材料力学(单辉祖)第十章组合变形

A
P C a e d z c y b
B F
sN
sM
s N s M
f
横截面一点的应力公式
FN M s ( y, z ) y A Iz
危险点：C截面ed和cf边
13
弯拉组合

强度设计
A
P C a b
B F
plastic : brittle :
s max
FN M max [s ] A Wz
线弹性、小变形 基本变形1 基本变形2 基本变形n
7
叠加
变形
分解
组合变形
第六章 简单复习
Fy a
2a
C
A z
B
Fz x
y
(1)使用了何种强度理论? (2)这种强度理论局限性?
(双对称截面梁的非对称弯曲)
弯弯组合
8
弯拉(压)组合
9
弯拉(压)组合

当杆件不仅受横向外力，且受轴向拉(压) 力时，杆件变形为弯曲和拉(压)组合变形
( D 2 d 2 ) 40.8 10 4 m 2 , ( D d ) 868 10 m
4 4 8 4
m A a x
g f
C m B
FBy
64 I W 124 10 6 m 3
D 2
FAy
g
极值应力
FNC M c 63.8MPa s A W 65.2 MPa ( f 点) ( g点)
第十章 组合变形
主 讲人： 张能辉
1
组合变形概念
杆件基本变形
杆件的自由扭转变形
杆件的轴向拉伸(压缩)变形
杆件的平面弯曲变形
2
组合变形概念
工程实际中，构件在外载荷的作用下， 经常发生两种或两种以上的基本变形 组合变形——杆件除基本变形(拉伸、 压缩、平面弯曲和自由扭转)以外的其 它变形形式称为组合变形
24
偏心拉伸(压缩)
根据叠加原理，横截面上 点(x, y, z)处正应力为
s s s s
Py p P Pz p z y A Iy Iz
x
my
P o
mz
z
y A(yp, zp)
根据惯性矩和惯性半径关系，有
I y A i y , I z A iz
杆件变形分析步骤 首先, 在杆件原始尺寸上分别计算由横向力和 轴向力引起变形、应力 然后, 利用叠加原理，合成在横向力和轴向力 共同作用下杆件变形、应变和应力等物理量 若杆件抗弯刚度EI较大，轴力引起杆件的弯曲 变形较小，可以忽略
10
弯拉组合
细长杆件强度问题， 受力如图，抗弯刚度 EI，截面抗弯模量W , 横截面面积A。
Pb x,0 x a a b M Pa (l x), a x l a b
A
P C a b
Pb/(a+b) Θ 剪力图
B F
FS
Pa/(a+b)
x
M
Pab/(a+b)
危险截面：C截面
弯矩图

x
12
弯拉组合

应力分析---危险点
危险点：因材质而异
P2
H
P1
C
P3 P4
A ① y
②
B
39
偏心拉伸(压缩)
对连线⑤ ，其坐标轴截距为
a y 0.45, az 1.08
3
组合变形概念

工程实例
示意图
受力图
=
平面弯曲
+
轴向压缩
4
组合变形概念
=
+
受力图
轴向压缩
平面弯曲
5
组合变形概念
受力图
扭转变形
弯曲变形
=
+ +
弯曲变形
6
组合变形概念
在构件的组合变形中
如果材料在线弹性、小变形范围内，可先将外 载荷简化为几组符合基本变形外力作用条件的 外力系，在原始尺寸上分别计算构件在每一种 基本变形形式下的内力、应力和变形。然后利 用叠加原理，综合考虑各基本变形，以确定构 件的总内力、应力和变形，从而确定构件的危 险截面、危险点，进行强度计算
ห้องสมุดไป่ตู้
z yp P s 1 p z 2 2 A i i y z P x z
o
y
y A(yp, zp)
z o ay az y
中性轴
34
偏心拉伸(压缩)
当外力作用点位于截面形心附近 的某个区域时，中性轴不穿过横 截面，这个区域被称为截面核心。 当外力作用在截面核心边界上时， 中性轴恰好与截面边界相切。 可利用该关系确定截面核心位置
P
z y
My=zp P
z y
Mz=yp P
z y z y
+
+
=
中性轴
轴向拉伸
绕oy轴弯曲
绕oz轴弯曲
偏心拉伸
29
偏心拉伸(压缩)
夹具夹零件时受到外力作用 已知外力P=2kN, 作用线与夹 具竖杆轴线间距离 e=60mm, 竖直杆横截面尺寸b=10mm， h=22mm, 材料许用应力[s ]=170MPa 校核竖直杆的强度
C2 az1 An A1 C3 z C1 A3 A2 Cn y ay1
连接点C1，C2，C3，，Cn，得一条封闭曲线， 该曲线就是截面核心的边界。 曲线所围成的区域为截面核心。
37
偏心拉伸(压缩)
已知y、z两轴为截面形心 主惯性轴。试确定图示T字 形截面的截面核心。
解 横截面几何性质
A 0.9 0.4 0.4 0.6 0.6 m2 1 I y 0.9 0.43 0.4 0.63 3 48 10 3 m 4
1 Iz 0.93 0.4 0.43 0.6 12 27.5 10 3 m 4
F 0.6 D 0.4 C E o
z 0.2 0.2 G 单位：m H A y
0.45
0.45
B


iy
2
Iy
A Iz 2 iz 4.58 10 2 m 2 A 38
8 10 2 m 2
2. 应力分析
z
竖直杆的危险点在任一横截面 的内侧边缘处，其正应力为
FN M z s A Wz
b
h
y
2000 120 1 158 MPa 2 2 2 2 2 110 22 10 6 (1 10 ) ( 22 10 )
由于 s [s ] 170 MPa 故竖直杆满足强度要求
偏心拉伸(压缩)
对边界切线① ，其坐标轴截距为 从而，外力作用点P1的坐标 2
a y 0.45, az
z
2 iy iz y p 0.102, z p 0 ay az
F
G
④
③
D E
同理，对边界切线② ，外力作用 点P2的坐标为(0, 0.2) 对边界切线③ ，外力作用点P3的 坐标为(0.102, 0) 对边界切线④ ，外力作用点P4的 坐标为(0, −0.133)
n
e n
P
z b h y
30
偏心拉伸(压缩)
解: 1. 力系简化 力P对竖直杆作用等效于作 用在杆轴线上一对轴力P和 一对作用在竖直平面内力 偶mz=Pe
FN P 2000 N, M z mz Pe 120 N m
mz P
n
e n
P
mz P
可见，竖直杆发生弯拉组合变形
31
偏心拉伸(压缩)
解 首先计算折杆的支座反力 由平衡方程可得 FAx A
FAx 0, FAy 5kN, FBy 5kN
FAy
m
10kN
C 1.2m B 1.6m FBy
a x 1.6m
m
由于折杆左右对称，所以只需分析一半即可。 折杆AC部分任一截面上的内力
FN FAy sin 3 kN FS FAy cos 4 kN M xFAy cos
2
2 iy iz a y , az yp zp
2
az1
z
C1 ay1
y
A1(yp1, zp1)
iy
2
得外力作用点坐标A1(yp1, zp1)
y p1
iz , z p1 a y1 a z1
36
2
iy
2
偏心拉伸(压缩)
以此类推， 选取截面边界上的一点C2，得 外力作用点的坐标A2(yp2, zp2) 选取截面边界上的一点C3，得 外力作用点的坐标A3(yp3, zp3) ……. 选取截面边界上的一点Cn，得 外力作用点的坐标An(ypn, zpn)
内力分析---基本变形
FN Fs M 忽略轴力对弯曲变形影响 轴力FN引起轴向变形 忽略剪力Fs对弯曲变形贡献 弯矩M引起弯曲变形
11
A
P C a b
B F
弯拉组合
内力图---危险截面
FN=F
Pb ,0 x a ab FS Pa , a x l ab
32
偏心拉伸(压缩)
截面核心
工程中许多承压件都采用 脆性材料尽量避免拉应力 当杆件处于偏心拉伸(压缩)时， 横截面上正应力为
zp yp P s 1 2 z 2 A iz iy y
33
P x
o
z y A(yp, zp)
偏心拉伸(压缩)
由上式可见，对给定的横截面， 当外力P为压力，且其作用点位置 (yp, zp)在形心附近时，需要保证横 截面上任一点正应力为压应力。 从几何上看，为保证横截面上 任一点正应力为压应力，要求 中性轴不与横截面相交。
21
偏心拉伸(压缩)
首先将偏心力P用一静力等效力系来代替 依据——静力等效力系中的每一个力(力偶) 只产生杆件的一种基本变形形式
P x o z y A(yp, zp)
x
my
P o
mz
z
z o A
y A(yp, zp)
my
y
mz
22
偏心拉伸(压缩)
1. 外力系简化(形心C)
基本变形
x
轴向力P作用下轴向拉伸 弯矩Mz=mz=yp×P作用下 绕对称轴oz的平面弯曲 弯矩My=my=zp×P作用下 绕对称轴oy的平面弯曲
19
f
偏心拉伸(压缩)
x
o
P z y A(yp, zp)
20
偏心拉伸(压缩)
概念 当杆件上外力作用线与杆件轴线平行但不 重合时，将引起杆件偏心拉伸(压缩)

设杆件横截面有两个对称轴， 且在杆件一端的横截面上作 用有偏心拉力P，作用点为 A(yp , zp)。 下面分析杆件的变形
x
o
P
z y A ( y p, z p)
s t max [s t ]
s c max [s c ]
14
弯压组合
15
弯压组合
10kN C 1.2m B 1.6m 1.6m
A
折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两 根钢管直径均为140mm，壁厚为10mm， 其它几何尺寸和受力情况如图，求折杆 危险截面上的最大正应力和最小正应力。
16
弯压组合
my
P o
mz
z
y A(yp, zp)
23
偏心拉伸(压缩)
2. 应力分析
轴向力P作用下， 横截面上正应力为
P s A
x
my
P o
mz
z
A(ypy , zp)
在弯矩My=zp P, Mz=yp P作用下， 横截面上正应力为
s
my Iy z Pz p Iy z
Py p Mz s y y Iz Iz
2 2
25
偏心拉伸(压缩)
横截面上的正应力
yp P zp s 1 2 z 2 A iz iy y
x
my
P
z mz A(yp, o z p)
可见，横截面上正应力的分布规律为平面
0的直线就是中性轴 ，由胡克定律
zp yp P s E (1 2 z0 2 y0 ) 0 A iy iz
27
偏心拉伸(压缩)
D1和D2位置为横截面边界上 与中性轴平行的切线的切点。 对于具有棱角的横截面，其 应力最大值点必定在棱角处。 这时可不必确定中性轴的位 置而直接根据杆件的变形来 判断其位置 (此时，切线也没有意义)
z D1 o D2 ay az y
中性轴
28
偏心拉伸(压缩)

偏心拉伸时，横截面上正应力的合成
2 iy iz a y , az yp zp
2
z 截面核心 y o
中性轴
35
偏心拉伸(压缩)
截面核心的确定
选取截面边界上一点C1，过该 点作截面边界的切线 将切线视为中性轴，它在y轴、 z轴上的截距分别为ay1和az1 利用公式
iz a y1 , a z1 y p1 z p1
17
弯压组合
可见，危险截面为C截面 其轴力和弯矩分别为
FNC 3 kN M c M max 4 2 8kN m
A
FAy
10kN m a x
g g f
C m
FBy
B
危险点 截面C上的最低点f 和最高点g
FN M c s A W
f
18
弯压组合
A I

4
10kN
26
偏心拉伸(压缩)
中性轴与坐标轴oy和oz交点为
iy iz a y , az yp zp
2 2
1
zp iy
2
z0
yp iz
2
y0 0
z D1 o D2 ay az y
中性轴
可见，中性轴是一条不通过形心的直线，且中性轴 与偏心力作用点分别处于截面形心的相对两侧。 确定中性轴后，横截面上距中性轴最远的两点D1 和D2分别为拉应力和压应力最大值点(危险点)。