流体力学3-5动量方程.
流体力学第三章(7)动量方程及其应用及动量矩方程
对于方程右侧的动量变化率：只要知道两截面上的平均速度和流量就可以 计算出来。
2、外力和速度的方向问题。与坐标相同时为正，与坐标相反时为负。公 式右边的减号是固定的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三 、动量方程式的应用（重点）
1、流体对管道的作用力问题 2、自由射流的冲击力问题
1、流体对管道的作用力问题—动量方程式的应用之
要求密度为
V
vdV
A
v(v
dA)
这就是用欧拉方法表示的动量方程式，这个方程式既适用于控制体固定的情况， 也适用于控制体运动的情况。在运动时需将速度v换成相对速度，并在控制体 上加上虚构的惯性力。
动量方程式中，需注意
1. F 是作用在控制体内质点系上的所有外力的矢量和，既包括控制体外
部流体及固体对控制体内流体的作用力（压力、摩擦力），也包括控制体
（I）部分通过A1面非 原质点系的流入动量
制体的总动量。
（II）部分通过A2 面流出的动量
对于控制体的全部控制面A：
末动量
初动量
F
d( mv)
dt
lim
t 0
1 t
{[
V
v dV ]t t
t A
v(v dA)
[
V
v dV ]t }
t
2vz z 2
]
dvz dt
作用在质点系上的总外力就不必通过分布压强的积分，而是通过求质点系动量变 化率的办法计算出来，开辟了求解流体动力学问题的新途径。
F
d ( mv)
dt
由于各个质点速度不尽相同，似乎要计算质点系的动量变化 率采用拉格朗日法比较适宜，由于运动的复杂性，很困难。
流体力学基本方程组
（7）
du ρ − ρ f − divP δτ = 0 ∫∫∫ dt τ 其中P是应力张量，则， du ρ = ρ f + divP dt
∂ Pij du i ρ = ρfi + dt ∂x j
2011-12-1
（8） （9） （10）
----------微分形式的动量方程。
13
2 微分形式的连续方程 据输运公式， d Φ dτ
dt
∫∫∫ τ
=
∫∫∫ τ
∂Φ + div (Φ u ) d τ ∂t
（1）式变为：
∂ρ + div(ρu )dτ = 0 ∫∫∫ ∂t τ
（3）
假设被积函数连续,
τ 任意,则被积函数一定为0,于是
（4a）
控制体
τ
d 1 ∫∫∫ Φdτ = lim ∫∫∫ [Φ(r , t + ∆t ) − Φ(r , t )]dτ + ∫∫∫ Φ(r , t + ∆t )dτ dt τ ∆t →0 ∆t τ (t ) ∆τ
4)式的意义: 体积分(1)的变化由两部分组成,右边第一 项表明 Φ 随 t 变化而引起,第二项代表由于流体体积改 变了 ∆τ 后所引起的参量变化,显然4)式右边第一项为: ∂Φ ∫∫∫ ∂t dτ （5） τ 再看4）式右边第二项： 因为： 于是：
d 1 ρ e + 2 u i u i = ρ dt
( )
i
∫∫ qi ni ds = ∫∫∫
s
∂ qi
τ ∂ xi
dτ
f u
+ i
∂ ∂
x
(u
流体力学3-5动量方程.
dt 2v2 A2 v 2 dt 1v1 A1 v1 dtQ( 2 v 2 1 v1 )
2
动量修正系数β
修正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差异而引入
3 u A dA
A
3
2 u A dA
A
2
β值取决于过流断面上的速度分布， 速度分布较均匀的流动β =1.02~1.05， 通常取β=1.0
恒定流动，dt 前后 K 1'2 无变化，则
d K K 22' K11' 2u2dtdA2 u2 1u1dtdA1u1
1
取过流断面为渐变流断面，各点的流速平行， i 令 ——为单位向量
u ui
d K K 22' K11' 2u2dtdA2 u2 1u1dtdA1u1
该质点系上的外力的冲量
质点系动量定理: 质点系动量的增量等于作用于
Fdt dtQ( v v ) F Q( v v )
2 2 1 1
2 2 1 1
3
恒定总流动量方程
F Q( v v ) F Q ( v v F Q ( v v F Q ( v v
1 4
3、由连续性方程
v1
d
Q = v1A1= v2A2
2 1
3.185m/s
4Q v2 5.66m/s 8 2 d2
v v p2 p1 7.043kPa 2g 2 d2 P2 p2 0.124kN 4 4、将各量代入总流动量方程，解得 Rx ' 0.538kN
2 2 1 1 x 2 2x y 2 2y z 2 2z
流体力学第3章(第二版)知识点总结经典例题讲解
dx u u( t ) dt
流体质点加速度：
dy v v(t ) dt
dz w w( t ) dt
d2x d2y d 2z ax 2 ， y 2 ， z 2 a a dt dt dt
x(t ) a t y( t ) b t z(t ) 0
y
迹线方程:
流线的性质
（1）流线彼此不能相交(除了源和汇)
交点
v1 v2
s1
（2）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点(除了激波问题)
（3）定常流动时流线形状不变， 非定常流动时流线形状发生变化
s2
v1 v 折点 2
s
[例1] 由速度分布求质点轨迹
已知: 求： 解： 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
(2)
由于在欧拉法中速度只和当地坐标以及时间有关,所以必须消 去初始座标,观察(1)式和(2)式可得:
u( x , y , z , t ) y v ( x , y , z , t ) x w( x, y, z, t ) 0
讨论：本例说明虽然给出的是流体质点在不同时刻经历的空间位置，即 运动轨迹,即可由此求出空间各点速度分布式（欧拉法），即各 空间点上速度分量随时间的变化规律。 此例中空间流场分布与时间无关,属于定常流场.
[例3] 由速度分布求加速度
已知: 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为 求各空间位置上流体质点的加速度 解： 对某时刻 t 位于坐标点上(x, y)的质点
dx xt dt dy v yt dt u
u xt v yt
(a )
求解一阶常微分方程（a）可得
x( t ) ae y( t ) be
流体力学3-5动量方程
❖动量方程的解题步骤
1. 选控制体 根据问题的要求，将所研究的两个渐
变流断面之间的水体取为控制体；
2. 选坐标系 选定坐标轴 的方向，确定各作用力及
流速的投影的大小和方向；
3. 作计算简图 分析控制体受力情况，并在控制体
上标出全部作用力的方向；
4. 列动量方程解题 将各作用力及流速在坐标轴
上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强 采用相对压强计算。 注意与能量方程及连续性方程的联合使用。
重力G在xOy面无分量； 弯管对水流的作用力R‘ 列总流动量方程的投影式
Fx Q(2v2x 1v1x )
Fy Q(2v2 y 1v1y ) 7
P1 P2 cos 60o Rx ' Q(2v2 cos 60o 1v1)
P2
r
r
rr
dt2v2 A2 v2 dt1v1A1v1 dtQ(2 v2 1v1)
2
❖动量修正系数β
修正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差异而引入
Au3dA 3A
Au2dA 2A
β值取决于过流断面上的速度分布， 速度分布较均匀的流动β =1.02~1.05， 通常取β=1.0
Fz Q(2v2z 1v1z )
❖物理意义：作用于控制体内流体上的外力，等
于单位时间控制体流出动量与流入动量之差
4
❖应用条件：
恒定流 过流断面为渐变流断面 不可压缩流体
❖合外力： F
作用在该控制体内所有流体质点的质量力； 作用在该控制体面上的所有表面力 四周边界对水流的总作用力
sin
60o
Ry'Fra bibliotekQ(2v2
工程流体力学第三章
物理量
比起流体质点本身， 比起流体质点本身，工程上我们更关心某一 时刻流体质点上所携带的一些特征参量，比如： 时刻流体质点上所携带的一些特征参量，比如： 速度、压强、温度、电流等。 速度、压强、温度、电流等。 我们把这些流体具有的特征参量统称为物理 我们把这些流体具有的特征参量统称为物理 流体具有的特征参量 流动参数。 也成为流动参数 量，也成为流动参数。 流体的流动是由流体具有的物理量来表征的， 流体的流动是由流体具有的物理量来表征的， 因此，描述流体的运动也就是表达流动参数在不 因此，描述流体的运动也就是表达流动参数在不 同空间位置上随时间的变化规律。 同空间位置上随时间的变化规律。
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
L M’ M
V (M , t ) V ( M ' , t + ∆t )
3.1.3随体导数 随体导数
这里用 D 表示这种导数不同于牛顿定律 Dt 对速度的简单导数
L M’ M
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
速度的变化有两方面的原因:
一方面的原因, 质点由M 点运动至M 点时,
'
时间过去了∆t,由于场的时间非定常性引 起速度的变化
另一方面, 质点由M 点运动至M '点时, 位置 发生了变化,由于场的空间不均匀性引起 速度的变化
3.1.3随体导数 随体导数
按照时间和空间引起速度变化,把极限分为两部分
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
《流体力学》流体力学基本方程
2.2 描述流体运动的一些基本概念
2.2.1定常流与非定常流
流场中所有的运动 要素不随时间变化
u u(x, y, z)
(x, y, z)
p p(x, y, z)
u 0 t p 0 t
0
t
流场中有运动 要素随时间变化
u u(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t) (x, y, z,t)
x, y, z ,t--欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。
欧拉法是常用的方法。
5
16 October 2021
欧拉法中的加速度 -- 质点速度矢量对时间的变化率。
a
u t
ux
u x
uy
u y
uz
u z
三个分量：
ax
ux t
ux
ux x
拉格朗日法 从流体质点的运动着手，描述每一个流体质点自始至 终的运动过程。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流 体的运动规律也就清楚了。是质点--时间描述法。
质点运动的轨迹
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a, b, c --- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
y x
12
16 October 2021
2. 求迹线
将已知速度分布代入式(2.2.1)可得
dx x t, dy ( y t), dz 0
《流体力学》典型例题
《例题力学》典型例题例题1：如图所示，质量为m ＝5 kg 、底面积为S ＝40 cm ×60 cm 的矩形平板，以U ＝1 m/s 的速度沿着与水平面成倾角θ＝30的斜面作等速下滑运动。
已知平板与斜面之间的油层厚度δ＝1 mm ，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。
求油的动力粘性系数。
解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力du Udy τμμδ=＝ 又因等速运动，惯性力为零。
根据牛顿第二定律：0m ==∑F a ，即：gsin 0m S θτ-⋅=()324gsin 59.8sin 301100.1021N s m 1406010m U S θδμ--⋅⨯⨯⨯⨯==≈⋅⋅⨯⨯⨯ 例题2：如图所示，转轴的直径d ＝0.36 m 、轴承的长度l ＝1 m ，轴与轴承的缝隙宽度δ＝0.23 mm ，缝隙中充满动力粘性系数0.73Pa s μ=⋅的油，若轴的转速200rpm n =。
求克服油的粘性阻力所消耗的功率。
解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力()60d d n d uy πτμμδ=＝粘性阻力（摩擦力）：F S dl ττπ=⋅= 克服油的粘性阻力所消耗的功率：()()3223223230230603.140.360.732001600.231050938.83(W)d d n d n n lP M F dl πππμωτπδ-==⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=例题3：如图所示，直径为d 的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度ω旋转，此时所需力矩为T ，求间隙厚度δ的表达式。
解：根据牛顿黏性定律 d d 2d r r F A r r ωωμμπδδ== 2d d 2d r T F r r r ωμπδ=⋅=42420d d 232dd d T T r r πμωπμωδδ===⎰432d Tπμωδ=例题4：如图所示的双U 型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度ρ（取管中水的密度ρ水＝1000 kg/m 3）。
流体力学动量方程的积分推导_理论说明
流体力学动量方程的积分推导理论说明1. 引言1.1 概述本文旨在探讨流体力学中的动量方程，并对其进行积分推导和理论说明。
流体力学是研究液体和气体运动规律的学科，对于各个领域都具有重要意义，如工程、地质等。
而动量方程是描述流体运动的基本方程之一，通过对其积分推导可以得到更加普适且应用广泛的形式。
1.2 文章结构本文主要由四部分组成：引言、流体力学动量方程的积分推导、理论说明和结论。
首先，在引言部分，我们将简要介绍文章的概述、目的以及结构安排，为读者提供一个整体的了解和预期。
然后，在流体力学动量方程的积分推导部分，我们将深入探讨动量守恒定律、Eulerian描述和Lagrangian描述，并详细介绍积分推导过程。
接下来，在理论说明部分，我们将解释动量守恒方程的意义和应用场景，并探讨积分形式与微分形式之间的关系以及考虑动量通量项和边界条件时所需注意的问题。
最后，在结论部分，我们将总结动量方程积分推导的过程，并讨论实际应用中可能遇到的局限性和改进方法，同时探讨流体力学研究的重要性和未来展望。
1.3 目的本文的目的在于提供读者对流体力学动量方程积分推导及其理论说明的全面了解。
通过对动量守恒定律、Eulerian描述和Lagrangian描述进行讨论，我们将详细探究动量方程的积分推导过程，并阐述其在实际应用中的意义和应用场景。
通过理论说明部分，我们将帮助读者理解积分形式与微分形式之间的关系以及考虑边界条件时需要注意的问题。
最后，我们将总结动量方程积分推导过程，并就实际应用中可能遇到的局限性提出一些改进方法，并强调流体力学研究在现实世界中所起到的重要性和未来展望。
通过阅读本文，读者将对流体力学动量方程有一个更加深入和全面的了解。
2. 流体力学动量方程的积分推导:2.1 动量守恒定律:在流体力学中，动量守恒是一个基本原理。
根据牛顿第二定律和质点的动能定理，我们可以得出流体力学中的动量守恒定律。
该定律表明，在一个封闭系统中，流体粒子总动量的变化率等于作用在其上的合外力矢量之和。
流体力学伯努利方程及动量方程
p1 gh1 p2 gh2 ghp
p1
g
h1
p2
g
h2
hp
( p1
g
h1)
( p2
g
h2 )
hp
而 h1 h2 Z1 Z2 hp
( p1
g
Z1 )
(
p2
g
Z2)
hp
hp
hp
注意：
水(ρ)-水银(ρ’) 气(ρ)-液(ρ’)
' h hp
h
'
hp
34
第三节 恒定总流的伯努利方程
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldAcos p2dA l cos Z1 Z2
p1 (Z1 Z2 ) p2
Z1
p1
Z2
p2
3
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1
p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
Z p c
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
二、动能积分 u2 dQ u3 dA u3dA
Q 2g
A 2g
2g A
表单位时间通过断面的流体动 能
v
Q
udA
A
AA
u3dA u3dA
v3dA
v3 A
——动能修正系数
10
第三节 恒定总流的伯努利方程
2g
u13dA
A1
2g
1v13dA
A1
1v12
管道弯头、接头、闸 阀、水表
1、恒定流； 2、不可压缩流体； 3、质量力只有重力； 3、所取过流断面为渐变流断面； 4、两断面间无分流和汇流。
流体力学动量方程表达式
流体力学动量方程表达式
流体力学动量方程是描述流体运动的基本方程之一。
它以人类的视角，如同一位热血澎湃的足球运动员，在足球场上奔跑，用力踢球，为我们展现了流体的力学特性。
我们需要了解什么是动量。
动量是物体运动的基本属性，它与物体的质量和速度有关。
在流体力学中，动量方程描述了流体的动量变化与力的关系。
在足球场上，当我们踢球时，足球会受到力的作用而改变其速度和方向。
同样地，在流体中，流体微团也会受到外力的作用而改变其速度和方向。
动量方程告诉我们，流体微团的动量变化等于作用在它上面的力的总和。
动量方程的表达式如下：
动量变化 = 外力的作用 + 内力的作用
动量变化 = 外力的作用 + 压力的作用
外力的作用是指外部施加在流体微团上的力，例如重力、浮力等。
这些力会改变流体微团的动量。
内力的作用是指流体微团内部分子之间的相互作用力。
这些力同样会改变流体微团的动量。
而压力的作用是指流体微团受到外部压力的作用而产生的力。
压力
的作用同样会改变流体微团的动量。
通过动量方程，我们可以研究流体运动的各种现象。
例如，当水流经过狭窄的管道时，我们可以通过动量方程来分析水流的速度和压力的变化。
当风吹过一座桥时，我们也可以通过动量方程来分析桥面受到的力和压力的分布情况。
动量方程是研究流体运动的重要工具之一。
它以人类的视角，通过描述流体微团的动量变化与力的关系，为我们揭示了流体运动的奥秘。
无论是在足球场上还是在流体力学的研究中，动量方程都是我们的得力助手，帮助我们更好地理解和掌握流体运动的规律。
流体力学 第三章
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
流体力学动量方程表达式
流体力学动量方程表达式
流体力学动量方程是描述流体运动的基本方程之一。
动量方程
可以通过牛顿第二定律和质量守恒定律推导得出。
在欧拉描述和拉
格朗日描述下，动量方程的表达式略有不同。
在欧拉描述下，流体力学动量方程的表达式如下：
∂(ρv)/∂t + ∇(ρv⋅v) = -∇p + ∇⋅τ + ρg.
其中，ρ是流体密度，v是流体速度矢量，t是时间，p是压力，τ是应力张量，g是重力加速度矢量。
在拉格朗日描述下，动量方程的表达式如下：
Dv/Dt = -1/ρ ∇p + ∇⋅τ/ρ + g.
其中，Dv/Dt是流体质点速度的材质导数，ρ是密度，p是压力，τ是应力张量，g是重力加速度矢量。
这些方程描述了流体内部的动量变化，包括流体的加速度、压
力、应力和重力等因素对流体运动的影响。
通过这些方程，我们可以深入理解流体在运动过程中的行为和特性。
第二章 流体力学的基本方程
矢量形式：
Du p u 2S f Dt
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
三、N-S方程
通常，粘性系数λ和μ是温度的函数， 若流场中温度变化很小，则可认为二者在流场中是均匀的。 故：
D uk 0 Dt t xk
但
例： 密度分层流动
均质不可压缩流体： const 在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。
第二章 流体力学的基本方程
2 1
§2.1 连续方程
四、其他形式的连续方程
3.有源、汇的连续方程 uk Q t xk 4. 积分形式的连续方程
p x j x j
代入动量方 程 后 得 N-S 方程：
p Dt x j x j Du j
uk x k
x i
u u j i f j x j xi
系统的牛顿第二定理：
在流动过程中，流体系统的合外力等于系统质量乘于其加速度。 系统的动量定理： 系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的合外力。
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
一、动量方程的推导
系统的动量定理： 系统的动量: 作用在系统上的质量力 : 作用在系统上的表面力 :
Dk F Dt
2u j x 2 f j i
uk x k
2 uj x 2 i
λ和μ在流场中 均匀时： 不可压缩流体：
p Dt x j x j Du j
2u j p 2 f j Dt x j xi
工程流体力学 第3章 流体流动的基本方程
B F ( x, y, z, t )
比如，流体质点的速度场：
u F ( x, y, z, t )
第3章 流体流动的基本方程
速度分布的分量可表示为：
u x F1 ( x, y , z , t ) u y F2 ( x, y , z , t ) u z F3 ( x, y , z , t )
u x 2 x 2 F1 (a, b, c, t ) ax 2 t t t 2 u y 2 y 2 F2 (a, b, c, t ) ay 2 t t t 2 u z 2 z 2 F3 (a, b, c, t ) az 2 t t t 2
教学内容
第0章 绪论
第1章 流体的主要物理性质
第2章 流体静力学
第3章 流体流动的基本方程
第4章 势流理论
第5章 相似理论与量纲分析
第6章 粘性流体管内流动
第7章 粘性流体绕物体的流动
第3章 流体流动的基本方程
流体运动——满足质量守恒、牛顿第二定律、能量守恒… 推导——连续方程，动量方程，动量矩方程，能量方程…
第3章 流体流动的基本方程
流体质点的速度和加速度
u ux i uy j uz k
x F1 (a, b, c, t ) ux t t y F2 (a, b, c, t ) uy t t z F3 (a, b, c, t ) uz t t
a ax i ay j az k
两边积分 ln x 2t C ，故 x c1e
' 1
流体力学基本方程
流体的本构关系
流体均匀各向同性 流体可承受正应力 静止流体不能承受剪切 运动流体不同速度层之间存在剪切力（粘性） 静止流体表面应力为
p ij
ij p ij dij
流体的本构关系
Resistentian, quae oritur ex defectu lubricitatis partuim fluidi, caeteris paribus, proportionalem esse velocitati, qua partes fluidi separantur ab invicem. Isaac Newton, 1687, From Section IX of Book II of his Principia
流体的输运系数
粘性系数（动量输运）： 热传导率（能量输运）： k
( p, T ) k ( p, T )
n
幂函数公式：
T 0 T0
k T k0 T0
1.5
n
Sutherland公式：
T T0 Ts 0 T0 T T
0
Du p f Dt
Euler Equation
1 p U 2 C 2
Bernoulli’s Equation
涡量方程
u 0 : Du 2 p f u Dt
0:
Du p f Dt
Skk u
1 v u ( ) 2 x y v y 1 w v ( ) 2 y z
1 w u ( ) 2 x z 1 w v ( ) 2 y z w z
单位体积变化率（描述流体均匀膨胀，压缩）
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
流体动力学动量方程及伯努利方程一流体力学
R
2
d2
p1
R
1
2
R Q(v3x v2x ) Q(0 v2x )
1000( 25 )( 4 25 / 3600 ) 3600 3.14 0.022 4
180N
3 v3 3 R′
v2
3
3
v3
对平板冲击力 F R 180N
总流伯努利方程
z1
p1
1V12
2g
z2
p2
2V2 2
2g
hl
总流伯努利方程意义与微小流束方程相 同，式中以均速替代实际流速，用系数修正
§5.6 动量方程
讨论运动的流体与固体边界的相互作用力。
质点系动量定理
dM dt
d ( mu)
dt
F
概念：
控制体
控制面
流体系统
一、定常不可压缩流体动量方程
p1
d12
4
0
Q(v2 x
v1x) )
Q2
d 2 2
[1 ( d2 )2 ]
4
d1
R
1000( 25 )2 3600
4 0.02 2
[1
( 0.02 ) 2 0.05
]
2.38
105
0.052 4
338N 喷嘴接头处拉力 F R 338N
取2-2,3-3面及射流表面 为控制面
d1
1
v1
2g
z p — 测压管水头；
单位重量流体 具有的比势能
z p u2 H
2g
H—总水头；
单位重量流体的总机械能，总比能
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
《流体力学》徐正坦主编课后答案第三章
第三章习题简答3-1 已知流体流动的速度分布为22y x u x -= ，xy u y 2-=，求通过1,1==y x 的一条流线。
解：由流线微分方程yx u dyu dx =得dy u dx u x y =则有 dy y x xydx )(222-=-两边积分可得C y y x yx +-=-3322即0623=+-C y x y将x=1,y=1代入上式，可得C=5，则 流线方程为05623=+-y x y3-3 已知流体的速度分布为⎭⎬⎫==-=-=tx x u ty y u y x 00εωεω（ω>0，0ε>0）试求流线方程，并画流线图。
解：由流线微分方程yx u dyu dx =得dy u dx u x y =则有 tydy txdx 00εε-=两边积分可得C y x +-=22流线方程为C y x =+223-5 以平均速度s m v /5.1=流入直径为D=2cm 的排孔管中的液体，全部经8个直径d=1mm 的排孔流出，假定每孔出流速度依次降低2%，试求第一孔与第八孔的出流速度各为多少？题3-5图解：由题意得：v 2=v 1(1-2%)，v 3=v 1(1-2%)2，…，v 8=v 1(1-2%)7 根据质量守恒定律可得282322212832144444dv d v d v d v D v Q Q Q Q Q πππππ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅⋅⋅+++=sm d vD v v d v v v v d D v /4.80)98.01(001.002.002.05.1)98.01()98.01(98.01)98.01(4)(448228221812832122=-⨯⨯⨯=--⋅=∴--⋅=+⋅⋅⋅+++⋅=⋅πππ则 v 8=v 1(1-2%)7=80.4×(1-2%)7=69.8m/s3-6 油从铅直圆管向下流出。
管直径cm d 101=，管口处的速度为s m v /4.11=，试求管口处下方H=1.5m 处的速度和油柱直径。
第三章流体力学--流体力学基本方程
§3-1 描述流体运动的方法
a V u V v V w V t x y z
§3-1 描述流体运动的方法
a V u V v V w V t x y z
加速度的投影值：
ax
u t
u
u x
v
u y
w
u z
v v v v ay t u x v y w z
az
w t
u
w x
v
w y
dx dy dz x 2y 5z
dx1d(2y)d(5z) x 2 2y 5z
dx x
1 2
d(2 y) 2y
dx x
d(5 z) 5 z
由上述两式分别积分，并整理得：
§3-1 描述流体运动的方法
x
y c1
①
xc2z5c2 0
即流线为曲面 x y c1 和平面 xc2z5c20的交线。
§3-1 描述流体运动的方法
动
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
例1：已知：u = x + t，v = -y + t, w = 0
求：t = 0 时，经过点A（-1，-1）的流线方程。 解： t = 0时，u=x，v=-y, w= 0 ；代入流线微分方程：
dx dy x y
因此：
d dt
d
dM dt
t
d
A
vndA
对于任一物理量φ（如动量）：
d dt
d
t
d
vndA
A
φ——单位体积的某物理量。
§3-2 连续性方程
d dt
d
t
d
vndA
A
即：系统的任一物理量的总变化率等于控制体内该物理量的 时间变化率和该物理量通过控制体表面的净流出率之和。
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第五节 动量方程
总流的动量方程是动量定理的流体力学表达式 . 设恒定总流，过流断面Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ(渐变流断面) 流体经dt 时间由Ⅰ-Ⅱ运动到Ⅰ‘- Ⅱ’位置 任取元流l – 2 dt 时间内元流动量增量
1 1 2
u1
1 1
dA2
2 2
2
u2
d K K1'2' K12 (K1'2 K 22' )t dt (K11' K1'2 )t
1 4
3、由连续性方程
v1
d
Q = v1A1= v2A2
2 1
3.185m/s
4Q v2 5.66m/s 8 2 d2
v v p2 p1 7.043kPa 2g 2 d2 P2 p2 0.124kN 4 4、将各量代入总流动量方程，解得 Rx ' 0.538kN
物理意义：作用于控制体内流体上的外力，等
于单位时间控制体流出动量与流入动量之差
4
应用条件：
恒定流 过流断面为渐变流断面 不可压缩流体
F 合外力：
作用在该控制体内所有流体质点的质量力；
作用在该控制体面上的所有表面力
四周边界对水流的总作用力
5
动量方程的解题步骤
1. 选控制体 根据问题的要求，将所研究的两个渐
重力G在xOy面无分量；
弯管对水流的作用力R‘ 列总流动量方程的投影式
Fx Q( 2v2 x 1v1x ) F Q ( v v ) y 2 2 y 1 1 y
7
P 1P 2 cos 60 Rx ' Q( 2 v2 cos 60 1v1 ) o o P sin 60 R ' Q ( v sin 60 ) 2 y 2 2
6
例: 水平设置的输水弯管(转角θ = 60°)，直径由d1=200mm 变为d2=150mm，已知转弯前断面p1=18kPa（相对压强）， 输水流量Q=0.1m3/s，不计水头损失; 试求水流对弯管的作 用力。
解：取过流断面l-1、2-2及控制体，选直角坐标系
1、分析受力：过流断面上的动压力P1、P2；
取过流断面为渐变流断面，各点的流速平行， i 令 ——为单位向量
u ui
d K 2 u 2 dtdA2 u 2 i 2 1u1 dtdA1u1 i 1 A2 A1
2 2 d K dt 2v2 A2 i 2 dt 1v1 A1 i1 dt 2v2 A2 v 2 dt 1v1 A1 v1 dtQ( 2 v 2 1 v1 )
该质点系上的外力的冲量
质点系动量定理: 质点系动量的增量等于作用于
Fdt dtQ( v v ) F Q( v v )
2 2 1 1
2 2 1 1
3
恒定总流动量方程
F Q( 2 v 2 1 v1 )
Fx Q( 2v2 x 1v1x ) Fy Q( 2v2 y 1v1 y ) Fz Q( 2v2 z 1v1z )
o o
2 其中 P p A 18 0.2 0.565kN 1 1 1
2、列1-1、2-2断面的伯诺里方程，忽略水头损失，有
2 2 p1 α 1v1 p2 α 2v 2 z1 z2 hl ρg 2g ρg 2g 2 2 p1 v1 p2 v2 0 0 0 g 2g g 2 g 4Q
dA1
恒定流动，dt 前后 K 1'2 无变化，则
d K K 22' K11' 2u2dtdA2 u2 1u1dtdA1u1
1
d K K 22' K11' 2u2dtdA2 u2 1u1dtdA1u1
2
对于不可压缩流体ρ1=ρ2=ρ，并引入修正系数β ，以断 面平均流速v 代替点流速u 积分，总流的动量差为
动量修正系数β
修正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差异而引入
3 u A dA
A
3
2 u A dA
A
2
β值取决于过流断面上的速度分布， 速度分布较均匀的流动β =1.02~1.05， 通常取β=1.0
2 1 2 2
Ry ' 0.597kN
水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力，大小相等方 向相反 R 0.538kN 方向沿Ox方向
x
R y 0.597kN
方向沿Oy方向
9