最小二乘法在经济预测中的应用

编号（学号）：********

优化理论课程论文

（ 08 级 1班）

题目：最小二乘法在经济预测中的应用

学院：理学院

专业：信息与计算科学

*名：***

指导教师：***

完成日期： 2011 年 12 月 18 日

最小二乘法在经济预测中的应用

摘要:由于经济发展呈现一种鹏飞的状态及其可能的动荡会引起严重的后果,使得经济预测成为了一个必然产物,预测会使人们在将来经济上可能出现的波动有所准备降低损失或增加收益.本文选择了经济预测中的其中一种方法最小二乘法的基本原理,并且利用了线性回归预测模型.同时对相关系数和标准偏差进行检验.最后给出了利用最小二乘法进行经济预测的实例.实现对产品生产的预测让各方面对产品的产量有个简单的了解.

关键词：最小二乘法;线性回归;产品生产预测

一.引言

随着改革开放的步伐带动各地的经济发展状态呈现一片大好的形势,由于地域人文不同各地经济特色也各显风骚.本文以某县为例,该县是全国经济百强县之一,全县大都以染料、纺织和布匹等生产加工为主.笔者了解到支撑该县经济支柱的大部分是以生产加工上述产品的中小企业甚至家庭型企业.由于他们规模不是很大,因此相应的各技术部门没有很好的配备,所以进行生产管理的方式没有像大型企业那样规范,他们产品的年产量往往根据企业主近几年摸爬滚打中积累起来对市场的判断来制订的,而没有进行科学的经济预测，这常常导致大量产品销售不够或大量产品积压在家,给企业带来严重影响.

经济预测是进行经济决策活动的一个重要组成部分.在实际经济活动中,预测的结果可以揭示经济现象在未来时期发展变化的情况和发现经济发展过程中存在的问题,从而为进行决策、制订计划、提高经济管理水平以及获取较好的经济效益提供了科学依据.运用定量预测模型进行预测的方法有很多,依据笔者对许多家庭型企业的了解及对企业主知识层次的分析,本文介绍的最小二乘法在经济预测中的应用方法简单明了,比较适合这些企业在进行预测产品产量时参考,从而能够避免盲目的生产和经营,尽可能地为企业获得最大利润.

二.最小二乘法

最小二乘法是由实验或调查的数据,建立线性型公式的一种常用方法.在建立线性型公式中,虽然有很多种不同的方法来求样本回归函数（即,真实总体回归函数的估计值）,但是,在回归分析中最广泛应用的方法是最小二乘法.

如果变量y x 和有精确的线性关系比如说b ax y +=,那么∧

=i i y y 即观测值与回归值 是相等的.事实上现实世界中的诸多变量的关系未必都是如此,由于受诸多随机因数的干扰使得物与物之间没有那种很明确的对应关系.比如说人的身高和体重就是一个对应,我们都知道长的高的人不一定就重,同理长的矮的人也不一定就轻，但身高和体重的确存在着一定的关系,而这种关系并非是b ax y +=所能确定的.那么我们要寻求身高和体重之间的关系就需要通过数学的方法.首先调查统计得出数据;其次把数据描绘出来；然后拟合一条跟已有的图象最接近的曲线,这样就可以相对地将身高和体重之间的关系表示出来. 在处理类似的事情中常常用到最小二乘法.

所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为：

21022)()(m in

i i i i i

x b b Y Y Y e

--=-=∑∑∑∧

为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理.

i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程）

由于总体回归方程不能进行参数估计,我们只能对样本回归函数来估计即： i i i e x b b Y ++=10 )...2,1(n i = (1.1) 从（1.1）公式可以看出：残差i e 是i Y 的真实值与估计值之差,估计总体回归函数最优方法是,选择10,B B 的估计量10,b b ,使得残差i e 尽可能的小.

总之,最小二乘原理就是选择样本回归函数使得所有Y 的估计值与真实值差的平方和为最小,这种确定10,b b 的方法叫做最小二乘法.

在经济关系中,往往某一指标与多个因素有关,如果这种关系具备一定的线性相关性，就可以用多元回归分析来处理,假设由观测得到一组数据：

),...,,(),...,,...,,(),,...,,(212222111211nm n n m m x x x x x x x x x

1y 2y ，… ， n y

令向量分别为：

)

,...,(),...,,()

,...,,(),...,(2,121222122121,111n nm m m m n n y y y Y x x x X x x x X x x x X ====

如果向量组m X X X ,...,,21与Y 存在线性关系,得到n 元线性预测公式

m m X a X a X a a Y ++++=∧

...22110 （1.2）

其矩阵形式为：

=

⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡n y y y 2

1⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡m nm n n m m a a a x x x x x x

x x x 102

1

2222111211111 (1.3）

其中m a a a ,...,,10为待定常数,亦称回归系数.

如何来确定m a a a ,...,,10的值呢?将每组观测值代入（1.3）就得到：

im m i i i x a x a x a a Y ++++=∧

...22110 )...2,1(n i =

特别地1=n 时 x a a Y 10+=∧

（1.4）

∧

i Y 与i y 间存在差异.记i e ∧

-=i i Y y

我们选择这样的m a a a ,...,,10使每个偏差i e )...2,1(n i =都尽量小，因为偏差（∧

-i i Y y ）有正有负，所以偏差的代数和

)(∧

-∑i i

Y y

并不能反映总体偏差的大小，而

∑

∧

-i i Y y 数学上处理起来也比较繁杂，所以通常采用使偏差平方和2

∑i e 为 最小.

即 ∑==n

i S 1

[]222110)...(im m i i i x a x a x a a y ++++-最小 （1.5）