有界磁场问题分类点拨

教师用有界磁场问题分类点拨

一、带电粒子在圆形磁场中的运动

例1、圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为Ｌ的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ'方向垂直射入磁场,越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图１所示,求O'P 的长度和电子通过磁场所用的时间.

解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O ″，半径为R 。圆弧段轨迹ＡB 所对的圆心角为θ,电子越出磁场后做速率仍为v 的匀速直线运动, 如图2所示，连结ＯB,∵△OAO ″≌△O ＢＯ″,又O Ａ⊥Ｏ″A ,故OB ⊥Ｏ″Ｂ，由于原有BP ⊥O ″B ，可见Ｏ、Ｂ、P 在同一直线上，且∠O ＇OP ＝∠AO ″B =θ，在直角三角形ＯO ＇P 中，

O ＇P ＝（L +r ）tan θ，而)

2

(tan 1)

2tan(2tan 2θθ

θ-=

，R

r =)2tan(θ,所以求得R 后就可以求出Ｏ'P 了,电子经过磁场的时间可用t =V

R

V AB θ=

来求得。 由R V m

BeV 2

=得Ｒ＝θtan )(.r L OP eB

mV

+= mV eBr R r ==)2tan(θ,2

222222)

2

(tan 1)

2tan(2tan r

B e V m eBrmV -=-=θθ

θ 2

222

2,)(2tan )(r B e V m eBrmV

r L r L P O -+=+=θ， )2arctan(2

2222r

B e V m eBrmV

-=θ )2arctan(2

2222r

B e V m eBrmV eB m V R t -==θ 例２、如图２,半径为cm r 10=的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O,磁感强度T B 332.0=,方向垂直纸面向里．在Ｏ处有一放射源Ｓ，可向纸面各个方向射出速度为

s m v /102.36⨯=的粒子.已知α粒子质量kg m 271064.6-⨯=,电量C q 19102.3-⨯=，试画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子

通过磁场空间的最大偏角．

M

N

O ,

图1

M

N

O ,

图2

解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为R ，由R v m Bqv 2

= 得

cm m m Bq mv R 2020.0102.3332.0102.31064.619

6

27==⨯⨯⨯⨯⨯==--

虽然α粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此α粒子作圆周运动的圆心必

落在以O 为圆心，半径cm R 20=的圆周上，如图2中虚线. 由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角.在半径R 一定的条件下，为使α粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长．该弦是偏

转轨道圆的弦,同时也是圆形磁场的弦．显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径．即α粒子应从磁场圆直径的A 端射出.

如图２，作出磁偏转角ϕ及对应轨道圆心O '，据几何关系得

2

1

2

sin

==

R r ϕ

，得060=ϕ，即α粒子穿过磁场空间的最大偏转角为060． 二、带电粒子在半无界磁场中的运动

例３、(１999年高考试题)如图３中虚线MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B 、方向垂直纸面向外的匀强磁场.Ｏ是M Ｎ上的一点，从Ｏ点可以向磁场区域发射电荷量为＋q 、质量为m 、速率为v 的粒子,粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的Ｐ点相遇,Ｐ到Ｏ点的距离为Ｌ，不计重力和粒子间的相互作用．

（1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径． （2)求这两个粒子从Ｏ点射入磁场的时间间隔.

解析：(１） 粒子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运动.设圆半径为Ｒ,则据牛顿第二定律可得：

R v m Bqv 2= ,解得Bq

mv

R =

（2)如图３所示，以OP 为弦的可以画出两个半径相同的圆,分别表示在P 点相遇的两个粒子的轨道,圆心分

别为O 1和O ２,在O 处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，它们之间的夹角为α，由几何关系知

∠PO 1Ｑ1=∠PO 2Q 2=α

从O 点射入到相遇,粒子在１的路径为半个圆周加P Q 1弧长等于αR ；粒子在2的路径为半个圆周减

P Q 2弧长等于αＲ.

粒子1的运动时间 t 1=

21T ＋v R α 粒子２的运动时间 t ２=21T -v

R α

M N

. . . . . .

. . . . . .

两个粒子射入的时间间隔△t ＝t 1-t 2=2v

R α 由几何关系得Ｒcos

21α＝21op =21Ｌ，解得：α=2arccos R

L 2 故△t =

Bq m 4.ar ｃ ｃos mv

LBq

2 例4、如图４所示，在真空中坐标xoy 平面的0>x 区域内,有磁感强度T B 2

100.1-⨯=的匀强磁场,方向与xoy 平面垂直,在x 轴上的)0,10(p 点，有一放射源,在xoy 平面内向各个方

向发射速率s m v /100.14

⨯=的带正电的粒子,粒子的质量为kg m 25106.1-⨯=，

电量为C q 18

106.1-⨯=，求带电粒子能打到y 轴上的范围.

解析:带电粒子在磁场中运动时有R v m Bqv 2

=，则

cm m Bq mv R 101.010

6.1100.110

0.1106.11824

25

==⨯⨯⨯⨯⨯⨯==

---． 如图１5所示，当带电粒子打到y 轴上方的A 点与Ｐ连线正好为其圆轨迹的直径时,Ａ点既为粒子能打到y 轴上方的最高点．因

cm R Op 10==,cm R AP 202==，则cm OP AP OA 3102

2=-=．

当带电粒子的圆轨迹正好与y 轴下方相切于Ｂ点时,Ｂ点既为粒子能打到

y 轴下方的最低点,易得cm R OB 10==．

综上,带电粒子能打到y 轴上的范围为：cm y cm 31010≤≤-． 三、带电粒子在长方形磁场中的运动

例５、如图５,长为L 间距为d 的水平两极板间,有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感强度为B ，两板不带电,现有质量为m ,电量为q 的带正电粒子（重力不计)，从左侧两极板的中心处以不同速率v 水平射入,欲使粒子不打在板上,求粒子速率v 应满足什么条件．

图4

o cm x /cm

y /p ⨯⨯

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

⨯

⨯•图5

⨯⨯⨯⨯⨯⨯

⨯

⨯

→•d L

v

cm /