行。
材料力学10组合变形PPT课件
0McIozsy0sIiynz0
中性轴方程
cos
Iz y0
sIiynz0
0
（ y0，z0 ）
z
α φ
（1）中性轴是一条过截面形心 F 的直线；
y 中性轴
斜率 tany0 Iz tan
29
z0 Iy
10.1 斜弯曲
tan Iz tan
Iy
（2） 当Iz≠Iy，α ≠ φ，中性
轴与荷载线不垂直。
z
F
17
三、组合变形下的计算
分析方法：叠加法 前提条件：小变形
基本解法：
①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种 基本变形； ②分别计算各基本变形下的内力及应力；
④对危险点进行应力分析； ⑤用强度理论进行强度计算。
18
思考题
1. 分析组合变形时，先分后合的依据是什么？ 2.叠加原理的适用条件是什么？ 能否应用于 大变形情况？
F
Fy
Fx B P
压弯组合变形
10
压弯组合变形
11
12
偏心压缩
拉弯组合变形
13
q
弯扭组合变形
14
F
弯扭组合变形
15
双向弯曲与扭转组合变形
16
组合变形的形式有很多种，本章学习四种典型形式。 1. 斜弯曲； 2. 拉伸（压缩）与弯曲组合； 3. 弯曲与扭转组合； 4. 偏心拉伸与压缩。
应注意通过这四种典型组合变形的学习，学会一般 组合变形的计算原理和方法。
A
B
C
22
10.1 斜弯曲
二、斜弯曲的研究方法
1.分解 将外力沿横截面的两个形心主轴分解，得到两个正 交的平面弯曲。
材料力学第十章 组合变形
r 3 2 4 2
r3
2 M y M z2 T 2
W
M 2 T 2 W
r 4 3
2
2
2 M y M z2 0.75T 2
r4
W
M 2 0.75T 2 W
例3 图示空心圆杆，
内径d=24mm，外
径D=30mm， P1=600N， []=100MPa，试用 第三强度理论校核 A
Lmax D1
⑤变形计算
ymax D 2
f f
2 y 2 z
fz
f
tg
fy fz
f fy
当j = 时，即为平面弯曲。
例1结构如图，P过形心且与z轴成j角，求此梁的最大应力与挠度。 解：危险点分析如图 中性轴 h Pz
x
Py
P z j z
D2 P 变形计算 Py y
P
P
10203 [ 1020252 ] 12 7.27105 mm4
M 5P 3 500Nm 10
P N M
20 20
y yC z
应力分析如图
100
N M z max max A I yc
P
100 103 500 55 103 6 800 10 7.27107
P Mz y Myz x A Iz Iy
三、中性轴方程
P M z y0 M y z0 x 0 A Iz Iy
对于偏心拉压问题 P Py y Pz z P yP y0 z P z0 P 0 P 0 (1 2 2 )0 y 2 2 A Aiz Aiy A iz iy y
1
材料力学 第十章 组合变形(4,5,6)
[例10-7]：偏心拉伸杆，弹 性模量为E，尺寸、受力如图 所示。求： （1）最大拉应力和最大压 应力的位置和数值； （2）AB长度的改变量。 分析：这是偏心拉伸问题
最大拉应力发生在AB线 上各点，最大压应力发 生在CD线上各点。
CL11TU24
解：(1)应力分析
Ph Pb N P, M y , M z 2 2 t N M y Mz c A Wy Wz
3.算例 [例10-4]求高h,宽b的矩形截面的截面核。 b （1）作中性轴Ⅰ，z , a y a 解：
（2）求载荷点① ， 2 iy b2 2 b zF ② az 2 6 b 3 z iz ③ yF 0 ① ay ④ （3）作中性轴Ⅱ ， h a z , a y 2 b y b （4）求载荷点② ， 2 2 2 Ⅰ 2 2 iy iz h h h z F 0, yF ay 6 2 3 az
（1）过截面周边上的一点作切线，以此作为第一 根中性轴； （2）据第一根中性轴的截距求第一个载荷点坐标； （3）过截面周边上相邻的另一点作切线，以此作 为第二根中性轴； （4）按（2）求于第二个中性轴对应的第二个载荷 点坐标； （5）按以上步骤求于切于周边的各特征中性轴对应 的若干个载荷点，依次连接成封闭曲线即截面核心。
中性轴把横截面分为受拉区和受压区，两个 区范围的大小受载荷作用点坐标的控制。 定义：使横截面仅受一种性质的力时载荷作用 的最大范围成为截面核心。
二.截面核心的求法 1.截距与载荷坐标的关系
z F , az ; zF , az
2.作截面核心的方法
zF 0, az ; zF , az 0
解:(1)简化外力：
材料力学 第十章组合变形(123)PPT课件
MPa。
18
例题 8-1
解:1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
F y F c4 o o 0 s q 2 ca 4 o o 0 s 0 .3q 8 a 3
F z F s4 io n 0 q 2sa 4 io n 0 0 .3q 2 a 1
19
例题 8-1
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和 竖直弯曲的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面
平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均
位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成
一条位于纵向对称面内的曲线。 F'
F'
F
F'
纵向对称面?
轴线
7
CL7TU1
一.定义：斜弯曲—荷载不作用在构件的纵向对称 面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
一.力的分解
Fy Fcos
Fz Fsin
z
C
(y, z)
Fz
Fy
Fy
8
CL11TU3
Mz Fy(l x)以z为中性轴弯曲
My Fz(l x)以y为中性轴弯曲
Mz Fcos(lx)Mcos My Fsin(lx)Msin
二.基本变形分析
1.应力计算
z
M
的应力
z
Mz yMycos
Iz
Iz
y
9
M
的应力
y
Myz Mzsin
21
例题 8-1 z
(e)
MyA
z
D1 z
MzA
D2
y
yyBiblioteka (m )A a x M W y y A M W z zA 0 3 .6 .5 q 1 4 1 (1 6 2 2 0 ) 0 .2 2 q 3 6 1 ( 1 6 7 2 6 0 ) (2.1 5130)q
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例题 8-1
解:1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
F y F c4 o o 0 s q 2 ca 4 o o 0 s 0 .3q 8 a 3
F z F s4 io n 0 q 2sa 4 io n 0 0 .3q 2 a 1
19
例题 8-1
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和 竖直弯曲的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面
平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均
位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成
一条位于纵向对称面内的曲线。 F'
F'
F
F'
纵向对称面?
轴线
7
CL7TU1
一.定义：斜弯曲—荷载不作用在构件的纵向对称 面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
一.力的分解
Fy Fcos
Fz Fsin
z
C
(y, z)
Fz
Fy
Fy
8
CL11TU3
Mz Fy(l x)以z为中性轴弯曲
My Fz(l x)以y为中性轴弯曲
Mz Fcos(lx)Mcos My Fsin(lx)Msin
二.基本变形分析
1.应力计算
z
M
的应力
z
Mz yMycos
Iz
Iz
y
9
M
的应力
y
Myz Mzsin
21
例题 8-1 z
(e)
MyA
z
D1 z
MzA
D2
y
yyBiblioteka (m )A a x M W y y A M W z zA 0 3 .6 .5 q 1 4 1 (1 6 2 2 0 ) 0 .2 2 q 3 6 1 ( 1 6 7 2 6 0 ) (2.1 5130)q
材料力学第10章 组合变形综述资料.
矩形截面：只有两个平面为对称面
当力和弯矩作用在一个非对称平面上，杆件弯曲方向？
2020/7/3
F F
F F
16
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
矩形截面分析：
中性轴
Mz z
My
M
z
θ
M
y
y
如果弯曲平面和弯矩作用平面一致，那么必须
2020/7/3
17
材料力学－第10章 组合变形
14
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
对于圆形截面，杆的变形与弯矩作用平面在同一平面内
A
A
F
F
F
w
w
弯曲平面在哪 个方向？
对于矩形截面，变形与弯矩作用平面是否仍在同一 平面？
2020/7/3
15
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
圆形截面：任何通过轴心的力引起的弯矩所作用的平面均为 截面的对称面
2020/7/3
10
叠加原理
材料力学－第10章 组合变形
基本方法
变形
线弹性、小变形
分解
基本变形1 基本变形2 基本变形n
叠加
组合变形
2020/7/3
11
2020/7/3
材料力学－第10章 组合变形
计算简图
借助于带轮或齿轮传递功率 的传动轴，工作时在齿轮的齿上 均有外力作用。
将作用在齿轮上的力向轴的 截面形心简化便得到与之等效的 力和力偶，这表明轴将承受横向 载荷和扭转载荷。
矩形截面应力分析：
矩形截面内任一点的弯曲正应力
Mz z
My
Mz
当力和弯矩作用在一个非对称平面上，杆件弯曲方向？
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F F
F F
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
矩形截面分析：
中性轴
Mz z
My
M
z
θ
M
y
y
如果弯曲平面和弯矩作用平面一致，那么必须
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材料力学－第10章 组合变形
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
对于圆形截面，杆的变形与弯矩作用平面在同一平面内
A
A
F
F
F
w
w
弯曲平面在哪 个方向？
对于矩形截面，变形与弯矩作用平面是否仍在同一 平面？
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
圆形截面：任何通过轴心的力引起的弯矩所作用的平面均为 截面的对称面
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10
叠加原理
材料力学－第10章 组合变形
基本方法
变形
线弹性、小变形
分解
基本变形1 基本变形2 基本变形n
叠加
组合变形
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材料力学－第10章 组合变形
计算简图
借助于带轮或齿轮传递功率 的传动轴，工作时在齿轮的齿上 均有外力作用。
将作用在齿轮上的力向轴的 截面形心简化便得到与之等效的 力和力偶，这表明轴将承受横向 载荷和扭转载荷。
矩形截面应力分析：
矩形截面内任一点的弯曲正应力
Mz z
My
Mz
[理学]材料力学第10章_OK
![[理学]材料力学第10章_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/c0a30de55f0e7cd1852536a1.png)
应力值，若材料的许用拉应力和许用压应力相等，则可选 取其中绝对值最大的应力作为强度计算的依据，即强度条 件为：
max
F M y zmax
A
Iy
M z ymax Iz
24
若材料的许用拉应力[σt]和许用压应力[σc]不相等时，则须
分别对最大拉应力和最大压应力做强度计算。
t max
F A
限的各点产生拉应力时取正值，产生压应力时取负值。还
可以根据杆件的变形情况来确定。例如图9.7b中确定G点 的应力时，在My作用下G处于受压区，则式中第二项取负 值，在Mz作用下G处于受拉区，则式中第三项取正值。
在F、My、Mz各自单独作用下，横截面上应力的分布情
况如图9.10a、b、c所示。图9.10d为三者共同作用下横截面 上的应力分布情况。
M y z M sin z
Iy
Iy
M
co s
Iz
y sin
Iy
z
M和y、z可均取绝对值，应力的正负号根据梁的变形来直接判断。
8
3、 中性轴方程
为确定截面上最大正应力点的位置，先确定中性轴
的方程：设x0、y0为中性轴上任一点的坐标，由中性轴
各点处的正应力均为零，得中性轴方程为：
力发生在铅垂直径
的上、下两端点C1
29
和C2处。
危险截面上弯曲正应力在与中性轴C3C4垂直方向的变化 如图e，扭转切应力沿直径C3C4和C1C2的变化如图f。
其中正应力和切应力值为
M W
Fl πd 3 / 32
T
Wp
T 2W
Fa πd 3 /16
30
对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的杆，这两 点的危险程度是相同的。为此，取其中的点C1来研究。 C点的应力状态如图（g)所示。可见C点处于平面应力 状态，其三个主应力为
max
F M y zmax
A
Iy
M z ymax Iz
24
若材料的许用拉应力[σt]和许用压应力[σc]不相等时，则须
分别对最大拉应力和最大压应力做强度计算。
t max
F A
限的各点产生拉应力时取正值，产生压应力时取负值。还
可以根据杆件的变形情况来确定。例如图9.7b中确定G点 的应力时，在My作用下G处于受压区，则式中第二项取负 值，在Mz作用下G处于受拉区，则式中第三项取正值。
在F、My、Mz各自单独作用下，横截面上应力的分布情
况如图9.10a、b、c所示。图9.10d为三者共同作用下横截面 上的应力分布情况。
M y z M sin z
Iy
Iy
M
co s
Iz
y sin
Iy
z
M和y、z可均取绝对值，应力的正负号根据梁的变形来直接判断。
8
3、 中性轴方程
为确定截面上最大正应力点的位置，先确定中性轴
的方程：设x0、y0为中性轴上任一点的坐标，由中性轴
各点处的正应力均为零，得中性轴方程为：
力发生在铅垂直径
的上、下两端点C1
29
和C2处。
危险截面上弯曲正应力在与中性轴C3C4垂直方向的变化 如图e，扭转切应力沿直径C3C4和C1C2的变化如图f。
其中正应力和切应力值为
M W
Fl πd 3 / 32
T
Wp
T 2W
Fa πd 3 /16
30
对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的杆，这两 点的危险程度是相同的。为此，取其中的点C1来研究。 C点的应力状态如图（g)所示。可见C点处于平面应力 状态，其三个主应力为
材料力学第10章 组合变形
5
第二节 斜弯曲 在第6章讨论过平面弯曲，例如，如图10.2(a) 所示的矩形截面梁，外力F1，F2作用于同一纵向 平面内，作用线通过截面的弯心，且与形心主惯性 轴之一平行，梁弯曲后，梁的挠曲线位于外力所在 的形心主惯性平面内，这类弯曲为平面弯曲。如图 10.2(b)所示的矩形截面梁，外力F的作用线虽然通 过截面的弯心，但它与截面的形心主惯性轴斜交， 此时，梁弯曲后的挠曲线不再位于外力F所在的纵 向平面内，这类弯曲则称为斜弯曲(oblique bendin g)。
13
图10.4
图10.５
14
在梁的斜弯曲问题中，一般不考虑切应力的影 响，直接对危险截面上的危险点进行正应力强度计 算，其强度条件为
对于矩形、工字形及槽形截面梁，则可写成
15
五、斜弯曲梁的变形计算 梁在斜弯曲情况下的变形，仍可根据叠加原理 求解。如图10.3所示悬臂梁在自由端的挠度就等于 力F的分量Fy，Fz在各自弯曲平面内的挠度的矢量 和。因为
第10章
第一节 概述 一、组合变形的概念 前面有关章节分别讨论了杆件在各基本变形情 况下的强度计算和刚度计算。在实际工程中，许多 常用杆件往往并不处于单一的基本变形，而可能同 时存在着几种基本变形，它们的每一种变形所对应 的应力或变形属同一量级，在杆件设计计算时都必 须考虑。
1
图10.1
2
二、组合变形的求解方法 在小变形、线弹性材料的前提下，杆件同时存 在的几种基本变形，它们的每一种基本变形都是彼 此独立的，即在组合变形中的任一种基本变形都不 会改变另外一种基本变形相应的应力和变形。这样， 对于组合变形问题就能够用叠加原理来进行计算。
3
具体的方法及步骤是： ①荷载标准化。找出构成组合变形的所有基本 变形，将荷载化简为只引起这些基本变形的相当力 系。 ②基本变形计算。按构件原始形状和尺寸，计 算每一组基本变形的应力和变形。
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弯压组合
可见，危险截面为C截面 其轴力和弯矩分别为
FNC 3 kN M c M max 4 2 8kN m
A
FAy
10kN m a x
g g f
C m
FBy
B
危险点 截面C上的最低点f 和最高点g
FN M c s A W
f
18
弯压组合
A I
4
10kN
解 首先计算折杆的支座反力 由平衡方程可得 FAx A
FAx 0, FAy 5kN, FBy 5kN
FAy
m
10kN
C 1.2m B 1.6m FBy
a x 1.6m
m
由于折杆左右对称，所以只需分析一半即可。 折杆AC部分任一截面上的内力
FN FAy sin 3 kN FS FAy cos 4 kN M xFAy cos
杆件变形分析步骤 首先, 在杆件原始尺寸上分别计算由横向力和 轴向力引起变形、应力 然后, 利用叠加原理，合成在横向力和轴向力 共同作用下杆件变形、应变和应力等物理量 若杆件抗弯刚度EI较大，轴力引起杆件的弯曲 变形较小，可以忽略
10
弯拉组合
细长杆件强度问题， 受力如图，抗弯刚度 EI，截面抗弯模量W , 横截面面积A。
n
e n
P
z b h y
30
偏心拉伸(压缩)
解: 1. 力系简化 力P对竖直杆作用等效于作 用在杆轴线上一对轴力P和 一对作用在竖直平面内力 偶mz=Pe
FN P 2000 N, M z mz Pe 120 N m
mz P
n
e n
P
mz P
可见，竖直杆发生弯拉组合变形
31
偏心拉伸(压缩)
1 Iz 0.93 0.4 0.43 0.6 12 27.5 10 3 m 4
F 0.6 D 0.4 C E o
z 0.2 0.2 G 单位：m H A y
0.45
0.45
B
iy
2
Iy
A Iz 2 iz 4.58 10 2 m 2 A 38
8 10 2 m 2
19
f
偏心拉伸(压缩)
x
o
P z y A(yp, zp)
20
偏心拉伸(压缩)
概念 当杆件上外力作用线与杆件轴线平行但不 重合时，将引起杆件偏心拉伸(压缩)
设杆件横截面有两个对称轴， 且在杆件一端的横截面上作 用有偏心拉力P，作用点为 A(yp , zp)。 下面分析杆件的变形
x
o
P
z y A ( y p, z p)
内力分析---基本变形
FN Fs M 忽略轴力对弯曲变形影响 轴力FN引起轴向变形 忽略剪力Fs对弯曲变形贡献 弯矩M引起弯曲变形
11
A
P C a b
B F
弯拉组合
内力图---危险截面
FN=F
Pb ,0 x a ab FS Pa , a x l ab
2
2 iy iz a y , az yp zp
2
az1
z
C1 ay1
y
A1(yp1, zp1)
iy
2
得外力作用点坐标A1(yp1, zp1)
y p1
iz , z p1 a y1 a z1
36
2
iy
2
偏心拉伸(压缩)
以此类推， 选取截面边界上的一点C2，得 外力作用点的坐标A2(yp2, zp2) 选取截面边界上的一点C3，得 外力作用点的坐标A3(yp3, zp3) ……. 选取截面边界上的一点Cn，得 外力作用点的坐标An(ypn, zpn)
24
偏心拉伸(压缩)
根据叠加原理，横截面上 点(x, y, z)处正应力为
s s s s
Py p P Pz p z y A Iy Iz
x
my
P o
mz
z
y A(yp, zp)
根据惯性矩和惯性半径关系，有
I y A i y , I z A iz
偏心拉伸(压缩)
对边界切线① ，其坐标轴截距为 从而，外力作用点P1的坐标 2
a y 0.45, az
z
2 iy iz y p 0.102, z p 0 ay az
F
G
④
③
D E
同理，对边界切线② ，外力作用 点P2的坐标为(0, 0.2) 对边界切线③ ，外力作用点P3的 坐标为(0.102, 0) 对边界切线④ ，外力作用点P4的 坐标为(0, −0.133)
A
P C a e d z c y b
B F
sN
sM
s N s M
f
横截面一点的应力公式
FN M s ( y, z ) y A Iz
危险点：C截面ed和c计
A
P C a b
B F
plastic : brittle :
s max
FN M max [s ] A Wz
第十章 组合变形
主 讲人： 张能辉
1
组合变形概念
杆件基本变形
杆件的自由扭转变形
杆件的轴向拉伸(压缩)变形
杆件的平面弯曲变形
2
组合变形概念
工程实际中，构件在外载荷的作用下， 经常发生两种或两种以上的基本变形 组合变形——杆件除基本变形(拉伸、 压缩、平面弯曲和自由扭转)以外的其 它变形形式称为组合变形
z yp P s 1 p z 2 2 A i i y z P x z
o
y
y A(yp, zp)
z o ay az y
中性轴
34
偏心拉伸(压缩)
当外力作用点位于截面形心附近 的某个区域时，中性轴不穿过横 截面，这个区域被称为截面核心。 当外力作用在截面核心边界上时， 中性轴恰好与截面边界相切。 可利用该关系确定截面核心位置
my
P o
mz
z
y A(yp, zp)
23
偏心拉伸(压缩)
2. 应力分析
轴向力P作用下， 横截面上正应力为
P s A
x
my
P o
mz
z
A(ypy , zp)
在弯矩My=zp P, Mz=yp P作用下， 横截面上正应力为
s
my Iy z Pz p Iy z
Py p Mz s y y Iz Iz
26
偏心拉伸(压缩)
中性轴与坐标轴oy和oz交点为
iy iz a y , az yp zp
2 2
1
zp iy
2
z0
yp iz
2
y0 0
z D1 o D2 ay az y
中性轴
可见，中性轴是一条不通过形心的直线，且中性轴 与偏心力作用点分别处于截面形心的相对两侧。 确定中性轴后，横截面上距中性轴最远的两点D1 和D2分别为拉应力和压应力最大值点(危险点)。
C2 az1 An A1 C3 z C1 A3 A2 Cn y ay1
连接点C1，C2，C3，，Cn，得一条封闭曲线， 该曲线就是截面核心的边界。 曲线所围成的区域为截面核心。
37
偏心拉伸(压缩)
已知y、z两轴为截面形心 主惯性轴。试确定图示T字 形截面的截面核心。
解 横截面几何性质
A 0.9 0.4 0.4 0.6 0.6 m2 1 I y 0.9 0.43 0.4 0.63 3 48 10 3 m 4
s t max [s t ]
s c max [s c ]
14
弯压组合
15
弯压组合
10kN C 1.2m B 1.6m 1.6m
A
折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两 根钢管直径均为140mm，壁厚为10mm， 其它几何尺寸和受力情况如图，求折杆 危险截面上的最大正应力和最小正应力。
16
弯压组合
P
z y
My=zp P
z y
Mz=yp P
z y z y
+
+
=
中性轴
轴向拉伸
绕oy轴弯曲
绕oz轴弯曲
偏心拉伸
29
偏心拉伸(压缩)
夹具夹零件时受到外力作用 已知外力P=2kN, 作用线与夹 具竖杆轴线间距离 e=60mm, 竖直杆横截面尺寸b=10mm， h=22mm, 材料许用应力[s ]=170MPa 校核竖直杆的强度
3
组合变形概念
工程实例
示意图
受力图
=
平面弯曲
+
轴向压缩
4
组合变形概念
=
+
受力图
轴向压缩
平面弯曲
5
组合变形概念
受力图
扭转变形
弯曲变形
=
+ +
弯曲变形
6
组合变形概念
在构件的组合变形中
如果材料在线弹性、小变形范围内，可先将外 载荷简化为几组符合基本变形外力作用条件的 外力系，在原始尺寸上分别计算构件在每一种 基本变形形式下的内力、应力和变形。然后利 用叠加原理，综合考虑各基本变形，以确定构 件的总内力、应力和变形，从而确定构件的危 险截面、危险点，进行强度计算
( D 2 d 2 ) 40.8 10 4 m 2 , ( D d ) 868 10 m
4 4 8 4
m A a x
g f
C m B
FBy
64 I W 124 10 6 m 3
D 2
FAy
弯压组合
可见，危险截面为C截面 其轴力和弯矩分别为
FNC 3 kN M c M max 4 2 8kN m
A
FAy
10kN m a x
g g f
C m
FBy
B
危险点 截面C上的最低点f 和最高点g
FN M c s A W
f
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弯压组合
A I
4
10kN
解 首先计算折杆的支座反力 由平衡方程可得 FAx A
FAx 0, FAy 5kN, FBy 5kN
FAy
m
10kN
C 1.2m B 1.6m FBy
a x 1.6m
m
由于折杆左右对称，所以只需分析一半即可。 折杆AC部分任一截面上的内力
FN FAy sin 3 kN FS FAy cos 4 kN M xFAy cos
杆件变形分析步骤 首先, 在杆件原始尺寸上分别计算由横向力和 轴向力引起变形、应力 然后, 利用叠加原理，合成在横向力和轴向力 共同作用下杆件变形、应变和应力等物理量 若杆件抗弯刚度EI较大，轴力引起杆件的弯曲 变形较小，可以忽略
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弯拉组合
细长杆件强度问题， 受力如图，抗弯刚度 EI，截面抗弯模量W , 横截面面积A。
n
e n
P
z b h y
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偏心拉伸(压缩)
解: 1. 力系简化 力P对竖直杆作用等效于作 用在杆轴线上一对轴力P和 一对作用在竖直平面内力 偶mz=Pe
FN P 2000 N, M z mz Pe 120 N m
mz P
n
e n
P
mz P
可见，竖直杆发生弯拉组合变形
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偏心拉伸(压缩)
1 Iz 0.93 0.4 0.43 0.6 12 27.5 10 3 m 4
F 0.6 D 0.4 C E o
z 0.2 0.2 G 单位：m H A y
0.45
0.45
B
iy
2
Iy
A Iz 2 iz 4.58 10 2 m 2 A 38
8 10 2 m 2
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f
偏心拉伸(压缩)
x
o
P z y A(yp, zp)
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偏心拉伸(压缩)
概念 当杆件上外力作用线与杆件轴线平行但不 重合时，将引起杆件偏心拉伸(压缩)
设杆件横截面有两个对称轴， 且在杆件一端的横截面上作 用有偏心拉力P，作用点为 A(yp , zp)。 下面分析杆件的变形
x
o
P
z y A ( y p, z p)
内力分析---基本变形
FN Fs M 忽略轴力对弯曲变形影响 轴力FN引起轴向变形 忽略剪力Fs对弯曲变形贡献 弯矩M引起弯曲变形
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A
P C a b
B F
弯拉组合
内力图---危险截面
FN=F
Pb ,0 x a ab FS Pa , a x l ab
2
2 iy iz a y , az yp zp
2
az1
z
C1 ay1
y
A1(yp1, zp1)
iy
2
得外力作用点坐标A1(yp1, zp1)
y p1
iz , z p1 a y1 a z1
36
2
iy
2
偏心拉伸(压缩)
以此类推， 选取截面边界上的一点C2，得 外力作用点的坐标A2(yp2, zp2) 选取截面边界上的一点C3，得 外力作用点的坐标A3(yp3, zp3) ……. 选取截面边界上的一点Cn，得 外力作用点的坐标An(ypn, zpn)
24
偏心拉伸(压缩)
根据叠加原理，横截面上 点(x, y, z)处正应力为
s s s s
Py p P Pz p z y A Iy Iz
x
my
P o
mz
z
y A(yp, zp)
根据惯性矩和惯性半径关系，有
I y A i y , I z A iz
偏心拉伸(压缩)
对边界切线① ，其坐标轴截距为 从而，外力作用点P1的坐标 2
a y 0.45, az
z
2 iy iz y p 0.102, z p 0 ay az
F
G
④
③
D E
同理，对边界切线② ，外力作用 点P2的坐标为(0, 0.2) 对边界切线③ ，外力作用点P3的 坐标为(0.102, 0) 对边界切线④ ，外力作用点P4的 坐标为(0, −0.133)
A
P C a e d z c y b
B F
sN
sM
s N s M
f
横截面一点的应力公式
FN M s ( y, z ) y A Iz
危险点：C截面ed和c计
A
P C a b
B F
plastic : brittle :
s max
FN M max [s ] A Wz
第十章 组合变形
主 讲人： 张能辉
1
组合变形概念
杆件基本变形
杆件的自由扭转变形
杆件的轴向拉伸(压缩)变形
杆件的平面弯曲变形
2
组合变形概念
工程实际中，构件在外载荷的作用下， 经常发生两种或两种以上的基本变形 组合变形——杆件除基本变形(拉伸、 压缩、平面弯曲和自由扭转)以外的其 它变形形式称为组合变形
z yp P s 1 p z 2 2 A i i y z P x z
o
y
y A(yp, zp)
z o ay az y
中性轴
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偏心拉伸(压缩)
当外力作用点位于截面形心附近 的某个区域时，中性轴不穿过横 截面，这个区域被称为截面核心。 当外力作用在截面核心边界上时， 中性轴恰好与截面边界相切。 可利用该关系确定截面核心位置
my
P o
mz
z
y A(yp, zp)
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偏心拉伸(压缩)
2. 应力分析
轴向力P作用下， 横截面上正应力为
P s A
x
my
P o
mz
z
A(ypy , zp)
在弯矩My=zp P, Mz=yp P作用下， 横截面上正应力为
s
my Iy z Pz p Iy z
Py p Mz s y y Iz Iz
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偏心拉伸(压缩)
中性轴与坐标轴oy和oz交点为
iy iz a y , az yp zp
2 2
1
zp iy
2
z0
yp iz
2
y0 0
z D1 o D2 ay az y
中性轴
可见，中性轴是一条不通过形心的直线，且中性轴 与偏心力作用点分别处于截面形心的相对两侧。 确定中性轴后，横截面上距中性轴最远的两点D1 和D2分别为拉应力和压应力最大值点(危险点)。
C2 az1 An A1 C3 z C1 A3 A2 Cn y ay1
连接点C1，C2，C3，，Cn，得一条封闭曲线， 该曲线就是截面核心的边界。 曲线所围成的区域为截面核心。
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偏心拉伸(压缩)
已知y、z两轴为截面形心 主惯性轴。试确定图示T字 形截面的截面核心。
解 横截面几何性质
A 0.9 0.4 0.4 0.6 0.6 m2 1 I y 0.9 0.43 0.4 0.63 3 48 10 3 m 4
s t max [s t ]
s c max [s c ]
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弯压组合
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弯压组合
10kN C 1.2m B 1.6m 1.6m
A
折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两 根钢管直径均为140mm，壁厚为10mm， 其它几何尺寸和受力情况如图，求折杆 危险截面上的最大正应力和最小正应力。
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弯压组合
P
z y
My=zp P
z y
Mz=yp P
z y z y
+
+
=
中性轴
轴向拉伸
绕oy轴弯曲
绕oz轴弯曲
偏心拉伸
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偏心拉伸(压缩)
夹具夹零件时受到外力作用 已知外力P=2kN, 作用线与夹 具竖杆轴线间距离 e=60mm, 竖直杆横截面尺寸b=10mm， h=22mm, 材料许用应力[s ]=170MPa 校核竖直杆的强度
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组合变形概念
工程实例
示意图
受力图
=
平面弯曲
+
轴向压缩
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组合变形概念
=
+
受力图
轴向压缩
平面弯曲
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组合变形概念
受力图
扭转变形
弯曲变形
=
+ +
弯曲变形
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组合变形概念
在构件的组合变形中
如果材料在线弹性、小变形范围内，可先将外 载荷简化为几组符合基本变形外力作用条件的 外力系，在原始尺寸上分别计算构件在每一种 基本变形形式下的内力、应力和变形。然后利 用叠加原理，综合考虑各基本变形，以确定构 件的总内力、应力和变形，从而确定构件的危 险截面、危险点，进行强度计算
( D 2 d 2 ) 40.8 10 4 m 2 , ( D d ) 868 10 m
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C m B
FBy
64 I W 124 10 6 m 3
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