高考数学理一轮复习(1)

一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证
明方法叫做综合法．
②框图表示： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
(其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要
证的结论)．
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(2)分析法 ①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已 知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法． ②框图表示： Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 得到一个明显成立的条件 .
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2．间接证明 一般地，由证明 p⇒q 转向证明：綈 q⇒r⇒…⇒t.
t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定綈 q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法．
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一个关系 综合法与分析法的关系 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进 行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问 题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉 使用．
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5．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一 个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正 确． 例如：在△ABC 中，若 AB＝AC，P 是△ABC 内一点，∠APB ＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时应分：假 设________和________两类． 答案 ∠BAP＝∠CAP ∠BAP＞∠CAP
号．
13即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
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综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导 出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证 法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这 就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．
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【训练1】 设a，b为互不相等的正数，且a＋b＝1，证明：1a＋ 1b＞4. 证明 1a＋1b＝1a＋1b·(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2＝4. 又a与b不相等．故1a＋1b＞4.
第2讲 直接证明与间接证明
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【2013年高考会这样考】
1．在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式
是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有高档题．
2．从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、
函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证
法等方法．
【复习指导】
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2．设 a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则 a 与 b 大小关系为( )． A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≤b 解析 a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，当 x＜0 时，0＜b＜1. ∴a＞b. 答案 A
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3．否定“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为
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两个防范 (1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命 题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过 程是错误的． (2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常 用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个 明显成立的结论 P，再说明所要证明的数学问题成立．
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双基自测 1 ． ( 人 教 A 版 教 材 习 题 改 编 )p ＝ ab ＋ cd ， q ＝
ma＋nc· mb ＋dn(m、n、a、b、c、d 均为正数)，则 p、q 的大 小为( )． A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．不确定 解析 q＝ ab＋mnad＋nmbc＋cd≥ ab＋2 abcd＋cd ＝ ab＋ cd＝p，当且仅当mnad＝nmbc时取等号． 答案 B
在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合
法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问
题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同
时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的．
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基础梳理
1．直接证明 (1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过
( )．
A．a，b，c 都是奇数
B．a，b，c 都是偶数
C．a，b，c 中至少有两个偶数
D．a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数
解析 ∵a，b，c 恰有一个偶数，即 a，b，c 中只有一个偶数，
其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇
数，故只有 D 正确．
答案 D
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4．(2012·广州调研)设 a、b∈R，若 a－|b|＞0，则下列不等式中 正确的是( )． A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0 C．a2－b2＜0 D．b＋a＞0 解析 ∵a－|b|＞0，∴|b|＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a ＞0. 答案 D
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考向一 综合法的应用
【例 1】►设 a，b，c＞0，证明：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
[审题视点] 用综合法证明，可考虑不等式左边两两结合．
证明 ∵a，b，c＞0，根据均值不等式，
有ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c.
三式相加：ab2＋bc2＋ca2＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．a＝b＝c 时取等
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【例2】►已知m＞0，a，b∈R，求证：a1＋＋mmb2≤a21＋＋mmb2. [审题视点] 先去分母，合并同类项，化成积式． 证明 ∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立， 只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即证m(a2－2ab＋b2)≥0， 即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立， 故原不等式得证．
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逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找 使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解 的关键．
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【训练2】 已知a，b，m都是正数，且a＜b. 求证：ab＋＋mm＞ab. 证明 要证明ab＋＋mm＞ab，由于a，b，m都是正数， 只需证a(b＋m)＜b(a＋m)， 只需证am＜bm， 由于m＞0，所以，只需证a＜b. 已知a＜b，所以原不等式成立． (说明：本题还可用作差比较法、综合法、反证法)