安徽省合肥皖智高考复读学校高三数学上学期第二次半月考试试题 理 新人教A版
2022-2023学年人教A版高三上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：108 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1. 若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数的值是( )A.B.或C.或D.2. “”是“”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.根据如下数据：得到回归方程为，则的值（ ）A.大于B.等于C.小于D.不能确定z =(−a −2)+(a +1)i a 2i a −2−212−12a >b a >bc 2c 2()x 345678y 4.0 2.5−0.50.5−2.0−3.0=bx +a y ^ab 0α=(<α<π)34. 若，则( )A.B.C.D.5. 函数的图像大致是 A.B.C.D.6. 一副扑克牌共有张牌，其中张是正牌，另张是副牌（大王和小王），张正牌又均分为张一组，并以黑桃、红桃、梅花、方块四种花色表示各组，每组花色的牌包括数字从的张牌．已知某人从张正牌中任意取出的张牌来自种不同的花色，则这张牌数字恰好能够相连的概率为A.B.sin α=(<α<π)35π2sin 2α=−725−24257252425y =x 3−13x ()5452252131−131352323( )51691016911C.D.7. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 A.B.C.D.8. 如图所示的是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第个图形用了根火柴，第个图形用了根火柴，第个图形用了根火柴，……，按此规律，则第个图形用的火柴根数为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是，，”为事件，“向上的点数是，”为事件，则下列选项正确的是( )A.与是对立事件B.与是互斥事件C.D.10. 已知＝＝，则，可能满足的关系是（ ）A.B.1133833338x +y −b =0+y =01−x 2−−−−−√b ()[−1,]2–√[−,1]2–√[−1,1][−,]2–√2–√132931*********×20202019×20213030×20213033×2021234A 15B A B A B P(A ∪B)=1P(AB)=03a 5b 15a b a +b >4ab >4(a −1+(b −1>2)2)2C.D.11. 已知直线＝与双曲线＝无公共点，则双曲线离心率可能为（ ）A.B.C.D.12. 下列命题错误的是( )A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱B.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体C.相等的线段在直观图中仍然相等D.平行的线段在直观图中仍然平行卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 若，则________． 14. 已知点是抛物线上一动点，则的最小值为________.15. 如图，四边形是圆的内接四边形，延长和相交于点．若，，则的值为________．16. 函数，，，且．有恒成立，则取值范围为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）(a −1+(b −1>2)2)2+<8a 2b 2y x 1(a >0,b >0)1=+(x −1)++⋯+(x −2)8a 0a 1a 2(x −1)2a 8(x −1)8++…+=a 1a 2a 8P (m,n)=−8y x 2+++4n +4m 2n 2−−−−−−−−−−−−−−√+−4m +2n +5m 2n 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ABCD O AB DC P PB =1PD =3BC ADf(x)=ln x +1x t ∈R m >0n >0m >n <1f(m)−f(n)m −n t17. 如图，在中，点在边上，，．求；若，求的面积． 18. 已知数列中，，，.求证：数列是等比数列；记数列的前项和，求 .19. 如图，在四棱锥中，，为等边三角形，且平面平面为中点.求证：平面；求二面角的正弦值.20. 前不久，社科院发布了年度“全国城市居民幸福排行榜”，北京市成为本年度最“幸福城”．随后，某师大附中学生会组织部分同学，用“分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位数字为叶）．指出这组数据的众数和中位数；若幸福度不低于分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这人中随机选取人，至多有人是“极幸福”的概率；以这人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数众多）任选人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列、数学期望及方差．21. 已知椭圆:的左，右焦点分别为 ,，且经过点△ABC P BC ∠PAC =30∘AC =，AP =13–√(1)∠APC (2)cos B =57–√14△APB {}a n =a 112=2+a n+1a n n −12=2+n b n a n (1){}b n (2){}a n n S n S 10P −ABCD AB//CD ，∠BCD =90∘AB =2BC =2CD =4，△PAB PAB ⊥ABCD ，Q PB (1)AQ ⊥PBC (2)B −PC −D 20201016(1)(2)9.51631(3)163ξξC +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b2(−,0)F 13–√(,0)F 23–√(,)1.求椭圆的标准方程；过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于，两点，记点关于轴对称的点为 .证明：直线经过轴上一定点，并求出定点的坐标. 22. 已知函数.当时，求的最大值；若 在区间上存在零点，求实数的取值范围．A(,)3–√12(1)C (2)B(4,0)0l C P Q P x P ′Q P ′x D D f (x)=ln x −x −1a(1)a =1f (x)(2)f (x)(2,e)a参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1.【答案】D【考点】复数的基本概念【解析】直接由复数的实部等于且虚部不等于列式求解实数的值．【解答】解：复数为纯虚数，则 解得，∴实数的值为．故选．2.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】暂无．【解答】解：当时，若，则不成立；因为，所以，若，则成立，故“”是“”的必要不充分条件．故选．3.z 00a z =(−a −2)+(a +1)a 2i {−a −2=0,a 2a +1≠0,a =2a 2D c =0a >b a >bc 2c 2a >b c 2c 2>0c 2a >b c 2c 2a >b a >b a >b c 2c 2BC【考点】求解线性回归方程【解析】利用公式求出，，即可得出结论．【解答】解：由已知中的数据，可得变量与变量之间存在负相关关系，故，当时，,故.故选.4.【答案】B【考点】同角三角函数间的基本关系二倍角的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：，，．故选．5.【答案】A【考点】函数的图象b a x y b <0x =0a >4>0ab <0C ∵sin α=(<α<π)35π2∴cos α=−45∴sin 2α=2sin αcos α=−2425B利用函数的定义域排除选项，利用幂函数的性质推出结果即可．【解答】解：当时，，.，因此排除；当趋向于，的增长速度不如快，∴趋向于，但不能为，因此排除，，只有选项符合题意.故选．6.【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式条件概率与独立事件【解析】此题暂无解析【解答】解：设事件为“取出的张牌来自种不同的花色”，事件为“取出的张牌来自种不同的花色，且这张牌数字恰好能够相连”，则，，则所求概率为.故选.7.【答案】B【考点】点到直线的距离公式直线和圆的方程的应用【解析】此题暂无解析x <00<<13x −1<03x ∴y =>0x 3−13x B x +∞x 3−13x f(x)00C D A A A 32B 323P (A)=C 14C 213C 13C 113C 352P (B)=11C 14C 23C 13C 352P (B|A)==P (AB)P (A)=P (B)P (A)11338C解：根据题意，，变形可得，为圆的下半部分，如图，若直线与曲线有公共点，则当直线经过点时，直线与曲线有公共点，此时，将直线向下平移至直线与曲线相切时，有，解得，又由，则，则的取值范围为.故选．8.【答案】D【考点】数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由图可知第个图形用了根火柴，第个图形用了根火柴，第个图形用了根火柴，……，归纳得，第个图形用了根火柴，当时，．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）9.y =−1−x 2−−−−−√+=1(y ≤0)x 2y 2+=1x 2y 2x +y −b =0y =−1−x 2−−−−−√A x +y −b =0y =1−x 2−−−−−√b =1=1|−b|2–√b =±2–√b <0b =−2–√b [−,1]2–√B 13=3×1×(1+1)229=3×2×(2+1)2318=3×3×(3+1)2n 3(1+2+3+⋯+n)=3n (n +1)2n =2021=3033×20213n (n +1)2DB,D【考点】互斥事件与对立事件对立事件的概率公式及运用互斥事件的概率加法公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，为不可能事件，表示向上的点数是，，，，，所以，，事件A 与事件是互斥事件，不是对立事件．故选．10.【答案】A,B,C【考点】指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】B,C【考点】双曲线的离心率【解析】求得双曲线的一条渐近线方程，由题意可得，结合双曲线的离心率公式和，，的关系，可得所求结论．AB A ∪B 12345P (AB)=0P (A ∪B)=56B BD b ≤a a b c双曲线＝的一条渐近线方程为＝，因为直线＝与双曲线＝无公共点，所以，则＝＝，又，可得双曲线的离心率的范围是，]．12.【答案】A,B,C【考点】平面图形的直观图棱柱的结构特征【解析】按照相关定义逐项求解即可.【解答】解：对于，如图所示的几何体，满足有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形，但这个多面体不是棱柱，故错误，满足条件；对于，底面是平行四边形的直四棱柱不是长方体，故错误，满足条件；对于，直观图中，横轴长度不变，竖轴会变为原来的一半，故错误，满足条件；对于，平行的线段在直观图中仍然平行，正确，不满足条件.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13.【答案】1(a >0,b >0)y x y x 1(a >0,b >0)≤1e ≤e >1(1A B C D ABC【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】推导出，从而，由此求出的值．【解答】解：由题可得，令，得，令，得，所以．故答案为：．14.【答案】【考点】抛物线的标准方程抛物线的定义【解析】抛物线的准线为＝，焦点坐标为，表示点与点的距离与点与点的距离之和，由抛物线的定义和两点之间线段最短可得最小值，进而可得结论．【解答】解：∵抛物线的焦点为，准线为，∴的几何意义是点到与点的距离之和.由抛物线的定义，得点到的距离等于点到的距离，∴所求最小值为.故答案为：.15.【答案】−1+++⋯+==0a 0a 1a 2a 8(1−1)8==1a 0C 88(x −1)0(−1)8++⋯+a 1a 2a 8x =2+++⋯+==0a 0a 1a 2a 8(2−2)8x =1=1a 0++⋯+=0−1=−1a 1a 2a 8−13y 2F (0,−2)P(m,n)F(0,−2)P(m,n)A(2,−1)=−8y x 2F (0,−2)l ：y =2+++4n +4m 2n 2−−−−−−−−−−−−−−√+−4m +2n +5m 2n 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=++m 2(n +2)2−−−−−−−−−−−√+(m −2)2(n +1)2−−−−−−−−−−−−−−−−√P (m,n)F (0,−2)A(2,−1)P (m,n)F P (m,n)l 2−(−1)=3313【考点】圆内接多边形的性质与判定【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题．由四点共圆不难得到，再根据相似三角形性质，即可得到结论．【解答】解：因为，，，四点共圆，所以，，因为为公共角，所以，所以．故答案为：．16.【答案】【考点】利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17.【答案】解：在中，由余弦定理得，将，，代入上式，得，即.又，∴．∵，∴∵，ABCD △PBC ∽△PAB A B C D ∠DAB =∠PCB ∠CDA =∠PBC ∠P △PBC ∽△PAD ==BC AD PB PD 1313[,+∞)14(1)△APC P =A +A −2C 2P 2C 2AP ⋅AC ⋅cos ∠PAC ∠PAC =30∘AC =3–√AP =1P =1+3−2cos =1C 23–√30∘PC =1AP =1，∠PAC =30∘∠APC =120∘(2)∠APC =120∘∠APB =.60∘cos B =57–√14B =−−√∴.在中，由正弦定理，∴.在中，由余弦定理，得，即，解得，∴的面积为．【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：在中，由余弦定理得，将，，代入上式，得，即.又，∴．∵，∴∵，∴.在中，由正弦定理，∴.在中，由余弦定理，得，即，解得，∴的面积为．18.【答案】证明：∵，即，∴，即，sin B =21−−√14△APB =AB sin ∠APB AP sin B AB =7–√△APB A =A +P −2AP ⋅B 2P 2B 2PB ⋅cos ∠APB 7=1+P −2PB cos B 260∘P −PB −6=0B 2BP =3△APB AP ×BP ×sin ∠APB 12=×1×3×=123–√233–√4(1)△APC P =A +A −2C 2P 2C 2AP ⋅AC ⋅cos ∠PAC ∠PAC =30∘AC =3–√AP =1P =1+3−2cos =1C 23–√30∘PC =1AP =1，∠PAC =30∘∠APC =120∘(2)∠APC =120∘∠APB =.60∘cos B =57–√14sin B =21−−√14△APB =AB sin ∠APB AP sin B AB =7–√△APB A =A +P −2AP ⋅B 2P 2B 2PB ⋅cos ∠APB 7=1+P −2PB cos B 260∘P −PB −6=0B 2BP =3△APB AP ×BP ×sin ∠APB 12=×1×3×=123–√233–√4(1)=2+a n+1a n n −122=4+(n −1)a n+1a n 2+(n +1)=2(2+n)a n+1a n =2b n+1b n 2+1=2×+1=21又，故数列是等比数列，首项为，公比为.解：由得，，即，∴，∴.【考点】数列递推式数列的求和【解析】直接由递推式，即可确定等比关系，即可证明；直接求和即可.【解答】证明：∵，即，∴，即，又，故数列是等比数列，首项为，公比为.解：由得，，即，∴，∴.19.【答案】证明：因为，所以.又平面平面，且平面平面，所以平面.又平面，所以.因为为等边三角形，=2+1=2×+1=2b 1a 112{}b n 22(2)(1)=b n 2n 2+n =a n 2n ==−a n −n 2n 22n−1n 2=(−)+(−)+⋯+(−)S 102012212229102=−×1−2101−21210×(1+10)2=19912(1)(2)(1)=2+a n+1a n n −122=4+(n −1)a n+1a n 2+(n +1)=2(2+n)a n+1a n =2b n+1b n =2+1=2×+1=2b 1a 112{}b n 22(2)(1)=b n 2n 2+n =a n 2n ==−a n −n 2n 22n−1n 2=(−)+(−)+⋯+(−)S 102012212229102=−×1−2101−21210×(1+10)2=19912(1)AB//CD ，∠BCD =90∘AB ⊥BC PAB ⊥ABCD PAB∩ABCD =AB BC ⊥PAB AQ ⊂PAB BC ⊥AQ ∠PAB Q且为中点，所以.又，所以平面.解：取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，由平面平面，所以平面，所以.由，可知，所以.以中点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.所以所以，由知，为平面的法向量.因为为的中点，所以，所以.设平面的法向量为，则得取，则，所以.所以，二面角的正弦值为.【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析Q PB AQ ⊥PB PB ∩BC =B AQ ⊥PBC (2)AB O PO △PAB PO ⊥AB PAB ⊥ABCD PO ⊥ABCD PO ⊥OD AB =2BC =2CD =4,∠ABC =90∘OD//BC OD ⊥AB AB O OA ，OD ，OP x ，y ，z O −xyz A(2,0,0),D(0,2,0),C(−2,2,0),P(0,0,2),B(−2,0,0)3–√=(0,−2,2),=(2,0,0)DP −→−3–√CD −→−(1)AQ −→−PBC Q PB Q(−1，0，)3–√=(−3,0,)AQ −→−3–√PCD =(x,y,z)n → ⋅=0，n →CD −→−⋅=0，n →DP −→−{2x =0，−2y +2z =0.3–√z =1=(0,,1)n →3–√cos <,>=AQ −→−n →⋅AQ −→−n →||||AQ −→−n →==3–√⋅+332−−−−−√3+1−−−−√14B −PC −D =1−(14)2−−−−−−−√15−−√4【解答】证明：因为，所以.又平面平面，且平面平面，所以平面.又平面，所以.因为为等边三角形，且为中点，所以.又，所以平面.解：取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，由平面平面，所以平面，所以.由，可知，所以.以中点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.所以所以，由知，为平面的法向量.因为为的中点，所以，所以.设平面的法向量为，则得取，则，所以.(1)AB//CD ，∠BCD =90∘AB ⊥BC PAB ⊥ABCD PAB∩ABCD =AB BC ⊥PAB AQ ⊂PAB BC ⊥AQ ∠PAB Q PB AQ ⊥PB PB ∩BC =B AQ ⊥PBC (2)AB O PO △PAB PO ⊥AB PAB ⊥ABCD PO ⊥ABCD PO ⊥OD AB =2BC =2CD =4,∠ABC =90∘OD//BC OD ⊥AB AB O OA ，OD ，OP x ，y ，z O −xyz A(2,0,0),D(0,2,0),C(−2,2,0),P(0,0,2),B(−2,0,0)3–√=(0,−2,2),=(2,0,0)DP −→−3–√CD −→−(1)AQ −→−PBC Q PB Q(−1，0，)3–√=(−3,0,)AQ −→−3–√PCD =(x,y,z)n → ⋅=0，n →CD −→−⋅=0，n →DP −→−{2x =0，−2y +2z =0.3–√z =1=(0,,1)n →3–√cos <,>=AQ −→−n →⋅AQ −→−n →||||AQ −→−n →==3–√⋅+332−−−−−√3+1−−−−√14−−−−−−−−−√所以，二面角的正弦值为.20.【答案】解：众数为，中位数为．设（，，，）表示所取人中有个人是“极幸福”，至多有人是“极幸福”记为事件，则．的所有可能取值为，，，，则，，，，，的分布列为：∴，．【考点】众数、中位数、平均数、百分位数古典概型及其概率计算公式离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】解：众数为，中位数为．设（，，，）表示所取人中有个人是“极幸福”，至多有人是“极幸福”记为事件，则．的所有可能取值为，，，，则，B −PC −D =1−(14)2−−−−−−−√15−−√4(1)8.6=8.758.7+8.82(2)A i i =01233i 1A P (A)=P ()+P ()A 0A 1=+C 312C 316C 14C 212C 316=121140(3)ξ0123ξ∼B (3,)14P (ξ=0)==()3432764P (ξ=1)=⋅⋅=C 1314()3422764P (ξ=2)=⋅⋅=C 23()14234964P (ξ=3)==()143164ξξ0123P 27642764964164E (ξ)=np =0.75D (ξ)=np (1−p)=0.5625(1)8.6=8.758.7+8.82(2)A i i =01233i 1A P (A)=P ()+P ()A 0A 1=+C 312C 316C 14C 212C 316=121140(3)ξ0123ξ∼B (3,)14(ξ=0)==3，，，，的分布列为：∴，．21.【答案】解：由椭圆的定义，可知 .解得.又，∴椭圆的标准方程为 .由题意，设直线的方程为 .设，则,由，消去,可得 .，..∵∴直线 的方程为 ，令，可得..直线经过轴上定点，其坐标为.【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题椭圆的标准方程【解析】P (ξ=0)==()3432764P (ξ=1)=⋅⋅=C 1314()3422764P (ξ=2)=⋅⋅=C 23()14234964P (ξ=3)==()143164ξξ0123P 27642764964164E (ξ)=np =0.75D (ξ)=np (1−p)=0.5625(1)2a =|A |+|A |F 1F 2=+=4(2+(3–√)212)2−−−−−−−−−−−−√12a =2=−(=1b 2a 23–√)2C +=1x 24y 2(2)l x =my +4(m ≠0)P(,)，Q(,)x 1y 1x 2y 2(,−)P ′x 1y 1{x =my +4+=1x 4y 2x (+4)+8my +12=0m 2y 2∵Δ=16(−12)>0.m 2∴>12m 2∴+=,=y 1y 2−8m +4m 2y 1y 212+4m 2==k Q P ′+y 2y 1−x 2x 1+y 2y 1m(−)y 2y 1Q P ′y +=(x −)y 1+y 2y 1m(−)y 2y 1x1y =0x =+m +4m(−)y 2y 1y 1+y 1y 2y 1∴x =+4=2my 1y 2+y 1y 22m ⋅12+4m 2−8m +4m 2+4=+4=1.24m −8m ∴D(1,0)∴Q P ′x D (1,0)【解答】解：由椭圆的定义，可知 .解得.又，∴椭圆的标准方程为 .由题意，设直线的方程为 .设，则,由，消去,可得 .，..∵∴直线 的方程为 ，令，可得..直线经过轴上定点，其坐标为.22.【答案】解：当时，，定义域为 ，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.由题意知，方程在上有实根．因为 ，所以方程可转化为.设，则.设，n 个a(1)2a =|A |+|A |F 1F 2=+=4(2+(3–√)212)2−−−−−−−−−−−−√12a =2=−(=1b 2a 23–√)2C +=1x 24y 2(2)l x =my +4(m ≠0)P(,)，Q(,)x 1y 1x 2y 2(,−)P ′x 1y 1{x =my +4+=1x 4y 2x (+4)+8my +12=0m 2y 2∵Δ=16(−12)>0.m 2∴>12m 2∴+=,=y 1y 2−8m +4m 2y 1y 212+4m 2==k Q P ′+y 2y 1−x 2x 1+y 2y 1m(−)y 2y 1Q P ′y +=(x −)y 1+y 2y 1m(−)y 2y 1x 1y =0x =+m +4m(−)y 2y 1y 1+y 1y 2y 1∴x =+4=2my 1y 2+y 1y 22m ⋅12+4m 2−8m +4m 2+4=+4=1.24m −8m∴D(1,0)∴Q P ′x D (1,0)(1)a =1f (x)=ln x −x +1(0,+∞)(x)=−1f ′1x (x)=0f ′x =1x ∈(0,1)(x)>0f ′f (x)x ∈(1,+∞)(x)<0f ′f (x)f =f (1)=0(x)max (2)f (x)=ln x −=0x −1a (2,e)ln x ≠0a =x −1ln x g(x)=x −1ln x (x)==g ′ln x −(x −1)1x (ln x)2ln x +−11x (ln x)2h (x)=ln x +−11xx)=−11则.当时，，所以在 上单调递增，所以，于是，所以在上单调递增，所以，即.综上所述，实数的取值范围是.【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，定义域为 ，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.由题意知，方程在上有实根．因为 ，所以方程可转化为.设，则.设，则.当时，，所以在 上单调递增，所以，于是，所以在上单调递增，所以，(x)=−h ′1x 1x 22<x <e (x)>0h ′h (x)(2,e)h (x)>h (2)=ln 2−>012(x)>0g ′g(x)(2,e)g(2)<g(x)<g(e)<g(x)<e −11ln 2a (,e −1)1ln 2(1)a =1f (x)=ln x −x +1(0,+∞)(x)=−1f ′1x (x)=0f ′x =1x ∈(0,1)(x)>0f ′f (x)x ∈(1,+∞)(x)<0f ′f (x)f =f (1)=0(x)max (2)f (x)=ln x −=0x −1a (2,e)ln x ≠0a =x −1ln x g(x)=x −1ln x (x)==g ′ln x −(x −1)1x (ln x)2ln x +−11x (ln x)2h (x)=ln x +−11x (x)=−h ′1x 1x 22<x <e (x)>0h ′h (x)(2,e)h (x)>h (2)=ln 2−>012(x)>0g ′g(x)(2,e)g(2)<g(x)<g(e)g(x)<e −11即.综上所述，实数的取值范围是.<g(x)<e −11ln 2a (,e −1)1ln 2。
高复班上学期第二次阶段考试数学(理)试题及答案
2021届高复班上学期第二次阶段考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合2*{|70,}A x x x x N =-<∈，则*6{|,}B y N y A y=∈∈中元素的个数为（ ） A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2.下列说法错误的是（ ）A ．若:p x R ∃∈，210x x -+=，则:p x R ⌝∀∈， 210x x -+≠B ．“1sin 2θ=”是“30θ=或150”的充分不必要条件 C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a ≠，则0ab ≠”D ．已知:p x R ∃∈，cos 1x =，:q x R ∀∈，210x x -+>，则“()p q ∧⌝”为假命题3. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c =，b =30C =，则角B 等于（ ）A ．30B ．60C ．30或60D ．60或120 4.命题“[1,2]x ∀∈，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥ B ．4a ≤ C.5a ≥ D ．5a ≤ 5.已知向量(sin(),1)6a πα=+，(4,4cos b α=，若a b ⊥，则4sin()3πα+=（ ） A．．14-D ．146.设n S 是等差数列n a 的前n 项和，若612310S S =，则39S S =（ ） A ．16 B ．13 C.14 D ．197.已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12||||||n b b b +++=（ ）A ．14n- B ．41n- C. 143n - D ．413n -8. (1tan18)(1tan 27)++的值是（ ）A B 9.将函数sin(2)y x θ=+的图象向右平移6π个单位，得到的图象关于4x π=对称，则θ的一个可能的值为（ ） A ．23π B ．23π- C. 56π D ．56π- 10.在数列{}n a 中，12a =，22a =，且21(1)()n n n a a n N ++-=+-∈，则100S =（ ） A ．0 B ．1300 C.2600 D ．2602 11.在锐角ABC ∆中，若2A B =，则ab的范围是（a ，b 分别为角A ，B 的对边长）（ ）A ．B ．2) C.(0,2) D ．2)12.数列{}n a 满足1a =与11[]{}n n n a a a +=+（[]n a 与{}n a 分别表示n a 的整数部分与分数部分），则2014a =（ ）A ．3020+．30203018+ D ．3018 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知{|322}A x x =≤≤，{|2135}B x a x a =+≤≤-，B A ⊆，则a 的取值范围为________. 14.函数()sin()(0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<在R 上的部分图象如图所示，则(2014)f 的值为___________.15.若数列{}na是正项数列，且2123na a a n n+++=+，则12231naa an+++=+__________.16.如图，ABC∆是边长为23的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP BP 的取值范围是_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设命题:p实数x满足22430x ax a-+<，0a≠；命题:q实数x满足32xx-≥-.（Ⅰ）若1a=，p q∧为真命题，求x的取值范围；（Ⅱ）若p⌝是q⌝的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18. （本小题满分12分）已知各项都为正数的等比数列{}na满足312a是13a与22a的等差中项，且123a a a=.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设3logn nb a=，且nS为数列{}nb的前n项和，求数列12{}nnSS+的前n项和nT.19. （本小题满分12分）如图，已知平面上直线12//l l ，A ，B 分别是1l ，2l 上的动点，C 是1l ，2l 之间的一定点，C 到1l 的距离1CM =，C 到2l 的距离3CN =，ABC ∆三内角A ∠、B ∠、C ∠所对边分别为a ，b ，c ，a b >，且cos cos b B a A =.（Ⅰ）判断ABC ∆的形状； （Ⅱ）记ACM θ∠=，11()f AC BCθ=+，求()f θ的最大值.20. （本小题满分12分）已知函数2()sin 23sin cos sin()sin()44f x x x x x x ππ=+++-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调增区间； （Ⅱ）若00(0)2x x x π=≤≤为()f x 的一个零点，求0cos 2x 的值.21. （本小题满分12分）如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB .位于该市的某大学M 与市中心O 的距离313OM km =，且AOM β∠=.现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M .其中tan 2α=，3cos 13β=，15AO km =.（Ⅰ）求大学M 与A 站的距离AM ； （Ⅱ）求铁路AB 段的长AB .22.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*1(1)1(,2)n n a S n N λλ+=++∈≠-，且13a ，24a ，313a +成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足41log n n n a b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .试卷答案一、选择题：1-5:DBDCB 6-10:ABCBC 11、12：AB 二、填空题：13. (,9]-∞ 14.52- 15.226n n + 16.[1,13] 三、解答题17.解：由题，当p 为真命题时：当0a >时，3a x a <<；当0a <时，3a x a <<. 当q 为真命题时：23x <≤.………………3分 （I ）若1a =，有:13p x <<，则当p q ∧为真命题，有1323x x <<⎧⎨<≤⎩，得23x <<.………………6分（II ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件， 则必有0a >且233a a ≤⎧⎨>⎩得12a <≤.………………10分∴1221122()2(1)1n n S S n n n n +=+=-+++，………………8分故数列12{}n nS S +的前n 项和为111112[(1)()()]22231n T n n n =-+-++-++ 21242(1)211n nn n n +=-+=++.………………12分 19.解：（I ）由正弦定理得：sin sin b aB A=，集合cos cos b B a A =，得sin 2sin 2B A =， 又a b >，所以A B >，且,(0,)A B π∈，所以22A B π+=，∴2C π=，所以ABC ∆是直角三角形；………………6分 （II ）ACMθ∠=，由（I ）得2BCN πθ∠=-，则1cos ACθ=，BC =，11()cos )6f AC BC πθθθθ=+=+=-，所以6πθ=时，()f θ………………12分 20.解：（I ）2()sincos sin()sin()44f x x x x x x ππ=+++-21sin 2(sin cos)(sin cos )2x x x x x x =+++-1cos 21112cos 22cos 22sin(2)22262x x x x x x π-=+-=-+=-+，所以()f x 的最小正周期为π， 因为222262k x k πππππ-≤-≤+，∴63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，，所以函数()f x 的单调递增区间是[,63k k k Z ππππ-+∈]，.（II ）001()2sin(2)062f x x π=-+=，∴01sin(2)64x π-=-， 因为002x π≤≤，052666x πππ-≤-≤，∴02066x ππ-≤-≤，所以0cos(2)6x π-=，0011cos 2cos(2)6642x x ππ=-+=+⨯=. 21.解：（I ）在AOM∆中，15AO =，AOM β∠=且cos β=，OM =，由余弦定理得，2222cos AM OA OM OA OM AOM =--∠，221521513915152315372=--⨯=⨯-⨯-⨯⨯⨯=.∴AM =M 与站A 的距离AM为. （II）∵cos β=β为锐角，∴sin β=， 在AOM ∆中，由正弦定理得，sin sin AM OMMAOβ=∠，=sin MAO ∠=，∴4MAO π∠=，∴4ABO πα∠=-，∵tan 2α=，∴sin α=，cos α=，∴sin sin()4ABO πα∠=-=AOB πα∠=-，∴sin sin()AOB πα∠=-=， 在AOB ∆中，15AO =，由正弦定理得，sin sin AB AOAOB ABO=∠∠，即1521AB =，∴AB =，即铁路AB 段的长AB为. 22.解：（I ）解（1）法一 因为1(1)1n n a S λ+=++① 所以当2n ≥时，1(1)1n n a S λ-=++.②①-②得1(1)n n n a a a λ+-=+，即1(2)(2)n n a a n λ+=+≥， 又因为2λ≠-，且11a =，21(1)12a S λλ=++=+， 所以数列{}n a 是以1为首项，2λ+为公比的等比数列， 所以22a λ=+，23(2)a λ=+，由题知2138313a a a =++，所以28(2)(2)313λλ+=+++， 整理得2440λλ-+=，解得2λ=，所以14n n a -=. 法二 因11a =，1(1)1n n a S λ+=++，所以21(1)12a S λλ=++=+，2312(1)()144a a a λλλ=+++=++， 由题知2138313a a a =++，所以28(2)44313λλλ+=++++， 整理得2440λλ-+=，解得2λ=，所以131n n a S +=+，① 当2n ≥时，131n n a S -=+，②①-②得13n n n a a a +-=，即14(2)n n a a n +=≥，又11a =，24a =，所以数列{}n a 是以1为首项，4为公比的等比数列， 所以14n n a -=.（II ）因41log n n n a b a +=，即144log 4n n n b -=，所以14n n nb -=， 则22123114444n n n n nT ---=+++++，① 23111231444444n n n n nT --=+++++， ② ①-②得：213111411(1)44444344n n n n n n n T -=++++-=--， 所以11643994n n nT -+=-⨯. 高三第二次质量检测语文试题第I 卷阅读题（70分）一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（9分，每小题3分） 阅读下面的文字，完成1─3题。
2021年高三数学上学期第二次统练试题 理(含解析)新人教A版
2021年高三数学上学期第二次统练试题理（含解析）新人教A版【试卷综评】突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、简易逻辑试卷都有所考查。
在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。
明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。
2.适度综合考查，提高试题的区分度本次数学试卷的另一个特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力，有利于提高区分度，在适当的规划和难度控制下，效果明显。
通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求，提高了试题的区分度.一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)【题文】1. 设集合A=, B=, 那么“mA”是“mB”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案解析】A 解析：由，可得x（x﹣1）≤0，且x≠1，解得0≤x＜1，∴A=[0，1）．∴“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．故选：A．【思路点拨】由，可得x（x﹣1）≤0，且x≠1，解得A=[0，1），即可得出．【题文】2. 命题：（1）, （2）, （3） , （4）若，则，（5），其中真命题个数是A．1 B. 2 C． 3 D. 4【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案解析】C 解析：（1）根据指数函数的性质可知,成立，正确；（2）当x=1时，不成立，故命题∀x∈N*，错误；（3）当0＜x＜10时，lgx＜1，即 , 成立，正确；（4）若，则且x﹣1=0，故命题错误．（5）当x=∴，满足sinx=1，即，，正确．故真命题是（1）（3）（5），故选：C【思路点拨】根据全称命题和特称命题的定义和性质分别进行判断即可得到结论．【题文】3．已知为等比数列，下面结论中正确的是A． B．C．若,则D．若,则【知识点】等比数列的性质．D3【答案解析】B 解析：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；，∴，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D不正确故选B．【思路点拨】a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立；，所以；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=﹣a2；若a3＞a1，则a1q2＞a1，而a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故可得结论．【题文】4. 已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直。
安徽省合肥皖智高考复读学校高三数学上学期第二次半月考试试题 文 新人教A版
合肥皖智高复学校2013~2014学年上学期第二次半月考数学（文科）试题第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N =I ( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]2.已知函数()f x 的定义域为()1,0-,则函数()21f x -的定义域为 (A)()1,1- (B) ⎝⎛⎥⎦⎤21,0 (C)()-1,0 (D)1,12⎛⎫⎪⎝⎭3.已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =A.4B. 14C.-4D-144.设x R ∈,则“12x >”是“2210x x +->”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.设命题p:函数sin 2y x =的最小正周期为2π;命题q:函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是 （ ）A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真6.已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示,则(2)y f x =--的图像为7.y =()63a -≤≤的最大值为( )A.9B.92C.3D.28.在下面哪个区间内函数243y x x =-+与函数ln 2y x x =-都为减函数（ ） A. (,2)-∞ B. (0)e ， C. 1(,2)2D. (),e +∞ 9. 函数1()ln1x f x x-=+是定义在(,)a b 内的奇函数，则2b b a ++的取值范围为（ ） A. [0,1) B. (0,1) C. (0,1] D. [0,1] 10.函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置） 11.方程03241=--+x x的解是_________.12. 函数22log (1)3(0x a y ax a -=+-+>且1)a ≠的图像恒过定点 .13. 函数2222(1)m m y m m x --=--是幂函数，且在(0)x ∈+∞，上为增函数，则实数m 的值为 .14.直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .15.设102m <<，若1212km m +≥-恒成立，则k 的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分） 已知27{|9},{|0},{||2|4}1x A x x B x C x x x -=>=≥=-<+ (1);(2)()U A B A B C ⋂⋂⋂求求ð。
高三上学期第二次月考数学(理科)试卷(含答案与解析)
A B=（6．函数A．B．C．D．，>><<a b c d00)[2)∞，．若等差数列{}n a的前1++b b1032n，则数列．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列．51)12n﹣）函数1212n n -++-7221n n +-+422222n +++-2633PD BD a a a PB a==3254a a 是352=4a ∴⨯111,2,422n n n q q a -+>∴=∴==依题意，数列{}n b 为等差数列，公差1d =）12n n a +=不等式2log (n n T n ∈*N2n n λ-∴≤91)31n -=+（Ⅰ）2||x a -≤()2f x ≤的解集为（Ⅱ）()f x f +0x ∃∈R ，使得即0()f x +)(,)1+∞．高三上学期第二次月考数学试卷（理科）解析1．【分析】根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}={x∈R|x＜0或x＞3}∴A∩B={4，5，6}．2．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数==为纯虚数，∴a﹣1=0，1+a≠0，解得a=1．3．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．4．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得sinα 和cosα的值，再利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：∵角α的终边上有一点P（1，3），∴x=1，y=3，r=|OP|=，∴sinα==，cosα==，则===1，5．【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解．【解答】解：．6．【分析】利用函数的奇偶性、单调性、特殊值，借助排除法能求出结果．【解答】解：∵y=xsinx+cosx，设f（x）=xsinx+cosx，则f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）+cos（﹣x）=xsinx+cosx=f（x），∴y=xsinx+cosx是偶函数，故排除D．当x=0时，y=0+cos0=1，故排除C和D；∵y′=xcosx，∴x＞0开始时，函数是增函数，由此排除B．7．【分析】利用特例法，判断选项即可．【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，∴C．D不正确；=﹣3，=﹣∴A不正确，B正确解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．8．【分析】已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，9．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：实数满足，∴a，b＞0，∴≥2，化为：ab，当且仅当b=2a=．则ab的最小值为．10．【分析】将原不等式整理成关于x的二次不等式，结合二次函数的图象与性质解决即可，注意对二次项系数分类讨论【解答】解：不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x，可化为（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，当a﹣2=0，即a=2时，恒成立，合题意．当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，需，解得﹣2＜a＜2．所以a的取值范围为（﹣2，2]．11．【分析】由S n=n2，可得a1=1，a2=3．可得等差数列{a n}的公差d=2．可得a n．可得=n+，令f（x）=x+（x≥1），利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：由S n=n2，可得a1=1，1+a2=22，解得a2=3．∴等差数列{a n}的公差d=3﹣1=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴==n+，令f（x）=x+（x≥1），f′（x）=1﹣=，当1≤x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递增．∴n=3或4时，n+取得最小值7．12．【分析】由已知得a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，求出S n后，利用当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可求得通项a n，最后利用裂项法，即可求和．【解答】解：由已知得，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣1，验证知当n=1时也成立，∴a n=4n﹣1，∴，∴∴=+（）+…+（）=1﹣=．13．【分析】作出不等式组对应的平面区域，则z=（x﹣1）2+y2的几何意义为动点P（x，y）到定点（1，0）的距离的平方，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z=（x﹣1）2+y2的几何意义为动点P（x，y）到定点（1，0）的距离的平方，过点A（1，0）作AB垂直直线x+y﹣3=0，则|AB|的距离最小，则圆心A到直线x+y﹣3=0的距离d=，此时z=d2=2，14．【分析】把已知等式两边同时除以2n+1，可得数列{}是以1为首项，以为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：由a n+1=2a n+3•2n，得，即，又，∴数列{}是以1为首项，以为公差的等差数列，则，∴．15．【分析】根据题意，分析图乙，可得其第k行有k个数，则前k行共有个数，第k行最后的一个数为k2，从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列；进而由442＜2015＜452，可得2015出现在第45行，又由第45行第一个数为442+1=1937，由等差数列的性质，可得该行第40个数为2015，由前44行的数字数目，相加可得答案．【解答】解：分析图乙，可得①第k行有k个数，则前k行共有个数，②第k行最后的一个数为k2，③从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列，又由442=1936，452=2025，则442＜2015＜452，则2015出现在第45行，第45行第一个数为442+1=1937，这行中第=40个数为2015，前44行共有=990个数，则2015为第990+40=1030个数．16．【分析】对4个选项，分别进行判断，即可判断命题的真假．【解答】解：①常数均为0的数列是等差数列，不是等比数列，故不正确；②在△ABC中，若sin2A+sin2B=sin2C，则a2+b2=c2，所以△ABC为直角三角形，正确；③因为三角形是锐角三角形，所以A+B＞即：＞A＞﹣B＞0，所以sinA＞cosB，同理sinB＞cosA，所以tanAtanB=＞1，正确；的前项和，则此数列的通项n n n111n n17．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解=2．的通项公式；n（2）由（1）得b n=，利用错位相减法可求得T n=5﹣．f x）函数()1212n n -++-7221n n +-+422222n +++-2633PD BD a a a PB a==2320．【分析】（1）利用的等差中项，求出公比，可求数列{a n }的通项公式；数列{b n }为等差数列，公差d=1，可求数列{b n }的通项公式；（2）不等式nlog 2（T n +4）﹣λb n +7≥3n 化为n 2﹣n+7≥λ（n+1），可得对一切n ∈N *恒成立，利用不等式，即可得出结论．3254a a 是352=4a ∴⨯111,2,422n n n q q a -+>∴=∴==依题意，数列{}n b 为等差数列，公差1d =）12n n a +=不等式2log (n n T n ∈*N …2n n λ-∴≤91)31n -=+ 22．【分析】（1）直线l 的参数方程为（t 为参数），消去参数t 化为普通方程可得，进而得到倾斜角．由曲线C 的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos （θ﹣），利用ρ2=x 2+y 2，即可化为直角坐标方程．2242223．【分析】（Ⅰ）若不等式f （x ）≤2的解集为[0，4]，可得，即可求实数a 的值；2（Ⅰ）2||x a -≤()2f x ≤的解集为[0,4]，⎧⎨⎩（Ⅱ）()f x f +0x ∃∈R ，使得即0()f x +)(,)1+∞。
人教高三数学上期第二次月考试卷(有答案)
人教版高三数学上期第二次月考试卷(有答案) 人教版高三数学上期第二次月考试卷(有答案)1、已知全集为实数集，，则 =( )A. B. C. D.2、函数的零点所在的大致区间是( )A. B. C. D.3、已知等差数列中，，记，则的值为( )A.130B.260C.156D.1684、设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则的值为( )A. B. C. D.5、若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离等于它到直线x+4=0距离，则M点的轨迹是( )A.x+4 =0B.x-4=0C.D.6、同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称;③在上是增函数”的一个函数是 ( )A. B. C. D.7、等比数列的各项为正数，且 ( )A.2+B.8C. 10D.208、椭圆的两个焦点是F1、F2，以| F1F2 |为斜边作等腰直角三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.9、对于定义域为的函数，若存在非零实数，使函数在和上均有零点，则称为函数的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是( )A. B. C. D.10、已知椭圆C：的左右焦点分别为，直线与椭圆C将于两点M、N，且当时，M是椭圆C的上顶点，且的周长为6。
设椭圆C的左顶点为A，直线AM、AN与直线分别相交于点P、Q，当变化时，以线段PQ为直径的圆被轴截得的弦长为( )A.4B.5C.6D.7二、填空题(每题4分，共20分)11、数列{an}的通项公式为，达到最小时，n等于_______________.12、若A、B是锐角三角形的两内角，则 _____ (填“>”或“<”)。
13、已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为______ ___14、圆的方程为，过坐标原点作长为8的弦，则弦所在的直线方程为______________________________.(结果写成直线的一般式方程)15、设数列是由集合，且，中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，a5=30 ，a6=36，…，若 = ，且，，则的值等于____________.三、解答题(6大题，共80分. 解答须写出必要的文字说明.证明过程及演算步骤)16(本小题满分13分)在等差数列中，已知，(1)求数列的通项公式;(2)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆短轴长等于，离心率，求椭圆的标准方程。
2021年高三数学上学期第二次月考试题A卷 理(复习班)
2021年高三数学上学期第二次月考试题A 卷 理（复习班）一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.若集合,,则（ ）.A. B. C. D.2．“”是“直线与圆相交”的（ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件3．若角α的终边上有一点P ，且，则m 的值为（ ）A 、B 、C 、或D 、4．下列叙述正确的是（ ）A.命题：，使的否定为：，均有.B.命题：若，则x=1或x=-1的逆否命题为：若或，则.C.己知，则幂函数为偶函数，且在上单调递减的充要条件为n=1D.把函数的图象沿轴向左平移个单位,可以得到函数的图象5.已知等差数列{a n }中，,公差d<0；S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A.S 5>S 6B.S 5<S 6C.S 6=0D.S 5=S 66.P 是三角形ABC 所在平面内任一点，若，则P 一定在（ ）A 、内部B 、AC 边所在的直线上 C 、AB 边上D 、BC 边上7.已知函数f(x)＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 对x∈R 恒成立， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f(π)，则下列结论正确的是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝－1 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 C ．f(x)是奇函数 D ．是f(x)的单调递增区间 8.已知A 、B 、C 是直线上不同的三个点，点O 不在直线上，则使等式成立的实数的取值集合为 （ ）A. B. C. D.9.在各项均为正数的等比数列中，，则下列结论中正确的是（ ）A ．数列是递增数列；B ．数列是递减数列；C．数列既不是递增数列也不是递减数列；D．数列有可能是递增数列也有可能是递减数列．10．将石子摆成如图所示的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a2 014－5＝( )A．2 018×2 012 B．2 020×2 013C．1 009×2 012 D．1 010×2 01311.设且，则的取值范围是（）A. B.C. D.52,22,2,436k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.已知函数的图象关于对称，则函数的图象的一条对称轴是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上).13.设向量，，其中，若，则14．数列满足，若，则=15. 已知函数，有下列四个结论：①函数在区间上是增函数；②点是函数图象的一个对称中心；③函数的图象可以由函数的图象向左平移得到；④若，则的值域为．则所有正确结论的序号是16. 已知数列中满足，，则的最小值为三、解答题（本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分10分）已知p:x1和x2是方程的两个实根，不等式对任意实数m∈［-1,1］恒成立；q:不等式有解，若p为真，q为假，求a的取值范围.18. （本小题满分12分）在锐角△ABC 中，角A，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，已知，b ＝3，．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．19. （本小题满分12分）数列是等差数列，若公差，且是的等比中项。
2022-2023学年人教A版高三上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：115 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合，则（ ）A.B.C.D.2. 使得的展开式中含有常数项的最小的为( )A.B.C.D.3. 如图是某同学在高一次数学测试成绩的茎叶图，则下列结论正确的是( )A.该同学次数学成绩的众数为分B.该同学次数学成绩的平均分为分C.该同学次数学成绩的中位数为分D.该同学次数学成绩的极差为分A ={x|x −1≥0},B ={0,1.2}A ∩B ={0}{1}{1,2}{0,1,2}(n ∈)(3x +)1x x −√nN ∗n 456788768858858274. 点从出发，沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达点，则的坐标为( )A.B.C.D. 5. 在 中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，.若，，，则的最小值为( )A.B.C.D.6. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A.B.C.D.7. 某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）P (1,0)2π3Q Q (−,)123–√2(−,−)3–√212(−,−)123–√2(−,)3–√212△ABC P =3BP −→−PC −→−P AB AC M N =λAM −→−AB −→−=μAN −→−AC −→−(λ>0,μ>0)λ+μ+13–√2+12–√23252y =−xy =x 3y ＝−1xy =e x244124B.个C.个D.个8. 年月日日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得金银铜，共枚奖牌．为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了名参赛运动员进行调查，所得数据如表所示：男性运动员女性运动员对主办方表示满意对主办方表示不满意现有如下说法：①在参与调查的名运动员中任取人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”．则正确命题的个数为（ ）附：，A.B.C.D.9. 已知等比数列的各项均为正数，满足，，记等比数列的前项和为，则当取得最大值时，( )A.或B.或C.或D.或10. 天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中恰有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数.依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现点和点代表下雨；投A 226A 410(C 126)2104A 22610420191018−27133644223950020022050305001121%99.9%=K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)P(≥k)K 20.1000.0500.0100.001k 2.7063.8416.63510.8280123{}a n ⋅=16a 2a 16=+a 6a 7+a 3a 418a n n T n T n n =899101011111212，，，，，．则在此次随机模拟试验中，估计每天下雨的概率和三天中恰有两天下雨的概率的近似值分别为（ ）A.，B.，C.，D.，11. 已知函数，，则(等于( )A.B.C.D.12. 已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程＝在区间上有两解，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的模是________.14. 名同学排成一列，某个同学不排排头的排法种数为________（用数字作答）．15. 在半径为的圆上有，两点，且，在该圆上任取一点，则使为锐角三角形的概率为________.16. 数列的首项为，数列为等比数列且，若，则5614354432511543531238121813151329f(x)=a +b sin x +4(a,b ∈R)x 3f (lg(10))log 2=5f lg(lg2))−5−134f(x)(0,+∞)x ∈(0,+∞)f[f(x)+x]=4log 13|f(x)−3|−6+9x −4+a x 3x 2(0,3]a 0<a ≤5a <50<a <5a ≥5z =3−i 1+ii z 5a A B AB =a P △PAB {}a =1a {}b =b a n+1=b b 2018110三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17. 已知正项数列是等比数列，且，，成等差数列．求的通项公式；求数列的前项和.18. 某农场所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了年月日至月日的每天昼夜温差与实验室每天每颗种子中的发芽数，得到如下表：日期12月日12月日12月日12月日12月日温差101113128该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再对被选取的两组数据进行检验．求选取的组数据恰好是不相邻的天数据的概率：若选取的是月日与月日的两组数据，请根据月日至月日的数据，求出关于的线性回归方程；并预报当温差为时，种子发芽数．附：回归直线方程： ，其中 19. 在平面直角坐标系中，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别相交于点，已知点.求的值；若，求的值.20. 已知函数，．当时，求的最小值；函数，当时，证明：函数在上有两个零点． 21. 已知函数.讨论函数的单调性；对任意，求证：.22. 在直角坐标系 中，曲线的方程为，直线恒过定点，倾斜角为．求曲线和直线的参数方程；{}a n =a 1121a 2+21a 31a 4(1){}a n (2){n }a n n S n 201912112510012345C x ∘23(1)22(2)121125122124y x =x +y ˆb ˆa ˆC 14∘=x +y ˆb ˆaˆ=;=−b ˆ−n ∑i=1n x i y i xy ¯¯¯¯¯−n ∑i=1n x 2i x ¯¯¯2a ˆy ¯¯¯b ˆx ¯¯¯xOy Ox αβ(0<β<α<π)P,Q P (−,)4535(1)=1+sin 2α2α+2sin αcos αcos 2(2)⋅=−OP −→−OQ −→−13sin βf (x)=x −(m +1)ln x −3e g(x)=x ln x (1)m =0f (x)(2)h (x)=f (x)+mg(x)m >0h (x)(,e)1e f (x)=1+(a +1)x +ln x (1)f (x)(2)x >0+1+(a +1)x >f (x)2e x xe 2xOy C +=1x 24y 216l M(1,2)α(1)C l23. 已知函数.当，时，求不等式的解集；若，且函数的最小值为，求的值．f (x)=2|x +a|+|3x −b|(1)a =1b =0f (x)≥3|x|+1(2)a >0b >0f (x)23a +b参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解．∵，∴．故选．2.【答案】B【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】此题暂无解析【解答】解：设的展开式的通项为，则，令得．又，∴当时，最小，即．故选．A ={x|x −1≥0}={x|x ≥1},B ={0,1,2}A ∩B ={x|x ≥1}∩{0,1,2}={1,2}C (n ∈)(3x +)1x x−√n N ∗T r+1==T r+13n−r C r n x n−r x −r 323n−r C r n x n−r 52n −r =052n =r 52n ∈N ∗r =2n =5n min BB【考点】茎叶图众数、中位数、平均数、百分位数极差、方差与标准差【解析】利用茎叶图、平均数、极差、众数、中位数的定义和性质直接求解．【解答】解：由茎叶图得：该同学次数学成绩的众数是，故不正确；该同学次数学成绩的平均分为分，故正确；该同学次数学成绩的中位数是： ，故错误．该同学次数学成绩的的极差是： ，故不正确；故选．4.【答案】C【考点】任意角的三角函数【解析】利用任意角的三角函数以及角的变换得解.【解答】解：设点的坐标为.由题意，得，.所以.故选.5.【答案】886A 8=8568+72+78+86+86+95+96+998B 8=8686+862C 899−68=31D B Q (x,y)x =cos(−)=−2π312y =sin(−π)=−sin(π−π)=−23233–√2Q (−,−)123–√2C向量的共线定理基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴,∴,∵,，∴,∵三点共线,,.当且仅当,即时等号成立.∴ 的最小值为.故选.6.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合=3BP −→−PC −→−−=3(−)AP −→−AB −→−AC −→−AP −→−=+AP −→−14AB −→−34AC −→−=λAM −→−AB −→−=μAN −→−AC −→−=+AP −→−14λAM −→−34μAN −→−P,M,N ∴+=114λ34μ∴λ+μ=(λ+μ)(+)14λ34μ=+++1434μ4λ3λ4μ≥1+2⋅μ4λ3λ4μ−−−−−−−√=1+2×3–√4=1+3–√2=μ4λ3λ4μλ=,μ=1+3–√43+3–√4λ+μ+13–√2A由函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．【解答】对于，为奇函数，但在上是减函数，不符合题意；对于，为奇函数，且在上是增函数，符合题意；对于，为奇函数，在和上单调递增，当在整个定义域内不是增函数，不符合题意；对于，为非奇非偶函数，不符合题意．7.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】先从个英文字母中选出个英文字母的方法数为，后接个数字组成的方法数为．8.【答案】C【考点】独立性检验【解析】依题意，对选项中的命题分析，计算概率值和观测值，对照临界值判断正误即可．【解答】依题意知，任取名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为，所以①错误；由表中数据，计算，所以在犯错误的概率不超过的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”，②正确；又，所以没有的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”，③正A y =−x R B y =x 3R C y =−1x(−∞,0)(0,+∞)D y =e x 262()C 12624A 4101P ==20050025=≈5.952>2.076K 2×500(200×30−50×220)2250×250×420×801%5.952<6.63599.9%9.【答案】C【考点】等比中项等差数列的前n 项和【解析】根据，推断出，进而表示出和，联立方程求得公比，进而根据等比数列的通项公式求得，进而求得，然后令求得的范围，答案可得．【解答】解：∵，，∴可得，，，.时，，或时，取得最大值.故选10.【答案】C【考点】模拟方法估计概率【解析】本题考查随机事件的概率、古典概型.【解答】解：由古典概型的概率计算公式，知每天下雨的概率为；由所得到的组随机数，知三天中有两天下雨的概率为.故选.11.【答案】C=lg b n a n =a n 10b n a 3a 6q a n b n ≥0b n n ⋅=16a 2a 16=+a 6a 7+a 3a 418=4a 9q =12∴=2a 10=1a 11n >12<1a n ∴n =10n =11T n C.=261310=21015C【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】由题设条件可得出与互为相反数，再引入，使得，利用奇函数的性质即可得到关于（）的方程，解方程即可得出它的值【解答】解：∵，∴与互为相反数,则设，那么,令，即，此函数是一个奇函数，故，∴，,∴．故选．12.【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系利用导数研究函数的单调性【解析】由题设知必存在唯一的正实数，满足＝，＝，＝，故＝，＝，＝，左增，右减，有唯一解＝，故＝＝，由题意可得＝在区间上有两解，讨论＝的单调性和最值，分别画出作出，和＝的图象，通过平移即可得到的范围．【解答】∵定义域为的单调函数满足＝，∴必存在唯一的正实数，满足＝，＝，①∴＝，②由①②得：＝，＝，＝，左增，右减，有唯一解＝，lg(10)log 2lg(lg2)g(x)=a +b sin x x 3f(x)=g(x)+4f lg(lg2)lg(10)+lg(lg2)=lg1=0log 2lg(10)log 2lg(lg2)lg(10)=m log 2lg(lg2)=−m f(x)=g(x)+4g(x)=a +b sin x x 3g(−m)=−g(m)f(m)=g(m)+4=5g(m)=1f(−m)=g(−m)+4=−g(m)+4=3C a f(x)+x log 13a f(a)4f(a)+a log 13a 4+log a 13a a log 13a −4a (13)a−4a 3f(x)+log x 13a 3x ||log 13−6+9x −4+a x 3x 2(0,3]g(x)−6+9x −4+a x 3x 2y =x ||log 13y −6+9x −4x 3x 2a (0,+∞)f(x)f[f(x)+x]log 134a f(x)+x log 13a f(a)4f(a)+a log 13a 4+a log 13a a log 13a −4a (13)a−4a 3f(x)+x log故＝＝，＝，由方程＝在区间上有两解，即有＝，由＝，＝＝，当时，，递减；当时，，递增．在＝处取得最大值，＝，＝，分别作出，和＝的图象，可得两图象只有一个交点，将＝的图象向上平移，至经过点，有两个交点，由＝即＝，解得＝，当时，两图象有两个交点，即方程＝在区间上有两解．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，最后利用复数模的计算公式求模．【解答】解：，∴．故答案为：．14.【答案】【考点】分步乘法计数原理【解析】先排不在排头的这个学生，方法有种，其他学生任意排，有种，根据分步计数原理，求得结果．f(x)+x log 13a 3f(x)3−x log 13|f(x)−3|−6+9x −4+ax 3x 2(0,3]x ||log 13−6+9x −4+a x 3x 2g(x)−6+9x −4+a x 3x 2g'(x)3−12x +9x 23(x −1)(x −3)1<x <3g'(x)<0g(x)0<x <1g'(x)<0g(x)g(x)x 1a g(0)a −4g(3)a −4y =x ||log 13y −6+9x −4x 3x 2y −6+9x −4x 3x 2(3,1)g(3)1a −41a 50<a ≤5|f(x)−3|−6+9x −4+a x 3x 2(0,3]5–√z ====1−2i 3−i 1+i (3−i)(1−i)(1+i)(1−i)2−4i 2|z |==+(−212)2−−−−−−−−−√5–√5–√964A 44【解答】解：先排不在排头的这个学生，方法有种，其他学生任意排，有种，根据分步计数原理，所有的排列方法共有种，故答案为：．15.【答案】【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】无【解答】解：设圆心为，连接并延长交圆于点，连接并延长交圆于点，连接，，．因为，为直径，所以，当点在点或点处时， 为直角三角形，当点在点与点之间的劣弧上时，为锐角三角形，故使为锐角三角形的概率为.故答案为：.16.【答案】【考点】数列递推式等比数列的性质【解析】由已知结合，得到，结合及等比数列的性质求得．【解答】解：由，且，得，，4A 444⋅=96A 449616O AO C BO D BC AD CD AC BD ∠ABC =∠BAD =90∘P C D △ABP P C D △ABP △ABP 16162018=b n a n+1a n=...a 21b 1b 2b 20=b 10b 112018110a 21=b n a n+1a n =1a 1==b 1a 2a 1a 2=b 2a 3a 2==b b b∴，∴，．∴．∵数列为等比数列，∴．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17.【答案】解：设数列的公比为．且，，成等差数列，，整理得，即，解得 .的通项公式为 .，,，两式相减得，.【考点】等比数列的通项公式等差数列的性质数列的求和【解析】==a 3a 2b 2b 1b 2==a 4a 3b 3b 1b 2b 3⋯=⋯a n b 1b 2b n−1=⋯a 21b 1b 2b 20{}b n =()()⋯()=(=2018a 21b 1b 20b 2b 19b 10b 112018110)102018(1){}a n q ∵=a 1121a 2+21a 31a 4∴+1q12=2(+2)112q 3112q 22−+2q −1=0q 3q 2(2q −1)(+1)=0q 2q =12∴{}a n =a n ()12n(2)∵n =n a n ()12n ∴=1×+2×+⋯+n S n 12()122()12n∴=1×+2×+⋯+(n −1)12S n ()122()123()12n +n()12n+1=+++⋯12S n 12()122()123+−()12nn()12n+1=−[1−]12()12n1−12n()12n+1=1−−()12nn()12n+1=1−(n +2)()12n+1∴=2−(n +2)S n ()12n1+2,111（1）设数列的公比为．由且成等差数列，得，整理得，解得 .的通项公式为 .【解答】解：设数列的公比为．且，，成等差数列，，整理得，即，解得 .的通项公式为 .，,，两式相减得，.18.【答案】；，．【考点】古典概型及其概率计算公式{}a n q =a 112,+2,1a 21a n 1a 4+1q 12=2+2112q 3 112q 22−+2q −1=0,(2q −1)(+1)=0q 3q 2q 2q =12{}a n =a n ()12n(1){}a n q ∵=a 1121a 2+21a 31a 4∴+1q 12=2(+2)112q 3112q 22−+2q −1=0q 3q 2(2q −1)(+1)=0q 2q =12∴{}a n =a n ()12n(2)∵n =n a n ()12n ∴=1×+2×+⋯+n S n 12()122()12n∴=1×+2×+⋯+(n −1)12S n ()122()123()12n +n()12n+1=+++⋯12S n 12()122()123+−()12nn()12n+1=−[1−]12()12n 1−12n()12n+1=1−−()12nn()12n+1=1−(n +2)()12n+1∴=2−(n +2)S n ()12n(1)35(2)=x −3y ˆ5232求解线性回归方程【解析】无无【解答】解：设抽取到不相邻的两组数据为事件，从组数据中选取组数据共有中情况：，，，，，，，，，，其中数字为月份的日期数，事件包含的基本事件有种，∴；根据所给数据求得，，，，所以关于的线性回归方程为x 当时，．19.【答案】解：由三角函数的定义得，，∴，∴原式．故所求值为.∵，，，故，∴，∵，∴，∴，∴(1)A 5210(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)12A 6P (A)=35(2)==12x ¯¯¯11+12+133==27y ¯¯¯25+30+263==2.5b ˆ−n ∑i=1n x i y i xy ¯¯¯¯¯−n ∑i=1n x 2i x ¯¯¯2=−=27−×12=−3a ˆy ¯¯¯b ˆx ¯¯¯52y x =x −3yˆ52x =14=×14−3=32yˆ52(1)cos α=−45sin α=35tan α==−sin αcos α34=1+sin 2α2α+2sin αcos αcos 2=(cos α+sin α)22cos α(cos α+sin α)=cos α+sin α2cos α=1+tan α2=−1238=1818(2)⋅=−OP −→−OQ −→−13=(cos α,sin α)OP −→−=(cos β,sin β)OQ −→−cos αcos β+sin αsin β=−13cos(α−β)=−130<β<a <π0<α−β<πsin(α−β)===1−(a −β)cos 2−−−−−−−−−−−−√1−19−−−−−√22–√3sin β=sin[(α−(α−β)]=sin αcos(α−β)−cos αsin(α−β)×(−)+×=2–√8−3–√.【考点】任意角的三角函数三角函数的恒等变换及化简求值三角函数中的恒等变换应用【解析】（1）由三角函数的定义得，∴原式．故所求值为.（2）∵，故，∴，∵，∴，∴，∴ . 【解答】解：由三角函数的定义得，，∴，∴原式．故所求值为.∵，，，故，∴，∵，∴，=×(−)+×=35134522–√38−32–√15cos α=−,sin α=4535=====1+sin 2α2α+2sin αcos αcos 2(cos α+sin α)22cos αcos α+sin α2cos α1+tan α2cos α1+tan α2=−=12381818⋅=−,=(cos α,sin α),=(cos β,sin β)OP −→−OQ −→−13OP −→−OQ −→−cos αcos β+sin αsin β=−13cos(α−β)=−130<β<a <π0<α−β<πsin(α−β)===1−(a −β)cos 2−−−−−−−−−−−−√1−19−−−−−√22–√3sin β=sin[(α−(α−β)]=sin αcos(α−β)−cos αsin(α−β)=×(())−×=35134522–√38−32–√15(1)cos α=−45sin α=35tan α==−sin αcos α34=1+sin 2α2α+2sin αcos αcos 2=(cos α+sin α)22cos α(cos α+sin α)=cos α+sin α2cos α=1+tan α2=−1238=1818(2)⋅=−OP −→−OQ −→−13=(cos α,sin α)OP −→−=(cos β,sin β)OQ −→−cos αcos β+sin αsin β=−13cos(α−β)=−130<β<a <π0<α−β<π(α−β)===−−−−−2–√∴，∴ . 20.【答案】解：当时，，，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．证明：，，因为，，所以在上单调递增.又因为，所以当时，，当时，，所以的最小值为．因为，所以在上存在一个零点.因为，知在上也存在一个零点，所以在上有两个零点．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】无无【解答】sin(α−β)===1−(a −β)cos 2−−−−−−−−−−−−√1−19−−−−−√22–√3sin β=sin[(α−(α−β)]=sin αcos(α−β)−cos αsin(α−β)=×(−)+×=35134522–√38−32–√15(1)m =0f(x)=x −ln x −3e x ∈(0,+∞)(x)=1−=f ′1x x −1x x >1(x)>0f ′0<x <1(x)<0f ′f(x)(0,1)(1,+∞)f(x =f(1)=1−)min 3e (2)h(x)=x −ln x −+m(x −1)ln x 3e (x)=m(ln x +1−)+1−h ′1x 1x m >0(x)=m(+)+>0h ′′1x 1x 21x 2(x)h ′(0,+∞)(1)=0h ′0<x <1(x)<0h ′x ≥1(x)≥0h ′h(x)h(1)=1−<03e h ()=>01e m(e −1)+e −2e h(x)(,1)1e x 1f(e)=m(e −1)+e −1−>03e h(x)(1,e)x 2h(x)(,e)1e(x)=x −ln x −3解：当时，，，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．证明：，，因为，，所以在上单调递增.又因为，所以当时，，当时，，所以的最小值为．因为，所以在上存在一个零点.因为，知在上也存在一个零点，所以在上有两个零点．21.【答案】解：由题意得的定义域为，. 当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减．证明：要证，即证，即证 . 令，则 . 易得在上单调递减，在上单调递增，(1)m =0f(x)=x −ln x −3e x ∈(0,+∞)(x)=1−=f ′1x x −1x x >1(x)>0f ′0<x <1(x)<0f ′f(x)(0,1)(1,+∞)f(x =f(1)=1−)min 3e (2)h(x)=x −ln x −+m(x −1)ln x 3e (x)=m(ln x +1−)+1−h ′1x 1x m >0(x)=m(+)+>0h ′′1x 1x 21x 2(x)h ′(0,+∞)(1)=0h ′0<x <1(x)<0h ′x ≥1(x)≥0h ′h(x)h(1)=1−<03e h ()=>01e m(e −1)+e −2e h(x)(,1)1e x 1f(e)=m(e −1)+e −1−>03e h(x)(1,e)x 2h(x)(,e)1e (1)f (x)(0,+∞)(x)=a +1+=f ′1x (a +1)x +1x a ≥−1(x)>0f ′f (x)(0,+∞)a <−1(x)>0f ′x <−1a +1(x)<0f ′x >−1a +1f (x)(0,−)1a +1(−,+∞)1a +1(2)+1+(a +1)x >f (x)2e x xe 2⋅>ln x 2e 2e x x ⋅>2e 2e x x 2ln x x g(x)=e x x 2(x)=g ′(x −2)e x x 3g(x)(0,2)(2,+∞)=g(2)=2令，则 . 所以在上单调递增，在上单调递减，所以 ．综上，即 . 【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】（1）由题意得，的定义域为， . 当时，恒成立，∴在上单调递增．当时，令，解得，令，解得，∴在上单调递增，在上单调递减．【解答】解：由题意得的定义域为，. 当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减．证明：要证，即证，即证 . 令，则 . 易得在上单调递减，在上单调递增，所以，h (x)=x (x)=h ′1−ln x x 2h (x)(0,e)(e,+∞)h =h (e)=<(x)max 1e 12⋅>2e 2e x x 2ln x x +1+(a +1)x >f (x)2e x xe 2f (x)(0,+∞)(x)=a +1+=f ′1x (a +1)x +1x a ≥−1(x)>0f ′f (x)(0,+∞)a <−1(x)>0f ′x <−1a +1(x)<0f ′x >−1a +1f (x)(0,−)1a +1(−,+∞)1a +1(1)f (x)(0,+∞)(x)=a +1+=f ′1x (a +1)x +1x a ≥−1(x)>0f ′f (x)(0,+∞)a <−1(x)>0f ′x <−1a +1(x)<0f ′x >−1a +1f (x)(0,−)1a +1(−,+∞)1a +1(2)+1+(a +1)x >f (x)2e x xe 2⋅>ln x 2e 2e x x ⋅>2e 2e x x 2ln x x g(x)=e x x 2(x)=g ′(x −2)e x x 3g(x)(0,2)(2,+∞)g =g(2)=(x)min e 24≥×=2则 . 所以在上单调递增，在上单调递减，所以 ．综上，即 . 22.【答案】解：曲线的参数方程是(为参数)，直线的参数方程是(为参数）.当时，直线的参数方程为(为参数），将其代入椭圆方程：化简得，由题意知 恒成立，，由参数的几何意义得.【考点】直线的参数方程椭圆的参数方程参数的意义【解析】此题暂无解析【解答】解：曲线的参数方程是(为参数)，直线的参数方程是(为参数）.当时，直线的参数方程为(为参数），将其代入椭圆方程：化简得，由题意知 恒成立，，(x)=h ′x 2h (x)(0,e)(e,+∞)h =h (e)=<(x)max 1e 12⋅>2e 2e x x 2ln x x +1+(a +1)x >f (x)2e x xe 2(1)C {x =2cos θy =4sin θθl {x =1+t cos αy =2+t sin αt (2)α=π3l x =1+，t 2y =2+t ，3–√2t +(4+2)t −8=074t 23–√Δ>0=−t 1t 2327|AM|⋅|BM|=|⋅|=t 1t 2327(1)C {x =2cos θy =4sin θθl {x =1+t cos αy =2+t sin αt (2)α=π3l x =1+，t 2y =2+t ，3–√2t +(4+2)t −8=074t 23–√Δ>0=−t 1t 2327AM|⋅|BM|=|⋅|=32由参数的几何意义得.23.【答案】解：当， 时，不等式，即，∴，∴ 或，解得或，∴不等式的解集为.，，当时，；当时， ；当时，，∵函数的最小值为，∴当时， ，可得 ，∴.【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】讨论去绝对值即可解出；，，对，分类讨论：利用一次函数的单调性及其函数的最小值为，可得：当时， ，即可得出．【解答】解：当， 时，不等式，即，∴，∴ 或，解得或，∴不等式的解集为.，，当时，；当时， ；|AM|⋅|BM|=|⋅|=t 1t 2327(1)a =1b =0f (x)≥3|x|+12|x +1|+|3x|≥3|x|+1|x +1|≥12x +1≥12x +1≤−12x ≥−12x ≤−32f(x)≥3|x|+1{x|x ≥−或x ≤−}1232(2)a >0b >0x ≥b 3f (x)=2(x +a)+(3x −b)=5x +2a −b −a ≤x <b 3f (x)=2(x +a)−(3x −b)=−x +2a +b x <−a f (x)=−2(x +a)−(3x −b)=−5x −2a +b f (x)2x =b 3f ()=+2a −b =2b 35b 36a +2b =63a +b =3(1)(2)a ＞0b ＞0a b 2x =b 3f ()=2b 3(1)a =1b =0f (x)≥3|x|+12|x +1|+|3x|≥3|x|+1|x +1|≥12x +1≥12x +1≤−12x ≥−12x ≤−32f(x)≥3|x|+1{x|x ≥−或x ≤−}1232(2)a >0b >0x ≥b 3f (x)=2(x +a)+(3x −b)=5x +2a −b −a ≤x <b 3f (x)=2(x +a)−(3x −b)=−x +2a +b f (x)=−2(x +a)−(3x −b)=−5x −2a +b当时，，∵函数的最小值为，∴当时， ，可得 ，∴.x <−a f (x)=−2(x +a)−(3x −b)=−5x −2a +b f (x)2x =b 3f ()=+2a −b =2b 35b 36a +2b =63a +b =3。
2022-2023学年人教A版高三上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：75 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 设集合，，则( )A.）B.C.D.）2. 设，则的虚部为( )A.B.C.D.3. 新中国成立周年之际，社会各界以多种形式的庆祝活动祝福祖国，其中，“快手”因其独特新颖的传播方式吸引了大众眼球．根据某平台的大数据，关注“快手”系列活动的网民群体的年龄比例构成，及男女性别的比例构成如图所示，则下面相关结论中不正确的是( )A.岁以下网民群体超过总数的B.岁网民中的女性人数一定比岁网民中的男性人数多A ={x|y =}x −√B ={x|−1<2x <4}A ∩B =[0,2(0,2)(−,2)12[0,4(3+2i)z =2z −413613−i 413413703570%25∼3535∼45C.该网民群体年龄的中位数在之间D.男性网民人数多于女性网民人数4. 已知，都是实数，则“”是“”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5. 已知函数的最小正周期为，且，则A.在上单调递减B.在上单调递增C.在上单调递增D.在上单调递减6. 已知函数＝的图象在（）处的切线经过坐标原点，则函数＝的最小值为（ ）A.B.C.D.7.对于函数.①在上递增②的图象关于对称15∼25a b ln<ln 1a 1b>a 2b 2f(x)=sin(ωx +φ)+cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<)3–√π2πf(−x)=f(x)π3()f(x)(0,)π2f(x)(，)π62π3f(x)(0,)π2f(x)(，)π62π3f(x)+a ln x x 21,f(1)y f(x)+ln 21y =sin 2x f(x)(,)π4π2f(x)(0,0)f(x)f(π+x)=f(x)③满足④的对称轴为其中正确的命题是( )A.②③B.①②③C.①③④D.②③④8. 等差数列中，已知，，，则的值为（ ）A.B.C.D.9. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于点，，与抛物线的准线交于点，若：，则( )A.B.C.D.10. 某班班会准备从甲、乙等名学生中选派名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为 （ ）A.B.C.D.11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）f(x)f(π+x)=f(x)f(x)x =kπ−,k ∈Zπ4{}a n =a 113+=4a 2a 5=33a n n 48495051C :=4x y 2F C A B CD |AF||BF|:|BD|=7:2:m m =185145575974360520600720A.B.C.D. 12. 已知，，，则，，之间的大小关系为（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13. （5分） 已知双曲线，离心率．点在右支上，过的直线交双曲线的渐近线于两点（分别在第一、四象限），为坐标原点．当时，的面积为，则双曲线的方程是________．三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ） 14. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题①.② .③.设的内角，，的对边分别为，，且________（填序号）.求角的大小；2232338253a =ln 3+13b =2e c =ln 2+1214a b c a <b <ca <c <bc <a <bb <c <aC ：−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2e =5–√P P l A ，B A ，B O =AP −→−12PB −→−△AOB 18b sin A =a cos B 3–√(a +b +c)(a −b +c)=3ac 1−cos 2B =2sin 2A +C 2△ABC A B C a b c (1)B (2)b =3sin C =2sin A若，求，的值.15. 已知正实数，，且满足．解关于的不等式；证明：．(2)b =3sin C =2sin A a c x y x +y =1(1)x |x +2y|+|x −y|≤52(2)(−1)(−1)≥91x 21y 2参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】化简集合，，然后求交集即可．【解答】解：，，∴.故选.2.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，所以的虚部为．故选．3.【答案】A B A ={x|x ≥0}B ={x|−<x <2}12A ∩B =[0,2)A (3+2i)z =2z ===−i23+2i 2(3−2i)(3+2i)(3−2i)613413z −413AB【考点】扇形统计图频率分布直方图【解析】答案未提供解析．【解答】解：对于，依题意可得，岁以下网民群体所占比例为，故正确；对于．答案无法判断，故错误；对于．因为岁以下所占比例为，岁以下所占比例为，故该网民群体年龄的中位数在之间，故正确；对于，由男女比例构成图可得男性所占比例为，故正确．故选.4.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：，∴，∴．而得到，∴是的充分不必要条件.故选.5.【答案】D【考点】函数的对称性A 3574%AB BC 1523%2554%15∼25CD 55%D B ∵ln<ln 1a 1b 0<<1a 1b a >b >0>a 2b 2|a|>|b|ln <1a 1b >a 2b 2B三角函数的周期性及其求法函数的单调性及单调区间【解析】利用辅助角公式化简，根据周期为求解，，可知对称轴，求解．结合三角函数的单调性判断即可．【解答】解：函数，∵的最小正周期为，即，∴，则，又∵，可知对称轴，∴，即，．∵，可得：．则．求解单调递减区间：令，可得：．故选.6.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出函数在（）处的切线方程，代入原点坐标求解，得到函数解析式，再由导数分析单调性，即可求得函数的最小值．【解答】由＝，得＝，πωf(−x)=f(x)π3x =π6φf(x)=sin(ωx +φ)+cos(ωx +φ)3–√=2sin(ωx +φ+)π3f(x)π=π2πωω=2f(x)=2sin(2x +φ+)π3f(−x)=f(x)π3x =π62sin(2×+φ+)=±2π6π3+φ=+kπ2π3π2k ∈Z −≤φ≤π2π2φ=−π6f(x)=2sin(2x +)π6+2kπ≤2x +≤+2kππ2π63π2kπ+≤x ≤kπ+π62π3D 1,f(1)a f(x)+a ln x x 2f'(x)2x+f'(1)f(1)∴＝，又＝，∴函数＝的图象在（）处的切线方程为＝，把代入，即＝．∴＝，得＝＝，当，）时，当（，，∴在，）上单调递减，上单调递增，则＝．故选：．7.【答案】A【考点】正弦函数的对称性正弦函数的单调性正弦函数的奇偶性正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：对于函数，①,∴函数在上是递减的，命题错误；②函数的图象关于原点对称，命题正确；③函数的最小正周期为，∴,命题正确；④的对称轴为，命题错误.故正确答案为：②③.故选.f'(1)6+a f(1)1f(x)+a ln x x 24,f(1)y −1(2+a)(x −5)O(0,0)a −5f(x)−ln x x 2f'(x)2x−x ∈(0x ∈f'(x)>2f(x)(0+∞)C f(x)=sin 2x ∵x ∈(,),∴2x ∈(,π)π4π2π2f(x)(,)π4π2∵f(0)=0,∴f(x)T ==π,∴2π2f(x)πf(π+x)=f(x)f(x)x =kπ+π4k ∈Z A8.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出，进而写出的表达式，然后令，解方程即可．【解答】解：设的公差为，∵，，∴，即，解得．∴等差数列的通项公式为，令，即，解得．故选．9.【答案】A【考点】抛物线的性质抛物线的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，从，分别向准线作垂线，垂足分别为，，从向作垂线，垂足为，由题意，设，则，所以，d a n =33a n {}a n d =a 113+=4a 2a 5+d ++4d =41313+5d =423d =23{}a n =+(n −1)=n −a n 13232313=33a n n −=332313n =50C A B E C B AE H |BF|=|BG|=2t |AF|=|AE|=7t |AH|=7t −2t =5t cos ∠DBG =cos ∠FAH ===,|AH||AB|5t 9t 59=cos ∠DBG ==9|BF||BG|，所以.故选.10.【答案】D【考点】排列、组合的应用【解析】根据题意，分种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有种情况；若甲乙两人都参加，有种情况，则不同的发言顺序种数种，故选：．11.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】本题考查三视图==cos ∠DBG ==9|BF||BD||BG||BD|2m m =185A 22⋅⋅=480C 12C 35A 44⋅⋅=240C 22C 25A 44480+240=720D思路还原立体图，再求立体图形的体积【解答】解：依题意，题中的几何体是从一个棱长为的正方体中截去三棱锥 （其中点，分别是棱的中点）后所剩余的部分，因此其体积等于.故选．12.【答案】C【考点】对数值大小的比较利用导数研究函数的单调性【解析】设，利用导数判断其单调性，即可求解【解答】解：设，则，其定义域为，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减．因为，所以，故，即，所以.2ABCD −A 1B 1C 1D 1B −EF B 1E F ,B 1C 1A 1B 1−×(×)×2=23131212233B f (x)=ln x +1x f (x)=ln x +1x (x)=f ′−ln x x 2(0,+∞)x ∈(0,1)(x)>0f ′x ∈(1,+∞)(x)<0f ′f (x)(0,1)(1,+∞)1<e <3<4f (4)<f (3)<f (e)<<ln 4+14ln 3+13ln e +1e ln 2+<<1214ln 3+132e c <a <b C故选．二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.【答案】【考点】双曲线的特性【解析】此题暂无解析【解答】解：过点分别作轴的垂线，垂足分别为点，双曲线的渐近线方程为，则设，，．由，得，所以即因为点在双曲线上，所以，化简得．因为，所以，①．由，得，②．联立①②，解得，所以该双曲线的方程为．C −=1x 28y 232A ，B yC ，D y =±x b a A (,)(>0)x 1b a x 1x 1B (,−)(>0)x 2b a x 2x 2P(,)x 0y 0=AP −→−12PB −→−(−,−)=(−,−−)x 0x 1y 0b a x 112x 2x 0b a x 2y 0 −=(−)，x 0x 112x 2x 0−=(−−)，y 0b a x 112b a x 2y 0 =，x 02+x 1x 23=⋅．y 0b a 2−x 1x 23P −=1()2+x 1x 232a 2(⋅)b a 2−x 1x 232b 2=x 1x 298a 2=−−=⋅(+)−S △AOB S 四边形ACDB S △AOC S △DOB +x 1x 22b a x 1b a x 2⋅−⋅==⋅=1812x 1b a x 112x 2b a x 2b a x 1x 2b a 98a 2ab =16e ===c a 1+()b a 2−−−−−−−−√5–√=2b a a =2，b =42–√2–√−=1x 28y 232=122故答案为：．三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）14.【答案】解：选①∵，由正弦定理，得，在中，，即得，∵，∴．选②得，∴，又∵，∴；选③由得，∴，即，∴ （舍），∴ ．∵，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，解得，∴．【考点】余弦定理正弦定理解三角形【解析】无无【解答】解：选①∵，由正弦定理，得，在中，，即得，−=1x 28y 232(1)b sin A =a cos B 3–√sin B sin A =sin A cos B 3–√△ABC sin A ≠0tan B =3–√B ∈(0,π)B =π3+−=aca 2c 2b 2cos B =12B ∈(0,π)B =π31−cos 2B =2sin 2A +C 21−2=cos 2B sin 2A +C 2cos(A +C)=−cos B =2B −1cos 22B +cos B −1=0cos 2cos B =,cos B =−112B =π3(2)sin C =2sin A c =2a =+−2ac cos B b 2a 2c 29=+4=2a ⋅2a cos a 2a 2π3a =3–√c =2a =23–√(1)b sin A =a cos B 3–√sin B sin A =sin A cos B 3–√△ABC sin A ≠0tan B =3–√B ∈(0,π)∵，∴．选②得，∴，又∵，∴；选③由得，∴，即，∴ （舍），∴ ．∵，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，解得，∴．15.【答案】解：∵，且，∴解得，不等式的解集为．证明：∵，且，，∴．当且仅当时，等号成立．【考点】B ∈(0,π)B =π3+−=ac a 2c 2b 2cos B =12B ∈(0,π)B =π31−cos 2B =2sin 2A +C 21−2=cos 2B sin 2A +C 2cos(A +C)=−cos B =2B −1cos 22B +cos B −1=0cos 2cos B =,cos B =−112B =π3(2)sin C =2sin A c =2a =+−2ac cos B b 2a 2c 29=+4=2a ⋅2a cos a 2a 2π3a =3–√c =2a =23–√(1)x +y =1x >0,y >0|x +2y|+|x −y|≤ {520<x <1,|2−x|+|2x −1|≤，52 {0<x <1,|2x −1|≤+x ，12 0<x <1，−(+x)≤2x −1≤+x,1212≤x <116∴[,1)16(2)x +y =1x >0y >0(−1)(−1)=⋅1x 21y 2(x +y −)2x 2x 2(x +y −)2y 2y 2=⋅2xy +y 2x 22xy +x 2y 2=(+)(+)2y x y 2x 22x y x 2y 2=++5≥2+5=92x y 2y x ⋅2x y 2y x−−−−−−−√x =y =12绝对值不等式基本不等式【解析】无无【解答】解：∵，且，∴解得，不等式的解集为．证明：∵，且，，∴．当且仅当时，等号成立．(1)x +y =1x >0,y >0|x +2y|+|x −y|≤ {520<x <1,|2−x|+|2x −1|≤，52{0<x <1,|2x −1|≤+x ，120<x <1，−(+x)≤2x −1≤+x,1212≤x <116∴[,1)16(2)x +y =1x >0y >0(−1)(−1)=⋅1x 21y 2(x +y −)2x 2x 2(x +y −)2y 2y 2=⋅2xy +y 2x 22xy +x 2y 2=(+)(+)2y x y 2x 22x y x 2y 2=++5≥2+5=92x y 2y x ⋅2x y 2y x−−−−−−−√x =y =12。
安徽省合肥皖智高考复读学校高三数学上学期第二次半月考试试题 理 新人教A版
合肥皖智高复学校2013~2014学年上学期第二次半月考数学（理科）试题第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N =I ( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2] 2.函数y=x ln(1-x)的定义域为A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]3. 22, 1()1log , 12x x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若1()2f a ≤，则实数a 应满足（ ） A. 1a = B. 1a ≤ C. 1a ≥ D. a R ∈且1a ≠ 4.给定两个命题p ,q .若p ⌝是q 的必要而不充分条件,则p 是q ⌝的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D 既不充分也不必要条件 5. 设命题p:函数sin 2y x =的最小正周期为2π;命题q:函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是 （ ）A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真6.已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示,则(2)y f x =--的图像为7.下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>>B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈C ．212||()x x x R +≥∈D ．211()1x R x >∈+ 8.在下面哪个区间内函数243y x x =-+与函数ln 2y x x =-都为减函数（ ）A. (,2)-∞B. (0)e ，C. 1(,2)2D. (),e +∞ 9. 函数1()ln1x f x x-=+是定义在(,)a b 内的奇函数，则2b b a ++的取值范围为（ ） A. [0,1) B. (0,1) C. (0,1] D. [0,1]10.设函数()x f x e x a =+-(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )(A)[1,]e (B)1[,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1[-1,1]e e -+二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11.方程1313313x x-+=-的实数解为________ 12.若集合2{|2cos 22,},{|1,},x A x x x R B y y y R π==∈==∈则A B =I . 13. 函数2222(1)mm y m m x --=--是幂函数，且在(0)x ∈+∞，上为增函数，则实数m 的值为 .14.设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++,若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为________15.定义“正对数”:0,01,ln ln ,1,x x x x +<<⎧=⎨≥⎩现有四个命题:①若0,0a b >>,则ln ()ln ba b a ++=;②若0,0a b >>,则ln ()ln ln ab a b +++=+③若0,0a b >>,则ln ()ln ln a a b b+++≥-④若0,0a b >>,则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的编号)三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分） 已知27{|9},{|0},{||2|4}1x A x x B x C x x x -=>=≥=-<+ (1);(2)()U A B A B C ⋂⋂⋂求求ð。
2022-2023学年人教A版高三上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：108 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1. 已知命题：“存在，使得”，则下列说法正确的是（ ）A.￢：“任意，使得”B.￢：“不存在，使得”C.￢：“任意，使得”D.￢：“任意，使得”2. 已知集合，则( )A.B.C.D.3. 已知函数是定义域为上的奇函数，且，则函数的解析式为________．4. 已知函数的导函数为，且满足，则( )A.B.C.D.5. 已知，，，则（ ）P ∈[1,+∞)x 0(lo 3>1g 2)x 0P x ∈[1,+∞)(lo 3<1g 2)x 0P ∈[1,+∞)x 0(lo 3<1g 2)x 0P x ∈[1,+∞)(lo 3≤1g 2)x 0P x ∈(−∞,1)(lo 3≤1g 2)x 0U ={x ∈Z|0≤x <7},A ={1,2,3},B ={5,4,3,2,1}A ∩B =∁U ∅{1,2,3}{1,2,3,4,5}{0,1,2,3,6}f(x)=ax +b 1+x 2[−1,1]f(1)=12f(x)f(x)(x)f ′f(x)=2x (1)+ln xf ′(1)=f ′−e1−1ea =312b =3log 12c =()123a >b >cA.B.C.D.6. 已知函数＝．若＝，＝，＝，，，则，，的大小关系为（ ）A.B.C.D.7. 函数在上的图像大致为( )A.B.C.a >b >cc >a >bc >b >aa >c >bf(x)|x |−1log 2a f(−4)b f()2sin θc 2f （sin θ）θ≠kπ2k ∈Z a b c a >b >cc >b >aa >c >bb >a >cf (x)=−sin x x 3[−1,1]D.8. 四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（ ）A.种B.种C.种D.种9. 新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育体育局对各市直学校下发了有关疫情防控通知．某学校按市局通知要求，制定了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施．高三年级一层楼有，，，，，六个班排队吃饭，班必须排在第一位，且班、班不能排在一起，则这六个班排队吃饭的不同方案共有（ ）A.种B.种C.种D.种10. 六个人排队，甲、乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为( )A.B.C.D.11. 已知函数是定义域为的奇函数，且满足，给出下列结论：①函数的图象关于直线对称；②；③函数的最小正周期为；④若函数在区间上单调递增，且，则不等式的解集为；其中正确的个数为( )8101216A B C D E F A D E 2056724076016136014f (x)R f (4−x)=f (4+x)f (x)x =4f (8)=0f (x)16f (x)[0,4]f (−2)=−2f (x)>2(2+16k,6+16k)(k ∈Z)A.B.C.D.12. 已知函数的定义域为，，若对，，则不等式的解集为( )A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 已知集合，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．14. 的展开式中，的系数是________．（用数字填写答案）16. 已知函数的导数为，且函数的图象关于直线对称，给出下列个命题：①；②；③函数的单调增区间是，单调减区间是；④函数的极大值是，极小值是；⑤函数的零点有个．其中正确的命题为________．（请填写所有正确命题的序号）三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 17. 已知函数.求曲线的斜率为的切线方程;当时，求证：;18. 某学校有学生人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了名学生对本校食堂1423f(x)R f(−2)=−2∀x ∈R (x)<3f ′f(x)>3x +4(0,+∞)(2,+∞)(−∞，0)(−∞,−2)A ={x|2<<8}2xB ={x|−1<x <m +2}x ∈B x ∈A m (3−2x −1x 2)5x 2f (x)=2+a +bx +1x 3x 2(x)f ′y =(x)f ′x =−12(1)=0.f ′5a =3,b =−12a =3,b =12f (x)(−∞,−2),(1,+∞)(−2,1)f (x)f (−2)=21f (1)=−6f (x)3f(x)=−+x 14x 3x 2(1)y =f(x)1(2)x ∈[−2,4]x −6≤f(x)≤x 1000100服务满意程度打分，根据这名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，.求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于分的人数；若打分的平均值不低于分视为满意，判断该校学生对食堂服务是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；若采用分层抽样的方法，从打分在的受访学生中随机抽取人了解情况，再从中选取人进行跟踪分析，求这人至少有一人评分在的概率. 19. 已知等比数列的公比 ，且的等差中项为， .求数列的通项公式；设，求数列的前项和 . 20. 如图（），在平面五边形中，，＝，＝，＝，是边长为的正三角形．现将沿折起，得到四棱锥（如图（）），且．（1）求证：；（2）求平面和平面所成锐二面角的大小；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数 当曲线在时的切线与直线平行，求曲线在处的切线方程；求函数的极值，并求当有极大值且极大值为正数时，实数的取值范围.22. 在平面直角坐标系中，直线的普通方程是，曲线的参数方程是（为参数）．在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程是．写出及的极坐标方程；100[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100](1)a 70(2)75(3)[40,60)522[40,50){}a n q >1,a 1a 35=4a 2(1){}a n (2)=b n n a n {}b n n S n 1ABCDE AB //CD ∠BAD 90∘AB 2CD 1△ADE 2△ADE AD E −ABCD 2DE ⊥AB 平面ADE ⊥平面ABCD BCE ADE AE F DF//BCE EF EA f(x)=a ln x −+(a −2)x −.x 2a 24(1)f(x)x =3y =−4x +1f(x)(1,f(1))(2)f(x)f(x)a xOy l y =x tan α(<α<π)π2C 1{ x =a +a cos φ，y =a sin φφO x C 2ρ=2b sin θ(1)l C 1=1已知，，与交于，两点，与交于，两点，求的最大值．(2)a =12b =1l C 1O M l C 2O N 2|OM +|OM ||ON ||2参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1.【答案】C【考点】命题的否定【解析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“存在，使得”，￢：“任意，使得”．2.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出全集，，与求交集即可.【解答】解：根据题意可得：，,则.因为，所以.故选.3.【答案】【考点】P ∈[1,+∞)x 0(lo 3>1g 2)x 0P x ∈[1,+∞)(lo 3≤1g 2)x 0U B C U A U ={0,1,2,3,4,5,6}B ={5,4,3,2,1}B ={0,6}∁U A ={1,2,3}A ∩B =∅∁U A函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】常用函数的导数函数的求值【解析】本题考查常用函数的导数.【解答】解：由，得，则.故选.5.【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】【解答】解：因为，，，所以.故选．6.f(x)=2x (1)+ln x f ′(x)=2(1)+f ′f ′1x (1)=2(1)+⇒(1)=−1f ′f ′11f ′C a ==>13123–√b =3=−3<0log 12log20<c =<1()123a >c >b D【答案】C【考点】复合函数的单调性【解析】根据已知函数＝．结合正弦函数和指数函数的图象和性质，分析，，的范围，可得答案．【解答】∵函数＝．∴＝＝＝＝，＝＝＝＝，＝，故，7.【答案】C【考点】函数的图象【解析】分别计算与 的值，并与比较大小，即可得解．【解答】解：，排除选项和；又，排除选项．故选．8.【答案】C【考点】分步乘法计数原理【解析】f(x)|x |−1log 2a b c f(x)|x |−1log 2a f(−4)|−4|−1log 24−1log 21b f()2sin θ||−1log 22sin θ()−1log 22sin θsin θ−1∈(−2,0)c ==∈(0,)2f （sin θ）2|sin θ|−1log 2|sin θ|212a >c >b f(1)f ()π60∵f(1)=1−sin 1>0∴A D f ()=−sin =−<0π6()π63π6()π6312∴B C利用列表法，列出四支球队冠、亚军的不同结果，即可根据列举出的表格找出所有的结果总数．【解答】解：根据题意，列表得：冠军亚军∴四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有种不同的结果．故选．9.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，将除外的个班级安排在后面的个位置即可，由此分步进行分析：①将，，三个班级全排列，排好后有个空位，②在个空位中选出个，安排班、班，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，班必须排在第一位，剩下个班级安排在后面的个位置即可，分步进行分析：①将，，三个班级全排列，排好后有个空位，有种排法，②在个空位中选出个，安排班，班，有种排法，则有种不同的方案.故选．10.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题古典概型及其概率计算公式【解析】无【解答】解：六个人排队共有（种）排法，丙在第一位的排法有（种），A A AB B BC C CD D D B C D A C D A B D A B C 12C A 552B C F 442DE A 552B CF 4=6A 3342D E =12A 246×12=72C =720A 66=72A 33A 24+=84C 1A 4C 1A 2A 2丙在第二位的排法有（种），所以甲、乙不能排在一起，丙必须排在前两位的概率为．故选．11.【答案】D【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由是定义域为的奇函数，可得，，由可得函数的图象关于对称，①正确；且，∴，∴，②正确；∴，∴，∴可以是周期函数，是的一个周期，但不一定是最小正周期，如是奇函数，且满足，但其最小正周期为，③错误；若函数在区间上单调递增，则在上单调递增，在上单调递减，由，得，结合周期性可知，若，则，④正确．故选.12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】+=84C 12A 44C 13A 22A 23P ==72+847201360C f (x)R f (−x)=−f (x)f (0)=0f (4−x)=f (4+x)y =f (x)x =4f (8−x)=f (x)=−f (−x)f (8+x)=−f (x)f (8)=−f (0)=0f [8+(8+x)]=−f (8+x)=f (x)f (x +16)=f (x)f (x)16f (x)f (x)=sin 3πx 8f (4+x)=f (4−x)163f (x)[0,4]f (x)[−4,4][4,12]f (−2)=−2f (2)=f (6)=2f (x)>22+16k <x <6+16k (k ∈Z)D解：令，则，∴在上单调递减，又，∴，∴不等式可化为，∴.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13.【答案】【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】【考点】二项展开式的特定项与特定系数二项式系数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：，其展开式的通项公式为，，，，，，；当时，，其中含的系数为；当时，，其中含的系数为g(x)=f(x)−3x −4(x)=(x)−3<0g ′f ′g(x)R f(−2)=−2g(−2)=f(−2)+6−4=0f(x)>3x +4g(x)>g(−2)x <−2D −25(3−2x −1=[3+(−2x −1)x 2)5x 2]5=(3⋅(−2x −1T r+1C r 5x 2)5−r )r r =012345r =4=⋅3⋅(−2x −1T 5C 45x 2)4x 23⋅(−2⋅(−1=15C 45C 44)0)4r =5=(−2x −1T 6C 55)5x 2所以的展开式中，的系数是．故答案为：．15.【答案】【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线的斜率【解析】先求出圆＝的圆心，半径＝，再求出圆心到直线的距离，从而得到直线被圆所截得的弦的长度，由此能求出的值．【解答】∵圆＝的圆心，半径＝，圆心到直线＝的距离，被圆所截得的弦的长度＝，圆心到直线＝的距离，被圆所截得的弦的长度＝，∵，被圆所截得的弦的长度之比为，∴，∴，解得．16.【答案】①③④⑤【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值(3−2x −1x 2)5x 215−40=−25−25±2–√C :+(y −2x 2)24C(0,2)r 2C k C :+(y −2x 2)24C(0,2)r 2C(0,2):y l 1x ==d 1|−2|2–√2–√l 1C l 12=2=2−r 2d 12−−−−−−−√4−2−−−−√2–√C(0,2):y l 2kx −1==d 2|0−2−1|+1k 2−−−−−√3+1k 2−−−−−√l 2C l 22=2−r 2d 22−−−−−−−√4−9+1k 2−−−−−−−−−√l 1l 2C :12–√2:2=:12–√4−9+1k 2−−−−−−−−−√2–√=14−9+1k 2−−−−−−−−−√k =±2–√此题暂无解析【解答】解：由已知，，即，所以，即，又，即，得，因此，①正确，②不正确；由上可知，，，令，即，解得或，由，得函数的单调增区间是：，，由，得函数的单调递减区间是，因此，③正确；进一步可知，函数的极大值，极小值是，因此④正确；通过函数的图象可知⑤正确．综上知，答案为①③④⑤．故答案为：①③④⑤．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17.【答案】解： ,令，解得或 ,又， ,∴切点坐标分别为，,所求切线方程为和.证明：令，,令，解得或，随的变化情况如下表：在上的最大值为，最小值为，，即.(x)=6+2ax +b f ′x 2(x)=6+b −f ′(x +)a 62a 26−=−a 612a =3(1)=0f ′6+2a +b =0b =−12f (x)=2+3−12x +1x 3x 2(x)=6+6x −12=6(x −1)(x +2)f ′x 2(x)=0f ′6(x −1)(x +2)=0x =−2x =1(x)>0f ′(−∞,−2)(1,+∞)(x)<0f ′(−2,1)f (−2)=21f (1)=−6(1)(x)=−2x +1,x ∈R f ′34x 2(x)=1f ′x =083f(0)=0f()=83827(0,0)(,)83827∴y =x y =x −6427(2)g(x)=f(x)−x =−,x ∈R 14x 3x 2(x)=−2x g ′34x 2(x)=0g ′x =083(x),g(x)g ′x ∴g(−2)=−6,g(0)=0,g()=−，g(4)=0,836427∴g(x)[−2,4]g(0)=g(4)=0g(−2)=−6∴−6≤g(x)≤0x −6≤f(x)≤x利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解： ,令，解得或 ,又， ,∴切点坐标分别为，,所求切线方程为和.证明：令，,令，解得或，随的变化情况如下表：在上的最大值为，最小值为，，即.18.【答案】解：由频率分布直方图可知，，解得，该校学生满意度打分不低于分的人数为（人）．由题意，得打分平均值，所以该校学生对食堂服务满意．由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为和，抽取的人采用分层抽样的方法，在内的人数为人，在内的人数为人．设内的人打分分别为，，内的人打分分别为，，，则从的受访学生中随机抽取人，(1)(x)=−2x +1,x ∈R f ′34x 2(x)=1f ′x =083f(0)=0f()=83827(0,0)(,)83827∴y =x y =x −6427(2)g(x)=f(x)−x =−,x ∈R 14x 3x 2(x)=−2x g ′34x 2(x)=0g ′x =083(x),g(x)g ′x ∴g(−2)=−6,g(0)=0,g()=−，g(4)=0,836427∴g(x)[−2,4]g(0)=g(4)=0g(−2)=−6∴−6≤g(x)≤0x −6≤f(x)≤x (1)(0.004+a +0.018+0.022×2+0.028)×10=1a =0.006701000×(0.28+0.22+0.18)=680(2)=45×0.04+55×0.06+65×0.22x ¯¯¯+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2>75(3)[40.50)[50,60)0.040.065[40,50)2[50.60)3[40,50)2a 1a 2[50,60)3A 1A 2A 3[40,60)2，，，，，，共种，其中两人都在内的可能结果为，，，则这人至少有一人打分在的概率.【考点】频率分布直方图众数、中位数、平均数、百分位数列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】（1）由频率分布直方图中所有频率的和为可计算出④值，求出不低于分的频率可估计出人数；（2）取各组数据中点值为估计值乘以频率相加可得平均值，从而得结论；（3）由频率得抽取的人中在和上的人数，分别编号后用列举法写出所有基本事件，并得出两人都在内的可能结果从而结合对立事件的概率公式可得结论．【解答】解：由频率分布直方图可知，，解得，该校学生满意度打分不低于分的人数为（人）．由题意，得打分平均值，所以该校学生对食堂服务满意．由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为和，抽取的人采用分层抽样的方法，在内的人数为人，在内的人数为人．设内的人打分分别为，，内的人打分分别为，，，则从的受访学生中随机抽取人，人打分的基本事件有，，，，，，，，，共种，其中两人都在内的可能结果为，，，则这人至少有一人打分在的概率.19.【答案】解：由题意可得：∴．(,)a 1A 3(,)a 2A 1(,)a 2A 2(,)a 2A 3(,)A 1A 2(,)A 1A 3(,)A 2A 310[50,60)(,)A 1A 2(,)A 1A 3(,)A 2A 32[40,50)P =1−=3107101705[40,50)[50.60)[50.60)(1)(0.004+a +0.018+0.022×2+0.028)×10=1a =0.006701000×(0.28+0.22+0.18)=680(2)=45×0.04+55×0.06+65×0.22x ¯¯¯+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2>75(3)[40.50)[50,60)0.040.065[40,50)2[50.60)3[40,50)2a 1a 2[50,60)3A 1A 2A 3[40,60)22(,)a 1a 2(,)a 1A 1(,)a 1A 2(,)a 1A 3(,)a 2A 1(,)a 2A 2(,)a 2A 3(,)A 1A 2(,)A 1A 3(,)A 2A 310[50,60)(,)A 1A 2(,)A 1A 3(,)A 2A 32[40,50)P =1−=310710(1){(1+)=10,a 1q 2q =4,a 12∴ 数列的通项公式为．，∴，，上述两式相减可得． ∴． 【考点】等比数列的通项公式等差中项数列的求和【解析】无无【解答】解：由题意可得：∴．∵，∴ 数列的通项公式为．，∴，，上述两式相减可得． ∴． 20.{=2,a 1q =2,∴{}a n =(n ∈)a n 2n N ∗(2)=b n n 2n =+++⋯+S n 12222323n 2n =++⋯++12S n 122223n −12n n 2n+1=++++⋯12S n 12122123124−12n n 2n+1=1++++⋯−S n 12112212312n−1=−n 2n 1−12n 1−12n 2n =2−n +22n (1){(1+)=10,a 1q 2q =4,a 12−5q +2=0q 2q >1{=2,a 1q =2,∴{}a n =(n ∈)a n 2n N ∗(2)=b n n 2n =+++⋯+S n 12222323n 2n =++⋯++12S n 122223n −12n n 2n+1=++++⋯12S n 12122123124−12n n 2n+1=1++++⋯−S n 12112212312n−1=−n 2n 1−12n 1−12n 2n =2−n +22n（1）证明：由已知得，,又＝，平面．又平面，∵平面平面．（2）解：设的中点为，连结．∵是正三角形，∴．又∵ 平面平面，平面平面，平面，∴平面．以为坐标原点，所在的直线为轴，在平面内过点 且垂直于的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由已知得，，．则，．设平面的法向量．则即令，则，．又平面的一个法向量，．∴平面和平面所成的锐二面角大小为．（3）解：在棱上存在点，使得平面，此时．理由如下：设的中点为，连结，，当，有，．又∵，且，∴，且＝，∴四边形是平行四边形，∴．AB ⊥AD AB ⊥DE AD ∩DE D ∴AB ⊥ADE AB ⊂ABCD ADE ⊥ABCD AD O EO △ADE EO ⊥AD ADE ⊥ABCD ADE∩ABCD =AD EO ⊂ADE EO ⊥ABCD O OA y ABCD O AD x OE z O −xyz E(0,0,)3–√B(1,2,0)C(1,−1,0)=(−1,1,)CE −→−3–√=(1,2,0)CB −→−BCE =(x,y,z)m →⋅=0,m →CE −→−⋅=0,m →CB −→−{−x +y +z =0,3–√x +2y =0.y =1x =−2z =−3–√∴=(−2,1,)m →3–√ADE =(1,0,0)n →∴cos , ==−m →n →⋅m →n →∣∣m →∣∣∣∣n →∣∣2–√2BCE ADE π4AE F DF//BCE =EF EA 12BE G CG FG =EF EA 12FG //AB FG =AB 12AB //CD CD =AB 12FG //CD FG CD CDFG DF //CG∴平面．【考点】用空间向量求平面间的夹角平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】（1）证明：由已知得，,又＝，平面．又平面，∵平面平面．（2）解：设的中点为，连结．∵是正三角形，∴．又∵ 平面平面，平面平面，平面，∴平面．以为坐标原点，所在的直线为轴，在平面内过点 且垂直于的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由已知得，，．则，．设平面的法向量．则即令，则，．又平面的一个法向量，DF //BCE AB ⊥AD AB ⊥DE AD ∩DE D ∴AB ⊥ADE AB ⊂ABCD ADE ⊥ABCD AD O EO △ADE EO ⊥AD ADE ⊥ABCD ADE∩ABCD =AD EO ⊂ADE EO ⊥ABCD O OA y ABCD O AD x OE z O −xyz E(0,0,)3–√B(1,2,0)C(1,−1,0)=(−1,1,)CE −→−3–√=(1,2,0)CB −→−BCE =(x,y,z)m → ⋅=0,m →CE −→−⋅=0,m →CB −→−{−x +y +z =0,3–√x +2y =0.y =1x =−2z =−3–√∴=(−2,1,)m →3–√ADE =(1,0,0)n →．∴平面和平面所成的锐二面角大小为．（3）解：在棱上存在点，使得平面，此时．理由如下：设的中点为，连结，，当，有，．又∵，且，∴，且＝，∴四边形是平行四边形，∴．又∵平面，且平面，∴平面．21.【答案】解：，由，得.当时，，，曲线 在处的切线方程为，即.，当时，，所以在上递减，无极值；当时，由，得.随的变化的变化情况如下表：极大值故有极大值，无极小值，∴cos , ==−m →n →⋅m →n →∣∣m →∣∣∣∣n →∣∣2–√2BCE ADE π4AE F DF//BCE =EF EA 12BE G CG FG =EF EA 12FG //AB FG =AB 12AB //CD CD =AB 12FG //CD FG CD CDFG DF //CG CG ⊂BCE DF ⊂BCE DF //BCE (1)(x)=−2x +a −2f ′a x (3)=−2×3+a −2=−4f ′a 3a =3x =1f(1)=−+(3−2)×1−=−1232494(1)=−2×1+3−2=2f ′31f(x)(1,f(1))y +=2(x −1)948x −4y −17=0(2)(x)=−2x +a −2=f ′a x −(2x −a)(x +1)x①a ≤0(x)≤0f ′f(x)(0,+∞)f(x)②a >0(x)=0f ′x =a 2x (x),f(x)f ′x (0,)a 2a 2(,+∞)a 2(x)f ′+0−f(x)↗↘f(x)，由,∵，∴，∴当的极大值为正数时，实数的取值范围为.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：，由，得.当时，，，曲线 在处的切线方程为，即.，当时，，所以在上递减，无极值；当时，由，得.随的变化的变化情况如下表：f(x =a ln −(+(a −2)×−=a ln −a )极大a 2a 2)2a 2a 24a 2f(x =a ln −a >0)极大a 2a >0a >2e f(x)a (2e,+∞)(1)(x)=−2x +a −2f ′a x (3)=−2×3+a −2=−4f ′a 3a =3x =1f(1)=−+(3−2)×1−=−1232494(1)=−2×1+3−2=2f ′31f(x)(1,f(1))y +=2(x −1)948x −4y −17=0(2)(x)=−2x +a −2=f ′a x −(2x −a)(x +1)x ①a ≤0(x)≤0f ′f(x)(0,+∞)f(x)②a >0(x)=0f ′x =a 2x (x),f(x)f ′x (0,)a 2a 2(,+∞)a 2(x)f ′+0−f(x)极大值故有极大值，无极小值，，由,∵，∴，∴当的极大值为正数时，实数的取值范围为.22.【答案】解：将，代入，得，∴极坐标方程是．的普通方程是，其极坐标方程是.，.将分别代入，中，得，，∴．∵，∴，∴当，即时，取得最大值为，∴的最大值为．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化三角函数的最值参数方程的优越性【解析】将＝，＝代入＝可得的极坐标方程，对曲线的参数方程消去可得其普f(x)↗↘f(x)f(x =a ln −(+(a −2)×−=a ln −a )极大a 2a 2)2a 2a 24a 2f(x =a ln −a >0)极大a 2a >0a >2e f(x)a (2e,+∞)(1)x =ρcos θy =ρsin θy =x tan αtan θ=tan α(<α<π)π2l θ=α(ρ∈R,<α<π)π2C 1+−2ax =0x 2y 2ρ=2a cos θ(2):ρ=cos θC 1:ρ=2sin θC 2θ=αC 1C 2|OM |=−cos α|ON |=2sin α2|OM +|OM ||ON |=2α−2cos αsin α|2cos 2=cos 2α+1−sin 2α=sin(−2α)+12–√π4<α<ππ2−<−2α<−π7π4π434−2α=−π43π2α=7π8sin(−2α)+12–√π4+12–√2|OM +|OM ||ON ||2+12–√(1)x ρcos θy ρsin θy x tan αl C 1φ通方程，然后再转化为极坐标方程即可；将分别代入，得，，然后根据求出其最大值．【解答】解：将，代入，得，∴极坐标方程是．的普通方程是，其极坐标方程是.，.将分别代入，中，得，，∴．∵，∴，∴当，即时，取得最大值为，∴的最大值为．(2)θ=αC 1C 2|OM |=−cos α|ON |=2sin α2|OM +|OM ||ON |=2α−2cos αsin α|2cos 2(1)x =ρcos θy =ρsin θy =x tan αtan θ=tan α(<α<π)π2l θ=α(ρ∈R,<α<π)π2C 1+−2ax =0x 2y 2ρ=2a cos θ(2):ρ=cos θC 1:ρ=2sin θC2θ=αC 1C 2|OM |=−cos α|ON |=2sin α2|OM +|OM ||ON |=2α−2cos αsin α|2cos 2=cos 2α+1−sin 2α=sin(−2α)+12–√π4<α<ππ2−<−2α<−π7π4π434−2α=−π43π2α=7π8sin(−2α)+12–√π4+12–√2|OM +|OM ||ON ||2+12–√。
2022-2023学年人教A版高三上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：115 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 设集合＝，＝＝}，则＝（ ）A.B.C.D.2. 的值为( )A.B.C.D.3. 若，，，则一定( )A.等于B.小于C.大于D.不确定A {x |−2x −3≤0}x 2B {x |y A ∩B [1,3](1,2)∪(2,3][2,3][−1,+∞)tan +cos(−)2π33π2π3−33–√2−3–√2+3–√12−3–√12x +y >0a <0ax >0y −x 04. 已知，满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）A.B.C.D.5. 函数的图象大致是( )A.B.C.D.6. 已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.关于函数，下列说法正确的是x y x +y ≤2x −3y +2≥0y ≥0z =x +3y 264−2f (x)=x 2|−1|e x f(x)=2sin(2x +)π6f(x)x π6g(x)g(x)()，]ππA.在上是增函数B.其图象关于直线对称C.函数是奇函数D.当时，函数的值域是7. 已知，且，则的最小值是( )A.B.C.D.8.在中，内角，，所对的边分别是，，，且，，成等差数列，若外接圆的半径为，则( )A.B.C.D.9. 已知 ，，则（ ）A.B.C.D.10. 已知函数，对于任意实数，，且，都有，则的取值范围为( )[，]π4π2x =−π4g(x)x ∈[，]π62π3g(x)[−2，1]a >0>b a −b =1−1a 14b7495942△ABC A B C a b c a cos C b cos B c cos A △ABC 1b =3223–√2–√a =2−13b =,c =log 213log 1213a >b >ca >c >bc >a >bc >b >af (x)=−ax −1e x +1e x x 1x 2≠x 1x 2<0f ()−f ()x 1x 2−x 1x 2a >1A.B.C.D.11. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）A.B.C.D. 12. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 化简：________.14. 条件，条件，若是的充分条件，则的取值范围是________. 15. 已知定义在上的增函数，对任意满足，且，则不等式的解集为________.a >12a >1a ≥12a ≥1R f(x)f(x +2)=f(−x)x ∈[0,1]f(x)=−cos x 2x f()<f()<f(2018)2020320192f(2018)<f()<f()2020320192f(2018)<f()<f()2019220203f()<f()<f(2018)2019220203mcos x −cos 3x −≤018x ∈(0,)π2m ()(−∞,−]94(−∞,−2](−∞,]94(−∞,]98sin 40∘(tan −)=10∘3–√p :−2<x <4q :(x +2)(x +a)<0q p a (0,+∞)f(x)m,n ∈(0,+∞)f()=f(m)−f(n)m n f(3)=1f(x)≥216. 已知函数若，则的取值范围是________.三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17. 已知命题：实数满足，其中；命题：点在圆的内部．当，为真时，求的取值范围；若是的充分不必要条件，求的取值范围．18. 已知二次函数的图象过点，，，（1）求的解析式；（2）求在上的最值；（3）求不等式的解集．19. 已知函数.若，求锐角的值;将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍( 纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． 20. 已知函数，．求函数的值域；在中，，，分别为内角，，的对边，若 且 的面积为，求的周长． 21. 已知函数.若曲线的一条切线与直线垂直，求这条切线的方程．证明：22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.求和的直角坐标方程；求上的点到距离的最小值．23. 解下列不等式：；．f (x)={2+x,x ≥0,x 2−1,x <0,e x f (2a)>f (6−a)a p m −2am −3<0m 2a 3a >0q (1,1)+−2mx +2my +2−10=0x 2y 2m 2(1)a =1p ∧q m (2)¬p ¬q a f(x)A(−1,0)B(3,0)C(1,−8)f(x)f(x)[0,3]f(x)≥0f (x)=2sin x cos x −x +x (x ∈R)3–√sin 2cos 2(1)f(θ)=1θ(2)y =f(x)2π4y =g(x)g(x)[−,]π43π4f (x)=sin(x +)+sin(x −)−2π6π6cos 2x 2x ∈R (1)f (x)(2)△ABC a b c A B C a =2f (A)=0,△ABC 3–√△ABC f (x)=ln x −x e(1)y =f (x)y =x e 1−e(2)f (x)<−ln x −x 234xOy C {x =cos θ,3–√y =4sin θθO x l 2ρcos(θ−)+9=0π6(1)C l (2)C l (1)|2x −3|≤5(2)2|x +1|+|x|<4参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】任意角的三角函数运用诱导公式化简求值【解析】利用诱导公式先进行化简，然后利用特殊角的三角函数值进行求解．【解答】解：故选．tan +cos(−)2π33π2π3=−tan −cos π3π6=−−3–√3–√2=−.33–√2A3.【答案】C【考点】不等式的基本性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴.又，∴，∴.故选.4.【答案】C【考点】求线性目标函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】指数函数的图象函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数的图象a <0ax >0x <0x +y >0y >0y −x >0C【解析】根据函数值恒大于，排除．根据函数不是偶函数，排除，根据趋近于正无穷时，函数值趋近于．排除，故选：．【解答】解：由题意知函数定义域为，∴恒成立，故排除；∵，∴不是偶函数，故排除；当时，，故排除.故选．6.【答案】D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】由条件利用函数的图象变换规律，利用余弦函数的单调性、奇偶性、定义域和值域，以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数的图象沿轴向左平移个长度单位，得到函数的图象，对于函数，在上，，为减函数，故排除；当时，，故的图象不关于直线对称，故排除；显然，为偶函数，故排除；当时，，，故函数的值域是，故正确.故选．7.【答案】0A C x 0D B {x|x ≠0}f (x)=>0x 2|−1|e x Af (−x)==≠f(x)(−x)2|−1|e −x x 2e x |−1|e x f(x)C x →+∞f(x)→0D B y =A sin(ωx +φ)f(x)=2sin(2x +)π6x π6g(x)=2sin[2(x +)+]=2cos 2x π6π6g(x)=2cos 2x [，]π4π22x ∈[，π]π2g(x)A x =−π4g(x)=0g(x)x =−π4B g(x)C x ∈[，]π62π32x ∈[，]π34π3cos 2x ∈[−1，]12g(x)[−2，1]D DC【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用题设中的等式，把转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值．【解答】解：因为，由得，则，．当且仅当时取“”，于是有最小值．故选．8.【答案】C【考点】等差中项两角和与差的正弦公式正弦定理【解析】先利用等差中项列式，再利用正弦定理边化角，结合两角和与差的正弦公式及同角三角函数的基本关系求得，再利用正弦定理求解即可【解答】解：∵，，成等差数列，∴，则由正弦定理得，−1a 14b (a −b)(−)1a 14b −1a 14b a −b =1b <0−b >0a −b =a +(−b)=1−=+(−)1a 14b 1a 14b =[+(−)][a +(−b)]1a 14b =1+(−)+(−)+b a a 4b 14≥+2=54(−)⋅(−)b a a 4b−−−−−−−−−−−−−√94a =−b =−1a 14b 94C sin B a cos C b cos B c cos A 2b cos B =a cos C +c cos A 2sin B cos B =sin A cos C +sin C cos A 2sin B cos B =sin(A +C)=sin B则.∵，∴，由同角三角函数关系可得.∵外接圆的半径为，∴，即.故选.9.【答案】C【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】此题暂无解析【解答】解： ，则，则，，则，故.故选.10.【答案】C【考点】利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：任意实数，，且，都有，可得在上为减函数，，2sin B cos B =sin(A +C)=sin Bsin B ≠0cos B =12sin B =3–√2△ABC 1=2b sin B b =2sin B =3–√C a =2−130<a <1b =，log 213b <0c =log 1213c >1c >a >b C x 1x 2≠x 1x 2<0f ()−f ()x 1x 2−x 1x 2f (x)R (x)=−a ≤0f ′2e x (+1e x )2≥2x即，令，因为，当且仅当时等号成立，所以，所以.故选.11.【答案】C【考点】函数的周期性奇偶性与单调性的综合【解析】根据是奇函数，以及＝即可得出＝，即得出的周期为，从而可得出＝，，，然后可根据在上的解析式可判断在上单调递增，从而可得出．【解答】解：∵是奇函数，∴，∴，∴的周期为，∴，，.∵当时，，则函数在上单调递增，∴，∴．故选.12.【答案】Aa ≥2e x (+1e x )2g(x)==2e x (+1e x )22++2e x 1e x +≥2e x 1e x x =0g(x)≤12a ≥12C f(x)f(x +2)f(−x)f(x +4)f(x)f(x)4f(2018)f(0)f()=f()2019212f()=f()20203712f(x)[0,1]f(x)[0,1]f(2018)<f()<f()2019220203f(x)f(x +2)=f(−x)=−f(x)f(x +4)=−f(x +2)=f(x)f(x)4f(2018)=f(2+4×504)=f(2)=f(0)f()=f(+4×252)=f()=f()20192323212f()=f(+4×168)=f()=f()20203434323x ∈[0,1]f(x)=−cos x 2x f(x)[0,1]f(0)<f()<f()1223f(2018)<f()<f()2019220203C【考点】利用导数研究不等式恒成立问题【解析】无【解答】解：因为，所以，原不等式可变形为．令，则，．当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，又，所以．故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】三角函数的化简求值【解析】利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公等对函数式化简即可求解．【解答】解：x ∈(0,)π2cos x ∈(0,1)m ≤=cos 3x +18cos x cos(x +2x)+18cos x ==4x +−3cos x cos 2x −sin x sin 2x +18cos x cos 218cos x t =cos x ∈(0,1)g(t)=4+−3t 218t (t)=8t −==8×g ′18t 264−1t 38t 2−t 3()143t 2=8×(t −)(++)14t 2t 4116t 2t ∈(0,)14(t)<0g ′g(t)t ∈(,1)14(t)>0g ′g(t)g(t)≥g()=−1494m ≤g(t)min m ≤−94A −1sin (tan −)40∘10∘3–√sin (−)sin 10∘．故答案为：.14.【答案】【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】若是的充分条件，所以的解集为的子集,从而解出即可.【解答】解：设集合，.∵是的充分条件，∴.①当时，，此时.②当时，的解集为.∵，∴，即，∴实数的取值范围为.故答案为：．15.【答案】【考点】=sin (−)40∘sin 10∘cos 10∘3–√=sin ⋅40∘sin −cos 10∘3–√10∘cos 10∘=2sin (sin −cos )40∘1210∘3–√210∘cos 10∘=2sin sin(−)40∘10∘60∘cos 10∘=−2sin sin 40∘50∘cos 10∘=−2sin cos 40∘40∘cos 10∘=−sin 80∘cos 10∘=−1−1[−4,2]q p (x +2)(x +a)<0−2<x <4A ={x|−2<x <4}B ={x|(x +2)(x +a)<0q p B ⊆A a =2B =∅B ⊆A a ≠2(x +2)(x +a)<0{x|−2<x <−a}B ⊆A −2<−a 4−4 a <2a [−4,2][−4,2][9,+∞)其他不等式的解法函数单调性的性质【解析】由题意知，，，再由的定义域为，且在其上为增函数知解得答案【解答】解：令，则，则，令，，则，令，，则.又在上的单调递增，则的解集为.故答案为：.16.【答案】【考点】分段函数的应用【解析】【解答】解：当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递增．因为，所以在 上单调递增．因为，所以，解得： ．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17.f()=f(9)−f(3)=193f(9)=f(3)+f(3)=2f(x +5)<f(9)f(x)(0,+∞)0<x +5<9n =1f(m)=f(m)−f(1)f(1)=0m =1n =3f()=f(1)−f(3)=−113m =3n =13f(9)=f(3)−f()=213f(x)(0,+∞)f(x)≥2[9,+∞)[9,+∞)(2,+∞)x ≥0f (x)=2+x x 2=2−(x +)14218f (x)x <0f (x)=−1e x f (x)f(0)=0f (x)R f(2a)>f(6−a)2a >6−a a >2(2,+∞)【答案】解：依题意变形，得：，即，由题意得：，∴．当时，：，∵为真，∴，都为真，∴．是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件．∴结合数轴得，即，经检验时满足是的必要不充分条件，∴．【考点】椭圆的定义和性质直线与椭圆的位置关系椭圆的标准方程复合命题及其真假判断根据充分必要条件求参数取值问题点与圆的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题椭圆的离心率【解析】无无【解答】解：依题意变形，得：，即，由题意得：，∴．当时，：，∵为真，∴，都为真，∴．是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件．p (m +a)(m −3a)<0−a <m <3a >0(a >0)q <4m 2−2<m <2(1)a =1p −1<m <3p ∧q p q m ∈(−1,2)(2)¬p ¬q p q (−2,2)∉(−a,3a) a =0,−2≥−a,2≤3a,a ≥2a =2p g a ∈[2,+∞)p (m +a)(m −3a)<0−a <m <3a >0(a >0)q <4m 2−2<m <2(1)a =1p −1<m <3p ∧q p q m ∈(−1,2)(2)¬p ¬q p q (−2,2)∉(−a,3a)∴结合数轴得，即，经检验时满足是的必要不充分条件，∴．18.【答案】解：（1）由题意设，因为的图象过点，所以，解得．所以．（2）图象的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，又，，所以最大值为．所以在上的最小值为，最大值为．（3）即，解得或．所以不等式的解集为．【考点】二次函数在闭区间上的最值二次函数的性质【解析】（1）待定系数法：设出的两根式，把点坐标代入即可求出；（2）判断在上的单调性，据单调性即可求得最值；（3）按二次不等式的求解方法易求：变形，求根，据图写解集；【解答】解：（1）由题意设，因为的图象过点，所以，解得．所以．（2）图象的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，又，，所以最大值为．所以在上的最小值为，最大值为．（3）即，解得或．所以不等式的解集为．19.【答案】解：(−2,2)∉(−a,3a) a =0,−2≥−a,2≤3a,a ≥2a =2p g a ∈[2,+∞)f(x)=a(x +1)(x −3)(a ≠0)f(x)C(1,−8)−8=a(1+1)(1−3)a =2f(x)=2(x +1)(x −3)f(x)x =1f(x)[0,1][1,3]f(x)[0,3]f(1)=−8f(0)=−6f(3)=0f(3)=0f(x)[0,3]−80f(x)≥02(x +1)(x −3)≥0x ≤−1x ≥3{x |x ≤−1或x ≥3}f(x)C f(x)[0,3]f(x)=a(x +1)(x −3)(a ≠0)f(x)C(1,−8)−8=a(1+1)(1−3)a =2f(x)=2(x +1)(x −3)f(x)x =1f(x)[0,1][1,3]f(x)[0,3]f(1)=−8f(0)=−6f(3)=0f(3)=0f(x)[0,3]−80f(x)≥02(x +1)(x −3)≥0x ≤−1x ≥3{x |x ≤−1或x ≥3}(1)f (x)=2sin x cos x −x +x3–√sin 2cos 2=sin 2x +cos 2x 3–√2sin(2x +)π，即，，所以，所以或，解得或，因为为锐角，所以.将各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，再将的图象向右平移个单位得到，即，因为，所以，所以当，即时函数取得最小值.【考点】两角和与差的余弦公式两角和与差的正弦公式函数的求值正弦函数的定义域和值域函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】（1）首先利用三角恒等变换将函数化简，再结合，代入计算可得；（2）根据三角函数的变换规则得到，再根据》的取值范围，得到的取值范围，结合正弦函数的性质计算可得；【解答】解：，即，，=2sin(2x +)π6f (x)=2sin(2x +)π6f (θ)=2sin(2θ+)=1π6sin(2θ+)=π6122θ+=+2kππ6π62θ+=+2kπ，k ∈Z π65π6θ=kπθ=+kπ，k ∈Z π3θθ=π3(2)f (x)=2sin(2x +)π62y =2sin(x +)π6y =2sin(x +)π6π4y =2sin(x −+)=2sin(x −)π4π6π12g(x)=2sin(x −)π12x ∈[−,]π43π4x −∈[−,)π12π32π3x −=−π12π3x =−π4g =2sin(−)=−(x)min π33–√f (θ)=1g(x)x −π12(1)f (x)=2sin x cos x −x +x 3–√sin 2cos 2=sin 2x +cos 2x 3–√=2sin(2x +)π6f (x)=2sin(2x +)π6f (θ)=2sin(2θ+)=1π6(2θ+)=1所以，所以或，解得或，因为为锐角，所以.将各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，再将的图象向右平移个单位得到，即，因为，所以，所以当，即时函数取得最小值.20.【答案】解：．由，得，可知函数的值域为．由，得，∴，故．∵，，的面积为，∴，故．又，即，即，故，∴的周长为．【考点】正弦函数的定义域和值域两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理【解析】sin(2θ+)=π6122θ+=+2kππ6π62θ+=+2kπ，k ∈Z π65π6θ=kπθ=+kπ，k ∈Z π3θθ=π3(2)f (x)=2sin(2x +)π62y =2sin(x +)π6y =2sin(x +)π6π4y =2sin(x −+)=2sin(x −)π4π6π12g(x)=2sin(x −)π12x ∈[−,]π43π4x −∈[−,)π12π32π3x −=−π12π3x =−π4g =2sin(−)=−(x)min π33–√(1)f (x)=sin x +cos x +sin x −cos x −(cos x +1)3–√2123–√212=sin x −cos x −1=2sin(x −)−13–√π6−1≤sin(x −)≤1π6−3≤2sin(x −)−1≤1π6f (x)[−3,1](2)f (A)=0sin(A −)=π612A −=π6π6A =π3a =2A =π3△ABC 3–√S =bc sin A =bc sin =1212π33–√bc =4=+−2bc cos A a 2b 2c 2=+−2×4×22b 2c 212+=8b 2c 2b +c ====4(b +c)2−−−−−−√++2bc b 2c 2−−−−−−−−−−√8+8−−−−√△ABC a +b +c =6此题暂无解析【解答】解：．由，得，可知函数的值域为．由，得，∴，故．∵，，的面积为，∴，故．又，即，即，故，∴的周长为．21.【答案】解：，，因为曲线的一条切线与直线垂直，所以这条切线的斜率为，令，得，所以切点为，所求切线的方程为，即．证明：．当时，；当时，．所以．设函数，则．当时，；当时，．所以．因为，所以．又，(1)f (x)=sin x +cos x +sin x −cos x −(cos x +1)3–√2123–√212=sin x −cos x −1=2sin(x −)−13–√π6−1≤sin(x −)≤1π6−3≤2sin(x −)−1≤1π6f (x)[−3,1](2)f (A)=0sin(A −)=π612A −=π6π6A =π3a =2A =π3△ABC 3–√S =bc sin A =bc sin =1212π33–√bc =4=+−2bc cos A a 2b 2c 2=+−2×4×22b 2c 212+=8b 2c 2b +c ====4(b +c)2−−−−−−√++2bc b 2c 2−−−−−−−−−−√8+8−−−−√△ABC a +b +c =6(1)(x)=−f ′1x 1e y =f (x)y =x e 1−e e 1−e −=1x 1e e −1e x =1(1,−)1e y +=(x −1)1e e −1e (e −1)x −ey −e =0(2)(x)=−=f ′1x 1e e −x xe x ∈(0,e)(x)>0f ′x ∈(e,+∞)(x)<0f ′f =f (e)=ln e −=0(x)max e e g(x)=−ln x −x 234(x)=2x −=g ′1x 2−1x 2x x ∈(0,)2–√2(x)<0g ′x ∈(,+∞)2–√2(x)>0g ′g =g()=−ln −(x)min 2–√212121234=−+ln 21412ln 2>ln =e √12g >0(x)min f (x)≤f =0(x)max (x)<−ln x −3所以．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究不等式恒成立问题【解析】【解答】解：，，因为曲线的一条切线与直线垂直，所以这条切线的斜率为，令，得，所以切点为，所求切线的方程为，即．证明：．当时，；当时，．所以．设函数，则．当时，；当时，．所以．因为，所以．又，所以．22.【答案】解：的直角坐标方程为： ，直线的极坐标方程展开为：f (x)<−ln x −x 234(1)(x)=−f ′1x 1e y =f (x)y =x e 1−e e 1−e −=1x 1e e −1e x =1(1,−)1e y +=(x −1)1e e −1e (e −1)x −ey −e =0(2)(x)=−=f ′1x 1e e −x xe x ∈(0,e)(x)>0f ′x ∈(e,+∞)(x)<0f ′f =f (e)=ln e −=0(x)max e e g(x)=−ln x −x 234(x)=2x −=g ′1x 2−1x 2x x ∈(0,)2–√2(x)<0g ′x ∈(,+∞)2–√2(x)>0g ′g =g()=−ln −(x)min 2–√212121234=−+ln 21412ln 2>ln =e √12g >0(x)min f (x)≤f =0(x)max f (x)<−ln x −x 234(1)C +=1x 23y 216l 2ρ(cos θ+sin θ)+9=03–√212⇒x +y +9=0–√，所以的直角坐标方程为．设上的点的坐标为，它到直线的距离为：．∴其中，∴当时，最小，最小值为，∴上的点到距离的最小值为【考点】参数方程与普通方程的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化点到直线的距离公式【解析】【解答】解：的直角坐标方程为： ，直线的极坐标方程展开为：，所以的直角坐标方程为．设上的点的坐标为，它到直线的距离为：．∴其中，∴当时，最小，最小值为，∴上的点到距离的最小值为23.【答案】解：因为，所以，所以，所以，所以原不等式的解集为．当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，解得；⇒x +y +9=03–√l x +y +9=03–√(2)C (cos θ,4sin θ)3–√l d =|3cos θ+4sin θ+9|3+1−−−−√d =,5sin(θ+φ)+92sin φ=,cos φ=3545sin(θ+φ)=−1d 2C l 2.(1)C +=1x 23y 216l 2ρ(cos θ+sin θ)+9=03–√212⇒x +y +9=03–√l x +y +9=03–√(2)C (cos θ,4sin θ)3–√l d =|3cos θ+4sin θ+9|3+1−−−−√d =,5sin(θ+φ)+92sin φ=,cos φ=3545sin(θ+φ)=−1d 2C l 2.(1)|2x −3|≤5−5≤2x −3≤5−2≤2x ≤8−1≤x ≤4{x|−1≤x ≤4}(2)x >02x +2+x <40<x <23−1≤x ≤02x +2−x <4−1≤x ≤0当时，原不等式可化，解得．综上，原不等式的解集为．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】无无【解答】解：因为，所以，所以，所以，所以原不等式的解集为．当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化，解得．综上，原不等式的解集为．x <−1−2x −2−x <4−2<x <−1{x|−2<x <}23(1)|2x −3|≤5−5≤2x −3≤5−2≤2x ≤8−1≤x ≤4{x|−1≤x ≤4}(2)x >02x +2+x <40<x <23−1≤x ≤02x +2−x <4−1≤x ≤0x <−1−2x −2−x <4−2<x <−1{x|−2<x <}23。
2022-2023学年人教A版高三上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：115 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 设集合，，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.2. 如图，已知正八边形的边长为，则( )A.B.C.D.3. 已知，为锐角，，，则 A.A ={(x,y)≤+≤}∣∣m2(x −2)2y 2m 2B ={(x,y)|2m ≤x +y ≤2m +1}A ∩B ≠∅m [,2+]122–√[2−,2+]2–√2–√[1+,+∞]2–√2∅ABCDEFGH 1⋅=AC −→−AE −→−122+2–√2–√()B. C.D.4. 已知、均为锐角，，，那么、的大小关系是（ ）A.B.C.D.5. 已知命题，命题：若，则，则下列命题为真命题的是( )A.B.C.D.6. 已知等差数列的前项和为，公差，若，则A.B.C.D.7. 函数是上的减函数，则的取值范围是( )A.B.C.−2αβP =cos α⋅cos βQ =cos 2α+β2P Q P <QP >QP ≤QP ≥Qp :2020≤2021q +>50a 2b 2|a|+|b|>7p ∧qp ∧(¬q)(¬p)∧q(−p)∧(¬q){}a n n S n d <0=7，⋅=−15S 7a 2a 6=()a 11−13−14−15−16f (x)={−x +3−3a,x <0,,x ≥0a x R a (0,1)(0,]23[,1)23−∞,]2D.8. 将函数的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是（ ）A.最小正周期为B.图象关于直线对称C.图象在上单调递减D.图象关于点对称9. 在内的单调性是（ ）A.增加的B.减少的C.在内是减少的，在内是增加的D.在内是增加的，在内是减少的10. 已知正项等比数列的公比为，若，则的最小值等于A.B.C.D.11. “”是“直线与圆相交”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(−∞,]23f(x)=2sin(4x −)π3π32y =g(x)g(x)πx =π4[0,]π4(,0)π4y =x ln x (0,5)(0,)1e (,5)1e (0,)1e (,5)1e {}a n 3=9a m a n a 22+2m 12n ( )1123432−2≤a ≤2y =x +a +=4x 2y 2(0,+∞)f (x)x (x)−f (x)=x f ′x12. 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足，，，则函数( )A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值，也有极小值D.既无极大值，也无极小值卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设、满足 ，则________．14. 已知函数在点（，）处的切线经过原点，函数的最小值为，则________. 15. 已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则________．16. 已知函数若且，则的最小值是________．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17. 已知公差不为的等差数列的首项，前项和为，且________（①成等比数列；②；③任选一个条件填入上空）．设，数列的前项和为，试判断与的大小．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 已知函数．求的值；求的单调递增区间；当时，求的值域．(0,+∞)f (x)x (x)−f (x)=x f ′e x f (1)=−3f (2)=0f (x)αβtan(α+)=−3，tan(β−)=5π3π6tan(α−β)=f (x)=x ln x −2a1f(1)g(x)=m(x)xm m +2a =f(x)R 20<x <1f(x)=4x f (−)+f(1)=52f (x)= ln x,x ≥1,(x +7),x <1,14>x 2x 1f ()=f ()x 1x 2−x 2x 10=2a 1πS n ,,a 1a 2a 3=S n n (n +3)2=26a 9=,=b n 3a n c n a n b n {}c n πT n T n 13f (x)=sin x cos x − x +3–√cos 212(1)f ()π4(2)f(x)(3)x ∈[,]π45π12f(x)=π19. 现在给出三个条件：①；②；③．试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，问题：在中，，，分别是角，，的对边，且满足，________，________．求的面积（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）.20. 已知函数．（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）在（1）的条件下，函数（其中为函数的导数）的图象关于直线对称，求函数的最大值．21. 已知函数．（1）解不等式；（2）根据函数单调性的定义，证明函数在定义域内是增函数．22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为： （为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为： .（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求的最大值． 23. 设函数且）的图像经过点解关于的方程不等式的解集是，试求实数的值a =2B =π4c =b 3–√△ABC a b c A B C (2b −c)cos A =a cos C 3–√3–√△ABC f(x)=a +x x 3f(x)x =1a g(x)=f'(x)(+px +q)x 2f'(x)f(x)x =1g(x)f(x)=log 2x 1−x f(x)≤1f(x)C 1{x =+cos α3–√3–√y =sin α3–√αO x C 2ρ=2sin θC 1C 2l :y =kx (k >0)C 10A C 2O B |OA|+|OB|f(x)=x(m >0log m m ≠1(3,1)(1)x (x)+(m −1)f (x)+1−=0f 2m 2(2)[1+f (x)]⋅[a −f (x)]>0(,9)13α参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解，如图，由图知，，因为，⊥AC −→−CE −→−=+AE −→−AC −→−CE −→−=⋅(+)−→−−→−−→−−→−−→−|−→−所以.又，所以.故选.3.【答案】C【考点】二倍角的正切公式【解析】根据同角三角函数关系可求得和，变形，利用两角和差正切公式可求得结果【解答】因为为锐角，所以．又因为所以，因此．因为所以，因此，故选：．4.【答案】C【考点】不等式比较两数大小【解析】利用和差化积、倍角公式即可得出．【解答】解：∵，，⋅=⋅(+)AC −→−AE −→−AC −→−AC −→−CE −→−=|AC −→−|2=+AC −→−AB −→−BC −→−|=(+=2|+2⋅AC −→−|2AB −→−BC −→−)2AB −→−|2AB −→−BC −→−=2+2||⋅||cos AB −→−BC −→−3π4=2+2–√C tan(α+β)tan 2αα−β=2α−(α+β)α,βα+β∈(0,π)cos(α+β)=−5–√5sin(α+β)==1−(α+β)cos 2−−−−−−−−−−−−√25–√5tan(α+β)=−2tan α=43tan 2α==−2tan α1−αtan 2247tan(α−β)=tan[2α−(α+β)]==−tan 2α−tan(α+β)1+tan 2αtan(α+β)211C P =cos α⋅cos β=[cos(α+β)+cos(α−β)]12Q ==cos 2α+β2cos(α+β)+12cos(α−β)≤1又，∴．当且仅当时取等号．5.【答案】A【考点】复合命题及其真假判断逻辑联结词“或”“且”“非”【解析】无【解答】解：命题，是真命题，则是假命题；若，则，所以，是真命题，则是假命题.，，是真命题；，，是假命题；，，是假命题；，，是假命题.故选.6.【答案】A【考点】等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：，.又，，，.故选.cos(α−β)≤1P ≤Q α−β=2kπ(k ∈Z)p :2020≤2021¬p +>50a 2b 2=++2|ab|≥+>50(|a|+|b|)2a 2b 2a 2b 2|a|+|b|>>750−−√q ¬q A p ∧q B p ∧(¬q)C (¬p)∧q D (−p)∧(¬q)A ∵==×2=7=7S 77(+)a 1a 7272a 4a 4∴=1a 4⋅a 2a 6=(−2d)⋅(+2d)a 4a 4=−a 244=−15d 2d <0∴d =−2∴a 11=+7d =−13a 4A7.【答案】B【考点】函数单调性的性质分段函数的应用【解析】当时，函数是减函数，当时，若函数是减函数，则．要使函数在）上是减函数，还需满足 ，从而求得的取值范围．【解答】解：当时，函数是减函数，当时，若函数是减函数，则，要使函数在上是减函数，需满足，解得，故有即.故选．8.【答案】D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性正弦函数的单调性【解析】根据函数的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：向左平移个单位得，横坐标伸长到原来倍，则，x <0t f (x)x ≥0f (x)=a x 0<a <1f (x)(−∞+∞10+3−3a ≥a 0a x <0f (x)=−x +3−3a x ≥0f (x)=a x 0<a <1f (x)(−∞,+∞)0+3−3a ≥a 0a ≤230<a <1,a ≤.230<a ≤23B y =A sin(ωx +φ)g(x)f(x)=2sin(4x −)π3π3y =2sin(4x +π)=−2sin 4x 2y(x)=−2sin 2x,T ===π2πω2π2A故正确；令，为最小值，故正确，错误； ， ，单调递减，故正确．故选9.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，函数的定义域为，且，令，即，可得；令，即，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增．故选.10.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用等比数列的性质【解析】本题考查等比数列的通项公式及基本不等式求最值，属于基础题．利用，找到与的关系，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：数列是公比是的等比数列，且，.，，A x =π4∴g()=−2sin =−2π4π2B D ∵x ∈[0,]π4∴2x ∈[0,]π2∴g(x)在[0,]π4C D ．y =x ln x (0,5)=ln x +1y ′>0y ′ln x +1>0x >1e <0y ′ln x +1<00<x <1e y =x ln x (0,)1e (,5)1e C ⋅=9a m a n a 22m n ∵{}a n 3⋅=9a m a n a 22∴⋅=⋅a 213m+n−2a 2134∵≠0a 1∴m +n −2=4，，当且仅当时等号成立．故选．11.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若直线与圆相交，则，即，所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件．故选．12.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】直接构造函数，再研究函数的单调性即可得出答案.【解答】∴m +n =6∴+=(m +n)(+)2m 12n 162m 12n =(++)1652m 2n 2n m ≥+⋅251216⋅m 2n 2n m −−−−−−−√=+51213=34m =2n =4C y =x +a +=4x 2y 2<2|a|2–√−2<a <22–√2–√−2≤a ≤2y =x +a +=4x 2y 2A (x)=f(x)解：设，∵∴在上是增函数，∵，∴，∵在上是增函数，∴在上是增函数，又，，故在上先负值，后正值，故函数有极小值，无极大值．故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】两角和与差的正切公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】f(x)，g(x)求导，求单调性，构造h(x)函数求解.【解答】解：因为，所以，所以，，所以，因为函数经过原点，F (x)=f(x)x ==>0,()f (x)x ′x (x)−f(x)f ′x 2e x x F (x)=f (x)x (0,+∞)x (x)−f (x)=x f ′e x (x)=+f ′f (x)x e x y =e x (0,+∞)(x)f ′(0,+∞)(1)=−3+e <0f ′(2)=0+>0f ′e 2(x)f ′(0,+∞)y =f (x)B 0f(x)=x ln x −2a (x)=ln x +1f ′(1)=1f ′f(1)=−2a y +2a =x −1=−1所以，即，又因为,所以，时，在上单调递增，时，，在上单调递减，所以，所以.故答案为：.15.【答案】【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】根据题意，由函数的周期性与奇偶性可得且，分析可得的值，进而分析可得，由函数的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数是定义在上的周期为的奇函数，则有且，即，则，，则．故答案为：．16.【答案】【考点】利用导数研究函数的最值分段函数的应用2a =−1a =−12g(x)==ln x +f(x)x 1x (x)=−=g ′1x 1x 2x −1x 2x >0(x)>0g ′(1,+∞)x <0(x)<0g ′g(x)(0,1)m =g(1)=1m +2a =00−2f(−1)=f(1)f(−1)=−f(1)f(1)f(−)=−f()=−f()525212f(x)R 2f(−1)=f(1)f(−1)=−f(1)f(1)=−f(1)f(1)=0f(−)=−f()=−f()=−(4)=−252521212f(−)+f(1)=−2+0=−252−211−8ln 2函数的零点与方程根的关系【解析】无【解答】解：作出函数的大致图象如图所示，设，则．由，可得；由，可得．令，其中，则.由，得．当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增．所以，即的最小值为．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17.【答案】1【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】1【解答】118.【答案】解析：（）∵，f (x)f ()=f ()=tx 1x 20≤t <2f ()=(+7)=t x 114x 1=4t −7x 1f ()=ln =t x 2x 2=x 2e t g(t)=−=−4t +7x 2x 1e t 0≤t <2(t)=−4g ′e t (t)=0g ′t =2ln 20≤t <2ln 2(t)＜0g ′g(t)[0,2ln 2)2ln2<t <2(t)＞0g ′g(t)[2ln 2,2]g =g(2ln 2)=11−8ln 2(t)min −x 2x 111−8ln 211−8ln 21f (x)=sin x cos x −x +3–√cos 212()=sin cos −+1∴（2）由当，时，函数单调递增，解得函数的单调增区间为（3）∵，∴，∴故函数的值域为【考点】三角函数的恒等变换及化简求值正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】解析：（）∵，∴（2）由当，时，函数单调递增，解得函数的单调增区间为（3）∵，∴，∴故函数的值域为19.【答案】f ()=sin cos−+π43–√π4π4cos 2π412=−+=3–√212123–√2f (x)=sin x cos x −x +3–√cos 212=sin 2x −(cos 2x +1)+3–√21212=sin(2x −)π62kπ−≤2x −≤2kπ+π2π6π2k ∈z [kπ−,kπ+](k ∈z)π6π3x ∈[,]π45π12≤2x −≤π3π62π3≤sin(2x −)≤13–√2π6[,1]3–√21f (x)=sin x cos x −x +3–√cos 212f ()=sin cos −+π43–√π4π4cos 2π412=−+=3–√212123–√2f (x)=sin x cos x −x +3–√cos 212=sin 2x −(cos 2x +1)+3–√21212=sin(2x −)π62kπ−≤2x −≤2kπ+π2π6π2k ∈z [kπ−,kπ+](k ∈z)π6π3x ∈[,]π45π12≤2x −≤π3π62π3≤sin(2x −)≤13–√2π6[,1]3–√2(2b −c)cos A =a cos C–√–√解：如选①③，因为，由正弦定理可得，，因为，所以.又因为，，由余弦定理可得，，解得，，，故．【考点】正弦定理余弦定理三角形的面积公式【解析】无【解答】解：如选①③，因为，由正弦定理可得，，因为，所以.又因为，，由余弦定理可得，，解得，，，故．20.【答案】解：（1） 由有因为在处取得极值，故∴经检验：当时，符合题意，故（2）由（1）知：∵的图象关于直线对称，故函数为偶函数又∴，解得，∴∴令有或令有或∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减(2b −c)cos A =a cos C 3–√3–√2sin B cos A =(sin C cos A +sin A cos C)=sin B 3–√3–√sin B ≠0cos A =3–√2a =2c =b 3–√=3–√24−4b 223–√b 2b =2c =23–√=bc sin A =×2×2×=S △ABC 12123–√123–√(2b −c)cos A =a cos C 3–√3–√2sin B cos A =(sin C cos A +sin A cos C)=sin B 3–√3–√sin B ≠0cos A =3–√2a =2c =b 3–√=3–√24−4b 223–√b 2b =2c =23–√=bc sin A =×2×2×=S △ABC 12123–√123–√f(x)=a +x x 3f (x)=3a +1′x 2f(x)x =1f (1)=3a +1=0′a =−13a =−13a =−13g(x)=(−+1)(+px +q)x 2x 2g(x)x =−1g(x −1)g(x −1)=[−(x −1+1][(x −1+p(x −1)+q]=−+(4−p)+(3p −q −5)+2(1−p +q)x )2)2x 4x 3x 2{4−p =02(1−p +q)=0p =4q =3g(x)=(−+1)(+4x +3)x 2x 2g (x)=−2x(+4x +3)+(−+1)(2x +4)=−4(x +1)(+2x −1)′x 2x 2x 2g (x)>0′x <−1−2–√−1<x <−1+2–√g (x)<0′−1−<x <−12–√x >−1+2–√g(x)(−∞,−1−)，(−1,−1+)2–√2–√(−1−，−1)，(−1+,+∞)2–√2–√g(x)g(−1±)=4–√∴函数的最大值为【考点】利用导数研究函数的极值导数求函数的最值【解析】（1）求出函数的导数，根据，求出的值，检验即可；（2）求出的解析式，求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出的最大值即可．【解答】解：（1） 由有因为在处取得极值，故∴经检验：当时，符合题意，故（2）由（1）知：∵的图象关于直线对称，故函数为偶函数又∴，解得，∴∴令有或令有或∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减∴函数的最大值为21.【答案】解：（1）不等式，即为，等价为：，解得，，即原不等式的解集为：；（2）函数的定义域为，且，函数在定义域内单调递增，证明如下：任取，，且，则，∵，∴，g(x)g(−1±)=42–√f'(1)=0a g(x)g(x)g(x)f(x)=a +x x 3f (x)=3a +1′x 2f(x)x =1f (1)=3a +1=0′a =−13a =−13a =−13g(x)=(−+1)(+px +q)x 2x 2g(x)x =−1g(x −1)g(x −1)=[−(x −1+1][(x −1+p(x −1)+q]=−+(4−p)+(3p −q −5)+2(1−p +q)x )2)2x 4x 3x 2{4−p =02(1−p +q)=0p =4q =3g(x)=(−+1)(+4x +3)x 2x 2g (x)=−2x(+4x +3)+(−+1)(2x +4)=−4(x +1)(+2x −1)′x 2x 2x 2g (x)>0′x <−1−2–√−1<x <−1+2–√g (x)<0′−1−<x <−12–√x >−1+2–√g(x)(−∞,−1−)，(−1,−1+)2–√2–√(−1−，−1)，(−1+,+∞)2–√2–√g(x)g(−1±)=42–√f(x)≤1≤1log 2x 1−x 0<≤1x 1−x x ∈(0,]12(0,]12f(x)=log 2x 1−x (0,1)f(x)==[−1+]log 2x 1−x log 211−x f(x)(0,1)x 1∈(0,1)x 2<x 1x 2f()−f()=−x 1x 2log 2x 11−x 1log 2x 21−x 2==log 2(1−)x 1x 2(1−)x 2x 1log 2−x 1x 1x 2−x 2x 1x 2<x 1x 2−<−x 1x 1x 2x 2x 1x 21−所以，，因此，，所以，在内单调递增．【考点】函数恒成立问题函数单调性的判断与证明【解析】（1）直接将问题等价为不等式：，解出即可；（2）先判断该函数在定义域上单调递增，再用单调性的定义作差证明．【解答】解：（1）不等式，即为，等价为：，解得，，即原不等式的解集为：；（2）函数的定义域为，且，函数在定义域内单调递增，证明如下：任取，，且，则，∵，∴，所以，，因此，，所以，在内单调递增．22.【答案】（1）；（2） .【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】（1）曲线 的参数方程为 （为参数）<1−x 1x 1x 2−x 2x 1x 2f()−f()<0x 1x 2f(x)(0,1)0<≤1x 1−x(0,1)f(x)≤1≤1log 2x 1−x 0<≤1x 1−x x ∈(0,]12(0,]12f(x)=log 2x 1−x (0,1)f(x)==[−1+]log 2x 1−x log 211−x f(x)(0,1)x 1∈(0,1)x 2<x 1x 2f()−f()=−x 1x 2log 2x 11−x 1log 2x 21−x 2==log 2(1−)x 1x 2(1−)x 2x 1log 2−x 1x 1x 2−x 2x 1x 2<x 1x 2−<−x 1x 1x 2x 2x 1x 2<1−x 1x 1x 2−x 2x 1x 2f()−f()<0x 1x 2f(x)(0,1)+(y −1=1x 2)24C 1{x =+cos α3–√3–√y =sin α3–√α x =ρcos θ转换直角坐标为程为 . 根据 ，转换为极生村为程为 .曲线的极坐标方程为 . 根据 转换为直角坐标为程为 整理得 . （2）直线 转换为极坐标方程为，直线与曲线交于，两点，故 . 整理得 .直线与曲线 交于，两点，故 ，整理得 . 所以 . 当 时． 第大值为 . 【解答】解：（1）曲线 的参数方程为 （为参数） 转换直角坐标为程为 . 根据 ，转换为极生村为程为 .曲线的极坐标方程为 . 根据 转换为直角坐标为程为 整理得 . （2）直线 转换为极坐标方程为，直线与曲线交于，两点，故 . 整理得 .直线与曲线 交于，两点，故 ，整理得 . 所以 . 当 时． 第大值为 . 23.【答案】（）或；（）【考点】+y =3(x −)3–√2 x =ρcos θy =ρsin ρ+=x 2y 2ρ2ρ=2cos θ3–√C 2ρ=2sin θ x =ρcos θy =ρsin θy +x =ρ2+=2y x 2y 2+(y −1=1x 2)2l :y =kx (k >0)θ=α(0<α<)π2l C 1O A {θ=αρ=2sin θ3–√|OA|==2cos αρ13–√l C 2O B {θ=αρ=2sin θ|OB|=2sin α|OA|+|OB|=2cos α+2sin α=4(α+)3–√π3α=π6|OB|+|OB|4C 1{x =+cos α3–√3–√y =sin α3–√α+y =3(x −)3–√2 x =ρcos θy =ρsin ρ+=x 2y 2ρ2ρ=2cos θ3–√C 2ρ=2sin θ x =ρcos θy =ρsin θy +x =ρ2+=2y x 2y 2+(y −1=1x 2)2l :y =kx (k >0)θ=α(0<α<)π2l C 1O A {θ=αρ=2sin θ3–√|OA|==2cos αρ13–√l C 2O B {θ=αρ=2sin θ|OB|=2sin α|OA|+|OB|=2cos α+2sin α=4(α+)3–√π3α=π6|OB|+|OB|41x =9x =1812a =2绝对值不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：（）由已知得，即，则，于是得方程从而得或，即或或所以原方程的根为或（2）依题意，函数中，，从而得又，令即一元二次不等式的解集为因此有，是关于的方程的两根，则所以实数 的值为1f (3)=13=1log m m =3f (x)=x log 3(x)+(m −1)f (x)+1−=0⇔(x)+2f (x)−8=0f 2m 2f 2f (x)=2f (x)=−4x =2log 3x =−4,x =9log 3x =181x =9x =181f (x)=x log 3x ∈(,9)13x ∈(−1,2)log 3[1+f (x)]⋅[a −f (x)]>0⇔0⇔(x +1)⋅(x −a)<0log 3log 3x =t log 3(t +1)⋅(t −a)<0(−1,2)−121(t +1)⋅(t −a)=0a =2α 2.。
高三数学上学期第二次月考试题(复读班)理 (新版)新人教版
—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————2019高三历届上学期第二次月考数学试卷（理）考试范围：已学内容 考试时间：2018.10.27一．选择题 (本小题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合}0,2|{<==x y y M x ，}{x y x N -==1|，则“M x ∈”是“N x ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．与函数()110lg x y -=的图象相同的函数是A ．1y x =-B ．1y x =-C．2y =D ．211x y x -=+3．函数()()121log 21f x x =+的定义域为A.1(,0)2-B.1(,)2-+∞C.()1(,0)0,2-+∞ D.1(,2)2-4．已知21log 34a =，12b =，51log 32c =，则A ．c a b <<B ．a b c << C.b c a << D ．b a c << 5．函数242)(x x x f -=的单调增区间是A.(]2,∞-B.[]2,0C.[]4,2D.[)+∞,26．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()102f =，则不等式()102x f x e -<的解集为 A ． 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ． ()0,+∞ C ． 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ． (),0-∞7.设32()21p f x x x mx =+++：在∞∞（-，+）内单调递增；43q m ≥：，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知函数()2tan 2(0,1)1xxa f xb x x a a a =++>≠+，若()12f =，则()1f -等于 A. 3 B. 3- C. 0 D. 1-9．已知()()()()1231ln 1a x a x f x xx -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ 的值域为R ，那么a 的取值范围是 A ． (－∞，－1] B ．(－1，) C ．[－1，) D ．(0，)10．设函数)(x f 的导函数为)('x f ，若)(x f 为偶函数，且在（0,1）上存在极大值，则)('x f 的图象可能为A ．B ．C ．D ．11．设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，)('),('x g x f 为导函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''⋅+⋅>且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x ⋅<的解集是A ．(－3,0)∪(3,＋∞) B．(－3,0)∪(0, 3)C. (－∞,－3)∪(3,＋∞)D.(－∞,－3)∪(0,3)12．已知函数 f(x)＝ex ＋2(x ＜0)与 g(x)＝ln(x ＋a)＋2 的图像上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是A 1(,)e -∞ B (,)e -∞ C 1(,)e e- D 1(,)e e -二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若定义在区间2[3,]m m m ---上的函数2()mf x x-=是奇函数，则()f m = .14．已知函数2()ln f x x ax =-，且函数()f x 在点(2，f (2))处的切线的斜率是12-，则a =________15.2sin π1)x x dx +-⎰（ =_16. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，|1|1()()2x f x m -=+，若函数()f x 有5个零点，则实数m 的取值范围是__________三．解答题（本大题共2小题，共20分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡上）17.（10分）已知三个集合：{}22log (58)1A x x x =∈-+=R ，{}22821R xx B x +-=∈=，{}22190R C x x ax a =∈-+->.（1）求A B ；（2）已知,A C B C ≠∅=∅，求实数a 的取值范围.18 .(12分) 已知定义域为(－1，1)的奇函数f (x )满足x ∈(0，1)时，f (x )＝. （1）求f (x )在区间(－1，1)上的解析式；（2）若存在x ∈(0，1)，满足f (x )＞m ，求实数m 的取值范围.19.(12分) 设函数f （x ）=2x 2+bx+c ，已知不等式()0<f x 的解集是（1,5）（1）求f （x ）的解析式；（2）若对于任意x ∈ []1,3，不等式f （x ）≤2+t 有解，求实数t 的取值范围. 20 .(12分)已知函数1()()ln (,)f x a x b x a b R x=--∈，2()g x x =.（1）若1a =，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直，求b 的值； （2）在（1）的条件下， ()()2ln 2g x m f x -≥-恒成立，求m 的最大值.21.(12分)已知关于x 函数2()ln g x a x x=-（a R ∈），2()()f x xgx =（1）当2a =-时，求函数()g x 的单调区间；（2）若()f x 在区间1e e ⎛⎫⎪⎝⎭，内有且只有一个极值点，试求a 的取值范围；22. (12分)已知函数()22ln f x x x ax =--.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为30x y b ++=，求a ，b 的值； （2）如果()1212,x x x x <是函数()f x 的两个零点，()'f x 为函数()f x 的导数，证明：122'03x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭2019届高三补习年级第二次月考理科数学答案一、选择题： ACCAB,BCACC,DB 二、填空题：13. -1 14、1415. 0 16、三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.解：(1), . …………………………………1分,. ……………………………………….2分. …………………………………………………..………..3分(2),……………………………………………..…….…..4分……………………………………………..…..7分即解得 ……………………..……..9分所以实数的取值范围是………………………………………..….10分18.解 (1)当x ∈(－1，0)时，－x ∈(0，1).由f (x )为R 上的奇函数，得f (－x )＝－f (x )＝＝， 即f (x )＝，x ∈(－1，0). ………………………….4分 又由f (x )为R 上的奇函数，得f (0)＝0，故f (x )在区间(－1，1)上的解析式为f (x )＝. ……………………………………………..…….…..6分 (2)∵f (x )＝＝＝1－.又x ∈(0，1)，∴2x ∈ (1，2)，∴1－∈.………………………….10分 若存在x ∈(0，1)，满足f (x )＞m ，则m ＜，故实数m 的取值范围是.………………………………………..….12分19.解：（1）∵f （x ）=2x 2+bx +c ，且不等式f （x ）＜0的解集是（1，5）， ∴2x 2+bx +c ＜0的解集是（1，5），∴1和5是方程2x 2+bx +c =0的两个根，由根与系数的关系知，6,522b c -== 解得b =-12，c =10，∴()221210f x x x =-+ ………………………….6分（2）不等式f （x ）≤2+t?在[1，3]有解，等价于2x 2-12x +8≤t 在[1，3]有解， 只要t ≥2m in 2-128)x x +（即可， 不妨设g （x ）=2x 2-12x +8，x ∈[1，3]， 则g （x ）在[1， 3]上单调递减∴g （x ）≥g （3）=-10，∴t≥-10，∴t 的取值范围为[-10，+∞）………………………….12分 20.解：(1) 1a =时，1()ln ,f x x b x x=--所以22211'()1,b x bx f x x x x -+=+-=由题'(1)20, 2.f b b =-=∴=………………………….6分（2）由（1）可得1()2ln ,f x x x x=--即212ln 2ln 2x x x mx-+++≥在()0,+∞上恒成立. 设21()2ln 2ln 2,(0)F x x x x x x=-+++>，32222212212(1)(21)'()21,x x x x x F x x x x x x --++-=--+==令'()0F x =，得12x =。
2022-2023学年人教A版高三上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 集合，，则为（ ）A.B.C.D.2. 下列说法错误的是( )A.“若，则”的逆否命题是“若，则”B.“，”的否定是“，”C.“”是“”的必要不充分条件D.“或”是“”的充要条件3. 如图，在中，，，，是边上一点，且，则的值为( )A.B.C.D.A ={1,2,4,8}B ={y|y =x,x ∈A}log 2A ∩B {1,2,4,8}{1,2}{1,2,3}{0,3,4,8}x ≠3−2x −3≠0x 2−2x −3=0x 2x =3∀x ∈R −2x −3≠0x 2∃∈R x 0−2−3=x 20x 00x >3−2x −3>0x 2x <−1x >3−2x −3>x 20△ABC ∠BAC =60∘AB =2AC =1D BC =2CD −→−DB −→−⋅AD −→−BC −→−21−2−1C 85∘C60∘4. 茶水的口感与茶叶和水的温度有关，已知某种绿茶用的水泡制，在等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感，在室温下，茶水温度（单位：）随时间（单位：分钟）变化可以用拟合函数（其中为常数）较好的反映，则在室温下泡好的茶水需要放置约多少分钟才能达到最佳饮用口感（参考数据：，( )A.B.C.D.5. 函数的图象大致是（ ）A.B.C.D.6. 已知函数 ，则下列结论错误的是（ ）A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称C. 是的一个零点D. 在区间 单调递减7. 在 中，角,,所对的边分别为,,, 的外接圆半径为，且，则 的值为 C 85∘C 60∘(C)25∘y C ∘x y =λ×+25(x ≥0)0.9227x λC 85∘lg0.5833=−0.2341lg0.9227=−0.0349)8754y =+sin x x 3f (x)=sin x +cos x f (x)2πy =f (x)x =5π47π4f (x)f (x)(π,)3π2△ABC A B C a b c △ABC 2+=6,c sin B +b sin C =b 2c 24c sin A sin B (b +c)2()13+4–√A.B.C.D.8. 已知都为锐角，若，则的值是( )A.B.C.D.9. 向量，，若是实数，且，则的最小值为 A.B.C.D.10. 已知函数，，，在上有零点，则实数的取值范围为( )A.B.C.13+43–√215+33–√218+43–√324+53–√3α，βtan β=，cos(α+β)=043cos 2α1825725−725−1825=(cos ,sin )a →21∘21∘=(sin ,cos )b →24∘24∘t =+t u →a →b →||u →()2–√12–√212f (x)=+b −ln x x 2x ∈(0,+∞)b ∈R [,2]12b [−−ln 2,ln 2+2]1412[−−ln 2,−−ln 2]141212[−4+ln 2,−−ln 2]1212−4−ln 2,2−ln 2]1D.11. 平行四边形中，，，，，垂足为，是中点，则( )A.B.C.D.12. 已知，，，则，，之间的大小关系为（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 曲线在点处的切线方程为________.14. 若“”是“”的充分不必要条件，则的最小值为________.15. 已知函数 在区间 上是增函数，且在区间 上恰好两次取得最大值,则的取值范围是________.16. 内角，，的对边分别为，，，，则角的值为________；若，则边的中线长的最小值为________ .三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 解答．[−4−ln 2,2−ln 2]12ABCD AB =4AD =2⋅=4AB −→−AD −→−DE ⊥AB E F DE ⋅DF −→−=DB −→−−12−32321a =ln 3+13b =2ec =ln 2+1214a b c a <b <ca <c <bc <a <bb <c <af (x)=−4x x 3(2,f(2))−2≤x ≤2x ≤a a f(x)=A sin ωx(A >0,ω>0)[−,]π4π3[0,2π]A ω△ABC A B C a b c a sin C sin(A +C)=2c sin A 3–√sin 2B 2B a +c =6AC α∈(,2π))−−−−−−−−−−化简：，化简：.18. 已知函数＝．Ⅰ当时，若，求函数＝的最小值；Ⅱ若函数＝的图象与直线＝恰有两个不同的交点，，求实数的取值范围． 19. 如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点在弧上(异于点，)，过点作，，垂足分别为，，记，四边形的周长为．求关于的函数关系式；当为何值时，有最大值，并求出的最大值．20. 如图，在中，点在边上， ，.求；若，求的面积．21. 已知函数有两个极值点，．求实数的取值范围．证明：． 22. 已知函数.当时求的单调区间；若在上有两个零点，求实数的取值范围．(1)(α∈(,2π))+cos 2α1212−−−−−−−−−−√3π2(2)(α∈(,2π))−1212+cos 2α1212−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−√3π2f(x)−(m +1)x +4x 2()x ∈(0,1]m >0F(x)f(x)−(m −1)x ()G(x)2f （x ）y 1A(,1)x 1B(,1)(0≤<≤3)x 2x 1x 2m OPQ 1π3A PQ P Q A AB ⊥OP AC ⊥OQ B C ∠AOB =θACOB l (1)l θ(2)θl l △ABC P BC ∠PAC =30∘,AC =3–√AP +PC =2(1)∠APC (2)cos B =57–√14△APB f (x)=+2ax −2x ln x −1x 2x 1x 2(1)a (2)f ()+f ()<−x 1x 212a 2f (x)=2−a +a x 3x 2(1)a >0f (x)(2)f (x)(0,+∞)a参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】1111【解答】1122222.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用命题的否定全称命题与特称命题【解析】利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可．【解答】解：，“若，则”的逆否命题是“若，则”，故正确；，“，”的否定是，”，故正确；，“”等价于“或”，∴”是“”的充分不必要条件，故错误；，“或”是“”的充要条件，故正确．故选．3.A x ≠3−2x −3≠0x 2−2x −3=0x 2x =3AB ∀x ∈R −2x −3≠0x 2∃∈R x 0−2−3=0x 20x 0BC −2x −3>0x 2x <−1x >3x >3−2x −3>0x 2CD x <−1x >3−2x −3>012x 2D C【答案】C【考点】平面向量数量积的运算【解析】把用基向量表示，展开数量积得答案．【解答】解：∵，，∴．故选.4.【答案】B【考点】函数模型的选择与应用对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知：当时， ，解得，则拟合函数.由于在室温下茶水温度降至时饮用可产生最佳口感，得，即，得，、AD −→−BC −→−、AB −→−AC −→−=+AD −→−AC −→−CD −→−=+AC −→−23CB −→−=+(−)AC −→−23AB −→−AC −→−=+23AB −→−13AC −→−=−BC −→−AC −→−AB −→−⋅=(+)⋅(−)AD −→−BC −→−23AB −→−13AC −→−AC −→−AB −→−=+⋅−13AC −→−213AB −→−AC −→−23AB −→−2=×+×2×1×cos −×=−213121360∘2322C x =0y =λ×+250.92270λ=60y =60×+250.9227x (x ≥0)C 60∘60=60×+250.9227x =0.9227x 712x ==≈≈6.7077log 0.9227712lg 712lg0.9227lg0.5833lg0.9227C85∘故刚泡好的茶水放置大约分钟才能达到最佳口感.故选．5.【答案】C【考点】函数的图象【解析】确定函数的定义域，考查函数的性质，即可得到函数的图象．【解答】解：当时，，故排除，当时，，故排除，∵，∴函数图象是波动的.故选．6.【答案】D【考点】正弦函数的单调性两角和与差的正弦公式正弦函数的对称性正弦函数的周期性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】C 85∘7B x →+∞y →+∞D x →−∞y →−∞B y'=+cos x 13C余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ ,由正弦定理可得 .因为 ,所以.又 的外接圆半径为，所以 ，即，而 ,所以 ，于是为锐角，所以 ，可得 即. 由.故选.8.【答案】B【考点】二倍角的余弦公式两角和与差的余弦公式求二倍角的余弦同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：，c sin B +b sin C =4c sin A sin B sin B sin C +sin B sin C =4sin A sin B sin C sin B sin C ≠0sin A =12△ABC 2=4a sin A a =4×=212+=6b 2c 2cos A ==>0+−b 2c 2a 22bc 1bc A cos A =3–√2=,1bc 3–√2bc =23–√3=++2bc =6+(b +c)2b 2c 2=43–√318+43–√3C cos(α+β)=cos αcos β−sin αsin β=0cos αcos β=sin αsin β1=tan α×43tan α=34sin α3..故选.9.【答案】C【考点】三角函数的最值平面向量数量积【解析】由题意先进行坐标运算，求出向量的坐标，再用求模公式求出模，然后根据条件求最值即可．【解答】解：由题设,∴,是实数，由二次函数的性质知当时，取到最小值,最小值为.故选.10.【答案】C【考点】由函数零点求参数取值范围问题利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】=sin αcos α34=αsin 2αcos 291616α=9α=9(1−α)sin 2cos 2sin 2α=sin 2925cos 2α=1−2α=sin 2725B =+t =(cos +t sin ,sin +t cos )u →a →b →21∘24∘21∘24∘||=u →(cos +t sin +(sin +t cos 21∘24∘)221∘24∘)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√==1++2t sin t 245∘−−−−−−−−−−−−−−√1++t t 22–√−−−−−−−−−−√t t =−2–√2||u →2–√2C ,2]1解：，函数在上有零点，即方程在上有解，即，上有解.令，，则，令，得，则函数在上单调递减，令，得，则函数在上单调递增.又，，，，所以，，所以实数的取值范围．故选．11.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用向量的线性运算性质及几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，因为，，，所以，f (x)=+b −ln x x 2f (x)[,2]12f (x)=0[,2]12b =ln x −x 2x ∈[,2]12g(x)=ln x −x 2x ∈[,2]12(x)=−2x =g ′1x 1−2x 2x (x)<0g ′<x ≤22–√2g(x)(,2]2–√2(x)>0g ′≤x <122–√2g(x)[,)122–√2g()=−−ln 21214g()=−−ln 22–√21212g(2)=−4+ln 2g()−g(2)=−2ln 2>−2>012154154g =g(2)=−4+ln 2(x)min g =g()=−−ln 2(x)max 2–√21212b [−4+ln 2,−−ln 2]1212C AB =4AD =2⋅=4AB −→−AD −→−cos ∠DAB ==⋅AB −→−AD −→−||⋅||AB −→−AD −→−12DAB =π所以．在中，，易得，于是，又，所以 ．故选．12.【答案】C【考点】对数值大小的比较利用导数研究函数的单调性【解析】设，利用导数判断其单调性，即可求解【解答】解：设，则，其定义域为，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减．因为，所以，故，即，所以.故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】∠DAB =π3Rt △DAE AD =2AE =1==DF −→−12DE −→−(+)=−12DA −→−AE −→−18AB −→−12AD −→−=−DB −→−AB −→−AD −→−⋅=(−)DF −→−DB −→−18AB −→−12AD −→−(−)=AB −→−AD −→−|−⋅+|=18AB −→−|258AB −→−AD −→−12AD −→−|232C f (x)=ln x +1x f (x)=ln x +1x (x)=f ′−ln x x 2(0,+∞)x ∈(0,1)(x)>0f ′x ∈(1,+∞)(x)<0f ′f (x)(0,1)(1,+∞)1<e <3<4f (4)<f (3)<f (e)<<ln 4+14ln 3+13ln e +1e ln 2+<<1214ln 3+132e c <a <b C y =8x −16利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由，，，故曲线在点处的切线方程为．故答案为： ．14.【答案】【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断集合的包含关系判断及应用【解析】将问题等价为利用集合的基本关系求参数取值问题即可.【解答】解：∵“”是“”的充分不必要条件，∴ ，∴即的最小值是.故答案为：.15.【答案】【考点】正弦函数的周期性由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】此题暂无解析【解答】f (2)=0(x)=3−4f ′x 2(2)=8f ′y =f (x)(2,f (2))y =8(x −2)y =8x −162−2≤x ≤2x ≤a [−2,2]⊆(−∞,a]a ≥2.a 22[，]5432−,]ππ解：由函数 在区间 上是增函数，解得.又在区间 上恰好有两次取得最大值,所以 ,解得 ,所以 .故答案为： 16.【答案】,【考点】正弦定理余弦定理解三角形余弦定理的应用基本不等式二倍角的余弦公式【解析】无【解答】解：，∴，即，解得．取中点，延长中线到点，使得，不妨设中线长为，易得四边形是平行四边形，，在中，由余弦定理得，f(x)=A sin ωx(A >0,ω>0)[−,]π4π3 −≤−ω,π2π4ω≤,π3π20<ω≤32[0,2π]A π≤2πω<π5292≤ω<5494≤ω≤5432[,].54322π332sin A sin C sin B =2sin C sin A3–√(1−cos B)2sin B =1−cos B 3–√sin(B +)=π612B =2π3AC E BE D BE =ED y ABCD ∠DCB =π3△BCD 36−3ac ≥36−3=92，∴，当且仅当时，“”成立．故答案为：；．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：∵，∴，∴原式．∵，∴，又，∴，∴原式．【考点】三角函数的化简求值同角三角函数间的基本关系二倍角的余弦公式三角函数值的符号【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∴原式．∵，∴，又，∴，(2y =+−2ac ⋅cos =−2ac −ac )2a 2c 2π3(a +c)2=36−3ac ≥36−3=9()a +c 22y ≥32a =c =2π332(1)<α<2π3π2+cos 2α1212−−−−−−−−−−√==|cos α|=cos α+(2α−1)1212cos 2−−−−−−−−−−−−−−−−√=cos α(2)<α<2π3π2=|cos α|=cosα+cos 2α1212−−−−−−−−−−√<<π3π4α2=|sin |=sin −cos α1212−−−−−−−−−√α2α2=sin α2(1)<α<2π3π2+cos 2α1212−−−−−−−−−−√==|cos α|=cos α+(2α−1)1212cos 2−−−−−−−−−−−−−−−−√=cos α(2)<α<2π3π2=|cos α|=cos α+cos 2α1212−−−−−−−−−−√<<π3π4α2=|sin |=sin −cos α1212−−−−−−−−−√α2α2sin α∴原式．18.【答案】（1）＝＝，对称轴＝，①当时，＝＝，②当时，＝＝，∴（2）＝与直线＝＝恰有两个不同的交点，，等价于关于的方程＝在上有两个不等的实数根∴，解得，∴实数的取值范围为．【考点】二次函数的图象函数与方程的综合运用二次函数的性质【解析】Ⅰ＝＝，，对称轴＝，对分类讨论，即可得到函数＝的最小值；Ⅱ＝与直线＝＝恰有两个不同的交点，，等价于关于的方程＝在上有两个不等的实数根，建立不等式组，即可确定实数的取值范围．【解答】（1）＝＝，对称轴＝，①当时，＝＝，②当时，＝＝，∴（2）＝与直线＝＝恰有两个不同的交点，，等价于关于的方程＝在上有两个不等的实数根=sin α2F(x)f(x)−(m −1)x −2mx +4x 2x ∈(0,1]x m(m >0)0<m ≤1F(x)min F(m)4−m 2m >1F(x)min F(1)5−2m F(x ={ )min 5−2m,m >14−,0<m ≤1m 2G(x)=2f （x ）2−(m+1)x+4x 2y 120A(,1)x 1B(,1)(0≤<≤3)x 2x 1x 2x −(m +1)x +4x 20[0,3]△=(m +1−16>0)20<<3m +12f(0)=4>0f(3)=9−3(m +1)+3≥03<m ≤103m (3,]103()F(x)f(x)−(m −1)x −2mx +4x 2x ∈(0,1]x m(m >0)m F(x)f(x)−(m −1)x ()G(x)=2f （x ）2−(m+1)x+4x 2y 120A(,1)x 1B(,1)(0≤<≤3)x 2x 1x 2x −(m +1)x +4x 20[0,3]m F(x)f(x)−(m −1)x −2mx +4x 2x ∈(0,1]x m(m >0)0<m ≤1F(x)min F(m)4−m 2m >1F(x)min F(1)5−2m F(x ={ )min 5−2m,m >14−,0<m ≤1m 2G(x)=2f （x ）2−(m+1)x+4x 2y 120A(,1)x 1B(,1)(0≤<≤3)x 2x 1x 2x −(m +1)x +4x 20[0,3] =(m +1−16>02∴，解得，∴实数的取值范围为．19.【答案】解：在直角三角形中，，，，，在直角三角形中，，，则，，.由知，，，，当且仅当，即时，取得最大值，当时，取得最大值，最大值为．【考点】在实际问题中建立三角函数模型三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值【解析】在直角三角形中，由， ，求出，，在直角三角形中，由，可得，从而求出， ，则可求出关于的函数关系式；由知，，利用三角函数的诱导公式化简可得，由，可得，从而求出当，即时，取得最大值．△=(m +1−16>0)20<<3m +12f(0)=4>0f(3)=9−3(m +1)+3≥03<m ≤103m (3,]103(1)OAB OA =1∠AOB =θ∴OB =cos θAB =sin θOAC ∠POQ =π3∴∠AOC =−θπ3OC =cos(−θ)π3AC =sin(−θ)π3∴l =sin θ+cos θ+sin(−θ)+cos(−θ)π3π3=sin θ+cos θ+sin θ+cos θ123–√23–√232=(1+)sin(θ+)3–√π3(2)(1)l =(+1)sin(θ+)3–√π3∵θ∈(0,)π3∴θ+∈(,)π3π32π3∴θ+=π3π2θ=π6l +13–√∴θ=π6l +13–√(1)OAB OA ∠AOB OB =θAB =sin θOAC ∠POQ =π3∠AOC =−θπ3OC =cos(−θ)π3AC =sin(−θ)π3l θ(2)(1)l =sin θ+cos θ+sin(−θ)+cos(−θ)π3π3l =(+1)sin(θ+)3–√π3θ∈(0,)π3θ+∈(,)π3π32π3θ+=π3π2θ=π6l解：在直角三角形中，，，，，在直角三角形中，，，则，，.由知，，，，当且仅当，即时，取得最大值，当时，取得最大值，最大值为．20.【答案】解：在中，，，由余弦定理得，即，又，联立解得，．∴，∴∴．∵，∴，∵，∴．在中，由正弦定理，∴．在中，由余弦定理，得，即，解得．∴．∴的面积为．(1)OAB OA =1∠AOB =θ∴OB =cos θAB =sin θOAC ∠POQ =π3∴∠AOC =−θπ3OC =cos(−θ)π3AC =sin(−θ)π3∴l =sin θ+cos θ+sin(−θ)+cos(−θ)π3π3=sin θ+cos θ+sin θ+cos θ123–√23–√232=(1+)sin(θ+)3–√π3(2)(1)l =(+1)sin(θ+)3–√π3∵θ∈(0,)π3∴θ+∈(,)π3π32π3∴θ+=π3π2θ=π6l +13–√∴θ=π6l +13–√(1)△APC ∠PAC =30∘AC =3–√C =A +A −2AP ⋅AC ⋅cos ∠PAC P 2P 2C 2C =A +3−3AP P 2P 2AP +CP =2AP =1CP =1AP =PC ∠PCA =∠PAC =30∘∠APC =120∘(2)∠APC =120∘∠APB =60∘cos B =57–√14sin B =21−−√14△APB =AB sin ∠APB APsin B AB =7–√△APB A =A +P −2AP ⋅PB ⋅cos ∠APB B 2P 2B 27=1+P −2PB cos B 260∘P −PB −6=0B 2BP =3=AP ⋅BP ⋅sin ∠APB S △APB 12=×1×3×=123–√233–√4△APB 33–√4余弦定理正弦定理【解析】无无【解答】解：在中，，，由余弦定理得，即，又，联立解得，．∴，∴∴．∵，∴，∵，∴．在中，由正弦定理，∴．在中，由余弦定理，得，即，解得．∴．∴的面积为．21.【答案】解：由题意得，，令，则，当时，，单调递减，单调递减；当时，，单调递增，单调递增，所以，当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于又有两个极值点，所以只需，解得，即实数的取值范围是．(1)△APC ∠PAC =30∘AC =3–√C =A +A −2AP ⋅AC ⋅cos ∠PAC P 2P 2C 2C =A +3−3AP P 2P 2AP +CP =2AP =1CP =1AP =PC ∠PCA =∠PAC =30∘∠APC =120∘(2)∠APC =120∘∠APB =60∘cos B =57–√14sin B =21−−√14△APB =AB sin ∠APB AP sin B AB =7–√△APB A =A +P −2AP ⋅PB ⋅cos ∠APB B 2P 2B 27=1+P −2PB cos B 260∘P −PB −6=0B 2BP =3=AP ⋅BP ⋅sin ∠APB S △APB 12=×1×3×=123–√233–√4△APB 33–√4(1)(x)=2(x −ln x +a −1)f ′x >0g(x)=2(x −ln x +a −1)(x)=g ′2(x −1)x x ∈(0,1)(x)<0g ′g(x)(x)f ′x ∈(1,+∞)(x)>0g ′g(x)(x)f ′=(1)=2a f ′(x)min f ′x 0(x)f ′+∞x +∞(x)f ′+∞f(x)2a <0a <0a (−∞,0)(2)(1)−ln +a −1=0−ln +a −1=0证明：由知，，则，.要证，即证，,即证，即证，即证，即证因为，，所以，等价于 ，整理得，由于，不妨设，则，所以．所以恒成立，即得证． 【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，，令，则，当时，，单调递减，单调递减；当时，，单调递增，单调递增，所以，当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于又有两个极值点，所以只需，解得，即实数的取值范围是．证明：由知，，则，.要证，即证，,即证，(2)(1)−ln +a −1=0x 1x 1−ln +a −1=0x 2x 2+a −1=ln x 1x 1+a −1=ln x 2x 2f ()+f ()<−x 1x 212a 2++2a(+)−x 21x 22x 1x 22(ln +ln )−2<−x 1x 1x 2x 212a 2++2a(+)−x 21x 22x 1x 22[++(a −1)(+)]x 21x 22x 1x 2<−+212a 2−(+)+2(+)<−+2x 21x 22x 1x 212a 2<2(+)−4(+)+4a 2x 21x 22x 1x 2<(+−2+(−a 2x 1x 2)2x 1x 2)2+−2=ln +ln −2a x 1x 2x 1x 2−=ln −ln x 1x 2x 1x 2<(+−2+(−a 2x 1x 2)2x 1x 2)2<a 2+(ln +ln −2a)x 1x 22(ln −ln )x 1x 223−4a (ln x +ln )+2+2>0a 2x 2ln 2x 1ln 2x 2Δ=16(ln +ln −24x 1x 2)2(+)ln 2x 1ln 2x 2=−8(+−4ln ln )ln 2x 1ln 2x 2x 1x 2<x 1x 20<<1<x 1x 2Δ<03−4a(ln +ln )+2+2>0a 2x 1x 2ln 2x 1ln 2x 2f ()+f ()<−x 1x 212a 2(1)(x)=2(x −ln x +a −1)f ′x >0g(x)=2(x −ln x +a −1)(x)=g ′2(x −1)x x ∈(0,1)(x)<0g ′g(x)(x)f ′x ∈(1,+∞)(x)>0g ′g(x)(x)f ′=(1)=2a f ′(x)min f ′x 0(x)f ′+∞x +∞(x)f ′+∞f(x)2a <0a <0a (−∞,0)(2)(1)−ln +a −1=0x 1x 1−ln +a −1=0x 2x 2+a −1=ln x 1x 1+a −1=ln x 2x 2f ()+f ()<−x 1x 212a 2++2a(+)−x 21x 22x 1x 22(ln +ln )−2<−x 1x 1x 2x 212a 2++2a(+)−x 21x 22x 1x 22[++(a −1)(+)]x 21x 22x 1x 2<−+212a 2(+)+2(+)<−+21即证，即证，即证因为，，所以，等价于 ，整理得，由于，不妨设，则，所以．所以恒成立，即得证． 22.【答案】解：，令，得或，若，则当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减.所以函数的递增区间是 ，，递减区间是．①若，在单调递增；若，则当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减．综上，当时，在上单调递增，所以至多一个零点．②当时，由知，在，上单调递增，在上单调递减，又，，所以要使在上有两个零点，则 解得．所以的取值范围为．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究与函数零点有关的问题−(+)+2(+)<−+2x 21x 22x 1x 212a 2<2(+)−4(+)+4a 2x 21x 22x 1x 2<(+−2+(−a 2x 1x 2)2x 1x 2)2+−2=ln +ln −2a x 1x 2x 1x 2−=ln −ln x 1x 2x 1x 2<(+−2+(−a 2x 1x 2)2x 1x 2)2<a 2+(ln +ln −2a)x 1x 22(ln −ln )x 1x 223−4a (ln x +ln )+2+2>0a 2x 2ln 2x 1ln 2x 2Δ=16(ln +ln −24x 1x 2)2(+)ln 2x 1ln 2x 2=−8(+−4ln ln )ln 2x 1ln 2x 2x 1x 2<x 1x 20<<1<x 1x 2Δ<03−4a(ln +ln )+2+2>0a 2x 1x 2ln 2x 1ln 2x 2f ()+f ()<−x 1x 212a 2(1)(x)=6−2ax =2x (3x −a)f ′x 2(x)=0f ′x =0x =a 3a >0x ∈(−∞,0)∪(,+∞)a 3(x)>0f ′x ∈(0,)a 3(x)<0f ′f (x)(−∞,0)(,+∞)a 3(0,)a 3(−∞,0)(,+∞)a 3(0,)a 3(2)a =0f (x)(−∞,+∞)a <0x ∈(−∞,)∪(0,+∞)a 3(x)>0f ′x ∈(,0)a 3(x)<0f ′f (x)(−∞,)a 3(0,+∞)(,0)a 3a ≤0f (x)(0,+∞)f (x)a >0(1)f (x)(−∞,0)(,+∞)a 3(0,)a 3f (0)=a >0f (a)=+a >0a 3f (x)(0,+∞){a >0,f ()<0,a 3a >33–√a a >33–√【解析】无无【解答】解：，令，得或，若，则当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减.所以函数的递增区间是 ，，递减区间是．①若，在单调递增；若，则当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减．综上，当时，在上单调递增，所以至多一个零点．②当时，由知，在，上单调递增，在上单调递减，又，，所以要使在上有两个零点，则 解得．所以的取值范围为． (1)(x)=6−2ax =2x (3x −a)f ′x 2(x)=0f ′x =0x =a 3a >0x ∈(−∞,0)∪(,+∞)a 3(x)>0f ′x ∈(0,)a 3(x)<0f ′f (x)(−∞,0)(,+∞)a 3(0,)a 3(−∞,0)(,+∞)a 3(0,)a 3(2)a =0f (x)(−∞,+∞)a <0x ∈(−∞,)∪(0,+∞)a 3(x)>0f ′x ∈(,0)a 3(x)<0f ′f (x)(−∞,)a 3(0,+∞)(,0)a 3a ≤0f (x)(0,+∞)f (x)a >0(1)f (x)(−∞,0)(,+∞)a 3(0,)a 3f (0)=a >0f (a)=+a >0a 3f (x)(0,+∞){a >0,f ()<0,a 3a >33–√a a >33–√。
2014-2015届合肥皖智高复学校第二次月考试题数学(理科)
2014-2015届合肥皖智高复学校第二次月考试题数学（理科）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.若集合A ＝{x |x 2－9x <0，x ∈N*}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |4y ∈N *，y ∈N *，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32. 设36log (1)(6)()31(6)x x x f x x -ì-+>ï=í- ïî满足8()9f n =-，则(4)f n += ( )A ．2B ．2-C ．1D ．1-3．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知f (x )＝(a ＋1)x ＋ax ＋1，且f (x －1)的图象的对称中心是(0,3)，则f ′(2)的值为( )A ．－19 B.19C ．－14 D.145．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是 （ ）6.设f (x )是R 上的减函数，且f (0)＝3，f (3)＝－1，设P ＝{x ||f (x ＋t )－1|<2}，Q ＝{x |f (x )<－1}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( ) A ．t ≤0 B ．t ≥0 C ．t ≤－3 D ．t ≥－37．设函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 32)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)8.已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为 ( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)9．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数：f K (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝a －|x |(a >1)．当K ＝1a 时，函数f K (x )在下列区间上单调递减的是( )A ．(－∞，0)B ．(－a ，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)10．定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (3－x )＝f (x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32f ′(x )>0，若x 1<x 2且x 1＋x 2>3，则有( )． A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)<f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2) D ．不确定二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分). 11．函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是 ___________ .12．函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 .13．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________.14.对于任意实数x ，[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．这个函数[x ]叫做“取整函数”，则[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋[lg 4]＋…＋[lg 2 013]＝________. 15．已知函数)(x f y =，R x ∈，有下列4个命题：①若)21()21(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称； ②(2)y f x =-与(2)y f x =-的图象关于直线2=x 对称；③()(2)4,()f x f x f x +-=若则函数的图像关于点（2，1）中心对称.④若)(x f 为奇函数，且)2()(--=x f x f ，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称. ⑤若)(x f 为偶函数，且)()2(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线2=x 对称； 其中正确的命题为 .三、解答题(本大题共6小题，75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. （本小题满分12分）已知函数2()(2cos sin )2xf x a x b =++.(1)当a ＝1时，求f (x )的单调递增区间；(2)当a >0，且x ∈[0，π]时，f (x )的值域是[3,4]，求a ，b 的值． 17．（本小题满分12分）已知函数2()25(1)f x x ax a =-+>．（1）若函数()f x 的定义域和值域均为[1,]a ，求实数a 的值；（2）若()f x 在区间(],2-∞上是减函数，且对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤，求实数a 的取值范围； 18. （本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套. （1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.19. （本小题满分13分）已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分13分）()ln 3().(1)()21,1+()+20;ln 2ln 3ln 4ln 1(3).....(2,)234f x a x ax a R f x a f x n n n N n n*=-- =-?<澄已知函数求函数的单调区间；（）当证明：在（，）上，求证：21. （本小题满分13分）已知函数32()ln(21)2()3x f x ax x ax a R =++--（1）若x =2为()f x 的极值点，求实数a 的值；（2）若()y f x =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）当12a =-时，方程3(1)(1)3x b f x x --=+有实根，求实数b 的最大值。
高三数学上学期第二次月考试卷a 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年某某省某某中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（A）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）2．已知命题p：∀x∈R，3x＞0，则（）A．¬p：∃x∈R，3x≤0 B．¬p：∀x∈R，3x≤0C．¬p：∃x∈R，3x＜0 D．¬p：∀x∈R，3x＜03．已知函数f（x）=，则f[f（﹣4）]=（）A．﹣4 B．4 C．D．4．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a 的取值X围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，）B．[，] C．（0，）D．[，e]5．已知平面向量与的夹角为60°，，则=（）A．B．C．12 D．6．在等差数列{a n}中，已知a18=3（4﹣a2），则该数列的前11项和S11等于（）A．33 B．44 C．55 D．667．曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程为（）A．y=﹣x﹣1 B．y=﹣x+3 C．y=x+1 D．y=x﹣18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=4sin（x+）C．f（x）=2sin（x+）D．f（x）=4sin（x+）9．将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．10．已知=（）A．B．C．D．11．已知P，Q为△ABC中不同的两点，若3+2+=，3，则S△PAB：S△QAB为（）A．1：2 B．2：5 C．5：2 D．2：112．已知△ABC是半径为5的圆O的内接三角形，且，若，则x+y的最大值为（）A．B．C．1 D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．若函数f（x）=x3﹣x2+ax+4恰在[﹣1，4]上单调递减，则实数a的值为．14．若tanα=2，则=．15．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=．16．关于函数，有下列命题：①为偶函数；②要得到g（x）=﹣4sin2x的图象，只需将f（x）的图象向右平移个单位；③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的单调递增区间为．其中正确的序号为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的首项a1=1，a n+1=2a n+1．（1）求证：{a n+1}是等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和S n．18．已知函数﹣2cosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，求f（x）的单调区间及值域．19．在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若=4，b=4，求边a，c的值．20．已知函数．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值X围；（Ⅱ）若a=1，k∈R且，设F（x）=f（x）+（k﹣1）lnx，求函数F（x）在上的最大值和最小值．21．已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在上的最大值为，某某数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，某某数a的取值X围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F （x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A，B两点，若点P坐标为（3，），求|PA|+|PB|．选修4-5，不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|（1）解关于x的不等式 f（x）＞2（2）若不等式恒成立，某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省某某中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（A）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（∁R B）=（3，4）故选B【点评】本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键2．已知命题p：∀x∈R，3x＞0，则（）A．¬p：∃x∈R，3x≤0 B．¬p：∀x∈R，3x≤0C．¬p：∃x∈R，3x＜0 D．¬p：∀x∈R，3x＜0【考点】命题的否定；特称命题．【专题】综合题．【分析】根据含量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定写出否命题．【解答】解：∀x∈R，3x＞0，的否定是∃x∈R，3x≤0故选A【点评】本题考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可．3．已知函数f（x）=，则f[f（﹣4）]=（）A．﹣4 B．4 C．D．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f（﹣4）的值，再根据f（﹣4）的值或X围，代入相应的解析式求出最后的结果．【解答】解：∵﹣4＜0，∴f（﹣4）==24=16，16＞0，f（16）==4．即f[f（﹣4）]=f（16）=4故选B．【点评】本题考查分段函数求函数值，按照由内到外的顺序逐步求解．要确定好自变量的取值或X围，再代入相应的解析式求得对应的函数值．4．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a 的取值X围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，）B．[，] C．（0，）D．[，e]【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值X围．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值X围是[，）．故选：B．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．5．已知平面向量与的夹角为60°，，则=（）A．B．C．12 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】原式利用二次根式性质化简，再利用完全平方公式展开，利用平面向量的数量积运算法则计算即可得到结果．【解答】解：∵平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，∴|+2|=====2，故选：B．【点评】此题考查了平面向量数量积的运算，数量掌握运算法则是解本题的关键．6．在等差数列{a n}中，已知a18=3（4﹣a2），则该数列的前11项和S11等于（）A．33 B．44 C．55 D．66【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知易得a6=3，由求和公式和性质可得S11=11a6，代值计算可得．【解答】解：∵在等差数列{a n}中a18=3（4﹣a2），∴a2+16d=3（4﹣a2），其中d为数列的公差，∴化简可得a2+4d=3，即a6=3∴S11===11a6=33故选：A【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．7．曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程为（）A．y=﹣x﹣1 B．y=﹣x+3 C．y=x+1 D．y=x﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可．【解答】解：由函数y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切线的斜率k=2﹣=1则切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即y=x+1．故选：C【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程．8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=4sin（x+）C．f（x）=2sin（x+）D．f（x）=4sin（x+）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；简单复合函数的导数．【专题】计算题；数形结合．【分析】根据题意，先求出f（x）的导函数，再根据导函数的图象找出导函数的周期，利用周期公式求出ω的值，进而根据导函数的最大值为2，求出A的值，把求出的ω与A的值代入导函数中，再从导函数图象上找出一个已知点的坐标代入即可求出ψ的值，将A，ω及φ的值代入即可确定出f（x）的解析式，即可得答案．【解答】解：根据题意，对函数f（x）=Asin（ωx+φ）求导，可得f′（x）=ωAcos（ωx+φ），由导函数的图象可知：导函数的周期为2[﹣（﹣）]=4π，则有T==4π，解得ω=，由导函数图象可得导函数的最大值为2，则有Aω=2，即A=4，∴导函数f′（x）=2cos（x+φ），把（﹣，2）代入得：4cos（﹣+φ）=2，且|φ|＜，解得φ=，则f（x）=4sin（x+）．故选B．【点评】此题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，涉及复合函数的导数的运算；借助导函数图象中的周期、最值，来确定A，ω及ψ的值是解本题的关键．9．将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得变换后所得函数图象对应的函数解析式为y=2sin（x+），令x﹣=kπ+，k∈z，求得x的值，即可得到函数图象的一条对称轴方程．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象对应的函数解析式为y=2sin（x+﹣）=2sin（x﹣）．由x﹣=kπ+，k∈z，可得x=kπ+，故所得函数图象的一条对称轴是，故选C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，函数y=Asin（ωx+∅）的对称轴的求法，属于中档题．10．已知=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用=，根据两角差的正切公式，即可得到结论．【解答】解：∵ =∴=tan[]==故选B．【点评】本题考查两角差的正切公式考查学生的计算能力，解题的关键是利用=．11．已知P，Q为△ABC中不同的两点，若3+2+=，3，则S△PAB：S△QAB为（）A．1：2 B．2：5 C．5：2 D．2：1【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知向量等式得到S△PAB=S△ABC，S△QAB=S△ABC，可求面积比．【解答】解：由题意，如图所示，设AC，BC的中点分别为M，N，由3+2+=，得：2（+）=﹣（+），∴点P在MN上，且PM：PN=1：2，∴P到边AC的距离等于B到边AC的距离×=，则S△PAB=S△ABC，同理，S△QAB=S△ABC，所以，S△PAB：S△QAB=2：5．故选：B．【点评】本题主要考查了向量的计算与运用．考查了学生综合分析问题的能力．12．已知△ABC是半径为5的圆O的内接三角形，且，若，则x+y的最大值为（）A．B．C．1 D．【考点】向量在几何中的应用．【专题】平面向量及应用．【分析】延长AO与BC相交于点D，作OA1∥DA2∥AB，OB1∥DB2∥AC，设，推出，结合B、D、C三点共线，得到x+y的表达式，利用三角代换，求解最值即可．【解答】解：延长AO与BC相交于点D，作OA1∥DA2∥AB，OB1∥DB2∥AC，设，易知x＞0，y＞0，则，又B、D、C三点共线，所以，只需最小，就能使x+y最大，所以当OD最小即可，过点O作OM⊥BC于点M，从而OD≥OM，又∠BOM=∠BAC=θ，由，那么．故选：D．【点评】本题考查向量在集合中的应用，三角代换以及共线向量的应用，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．若函数f（x）=x3﹣x2+ax+4恰在[﹣1，4]上单调递减，则实数a的值为﹣4 ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】原函数是一个三次多项式函数，因此考虑用导函数的方法研究它的单调性．先求出f′（x）=x2﹣3x+a，函数，恰在[﹣1，4]上递减，说明f′（x）≤0的解集恰好是[﹣1，4]，最后利用一元二次方程根与系数的关系，可得出实数a的取值X围．【解答】解：先求出f′（x）=x2﹣3x+a，∵函数，恰在[﹣1，4]上递减，∴不等式f′（x）≤0的解集恰好是[﹣1，4]，也就是说：方程x2﹣3x+a=0的根是x1=﹣1，x2=4用一元二次方程根与系数的关系，得：所以a=﹣4故答案为：﹣4【点评】本题以三次多项式函数为例，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．深刻理解一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，是解决好本题的关键．14．若tanα=2，则= 1 ．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的求值．【分析】化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：tanα=2，则===1．故答案为：1．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查计算能力．15．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=．【考点】解三角形；等差数列的性质；正弦定理；余弦定理．【专题】计算题．【分析】根据等差中项的性质可知2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2﹣2ac．利用三角形面积求得ac的值，进而把a2+c2=4b2﹣2ac．代入余弦定理求得b的值．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．平方得a2+c2=4b2﹣2ac．又△ABC的面积为，且∠B=30°，故由S△=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6，∴a2+c2=4b2﹣12．由余弦定理cosB====．解得b2=4+2．又∵b为边长，∴b=1+．故答案为：1+【点评】本题主要考查了解三角形的问题．解题过程中常需要正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及勾股定理等知识．16．关于函数，有下列命题：①为偶函数；②要得到g（x）=﹣4sin2x的图象，只需将f（x）的图象向右平移个单位；③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的单调递增区间为．其中正确的序号为①②③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；数形结合法；简易逻辑．【分析】①==4cos2x，即可判断出真假；②将f（x）的图象向右平移个单位可得：y==﹣4sin2x，即可判断出真假；③由于==0，即可判断出真假；④由≤≤2kπ+，解得≤x≤kπ+，k∈Z，即可判断出真假．【解答】解：① ==4cos2x为偶函数，正确；②将f（x）的图象向右平移个单位可得：y==﹣4sin2x，因此正确；③由于==0，因此y=f（x）的图象关于点对称，正确；④由≤≤2kπ+，解得≤x≤kπ+，k∈Z，可得：y=f（x）的单调递增区间为[，kπ+]，k∈Z，故不正确．其中正确的序号为①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的首项a1=1，a n+1=2a n+1．（1）求证：{a n+1}是等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和S n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由a n+1=2a n+1可得a n+1+1=2（a n+1），结合等比数列的通项公式即可求解；（2）由（1）可得，na n=n2n﹣n，分组后结合等差数列的求和公式及错位相减求和方法即可求．【解答】解：（1）∵a1=1，a n+1=2a n+1．∴a n+1+1=2（a n+1），a1+1=2，∴数列{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列；（2）由（1）可得a n+1=22n﹣1=2n，∴a n=2n﹣1，则na n=n2n﹣n，令T n=12+222+…+n2n，则2T n=122+223+…+（n﹣1）2n+n2n+1，两式相减可得，﹣T n=2+22+…+2n﹣n2n+1=﹣n2n+1=2n+1﹣2﹣n2n+1，∴T n=（n﹣1）2n+1+2，∴前n项和S n=（n﹣1）2n+1+2﹣n（1+n）．【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求数列的通项公式，及分组求和、错位相减求和方法的应用．18．已知函数﹣2cosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，求f（x）的单调区间及值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为，由此求得它的周期．（Ⅱ）由，可得，由求出增区间，由求出减区间，再根据求得的X围，即可求得函数的域值．【解答】解：（Ⅰ） =2cosx（1+sinx）+==．故周期．（Ⅱ）∵，∴，由，∴，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；由，可得函数的域值为．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，复合正弦函数的增区间的求法，属于中档题．19．在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若=4，b=4，求边a，c的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值．（2）由=4 可得 ac=12，再由余弦定理可得 a2+c2=40，由此求得边a，c的值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵bcosC=（3a﹣c）cosB，由正弦定理可得 sinBcosC=（3sinA ﹣sinC）cosB，∴3sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，化为：3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB=．（2）由=4，b=4，可得，accosB=4，即 ac=12．…①．再由余弦定理可得 b2=32=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣，即 a2+c2=40，…②．由①②求得a=2，c=6；或者a=6，c=2．综上可得，，或．【点评】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理、余弦定理的运用，考查两角和公式．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．20．已知函数．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值X围；（Ⅱ）若a=1，k∈R且，设F（x）=f（x）+（k﹣1）lnx，求函数F（x）在上的最大值和最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，可得x∈[1，+∞）时，不等式，即恒成立，求出右边函数的最大值，即可求得实数a的取值X围；（Ⅱ）a=1时，，分类讨论：（1）若k=0，F（x）在上单调递减；（2）k≠0时，，确定函数的单调性，即可求得函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）由题设可得因为函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，所以当x∈[1，+∞）时，不等式，即恒成立因为当x∈[1，+∞）时，的最大值为1，所以实数a的取值X围是[1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）a=1时，，所以，…（6分）（1）若k=0，则，在上，恒有F'（x）＜0，所以F（x）在上单调递减∴，…（7分）（2）k≠0时，（i）若k＜0，在上，恒有，所以F（x）在上单调递减∴，…（9分）（ii）k＞0时，因为，所以，所以，所以F（x）在上单调递减∴，…（11分）综上所述：当k=0时，，F（x）max=e﹣1；当k≠0且时，F（x）max=e ﹣k﹣1，．…（12分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导，恰当分类是关键．21．已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在上的最大值为，某某数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，某某数a的取值X围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）求导函数，令f′（x）=0，确定函数的单调性与极值，从而可得函数的最大值，由此可求b的值；（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得恒成立，即，求出最小值，即可求得a的取值X围；（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1，则是否存在P，Q等价于方程﹣t2+F（t）（t3+t2）=0在t＞0且t≠1时是否有解．【解答】解：（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2），令f′（x）=0，得x=0或．列表如下：x 0f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘极小值↗极大值↘∵，，∴，即最大值为，∴b=0．…（4分）（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立，即．令，求导得，，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+1﹣2lnx＞0，从而t′（x）≥0，∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴t min（x）=t（1）=﹣1，∴a≤﹣1．…（8分）（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴，∴﹣t2+F（t）（t3+t2）=0…（*），…（10分）是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4﹣t2+1=0，此方程无解；…（11分）②若t＞1时，（*）方程为﹣t2+alnt（t3+t2）=0，即，设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则，显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查是否存在问题的探究，综合性强．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A，B两点，若点P坐标为（3，），求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可化为直角坐标系；（2）直线l的参数方程化为普通方程代入圆的方程解出交点坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：（1）圆C的方程为ρ=2sinθ，即，∴x2+y2=2y，∴圆C的直角坐标方程=5．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程为：x+y=3+，代入上述圆方程消去y得：x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2．∴|PA|+|PB|=+=+=+=．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的交点、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5，不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|（1）解关于x的不等式 f（x）＞2（2）若不等式恒成立，某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，再解不等式即可；（2）利用函数的图象，可得实数a的取值X围．【解答】解：（1）x≤﹣时，不等式化为﹣x﹣5＞2，可得x＜﹣7；﹣＜x＜4时，不等式化为3x﹣3＞2，可得＜x＜4；x≥4时，不等式化为x+5＞2，可得x≥4；∴不等式解集为…（5分）（2）y=ax+﹣恒过（﹣0.5，﹣3.5）所以由函数的图象可得﹣1≤a≤1【点评】本题考查不等式的解法，考查数形结合的数学思想，属于中档题．。
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数学（理科）试题第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则MN =( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2] 2.函数y=x ln(1-x)的定义域为A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]3. 22, 1()1log , 12x x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若1()2f a ≤，则实数a 应满足（ ） A. 1a = B. 1a ≤ C. 1a ≥ D. a R ∈且1a ≠ 4.给定两个命题p ,q .若p ⌝是q 的必要而不充分条件,则p 是q ⌝的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D 既不充分也不必要条件 5. 设命题p:函数sin 2y x =的最小正周期为2π;命题q:函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是 （ ）A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真6.已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示,则(2)y f x =--的图像为7.下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈D ．211()1x R x >∈+8.在下面哪个区间内函数243y x x =-+与函数ln 2y x x =-都为减函数（ ） A. (,2)-∞ B. (0)e ， C. 1(,2)2D. (),e +∞ 9. 函数1()ln1x f x x-=+是定义在(,)a b 内的奇函数，则2b b a ++的取值范围为（ ） A. [0,1) B. (0,1) C. (0,1] D. [0,1]10.设函数()x f x e x a =+-(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )(A)[1,]e (B)1[,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1[-1,1]e e -+二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11.方程1313313x x-+=-的实数解为________ 12.若集合2{|2cos 22,},{|1,},x A x x x R B y y y R π==∈==∈则A B = . 13. 函数2222(1)mm y m m x --=--是幂函数，且在(0)x ∈+∞，上为增函数，则实数m 的值为 .14.设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++,若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为________15.定义“正对数”:0,01,ln ln ,1,x x x x +<<⎧=⎨≥⎩现有四个命题:①若0,0a b >>,则ln ()ln ba b a ++=; ②若0,0a b >>,则ln ()ln ln ab a b +++=+③若0,0a b >>,则ln ()ln ln a a b b+++≥-④若0,0a b >>,则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的编号)三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分）已知27{|9},{|0},{||2|4}1x A x x B x C x x x -=>=≥=-<+ (1);(2)()UA B A B C ⋂⋂⋂求求。
17.（本小题满分12分）如图,某校有一块形如直角三角形ABC 的空地,其中B ∠为直角,AB 长40米,BC 长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B 为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.18.（本小题满分12分）已知p ：∀x ∈R ，2x>m(x 2＋1)，Q:∃x 0∈R ，01m x 2x 020=--+，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．19.（本小题满分12分）已知函数2()()x kf x x k e =-。
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e，求k 的取值范围。
20.（本小题满分14分）AB C若实数x 、y 、m 满足x m y m-<-，则称x 比y 接近m .（1）若21x -比3接近0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：22a b ab +比33a b +接近2ab ab ；（3）已知函数()f x 的定义域{},,D x x k k Z x Rπ≠∈∈.任取x D ∈，()f x 等于1sin x +和1sin x -中接近0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.21.（本小题满分13分）已知函数f (x )＝x －1ex.(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若函数y ＝g (x )对任意x 满足g (x )＝f (4－x )，求证：当x >2，f (x )>g (x )； (3)若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，求证：x 1＋x 2>4.合肥皖智高复学校2014届高三上学期第二次半月考数学（理科）试题第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDAACBCCCA1.（2012年高考（陕西文））集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N =( )（ ）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]1. 解析:{|lg 0}{|1}M x x x x =>=>,{|22}N x x =-≤≤,{12}M N x x =<≤,故选C.解析:}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U .答案选C. 2.（2013年高考江西卷（理））函数y=x ln(1-x)的定义域为A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1] 【答案】D3. 22, 1()1log , 12x x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若1()2f a ≤，则实数a 应满足（ ） A. 1a = B. 1a ≤ C. 1a ≥ D. a R ∈且1a ≠ 3.解析：本题考查了分段函数、函数的最值的求法，当1x =时，函数()f x 取得最小值12，故实数a 的取值只有一个，即1a =. 选A.4.（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））给定两个命题p ,q .若p ⌝是q 的必要而不充分条件,则p 是q ⌝的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 【答案】A5. （2012年高考（山东文））设命题p:函数sin 2y x =的最小正周期为2π;命题q:函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是 （ ） A ．p 为真 B ．q ⌝为假 C ．p q ∧为假 D ．p q ∨为真5.解析:命题p 和命题q 都是假命题, 依据“或”“且”“非”复合命题的真假性真假性判断可知p q ∧为假命题.故答案应选C.【答案】C6.（2012年高考（湖北文））已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示,则(2)y f x =--的图像为6.B 【解析】特殊值法:当2x =时,()()()22200y f x f f =--=--=-=,故可排除D 项;当1x =时,()()()22111y f x f f =--=--=-=-,故可排除A,C 项;所以由排除法知选B.【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题,从完整的性质并不好去判断,作为徐总你则提,可以利用特殊值法(特殊点),特性法(奇偶性,单调性,最值)结合排除法求解,既可以节约考试时间,又事半功倍.来年需注意含有xe 的指数型函数或含有ln x 的对数型函数的图象的识别.7.（2012福建理）下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈ D ．211()1x R x >∈+ 7.1. 【答案】C【解析】由基本不等式得212||()x x x R +≥∈,答案C 正确.【考点定位】此题主要考查基本不等式和均值不等式成立的条件和运用,考查综合运用能力,掌握基本不等式的相关内容是解本题的关键.8.在下面哪个区间内函数243y x x =-+与函数ln 2y x x =-都为减函数（ ） A. (,2)-∞ B. (0)e ， C. 1(,2)2D. (),e +∞8. 解析：本题考查了二次函数的单调性、导数在函数单调区间的求法中的运用，ln 2y x x=-的导数120y x '=-<，解得12x >，故函数ln 2y x x =-的递减区间为1(,)2+∞，函数243y x x =-+的递减区间为(,2)-∞. 选C.9. 函数1()ln1x f x x-=+是定义在(,)a b 内的奇函数，则2b b a ++的取值范围为（ ） A. [0,1) B. (0,1) C. (0,1] D. [0,1] 9. 解析：本题考查了函数的定义域、函数的奇偶性.解析式1()ln1xf x x-=+有意义，则(1,1)x ∈-，故01b <≤，又因为函数是奇函数，故0b a +=，则2201b b a b <++=≤. 选C.10.（2013年高考四川卷（理））设函数()x f x e x a =+-(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )(A)[1,]e (B)1[,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1[-1,1]e e -+ 【答案】A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置） 11.（2013年高考上海卷（理））方程1313313x x-+=-的实数解为________ 【答案】3log 4x =.12.若集合2{|2cos 22,},{|1,},x A x x x R B y y y R π==∈==∈则A B = . 答案 {}113. 函数2222(1)m m y m m x --=--是幂函数，且在(0)x ∈+∞，上为增函数，则实数m 的值为 . 13. 1-解析：本题考查了幂函数的概念及性质，幂函数的系数为1，得211m m --=，解得2m =或1m =-，又因为函数在(0)x ∈+∞，上为增函数，可得2220m m -->，故1m =-. 14.（2013上海（理））设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++,若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为________ 【答案】87a ≤-. 151．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））定义“正对数”:0,01,ln ln ,1,x x x x +<<⎧=⎨≥⎩现有四个命题: ①若0,0a b >>,则ln ()ln ba b a ++=;②若0,0a b >>,则ln ()ln ln ab a b +++=+③若0,0a b >>,则ln ()ln ln aa b b+++≥-④若0,0a b >>,则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的编号) 【答案】①③④三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分） 已知27{|9},{|0},{||2|4}1x A x x B x C x x x -=>=≥=-<+ (1)求B A ⋂; (2)求)(C B C A R⋂⋂。