2016年初中数学青年教师学科素养能力竞赛试卷(解题部分)

2016年太仓市青年教师学科素养能力竞赛

初中数学

第二部分 数学专业素养（满分120分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分共24分）

1．如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30︒，那么这个三角形的形状是（ ） A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．不能确定

2．下列图形中，各边的中点一定在同一个圆上的是（ ） A ．菱形

B ．平行四边形

C ．矩形

D ．等腰梯形

3．某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量t （件）与每件的销售价x （元/件）之间的函数关系为t =−3x +204．商场要想每天获得最大销售毛利润，则每件的销售价应定为（ ） A ．55元

B ．50元

C ．48元

D ．44元

4．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，2)，B (0，6)，点P 在直线y =x 上运动．若以A 、B 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，则点P 的个数是（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

5．如图，数轴上的点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且b −2a =3c +d +21，那么数轴上原点对应的点是（ ） A ．点A

B ．点B

C ．点C

D ．点D

6．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB 'C 'D '，则阴影部分的面积为（ ） A ．12

B

C

．1-

D

．1

7．已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(1，4)，(2，7)，对称轴为直线x =k ，且|k |≤1，则a 的取值范围是（ ） A ．335

a ≤≤

B ．a ≥3

C ．35

a ≤

D ．a ＜0

8．如图，△AB C 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD =BD =3，CD =2，点P 从点B 出发沿线段BC 的方向移动到点C 停止，过点P 作PQ ⊥BC ，交折线BA -AC 于点Q ，连接DQ 、CQ ，若△ADQ 与△CDQ 的面积相等，则线段BP 的长度是（ ）

C '

（第10题）

A ．95

或4 B ．

65

或4 C ．

95

或

135

D ．

65

或

135

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分共24分） 9．若对任何x ，分式

2

1x x x a

-++均有意义，则字母a 的取值范围是 ． 10．将一枚质地均匀的硬币连续掷了三次，三次都是正面朝上的概率是 ．

11．圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为 ．（结果保留π）

12．如图，△ABC 中，∠A =60°，BD 和CE 都是△ABC 的高．如果△ABC 的面积为12，那么四边形BCDE 的面积为 ． 13．已知二次函数y =x 2+mx -2，当x <2时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是 ． 14．已知m

,

的值为 ．

15．如图，若AB =AC ，∠A =2∠D ，AC 与BD 交于点F ．若AB =4，AF =3，则BF ·DF = ． 16．如图，正方形ABCD 的边长为4，分别以AB 、CD 为斜边向形外作Rt △ABE 和Rt △CDF ，且∠ABE =

∠CDF =30︒，连接EF ，则EF 的长为 ．

三、解答题（本大题共8小题，满分共72分）

17．（2016年江苏省高考第21题，满分6分）如图，在△ABC 中，∠ABC =90︒，BD ⊥AC 于点D ，点E

是BC 中点，求证：∠EDC =∠ABD ．

B

A

C

E

A

B

C

D

F （第15题）

A D

C

B

E

（第12题）

（第16题）

A

C

D

E

F

18．（教材七下167页课题学习，满分8分）分类、想象、找规律：

(1) 将一个棱长为3的正方体的表面涂上颜色，分割成棱长为1的小正方体（如图）．其中，三面涂

色的小正方体有几个？两面涂色的小正方体有几个？一面涂色的小正方体有几个？

(2) 如果将一个棱长为4的正方体，像(1)那样涂色、分割，那么三面、两面、一面涂色的小正方体各

有几个？

如果分别分割一个棱长为5或6的正方体呢？

(3) 从以上的求解过程，你能发现什么规律？

(4) 你还能提出其他问题，并加以解答吗？

19．（教材九上20页第9题，满分8分）

(1)原题：k取什么值时，关于x的一元二次方程x2−2x+k−1=0有两个不相等的实数根；

(2) 改编：是否存在整数k，使关于x的一元二次方程x2−2x+k−1=0有两个非负整数解？若存在，求出

所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．

20．（教材八上75页第14题，满分10分）探索研究：

(1) 如图，在△ABC 中，∠BAC =90︒，AB =AC ，点D 在BC 上，且BD =BA ，点E 在BC 的延长线上，且CE =CA ，求∠DAE 的度数；

(2) 如果把第(1)题中“AB =AC ”的条件舍去，其余条件不变，那么∠DAE 的度数会改变吗？ (3) 如果把第(1)题中“∠BAC =90︒”的条件改为“∠BAC ＞90︒”，其余条件不变，那么∠DAE 与 ∠BAC 有怎样的数量关系？试说明理由．

21．（2016年江苏省高考第18题改编，满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (2，4)在以

M (6，7)为圆心，5为半径的圆上．

(1) 设⊙N 与x 轴相切，与⊙M 外切，且圆心N 在直线x =12上，求⊙N 的半径； (2) 设平行于OA 的直线l 与⊙M 交于B 、C 两点，且BC =OA ，求BC 中点的坐标．

A

B D C

E