2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期期末考试数学试题(Word版)

湖北省荆州中学2020-2021学年高一上学期期末考试
数 学 试 题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.计算0
cos(330)-=
A ．
12
B C ．12-
D ．
2.已知{
{}|,|sin ,A x y B y y x x R ==
==∈,则A B =
A ．[]1,1-
B ．[]0,1
C ．[0,)+∞
D ．[1,)+∞
3.若0.22021
0.22021,log 2021,(0.2)a b c ===,则
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．c a b >> 4.已知函数()tan sin 2()f x x k x k R =-+∈，若13f π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
A ．0
B ．1
C ．3
D ．5 5.现将函数()sin(2)6
f x x π
=+
的图像向右平移
6
π
个单位，再将所得的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为 A ．()sin(4)3g x x π
=-
B ．()sin g x x =
C ．()sin()12g x x π
=-
D ．()sin()6
g x x π
=-
6.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的下嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：
6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中
3
0.8662
≈）.根据测量得到的结果推算：《蒙娜丽莎》中女子的下嘴唇视作的圆弧对应的圆心角．．．
大约等于
A.
3π B.4π C. 2π D. 23
π
7.已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是 A ．()f x 的最小值为0
B ．()f x 的最大值为2
C ．(
)()
2
f x f x π
-=
D ．1()2f x =
在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有解 8.已知函数20
()lg 0
x x f x x
x ⎧+≤=⎨
>⎩，则方程(())10f f x -=的根的个数是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9.设, , a b c R ∈，a b <，则下列不等式一定成立的是
A ．a c b c +<+
B ．a b e e -->
C ．22ac bc <
D ．11a b
> 10.给出下面四个结论，其中正确的是 A ．角6
π
α=
是1
cos 22
α=-
的必要不充分条件 B ．命题“2
,210x R x x ∀∈-+≥”是的否定是“2
,210x R x x ∃∈-+<”
C ．方程3log 30x x +-=在区间(2,3)上有唯一一个零点
D ．若奇函数()f x 满足(2)(),f x f x +=-且当10x -≤≤时，(),f x x =-则(2021)1f =
11.已知02
π
αβ<<<
，且tan ,tan αβ是方程220x mx -+=的两个实根，则下列结论正确的是
A ．tan tan m αβ+=-
B ．22
m > C ．tan 4m α+≥ D ．tan()m
αβ+=-
12.函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图像如图所示，下列结论正确的是 A ．(0)1f = B ．在区间,03π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 C ．2()(
)3f x f x π
=--
D ．若()()1f a f b ==，则a b -的最小值为
3
π
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知1sin(),54π
α-
=则2cos(2)5
πα-= 14.若函数[](),4,f x ax b x a a =+∈-的图像关于原点对称，则a = ，若a
m bx x
=+
，则[]1,2x ∈时m 的取值范围为
15.写出一个最小正周期为2的偶函数()f x = .
16.电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见下表.经过反复试验，一般情况下，某
人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图.
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
且右图表所示的函数模型0.540sin 13,02
3()9014, 2.x x x f x e x π-⎧⎛⎫+≤<⎪ ⎪=⎝⎭
⎨⎪⋅+≥⎩
假设该人喝一瓶啤酒后至少经过(*)n n N ∈小时才可以驾车，则n 的值为 （参考数据：ln15 2.71,ln30 3.40≈≈）
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)
若幂函数2
21
()(22)m f x m m x +=+-在其定义域上是增函数.
（1）求()f x 的解析式;
（2）若2(2)(4)f a f a -<-，求a 的取值范围. 18.(本小题满分12分) 已知00,2
x x π
+
是函数22()cos sin ()(0)6
f x x x π
ωωω=--
>的两个相邻的零点.
（1）求(
)12
f π
的值；
（2）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间.
19.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆交于点(,)(0),P m n n >将角α的终边按逆时针方向旋转
2
π
后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为.Q （1）若5
13
m =
，求Q 点的坐标； （2）若1
sin cos 5
ββ+=-，求tan α的值.
20.(本小题满分12分)
已知函数()2
sin cos f x x x a =+-.
（1）当0a =时，求()f x 在,2ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的值域； （2）当0a >时,已知2()log (3)2g x a x =+-，若12,,[1,5]2x x ππ⎡⎤
∃∈∀∈⎢⎥⎣⎦
有12()()f x g x =，求a 的取值范围.
21．(本小题满分12分)
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通
常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头,卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
试求出这个函数解析式；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船这一天中何时能进入港口？每次在港口最多能呆多久？
22．(本小题满分12分)
若函数()f x 对于定义域内的某个区间I 内的任意一个x ，满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为I 上的“局部奇函数”
；满足()()f x f x -=，则称函数()f x 为I 上的“局部偶函数”.已知函数()22,x
x
f x k -=+⨯其中k 为常数.
（1）若()f x 为[]3,3-上的“局部奇函数”，当[]3,3x ∈-时，求不等式3
()2
f x >的解集； （2）已知函数()f x 在区间[]1,1-上是“局部奇函数”，在区间[3,1)
(1,3]--上是
“局部偶函数”， (),[1,1]
()(),[3,1)(1,3]f x x F x f x x ∈-⎧=⎨
∈--⎩
(i)求函数()F x 的值域；
(ii)对于[3,3]-上的任意实数123,,,x x x 不等式123()()5()F x F x mF x ++>恒成立，求实数
m 的取值范围.
荆州中学2020级高一年级上学期期末考试
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题
1-8 B B C D D A C A 二、多项选择题 9-12 AB BC BCD BCD
三、填空题
13.78
14. []
2,
1,2（第一空2分，第二空3分）
15. cos x π（答案不唯一） 16. 6 四、解答题
17.解（1）2221m m +-=
3
2
m =-或1m =（2分）
又()f x 是增函数，210m +>即1
2
m >-，31,()m f x x ∴==（5分）
（2）()f x 为增函数，224a a -<- 2a >或3a <-
a ∴的取值范围是{2a a >或}3a <-（10分）
18.解：化简解析式得
1(2)
1213()cos 2222
cos wx cos wx f x wx π
--+=-=+1cos 2cos sin 2sin 233wx wx ππ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭3cos 22)43
wx wx wx π
=
=+（2分） 周期002()2
T x x π
π=+-=
22T w
π
π=
= 1w =
())23
f x x π
∴=
+（4分）
（1
）()sin(2)1221232f πππ=⨯+=6分）
（2）2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+,k Z ∈ 51212
k x k ππ
ππ-
+≤≤+，
（8分） 又[]0,x π∈()f x ∴的单调递增区间为70,,,1212πππ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
（12分）
注：没写成区间扣2分，用了“”扣1分.
19.解：因为角α的终边与单位圆交于点(,)(0)P m n n >， 所以sin ,cos .n m αα==（2分） 因为角α的终边按逆时针方向旋转
2
π
后得到角β的终边， 所以sin sin()cos 2
m π
βαα=+==，
cos cos()sin 2
n π
βαα=+=-=-.（4分）
（1），因为角β的终边与单位圆的交点为Q ，2222sin cos 1,0n m n αα+=+=>，
所以点Q 的坐标为125
(,)1313
-
.（6分） （2）因为221
sin cos ,sin cos 1,cos 05βββββ+=-+=<，
所以34sin ,cos 55ββ==-，即34
cos ,sin 55
αα==.（10分）
所以sin 4
tan cos 3
ααα=
=.（12分） （其他方法酌情给分）
20.解（1）当220,()1cos cos cos cos 1a f x x x x x ==-+=-++ ,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
令cos t x = 2215
1()24y t t t =-++=--+ ,[]1,0t ∈-
()f x ∴的值域为[]1,1-（4分）
（2）设()f x 的值域为集合,()A g x 的值域为集合,B B A ⊆（5分）
2()cos cos 1f x x x a =-++- ,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
令cos t x = 2215
1()24y t t a t a =-++-=--+- []1,0t ∈- []1,1A a a =---(6分)
2()log (3)2g x a x =+- 又0a > ，所以2()g x 在[1,5] 上单调递增 [2a 2,3a 2]B =-- （8分）
由B A ⊆得 22113321340
a a
a a a a -≥--⎧⎪
-≤-⇒≤≤⎨⎪>⎩
（10分）
a ∴的取值范围是13,34⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
（12分） 21.解：（1）由表格中数据可得， 2.5,5,12A B T ===.（2分） 因为0ω>，所以22126
T πππ
ω=
==.（4分） 因为3x =时y 取得最大值，所以32,6
2
k k Z π
π
ϕπ⨯
+=
+∈，解得2,k k Z ϕπ=∈.
所以这个函数解析式为 2.5sin()56
y x π
=+（6分）
（2）因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米，
所以2.5sin()5 6.256
x π
+≥，
即1sin()562x π+≥，（8分）
所以
522,6
6
6
m x m m N π
π
π
ππ+≤
≤
+∈，
（10分） 解得112512,m x m m N +≤≤+∈. 取0,1,m m ==得15,1317x x ≤≤≤≤.
答：该船1:00至5:00和13:00至17:00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时.（12分）
（下错结论扣1分）
22.（1）()()f x f x -=- 对[3,3]x ∈- 上成立，即2222,1x x x x k k k --+⨯=--⨯=- （2分）
3()222x x f x -=->
即132022x x --> 令2x t = 即23
102
t t -->
11
2t > 或12
t <- 又20x t => 22x ∴> （3分） 1x ∴> 又[3,3]x ∈-
3()2
f x ∴> 的解集为{}13x x <≤ .（4分） （2）)22,[1,1]()22,[3,1(1,3]
x x x x x F x x --⎧-∈-⎪=⎨+∈--⋃⎪⎩ ①当[1,1]x ∈- 时，令2x t = ,1[,2]2t ∈,1y t t
=- 在[1,1]- 上单调递增. 33[,]22
y ∈- （5分） ②当[3,1)(1,3]x ∈--⋃，令2x t =,1y t t =+ 为对勾函数，11[,)(2,8]82
t ∈⋃, 565[,]28y ∈ （6分）
()F x ∴ 的值域为33565[,][,]2228
-⋃ （7分）
（3）①当0m >时，2()min 5()max F x mF x +> 3652()528
m ⨯-+>⋅ 16065m ∴<< （9分）
②当0m =时，2()min 50F x +> 32()5202
⨯-+=>成立0m ∴= （10分） ③当0m <时，2()min 5()min F x mF x +> 332()5()22
m ⨯-+>- 403m ∴-<< （11分）
综上，m 的取值范围是416,365⎛⎫- ⎪⎝⎭
（12分）
高一期末考试数学试卷·第!异常的公式结尾页，共12页12。