最佳保温层厚度

W 21 L1
Q1t

（10）
其中 L1 为每度电的电价，通常为 0.52 元/度， 为空调制冷对屋顶的热流量的贡 献效率，不妨设定为 80％， t 为夏季的时间长度。 冬季的供暖费用同样也跟屋顶的热流密度是成正比的， 屋顶热流密度越大供 暖的热量会消耗更过， 供暖费用越高。同样我们假设冬季的室外平均温度为零下 12 度左右，室内平均温度为 16 度左右。同理得冬季珍珠岩保温层的平均热流密 度
容易求得无保温层时的热流密度为
（4）
Q2
T1 T7 di d3 － k3 i 1 k i
7
（5）
由（3） ， （5）两式之比，得：
T1 T7 7 di Q1 i 1 k i T1 T7 Q2 7 di d3 － k3 i 1 k i
k
i 1
7
di
i 7
－
二、问题的分析
在外墙和屋面等围护结构中设置保温层以提高外围护结构热阻， 是改善我国 目前严寒和严寒地区居住建筑采暖能耗大、热环境差等状况重要的有效的措施。 在保温材料确定的情况下， 保温层厚度是决定建筑保温水平的重要参数。一般随 着保温层厚度的增加，围护结构的绝热性能提高，从而降低建筑负荷，采暖设备 造价和采暖系统运行费用也相应降低； 但同时， 围护结构的建造费用也相应增加， 因此，一定存在某一特定的保温层厚度，使建筑物总费用最小。保温层经济厚度 的合理计算可以防止因根据经验选择保温层厚度所造成的综合效益损失，因此， 研究保温层厚度的计算方法对建筑节能具有重要的现实意义。 建筑物与外界进行热量交换主要通过传导和对流两种途径，一般情况下，密 闭性较好的建筑物可忽略对流对其的影响。 在夏天时， 屋顶上层温度要高于下层， 热量向室内扩散， 且温度逐渐递减， 要使室内温度维持在一定的舒适温度范围内， 就需利用空调等制冷装置进行散热。而在冬天，室外温度比室内要低，热量往室 外扩散，需要暖气对屋内进行供暖从而达到所需要的舒适温度。 若保温层材料未确定， 则需综合考虑经济方面及其保温性能等多种方面的因 素，可采用模糊综合评价法来确定各指标的权系数，使其更有合理性，更符合客 观实际并易于定量表示，从而提高各种材料综合评判结果的准确性。
图3
珍珠岩保温层隔热效率图
由图 3 不难看出， 有无保温层的散热量之比 Q1/Q2 随保温层厚度 d3 的增加而 减小，且 d3 越大，散热量之比 Q1/Q2 的变化趋势越平缓。因此可得保温层厚度与 隔热效率的关系列表如下：
表2 厚度（cm） 隔热效率 0 0 保温层厚度与隔热效率的关系表 5 64％ 10 78％ 15 84％ 20 88％ 25 90％
（2）
从（2）式中消去 T2 ~ T6 可得
Q1 T1 T7 6 d i i 1 k i
（3）
若屋顶没有保温层，可得如下方程组
T T3 T T5 T T6 T T7 T1 T2 k2 2 k4 4 k5 5 k6 6 Q1 k1 d1 d2 d4 d5 d6 T T 4 3
2
四、符号的约定
Q Q1 Q2 热流密度 有保温层时的热流密度 无保温层时的热流密度 夏季屋顶的平均热流密度 冬季屋顶的平均热流密度
Q1 Q2
ΔT 均匀介质两侧的温度差 Ti 第 i 层上侧的温度（i＝1，2，…，6） T7 建筑物室内温度 di 第 i 层厚度（i＝1，2，…，6） ki 第 i 层导热系数（i＝1，2，…，6） W1 保温材料的费用 W2 室内调温的费用 W21 夏季制冷费用 W22 冬季供暖费用 m 市场上珍珠岩的单位体积的平均售价 L1 每度电的电价 L2 单位千克的煤的价格 空调制冷对屋顶的热流量的贡献效率 t 每个季节的时间长度 q 单位千克煤产生的热量供给屋顶传热的热量 W 建造屋顶及其后续调温总费用 i＝1，2，…，6：表示屋顶由外向内依次为三毡四油防水材料、水泥砂 浆、保温层、水泥砂浆、楼板水泥、砂浆
7
优化模型[3]。对于夏季和冬季而言我们设在室外温度达到极限（即 75 度和-40 度） 时，为了保持室内比较适宜的温度屋顶的热流密度的期望值分别是厚度为 15cm
d3 k3
di i 1 k i
1
d3 d k3 i i 1 k i
7
（6）
由（5）式可知，有无保温层时的热流密度之比与温度大小无关，Q1/Q2 是以保温 层厚度 d3 为自变量的一个函数。 通过查阅资料，我们可以得出各层材料的导热系数值见表 1，
表1 水泥砂浆 导热系数（W/m.K） 0.93 各层材料的导热系数表 楼板 0.706 珍珠岩 0.07 三毡四油 0.170
（13）
对于珍珠岩保温层而言有 20 年左右的使用寿命， 所以调温费用该为 20 年内 的调温费用的总和。 综上所述，建立屋顶及其后续调温总费用为
W W1 20W2
（14）
5.1.3 多目标规化确定保温层厚度 决策要求既要保持室内有较好的舒适温度又要不造成浪费， 也就是说要在夏 季和冬季室外屋顶表面的温度分别达到极限时， 室内温度还得满足在舒适的温度 范围之内； 建设屋顶费用和后续调温的总费用达到尽可能的低。这两个目标分别 要达到自己的最优。 显然保持室内的温度为适宜温度为第一级目标条件，总费用 尽可能地低为第二级目标条件。设两者之间的权重比 5。因此我们建立起多目标
6
夏季调温费用跟屋顶的热流密度是成正比的， 屋顶热流密度越大空调的调温功率 越大，因此调温费用越高。我们假设夏季屋顶表面温度的平均值为 30 度左右， 室内温度保持在 24 度左右。在这两个温度差条件下，屋顶的平均热流密度
Q1 30 24 7 di i 1 ki
（9）
Hale Waihona Puke 因此，每年夏季空调的调温费用为
夏季时，室外温度高于室内，热量传入室内，温度由外向内逐层递减。由于 屋顶各层散热量相同。
4
故通过（1）式可知热流密度为
Q1 k1
T T3 T T4 T T5 T T6 T T7 T1 T2 k2 2 k3 3 k4 4 k5 5 k6 6 d1 d2 d3 d4 d5 d6
三、问题的假设
1）热量的传播过程只有传导，没有对流。即建筑物的密闭性能很好，室内与 室外的空气是不流通的。 2） 室内温度和室外温度在某一时间段内保持不变， 热传导过程处于稳定状态。 即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。 3）屋顶各层材料之间层次分明，同一层次厚度均匀，且各种材料的导热系数 不随温度的变化而变化，为一恒定常量。 4） 建筑物仅通过屋顶与外界进行热量交换，建筑物侧面及地面的影响忽略不 计。且冬季燃煤取暖，夏季用空调制冷，其中煤的利用率为 100％。 5）涂料的隔热效果可以忽略，即涂料上层和下层的温度相同。
W1 md3
（8）
m 为市场上珍珠岩的单位体积的平均售价。 保温层的厚度对房顶的热流密度产生很大影响， 因此在夏季和冬季对室内的 温度也产生很大的影响， 为了保持室内的温度对人体比较适宜，那么必须在夏季 采用降温措施，而在冬季采用升温的措施。而夏季一般采用空调调节室内气温， 而冬季以煤的燃烧来获取热量。因此费用转化为夏季空调调节时产生的费用 W21 和冬季燃煤产生的热量的费用 W22。
Q2 16 (12) ， 7 di i 1 k i
（11）
因此冬季供暖的费用为
W22 L2
Q2 t q
（12）
其中 L1 为单位千克的煤的价格，为 1 元/千克，q 为单位千克煤产生的热量供给 屋顶传热的热量， t 为冬季的时间长度。 每年调温的总费用为
W2 W21 W22
五、模型的建立与求解
5.1 问题 1：珍珠岩保温层厚度的确定 5.1.1 保温层隔热效率与厚度的关系模型 在上述假设下热传导过程遵从热力学中的傅里叶定律[1]： 厚度为 d 的均匀介质，两侧温度差为Δ T，则单位时间由温度高的一侧向温 度低的一侧通过单位面积的热量 Q 与Δ T 成正比，与 d 成反比，即 T Qk （1） d k 为热传导系数 按《室内空气质量标准》规定可知，使人体感到舒适的室内温度为 16~24 度。冬季时室内温度高于室外，屋顶向外散热，为使室内温度保持相对稳定，需 对室内进行供热，为了使取暖费用尽可能低，可使室内温度保持在 16 度。而在 夏季，室外温度高于室内，外部的热量会进入室内而使室内温度升高，要维持稳
关键词：保温层
傅立叶定律
隔热效率
多目标规划
模糊评价
1
一、问题的提出
目前，城市居民楼很多都是简单的平顶屋，假设屋顶由里向外的结构是 0.1 （cm）涂料，1.5（cm）水泥砂浆，20（cm）楼板，2（cm）水泥砂浆，珍珠岩 保温层，2（cm）水泥砂浆，1（cm）三毡四油防水材料。 北方地区这样的屋顶， 夏季太阳日照下的表面温度最高可以达到摄氏 75 度， 冬季为摄氏零下 40 度。为了保持室内有较好的舒适温度，又不造成浪费， 1）保温层厚度应该为多厚。 2）如果更换保温层成其它保温材料，哪种材料最好，并计算其厚度。
代入（6）式并化简得
d3 Q1 1 Q2 2.8087 d 3
（7）
5
用 matlab 软件[2]绘图得到 Q1/Q2 与保温层厚度 d3 的关系如图 3。
1 0.9 0.8 0.7 0.6
Q1/Q2
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
5
10
15 保 温 层 厚 度 d3
20
25
30
B 题：最佳保温层厚度
摘 要
目前， 城市居民楼很多都是简单的平屋顶，房屋建设过程当中加入保温层确 保室内温度尽可能的不受室外的影响。 居民楼的节能性的发展和新型保温材料的 使用成为设计者考虑的必要因素 ,因此保温材料的选择及保温层的厚度 ,日益成 为目前建筑节能的重要课题。为了既要满足室内有比较适宜的温度（16 度～24 度） ，又不造成资源的浪费这两个目的，我们采用了多目标优化的模型求解出最 佳的保温层厚度； 又在材料的选择过程中采用了模糊综合评价法，选取性价比最 高的材料。 在问题 1 中， 对于珍珠岩保温层厚度确定，我们应用热力学导热学学科中的 傅里叶定律， 求出有无保温层时的热流密度之比与保温层厚度的函数关系。随着 保温层厚度的增加，保温层的隔热效率也相应增加。要达到保温效果，实际所花 费用为建筑材料费用和室内调温费用之和，且室内调温费用跟热流密度有关。为 了达到舒适和节约的要求， 我们建立了多目标规化模型， 并求解得出最佳保温层 厚度为 11.2cm，此时保温层的隔热效率达到 80%。 在问题 2 中仅考虑导热系数时，同问题 1 进行相应的分析，得各种保温材料 的隔热能力均随厚度增加而减小， 且在厚度相同时， 聚氨硬脂板的隔热能力最强。 若考虑导热系数和价格两种因素， 依据模糊综合评价法确定各指标在保温材料选 择中所占权重，对其进行量化处理，然后再对每个指标分别运算，给出相应的材 料性能评价， 又对各因素整合选择出最好的保温材料仍为聚氨硬脂板，通过费用 关系计算其厚度为 10.4cm，此时隔热效率为 89%。
3
定的舒适温度，就需向外进行散热，考虑到经济性，可使夏季温度稳定在 24 度。 建筑物与外界的热量传导过程如图 1 所示， 屋顶屋顶各层厚度及各层间的温度示 意图如图 2 所示。
Q1
Q2
夏季
冬季
图1
建筑物与外界的热量交换示意图
室外 T1 三毡四油防水材料 d1 水泥砂浆 d2 珍珠岩保温层 d3 水泥砂浆 d4 楼板 d5 水泥砂浆 d6 室内 图2 屋顶各层厚度及各层间的温度 T2 T3 T4 T5 T6 T7
考虑到建筑物的承重能力等多种因素，保温层的厚度不宜过大，故可取保温 层厚度在 10cm～15cm 之间，此时的隔热效率为 78％～84％。 5.1.2 保温费用问题 为了确定保温层的厚度使室内保持有较好的舒适温度（16 度~24 度） ，又不 造成资源的浪费， 就是要减小热流量和节省材料 W1 和室内调温的费用 W2。我们 设耗费材料的费用为 W1，显然 W1 使关于保温层厚度 d3 的函数。由市场上销售 的珍珠岩保温层以单位体积来计算，因此 W1 的函数表达式可以表示为：