集合论图论 期中考试试题及答案

08信安专业离散数学期中考试试题
1.设A, B, C, D为4个集合. 已知A⊆B且C⊆D.证明:
A∪C⊆B∪D; A∩C⊆B∩D . (15分)
2.化简以下公式: A∪((B―A)―B) (10分)
3.设R是非空集合A上的二元关系.证明:R∪R-1是包含R的
最小的对称的二元关系. (15分)
4.设A={1,2,…,20},R={<x,y>|x,y∈A∧x≡y(mod 5)}.证
明:R为A上的等价关系. 并求商集A/R. (15分)
5.给出下列偏序集的哈斯图,并指出A的最大元,最小元,极
大元和极小元. A={a,b,c,d,e},≢A= I A∪{<a,b>,<a,c>, <a,d>,<a,e>,<b,e>,<c,e>,<d,e>} (15分)
6.设g:A→B, f:B→C.已知g f是单射且g是满射,证明:f
是单射. (10分)
7.设S={0,1}A, 其中A={a1,a2,…,a n}.证明:P(A)与S等势.
(10分)
8.证明:任何一组人中都存在两个人,他们在组内认识的人
数恰好相等(假设,若a认识b,则a与b互相认识). (10分)
期中考试试题解答
1.证明: ∀x,
x∈A∪C x∈A∩C
⇔x∈A∨x∈C ⇔x∈A∧x∈C
⇒x∈B∨x∈D (A⊆B,C⊆D) ⇒x∈B∧x∈D (A⊆B,C⊆D) ⇔x∈B∪D ⇔x∈B∩D
∴A∪C⊆B∪D ∴A∩C⊆B∩D
2.解:
A∪((B―A)―B)
=A∪((B∩∽A)∩∽B)
=A∪(∽A∩(B∩∽B))
=A∪(∽A∩φ)
=A∪ф
=A .
3.证明:首先证R∪R-1是对称关系. ∀<x,y>,
<x,y>∈R∪R-1
⇔<x,y>∈R∨<x,y>∈R-1
⇔<y,x>∈R-1∨<y,x>∈R
⇔<y,x>∈R-1∪R
⇔<y,x>∈R∪R-1
∴ R∪R-1是对称关系.
再证任何包含R的对称关系一定包含R∪R-1.
设R⊆R’且R’是对称关系.∀<x,y>,
<x,y>∈R∪R-1
⇔<x,y>∈R∨<x,y>∈R-1
⇔<x,y>∈R∨<y,x>∈R
⇒<x,y>∈R’∨<y,x>∈R’
⇒<x,y>∈R’∨<x,y>∈R’(因为R’是对称关系)
⇒<x,y>∈R’.
从而R∪R-1⊆R’.
4.证明: 设A={1,2,…,20},
R={<x,y>|x,y∈A∧x≡y (mod 5)}
∀x∈A, x=5k+i,0≢i≢4, ∴x≡x (mod 5), 即xRx;
∀x,y∈A,若xRy,即x≡y(mod 5),故有x=5k+i且y=5m+i, 所以有y≡x (mod 5),即有yRx.
∀x,y,z∈A,若xRy且yRz,则有x≡y(mod 5)和y≡z(mod 5),即有x=5k+i,y=5m+i且z=5n+i(0≢i≢4),从而x≡z (mod 5) 故有xRz.
因为我们证明了G有自反性,对称性和传递性,所以R是等价关系.
A/R={{1,6,11,16},{2,7,12,17},{3,8,13,18},{4,9,14,19
},{5,10,15,20}}
5. 解:哈斯图见附图(第5题答案).
A 的最大元和极大元是e, 最小元和极小元是a.
6. 证明:已知g f 是单射且是g 满射.
反证法.假设f 不是单射,故存在b 1,b 2∈B,b 1≠b 2,且 f(b 1)=f(b 2)=c.由g 是满射知,存在a 1,a 2∈A,使得g(a 1)=b 1, g(a 2)=b 2. 由于g 是函数且b 1≠b 2,故a 1≠a 2.但是现在有 g f(a 1)=f(g(a 1))=f(b 1)=c=f(b 2)=f(g(a 2))=g f(a 2), 这与g f 是单射函数矛盾.
7. 证明:设S={0,1}A ,A={a 1,a 2,…,a n }.P(A)={B|B ⊆A }. 定义特征函数ϕB :A →{0,1},
⎩⎨⎧∉∈=B
x B x x B ,0,1)(ϕ 则存在双射f:P(A)→{0,1}A ,使得f(B)=B ϕ.
因为∀B ∈P(A),∃唯一的g=B ϕ∈{0,1}A ,使得f(B)=B ϕ.故 f 是P(A)到{0,1}A 的函数.
∀B 1,B 2∈P(A),若B 1≠B 2,则f(B 1)=1B ϕ≠2
B ϕ=f(B 2),故f 是单射.
∀g ∈{0,1}A ,∃B={x|x ∈A ∧g(x)=1}∈P(A),使得f(B)=g= B ϕ,从而f 是满射.
综上所述,f是P(A)到{0,1}A的双射. 故P(A)与{0,1}A等势.
8.证明:设一组A中有n个人A={a1,a1,…,a n}(n≣2),我们用ϕ(a i)表示a i认识的人数.
情形1:A中每个人至少认识同组中的一个人.
这时,1≢ϕ(a i)≢n―1, i=1,2,…,n.即ϕ是A到{1,2,…, n―1}的函数.然而|A|=n,|{1,2,…,n―1}|=n―1,由鸽笼原理,存在1≢s<t≢n,使得ϕ(a s)=ϕ(a t).
情形2:A中有一个人a i不认识A中其他任何人,即ϕ(a i)=0.
这时,a i以外的每一个人至多认识A中n―2个人.所以
0≢ϕ(a j)≢n―2,j=1,2,…,n. 即ϕ是A到{0,1,…,n―2}的函数.然而|A|=n,|{0,1,…,n―2}|=n―1,由鸽笼原理,存在1≢s<t≢n,使得ϕ(a s)=ϕ(a t).
综上所述,在两种情况下,A中都有两个人,他们在组内认识的人数恰好相等.。