2016年初中数学青年教师学科素养能力竞赛试卷(解题部分)
2016年综合素质大赛解题比赛试题1
2016年合肥市初中数学青年教师综合素质大赛“解一套题”比赛试题1一、选择题:(每小题8分，满分32分)每小题给出的代号为A、B、C、D的四个选项只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后括号内.1.代数式222245x x x x-++-+的最小值为( ).A.35+ B.3 C.3 D.52.右图是一个几何体的主视图和俯视图，若主视图的外边缘是边长为2的正三角形，俯视图的外边缘是边长为1的正六边形，则该几何体的左视图的面积为( ).A.32B.3C.3D.33.当n=1，2，3，4，5，…，2016时，直线111ny xn n=-+++(n为正整数)与坐标轴围成的三角形的面积和为( ).A.5042017B.20152016C.10082017D.201720184.如图，半圆O的直径2AB=，弦AC CD a==(1a<)，以CD为一边在半圆内作等边三角形CDE，连结AE并延长交半圆O于点F，则DF的长为( ).A.5a B.1 C.6a D.2a二、填空题:(每小题8分，满分32分)5.分解因式：326114x x x-++=__________________.6.如图，已知：AB∥CD，点E是AD的中点，连结BE，CE，若120ABC∠=︒，AB BC CD=+，则ECEB的值为 .7.已知二次函数2y ax bx c=++(a为不等于0的整数)，已知当x取20和16时，y都等于2016，若16202016c<<，则c的值为 .8.如图，在等腰Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，8AC=，F是斜边AB的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，保持90DFE∠=︒.在此运动变化过程中，下列结论：①CDE∆面积的最大值为8；②四边形CDFE不可能为正方形；③连结DE，若M为DE的中点，则CM的最小值为22；④连结DE、CF交于点P，则2282AD BE PF+=.其中正确的结论是______________.(把你认为正确结论的序号都填上)三、解答题:(满分36分)9.(14分)已知x 、y 均为实数，且满足15x xy y ++=，2250x y xy +=，求代数式()2x y -的值.10.(22分)如图，在ABC ∆中， 10AB AC ==cm ，16BC =cm. 动点D 从点B 出发以1cm/s 的速度向点A 运动，动点E 、F 均从点B 出发以1.6cm/s 的速度向点C 运动，但点F 比点D 和点E 晚出发2.5s ，当点D 到达点A 时，动点D 、E 、F 均停止运动，设点F 运动的时间为t s.⑴在这个运动过程中，以D 、E 、F 为顶点的三角形能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由；⑵设M 、N 分别是线段DE 、DF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积.“解一套题”比赛试题1参考答案1.D2.A3.C4.B5.()()()12134x x x -+-6.37.16968.①③④9.由已知条件可知，xy 和x y +是方程215500z z -+=的两个实数根，解得15z =，210z =， 所以510xy x y =⎧⎨+=⎩，或105.xy x y =⎧⎨+=⎩，…………………………………………………………6分 当10xy =，5x y +=时，x 、y 是方程25100u u -+=的两个根， ∵12540∆=-＜0，∴此方程没有实数根；…………………………………………8分 当5xy =，10x y +=时，x 、y 是方程21050v v -+=的两个根， ∵210020∆=-＞0， …………………………………………………………………10分 ∴此方程有实数根，此时()()22480x y x y xy -=+-=.……………………………14分10.⑴连结DE 、DF ，由题意可知，()2.5BD t =+cm ，()1.6 2.5BE t =+cm ， 1.6BF t =cm ， 1.6 2.54EF =⨯=(cm). ……………2分 ∵()2.551.6 2.58BD t BE t +==+，105168AB BC ==，∴BD AB BE BC=，∴DE ∥AC ，∴DEB C ∠=∠. ∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∴DEB B ∠=∠，∴()2.5DE DB t ==+cm ，……………………6分 假设以D 、E 、F 为顶点的三角形能为等腰三角形，下面分三种情况讨论： ①如图1，当DF DE =时，有DFE DEF C B ∠=∠=∠=∠，此时点F 与点B 重合，∴0t =；②如图2，当DE EF =时，即 2.54t +=，解得 1.5t =； ③如图3，当DF EF =时，有FDE FED C B ∠=∠=∠=∠，∴FED ∆∽ABC ∆. ∴EF DE AB BC =， 即4 2.51016t +=，解得 3.9t =. 综上所述，当0t =、1.5或3.9秒时，以D 、E 、F 为顶点的三角形为等腰三角形. …………12分 (每一种情况答案正确，给2分)⑵设P 是AC 的中点，连接BP .∵DE ∥AC ，∴△DBE ∽△ABC .∴DE BE AC BC =， ∴EN BE CP BC=. 又∵BEN C ∠=∠，∴△NBE ∽△PBC ，∴NBE PBC ∠=∠， ∴点N 沿BP 运动，∴MN 也随之平移. ………………………16分 如图，设MN 从ST 位置平移到QP 位置，根据平移的性质，可知四边形STPQ 是平行四边形.又∵M 、N 分别是DF 、DE 的中点，∴MN ∥FE ，且122ST MN FE ===. 分别过点S 、P 作SK ⊥BC ，垂足为K ，PL ⊥BC ，垂足为L . 延长ST 交PL 于点R ，则四边形SKLR 是矩形.当MN 在ST 位置时，1 2.5 1.252BS =⨯=，3sin 1.250.755SK BS B =⋅=⨯=. 当MN 在QP 位置时，11052PC =⨯=，3sin 535PL PC C =⋅=⨯=. ∴30.75 2.25PR PL RL PL SK =-=-=-=.∴线段MN 所扫过的图形的面积为2 2.25 4.5ST PR ⋅=⨯=， 即在整个运动过程中，线段MN 所扫过的图形的面积为24.5cm ．…………………22分。
2016下上半年教师资格考试初中数学学科知识与教学能力真题及答案
2016下上半年教师资格考试《初中数学学科知识与教学能力》试题一、单选题(共8题，每题5分，共40分)1.A.0B.1C.eD.e^2答案：C解析：2.下列命题正确的是()。
A.若三阶行列式D=0，那么D中有两行元素相同B.若三阶行列式D=0，那么D中有两行元素对应成比例C.若三阶行列式D中有6个元素为0，则D=0D.若三阶行列式D中有7个元素为0，则D=0答案：D解析：三阶行列式中若7个元素为零，则它至少有一行(或一列)的元素全是零，所以它的值为0。
3.A.平行B.直线在平面内C.垂直D.相交但不垂直答案：A解析：4.已知函数ƒ(x)在点x0连续，则下列说法正确的是()。
A.对任给的ε>0，存在δ>0，当|x-x0|<δ时，有|ƒ(x)-ƒ(x0)|<εB.存在ε>0，对任意的δ>0，当|x-x0|<δ时，有|ƒ(x)-ƒ(x0)|<εC.存在δ>0，对任意的ε>0，当|x-x0|<δ时，有|ƒ(x)-ƒ(x0)|<εD.存在A≠ƒ(x0)，对任给的ε>0，存在δ>0，当|x-x0|<δ时，有|ƒ(x)-A|<ε答案：A解析：根据函数在某点处连续的定义可知A选项为正确选项。
5.A.-2B.2C.D.答案：B解析：6.A.B.C.D.答案：B解析：7.数学发展史上曾经历过三次危机，触发第三次数学危机的事件是()。
A.无理数的发现B.微积分的创立C.罗素悖论D.数学命题的机器证明答案：C解析：第三次数学危机为数学罗素悖论的产生。
第三次数学危机引发了关于数学逻辑基础可靠性的问题，导致无矛盾的集合论公理系统的产生。
在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。
到现在，从整体来看，第三次数学危机还没有解决到令人满意的程度。
8.在某次测试中．用所有参加测试学生某题的平均分除以该题分值，得到的结果是()。
初中数学青年教师基本功大赛笔试试卷(含答案)
A B
5. (本小题 12 分) 从甲地到乙地有 A1、A2 两条路线，从乙地到丙地有 B1、B2、B3 三条路 线，从丙地到丁地有 C1、C2 两条路线．一个人任意先了一条从甲地到丁地的路线．求 他恰好选到 B2 路线的概率是多少？
22ຫໍສະໝຸດ 要 t 最小，即 CT+TQ 最小，而 CT+TQ 是点 C 到直线 C
′B 的折线长，只有当 CT+TQ 成为点 C 到直线 C′B 的
y C
OK
T
x
B
Q H
垂线段时才最小，故作 CH⊥BC′交 OB 于点 K，则点
C′
K 就是使运动时间最短的点。
∵△CBC′为正三角形，∴∠C′CH=30°∴OK=OC·tan30°=2
P138—139） 5. (本小题 12 分)
A1
甲
乙
A2
如图：从甲到丁有 2×3×2=12 种走
9
A
M
B1
C1
B2
丙
C2
丁
B3
N
D
C
B
E
法，而经过线路
B2
共有
2×1×2=4
种走法，故
P=
4 12
1 3
6. (本 小 题 12 分 ) 如 图 ： 裁 剪 线 AB 与 CD 长 恰 好 为 三 棱 柱 底 面 周 长 30cm， 故
BM AB 2 AM 2 30 2 182 24
由△CEB∽△AMB 可知： CB BE ，故 CB 60
AB BM
30 24
2016年九年级科学素养竞赛数学试题
临沭县新华杯首届初中学生学科素养展示大赛数学试题第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）请将唯一正确的答案符号填在下面答题栏内. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1. 已知二次函数m x x y +-=62的最小值是－3，那么m 的值等于( ) A. 10 B. 4 C. 5 D. 62．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相 同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9 名学生成绩的( ) A ．众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 3. 已知命题“关于x 的一元二次方程012=++bx x ，当0<b 时必有实数根”，能说明这个命题是假命题的一个反例是( )A.1-=bB. 2=bC. 2-=bD. 0=b 4. 如图⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB OD ⊥于点D ，交⊙O 于点E ，︒=∠60C ，若⊙O 的半径为2，则下列结论错误的是( ) A. AD =BD B. AE =BE C. AB =3 D. OD =15. 如图，ABC ∆中，AD BC AC AB ,810===，平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则CDE ∆的周长为( )A.28B.20C.14D.106．如图，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E =︒36，则∠ADC 的度数是( )A.︒44 B ．︒54 C ．︒72 D ．︒537. 已知点)3,(+a a P 在抛物线1972+-=x x y 图象上，则点P 关于原点O 的对称点'P 的题号 二 三 总分 等级 19 2021222324得分（第5题图） （第6题图）（第4题图）坐标是( ) A.）（7,4 B ）（7,4-- C.）（7,4- D.）（7,4- 8. 若),41(),,45(),,413(321y C y B y A --是二次函数542-+=x x y 的图象上的三点，则 321,,y y y 的大小关系是( )A ．321y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<9. 下列图形中阴影部分的面积相等的是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④10. 如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为3的线段的概率为( ) A. 41 B.52 C.32 D.9511. 已知二次函数22+++=c bx ax y 的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①0>abc ；②042=-ac b ；③2>a ；④024>+-c b a ．其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 12. 如图，抛物线6822---=x x y 与x 轴交于点B A 、，把抛物线在x 轴及其上方的部 分记作1C ，将1C 向左平移得2C ，2C 与x 轴交于点D B ，，若直线m x y +-=与1C ，2C 共有3个不同的交点，则m 的取值范围是( )A. 8153-<<-mB.473-<<-mC. 812<<-m D.23-<<-m（第10题图） （第11题图） （第12题图）二、填空题（每小题3分，共18分）请将最佳答案填写在题中横线上.13．从－2、－1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于x 的一元二次方程02=--k x x 的k 值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是_____________________ . 14. 如图，点A 是反比例函数ky x=的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ．点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC . 若 △ABC 的面积为3，则k 的值是___________。
2016年湖南省中学数学教师解题比赛初中组初赛试卷及答案
2016年数学教师解题比赛初中组初赛试卷一、选择题（下列各题四个选项中只有一个正确答案，请将正确答案的选项填在括号内.每小题5分，共40分.）1.已知一元二次方程0252=+-x x 的两根为α、β，则22βα+的值为（C ） A ．17 B ．19 C ．21 D ．23【分析】本题考查韦达定理与代数式的恒等变换（或方程根的定义） 方法一：由韦达定理知：5=+βα，2=⋅βα；∴ 212252)(2222=⨯-=-+=+αββαβα.方法二：∵α、β是一元二次方程0252=+-x x 的两根，∴0252=+-αα，0252=+-ββ，则252-=αα，252-=ββ. ∴214554)(522=-⨯=-+=+βαβα. 2.设0<<n m ，mn n m 422=+，则nm nm -+的值为（A ） A ．3 B ．6 C ．2 D ．3【分析】本题考查代数式的恒等变换与整体代入方法一：由条件知0<+n m ，0<-n m ，则0>-+nm nm . ∴ 3242422)(22222=-+=+-++=-+mn mn mnmn nmn m n mn m n m n m ，则3±=-+n m n m . ∵0>-+n m n m ， ∴3=-+nm nm . 方法二：∵mn n m 422=+， ∴ mn n m 6)(2=+，∵0<<n m ∴ mn n m 6-=+.同理mn n m 2-=-，则3=-+nm nm . 3.如图，在ABC ∆中，点D 、E 在边BC 上，且ED BE AE AC ===，︒=∠24DAC ，则B ∠的读书为（A ）A ．︒22B ．︒24C ．︒33 【分析】本题考查基本图形的性质与角度的有关计算方法一：∵ED BE AE ==，∴ABD ∆是直角三角形. ∵︒=∠24DAC ， ∴ ︒=︒+︒=∠1142490BAD . ∵BE AE =， ∴ BAE B ∠=∠，B AEC ∠=∠2. ∵AE AC =， ∴ B AEC C ∠=∠=∠2. ∴ ︒=÷︒-︒=∠223)114180(B . 方法二：几何问题代数化由ED BE AE AC ===得图中有三个等腰三角形则⎩⎨⎧︒=+︒+=18022242y x x y ，解得⎩⎨⎧︒=︒=6822y x .∴ ︒=∠22B .4.已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，求z y x 432++的值为（B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【分析】本题考查解分式方程组（轮换）与分式的求值，渗透整体代入思想方法 方法一：把三个分式方程去分母整理为整式方程：∵2111=++z y x ，∴ xz xy z y x +=++222（1）； ∵3111=++x z y ，∴ yz xy z y x +=++333（2）； ∵4111=++y x z ，∴ yz xz z y x +=++444（3）； )3()2()1(++得)(29z y x xz yx xy ++=++（4）； )1()4(-得)(25z y x yz ++=（5）；)2()4(-得)(23z y x xz ++=（6）；)3()4(-得)(21z y x xy ++=（7）； ）（）（65得35=x y ；）（）（67得31=z y ； 于是可设k x 3=，k y 5=，k z 15=； 于是22451530106k k k k k +=++，整理得023302=-k k ；解得30231=k ，02=k （舍）.∴ 23023152315231545332432=⨯==++=++kk k k z y x . 方法二：令m z y x =++ ∵2111=++z y x ，∴ xz xy z y x +=++222； 则m xm z y x z y x 2)(21-=+++=.∵3111=++x z y ，∴ yz xy z y x +=++333； 则m ym z y x z x y 3)(31-=+++=.∵4111=++y x z ，∴ yz xz z y x +=++444； 则m zm z y x y x z 4)(41-=+++=.∴ 23)(3443322432=-=++-=-⨯+-⨯+-⨯==++mmm m z y x m m z m m y m m x m z y x . 5.甲乙丙丁4人玩传球游戏，持球者将球等可能的传给其他3人，若球首先从甲传出，经过3次传球，则球恰好回到甲手中的概率为（C ） A ．91 B ．41 C ．92 D ．31【分析】本题考查画树状图求等可能随机事件的概率方法一：由树状图可知，3次传球共有27种等可能的结果，其中球恰好回到甲手中有6终结果，则所求概率为92276=.方法二：第一次传球后球在甲手中的概率为0，第二次传球后球在甲手中的概率为31333=⨯，则球不在甲手中的概率为32311=-，第三次传球后球在甲手中的概率为929332=⨯.6.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的横坐标分别为1-和4，与y 的正半轴没有交点，则a 、b 、c 之间的关系正确的是（D ）A ．ac b 42= B ．0)5=-c b a （ C ．0=++c b a D ．c b a >> 【分析】本题考查数形结合的数学思想方法一：由题意可知该二次函数的图象的开口向上，则0>a ，然后写出交点式为)4)(1(-+=x x a y ，将之化为一般式a ax ax y 432--=，则a b 3-=，a c 4-= ∵0>a ， ∴ c b a >>.方法二：可用排除法∵二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴交点有两个交点，∴ 042>-ac b 则选项A 错； ∵二次函数的对称轴在y 轴的右侧，∴a 、b 异号；又二次函数的图象与y 的正半轴没有交点，则0>a ，0<c ，故0<b ，则选项B 错； 画出二次函数的图象可知当1=x 时，0<++=c b a y ，则选项C 错，所以选D .7.如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH ，若cm EH 3=，cm EF 4=，则AD 的长为（B ）A ．cm 5.4B ．cm 5C ．cm 6D ．cm 7 【分析】本题考查轴对称（翻折）方法一：由条件可知，四边形EFGH 是矩形， 易证EFJ ∆≌GHK ∆，则HD HK FJ ==. 在EFH Rt ∆中，由勾股定理得5=HF . 5==+=+=HF FJ HJ HD AH AD .方法二：由条件可知，四边形EFGH 是矩形， 在EFH Rt ∆中，由勾股定理得5=HF . 易证AEH ∆∽EFH ∆，DGH ∆∽GFH ∆.则FH EH EH AH =，FH GHGH DH =， ∴ 533=AH ，544=DH ，解得59=AH ，516=DH . 则551659=+=+=DH AH AD . 8.若关于x 的方程m x x +=-24有解，则实数m 的取值范围是（D ）A ．2222≤≤-mB ．222≤≤-mC ．22≤≤-mD ．222≤≤-m【分析】本题考查数形结合的数学思想，也可用排除法或换元法求解 方法一：排除法令22-=m ，则原方程变为2242-=-x x ，整理得02222=+-x x 解得221==x x ，经检验221==x x 不是方程的解，从而排除选项A 、B令22=m ，则原方程变为2242+=-x x ，整理得02222=++x x 解得2-21==x x ，经检验221-==x x 是方程的解，从而排除选项C ，则选D 方法二：换元法令αcos 2=x （)0πα≤≤D不妨取点1(P ，)1-，易算出2==OB OA ，则2=∆AOB S .11.方程413=-++x x 的解集为__________________.【分析】本题考查解绝对值的方程，渗透函数思想，可用零点分段讨论或绝对值的几何意义求解方法一：零点分段讨论413=-++x x ⎩⎨⎧=+----<⇔4133x x x 或⎩⎨⎧=+-+≤≤-41313x x x 或⎩⎨⎧=-++>4131x x x 解得13≤≤-x .方法 二：绝对值的几何意义3+x 表示在数轴上x 到3-的距离，1-x 表示在数轴上x 到1的距离， ∵4)3(1=--，∴13≤≤-x .方法三：数形结合令13-++=x x y ，则⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤---=1(223(4(22x x x x x y画出y 与x 的函数图象(如图)由图象可知当4=y 时，13≤≤-x .12.如图，在等边ABC ∆中，点D 在BC 上，3:2:=DC BD ，把ABC ∆沿直线MN 对折， 使点A 恰好落在D 点，则=ANAM _____________. 【分析】本题考查轴对称的性质，一线三等角模型以及相似三角形的性质，是一道好题由3:2:=DC BD ，可设k BD 2=，k DC 3=)0(>k则k BC AC AB 7===由轴对称的性质可知MD MA =，ND NA =则k AB BD MA BM BD MD BM BD 7C BDM =+=++=++=∆ 同理k C CND 8=∆由一线三等角可证BDM ∆∽CND ∆， ∴8787===∆∆k k C C ND MD CND BDM ， 则 87==ND MD AN AM . 13.已知a 、b 、、d 均为正整数，且45b a =，23d c =，19=-a c ，则=-b d ___________.【分析】本题考查换元法、平方差公式以及质数的性质（是一道陈题）由已知可设4m a =，5m b =，2n c =，3n d =，n m 、(均为正整数）.13≤≤-x 1-x87757∵19=-a c ，∴ 1942=-m n ，则19))((22=-+m n m n . ∵19为质数，∴ 192=+m n 且12=-m n ，解得3=m ，10=n .∴ =-b d 75731053=-.三、解答题（请将解答过程写在题后空白处、每小题20分，共80分、）14.已知二次函数m x m mx y ---=)1(222的图象关于y 轴对称，一次函数n x y -=21的图象与2y 的图象只有一个交点.（Ⅰ）证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的值21y y ≤均成立； （Ⅱ）若二次函数c bx ax y ++=23的图象经过点5(-，）0，且在实数范围内对于x 的同一个值，这三个函数所对应的值231y y y ≤≤均成立，求3y 的解析式. （Ⅰ）证明：∵二次函数m x m mx y ---=)1(222的图象关于y 轴对称，∴ 0)1(2=--m ，解得1=m ，则122-=x y .∵一次函数n x y -=21的图象与2y 的图象只有一个交点， ∴ n x x -=-212有两个相等的实数根. 整理得 0122=-+-n x x .由0)1(4)2(2=---=∆n ，解得2=n ，此时221-=x y . 则这两个函数唯一的交点坐标为1(，）0.∵0)1()22()1(2212≥-=---=-x x x y y （恒成立）， ∴ 12y y ≥，即21y y ≤.∴ 在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的值21y y ≤均成立； （Ⅱ）当1=x 时，021==y y ，由231y y y ≤≤对于x 的同一个值均成立，则3y 一定经过点1(，）0. ∵二次函数c bx ax y ++=23的图象经过点5(-，）0， ∴ 可设)5)(1(3+-=x x a y ，即a ax ax y 5423-+=. ∵31y y ≤恒成立，∴ a ax ax x 54222-+≤-恒成立，则025)24(2≥+--+a x a ax （恒成立）. ∴0>a 且0)25(4)24(2≤+---=∆a a a ，解得0)13(2≤-a . ∵0)13(2≥-a ， ∴013=-a ，即31=a . 当23y y ≤恒成立时，同理解得31=a . ∴3y 的解析式为35343123-+=x x y .N15.如图所示，在正方形ABCD 中，点E 、G 分别在边DA 、DC 上（不与端点重合），且DG DE =，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .（Ⅰ）求GCB GFB ∠+∠；（Ⅱ）若1=AB ，E 为DA 中点，求四边形BCGF 的面积. 方法一：几何法（Ⅰ）由已知易得BCF FDG DEF ∠=∠=∠易证DEF ∆∽CDF ∆，则CFDF CD DE =由DG DE =，CB CD =可得CFDFCB DG =，于是DFG ∆∽CFB ∆， 则CBF DGF ∠=∠，从而得到GCB GFB ∠+∠︒=180.方法二：解析法 建系如图不妨设正方形ABCD 的边长为1，DG DE ==则1(C ，）1，0(E ，)1m -，0(D ，）1，1(B ，m G (，）1.易求CE l 为m mx y -+=1.由DF ⊥CE 可得DF l 为11+-=x m y . 从而可解得点F 坐标为1(22+m m ，)1122++-m m m . 可求)1(2+--=m m k BF ，112+-=m m k FG .则1-=⋅FG BF k k ，可得BF ⊥FG . 从而得到GCB GFB ∠+∠︒=180.（Ⅱ）方法一： 如图作好相关辅助线由已知条件可得55=DF （相似或等积法）， 于是51=MF , 52==FH MD ，54=FN ，21=+=∆∆FCG BCF BCFG S S S 四边形.（Ⅱ）方法二： 连接BG由已知结合（Ⅰ）的结论可得BFG ∆≌BCG ∆， 易求41=∆BCGS ， 212==∆BCG BCFG S S 四边形. （Ⅱ）方法三：解析法由已知条件且结合（Ⅰ）中的解析法知51(F ，）53，易求四边形BCGF 的面积为21. 16.已知三角形的三边长均为整数，周长为cm 200.（Ⅰ）若最大边长比最小边长的2倍多cm 5，求满足条件的三角形的个数；（Ⅱ）是否存在面积为21500cm 的直角三角形？若存在，求出其三边长；若不存在，请说明理由.解：不妨设三角形三边为a 、b 、c （单位：cm ）， 满足c b a ≤≤且a 、b 、c 为整数. （Ⅰ）由已知可得52+=a c ，a a a b 3195)52(200-=+--=由⎩⎨⎧+>-++≤-≤52)3195(523195a a a a a a ，解得29538≤≤a∵a 为整数，∴ 整数=a 38、39、…、47共10个. ∴满足条件的三角形的个数有10个.（Ⅱ）存在，理由如下.由已知条件可得200=++c b a (1),222c b a =+(2),150021=ab (3). 由(1)得22)200()(c b a -=+, 即222400400002c c b ab a +-=++. 把(2)(3)代入得85=c .∴ 115=+b a , 3000=ab , ∵b a ≤,∴ 40=a , 75=b .∴ 直角三角形的三边长分别为cm 40、cm 75、cm 85.17.如图，在平面直角坐标系中，点B 在直线x y 2=上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，5=OA . 抛物线:l c bx x y ++=261经过O 、A 两点，且A 点关于直线x y 2=的对称点为C ，以BC 为直径作⊙1O . （Ⅰ）求圆心1O 的坐标；（Ⅱ）过原点O 作⊙1O 的切线OP （点P 与点C 不重合），抛物线l 上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙1O 相切？若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）解：连接AC 、OC 、过点C 作CD ⊥x 轴于点D . 令5=x ，则1052=⨯=y .∴ 5(A ，)0，5(B ，)10，5=OA ，10=AB .则21tan =∠ABO .∵A 点关于直线x y 2=的对称点为C ，∴ ABO ABC COM ∠=∠=∠2，5==OA OC .∴ 34tan =∠COM （“12345”解题法）.在COD Rt ∆中，︒=∠90ODC ，34tan ==∠OD CD COM ，可设m CD 4=，m OD 3=，则55==m OC .解得1=m ，于是3=OD ，4=CD . ∴点C 的坐标为3(-，）4. ∵BC 为⊙1O 的直径， M D∴圆心1O 的坐标为1（，）7.（Ⅱ）抛物线l 上存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙1O 相切，理由如下：∵抛物线:l c bx x y ++=261经过O 0（，）0、A 5（，）0两点，∴ 抛物线:l x x x x y 6561)5(612-=-=.∵OP 与OC 都是⊙1O 的切线， ∴ 点P 与点C 关于1OO 对称.∵1O 的坐标为1（，）7，∴ 1OO l 为x y 7=.∴ PC l 为72571+-=x y . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==725717x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2721y x ，即1OO 与PC 的交点坐标为M 21(，）27. ∵M 21(，）27为PC 的中点， ∴ 4(P ，）3.∴ 3441371-=--=P O k 。
初中数学青年教师解题能力测试题
初中数学青年教师解题能力测试题分值：120分考试时间：120分钟县区学校姓名成绩一．选择题（请把答案写在下面的表格里，共10小题，满分30分，每小题3分）1．观察下列等式：3＝3，3＝9，3＝27，3＝81，3＝243，3＝729，3＝2187…解答下列问题：3+32+33+34+…+32014的末位数字是（）A．2B．3C．7D．92．一志愿者在市中心某十字路口，对闯红灯的人次进行了统计，根据当天8：00﹣14：00中各阶段（以1小时为一时间段）闯红灯的人次制作了如图所示的条形统计图，则各时间段闯红灯人次的众数和中位数分别是（）A．30，30 B．30，35C．35，40D．50，35第2题图第3题图第4题图3．如图，直线P A是一次函数y＝x+n（n＞0）的图象，直线PB是一次函数y＝＝，AB＝2，﹣2x+m（m＞n）的图象．若P A与y轴交于点Q，且S四边形PQOB 则m，n的值分别是（）A．3，2B．2，1C．D．1，4．如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为（）A．B．C．5D．65．已知x是正实数，则|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|的最小值是（）A．2B．C．D．05．已知线段AB＝2，点A，B到直线l的距离分别为方程x2﹣6x+6＝0的两根（A到l的距离＞B到l的距离），符合条件的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是的中点，连接BD 交AC于点E，连接OE，且∠OEB＝45°，若OB＝10，则OE的长为（）A．6B．C．D．8．使方程2x2﹣5mx+2m2＝5的一根为整数的整数m的值共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，记a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，a4＝10，…，那么a9+a11﹣a i＝83，则i的值是（）A．13B．10C．8D．7第7题图第9题图第10题图10．如图，以Rt△ABC各边为边分别向外作等边三角形，编号为①、②、③，将②、①如图所示依次叠在③上，已知四边形EMNC与四边形MPQN的面积分别为9与7，则斜边BC的长为（）A．5B．9C．10 D．16二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．已知a＝+1，b＝﹣1，则的值为．12．书架上有两套两样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是．13．如图：在对角线互相垂直的四边形ABCD中，∠ACD＝60°，∠ABD＝45°．A 到CD距离为6，D到AB距离为4，则四边形ABCD面积等于．第13题图第14题图第16题图14．如图，已知⊙O的半径为6，点A、B在⊙O上，∠AOB＝60°，动点C在⊙O上（与A、B两点不重合），连接BC，点D是BC中点，连接AD，则线段AD的最大值为．15．一笔总额为1078元的奖金，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍．若把这笔奖金发给6个人，评一、二、三等奖的人数分别为a，b，c，且0＜a≤b≤c，那么三等奖的奖金金额是元．16．如图，点A是反比例函数y＝图象在第一象限上的一点，连结AO并延长交图象的另一分支于点B，延长BA至点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，交反比例函数图象于点E．若，△BDC的面积为6，则k＝．17．某同学在电脑中打出如下排列的若干个圆（圆中●表实心圆，〇表空心圆）：●〇●●〇●●●〇●●●●〇●●●●●〇●●●●●●〇，若将上面一组圆依此规律连续复制一系列圆，那么前2005个圆中有个空心圆．18．黑板上写有1，，，…共有100个数字，每次操作，先从黑板上的数选取2个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+ab，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是．三．解答题（共6小题，满分58分）19．（8分）因式分解：（a+b﹣2ab）（a+b﹣2）+（1﹣ab）2．20（8分）．已知关于x的一元二次方程（n+2）x2﹣4nx+4（n﹣2）＝0（n＞﹣2）．（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．（2）直接写出该方程的两根．（3）当方程的两根都是整数时，求整数n的值．（4）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＞x2），若y＝•（x1﹣x2），求y的范围．21．（8分）新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医院内一张长200cm，高50cm的病床靠墙摆放，在上方安装空调，高度CE＝250cm，下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与E夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了病人不受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请问空调安装的高度足够吗？为什么？（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求的值；（3）若△DEF与△AEB相似，求的值．23（12分）．某水果超市经销一种进价为18元/kg的水果，根据以前的销售经验，该种水果的最佳销售期为20天，销售人员整理出这种水果的销售单价y（元/kg）与第x天（1≤x≤20）的函数图象如图所示，而第x天（1≤x≤20）的销售量m（kg）是x的一次函数，满足下表：x（天）123…m（kg）202428…（1）请分别写出销售单价y（元/kg）与x（天）之间及销售量m（kg）是x （天）的之间的函数关系式（2）求在销售的第几天时，当天的利润最大，最大利润是多少？（3）请求出试销的20天中当天的销售利润不低于1680元的天数．24（12分）．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y 轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．数学青年教师解题能力测试题参考答案一．选择题（请把答案写在下面的表格里，共10小题，满分30分，每小题3分）1．A．【解析】∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…∴末尾数，每4个一循环，∵2014÷4＝503…2，∴3+32+33+34…+32014的末位数字相当于：3+9+7+1+…+3+9＝（3+9+7+1）×503+3+9＝10072的末尾数为2，故选：A．2．A．【解析】由统计图可知，这组数据的众数是30，中位数是（30+30）÷2＝30，故选：A．3．B．【解析】根据题意得：点A的坐标为（﹣n，0），点Q的坐标为（0，n），点B的坐标为（，0），∵点P是P A与PB的交点，∴，解得：，∴点P的坐标为：（，），∵AB＝2，∴OA+OB＝n+＝＝2，∴m+2n＝4，∵S四边形PQOB＝，∴S△P AB﹣S△AOQ＝×2×﹣n×n＝﹣n2＝，解得：n＝1，∴m＝2．故选：B．4．C．【解析】把P A绕点A逆时针旋转60°，得AD，则DA＝P A，连CD，DP，CP，如图，∵△ABC为等边三角形ABC，∴∠BAC＝60°，AC＝AB∴∠DAC＝∠BAP，∴△DAC≌△P AB，∴DC＝PB，而PB＝3，P A＝2，∴DC＝3，∵PC≤DP+DC，∴PC≤5，所以PC所能达到的最大值为5．故选：C．5．B．【解析】|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|＝|x﹣1|+2|x﹣|+3|x﹣|+4|x﹣|+5|x﹣|当x﹣＝0，即x＝时取最小值，最小值为：|﹣1|+2|﹣|+3|﹣|+4|﹣|+5|﹣|＝+++0+＝．故选：B．6．C．【解析】解方程x2﹣6x+6＝0得x1＝3+，x2＝3﹣，∴①如图1，在线段AB的两旁可分别画一条满足条件的直线；②如图2，当线段AB⊥直线l时，可画一条满足条件的直线．故选：C．7．D．【解析】连接AD，过点O作OH⊥BD于H，∵D是的中点，∴，∴∠ABD＝∠CBD，∵AB是⊙O的直径，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠EAB＝90°﹣2∠ABD，∠CEB＝90°﹣∠ABD，∵∠BEO＝45°，∴∠CEO＝45°+90°﹣∠ABD＝135°﹣∠ABD，∴∠AEO＝45°+∠ABD，∵∠CEO＝∠EAB+∠AOE，∴∠AOE＝45°+∠ABD，∴∠AOE＝∠AEO，∴AO＝AE＝10，∵∠DAE＝∠ABD，∠D＝∠D，∴△DAE∽△DBA，∴＝，∴AD＝2DE，∵AD2+DE2＝AE2＝100，∴AD＝4，∵OH∥AD，∴，∴OH＝AD＝2，∵∠OEB＝45°＝∠EOH，∴EH＝OH＝2，∴EO＝2，故选：D．8．D．【解析】∵方程有一个整数根，∴△＝25m2﹣8（2m2﹣5）＝9m2+40＞0，设△＝p2（p为正整数），∴（3m﹣p）（3m+p）＝﹣40，∵3m﹣p≤3m+p且同奇偶，∴3m﹣p＝﹣4，﹣10，﹣2，﹣20，3m+p＝10，4，20，2，∴m＝±3，±1，经检验，均有一根为整数，∴符合条件的整数m的值有4个，故选：D．9．D．【解析】由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，知a n＝1+2+3+…+n＝，∴a9＝＝45、a i＝、a11＝＝66，则a9+a11﹣a i＝83，可得：45+66﹣＝83，解得：i＝7，故选：D．10．C【解析】如图，设等边三角形△EBC，△ABD，△ACF的面积分别是S3，S2，S1，AC ＝b，BC＝a，AB＝c，∵△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90度，∴c2+b2＝a2，∴c2+b2＝a2．∵S3＝a2，S2＝c2，S1＝b2，∴S3﹣S2＝（a2﹣c2）＝b2＝9，S3﹣S1＝a2﹣b2＝（a2﹣b2）＝c2＝9+7＝16，∴b＝6，c＝8，即AB＝8，AC＝6，∴BC＝＝＝10，故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．．【解析】原式＝÷||＝×||∵a+b＝2，b﹣a＝﹣2，ab＝1 ∴原式＝×＝＝＝．故答案为：．12．．【解析】设第一套教材上册为a，下册为b，第二套教材为上册为x，下册为y．共有12种情况，恰好组成一套教材的情况数有4种，所以能组成一套教材的概率为，故答案为．13．8．【解析】过A作AM⊥CD交CD于M，依题意有AM＝6，又∵∠ACD＝60°∠AMC＝90°，∴AC＝4，同理可得BD＝4，∴四边形的面积＝AC×BD＝4×4＝8．故答案为8．14．3．【解析】如图1，连接OC，Q取OB的中点E，连接DE．则OE＝EB＝OB＝3．在△OBC中，DE是△OBC的中位线，∴DE＝OC＝3，∴EO＝ED＝EB，即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上，∴求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值，如图2，当D在线段AE延长线上时，AD取最大值，∵OA＝OB＝6，∠AOB＝60°，OE＝EB，∴AE＝3，DE＝3，∴AD取最大值为3+3．故答案为3．15．98或77．【解析】∵a+b+c＝6，0＜a≤b≤c，且a，b，c均为整数，∴，，．设三等奖的奖金金额为x元，则二等奖的奖金金额为2x元，一等奖的奖金金额为4x元，依题意，得：4x+2x+4x＝1078，4x+2×2x+3x＝1078，2×4x+2×2x+2x＝1078，解得：x＝107.8（不合题意，舍去），x＝98，x＝77．故答案为：98或77．16．2．【解析】过B作BG⊥x轴于G，过A作AH⊥x轴于H，连接OE，设C（a，b），∵CD⊥x轴，，∴E（a，b），∵点E在反比例函数图象上，∴k＝ab，∵CD⊥x轴，AH⊥x轴，∴AH∥CD，∴△AOH∽△COD，∴＝，∵OH＝，∴＝，∴AH＝b，∵点A与点B关于原点对称，∴BG＝AH，∵△BDC的面积为6，∴OD•BG+CD•OD＝a×b+ab＝ab＝6，∴ab＝2，∴k＝2．故答案为：2．17．61．【解析】∵●〇、●●〇、●●●〇、●●●●〇、●●●●●〇、●●●●（n+1+2）n÷2＝，●●〇的个数分别是2、3、4、5、6、7、…，∴前n组圆的总数是：∵，，1952＜2005＜2015，∴前2005个圆中有61个空心圆．故答案为：61．18．100．【解析】∵a+b+ab+1＝（a+1）（b+1），∴每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变，设经过99次操作后，黑板上剩下的数为x，则x+1＝（1+1）×（）×（+1）×（+1）×…×（+1）×（1+），化简得：x+1＝101，解得：x＝100，∴经过99次操作后，黑板上剩下的数是100．故答案为：100．三．解答题（共6小题，8+8+8+10+12+12=58分）19．【解析】（a+b﹣2ab）（a+b﹣2）+（1﹣ab）2＝[（a+b）﹣2ab][（a+b）﹣2]+（1﹣ab）2＝（a+b）2﹣2（ab+1）（a+b）+4ab+（1﹣ab）2＝（a+b）2﹣2（ab+1）（a+b）+[4ab+（1﹣ab）2]＝（a+b）﹣22（ab+1）（a+b）+（1+ab）2＝[（a+b）﹣（ab+1）]2＝[（a﹣1）（1﹣b）]2＝（a﹣1）2（b﹣1）2．20．【解析】（1）x1＝2，x2＝．提示：∵△＝（﹣4n）2﹣4×4（n﹣2）（n+2）＝64＞0，∴关于x的一元二次方程（n+2）x2﹣4nx+4（n﹣2）＝0（n＞﹣2）一定有两个不相等的实数根；（2）∵x＝，∴x1＝2，x2＝，故答案为：x1＝2，x2＝；（3）∵方程的两根都是整数，∴n＝2；（4）∵x1＝2，x2＝，∴y＝•（x1﹣x2）＝•（2﹣）＝，∵n＞﹣2，∴y＞0或y＜﹣4，∴y的范围为y＞0或y＜﹣4．21．【解析】空调安装的高度足够．理由如下：如图，延长FG交直线AD于点H，过F作FO⊥AD于点O，则FO＝ED＝250﹣50＝200（cm），AO＝200﹣20＝180（cm），∠HFO＝136°﹣90°＝46°．∵在Rt△FHO中，tan46°＝，∴HO＝FO×tan46°≈200×1.04＝208＞200，∴HO＞AO，∴空调安装的高度足够．22．【解析】（1）∵AD是⊙Q的直径，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∵BA垂直平分CD，∴BC＝BD∴∠ABO＝∠ABE∵BA＝BA，∴△ABE≌△ABO（AAS）∴AE＝AO＝4；（2）设BO＝x，则AB＝x+2，在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OB＝BE＝3∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°∴∠EAB＝∠ACB∵∠BF A＝∠AFC∴△BF A∽△AFC∴＝＝，即＝；（3）①如图1，当△DEF∽△AEB时，有∠BAE＝∠FDE∴∠ADE＝∠FDE∴BD垂直平分AF∴AB＝BF∴∠BAE＝∠BFE∴∠BAE＝∠BFE＝∠BAO＝30°∴＝＝∴＝，②如图2，设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，当△DEF∽△BEA时，有∠ABE＝∠FDE∴∠DAE＝∠DAG＝∠FDE＝∠FDH∴AG＝AE＝4，FE＝FH＝OG＝8∴＝＝∴＝，∴的值是或．23．【解析】（1）当1≤x≤7时，y＝60；当8≤x≤20时，设y＝kx+b，将（8，50）、（18，40）代入得，解得，∴y＝﹣x+58；综上，y＝；设m＝ax+c，将（1，20）、（2，24）代入得，解得，则m＝4x+16（0≤x≤20，且x为整数）；（2）设当天的总利润为w，当1≤x≤7时，w＝（60﹣18）（4x+16）＝168x+672，则x＝7时，w取得最大值，最大值为1848元；当8≤x≤20时，w＝（﹣x+58﹣18）（4x+16）＝﹣4x2+144x+640＝﹣4（x﹣18）2+1936，∴当x＝18时，w取得最大值，最大利润为1936元；综上，在销售的第18天时，当天的利润最大，最大利润是1936元；（3）当1≤x≤7时，168x+672≥1680，解得x≥6，∴此时满足条件的天数为第6、7这2天；当8≤x≤20时，﹣4（x﹣18）2+1936≥1680，解得10≤x≤26，又∵x≤20，∴10≤x≤20，∴此时满足条件的天数有11天；综上，试销的20天中当天的销售利润不低于1680元的有13天．24．【解析】（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B的坐标代入上式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x；（2）将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣，故点C（0，﹣），同理可得：直线OP的表达式为：y＝﹣x；①过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D（x，﹣x2+x），则点H（x，﹣x），△BOD面积＝×DH×x B＝×3（﹣x2+x+x）＝﹣x2+x，∵，故△BOD面积有最大值，此时x＝，故点D（，﹣）；②当OP＝PC时，则点P在OC的中垂线上，故y P＝﹣，则点P（，﹣）；②当OP＝OC时，t2+t2＝（）2，解得：t＝（舍去负值），故点P（，﹣）；③当PC＝OC时，同理可得：点P（，﹣）；综上，点P（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．。
2016年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知23t =-a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （ ） .A 12.B 3.C 1 .D 3 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （ ）.A 0 .B 14 .C 34- .D 2-4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为 （ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 185.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ).A 3.B 5.C 22 .D 126.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y x=（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =则AM = .2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O e 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O e 交于点N .证明:FN DE =.(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++=求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.2016年全国初中数学联合竞赛试题详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （ ）.A 12.B .C 1 .D 【答案】A .【解析】22,t ==+<<Q 324,∴<+< 即34,t <<3 1.a t ∴=-=又221,t -=---<-423,∴-<-<-(4)2b t ∴=---=11211,2222b a ∴-==-=故选A .2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种【答案】C .【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，即30341002y z x y z x +=-⎧⎨+=-⎩，解得20210y xz x=-⎧⎨=+⎩ 依题意得，,,x y z 为自然数（非负整数），故010,x ≤≤x 有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)L ，对于每一个x 值，y 和z 都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C .3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 【答案】B .【解析】[]3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦22(121)k =+ （其中k 为非负整数），由22(121)2016k +≤得，9k ≤0,1,2,,8,9k ∴=L ，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦L 故选B . 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab =（ ） .A 0 .B 14 .C 34- .D 2- 【答案】B .【解析】依题意知0,0,10,2ba ab a<-<++= 故0,b < 且1b a =--， (1)21a b a a a -=---=+，于是10,a -<< 1211a ∴-<+<又a b -为整数，210,a ∴+= 故1,2a b =-=14ab =，故选B . 4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为（ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 18【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+OD AB ⊥Q 于,C 14,2AC CB AB ∴=== 在Rt OAC ∆中，222,OC AC OA +=即2224(2),x x +=+解得3x =，即3OC = （第4题答案图）OC Q 为ABE ∆的中位线，2 6.BE OC ∴== AE Q 是O e 的直径，90,B ∴∠=o 114612.22BCE S CB BE ∆∴=⋅=⨯⨯= 故选A .5.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ).A 3.B 5.C 2 .D 12（第5题答案图）【答案】D . 【解析】过点A 作AH BD ⊥于点,H 则AMH ∆～,CMD ∆,AH AMCD CM∴=1,CD =Q,AMAHCM ∴=设,AM x = 则,CM x AH =∴=在Rt ABM ∆中，BM == 则AB AMAH BM⋅===显然0x ≠，化简整理得22100x -+=解得2x =（x =，故2CM =在Rt CDM ∆中，12DM ==,故选D . 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1【答案】C .【解析】22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x y =++=++--=---++222211122332222y x y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222211113322222244y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++=-+---+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当1,02x y ==时，M 取等号，故max 34M =，故选C . 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y x=（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .【答案】322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D . 在Rt ACB ∆中，cos 33BC AB ABC =⋅∠= 在Rt BCD ∆中，33sin 2CD BC B =⋅=（第1题答案图） 9cos ,2BD BC B =⋅=32AD AB BD ∴=-=,设33,C m A n ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 依题意知0,n m >>故33,CD n m AD =-=3323332n m mn ⎧-=⎪⎪-=⎩ 解得323m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故点C 的坐标为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，3AD =则AM = .【答案】2.【解析】（第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2）依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,090,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB ∠≠∠. (1)若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ∆≌,ADB ∆1,2BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴==在Rt DAC ∆中，即1cos ,2DAC ∠= 060,DAC ∴∠= 从而0090,30BAC ACD ∠=∠=.在Rt ADC ∆中，tan 3tan 603,CD AD DAC =⋅∠==o 1.DM =在Rt ADM ∆中，222AM AD DM =+=.(2)若ABC ACB ∠<∠时，如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述，2AM =. 2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .【答案】126o.【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,CA Q 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=,BC Q ∥AD ,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=, (第2题答案图) OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=,Q ,CD AO =AD AO ∴=,ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=, Q ,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=o Q2,2180,βααβ∴=+=o解得36,72αβ==o o ，72DBC BCD ∴∠=∠=o,,BD CD AD ∴==18054,2ABD BAD β-∴∠=∠==o o 故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】167334.【解析】设两个三位数分别为,x y ，则10003x y xy +=，①31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①得10003,t tx +=1000,3t x t +∴=x Q 是三位数，10001003tx t+∴=≥，解得 1000,299t ≤t Q 为正整数，t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时 167,334.x y == 故所求的六位数为167334.3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 【答案】1007.【解析】由340q p --=得，34,p q =-2224(34)343,33pq q q q q q ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪⎝⎭因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值.又111p q +<，34111,q q ∴-+<3284q ∴<，因q 为质数，故q 的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，3465513p q =-==⨯不是质数，舍去.当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==⨯=.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 . 【答案】10.【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.(1)若5个1分布在同一列，则5M =；(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 2515320M ≤⨯+⨯=,故10M ≤;(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,故10M ≤;(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，10.M ≤另一方面，如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.【解析】解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥.当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4.当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =. (下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+， 2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数，不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1，故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O e 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O e 交于点N .证明:FN DE =.(第2(A)题答案图)【证明】：连接BC 、.BN AB Q 为O e 的直径，CD AB ⊥于点D90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=o,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠Q ,ACB ADC ∴∆∆∽,AC AB AD AC∴=2AC AD AB ∴=⋅ 由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知:点M 在CD 上，DE DM EF MF ===,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠Q ,ANB ADM ∴∆∆∽,AN AB AD AM∴=,AD AB AM AN ∴⋅=⋅2,AC AM AN ∴=⋅ ,AE AC =Q 2AE AM AN ∴=⋅以点F 为圆心、FE 为半径作,F e 与直线AM 交于另一点P ,则F e 与AB 切于点E ,即AE 是F e 的切线，直线AMP 是F e 的割线，故由切割线定理得2AE AM AP =⋅AN AP ∴=,即点N 与点P 重合，点N 在F e 上，FN FE DE ∴==.(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++= 求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值. 【解析】由已知得22221()()52ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦ 由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得，4735(155),abc -=⨯-1abc ∴=-又22()()()5(5)55(1)a ab b a b c a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=- 同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++- 125[6416545(1)]625.=⨯-⨯+⨯--=【注：恒等式32()()()()()t a t b t c t a b c t ab bc ca t abc ---=-+++++-】三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= . (3) 求111xy yz zx++的值. (4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=， 去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦ ()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠Q ，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式= 1.x y z xyz++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又Q ,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【注：222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++ 222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.（第3（B ）题答案图）【解析】如图，连接,,AE ED CF ,则,AB AC =Q ABD ACB ∴∠=∠Q 点C 关于直线AD 的对称点为点E ,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠ ,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D ∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等) BAD BCF ∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AF AD AB ∴=225 5.AD AF AB ∴⋅===（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）------------------------------------------------------------------------ 怎样才能学好数学一、把握好课堂的每一分钟如今的小学数学教师，都比较重视课堂教学的效益，所以，老师最期盼的事情就是：学生能够专心听讲，眼睛时刻盯在老师身上，或者盯在黑板上。
2016年综合素质大赛命题比赛试题(2)
2016年合肥市初中数学青年教师综合素质大赛“命一道题”比赛试题A 、“数与代数”领域试题1.阅读并研究下列问题在实验室中，将A 、B 两种不同的物质加热到1000℃，然后在同等条件下，让它们自然冷却，经实验知，A 、B 两种物质的温度1y 、2y (℃)与降温开始后x (min)的函数关系分别为1y kx b =+，()221604y x m =-+(部分图象如图所示)，且当40x =min 时，A 、B 两种物质的温度12y y =。
⑴根据上述实验信息求出1y 、2y 关于x 的函数关系式；⑵当B 物质温度降到164℃时，A 物质温度降到多少度；⑶降温开始后40分钟内，何时两种物质的温差最大？2.按照下列要求命制试题⑴以此题为基本参照，进行改造、创新，以一次函数、反比例函数和二次函数中的两个或三个为载体，命制考查方程、不等式、函数及其图象等相关知识的问题。
⑵至少设计两问，要求具有递进关系，考查数形结合、分类讨论等数学思想。
3.答卷要求⑴按答卷格式，写出命制的试题、解题过程与答案、命题说明等。
⑵本卷满分60分，分别依据你命制试题满足的知识与能力的层次性、情境与设问方式的新颖性、试题内容的科学性和原创性等要求，考查评分。
B 、“图形与几何”领域试题1.阅读并研究下列问题已知：在正方形ABCD 中，45MAN ∠=o ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC(或它们的延长线)于点M ，N 。
当MAN ∠绕点A 旋转到BM=DN 时(如图1)，易证BM+DN=MN 。
⑴当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时(如图2)，线段BM DN ，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。
⑵当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。
2.按照下列要求命制试题⑴以此题为基本参照，进行改造、创新，利用平移、旋转等手段，对两个等腰三角形，或两个等边三角形，或两个等腰直角三角形，或两个正方形等构造图形，命制考查全等形、相似形等知识的问题。
2016年初中数学青年教师学科素养能力竞赛试卷(解题部分)
2016年太仓市青年教师学科素养能力竞赛初中数学第二部分 数学专业素养（满分120分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分共24分）1．如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30︒，那么这个三角形的形状是（ ） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定2．下列图形中，各边的中点一定在同一个圆上的是（ ） A ．菱形B ．平行四边形C ．矩形D ．等腰梯形3．某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量t （件）与每件的销售价x （元/件）之间的函数关系为t =−3x +204．商场要想每天获得最大销售毛利润，则每件的销售价应定为（ ） A ．55元B ．50元C ．48元D ．44元4．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，2)，B (0，6)，点P 在直线y =x 上运动．若以A 、B 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，则点P 的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，数轴上的点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且b −2a =3c +d +21，那么数轴上原点对应的点是（ ） A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D6．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB 'C 'D '，则阴影部分的面积为（ ） A ．12BC．1-D．17．已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(1，4)，(2，7)，对称轴为直线x =k ，且|k |≤1，则a 的取值范围是（ ） A ．335a ≤≤B ．a ≥3C ．35a ≤D ．a ＜08．如图，△AB C 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD =BD =3，CD =2，点P 从点B 出发沿线段BC 的方向移动到点C 停止，过点P 作PQ ⊥BC ，交折线BA -AC 于点Q ，连接DQ 、CQ ，若△ADQ 与△CDQ 的面积相等，则线段BP 的长度是（ ）C '（第10题）A ．95或4 B ．65或4 C ．95或135D ．65或135二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分共24分） 9．若对任何x ，分式21x x x a-++均有意义，则字母a 的取值范围是 ． 10．将一枚质地均匀的硬币连续掷了三次，三次都是正面朝上的概率是 ．11．圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为 ．（结果保留π）12．如图，△ABC 中，∠A =60°，BD 和CE 都是△ABC 的高．如果△ABC 的面积为12，那么四边形BCDE 的面积为 ． 13．已知二次函数y =x 2+mx -2，当x <2时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是 ． 14．已知m,的值为 ．15．如图，若AB =AC ，∠A =2∠D ，AC 与BD 交于点F ．若AB =4，AF =3，则BF ·DF = ． 16．如图，正方形ABCD 的边长为4，分别以AB 、CD 为斜边向形外作Rt △ABE 和Rt △CDF ，且∠ABE =∠CDF =30︒，连接EF ，则EF 的长为 ．三、解答题（本大题共8小题，满分共72分）17．（2016年江苏省高考第21题，满分6分）如图，在△ABC 中，∠ABC =90︒，BD ⊥AC 于点D ，点E是BC 中点，求证：∠EDC =∠ABD ．BACEABCDF （第15题）A DCBE（第12题）（第16题）ACDEF18．（教材七下167页课题学习，满分8分）分类、想象、找规律：(1) 将一个棱长为3的正方体的表面涂上颜色，分割成棱长为1的小正方体（如图）．其中，三面涂色的小正方体有几个？两面涂色的小正方体有几个？一面涂色的小正方体有几个？(2) 如果将一个棱长为4的正方体，像(1)那样涂色、分割，那么三面、两面、一面涂色的小正方体各有几个？如果分别分割一个棱长为5或6的正方体呢？(3) 从以上的求解过程，你能发现什么规律？(4) 你还能提出其他问题，并加以解答吗？19．（教材九上20页第9题，满分8分）(1)原题：k取什么值时，关于x的一元二次方程x2−2x+k−1=0有两个不相等的实数根；(2) 改编：是否存在整数k，使关于x的一元二次方程x2−2x+k−1=0有两个非负整数解？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．20．（教材八上75页第14题，满分10分）探索研究：(1) 如图，在△ABC 中，∠BAC =90︒，AB =AC ，点D 在BC 上，且BD =BA ，点E 在BC 的延长线上，且CE =CA ，求∠DAE 的度数；(2) 如果把第(1)题中“AB =AC ”的条件舍去，其余条件不变，那么∠DAE 的度数会改变吗？ (3) 如果把第(1)题中“∠BAC =90︒”的条件改为“∠BAC ＞90︒”，其余条件不变，那么∠DAE 与 ∠BAC 有怎样的数量关系？试说明理由．21．（2016年江苏省高考第18题改编，满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (2，4)在以M (6，7)为圆心，5为半径的圆上．(1) 设⊙N 与x 轴相切，与⊙M 外切，且圆心N 在直线x =12上，求⊙N 的半径； (2) 设平行于OA 的直线l 与⊙M 交于B 、C 两点，且BC =OA ，求BC 中点的坐标．AB D CE22．（教材九下93页第21题，满分10分）如图，在△ABC 中，AB =4，D 是AB 上的一点（不与点A 、B 重合），DE ∥BC ，交AC 于点E ，设△ABC 的面积为S ，△DEC 的面积为S '． (1) 当D 是AB 的中点时，'S S的值为 ； (2) 设AD =x ，'S S=y ，求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； (3) 根据y 的取值范围，探索S '与S 之间的大小关系，并说明理由．23．（2016年江苏省高考第22题改编，满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y =−x +2与抛物线y =ax 2（a ＞0）交于点A 、B ，与y 轴交于点C ． (1) 若13AC BC =，求抛物线的表达式；(2) 已知抛物线上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ． ①求直线PQ 与l 交点的坐标（用关于a 的代数式表示）； ②求a 的取值范围．ED CBA24．（2016年苏州市中考第27题，满分10分）如图，在矩形ABCD 中，AB =6cm ，AD =8cm ．点P 从点B 出发，沿对角线BD 向点D 匀速运动，速度为4cm/s ，过点P 作PQ ⊥BD 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得点N 落在射线PD 上．点O 从点D 出发，沿DC 向点C 匀速运动，速度为3cm/s ，以O 为圆心，0.8cm 为半径作⊙O ．点P 与点O 同时出发，设它们的运动时间为t （单位：s ）（0＜t ＜85）．(1)如图1，连接DQ ，当DQ 平分∠BDC 时，t 的值为 ； (2)如图2，连接CM ，若△CMQ 是以CQ 为底的等腰三角形，求t 的值； (3)请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O 始终在QM 所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM 与⊙O 相切时，求t 的值；并判断此时PM 与⊙O 是否也相切？说明理由．DAB QC O MPN图1DAB QC OMPN图2D ABQC OMPN图3。
初中数学教师解题竞赛试题及答案
初中数学教师解题竞赛试题一、选择题（每题6分）1、如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是 （ ）A 、直角三角形 B 、钝角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能唯一确定2、如图，正比例函数)0(＞k kx y =与反比例函数xy 1=的图象相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ，若△ABC 的面积为S ，则 （ ）A 、S ＝1 B 、S ＝2C 、S ＝3 D 、S 的值不确定3、某工厂第二季度比第一季度的产值增长了x ％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x ％。
则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 （ ）A 、2x ％B 、1＋2 x ％C 、（1＋x ％）x ％D 、（2＋x ％）x ％4、设P ＝121220022001++，Q ＝121220032002++，则P 与Q 的大小关系是 （ ）A 、P ＞QB 、P ＝QC 、P ＜QD 、不能确定5、边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（ ）A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个6、如果1x 、2x 是两个不相等的实数，且满足12003121=-x x ，12003222=-x x ，那么21x x 等于 （ ）A 、2003 B 、－2003 C 、1 D 、－17、若实数x ，y 满足条件06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是 （ ）A 、14B 、15C 、16D 、不能确定8、如图1，图中平行四边形共有的个数是（ ）A 、40 B 、38 C 、36 D 、30AB CDPABCD（图1） （图2） （图3）9、如图2，矩形ABCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD 的面积等于 （ ）A 、152 B 、143 C 、132 D 、10810、如图3，若PA ＝PB ，∠APB ＝2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB ＝4，PD ＝3，则AD ·DC 等于 （ ）A 、6 B 、7 C 、12 D 、16二、填空题（每题6分）11、△ABC 中，AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高为3，则BC 边的长为＿＿＿＿。
初中数学教师解题比赛试题及答案
青年教师基本功大赛试题一、选择题（10×2=20分,单选或多选）1.现实中传递着大量的数学信息，如反映人民生活水平的“恩格尔系数”、预测天气情况的“降雨概率”、表示空气污染程度的“空气指数”、表示儿童智能状况的“智商”等，这表明数学术语日趋（）（A）人本化（B）生活化（C）科学化（D）社会化2. 导入新课应遵循（）（A）导入新课的方法应能激发学生的学习兴趣、学习动机，造成悬念，达到激发情感，提出疑问的作用（B）要以生动的语言、有趣的问题或已学过的知识，引入新知识、新概念（C）导入时间应掌握得当，安排紧凑（D）要尽快呈现新的教学内容3.下列关于课堂教学的改进，理念正确的是（）（A）把学生看作教育的主体，学习内容和学习方法由学生作主（B）促进学生的自主学习，激发学生的学习动机（C）教学方法的选用改为完全由教学目标来决定（D）尽可能多的提供学生有效参与的机会，让学生自己去发现规律，进而认识规律4．为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（）（A ）7000名学生是总体（B）每个学生是个体（C ）500名学生是所抽取的一个样本（D）样本容量是5005. 一个几何体的三视图如图2所示，则这个几何体是（）主视图左视图俯视图图2 （A）（B）（C）（D）6．如图1，点A(m,n)是一次函数y=2x 的图象上的任意一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，那么三角形ABO 的面积Ｓ关于m 的函数关系的图象大致为（ ）7．有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子。
若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为（ ） (A)21 (B) 31 (C) 61 (D) 918．一次数学课上，老师让大家在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，折出一个菱形。
甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），乙同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE ＝∠DAC ，∠ACF ＝∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是( )（A ）甲 （B ）乙 （C ）甲乙相等 （D ） 无法判断9．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。
初中数学青年教师解题比赛试题及解答(1)
初中数学青年教师解题竞赛试卷一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分） 1．函数112-+-=x x y 中，自变量x 的取值范围是 . 2．圆锥的母线长为5cm ，高为3 cm ，在它的侧面展开图中，扇形的圆心 角是 度.3．已知3=xy ，那么yxyx y x+的值是 . 4．△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE//BC ，BE 与CD 相交 于点O ，在这个图中，面积相等的三角形有 对. 5．不等式x x 4115≥+的正整数解的共有 个． 6．函数13++=x x y 的图象在 象限．7．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝5，D 是BC 上的一点，且BD ：DC ＝2：3，则AD 的取值范围是 .8．关于自变量x 的函数c bx ax y ++=2是偶函数的条件是 . 9．若关于未知数x 的方程x p x =-有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是 .10．AB 、AC 为⊙O 相等的两弦，弦AD 交BC 于E ，若AC ＝12，AE ＝8， 则AD ＝ . 二、（本题满分12分）11．如图，已知点A 和点B ，求作一个圆⊙O ， 和一个三角形BCD ，使⊙O 经过点A ，且使所作的 图形是对称轴与直线AB 相交的轴对称图形．（要求 写出作法，不要求证明）..AB三、（本题满分12分）12．梯子的最高一级宽33cm ，最低一级宽110cm ，中间还有10级，各级 的宽成等差数列，计算与最低一级最接近的一级的宽． 四、（本题满分13分）13．已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点A （0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程． 五、（本通满分13分）14．池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为︒20，测得碑顶在水中倒影的俯角为︒30（研究问题时可把碑顶及其在水中的 倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，747.270tan ≈︒）. 六、（本题满分14分）.15．若关于未知数x 的方程022=-+q px x （p 、q 是实数）没有实数根， 求证：41<+q p . 七、（本题满分14分）16．如果⊙O 外接于正方形ABCD ，P 为劣弧AD 上的一个任意点，求：PBPCPA +的值. 八、（本题满分16分）17．试写出m 的一个数值，使关于未知数x 的方程08242=+--m x x 的 两根中一个大于1，另一个小于1. 九、（本题满分16分）18．点P 在锐角△ABC 的边上运动，试确定点P 的位置，使P A +PB ＋PC 最小，并证明你的结论.参考答案一、1. 2≤x 且1≠x 2.288 3. 32± 4.4 5.6 .一、二、三 7. 4<AD <8 8.b =0 9. 410<≤p 10.18. 二、作法：11.1、作直线OB 与直线AB 相交于点B ；2、以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ；3、过点O 作直线CD ⊥OB 交⊙O 于 点C 和点D ；4、分别连结CB 和DB .则⊙O 和△BCD 就是所求. 三、12.解：用{}n a 表示题中的等差数列，由已知条件有12,110,33121===n a a().1133即110,112112d d a a +=-+=解得 7=d().1037033111111=+=-+=∴d a a答：与最低一级最接近的一级的宽103cm.四、13.解：设点M （x ,y ）是曲线上的任一点，MB ⊥x 轴，垂足为B ， 那么点M 属于集合{}2=-=MB MA M P . 由距离公式，得()2222=---y y x ,化简，得281x y =.曲线在x 轴的上方，y >0,..A BDCO∴所求的曲线的方程是()0812≠=x x y 五、14.解：如图，DE 表示水面，A 表示观测点，B 为碑顶，B '在水中的倒影，由题意： ()m 13020=︒='∠︒=∠，AD AC B ，BAC︒='∠︒=∠∴60,70B B设x BE =,则.1,1+='-=x C B x BC在Rt △ABC 中，()︒-=⋅=70tan 1tan x B BC AC ○1 在Rt △A B 'C 中，()︒+='⋅'=60tan 1tan x B C B AC ○2 由○1、○2得()()︒+=︒-60tan 170tan 1x x ()︒+︒=︒-︒∴60tan 70tan 60tan 70tan x 41.4479.4015.1≈∴=x x 米答：水面到碑顶的高度4.41米.六、15. 证：由题意，令0442<-=∆q p得2p q -<41412122≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-<+p pp q p即41<+q p七、16.解：如图，BP 平分直角APC ∠，︒=∠=∠∴4521ABCDP12B 'EA BC D在△APB 中，由余弦定理，得：2222AB PB PA PB PA =⋅-+同理，在△BPC 中，有2222BC PC PB PC PB =⋅-+ 22222AC PC AP BC AB =+=+().20222=+∴=+-∴PBPC PA PC PA PB PB当点P 与点A 或点D 重合时.2=+PBPCPA 八、17.解法1：设()()062=-+x x ，则01242=--x x ,令1282-=+-m ，得10=m ，∴当10=m 时，所给方程两根中，一个大于1，另一个小于1.解法2：设21,x x 是方程的两根，则m x ，x x x 2842121-=⋅=+，依题意，()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧<-->---=∆.25,21.011,02844212m m x x m 解得：25>m .∴当3=m 时，所给的方程的两根中，一个大于1，另一个小于1. 九、18.解：当点P 在锐角△ABC 最短边上的高的垂足的位置时，P A +PB ＋PC 最小.证明：如图，P 为△ABC 一边BC 边上的高的垂足，而Q 为BC 边上的任一点，+++=++QB QA PC PA PC PB PA ,QA PA BC QA QC <+=,ABCPQC QB QA PC PB PA ++<++∴ 又设AC 为△ABC 最短边，作这边上的高P B '（如图），可知AP P B >'.在P B '上截取AP P B o =',在BC 上截取AC C B ='，作AC P B o ⊥'.垂足为o P ,连结o B B '.APC ∆Rt ≌=∴'∆AP C P B o RtP B P B o o '='. 四边形o o P P B B ''是矩形，︒='∠∴90B B B o ，在B B B o '∆中，+='+'+'>'o o BB C P B P A P BB B BAC AP +，PC PB PA C P B P A P AP AC B B PC PB PA ++<'+'+'∴++'=++.oP B oB P 'A BCP。
初中数学解题能力比赛试题(含答案)
HGDCABEFOD CBA初中数学教师解题能力比赛试题卷一、选择题（本题共7个小题，每小题4分，共28分）请将正确答案填在下表中。
题号 123456 7答案D A C B C AD1．方程x 2﹣2x+﹣4=0的实数解的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．如图，已知ΔABC 中，AB=5，AC=3，BC 上的中线AD=2，则BC 的长为.A ．132B ．4C ．13D ．23． 已知：四边形ABCD 中，AB =3，CD =4，M 、N 分别是AD ，BC 的中点， 则线段MN 的取值范围是（ ） A ．1＜MN ＜7 B ．1＜MN ≤7 C ．21＜MN ≤27 D ．21＜MN ＜274．二次函数()3-m -x 2-y 2=，x ≥-l 时，y 随x 的增大而减小， 则m 的取值范围是（ ）A ．m = -lB ．m ≤-lC ．m >-lD ．m ≥-l5．如图，已知：点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点，DF BD 、分别交CE 于点H G 、，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于（ ）A ． 24B ．26C ．28D ．306. 以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后 与直径AB 交于点D ，若32=DB AD ，且AB=5，则CB =（ ） A ．52 B ．32 C ． 22 D ．27. 2012年11月11日，支付宝24小时交易创历史新高，达191亿元。
某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米／时，两车之间的距离y (千米)与货车行驶时间x (小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论： ①快递车从甲地到乙地的速度为100千米／时；②甲、乙两地之间的距离为300千米；③图中点B 的坐标为(334，75)；④快递车从乙地返回时的速度为90千米／时． 以上4个结论中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ABC二、填空题（本题7个小题，每小题4分，共28分）请将正确答案填在下表中。
2016年初中数学教师 解题比赛试题
2016年初中数学教师解题比赛试题2016年初中数学青年教师解题比赛试题说明：1.本试卷满分100分，考试时间120分钟；2.请将答案或解答过程直接在答题纸上。
一、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.已知x=2是不等式(x-5)(ax-3a+2)≤0的解，x=1不是这个不等式的解，则实数a的范围是____。
2.二次函数y=a(x-4)^2-4(a≠0)的图像在2＜x＜3这一段位于x轴下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为____。
3.设二次函数y1=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1≠x2)的图像与一次函数y2=dx+e(d≠0)的图像交于点（x1.），若函数y=y1+y2的图像与x轴仅有一个交点，则下列结论：①a(x1-x2)=d；②a(x2-x1)=d；③a(x2-x1)^2=d；④a(x2+x1)^2=d。
其中正确的序号有____。
4.实数a、n、m、b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A、N、M、B（如图）．若AM^2=BM·AB，BN^2=AN·AB，则称m为a、b的“大黄金数”，n为a、b的“小黄金数”．当b-a=2时，a、b的大黄金数与小黄金数之差m-n=____。
5.如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1=k/x （x>0）及y2=2（x>0）的图像分别交于点A、B，连接OA、OB，已知△OAB的面积为2，则k1-k2=____。
6.如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E 为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一边上，则等腰三角形AEP的底边长为____。
二、解答题（本大题共7题，计82分）7.（本题满分10分）质量分别为a、b（a≠b）的甲、乙两块金银合金的含金率不同．从甲、乙两块合金上各切下一块，分别和对方剩下的部分合金熔合，得到的两块新合金含金率相同．设切下的合金质量相同，求切下的每块合金的质量。
2016年综合素质大赛解题比赛试题2
2016年合肥市初中数学青年教师综合素质大赛“解一套题”比赛试题2一、选择题:(每小题8分，满分32分)每小题给出的代号为A 、B 、C 、D 的四个选项只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后括号内.1.我们将1×2×3×…×n 记作!n ，如5!=1×2×3×4×5；100!=1×2×3×…×100，若设11!22!33!20152015!S =⨯+⨯+⨯++⨯L ，则S 除以2016的余数是( ).A.0B.1C.1008D.20152.已知x 、y 、z 均为非负整数，且30x y z ++=，350x y z +-=，则542M x y z =++的取值范围是( ).A.100≤M ≤110B.110≤M ≤120C.120≤M ≤130D.130≤M ≤1403.已知点A 的坐标为(a ，b )，其中a 为小于3的正整数，b 为小于4的正整数，记“点A(a ，b )在直线y x n =-+上(2≤n ≤5，且n 为整数)”为事件W ，若事件W 的概率最大，则n 的所有可能值为( ).A.2或3B.2或4C.2或5D.3或44.如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，直线l 以0.4cm/s 的速度从图中0l 的位置向右上平移，则直线l 扫过的正方形ABCD 的面积y (cm 2)与移动的时间t (s)的函数图象大概是( ).二、填空题:(每小题8分，满分32分)5.若关于x 的分式方程311x m x x --=-的解为正数，则m 的取值范围是 .6.如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，现将其折叠，使点B 与点D重合，折痕为EF ，点A 落在点G 处，连接AG ，则AEG ∆的面积为 .7.对于任意两个实数a 、b ，定义运算“﹡”如下： ()4 ().a ab a b a b b b a b ⎧≥⎪*=⎨+<⎪⎩，根据这个规则，则方程216x *=的解为 .8.如图，AD 、BE 、CF 是ABC ∆的三条中线，O 是它们的交点，若ABC∆的面积为4，则以AD 、BE 、CF 为边的三角形的面积是_______.三、解答题:(满分36分)9.(14分)如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB 是⊙O 的直径，45ABC ∠=︒, 22AD =，4CD =. ⑴连接BD ，求tan ABD ∠的值；⑵求四边形ABCD 的面积.10.(22分)已知二次函数2223y x mx m m =-+--+(m 为常数)，当m 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”.⑴证明：这个“抛物线系”所有抛物线的顶点一定在一条直线上； ⑵若抛物线与x 轴交于M (a ，0)、N (b ，0)两点，当||3ab =，且a b ≠时，求抛物线的解析式； ⑶若⑵中所求抛物线顶点为C ，与y 轴交于正半轴，其对称轴与x 轴交于点B ，直线3y x =-+与x 轴交于点A ．点P 为抛物线对称轴上一动点，过点P 作PD ⊥AC ，垂足D 在线段AC 上．试问：是否存在点P ，使14PAD ABC S S ∆∆=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．“解一套题”比赛试题2参考答案1.D2.C3.D4.D5.2m >-且1m ≠6.1857.-4或252- 8.3 9.⑴连结AC ，作AE ⊥CD ，交CD 的延长线于E .∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ADB ∠=∠=︒.∵45ABC ∠=︒，∴45BAC ∠=︒，∴45BDC ∠=︒，∴45ADE ∠=︒.∵22AD =，∴2AE DE ==，…………………………………3分∴21tan 243AE AE ACE EC DE DC ∠====++； ……………………5分 又∵ABD ACE ∠=∠，∴1tan 3ABD ∠=． ……………………7分 ⑵∵1tan 3ABD ∠=，又∵22AD =， ∴62BD =，…………………………………………………………9分 ∴22280AB AD BD =+=，∴240BC =，…………………………11分 ∴20ABC S ∆=，∵142ADC S CD AE ∆=⋅=，∴40444ABC ADC ABCD S S S ∆∆=+=+=四边形. …………………………14分10.⑴证明：∵2223y x mx m m =-+--+()23x m m =---+， ∴顶点坐标为（m ，3m -+）. ……………………2分 设0x m =，03y m =-+，消去m 得003y x =-+，∵ 函数3y x =-+的图象是一条直线，∴ 这个“抛物线系”所有抛物线的顶点(0x ，0y )一定在直线3y x =-+上.…………………6分 ⑵∵抛物线与x 轴交于M (a ，0)、N (b ，0)两点，∴0∆>，即：()()222430m m m -+->，解得3m <. ………………………………………7分 ∵3ab =，∴233m m +-=±. ……………………………………………………………………8分 当233m m +-=-时，20m m +=，∴0m =或1m =-. 当0m =时，213y x =-+，此时，0a b +=，与a b ≠矛盾，舍去；当1m =-时，2123y x x =--+.……………………………………………………………………11分当233m m +-=时，260m m +-=，∴2m =或3m =-.∴2243y x x =-+-，2363y x x =---.综上，抛物线的解析式为2123y x x =--+或2243y x x =-+-或2363y x x =---．…………14分 ⑶∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴223y x x =--+，∴C (-1，4），B (-1，0）. ∵直线3y x =-+与x 轴交于点A ，∴A (3，0). ∵BA BC =，∴45PCD ∠=︒，∴PD DC =. ∵点D 在线段AC 上，∴可设PD DC x ==，则2PC x =，42AD x =-.………………16分 ∵14PAD ABC S S ∆∆=，∴()1114244242x x -⋅=⨯⨯⨯，24240x x -+=； 解得222x =±； …………………………………18分 当222x =+时，2422PC x ==+， ∴4422P y -=+，∴22P y =-， ∴1P (-1，22-)，当222x =-时，2422PC x ==-，∴22P y =， ∴2P (-1，22)，所以当垂足D 在线段AC 上，存在点P ，使4PAD ABC S S ∆∆=， 此时点P 的坐标为1P (-1，22-)、2P (-1，22)．…………………………22分。
2016上半年教师资格考试初中数学学科知识与教学能力真题及答案
2016上半年教师资格考试《初中数学学科知识与教学能力》试题一、单选题(共8题，每题5分，共40分)1.A.0B.1C.eD.1/e答案：B解析：2.下列级数中，不收敛的是( )。
A.B.C.D.答案：C3.A.椭球面B.旋转双曲面C.旋转抛物面D.圆柱面答案：B解析：4.若函数ƒ(x)在[0，1]上黎曼可积，则ƒ(x)在[0，1]上( )。
A.连续B.单调C.可导D.有界答案：D解析：根据黎曼可积定义，即黎曼可积必有界。
5.A.0B.1C.2D.3答案：D解析：由矩阵A的特征多项式6.二次型x^2-xy+y^2是( )。
A.正定的B.半正定的C.负定的D.半负定的答案：A解析：7.下面不属于第三学段“数与代数”内容的是( )。
A.实数B.平均数C.代数式D.函数答案：B解析：平均数是“统计与概率”的内容，因此选择B。
8.创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。
下面的表述不适合在教学培养学生创新意识的是( )。
A.发现和提出问题B.寻求解决问题的不同策略C.规范数学书写D.探索结论的新应用答案：C解析：创新意识是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。
学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。
二、简答题(共5题，每题7分，共35分）9.答案：见解析10.设球面方程为x^2+y^2+z^2=9，求它在点(1，2，2)处的切平面方程。
答案：见解析解析：得球面在点(1，2，2)处的切平面方程为2(x-1)+4(y-2)+4(z-2)=0，即(x-1)+2(y-2)+2(z-2)=0。
11.件B={1，2}。
请回答事件A 和B是否独立，并说明理由。
答案：见解析12.《义务教育数学课程标准(2011年版)》有两类行为动词，其中一类是描述结果目标的行为动词，包括“了解”“理解”“掌握”“运用”，请以“平行四边形”概念为例，说明“理解”的基本含义。
(参考答案)教师专业素养竞赛(小学数学)
2016年教师专业素养竞赛试卷答案小学数学2016.7本试卷分两大部分，第一部分基本素养30分，第二部分学科素养120分，满分150分.注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的学校、姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相对应的位置上，并用2B铅笔认真正确填涂考试证号下方的数字；2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其它笔答题；3．考生答题必须答在答题卡的答题区域上，答在试卷和草稿纸上一律无效.第一部分基本素养一、判断题：本大题共有7小题；每小题1分，共7分.请把判断结果直接填涂在答题卡相应位．．．．．．置．上，对的填涂“T”，错的填涂“F”.1.第八次基础教育课程改革所倡导的课堂教学方式是“合作、探究与展示”.（F）2.《中华人民共和国未成年人保护法》中未成年人是指未满十八周岁的公民.（T）3.2008年修订的《中小学教师职业道德规范》对教师从“爱国守法、爱岗敬业和关爱学生”等八个方面的道德品行与职业行为提出了明确要求.（F）4.党的十八大报告首次提出“把立德树人作为教育的根本任务”.这是因为世界观、人生观和价值观是人们文化素养的核心与标志.（T）5.教育科研就是以教育科学理论为指导，以教育领域中发生的现象提炼为问题，以探索教育规律为目的的创造性的认识活动.（T）6.《义务教育数学课程标准（2011版）》安排了数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践四个领域的学习内容.（F）7.信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响.（T）二、填空题:本大题共有4小题；每空1分，共10分.把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．9.数学是研究▲和▲的科学.（文明、和谐；自由、平等；诚信、友善）10.《义务教育数学课程标准（2011版）》中使用了“经历、体验、探索”等描述▲的行为动词.（过程目标）11.学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
初中青年教师解题能力大比武数学试卷
第7题初中青年教师解题能力大比武试卷数 学（2012年1月）姓名： 得分：一、细心填一填（每小题4分，共36分）1、若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是 ． 2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．第5题3、如图，双曲线xy 2=（x ＞0）与矩形OABC 的边CB ， BA 分别交于点E ，F ，且AF=BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为 .4、如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .5、如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴上，并与直线y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．6、已知x y z ，，为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则222x y z ++的最小值为 .7、如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则AEAD= ．第8题第9题8、如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C 的圆心坐标为（－1，0）半径为1，若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是 ．9、在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点分别为A ()1,1、B ()1,1-、C ()1,1--、D ()1,1-，y 轴上有一点P ()2,0。
作点P 关于点A 的对称点1P ，作1P 关于点B 的对称点2P ，作点2P 关于点C 的对称点3P ，作3P 关于点D 的对称点4P ，作点4P 关于点A 的对称点5P ，作5P 关于点B 的对称点6P ┅，按如此操作下去，则点2011P 的坐标为 ．二、精心选一选（每小题6分，共24分）1、已知11=-a a ，则代数式a a+1的值等于 （ ） A 、25 B 、25- C 、5 D 、5-2、设x 为锐角，且满足sinx=3cosx ，则sinx •cosx 等于 （ ） A 、61B 、51C 、92D 、1033、如图，△ABC 的内切圆⊙O 与各边相切于D ，E ，F ，则点O 是△ABC 的 （ ） A 、三条中线交点 B 、三条高线交点 C 、三条角平分线交点 D 、三边中垂线交点第3题 第4题4、已知：如图，AB 为⊙O 的直径，CD 、CB 为⊙O 的切线，D 、B 为切点，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于点F ，连接AD 、BD ，以下结论：①AD ∥OC ； ②点E 为△CDB 的内心；③FC=FE ；④CE •FB=AB •CF ，其中正确的只有 （ ） A 、①② B 、②③④ C 、①③④ D 、①②④三、耐心解一解（每小题10分，共90分）1、在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3、，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M 的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M 的纵坐标．（1）写出点M 坐标的所有可能的结果； （2）求点M 在直线y x 上的概率； （3）求点M 的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．2、为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客.门票定价为50元/人，非节假日打a 折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m 人以下（含m 人）的团队按原价售票；超过m 人的团队，其中m 人仍按原价售票，超过m 人部分的游客打b 折售票.设某旅游团人数为x 人，非节假日购票款为1y （元），节假日购票款为2y （元）.1y ，2y 与x 之间的函数图象如图所示.（1）观察图象可知：a ＝ ；b ＝ ；m ＝ ； （2）直接写出1y ，2y 与x 之间的函数关系式；（3）某旅行社导游王娜于5月1日带A 团，5月20日（非节假日）带B 团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A ，B 两个团队合计50人，求A ，B 两个团队各有多少人？3、已知a，b为整数，且方程3x2+3（a+b）x+4ab=0的两个根满足关系式α（α+1）+β（β+1）=（α+1）（β+1），试求所有的整数点对（a，b）．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．5、已知，如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB．过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N．求证：MN为△ABC外接圆的直径．6、如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2AC ．点P 在△ABC 内，且PA ＝3，PB ＝5，PC ＝2，求△ABC 的面积．7、等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P 为BC 的中点，小亮拿着300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转．（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE∽△CFP； （2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．①探究１：△BPE 与△CFP 还相似吗？②探究２：连结EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由； ③设EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．图BPBP8、如图，在四边形ABCD 中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC 和AD 的延长线交于P ，求AB •S △PAB 的最小值．9、如图，一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图像上，且MO=MA ．二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长； （2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．。
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2016年太仓市青年教师学科素养能力竞赛
初中数学
第二部分 数学专业素养（满分120分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分共24分）
1．如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30︒，那么这个三角形的形状是（ ） A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定
2．下列图形中，各边的中点一定在同一个圆上的是（ ） A ．菱形
B ．平行四边形
C ．矩形
D ．等腰梯形
3．某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量t （件）与每件的销售价x （元/件）之间的函数关系为t =−3x +204．商场要想每天获得最大销售毛利润，则每件的销售价应定为（ ） A ．55元
B ．50元
C ．48元
D ．44元
4．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，2)，B (0，6)，点P 在直线y =x 上运动．若以A 、B 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，则点P 的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，数轴上的点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且b −2a =3c +d +21，那么数轴上原点对应的点是（ ） A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
6．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB 'C 'D '，则阴影部分的面积为（ ） A ．12
B
C
．1-
D
．1
7．已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(1，4)，(2，7)，对称轴为直线x =k ，且|k |≤1，则a 的取值范围是（ ） A ．335
a ≤≤
B ．a ≥3
C ．35
a ≤
D ．a ＜0
8．如图，△AB C 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD =BD =3，CD =2，点P 从点B 出发沿线段BC 的方向移动到点C 停止，过点P 作PQ ⊥BC ，交折线BA -AC 于点Q ，连接DQ 、CQ ，若△ADQ 与△CDQ 的面积相等，则线段BP 的长度是（ ）
C '
（第10题）
A ．95
或4 B ．
65
或4 C ．
95
或
135
D ．
65
或
135
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分共24分） 9．若对任何x ，分式
2
1x x x a
-++均有意义，则字母a 的取值范围是 ． 10．将一枚质地均匀的硬币连续掷了三次，三次都是正面朝上的概率是 ．
11．圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为 ．（结果保留π）
12．如图，△ABC 中，∠A =60°，BD 和CE 都是△ABC 的高．如果△ABC 的面积为12，那么四边形BCDE 的面积为 ． 13．已知二次函数y =x 2+mx -2，当x <2时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是 ． 14．已知m
,
的值为 ．
15．如图，若AB =AC ，∠A =2∠D ，AC 与BD 交于点F ．若AB =4，AF =3，则BF ·DF = ． 16．如图，正方形ABCD 的边长为4，分别以AB 、CD 为斜边向形外作Rt △ABE 和Rt △CDF ，且∠ABE =
∠CDF =30︒，连接EF ，则EF 的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分共72分）
17．（2016年江苏省高考第21题，满分6分）如图，在△ABC 中，∠ABC =90︒，BD ⊥AC 于点D ，点E
是BC 中点，求证：∠EDC =∠ABD ．
B
A
C
E
A
B
C
D
F （第15题）
A D
C
B
E
（第12题）
（第16题）
A
C
D
E
F
18．（教材七下167页课题学习，满分8分）分类、想象、找规律：
(1) 将一个棱长为3的正方体的表面涂上颜色，分割成棱长为1的小正方体（如图）．其中，三面涂
色的小正方体有几个？两面涂色的小正方体有几个？一面涂色的小正方体有几个？
(2) 如果将一个棱长为4的正方体，像(1)那样涂色、分割，那么三面、两面、一面涂色的小正方体各
有几个？
如果分别分割一个棱长为5或6的正方体呢？
(3) 从以上的求解过程，你能发现什么规律？
(4) 你还能提出其他问题，并加以解答吗？
19．（教材九上20页第9题，满分8分）
(1)原题：k取什么值时，关于x的一元二次方程x2−2x+k−1=0有两个不相等的实数根；
(2) 改编：是否存在整数k，使关于x的一元二次方程x2−2x+k−1=0有两个非负整数解？若存在，求出
所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．
20．（教材八上75页第14题，满分10分）探索研究：
(1) 如图，在△ABC 中，∠BAC =90︒，AB =AC ，点D 在BC 上，且BD =BA ，点E 在BC 的延长线上，且CE =CA ，求∠DAE 的度数；
(2) 如果把第(1)题中“AB =AC ”的条件舍去，其余条件不变，那么∠DAE 的度数会改变吗？ (3) 如果把第(1)题中“∠BAC =90︒”的条件改为“∠BAC ＞90︒”，其余条件不变，那么∠DAE 与 ∠BAC 有怎样的数量关系？试说明理由．
21．（2016年江苏省高考第18题改编，满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (2，4)在以
M (6，7)为圆心，5为半径的圆上．
(1) 设⊙N 与x 轴相切，与⊙M 外切，且圆心N 在直线x =12上，求⊙N 的半径； (2) 设平行于OA 的直线l 与⊙M 交于B 、C 两点，且BC =OA ，求BC 中点的坐标．
A
B D C
E
22．（教材九下93页第21题，满分10分）如图，在△ABC 中，AB =4，D 是AB 上的一点（不与点A 、B 重合），DE ∥BC ，交AC 于点E ，设△ABC 的面积为S ，△DEC 的面积为S '． (1) 当D 是AB 的中点时，'
S S
的值为 ； (2) 设AD =x ，'
S S
=y ，求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； (3) 根据y 的取值范围，探索S '与S 之间的大小关系，并说明理由．
23．（2016年江苏省高考第22题改编，满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y =−x +2
与抛物线y =ax 2（a ＞0）交于点A 、B ，与y 轴交于点C ． (1) 若13
AC BC =，求抛物线的表达式；
(2) 已知抛物线上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ． ①求直线PQ 与l 交点的坐标（用关于a 的代数式表示）； ②求a 的取值范围．
E
D C
B
A
24．（2016年苏州市中考第27题，满分10分）如图，在矩形ABCD 中，AB =6cm ，AD =8cm ．点P 从点
B 出发，沿对角线BD 向点D 匀速运动，速度为4cm/s ，过点P 作PQ ⊥BD 交B
C 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得点N 落在射线P
D 上．点O 从点D 出发，沿DC 向点C 匀速运动，速度为3cm/s ，以O 为圆心，0.8cm 为半径作⊙O ．点P 与点O 同时出发，设它们的运动时间为t （单位：s ）（0＜t ＜8
5
）．
(1)如图1，连接DQ ，当DQ 平分∠BDC 时，t 的值为 ； (2)如图2，连接CM ，若△CMQ 是以CQ 为底的等腰三角形，求t 的值； (3)请你继续进行探究，并解答下列问题：
①证明：在运动过程中，点O 始终在QM 所在直线的左侧；
②如图3，在运动过程中，当QM 与⊙O 相切时，求t 的值；并判断此时PM 与⊙O 是否也相切？说明理由．
D
A
B Q
C O M
P
N
图1
D
A
B Q
C O
M
P
N
图2
D A
B
Q
C O
M
P
N
图3。