广义二重积分问题

广义二重积分问题

一、广义二重积分问题

若区域D 是平面上的无界区域，),(y x f 在区域D 上连续，则在区域D 上的广义二重积分定义为

⎰⎰

⎰⎰→=Γ

Γ

σσD D D D

d y x f d y x f ),(lim ),(， 其中ΓD 是无重点的连续闭曲线Γ画出的有界闭区域，且闭曲线Γ连续扩张并趋于区域

D 。若上式右端极限存在，则称),(y x f 在区域D 上可积，或称),(y x f 在区域D 上广义二

重积分收敛，否则称广义二重积分发散。

的方法。

1、{}

)()(,:,x y x x a y x D φϕ≤≤+∞<≤=）（。则构造

{})(

)(,:,x y x b x a y x D b φϕ≤≤<≤=）（

， ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞→+∞→==)

()(),(lim ),(lim ),(x x b

a

b D b D

dy y x f dx d y x f d y x f b

φϕσσ，

2、当{}

)()(,:,y x y y c y x D φϕ≤≤+∞<≤=）（（如图2所示）。则构造

{})()(,:,y x y d x c y x D d φϕ≤≤<≤=）（

， ⎰

⎰

⎰⎰

⎰⎰

+∞→+∞

→==)()

(),(lim

),(lim

),(y y d

c

d D d D

dx y x f dy d y x f d y x f d

φϕσσ，

3、当区域D 是整个xoy 平面或xoy 平面的某一象限或某一角形区域时，则构造

{}

角度变化范围）（,:,222R y x y x D R ≤+=，

⎰⎰

⎰⎰+∞→=R

D R D

d y x f d y x f σσ),(lim ),(， 例1 计算二重积分

⎰⎰

-D

y

dxdy xe 2

，其中D 是由曲线2249x y x y ==和在第一象限所构成的无界区域，即⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤=23,0:,y x y d y y x D ）（（如图3所示）

。

解：

⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+∞→-+∞

→-==d

y y y d D y d D

y dy dx e

x dxdy xe

dxdy xe

d

2

/3/][lim

lim

2

2

2

144

5

]94[lim 2102=

-=⎰-+∞→d y d dy e y y 。 例2 证明

π=⎰+∞

∞

--dx e x 2

只需证明π=⎰

+∞

∞

--2

][2

dx e

x 即可，而

dy e dx e

dx e

y x x ⎰⎰⎰+∞∞

--+∞

∞

--+∞

∞

--=2

22

2

][，为此设

}

,|),{()(}

2|),{()2(};|),{()(222222R y R R x R y x R D R y x y x R R y x y x R ≤≤-≤≤-=≤+=≤+=ΩΩ

则，)2()()(R R D R ΩΩ⊆⊆（如图4所示）

)1()1(2

2

22

22

2

22)

2()

()

(R R y x R D y x R R y x e

d e

d e

e

d e

---------=≤

≤

-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰πσσπσΩΩ

所以，当∞→R 时，

=

=

⎰⎰∞--σπd e

D y

x )

(2

22][2

2

2dx e

dxdy e

x y

x ⎰⎰⎰+∞

∞

--+∞∞-+∞

∞

---=。

因此，π=⎰+∞

∞

--dx e

x 2

。