直线与双曲线交点问题
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题——教案
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b若0222=-k a b 即ab k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若0222≠-k a b 即ab k ±≠， ))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点；0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点；0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y =kx +n ，圆锥曲线：F (x ,y )=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
设),(),,(2211y x B y x A ，则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x kAB -++= 若联立消去x 得y 的一元二次方程：)0(02≠=++a c by ay设),(),,(2211y x B y x A ，则2122124)(11||y y y y k AB -++= 焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。
【例1】过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
解析：若直线的斜率不存在时，则x =，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(y k x -=则5y kx =+-217x =， ∴22257(5725x kx -+-=⨯，222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=，当k =时，方程无解，不满足条件；当k =21075⨯⨯=方程有一解，满足条件；当2257k ≠时，令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条x =10y x =+。
双曲线与直线的位置关系课件
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
高中数学破题致胜微方法(直线与双曲线的位置关系)：1.直线与双曲线相交
今天我们研究直线与双曲线相交，即直线与双曲线有一个或两个交点。
直线方程与双曲线方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程或一元一次方程，则（1）一元一次方程情形，直线与双曲线有一个交点等价于直线与双曲线的渐近线平行；（2）一元二次方程情形，直线与双曲线有一个有两个交点等价于直线与双曲线方程联立后方程有两个不同的解，其判别式大于0。
先看例题：例：若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6相交，求k 的取值范围。
解：由22=+26y kx x y ⎧⎨-=⎩得22410)0(1k x kx -－－＝， （1）直线与双曲线有两个公共点，即：()()222101641100k k k ⎧-≠⎪⎨∆=--⨯->⎪⎩， 解得1515(1)(1,1)(1,33k ∈--⋃-⋃ （2）直线与双曲线有一个公共点，21=0k -，解得1k =± 综上有151533k -<< 整理： 设直线l :y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b（1）若0222=-k a b 即a bk ±=，且0m ≠时，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；（2）若0222≠-k a b 即a bk ±≠，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点。
注意：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支。
再看一个例题，加深印象例：若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 ()A.⎛ ⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭解：由22=+26y kx x y ⎧⎨-=⎩得22410)0(1k x kx -－－＝，∴()()222121210164110000k k k x x x x ⎧-≠⎪∆=--⨯->⎪⎨+>⎪⎪>⎩，解得13k -<<-，正确答案D.总结：1.直线与双曲线相交，即直线与双曲线有一个或两个交点。
(原创)直线与双曲线的位置关系
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
直线与双曲线的交点
2
2
(3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ± 5 ；
2
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ； (5)与左支交于两点.
5 k 1 2
x2 y2 1 1.过点P(1,1)与双曲线 只有 一个 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______条. （1，1）
。
变题:将点P(1,1)改为
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
y = kx + m 2 消去y，得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 x y2 2 - 2 =1 a b
△＜0
②相切一点:
③相 离:
特别注意直线与双曲线的 位置关系中： 一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k＜ 5或k＞ 5 ；
且 (2)有两个公共点; (2) 5 ＜k＜ 5 ； k 1
直线与双曲线的交点
二、直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数 （3）
相切
相交
∆<0∆=0Fra bibliotek∆>0
直线和双曲线关系 直线与双曲线位置关系及交点个数
直线与双曲线位置关系及交点个数
Y
相交:两个交点
O X
相切:一个交点 相离: 0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
例1:如果直线y=kx－1与双曲线x2-y2=4仅有一个公共点, 求k的取值范围.
分析:只有一个公共点,即方程组仅有一组实数解.
变式:
⑴ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共 点,求k的取值范围.
练习:求下列直线与双曲线的交点坐标．
x2 y2 14 2 (1)2x-y-10 0, 1 (6,2),( , ) 20 5 3 3 x2 y2 25 (2)4x-3y-16 0, 1 ( , 3) 25 16 4 (3)x-y 1 0, x 2 y 2 3 (2, 1)
⑵ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点, 求k的取值范围.
归纳直线与双曲线位置关系:
有两个公共点△>0
相交 直线与双曲线 有一个公共点,
直线与渐近线平行
相切 有一个公共点,△=0 相离
⑶如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两 个公共点,求k的取值范围. ⑷如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支只有
一个公共点,求k的取值范围.
随堂练习
x y 过点 0,3的直线与双曲线 1 4 3 只有一个公共点，求直线L的方程.
2
2
试讨论过定点且与双曲线只有一个交点的 直线的 条数问题?
例2.已知双曲线方程为
3x y 3,
2 2
(1)求以定点(2,1)为中点的弦所在的直线 方程及弦长; (2)是否存在直线l，使Ｎ（１，1 )为l 被双 曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l 的 方程，若不存在，请说明理由. 不存在
直线与双曲线交点问题(图解)授课用
与双曲线右支有两个交点的直线
k b 或k b 或k不存在y
a
a
与双曲线左支、有右两支 个各交相点交的于直一线点呢的？直线
b k b
O
x
a
a
过平面其他一点 与双曲线只有一个交点的直线 4条
与双曲线右支有两个交点的直线 与双曲线左支有两个交点的直线
斜率范围？
y
与双曲线左、右两支
O
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
各相交于一点的直线
各个相交交点于的一直点线的呢直？线
yb x a
b k b
a
a
过双曲线上一点 与双曲线只有一个交点的直线 3条
与双曲线右支有两个交点的直线 y
k b 或k b 或k不存在
a
a
且k k切
与双曲线左支、有右两支 个各交相点交的于直一线点呢的？直线
b k b
O
x
a
a
过双曲线内一点 与双曲线只有一个交点的直线 2条
图解
过原点
与双曲线只有一个交点的直线 0条
与双曲线左、右两支各相交于一点的直线
y
ybx a
b k b
a
a
x
O
x2 y2
a2 b2 1
yb x a
过渐近线上一点 与双曲线只有一个交点的直线 2条
与双曲线左支有两个交点的直线
y
ybx
a
b k切 k a
x2 a2
y2 b2
1
x
O
与双曲线左右、支右有两支
b k b
a
a
y
F1
O
F2
x
若直线y kx 1与双曲线x2 y2 4的右支有两个公共点，
高中数学直线与双曲线位置关系
一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含 焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在 双 曲 线 外
在 原 点
直线 三 两 条数 条 条
四条
不
两条 存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的 位置
区
区
区
原 双曲 渐近
存在 方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点 线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不 存 在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
双曲线微专题三 直线与双曲线相交问题(一)
b2 a
x12 y12 1, (1) − = 1 1 a 2 b2 0 证明： 2 (1)－( 2 ) 得 2 ( x12 − x22 ) − 2 ( y12 − y22 ) = 2 a b x2 − y2 = 1, (2) a 2 b2
规律整理：
在双曲线
x2 y 2 − = 1 (a＞0，b＞0) 中， k AB 表示双曲线以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的弦 AB 的斜率，令 M(x0，y0) a 2 b2 b2 a
1 ( y1 + y 2 ) 2 − 4 y1 y 2 2 k
例 2：直线 l：y = k ( x − 2) 与双曲线 C：
x2 y 2 − = 1 交于 A、B 两点，若 AB > 6 2 ，求 k 的取值范围. 2 2
y = k ( x − 2) 2 2 2 2 ，消 y，整理得： 1 − k x + 4 k x − 4 k − 2 = 0 ∵直线 l 与双曲线 C 有两个交点 解：由 x 2 y2 =1 − 2 2
解 将直线 x=5 代入双曲线方程联立得 y = ±
求弦长的一般方法：设直线 l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为 P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)， 且由
F ( x, y ) = 0 2 2 ，Δ=b －4ac. ，消去 y→ax +bx+c=0（a≠0） y = kx + n
( x1 + x 2 ) 2 − 4 x1 x 2
设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ，则弦长公式为：则 | AB |= 1 + k 2 若联立消去 x 得 y 的一元二次方程： ay 2 + by + c = 0(a ≠ 0)
一直线与双曲线右支有两个交点的斜率范围-概述说明以及解释
一直线与双曲线右支有两个交点的斜率范围-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学领域中，我们常常会研究不同曲线之间的交点情况。
本文将重点讨论一直线与双曲线右支之间存在两个交点的情况，探讨其斜率范围的问题。
通过对一直线和双曲线的定义，以及两者之间存在两个交点的条件进行分析，我们将推导出斜率范围的具体数学表达式。
最终，我们将总结得出结论，并给出相应的应用示例，展望未来可能的研究方向。
通过本文的阐述，读者将更深入地理解一直线与双曲线右支之间交点的特性，以及斜率范围的确定方法。
1.2 文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将对本文的内容进行概述，介绍文章的结构和目的。
正文部分将详细讨论一直线与双曲线右支的定义、两个交点的条件以及推导斜率范围的过程。
最后，在结论部分将总结本文的研究结果，并给出应用示例和研究展望。
望": {}}}}请编写文章1.2 文章结构部分的内容1.3 目的：本文的目的是探讨一直线与双曲线右支在平面直角坐标系中的交点问题，特别是关注在右支上存在两个交点的情况。
通过研究这一问题，我们将推导出一直线与双曲线右支两个交点存在的必要条件，并进一步得出斜率范围的结论。
通过本文的研究，读者可以更深入地理解一直线和双曲线的性质，拓展数学知识，培养逻辑推理能力。
同时，通过应用示例，读者可以将理论知识具体应用到实际问题中，展示数学在解决实际问题中的重要性。
最后，本文还会对未来可能的研究方向进行展望，为读者提供更多思考的空间。
2.正文2.1 一直线与双曲线右支的定义在数学中，直线与双曲线右支是两种基本的几何图形。
一直线可以用方程y = mx + c表示，其中m为斜率，c为截距。
双曲线右支的标准方程为\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1，其中a和b为正实数。
当一直线与双曲线右支有两个交点时，我们可以根据这两个图形的性质来确定斜率的范围。
双曲线与直线相交的弦长公式
双曲线与直线相交的弦长公式
公式是：设直线y=kx+b与双曲线交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则|AB|=√(1+k²)[(X1+X2)²-4X1X2]。
在数学中，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。
这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
a还叫做双曲线的半实轴。
双曲线出现在许多方面：
作为在笛卡尔平面中表示函数的曲线；作为日后的阴影的路径；作为开放轨道（与闭合的椭圆轨道不同）的形状，例如在行星的重力辅助摆动期间航天器的轨道，或更一般地，超过最近行星的逃逸速度的任何航天器。
作为一个单一的彗星（一个旅行太快无法回到太阳系）的路径；作为亚原子粒子的散射轨迹（以排斥而不是吸引力作用，但原理是相同的）；在无线电导航中，当距离到两点之间的距离而不是距离本身可以确定时等等。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。
对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。
所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。
直线与双曲线关系
过定点的直线与双曲线交点情况的探讨！！！
过定点的直线与双曲线交点情况的探讨1任意直线与双曲线交点情况备注：此情况下m≠0，如果m=0，一次方程无解，直线L就会与渐近线重合，则与双曲线无交点。
备注：由以上结论可知，任意一条直线与双曲线的交点最多为2个，最少为0个，也有1个的情况(直线与双曲线相切或者直线与渐近线平行)。
2过定点与双曲线仅一个交点的直线情况接下来重点讨论过定点与双曲线只有一个交点的直线条数情况，总共有以下6种情况。
①定点P在双曲线内，如下图绿色区域(不包含在双曲线上的情况)：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有两条，且这两条直线分别与对应的两条渐近线平行，具体如下：备注：根据上图点P在双曲线内，很明显可以看出过定点P与双曲线有两个交点的直线有无数条，与双曲线无交点的直线有0条，所以此处只探讨过定点P与双曲线只有一个交点的直线条数这种相对复杂的情况，并且这种情况也是常考点！②定点P在双曲线与渐近线之间，如下图绿色区域(不包含原点，在双曲线上和渐近线上的情况)：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有四条，其中两条直线分别与对应的两条渐近线平行(蓝色)，另外两条直线与双曲线相切(粉色)，且切点相切在双曲线的同一支上，具体如下：③定点P在两条渐近线之间，如下图绿色区域(不包含原点，在渐近线上的情况)：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有四条，其中两条直线分别与对应的两条渐近线平行(蓝色)，另外两条直线与双曲线相切(粉色)，且切点相切在双曲线的两支上，具体如下：④定点P在双曲线上，如下图绿色区域：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有三条，其中两条直线分别与对应的两条渐近线平行(蓝色)，另外一条直线与双曲线相切(粉色)，具体如下：⑤定点P在渐近线上，如下图绿色区域(不包含原点)：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有两条，其中一条直线与对应的渐近线平行(蓝色)，另外一条直线与双曲线相切(粉色)，具体如下：⑥定点P在原点上，如下图：可知此时过原点，与双曲线只有一个交点的直线是不存在，即0条。
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a
a
F•1
•O
与双曲线 左、右两 支相交于 两点的直 线
x2 y2 a2 b2 1
F• 2
x
ybx a
过双曲线上一点 与双曲线只有一个交点的直线 3条
与双曲线右支有两个交点的直线 的斜率范围 与双曲线左支、有右两个支交相点交的于直两线点的的直斜线率范围
y bx a
y
F•1
O
x2 y2
F• 2
a2 b2 1 x
y bx a
y
F•1
O
x2 y2 a2 b2 1
F• 2
x
•
ybx a
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的右支有两个公共点，
则k的取值范围为
k 5
k1
2
. 1k
5
2
k 5 2 k 1Βιβλιοθήκη yF•1O•
F• 2
x
yx
yx
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的左支有两个公共点，
率的取值 . 范围 k a b
y
y bx a
F•1
O
F• 2
x
ybx a
直线与双曲线的交点个数问题 利用斜率的
过原点 与双曲线只有一个交点的直线 0条
与双曲线左、右两支相交于两点的直线
y bx a
y
F•1
•
O
x2 y2 a2 b2 1
F• 2
x
ybx a
过渐近线上一点 与双曲线只有一个交点的直线 2条
k切
线
k
b a
与双曲线左支有两个交点的直线
y bx a
y
b k b
是双曲线右支上两点，若∆ABC为正三角形，则m的取
值范围
.
x2 y2 1 1 m
y
y
1 x
m
渐近线方程：
B
y 1 x m
F•1
A O
F• 2
x
C
y 1 x m
3 k AB 3
过
双
曲 x2 a2
线 by22
1(a0,b0)的
右
焦 F作 点双
曲
线
渐
近
线
l,若 直l与 线双 曲 线 的 左相 、交 右 A于 ,B两 两支 点 ， 求 双 曲 线
则k的取值范围为
k 5
k1
2
.5 k 1
2
k 5 2
k 1
y
F•1
O•
F• 2
x
yx
yx
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 左，右相交两个点，
则k的取值范围为 1k.1
k 5
k1
2
k 5 2 k 1
y
F•1
O•
F• 2
x
yx
yx
1. 已知双曲线 x2-my2=1(m>0)的右顶点为A，而B，C
•
ybx a
过双曲线内一点 与双曲线只有一个交点的直线 2条
与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
y bx a
y
F•1
O
•
x2 y2
F• 2
a2 b2 1 x
ybx a
过平面其他任意一点 与双曲线只有一个交点的直线 4条
与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线