高斯的数学贡献

2010－2011学年第一学期

《数学史》课程论文

课程号：

任课教师成绩

高斯的重要数学贡献

高斯（C.F.Gauss,1777—1855年）德国数学

家、物理学家和天文学家。高斯的研究领域，遍及

纯粹数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多

新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何

学，都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所

取得的具体成就方面，他都是18、19世纪之交的

中坚人物。德国数学家F.克莱因曾经这样说过：

“如

果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻

岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；

如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么

其源头就是高斯。”高斯和牛顿、阿基米德，被誉

为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者

之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、

欧拉并列，有“数学王子”之称。

1.高斯的生平简介

高斯1777年4月30日出生于德国布伦兹维克的一个贫苦农民家庭。幼时家境贫苦，聪敏异常。他很幸运，有一位鼎力支持他成才的母亲，高斯的母亲对他的才华极为珍视。1784年，7岁的高斯上学了。

1787年，高斯10岁，他进入了学习数学的班次。那时的高斯已经表现出了非同一般的创造力与计算能力。高斯的计算能力，更主要的是高斯独到的数学方法和非同一般的创造力，使得他的数学老师布特纳对他刮目相看。他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。

1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。经过引见，布伦兹维克公爵召见了14岁时的高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，从此，公爵成为了高斯继续学习的资助人。1792年，高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。此时，15岁的高斯就思考过第五公设问题。

1795—1798年，在公爵的资助下，已打下良好基础的高斯在格丁根大学学习。高斯在那里受到系统而严格的科学教育，很快就脱颖而出，

作出了名扬世界的一系列

重大贡献。1795年，18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。1796年3月，

19岁的高斯就发现正十七边形的尺规作图法（阿基米德与牛顿均未画出），并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题，为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。

1799年，高斯完成了博士论文。1801年高斯的著作《算术研究》问世。这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。

1807年，高斯赴哥丁根就职。任哥丁根大学数学教授和天文台台长。1820到1830年间，高斯发明了日观测仪(Heliotrope)。为了要对地球表面作研究，他开始对一些曲面的几何性质作研究。1827年他发表了《曲面的一般研究》 (Disquisitiones generales circa superficies curva)，涵盖一部分现在大学念的《微分几何》。1833年，构造了世界第一个电报机。1833年，和物理学家韦伯共同建立地磁观测台，组织磁学学会以联系全世界的地磁台站网。1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。 1841年美国科学家证实了高斯的理论，找到了磁南极和磁北极的确实位置。1855年2月23日在哥廷根逝世，终年78岁。

2.高斯：最小二乘法（least square method ）

1795年，18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。

最小二乘法的定义：

最小二乘法——在残差满足VPV为最小的条件下解算测量估值或参数估值并进行精度估算的方法。其中V为残差向量，P为其权矩阵。

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。

3. 高斯：正态分布（normal distribution）

一般地，通过对足够多的测量数据的处理，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线)。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。

3.1 正态分布的定义

定义1：概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。该分布由两个参数——平均值和方差决定。概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小，分布越集中在均值附近。

定义2：一种最常见的连续性随机变量的概率分布。

正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们经常说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

3.2 正态分布的由来

正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有

一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态

分布、t分布、F分布等。

正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是

“钟”形曲线。

附：这种分布的概率密度函数的图像为：（如图3.1）

3.3 正态分布的发展

正态分布概念是由德国的数学家和天文学家 A.棣莫弗于1733

年首次提出