高数-隐函数偏导数的求法及其应用
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解
x 把 x 看成z , y 的函数对y 求偏导数得 , y y 把 y 看成 x , z 的函数对z 求偏导数得 . z 令 u x y z , v xyz,
则 z f ( u, v ),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得
z z z f u (1 ) f v ( yz xy ), x x x z f u yzfv , 整理得 x 1 f u xyfv
dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
dy y 例 2 已知ln x y arctan ,求 . x dx
2 2
y 解 令 F ( x , y ) ln x y arctan , x
2 2
x y y x 则 Fx ( x , y ) 2 , Fy ( x , y ) 2 , 2 2 x y x y
把 x 看成z , y 的函数对y 求偏导数得
x x 0 f u ( 1) f v ( xz yz ), y y
整理得
x f u xzfv , f u yzfv y
z 求偏导数得 把 y 看成 x, z 的函数对
y y 1 f u ( 1) f v ( xy xz ), z z
无条件极值:对自变量除了限制在定义域内
外,并无其他条件.
条件极值:对自变量有附加条件的极值.
拉格朗日乘数法 要找函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0 下的 可能极值点, 先构造函数 F ( x , y ) f ( x , y ) ( x , y ) , 其中 为某一常数,可由
1 当 z 2 6 时, A 0 , 4
所以z f (1,1) 6 为极大值.
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤:
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
求出实数解,得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ,
思考题解答
不是.
例如 f ( x , y ) x y ,
2 2
2 ( 0,0) 取极大值; 当 x 0 时, f ( 0, y ) y 在
(0,0) 取极小值; 当 y 0 时, f ( x ,0) x 在
2
(0,0) 不取极值. 但 f ( x, y) x y 在
整理得
y 1 f u xyfv . f u xzfv z
1、二元函数极值的定义
设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义,对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) : 若满足不等式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ,则称函数 在 ( x 0 , y0 ) 有 极 大 值 ; 若 满 足 不 等 式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ,则称函数在( x0 , y0 ) 有极 小值;
解 将方程两边分别对 x , y 求偏导
2 x 2 z z x 2 4z x 0 2 y 2 z zy 2 4 zy 0
由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,1) ,
将上方程组再分别对 x , y 求偏导数,
1 A z , xx |P 2 z
x z 2 z ( 2 z ) x x ( 2 z ) x 2 z 2 2 x ( 2 z )2 (2 z )
( 2 z )2 x 2 . 3 (2 z )
z x y 例 4 设 z f ( x y z , xyz ) ,求 , , . x y z z 思路:把 z 看成 x , y 的函数对x 求偏导数得 , x
f y ( x 0 , y0 ) 0 , 又 f x ( x 0 , y0 ) 0 , 令 f xx ( x0 , y0 ) A , f xy ( x0 , y0 ) B , f yy ( x0 , y0 ) C ,
则 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下: (1) AC B 0 时具有极值,
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B 的符号,再判定是否是极值.
2
x y 0 因为lim 2 2 x x y 1 y
即边界上的值为零.
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 所以最大值为 ,最小值为 . 2 2
dy Fx x y . y x dx Fy
2. F ( x , y , z ) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x , y , z ) 在点P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数,且F ( x0 , y0 , z0 ) 0 , Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ,则方程F ( x , y , z ) 0 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z f ( x , y ) ,它满足条件 z0 f ( x0 , y0 ) , 并有
f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0. 解出 x , y , ,其中x , y 就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况: 要找函数u f ( x , y , z , t ) 在条件 ( x , y , z , t ) 0 , ( x , y , z , t ) 0 下的极值, 先构造函数F ( x , y , z , t ) f ( x , y , z , t ) 1 ( x , y , z , t ) 2 ( x , y , z , t ) 其中1 , 2 均为常数,可由 偏导数为零及条件解出 x , y , z , t ,即得极值点的坐标.
解 令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
则
解得唯一驻点(6,4,2) ,
故最大值为 umax 6 4 2 6912.
3 2
四、小结
多元函数的极值
(取得极值的必要条件、充分条件)
拉格朗日乘数法
思考题
若 f ( x 0 , y ) 及 f ( x , y 0 ) 在( x 0 , y 0 ) 点均取得 极值, 则 f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 是否也取得极值?
例7
将正数 12 分成三个正数 x , y , z 之和 使得 3 2 u x y z 为最大.
2 2 Fx 3 x y z 0 3 F 2 x yz 0 y 3 2 F x y 0 z x y z 12
2
当 A 0 时有极大值, 当 A 0 时有极小值;
2 (2) AC B 0 时没有极值;
(3) AC B 0 时可能有极值,也可能没有极值,
2
还需另作讨论.
例4
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y
4 z 10 0 确定的函数z f ( x , y ) 的极值
2 2
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
2、多元函数取得极值的条件
定理 1(必要条件) 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数,且 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值,则它在该点的偏导数必 然为零: f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 .
z Fx , x Fz
Fy z . y Fz
z 例 3 设 x y z 4 z 0 ,求 2 . x
2 2 2
2
2 2 2 F ( x , y , z ) x y z 4z , 解 令
则 Fx 2 x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零 的点,均称为函数的驻点. 注意:驻点 极值点
例如, 点(0,0) 是函数z xy 的驻点, 但不是极值点.
问题:如何判定一个驻点是否为极值点?
定理 2(充分条件) 设函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数,
2
1 |P B z C zyy , xy |P 0, 2 z
所以 z f (1,1) 2 为极小值;
1 0 ( z 2) ,函数在P 有极值. 故 B AC 2 (2 z ) 将 P (1,1) 代入原方程, 有 z1 2, z2 6 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 当 z1 2 时, A 0 , 4
一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数,且 F ( x 0 , y0 ) 0 , F y ( x0 , y0 ) 0 ,则方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y f ( x ) ,它满足条件 y0 f ( x0 ) ,并 有