华东师大版九年级数学上册第23章《图形的相似》章末检测

章末检测一、选择题(每题3分，共30分)1．下列四条线段中，不是成比例线段的为()A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10C．a＝1，b＝2，c＝6，d＝ 3 D．a＝2，b＝5，c＝15，d＝2 3 2．下列各组图形中有可能不相似的是()A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形3．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE∶EC＝3∶2，连结AE 交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为()A．2∶5 B．3∶5 C．9∶25 D．4∶254．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为()A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．0个6．如图，为计算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D 在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于()A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是()A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2)8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于()A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.259．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2：3，连结AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF＝()A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：2510．如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连结FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△F AB∶S四边形CBFG ＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每题3分，共30分)11．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC＝6 cm，则DE 的长度是________cm.12．假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A的实际距离为________．13．已知a5＝b7＝c8，且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c的值为________．14．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD＝AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为____________．15．如图，△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝________，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________．16．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶3，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________．17．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2 018次，点P 依次落在点P1，P2，P3，…，P2 018的位置，则点P2 018的横坐标为________．18．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45 cm，小尺长a＝15 cm，点D到铁塔底部A的距离AD＝42 m，则铁塔的高度是________m.19．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．20．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2……以此类推，则S n＝____________.(用含n的式子表示，n 为正整数)三、解答题(21题6分，22，25题每题12分，23，24题每题8分，26题14分，共60分)21．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．22．如图，小正方形网格的边长为1.(1)分别写出△ABC和△DEF的顶点的坐标；(2)以D为位似中心，把△DEF缩小一半，得到△DMN，在网格中画出△DMN，并写出M，N两点的坐标；(3)试说明△ABC和△DEF的面积关系．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．24．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE的距离为16 m 的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．25．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论．(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？26．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)当α＝0°和α＝180°时，求AEBD的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．答案一、1．B2．A3．C4．A5．A6．B点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.∴ABDC＝BECE，即AB20＝2010.∴AB＝40 m.7．B8．B点拨：由∠A＝∠ABC＝90°，CF⊥BE，易证△ABE∽△FCB.∴ABBE＝CFBC.由AE＝12×3＝1.5，AB＝2，得BE＝2.5，∴22.5＝CF3.∴CF＝2.4.9．D10．D点拨：∵四边形ADEF为正方形，∴∠F AD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD＋∠F AG＝90°.∵FG⊥CA，∴∠G＝90°＝∠ACB，∴∠AFG＋∠F AG＝90°.∴∠DAC＝∠AFG.在△FGA和△ACD中，⎩⎨⎧∠G ＝∠C ，∠AFG ＝∠DAC ，AF ＝DA ，∴△FGA ≌△ACD ，∴AC ＝FG ，①正确．∵BC ＝AC ，∴FG ＝BC .∵∠ACB ＝90°，FG ⊥CA ，∴FG ∥BC ，∴四边形CBFG 是矩形，∴∠CBF ＝90°，S △F AB ＝12FB ·FG ＝12S 四边形CBFG ，②正确．∵CA ＝CB ，∠C ＝∠CBF ＝90°，∴∠ABC ＝∠ABF ＝45°，③正确．易知∠FQE ＝∠DQB ＝∠ADC ，∠E ＝∠C ＝90°，∴△ACD ∽△FEQ ，∴AC ∶AD ＝FE ∶FQ ，∴AD ·FE ＝AD 2＝FQ ·AC ，④正确．二、11．312．160 km 点拨：设小明所居住的城市与A 地的实际距离为x km ，根据题意可列比例式为1500 000＝32x ×105，解得x ＝160.13．14 点拨：由a 5＝b 7＝c 8，可设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k .∵3a －2b ＋c ＝9，∴3×5k －2×7k ＋8k ＝9，∴k ＝1.∴2a ＋4b －3c ＝10k ＋28k －24k ＝14k ＝14.14．S 1＝S 2 点拨：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC >AC ，∴BC 2＝AC ·AB .又∵S 1＝BC 2，S 2＝AC ·AD ＝AC ·AB ，∴S 1＝S 2.15．2；1：2；1：6 16．(3，3)17．201718．14 点拨：作CH ⊥AB 于H ，交EF 于P ，如图，则CH ＝DA ＝42 m ，由题意知，CP ＝45 cm ＝0.45 m ，EF ＝15 cm ＝0.15 m.∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CBA ，∴EF AB ＝CP CH ，即0.15AB ＝0.4542，∴AB ＝14 m ，即铁塔的高度为14 m.19．163或3 点拨：∵∠ABC ＝∠FBP ＝90°，∴∠ABP ＝∠CBF .当△MBC ∽△ABP时，BM ∶AB ＝BC ∶BP ，得BM ＝4×4÷3＝163；当△CBM ∽△AB P 时，BM ∶BP ＝CB ∶AB ，得BM ＝4×3÷4＝3.20．32×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n点拨：在正三角形ABC 中，AB 1⊥BC ，∴BB 1＝12BC ＝1.在Rt △ABB 1中，AB 1＝AB 2－BB 21＝22－12＝3，根据题意可得△AB 2B 1∽△AB 1B ，记△AB 1B 的面积为S ，∴S 1S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.∴S 1＝34S . 同理可得S 2＝34S 1，S 3＝34S 2，S 4＝34S 3，…. 又∵S ＝12×1×3＝32，∴S 1＝34S ＝32×34，S 2＝34S 1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫342，S 3＝34S 2＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫343，S 4＝34S 3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫344，…，S n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n . 三、21．解：因为四边形ABCD ∽四边形EFGH ，所以∠H ＝∠D ＝95°，则∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.因为四边形ABCD ∽四边形EFGH ，所以x ∶7＝12∶6，解得x ＝14.22．解：(1)A (0，2)，B (－3，1)，C (－2，－1)；D (0，－2)，E (6，0)，F (4，4)．(2)取DE 的中点M ，DF 的中点N ，连结MN ，则△DMN 就是以D 为位似中心的△DEF 的位似图形，如图，由图知，M ，N 两点的坐标分别为M (3，－1)，N (2，1)．(3)由(1)(2)中△ABC和△DMN顶点的坐标，可知△ABC与△DMN关于原点成中心对称，所以△ABC和△DMN的面积相等．又因为△DMN∽△DEF，相似比为1：2，所以△DMN与△DEF的面积比为1：4，故△ABC与△DEF的面积比为1：4.23．(1)证明：(1)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD.(2)解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝AB2－BD2＝132－52＝12，∵12·AD·BD＝12·AB·DE，∴DE＝60 13.24．解：由题意可得DE∥BC，所以ADAB＝AEAC.又因为∠DAE＝∠BAC，所以△ADE∽△ABC.所以ADAB＝DEBC，即ADAD＋DB＝DEBC.因为AD＝16 m，BC＝50 m，DE＝20 m，所以1616＋DB＝2050. 所以DB ＝24 m.所以这条河的宽度为24 m.25．解：(1)由题意知AP ＝2t ，DQ ＝t ，QA ＝6－t ，当QA ＝AP 时，△QAP 是等腰直角三角形，所以6－t ＝2t ，解得t ＝2.(2)四边形QAPC 的面积＝S △QAC ＋S △APC ＝12AQ ·AB ＋12AP ·BC ＝(36－6t )＋6t ＝36.在P ，Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变．(3)分两种情况：①当AQ AB ＝AP BC 时，△QAP ∽△ABC ，则6－t 12＝2t 6，即t ＝1.2；②当QA BC ＝AP AB 时，△P AQ ∽△ABC ，则6－t 6＝2t 12，即t ＝3.所以当t ＝1.2或3时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似．26．解：(1)当α＝0°时，∵BC ＝2AB ＝8，∴AB ＝4.∵点D ，E 分别是边BC ，AC的中点，∴BD ＝4，AE ＝EC ＝12AC .∵∠B ＝90°，∴AC ＝82＋42＝4 5，∴AE ＝CE ＝2 5，∴AE BD ＝2 54＝52.当α＝180°时，如图①，易得AC ＝4 5，CE ＝2 5，CD ＝4，∴AE BD ＝AC ＋CE BC ＋CD ＝4 5＋2 58＋4＝52.(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴CECA＝CDCB，∠EDC＝∠ABC＝90°.如题图②，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，∴CECA＝CDCB仍然成立．又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△ACE∽△BCD，∴AEBD＝ACBC.在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝42＋82＝4 5.∴ACBC＝4 58＝52，∴AEBD＝52，∴AEBD的大小不变．(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4 5；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝AC2－CD2＝8.又易知DE＝2，∴AE＝6.∵AEBD＝52，∴BD＝12 55.综上，BD的长为4 5或12 5 5.。