高中数学 含绝对值的函数图象的画法及其应用素材
绝对值函数图像的画法
For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use首先要从简单的绝对值函数画起。
2-=x y ：是一条以()0,2为拐点的折线。
或者可以理解为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去然后再着手于复杂的图像的画法。
221121-++=x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。
（叠加后直线的斜率不同） 其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。
最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。
122--=x x y ，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称，故x y 21-=关于y 轴对称，又122-=x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
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高中数学 含绝对值的函数图象的画法及其应用素材
含绝对值的函数图象的画法及其应用一、三点作图法三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。
步骤是：①先画出V 型图顶点⎪⎭⎫⎝⎛-c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点；③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。
例1. 作出下列各函数的图象。
（1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。
解：（1）顶点⎪⎭⎫ ⎝⎛-121，，两点（0，0），（1，0）。
其图象如图1所示。
图1（2）顶点⎪⎭⎫⎝⎛-121，，两点（－1，0），（0，0）。
其图象如图2所示。
图2注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。
函数图象关于直线abx -=对称。
二、翻转作图法翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。
步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数)(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象；③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。
例2. 作出下列各函数的图象。
（1）|1|||-=x y ；（2）|32|2--=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。
解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。
图4就是要画的函数图象。
图3 图4（2）先作出322--=xxy的图象，如图5。
把图5中x轴下方的图象翻上去，得到图6。
图6就是要画的函数图象。
图5 图6（3）先作出)3lg(+=xy的图象，如图7。
把图7中x轴下方的图象翻上去，得到图8。
图8就是要画的函数图象。
图6 图7三、分段函数作图法分段函数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图，这种方法是画含有绝对值的函数的图象的有效方法。
绝对值函数图象的速画法
绝对值函数图象的速画法高中数学涉及了诸多函数问题，解这类题若能用图象辅助思考，往往有事半功倍之效。
但遗憾的是，学生要么对图象形状不熟悉，不知怎么画图；要么觉得画图程序繁琐，懒于画出图象。
下面简介高中数学中常见而学生又甚感困难的绝对值函数图象的速画法，以帮助提高作图速度，培养作图兴趣。
一、用“三点定形法”画单绝对值函数)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象)0()(≠+-=a k h x a x f 与)0()()(2≠+-=a k h x a x g 的图象类似，它们的顶点都是（k h ,），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。
所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。
所以可用三点定其型。
三点中，顶点（k h ,）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象。
例：已知函数[)+∞+-=,02)(在b x a x f 上单调递增，则a 、b 的取值范围是 。
分析：当a=0时，2)(=x f 为常数函数，不具单调性；当0≠a 时，其顶点(b,2)总在直线y=2上，若0<a ，图象开口向下(见图1)，总不满足条件；若0>a ，图象开口向上，当0>b 时，函数)(x f 在[)+∞,0不单调(见图2)；当0≤b ，函数)(x f 在[)+∞,0单调(见图3)。
所以a 、b 的范围应是.0,0≤>b a平线段左端加一条向左上方延伸的射线(因其斜率为负)，右端加一条向右上方延伸的射线(因其斜率为正)组成的图形，而图象总是在绝对值代数式的零点处转折。
又联立以上分段函数两侧解析式⎩⎨⎧+-=++-=)(2)(2b a x y b a x y 解得，⎪⎩⎪⎨⎧=+=02y b a x ，可知左右两侧射线延长线必交于x 轴上的点)0,2(b a +。
专题-含有绝对值图像及综合问题
关于绝对值的图像法一：图像变换；法二：分类讨论改写成分段函数一关于max 与min1 （2008江西理科）函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(2，2)内的图象大致是A B CD二转化分段函数1 作出函数y ＝x ｜2－x｜的图像2函数的大致图像为（）．3函数()f x cos x tan x =⋅在区间322,ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）2|log |1()2x f x x x=--三相关应用1 求函数()221y x x x R =+--∈的最小值答案：最小值是342 已知函数()()(),2210f x x a g x x ax a =-=++>且函数()f x 与()g x 的图像与y 轴交于同一点。
（1）求a 的值；（2）求函数()()f x g x +的单调增区间。
答案：（1）a=1；（2）,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭3 已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-=（1） 如果[]1,4x ∈，求函数()()()()1h x f x g x =+的值域； （2） 求函数()()()()()2f xg x f x g x m x +--=的最大值；答案：（1）换元法。
（2）()()()()()()()22,log ,0232log ,2,g x f x g x x x m x x x f x f x g x ≥⎧<≤⎧⎪==⎨⎨-><⎩⎪⎩当02x <≤时()max 1m x =，当2x >时()1m x <，所以()max 1m x =此时2x =。
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绝对值函数图像的画法
首先要从简单的绝对值函数画起。
2-=x y ：是一条以()0,2为拐点的折线。
或者可以理解为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去
然后再着手于复杂的图像的画法。
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1121-++=x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。
（叠加后直线的斜率不同） 其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。
最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。
122--=x x y ，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称，故x y 21-=关于y 轴对称，又122-=x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。
衔接点05 含绝对值函数的图象(解析版)
衔接点05 含绝对值函数的图象【基础内容与方法】1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像；2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像；3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y k x b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12k x b x +＞的解集．【答案】（1）3242y x =-++；（2）当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少；（3）60x -<<．（1）根据在函数+2y k x b =+中，把点（2-，4）和（6-，2-）代入，可以求得该函数的表达式； （2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象，根据函数图像增减性几块得出结论； （3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 解：（1）根据题意，得4622=⎧⎨⋅-++=-⎩b k b解方程组，得324⎧=-⎪⎨⎪=⎩k b所求函数表达式为3242y x =-++． （2）列表如下：描点并连线,函数的图象如图所示， 由图像可知，3242y x =-++性质为：当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少．（3）由图象可知：1+2+12k x b x+＞的解集是：60x-<<．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．类型二：含绝对值的二次函数（一）绝对值在自变量上2．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①方程﹣x2+2|x|+1＝0有个实数根；②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．【解析】（1）根据对称可得m=1；（2）画出图形；（3）①写函数的最大值和最小值问题；②确定一个范围写增减性问题；（4）①当y=0时，与x轴的交点有两个，则有2个实数根；②当y=a时，有4个实根，就是有4个交点，确定其a的值即可．解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值； ②当x ＞1时，y 随x 的增大而减小； （4）①由图象得：抛物线与x 轴有两个交点 ∴方程﹣x 2+2|x |+1＝0有2个实数根； 故答案为2；②由图象可知：﹣x 2+2|x |+1＝a 有4个实数根时，即y ＝a 时，与图象有4个交点，所以a 的取值范围是：1＜a ＜2． 故答案为1＜a ＜2．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，结合图像作答是解题的关键． 3．写出函数12)(2+-=x xx f 在什么范围内，y 随x 的增大而增大，. y 随x 的增大而减小？【答案】()f x 的单调递增区间是(1,0]-和(1,)+∞，单调递减区间是(,1]-∞-和(0,1]【解析】由题意转化条件为2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩，作出函数图象，数形结合即可得解.由题意2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩，其图象如图所示：由该函数的图象可得函数2()2||1f x x x =-+的单调递增区间是(1,0]-和(1,)+∞，单调递减区间是(,1]-∞-和(0,1].【点睛】本题考查了分段函数单调区间的确定，考查了二次函数图象与性质及数形结合思想的应用，属于基础题.（二）绝对值在解析式上 4．探究函数22y x x=-的图象与性质.(1)下表是y 与x 的几组对应值.其中m 的值为_______________；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分；(3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_____________________________；(4)若关于x 的方程220x x t --=有2个实数根，则t 的取值范围是___________________. 【答案】(1)3；(2)见解析；(3)图象关于直线x=1轴对称.（答案不唯一）；(4)t ＞1或t=0.【解析】（1）把x =3代入解析式计算即可得出m 的值；（2）画出图象即可；（3）根据图象得出性质；（4）观察图象即可得出结论．解：（1）当x =3时，y =2323-⨯=3，∴m =3； （2）如图所示：（3）图象关于直线x =1轴对称．（答案不唯一）（4）观察图象可知：当t ＞1或t =0时，关于x 的方程220x x t --=有2个实数根． 【点睛】本题考查了函数的图象及性质．解题的关键是画出图象． 5．某班数学兴趣小组对函数6||y x =的图象和性质将进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x 的取值范围是除0外的全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，m =_________．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出一条函数性质． （4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴交点情况是________，所以对应方程60||x =的实数根的情况是________． ②方程62||x =有_______个实效根； ③关于x 的方程6||a x =有2个实数根，a 的取值范围是________． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）在第一象限内，y 随着x 的增大而减小；（4）①无交点，无实数根；②2；③0a >．【解析】（1）把x=-2代入6||yx=求得y的值，即可得出m的值；（2）根据表格提供的数据描点，连线即可得到函数6||yx=的另一部分图象；（3）观察图象，总结出函数的性质即可；（4）①由于x的值不能为0，故函数值也不能为0，从而可得出函数图象与x轴无交点，因而6||x=无实数根；解：（1）把m=-2代入6||yx=得，63|2|y==-，所以，m=3，故答案为：3（2）如图所示:（3）观察图象可得，在第一象限内，y随着x的增大而减小；（答案不唯一）（4）①∵0x≠，∴y≠0∴函数图象与x轴无交点，∴6||x=无实数根；故答案为：无交点；无实数根；②求方程62||x=的根的个数，可以看成函数6||yx=与直线y=2的交点个数，如图，函数6||yx=与直线y=2有两个交点，故方程62||x=有2个实数根，故答案为：2；③由②的图象可以得出，关于x的方程6||ax=有2个实数根，a的取值范围是0a＞，故答案为：0a＞．【点睛】本题考查的是反比例函数，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数的性质及函数特征．6．在学习函数时，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题“的学习过程，在画函数图象时，我们通过列表、描点、连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习过绝对值的意义(0(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩）．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题： 在函数y=|kx -1|+b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3． (1)求这个函数的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请直接画出此函数的图象并写出这个函数的两条性质； (3)在图中作出函数y=3x -的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx -1|+b≤3x-的解集． 【答案】（1）y=|x -1|-3．（2）图象见解析．性质：图象关于直线x=1对称，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，函数的最小值为-3． ；（3）1≤x≤3或-3≤x<0．【解析】（1）根据在函数y ＝|kx−1|＋b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3，可以求得该函数的表达式； （2）由题意根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象； （3）由题意直接根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 解：（1）在函数y=|kx -1|+b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3∴2131b k b -=+⎧⎨-=-+⎩，解得：31b k =-⎧⎨=⎩，即函数解析式为：y=|x -1|-3．（2）图象如下：图象关于直线x=1对称，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，函数的最小值为-3． （3）图象如下，观察图像可得不等式|kx -1|+b≤3x-的解集为：1≤x≤3或-3≤x<0． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．7．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数⎪⎩⎪⎨⎧>--≤=)1(1)1(2x x x x y 的图象与性质．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ① 点()15,A y -，27,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，15,2C x ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,6D x 在函数图象上，1y 2y ，1x 2x ；（填“＞”，“＝”或“＜”）② 当函数值2y =时，求自变量x 的值；③ 在直线1x =-的右侧的函数图象上有两个不同的点()33,P x y ，()44,Q x y ，且34y y =，求34x x +的值；④ 若直线y a =与函数图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①<，<；②3x =或1x =-；③342x x +=；④0<<2a . 【解析】 【分析】(1)描点连线即可；(2)①观察函数图象，结合已知条件即可求得答案； ②把y=2代入y=|x -1|进行求解即可；③由图可知1x 3-时，点关于x=1对称，利用轴对称的性质进行求解即可； ④观察图象即可得答案. 【详解】 (1)如图所示： (2)①()1A 5,y -，27B ,y 2⎛⎫- ⎪⎝⎭， A 与B 在1y x=-上，y 随x 的增大而增大，12y y ∴<；15C x ,2⎛⎫⎪⎝⎭，()2D x ,6， C 与D 在y=|x 1|-上，观察图象可得12x <x ， 故答案为<，<； ②当y 2=时，12x =-，1x 2∴=-(不符合)， 当y 2=时，2x 1=-，x 3∴=或x 1=-； ③()33P x ,y ，()44Q x ,y 在x=1-的右侧，1x 3∴-时，点关于x=1对称，34y y =， 34x x 2∴+=；④由图象可知，0<a<2.【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．。
【高中数学】绝对值函数的图像
1.一个绝对值函数图像（“V ”函数）y m a x =-
2.二个绝对值函数()()f x a x m b x n m n =-+-< 其它可以化为这种形式 写成分段形式()()()(),,,a b x am bn x n f x a b x am bn m a b x am bn x x n m +-->⎧⎪=--+⎨⎪-+++<⎩
从图中可以得到一些有用的结论：
当0a b +=时，()f x 有最大值和最小值
当0a b +>时，()f x 有最小值
当0a b +<时，()f x 有最大值
都在分界点取最值！
分三大类0,0,0a b a b a b +=+>+<共8个图
①当0a b +=时有两种情形
【高中数学】绝对值函数的图像
a b+>时有三种情形
②当0
a b+<时有三种情形
③当0
注：对于三个以上的绝对值函数图像，用同样的方法可以得到。
（高考很难见到！）三个以上绝对值配合图像求最值：奇尖偶平，取中间。
绝对值函数的图像与性质
绝对值函数的图像与性质绝对值函数是数学中常见的一类函数。
它使用绝对值符号来表示，可以用一条直线段来表示其图像。
本文将详细讨论绝对值函数的图像与性质。
1. 绝对值函数的定义绝对值函数通常表示为|x|，表示x与原点的距离。
其定义如下：|x| = {x，x≥ 0−x，x < 0其中，x为实数。
2. 绝对值函数的图像由于x与原点的距离是非负的，绝对值函数的图像总是处于原点的左侧。
当x≥ 0时，绝对值函数的图像与x轴重合，即为x = x。
当x < 0时，绝对值函数的图像为一条通过原点的与x轴对称的直线段，斜率为-1，即为x = -x。
3. 绝对值函数的性质绝对值函数具有以下几个重要的性质：性质1：非负性对于任意实数x，绝对值函数的值都是非负数，即|x| ≥ 0。
性质2：对称性绝对值函数关于原点对称，即对于任意实数x，有|−x| = |x|。
性质3：单调性当x > x时，有|x| > |x|。
反之，当x < x时，有|x| < |x|。
性质4：三角不等式对于任意实数x和x，有|x + x| ≤ |x| + |x|。
三角不等式表示绝对值函数的加法性质，即两个数的绝对值之和大于等于它们的和的绝对值。
性质5：零点判定当且仅当x = 0时，有|x| = 0。
4. 绝对值函数的应用绝对值函数在实际问题中有广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：应用1：距离计算绝对值函数可以用于计算两个点之间的距离。
例如，在数轴上，点x的坐标为x，点x的坐标为x，则点x和点x之间的距离为|x−x|。
应用2：温度变化绝对值函数可以用于表示温度的变化范围。
例如，在某城市中，某天的最高气温为10摄氏度，最低气温为-5摄氏度。
则该城市这一天的气温变化范围为|10−(−5)| = 15摄氏度。
应用3：经济收益绝对值函数可以用于描述经济收益的情况。
例如，某企业的利润为x万元，通过绝对值函数|x|可以表示利润的绝对值。
含绝对值函数图像处理之我见
含绝对值函数图像处理之我见作者：喻国标来源：《学生周报·教师版》2013年第16期高中数学的函数作图中，常出现函数的自变量或因变量带有绝对值符号的函数，对于此类函数图像的作法不仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨，本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。
一、含绝对值函数的六种类型：已知函数y=f（x），x∈R，x叫做函数的自变量；y叫做函数的应变量（函数值）。
①对自变量x取绝对值：y=f（x），x∈R；②对应变量y取绝对值：y=f（x），x∈R；③对x，y全都取绝对值：y=f（x），x∈R；④对整个函数取绝对值：y=f（x），x∈R；⑤对x，f（x）都取绝对值：y=f（x），x∈R；⑥部分自变量取绝对值：y=f（x，x），x∈R。
二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法：①对自变量x取绝对值y=f（x），x∈R；：【函数性质分析：】已知函数y=f（x），x∈R；，设（x，y）是函数图象上任意一点，则该点与点（-x，y）关于y轴对称。
因为点（x，y）与（-x，y）都在函数y=f（x）上，所以其函数图象关于y轴对称。
【作图步骤：】（1）作出函数y=f（x）的图象；（2）保留x>0时函数y=f（x）的图象；（3）当x【作图展示：】作函数y=f（x）=2x-2的图像②对应变量y取绝对值：y=f（x），x∈R；【函数性质分析：】已知函数y=f（x），x∈R，设（x，y）是函数图象上任意一点，则该点与点（x，-y）关于x轴对称。
因为点（x，y）与（-x，y）都在函数y=f（x）上，所以其函数图象关于x轴对称。
【作图步骤：】（1）作出函数y=f（x）的图象；（2）保留y>0时函数y=f（x）的图象；（3）当y【作图展示：】作函数y=f（x）=2x-2的图象③对x，y全都取绝对值：y=f（x），x∈R；【函数性质分析：】已知函数y=f（x），x∈R，设（x，y）是函数图象上任意一点，它与点（x，-y）关于x 轴对称、与点（x，-y）关于 y轴对称且与点（-x，-y）关于原点对称。
对称性应用(一)——含绝对值函数的图象
对称性应用（一）——含绝对值函数的图象熊明军 在学习函数时，若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”，再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨。
图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。
函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。
本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。
一、含绝对值的函数常见情况的分类：已知函数()R x x f y ∈=,，x 叫做函数的自变量；y 叫做函数的应变量（函数值）。
①对自变量x 取绝对值：()R x x f y ∈=,；②对应变量y 取绝对值：()R x x f y ∈=,； ③对y x ,全都取绝对值：()R x x f y ∈=,；④对整个函数取绝对值：()R x x f y ∈=,； ⑤对()x f x ,都取绝对值：()R x x f y ∈=,；⑥部分自变量取绝对值：()R x x x f y ∈=,,。
二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法：①对自变量x 取绝对值：()R x x f y ∈=,【特征分析：】 已知函数()R x x f y ∈=,，设()y x ,是函数图象上任意一点，则该点与点()y x ,-关于y 轴对称。
因为点()y x ,与()y x ,-都在函数()x f y =上，所以其函数图象关于y 轴对称。
【作图步骤：】（1）作出函数()x f y =的图象；（2）保留0>x 时函数()x f y =的图象；（3）当0<x 时，利用对称性作出（2）中图象关于y 轴对称后的图象。
【作图展示：】作函数()22-==xx f y 的图象→【特征分析：】 已知函数()R x x f y ∈=,，设()y x ,是函数图象上任意一点，则该点与点()y x -,关于x 轴对称。
因为点()y x ,与()y x -,都在函数()x f y =上，所以其函数图象关于x 轴对称。
绝对值函数的图象
这 正是三 角 形 里 成 立 的 余弦定 理 厂 容 见
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由此 可
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绝 对 值 函 数 的 图 象
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例1
的图象
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画 函数
g =
迅速 画 出 绝 对值 函 数 的 图 象 关键 在 于 能否 正 确处理 绝 对值符 号 本文 将介 绍 画 这类 函 数 的
图象的 基本 方 法 和 特 殊 方法
.
欲准 角
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绝对值函数图像的画法
首先要从简单的绝对值函数画起。
2x y ：是一条以0,2为拐点的折线。
或者可以理解为将直线
2x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去然后再着手于复杂的图像的画法。
221
121
x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。
（叠加后直线的斜率不同）
其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。
最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。
122x x y
，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y 的图像总会关于a x 轴对称，故x y 21关于y 轴对称，又122x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。
绝对值函数图像的画法
起首要从简略的绝对值函数画起.
2-=x y ：是一条认为()0,2拐点的折线.
或者可以懂得为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去 然后再着手于庞杂的图像的画法.
221121-++=x x y ,先单独画出两个绝对值的图像,再合到一路.（叠加后直线的斜率不合）
个中-2和4由两个绝对值为零算的,3为由x=-2和x=4算得的y 值. 最后,最庞杂的二次函数中的绝对值的画法.
122--=x x y ,很显然绝对值是将x 变成正数,由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称,故x y 21-=关于y 轴对称,又122-=x y 也关于y 轴对称,所以图像归并起来就轻易多了.。
正方形绝对值函数图像画法总结
正方形绝对值函数图像画法总结今天我就来和大家分享一下吧。
正方形绝对值函数有三个解析式：x=-1/(1- sinx)， x=1/2， x=3/4。
当且仅当正方形内部对角线互相垂直时，正方形内部各点的横坐标与纵坐标的差都为0，此时它们都可以表示为一个常数 c。
但是正方形不能单独使用函数图像表达其面积，而必须把正方形作为一个整体考虑，通过分割将这些表达在一起，即由点到面积的映射来确定函数的值域，从而得出函数的具体解析式。
首先需要指明的是，正方形绝对值函数的解析式和它所代表的图象都是在平面上描绘出来的，因此它只是研究函数的一种特殊方式，本质还是利用实数系进行运算，而其他类型的函数也可以借鉴这种思想。
例如，直线上的点到直线的距离的两种情况、抛物线中心点的轨迹等。
其次，在一般函数学习的基础上，简化了很多复杂的计算过程。
另外，与直线相交的直线段中垂线的斜率是负值。
最后，还需说明的是：正方形绝对值函数在解题时主要应用了对称性原理。
在求函数值域问题中，往往存在一些特殊位置关系或者具有某种对称性。
通过分别找出函数图像的对称轴及反对称轴，并根据函数对称轴及反对称轴上的点来判断函数值域。
正方形绝对值函数的图像很好地展现了自变量取决于因变量的对称关系，由对称性的引入可使问题易于处理，也有助于突破数列难点，让函数概念更加清晰。
同时，利用正方形绝对值函数的对称性，便于建立变量间的等量关系，将其转化成求函数值域的问题。
还有在多元函数问题中，常会遇到当 n 个变量的乘积仍为常数，然后再对各变量做变号处理，求该常数的几何意义的问题，利用正方形绝对值函数的对称性便于操作，这里就不赘述了。
第一种情况是，若正方形对角线所围成的矩形中，对角线两边长度之比等于1.5:1时，则该函数解析式为 x=-1/(1- sinx);若正方形对角线所围成的矩形中，对角线两边长度之比小于1.5:1时，则该函数解析式为 x=1/2;若正方形对角线所围成的矩形中，对角线两边长度之比大于1.5:1时，则该函数解析式为 x=3/4。
[原创]绝对值函数的作图
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[原创]绝对值函数的作图
绝对值函数的作图
大罕
含绝对值的函数分为三种情况。
一是函数式的一部分含有绝对值另一部分不含（称为部分“绝”）；二是函数式整个在绝对值之下（称为整体绝）；三是凡x处含有绝对值（称为x绝）。
本文的独到之处就是总结出以上三种情况，这样教给学生，脉络清晰，易懂好记，效果显著。
一部分“绝”——化为分段函数，分段画；
例⑴ y=|x-2|(x+1)
例⑵ y＝|x2－2x－3|－x
二整体绝——上留下翻（x轴上方的图像保留，x轴下方的图像翻转上去）
例⑶ y＝|2x2+x－1| ；
例⑷ y=|1/(x-1)| ；
三 x绝——右留翻左（y轴右方的图像保留，并把它翻转到y轴左方去）
例⑸ y＝2x2+|x－1| ；
例⑹ y=1/(|x|-1) ．。
高中数学人教A版必修一1.1函数的表示：含绝对值的一次函数
含绝对值的一次函数含绝对值的函数问题是近年来高考及县市级统考中的热点问题.由于绝对值本身的意义,解决此类问题一般是需要讨论的.当然,如果我们比较熟悉它,有时可以有比较简单的方法的.解决含绝对值的函数的问题,方法大致有:⑴分类讨论:通过讨论,去掉绝对值符号;⑵数形结合:通过画图,寻求问题的几何意义,从而是比较简单地求解.例1.画出()3|2|1f x x =+-的图像总结：此类绝对值函数的性质与图像特征（V 型或倒V ）；变式1.若函数()||2f x a x b =-+在区间(2,)+∞上为增函数，则实数a,b 的取值范围是________.变式 2.对,a b R ∈，记,max{,},a a b a b b a b≥⎧=≤⎨<⎩，则函数()max{|1|,|2|}()f x x x x R =+-∈的最小值是_________.变式3.已知函数|}||,1min(|)(a x x x f -+=的图像关于直线2=x 对称,则实数a = _______.变式4.y k x a b =--+的图象与y k x c d =-+的图象（0k >且13k ≠）交于两点（2,5），（8,3），则c a +的值是( )A ．7B ．8C ．10D ．13变式5.已知函数()|2|f x x =-，()|3|g x x m =-++，若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求m 的取值范围.变式6(2017浙江高考). 17.已知∈a R ，函数()4=+-+f x x a a x 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是例2⑴.画出函数|2||1|)(++-=x x x f 的图像. ⑵.画出函数|2||1|)(+--=x x x f 的图像.⑶.画出函数|2||12|)(++-=x x x f 的图像. ⑷.画出函数|2||12|)(+--=x x x f 的图像.总结：此类绝对值函数的性质与图像特征（U 型或倒U ）；变式1.若函数()|1|||f x x x a =++-的图像关于直线1x =对称，则a 的值为______.变式2设函数()3|4|||f x x x a =-+-，则()f x 的最小值为3，则a =________.变式3若关于x 的不等式|1||2|x x a ---<的解集为R ，求a 的取值范围；变式4.函数()()(2)f x x a x a x =+-+-的图象为中心对称图形，则实数a 的值为 .变式 5.将函数1112122y x x =-+-+的图像绕原点顺时针方向旋转角02πθθ≤≤（）得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则θ的取值范围是 ．参考答案:例1.画出()3|2|1f x x =+-的图像总结：归纳此类绝对值函数的性质与图像特征（V 型或倒V ）；变式1.若函数()||2f x a x b =-+在区间(2,)+∞上为增函数，则实数a,b 的取值范围是________. 0,2a b >≤变式 2.对,a b R ∈，记,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=≤⎨<⎩，则函数()max{|1|,|2|}()f x x x x R =+-∈的最小值是_________. 32变式3.已知函数|}||,1min(|)(a x x x f -+=的图像关于直线2=x 对称,则实数a = _________. 5变式4.y k x a b =--+的图象与y k x c d =-+的图象（0k >且13k ≠）交于两点（2,5），（8,3），则c a +的值是( )A ．7B ．8C ．10D ．13C变式5.已知函数()|2|f x x =-，()|3|g x x m =-++，若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求m 的取值范围.m<5变式6(2017浙江高考). 17.已知∈a R ，函数()4=+-+f x x a a x在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是9-，2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦ 例2⑴.画出函数|2||1|)(++-=x x x f 的图像. ⑵.画出函数|2||1|)(+--=x x x f 的图像. ⑶.画出函数|2||12|)(++-=x x x f 的图像. ⑷.画出函数|2||12|)(+--=x x x f 的图像.变式1.若函数()|1|||f x x x a =++-的图像关于直线1x =对称，则a 的值为______.3变式2设函数()3|4|||f x x x a =-+-，则()f x 的最小值为3，则a =________. 17或变式3若关于x 的不等式|1||2|x x a ---<的解集为R ，求a 的取值范围；1a >变式4.函数()()(2)f x x a x a x =+-+-的图象为中心对称图形，则实数a 的值为 . 32- 变式 5.将函数1112122y x x =-+-+的图像绕原点顺时针方向旋转角02πθθ≤≤（）得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则θ的取值范围是 ．[0,)4π。
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含绝对值的函数图象的画法及其应用
一、三点作图法
三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。
步骤是：①先画出V 型图顶点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点；
③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。
例1. 作出下列各函数的图象。
（1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。
解：（1）顶点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-121
，，两点（0，0），（1，0）。
其图象如图1所示。
图1
（2）顶点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-121，，两点（－1，0），（0，0）。
其图象如图2所示。
图2
注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。
函数图象关于直线a
b x -
=对称。
二、翻转作图法
翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。
步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数
)(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象；
③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。
例2. 作出下列各函数的图象。
（1）|1|||-=x y ；（2）|32|2--=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。
解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图
4。
图4就是要画的函数图象。
图3 图4
（2）先作出322
--=x x y 的图象，如图5。
把图5中x 轴下方的图象翻上去，得到图6。
图6就是要画的函数图象。
图5 图6
（3）先作出)3lg(+=x y 的图象，如图7。
把图7中x 轴下方的图象翻上去，得到图
8。
图8就是要画的函数图象。
图6 图7
三、分段函数作图法
分段函数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图，这种方法是画含有绝对值的函数的图象的有效方法。
例3. 作出下列函数的图象。
（1）1||22+-=x x y ；（2）|1||1|-++=x x y ；（3）|32|2
--=x x y 。
解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+-=+-=)0(12)0(121||2222x x x x x x x x y 图9就是所要画的函数图象。
（2）⎪⎩
⎪⎨⎧><<--≤-=-++=)
1(2)11(2
)1(2|1||1|x x x x x x x y 图10就是所要画的函数图象。
（3）|32|2--=x x y
⎪⎩⎪⎨⎧<--++-≥----=)
032(32)032(322222x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧<<-++-≥-≤--=)31(32)31(3222x x x x x x x 或 图11就是所要画的函数图象。
图9 图10 图11
注：分段函数作图法是画含绝对值函数的图象的常规之法。
三点作图法、翻转作图法虽然简便，但要注意适应的题型，第（3）小题也可用翻转作图法，有兴趣的同学不妨试一
试。
四、应用
把数化为形是“数形结合”思想。
利用图形的直观性化难为易，有事半功倍之效，简洁明快之感。
1. 求函数值域。
例4. 求函数|1||1|-++=x x y 的值域。
解：由图10知函数的值域为)2[∞+，。
2. 求函数的单调区间。
例5. 求函数|32|2
--=x x y 的单调递增区间。
解：由图6知函数单调递增区间为［－1，1］ )3[∞+，。
3. 求方程解的个数。
例6. 求方程|)3lg(|1||22+=+-x x x 解的个数。
解：方程|)3lg(|1||22+=+-x x x 解的个数就是函数1||22+-=x x y 的图象与函数|)3lg(|+=x y 的图象在同一坐标系中交点的个数。
由图12知两个函数图象有5个交点，所以方程|)3lg(|1||22+=+-x x x 有5个解。
图12。