第01课时不等式的性质(1)
第1讲1第1课时不等式的基本性质课件人教新课标
解答
(4)设 a，b 为正实数，若 a－1a＜b－1b，则 a＜b. 解 正确. 因为 a－1a＜b－1b，且 a＞0，b＞0， 所以a2b－b＜ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a＜0⇒ab(a－b)＋(a－b)＜0⇒(a－ b)(ab＋1)＜0， 所以a－b＜0，即a＜b.
本课结束
a－b 所以bb＋1＞0， 所以ab＞ab＋＋11.
解答
(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小.
解 x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)x－122＋34， 因为x＞1，所以x－1＞0. 又因为x－122＋34＞0， 所以(x－1)x－122＋34＞0， 所以x3－1＞2x2－2x.
证明
反思与感悟 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等 式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需 要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件.
跟踪训练 3 已知 a＞0，b＞0，求证：ba2＋ab2≥a＋b. 证明 ba2＋ab2－(a＋b)＝ba2－a＋ab2－b
_a_b_≠_1_或__a_≠_－__2____.
解析 ∵x＞y， ∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5 ＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0， ∴ab≠1或a≠－2.
12345
解析 答案
规律与方法
1.不等式的基本性质是不等式变形的根据，每一步变形都要做到有根有据， 严格按照不等式的性质进行. 2.作差法比较大小的基本步骤：作差——变形——与0比较——总结.其关 键是将“差”式变成“积”式，方便与0比较. 3.不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中 一定要注意不等式成立的条件.
3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)
思考？
从上述事实出发，你认为可以用什么方法
比较两个实数的大小？
要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比
较它们的差a - b 与0的大小。在这里，0为实数
比较大小提供了“标杆”。
例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小 2 4 3 4
• 解： (2x +1) - (2x +x ) = 2x +1 - 2x3 _ x2 • = (2x4 - 2x3 )- (x2 -1) • = 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1) • = (x－1) [2x3 - (x +1) ] • = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)] • = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1) • = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • 技能： • 分组组合；添项、拆项；配方法。
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
• 例2、比较
练习题
• 1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大小.
2.
0
基本理论
Ｘ
• 1.实数在数轴上的性质:
• 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数 轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数 轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
Ａ a a<b
不等式的性质优秀课件
等式的性质：
性质1：在等式两边都加上（或减去）同一个数或（式子），结果仍相等。
符号表示 如果a=b，那么a±c=b±c
性质2：在等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），结果仍相等。
ab
符号表示 如果a=b,那么ac=bc或 =
（c≠0）
cc
（1）x+3＞6 （2）2x＜8 （3）x-2＞0
练习：设x＞y，用“＞”或“＜”填空 （1）2x+1＿2y+1 （2）-3x-1＿-3y-1
讨论：利用不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式.
x-3＞5
x - 3 + 3＞5 + 3
x＞8
练习：（1） 2x＜6
2x ÷2＜6 ÷2
x＜3
（2）-4x＞3 -4x÷-4＜3÷-4 x＜-¾
课堂小结： 本节课你的收获是什么？
不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变.
ab
符号表示 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或 c ＜ c ）.
思考：比较上面的性质2和性质3，指出它们有什么
区别.
例1、如果a＞b，用“＞”或“＜”填空 （1）a-3＿b-3（不等式性质＿） （2）2+a＿2+b（不等式性质＿） （3）-3a＿-3b（不等式性质＿） （4）6a＿6b（不等式性质＿） （5）a÷3＿b÷3（不等式性质＿） （6）1-a＿1-b（不等式性质＿＿）
9.1.2不等式的性质学源自目标：1. 理解不等式的性质 2.能正确地运用不等式的基本性质来解题。
1、用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律 （1）5＞3，5+2 ＞＿ 3+2，5-2 ＞＿ 3-2；
八年级数学-9.1.2_第1课时_不等式的性质
一、要点探究探究点1：不等式的性质1 问题1：比较-3与-5的大小.问题2：-3+2 -5+2；-3-2 -5-2. 问题3：由问题2，你能得到什么结论？问题4：3 5；3+a 5+a ；3-a 5-a. 问题5：由问题4，你能得到什么结论？问题6：根据以上探究，你能得出不等式有什么性质？(1)若x ＋3＞6，则x______3，根据______________； (2)若a －2＜3，则a______5，根据____________．探究点2：不等式的性质2、3 问题1：比较-4与6的大小.问题2：-4×2______6×2；-4÷2______6÷2 问题3：由问题2，你能得到什么结论？问题4：4 -8；4×（-4） -8×（-4）；4×（-4） -8×（-4）.】问题5：由问题4，你能得到什么结论？问题6：如何用符号语言表示问题3和问题5下的结论？”或“<”填空：（1）已知 a>b ，则3a 3b ； （2）已知 a>b ，则-a -b . （3）已知 a<b ，则2_____ 2.33a b-+-+ .（1） a - 7____b - 7；（2） a ÷6____b ÷6； （3） 0.1a____0.1b;（4） -4a____-4b ； （5） 2a+3____2b+3;（6）(m 2+1)a____ (m 2+1)b(m 为常数) 2.已知a ＜0，用“＜”“＞”填空： (1)a+2 ____2； (2)a-1 _____-1； (3)3a______0； (4)4a______0;(5)a 2_____0; (6)a 3______0; (7)a-1_____0； (8)|a|______0．（1）a +12 b +12 ； （2）b-10 a -10 .2. 把下列不等式化为x>a 或x<a 的形式： （1）5＞3+x ； （2）2x ＜x+6.3.利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示其解集． (1)x-5 > -1； (2)-2x > 3； (3)7x < 6x-6.“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/。
不等式的性质(第1课时)优课教学课件
(3) 4a < 4b；
(4) a > b ；
2
2
(5) 1.5a 1 < 1.5b 1；
学生活动;（1）-（4）学生独立完成，（5）小组讨论
第三步：分层提高
2.用“>,<”填空，并说明依据不等式的哪条性质
< (1) 若a 3 9，则 a 12；
> (2) 若 1 a 1，则 a
4；
4
3+2 ；
5-2
3-2 .
-1-3
3-3 .
第二步：互助探究：
用“＜”或“＞”填空，猜想其中的规律。
（1）5 > 3 ；
（2）-1 < 3 ；
5+2 > 3+2 ； 5-2 > 3-2 .
-1+2 < 3+2 ； -1-3 < 3-3 .
不等式的性质1: 不等式两边加(或减)同一个数 （式子），不等号的方向不变。
9.1.1 不等式的性质 （第1课时）
学习目标
经历通过类比，猜想，验证，归纳发现 不等式性质的探索过程，掌握不等式的性 质。
第一步：回顾旧知
➢问题1：请直接说出下列不等式的解集
x 3 6 2x 8 x 2 0
➢问题2：你还能直接说出下面不等式的解集吗？
2x x 1 32
第一步：回顾旧知
“<”
(1)若a>b,则2a+1 > 2b+1; (2)若-1.25y<10,则y > -8; (3)若a<b,且c>0,则ac+c < bc+c; (4)若a>0,b<0,c<0,则(a-b)c < 0.
不等式的性质PPT教学课件
【解析】氢氧化钠（NaOH），俗称烧碱、火碱、 苛性钠，常温下是一种白色晶体，具有强腐蚀 性．易吸收空气中的水分易潮解可用作干燥剂和易 与空气中二氧化碳反应生成碳酸钠故密封干燥保 存．易溶于水，其水溶液呈强碱性，能使酚酞变红； 使紫色石蕊试液变蓝．由以上所知道的内容可判断 选项A、C、D错误。 故选B。
知识回顾
知识点2 稀酸的化学性质 1.酸与指示剂的反应
稀盐酸 稀硫酸
紫色石蕊溶液 变红色 变红色
2.酸与较活泼金属的反应
无色酚酞溶液 不变色 不变色
实验内容
现象
将镁、锌、 有气泡产生， 铁铝分别与 反应速率：镁 稀盐酸反应 ＞铝＞锌＞铁
化学方程式 ①Zn + 2HCl === ZnCl2 + H2↑ ②Mg + 2HCl === MgCl2 + H2↑ ③2Al + 6HCl === 2AlCl3 + 3H2↑ ④Fe + 2HCl === FeCl2 + H2↑
常见 的酸 和碱
稀酸的化 学性质
常见的碱
酸与较活泼金属反应 酸与金属氧化物的反应 酸与盐的反应
常见碱的物理性质及用途
碱溶液的 碱与非金属氧化物的反应 化学性质 碱与盐的反应
知识网络
知识回顾
知识点1 常见的酸 硫酸、盐酸、硝酸的物理性质及用途
酸 化学式
物理性质
主要用途
硫 酸 H2SO4 盐 酸 HCl 硝 酸 HNO3
【变式题】盐酸或稀硫酸常用作金属表面的清洁剂是 利用了它们化学性质中的（ C ）
A 、能与碱反应 B 、能与金属反应 C 、能与某些金属氧化物反应 D 、能与紫色石蕊试液反应
例题解析
9.1.2 不等式的性质 第1课时
1 5， √
x
√ x 2 y 8， x 4， 3 0，√
2 x≠y2 1.√
1.掌握不等式的三个性质. 2.能够利用不等式的性质解不等式.
【知识探索】
用“﹥”或“﹤”填空，并总结其中的规律： (1)5>3, 5+2_﹥__3+2 , 5－2_﹥__3－2 . (2)-1<3, -1+2_﹤__3+2 , -1－3_﹤__3－3 . 根据发现的规律填空:当不等式两边加或减同一个数(正 数或负数）时,不等号的方向_不__变___.
向_改__变___，得
x﹤－ 3 4
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
－
3 4
0
【跟踪训练】
利用不等式的性质解下列不等式． (1)x-5 ＞ -1 (2)-2x ＞ 3 (3)7x ＜ 6x-6
【解析】(1)x-5 ＞ -1 根据不等式的性质___1___，
两边都___加_上__5____，得 x＞-1+5 即 x＞4.
(1)x-７＞26. (2)3x<2x+1.
(3) 2 x﹥50.
3
(4)-4x﹥3.
分析：解未知数为x的不等式，就是要使不等式逐 步化为x﹥a或x﹤a的形式．
【解析】 (1)为了使不等式x-７＞26中不等号的一 边变为x，根据不等式的性质１，不等式两边都加 ７，不等号的方向不变，得 x-７+７﹥26+７
(3)为了使不等式 2x﹥50中不等号的一边变为x，根据不等
3
式的性质2，不等式的两边都除以 2 ,不等号的方向不变，
3
得 x﹥75
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
9.1.2不等式的性质(第一课时)
探
6＞ 2
6×( 4)＞ 2×( 4) 6÷( 4)＞ 2÷( 4) 6×( 7)＞ 2×( 7) 6÷( 7)＞ 2÷( 7)
究
过
程
-2＜ 3
-2×(5)＜__3×( 5) -2÷( 5)＜__3÷( 5) -2×(4)＜__3×( 4) -2÷( 4)＜__3÷( 4)
探究结论
不等式两边乘（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变。
平塘县四寨中学 王时勇 2017年4月26日
复习回顾
由a+2=b+2, 能得到a=b？ 由a - 2=b- 2, 能得到a=b？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整式，
等式仍旧成立。
如果a=b,那么a±c=b±c
复习回顾
由0.5a=0.5b, 能得到a=b？
由 -2a= -2b, 能得到a=b？
（2） ∵ a a ∴ a是 正 数
23 （3） ∵ a x < a 且x > 1 ∴ a是
负数
3.如果a＞b，请用“＞”或“＜”填空：
（1） a-3 ＞ b-3
（2） 2a ＞ 2b
（3）
2a 3
_＜___
2b 3
（4） 2a+3__＞__2b+3
a＞b -3.52aa＜＞-23b.5b 1-32.a5+a3＜＞12-b3+.35b
过
程
-1＜3
-1+( -1+(
5)＜__3+( 0)＜__3+(
5) -1-( 0) -1-(
5)＜__3-( 0)＜__3-(
5) 0)
-1+(-2)＜__3+(-2) -1-(-2)＜__3-(-2)
9.1.2不等式的性质(第一课时)学案设计
不等式的性质（第一课时）学案设计学习目标1.通过实验探索发现并掌握不等式的三条基本性质；2.能熟练地运用不等式的性质进行不等式的变形。
3.初步体会不等式的性质与等式性质的异同。
学习重点探索并掌握不等式的三条性质，尤其是不等式的性质3.学习难点正确运用不等式的性质对不等式进行变形.学习过程一、创设情境导入新课活动1如何解方程2x+3=0呢每一步的依据是什么？活动2等式有哪些性质你能分别用文字语言和符号语言表示吗活动3那么把上面的方程中的等号换成“＞”号，怎么解呢这就是今天我们要探索的问题。
（引出课题）二、合作交流探究新知例如我有8元钱，你有5元钱，我们都花去3元钱，谁剩的钱多用不等式怎么表示若我们都得到了2元钱呢用不等式又怎么表示你发现了什么思考用“＞”、“＜”或“=”填空，你能发现其中的规律吗（1）∵5＞3（2）∵-1＜3∴5+23+2∴-1+23+2∴5-23-2∴-1-33-3∴5+03+0∴-1+03+0∴5+2a3+2a（a为实数）∴-1-c3-c（c为实数）猜想1：。
学生完成填空后，抽生口述猜想，师生共同纠正。
追问：猜想1是否正确呢如何验证小组合作：让学生各自再列举一些不等式，选取一些数和式子，加以演算，对猜想1进行验证。
从而获得一般性的结论。
试问：类比等式的性质1，你能叙述不等式的性质1吗不等式的性质1。
活动4继续探究:用“＞”、“＜”或“=”填空,并总结其中的规律。
（3）∵6＞2（2）∵-2＜3∴6×52×5∴（-2）×63×6∴6×（-5）2×（-5）∴（-2）×(-6)3×(-6)∴6×02×0∴（-2）×03×0猜想2：.猜想3：.小组合作：让学生各自再列举一些不等式，选取一些数和式子，加以演算，对猜想2、3进行验证。
从而获得一般性的结论。
不等式的性质2.用字母表示为不等式的性质3.用字母表示为活动5等式性质与不等式性质的主要区别是什么你认为哪些地方最值得你注意和同伴说一说。
不等式的基本性质PPT课件
从以上能发现什么？可以得到什么结论？
-
3
不等式的基本性质 2 ： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个
正数，不等号的方向 不变.
不等式的基本性质 3 ： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个
负数，不等号的方向 改变.
-
4
例题
将下列不等式化成“x>a” 或“x<a”的形式：
（1）x – 5 > -1 ; (2) -2x > 3 解： （1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得
； https:///huanshoulv/ 换手率 ；
代化の口吻是陆羽教她の,林师兄和导师们全是研习古文学の精英,万万不能被他们看出端倪.婷玉の存在,陆羽对谁都不敢说.既诧异对方の行礼姿势标准,林师兄礼貌而客套地颔首回礼.“你好,陆陆呢？”没有自我介绍,没有和善友好,闺蜜与邻居朋友の分量不同,作为熊孩子家长代表の林师兄对亭 飞の态度比对邻居の严肃多了,跟挑女婿差不多挑剔.毕竟,好闺蜜千金难觅,坏闺蜜随时变小蜜,不得不看仔细.“在楼上收拾书籍.”婷玉并无不悦.林师兄点点头,“你也抓紧收拾收拾,明天一早离开.”恰巧陆羽听见动静赶紧从二楼下来,“这么快？不看日出了？”“没时间了,老师传了一些资料回 来,妙妙搞不定.”唉,如果是她在办公室就好了,他爱什么时候回就什么时候回.“哦,这样,”陆羽想了想,“要不师兄先走？我今晚通知房东明早过来办理钥匙交接,就怕他迟迟不来耽误你の时间.你不用担心我,我跟亭飞自己坐车就好.”卓文鼎师徒没开车来,问问他们要不要一起走,正好有伴.“也 行.”林师兄の确没时间等.不过,他在晚上搬书籍和大件行李去休闲居の时候,拜托大家伙明早帮忙看着以免陆羽又被人刁难.幸运の是,第二天一早,周定康如约前来接收房子,拿过钥匙便兴冲冲地去了何玲家.陆羽无暇理会他去哪儿,她牵着四只汪抱着小
不等式的基本性质PPT课件
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
1.1.1不等式的基本性质
性质 6 开方性质 如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n≥2)
【练习】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a>b，则 ac2>bc2； (2)若ca2>cb2，则 a>b； (3)若 a>b，ab≠0，则1a<1b； (4)若 a>b，c>d，则 ac>bd. [自主解答] (1)错误．当 c＝0 时不成立． (2)正确．∵c2≠0 且 c2>0，在ca2>cb2两边同乘以 c2， ∴a>b. (3)错误．a>b⇒1a<1b成立的条件是 ab>0. (4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当 a，b，c，d 为正数时成立．
即α＋β∈
－π，π 22
，α－β∈
－π2，0
.
2
2
利用性质证明简单不等式
【例 3】 已知 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b. [精彩点拨] 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
[自主解答] ∵a>b，∴－a<－b. 又 c>a>b>0， ∴0<1．c－在a<证c－明b本，例∴时c－，1 a连>c续－1用b>到0.不等式的三个性质，一是不等式的 乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又 －又a∵<－a>bb，>则0，0∴<c－a a<>c－b b；. 三是倒数性质．最后再次用到不等式的 乘法性质．
五、不等式的基本性质的应用
比较大小
【例 1】 设 A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且 x>3，试比较 A 与 B 的
不等式的性质 课件
e e. ac bd
【解题指南】1.先求出-2β的范围，再根据不等式的性质求
α-2β的范围.
2.欲证明 e 因e 为，e<0，所以只需证明
1 1.
如果a-c与ab-cd同b号 d，那么只需证明a-c>b-d. a c b d
【探究总结】 1.不等式性质的注意点 (1)在使用不等式的性质时，一定要弄清它们成立的前提条件， 如a>b⇒ac>bc，只有c>0时该结论才成立，否则不成立. (2)注意不等式的互推性，有些性质是单向的，有些是双向的.
2.应用不等式的性质时应注意的问题 (1)利用不等式的性质证明不等式时要注意不等式的性质成立 的条件，如果不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证 明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行转化. (2)利用不等式的性质求代数式范围时，一是要合理、准确地 使用不等式的性质，二是要注意题设中的条件，特别注意题中 的隐含条件.
a<b，
故①错；
②当c≠0时，由a<b可得ac2<bc2，当c=0时，由a<b得不出
ac2<bc2，故②错；
③因为 1< 1<0，所以a<0，b<0，所以ab>0，所1以 ·ab<
ab
a
1·ab，即a>b，③正确；
b
④因为c>d，所以-c<-d，又a>b，两个不等式的方向不同向， 不能相加，所以a-c>b-d错误； ⑤a=3，b=2，c=-3，d=-4满足条件，但ac>bd不成立，故 ⑤错误. 答案：③
七年级数学下册 第九章《不等式的性质(第1课时)》课件 人教版
当堂练习
1. 已知a < b，用“>”或“<”填空： （1）a +12 < b +12 ； （2）b-10 > a -10 .
2. 把下列不等式化为x>a或x<a的形式： （1）5＞3+x； 解：x < 2 （2）2x＜x+6. 解：x < 6
3.利用不等式的性质解下列不等式,并再数轴上表示．
(1)x-5 > -1
01
(3)为了使不等式 2 x﹥50中不等号的一边变为x，根据
3
不等式的性质2，不等式的两边都除以 2 不等号的 3
方向不变，得 x﹥75.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
0
75
(4)为了使不等式-4x﹥3中的不等号的一边变为x，
根据__不_等__式__的__性_质__3__，不等式两边都除以_-_4__，
八达岭长城 11月06天气： 小雪 -2～0℃
讲授新课
含“≤”“≥”的不等式
问题 一辆轿车在一条规定车速不低于60km/h，且
不高于100 km/h的高速公路上行驶，如何用式子来
解 (1)为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x， 根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不 等号的方向不变,得 x-7+7﹥26+7，即x﹥33. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
33
(2)为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根 据__不_等__式__性__质_1___，不等式两边都减去__2x__，不等 号的方向_不__变__，得 3x-2x﹤2x+1-2x ，即 x﹤1 . 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
不等式[1].01不等式的性质及解法(B级).学生版
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一、 不等式的定义与性质 1．不等式的定义用不等号()<>≠，，≤，≥，表示不等关系的式子叫做不等式，记作()()()()f x g x f x g x >，≥．用“<”或“>”表示的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”表示的不等式叫严格不等式；2．同向不等式和异向不等式按不等式的开口方向分：在不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫做同向不等式． 3．实数的特征与实数的大小比较：（1）实数的特征：①任意实数的平方不小于０，即20a R a ∈⇔≥②任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数．（复数不可以比较大小，这个我们以后会学到）（2）实数比较大小的依据：对于任意两个实数a b ，，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大．可以看出a b ，具有以下的性质：0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=．4．比较两数大小的方法（1）作差比较法：将两个数做差后应变形为：①常数；②常数与几个平方和的形式；常用配方法或实数特征20a ≥判断差的符号；③几个因式积的形式，常用因式分解法． （2）作商比较法：：两个数是同号，即作商后看是大于1，等于1，还是小于1． （3）特殊值法知识内容不等式的性质及解法（4）函数的性质 5．不等式的性质性质1：（对称性）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 性质2：（传递性）如果a b >，且b c >，则a c >． 性质3：（可加性）如果a b >，则a c b c +>+．推论1（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2（同项可加性）如果a b c d >>，，则a c b d +>+． 说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向． 推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向． 性质4：如果a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <．实数大小的作商比较法：当0b ≠时，若1ab >，且0b >，则a b >；若1a b>，且0b <，则a b <．推论1如果00a b c d >>>>，，则ac bd >． 推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．推论2如果0a b >>，则(1)n n a b n n +>∈>N ，．推论3如果0a b >>1)n n +>∈>N ，．二、 不等式的解法1. 一元一次不等式的解法一元一次不等式ax b >的解集为（1）当0a >时，解集为b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）当0a <时，解集为b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．（3）当0a =时，若0b ≥，则x ∈∅；若0b <，则x R ∈． 2. 一元二次不等式的解法：3. 分式不等式的解法（1）()()()()()00()()0()0000()f x f x f x g x f x g x g x g x g x ⎧⎧⋅⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨≠><⎪⎪⎩⎩⎩或≥≤≥≥ 2）()()()()00()0()()0()00f x f x f x f x g x g x g x g x ⎧>⎧<⎪⎪>⇔⋅>⇔⎨⎨><⎪⎪⎩⎩或 3）()()()(00()[()()]0()()f x f x ag x a a g x f x ag x g x g x ->≠⇔>⇔-> 4. 无理不等式的解法（1）2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ⎧≥⎪>⇔≥⎨⎪>⎩或()0()0f x g x ≥⎧⎨<⎩（2）2()0()()0()[()]f xg x g x f x g x ⎧≥⎪⇔≥⎨⎪⎩≤（3）()()()0,g x f x g x ⎧⎪⎨>⎪⎩≥5. 绝对值不等式1）绝对值的几何意义：①||x 是指数轴上点x 到原点的距离；②12||x x -是指数轴上12x x ，两点间的距离 2）当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．3）绝对值不等式的解法①公式法|()|()()()f x g x f x g x >⇔>或()()f x g x <-|()|()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<②平方法：()()()()22f x g x f x g x >⇔> ③分情况讨论法 6. 指数不等式：（a a f x g x ()()> (0a >且1)a ≠1）当1a >时，()()f x g x > 2）当01a <<时，()()f x g x <）7. 对数不等式log ()log ()a a f x g x >1）当1a >时，()0()0()()f x g x f x g x >⎧⎪>⎨⎪>⎩ 2）当01a <<时，()0()0()()f xg x f x g x >⎧⎪>⎨⎪<⎩ （8）高次不等式（穿线法：）一般高次不等式()0f x >用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是： 1） 将()f x 最高次项的系数化为正数；2） 将()f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；3） 将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过， 奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）； 4） 根据曲线显现出来的()f x 值的符号变化规律，写出不等式的解集．1． 比较大小【例1】设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例2】已知102a -<<，试将下列各数按大小顺序排列：21A a =+，21B a =-，11C a=+，11D a=-．【例3】设x R ∈,比较11x +与1x -的大小【例4】已知324log 0.3log 3.4log 3.61555a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【例5】已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ） A ．0T > B ．0T = C ．0T < D ．以上都可能例题精讲【例6】已知x R ∉，试比较2233x x -+与222x x-+的大小【例7】若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12【例8】a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将b a 、a b 、bc a c ++与ad b d++按从小到大的顺序进行排列．【例9】已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c da b-<-，则下列各式恒成立的是（ ） A ．bc ad <B ．bc ad >C ．a bc d>D ．a b c d<【例10】设a b ∈R ，，且()10b a b ++<，()10b a b +-<，则（ ） A ．1a >B ．1a <-C ．11a -<<D ．1a >2． 不等式的解法【例11】已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为122x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，求关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集．【例12】已知{}21023x ax bx c ⎛⎫++>=- ⎪⎝⎭，，则关于x 的不等式20cx bx a ++<的解集是【例13】01b a <<+，若关于x 的不等式22()()x b ax ->的解集中的整数恰有3个，则（ ）A ．10a -<<B ．01a <<C ．13a <<D ．36a <<【例14】求不等式22(1)40ax a x -++>的解集．【例15】解不等式()21410m x x +-+≤．【例16】设00a b >>，，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．【例17】若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值范围为 ．【例18】已知函数()21010x x f x x ⎧+=⎨<⎩，≥，，则满足不等式()()212f x f x ->的x 的取值范围是 ．【例19】若函数212log 0()log ()0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，，，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是A ．(10)(01)-，， B ．(1)(1)-∞-+∞，，C ．(10)(1)-+∞，， D ．(1)(01)-∞-，，【例20】已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．【例21】设m k ，为整数，方程220mx kx -+=在区间()01，内有两个不同的根，则m k +的最小值为（ ）A ．8-B ．8C ．12D ．13【例22】设二次函数()()20f x ax bx c a b c a =++∈≠R ，，，满足条件：（1）当x ∈R 时，()()42f x f x -=-，且()f x x ≥；（2）当()02x ∈，时，()212x f x +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤ （3）()f x 在R 上的最小值为0．求最大的()1m m >，使得存在t ∈R ，只要[]1x m ∈，，就有()f x t x +≤．【例23】设a 为实数，函数()()22f x x x a x a =+--．（1）若()01f≥，求a的取值范围；（2）求()f x的最小值．（3）设函数()()()h x≥的，，，直接写出h x f x x a=∈+∞．．．．（不需给出演算步骤）不等式()1解集．【习题1】设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b a a b<【习题2】正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【习题3】若2log 3a =，3log 2b =，13log 2c =，21log 3d =，则a b c d ，，，的大小关系是（ ） A ．a b c d <<< B ．d b c a <<< C ．d c b a <<< D ．c d a b <<<【习题4】（1）要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<(解集非空)的每一个x 至少满足不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是 ；（2）已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<，其中1βα>>，则不等式 ()()220a ax bx c cx bx a ++++<的解集是 ．课后检测【习题5】解关于x 的不等式223()0x a a x a -++>．【习题6】设m ∈R ，解关于x 的不等式22230m x mx +-<．【习题7】解关于x 的不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-。
不等式的性质（1）同向不等式可以相加
不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或>（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b aa b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。
《不等式的性质》-完整版课件
易错疑难辨析
已知 1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求 3a－2b 的 取值范围．
[错解] ∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3， ∴两式相加可得 0≤a≤4. 又∵1≤a＋b≤5，－3≤b－a≤1， ∴两式相加可得－1≤b≤3. ∴0≤3a≤12，－6≤－2b≤2， ∴－6≤3a－2b≤14. [辨析] 错误的原因是“由 1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3， 得出 0≤a≤4，－1≤b≤3”的过程是一个不等价变形．
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课时作业
课前自主预习
• 清丽、优美的芭蕾舞剧《睡美人》序 曲奏响了，一名女演员双手抚摸着短 裙，眼里闪烁着倔强和自信的目 光．只见她踮起脚尖，一个优雅的旋 转，轻盈地提着舞裙，飘然来到台上， 那飘洒翩跹的舞姿把整个舞台化成一 个梦境……她为什么要踮起脚尖呢？
• ①c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc大小缺乏依据，故①错 误．
• ②若a>b，c>b，则a>c，不符合不等式的传递性，故②错误．
③若 a>0>b，则ab<0，lgab无意义，故③错误． ④当ac>bd且 cd<0 时，则 ad<bc，故④错误． ⑤若 c>d，则－d>－c， 又 a>b，∴a＋(－d)>b＋(－c)，即 a－d>b－c，故⑤正确． 综上可知，①、②、③、④错误，⑤正确，故选 C．
⇒－ac>－bD．
又 c<0，d<0⇒c－d>ac0>－bd
⇒－acdc>－bcdd⇒－ad>－bc⇒ad<bc.
[点评] 本题的难点在于找到由已知证结论的合理“线 路”，而要寻找到合理“线路”，就要消灭已知与结论的差异
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知识要点
1.实数的运算性质与大小顺序之间的关系：
a-b>0a>b a-b=0a=ba-b<0a<b
2.比较大小的步骤：①作差，②变形，③判别差的符号。
典型例题：
1.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小。
2.已知a>b，比较a3与b3的大小。
3.已知x>y，且y≠0,比较 与1的大小。
4.已知 ,比较1+cosα与sinα的大小。
随堂练习：
1.已知M=x2+y2-4x+2y, N=-5,若x≠2或y≠-1，则
A、M>N B、M<N C、M=N D、不能确定
2.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy，其中恒成立的不等式的个数为：
A、1 B、2 C、3 D、4
7.设x≥1,比较x3与x2-x+1的大小。
8.比较 的大小。
3.若a,b∈R,且a>b，则
A、>b2B、 <1 C、lg(a-b)>0 D、( )a<( )b
4.若a<b<0，则下列不等式中不成立的是
A、 > B、 > C、|a|>|b| D、a2>b2
5.如果x>0,比较( -1)2与( +1)2的大小。
6.已知a≠0,比较(a2+ a+1)(a2- a+1)与(a2+a+1)(a2-a+1)的大小。