圆的性质及定理
圆的性质与定理
圆的性质与定理圆是几何学中的重要概念之一，具有许多独特的性质与定理。
本文将探讨圆的性质与定理，帮助读者更好地理解和应用圆的相关知识。
一、圆的定义圆是由平面上所有到一个固定点距离相等的点构成的集合。
这个固定点称为圆心，到圆心距离相等的线段称为半径。
用符号"O"表示圆心，符号"r"表示半径，圆的表示方法为“⭕O(r)”。
二、圆的基本性质1. 圆的任意两点与圆心的距离相等。
2. 圆的半径是其上任意一条线段的长度。
三、圆的定理1. 切线定理在圆上，从圆外一点引一条切线，切点与切线上这个点连线构成的角为直角。
2. 弧与角定理圆上的弧都对应着一定的角度，且弧度与弧长之间存在以下关系：弧长 = 半径 ×弧度。
3. 弧的夹角定理两条弧的夹角等于它们所对应的圆心角的一半。
4. 弧的角度定理圆的一周对应的弧长为360度。
5. 弦定理在圆上，连接两点形成的线段叫做弦。
当两条弦的交点在圆内时，交点两侧弦的长度之积等于交点所在的直径的长度之积。
6. 弧的角平分线定理一条弧的角平分线等于它所对应的圆心角的一半。
7. 弦切定理在圆上，连接圆内一点与该点和圆心之间交点形成的弦，与从该点引出的切线垂直。
8. 弧切定理在圆上，连接圆内一点与该点所在的弧上两点形成的弦，与从该点引出的切线垂直。
9. 弧线辅助角定理圆上两点和圆心连线形成的角等于这两点所对应的圆弧的一半。
10. 垂径定理在圆上，从圆心引一条与弦垂直的线段，该线段叫做垂径。
垂径恰好平分弦。
11. 弦心角定理弦心角等于它所对应的弧的一半。
12. 圆的对称性圆具有无穷多个对称轴，其中最重要的是直径，即通过圆心且与圆上两点相连形成的线段。
综上所述，圆是由所有到圆心距离相等的点构成的集合，它具有许多独特的性质与定理。
通过了解和应用这些性质与定理，我们可以更好地理解圆的特点，解决与圆相关的几何问题。
无论是平面几何还是立体几何等领域，圆的性质与定理都是基础且重要的知识点。
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的基本图形之一，它具有许多独特的性质和定理。
在本文中，我们将探讨圆的性质以及与之相关的一些定理。
一、圆的定义与基本性质圆可以被定义为平面上所有到一个给定点距离相等的点的集合。
这个给定点被称为圆心，而到圆心的距离被称为半径。
圆的基本性质包括以下几点：1. 圆的直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点都在圆上。
直径的长度是半径长度的两倍。
2. 圆的周长是圆上任意两点之间的弧长，它等于圆的直径乘以π（pi）。
周长也可以被称为圆的周长。
3. 圆的面积是圆内部所有点的集合。
圆的面积等于半径的平方乘以π。
二、圆的相关定理在圆的研究中，有一些重要的定理被广泛应用。
下面我们将介绍其中几个。
1. 弧长定理弧长定理指出，在同一个圆上，两个弧所对应的圆心角相等时，它们的弧长也相等。
这个定理可以用来求解弧长，也可以用来证明一些与圆有关的性质。
2. 弧度制与角度制弧度制是一种用弧长来度量角度大小的方法。
在弧度制中，一个圆的周长被定义为2π弧度。
而角度制是我们常用的度量角度大小的方法。
两者之间可以通过一定的换算关系进行转换。
3. 切线定理切线定理是指与圆相切的直线与半径所构成的角是直角。
这个定理在解决与圆相关的几何问题时非常有用，可以帮助我们确定切线的位置和方向。
4. 正切定理正切定理指出，与圆相切的半径与切线所构成的角的正切值等于切线上相应弧所对应的角的正切值。
这个定理可以用来求解与切线相关的角度问题。
5. 弦切角定理弦切角定理是指，当一个弦与切线相交时，切线与弦所夹的角等于弦上所对应的弧所对应的角的一半。
这个定理可以用来求解与弦和切线相关的角度问题。
三、圆的应用圆的性质和定理在实际生活中有着广泛的应用。
以下列举几个例子：1. 圆的运动轨迹当一个点以固定的速度绕着另一个点旋转时，它的轨迹是一个圆。
这个性质被广泛应用在天文学中，用来描述行星、卫星等天体的运动。
2. 圆形建筑与设计圆形建筑具有独特的美学效果和结构稳定性。
圆的性质与相关定理
圆的性质与相关定理圆是几何学中的一种基本图形，它不仅在数学中有着重要的地位，也在日常生活中随处可见。
圆的性质和相关定理为我们理解和应用圆提供了基础。
本文将从多个角度探讨圆的性质和相关定理。
一、圆的基本性质圆是由一组等距离于圆心的点组成的。
圆心是圆的中心点，所有的点到圆心的距离都相等，这一性质被称为半径。
半径的长度决定了圆的大小。
圆上的任意一点到圆心的距离称为半径。
圆上的任意两点之间的距离称为弦，而弦的长度决定了圆的直径。
直径是圆上最长的弦，它的长度等于两倍的半径。
二、圆的周长和面积圆的周长是指圆的边界长度，也被称为圆周。
根据圆周的性质，我们可以得出圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。
这个公式告诉我们，圆的周长与其半径成正比。
圆的面积是指圆所占据的平面的大小。
根据圆的性质，我们可以得出圆的面积公式：A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。
这个公式告诉我们，圆的面积与其半径的平方成正比。
三、圆的切线和切点切线是与圆相切的直线。
根据圆的性质，切线与半径垂直相交。
圆上的切点是切线与圆相交的点。
根据圆的性质，切点与半径在切点处的切线垂直相交。
四、圆的相交和相切当两个圆相交时，它们的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，但大于两个圆的半径之差。
当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，它们相切于一个点。
当两个圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和时，它们不相交。
五、圆的切圆和切线当一个圆与另一个圆相切时，它们的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和。
在这种情况下，我们可以通过连接两个圆心，并将连接线延长到圆的外部，找到两个圆的切线。
这两条切线与连接线垂直相交。
六、圆的角度和弧度圆的角度是指圆心所对应的弧所占据的比例。
圆的角度被度量为360度。
圆的弧度是指圆心所对应的弧所占据的长度比例。
圆的弧度被度量为2π弧度。
根据圆的性质，我们可以得出角度和弧度之间的转换关系：1弧度=180/π度。
圆的性质知识点总结
圆的性质知识点总结圆是数学中一个非常重要的几何图形，它具有许多独特而有趣的性质。
下面我们就来详细总结一下圆的性质知识点。
一、圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
二、圆的相关元素1、圆心圆心是圆的中心，用字母“O”表示。
2、半径连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母“r”表示。
在同一个圆中，半径都相等。
3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母“d”表示。
直径是圆中最长的弦，且直径等于半径的 2 倍，即 d ＝ 2r 。
4、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
5、弧圆上任意两点间的部分叫做弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
6、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
7、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
三、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
5、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补。
四、圆的周长和面积1、圆的周长圆的周长 C ＝2πr 或 C ＝πd ，其中π是圆周率，约等于 314 。
圆的性质与相关定理
添加标题
应用：圆幂定理在几何学中有着广泛的应用，如在解决几何问题、证明定理等方面。
添加标题
证明：可以通过构造法、反证法等方法证明圆幂定理。
圆周角定理定义：圆周角等于所夹 弧所对的圆心角的一半
圆周角定理
圆周角定理的应用：在几何问题中， 常用来证明角相等或线段相等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
圆周角定理证明方法：利用圆内接 四边形性质进行证明
夹角
圆与圆的位置关系
相交：两圆有且仅有一个公共点 相切：两圆有一个公共点 相离：两圆没有公共点 内含：一个圆在另一个圆内
切线定理
切线定理定义：经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是圆的切线。
切线定理证明：利用反证法，假设过半径外端点与半径不垂直的直线是切线，则 会出现矛盾。 切线定理的应用：在几何问题中，常常利用切线定理来判断某条直线是否为圆的 切线。
切线定理的推论：若一直线同时为圆的两条切线，则该直线经过圆心。
定义：弦长定理是圆中一条弦与经 过这条弦的两个端点的直径所截得 的弧成比例
弦长定理
应用：弦长定理在几何学中有着广 泛的应用，可以用来证明一些与圆 相关的定理和性质
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
公式：若弦被直径所截得的弧度数 分别为θ1和θ2，则弦长L与直径D 的关系为L/D=θ1/θ2
圆周角定理的推论：在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的圆周角也相等
汇报人：XX
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
Hale Waihona Puke 目录圆的基本性质圆上三点确定一 个圆
圆的十大定理
圆的十大定理一、圆上三点确定一个圆的定理一个圆的确定需要三个不共线的点。
这三个点可以用来确定圆心和半径，从而确定一个唯一的圆。
二、垂径定理如果一条直线通过圆心，则该直线将圆分成两个相等的部分，且该直线与圆的两部分都垂直。
这个定理是圆的几何性质中的基本定理之一。
三、圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，反之亦然。
这个定理是圆的基本性质之一，是几何学中重要的定理之一。
四、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
这个定理在几何学中非常重要，是解决许多与圆相关的问题的基础。
五、直径所对的圆周角为直角定理直径所对的圆周角是直角。
这个定理是基本的几何性质之一，也是解决许多问题的基础。
六、圆内接四边形的对角互补定理圆内接四边形的对角互补，即一个内角等于它的对角的补角。
这个定理是解决与圆相关的四边形问题的关键之一。
七、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
这个定理在解决与圆相关的比例问题中非常有用。
八、相交弦定理若两弦交替相交于圆内，则这两弦与圆的交点所形成的线段长度的乘积等于这两弦长的乘积的一半。
这个定理在解决与弦和交点相关的问题中非常有用。
九、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半。
这个定理在研究弦、切线和角度之间的关系时非常有用。
十、两圆连心线段垂直平分两圆公共弦定理两个相交圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
这个定理是解决与两个相交圆的公共部分相关的问题的基础。
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。
在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。
圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。
半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。
2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。
圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。
4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。
直径是最长的弦。
5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。
角度是以度为单位的度量，用符号°表示。
二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。
2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。
3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。
4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。
5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。
6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。
三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。
4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。
总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。
通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。
希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。
圆的知识归纳
BbaC 圆的知识归纳一、圆的基本性质：1、圆的有关概念：（1）圆的两种定义（2）弦，（直径是最长的弦）（3）弧⎧⎨⎩优弧劣弧等弧：能够互相重合的弧（弧有长度也有度数）（4）圆中两种角⎧⎨⎩圆心角顶点在圆心的角圆周角顶点在圆上角的两边都与圆相交的角2、圆的性质：（1）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形（2）垂径定理：一条直线①经过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的一条弧⑤平分弦所对的另一条弧说明：其中（2）条⇒其余（3）条，其中①②⇒③④⑤是垂径定理记住：半弦，半径，弦心距构成RtΔ(3)五量关系定理：（弧、弧所对圆心角、弧所对圆周角、弦、弦心距）一⇒四（4）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆满心角的一半。
推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径。
（5）圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于内对角。
（6二、点、直线与圆的位置关系：（1）点与圆的位置关系：点在圆外⇔d＞r 点在圆上⇔d=r 点在圆内⇔d＜r不在同一直线上的三个点确定一个圆反证法的步骤：①假设命题的绪论不成立②从这个假设出发，经过推理论证。
得出矛盾③由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
（2）直线与圆的位置关系：（相离、相切、相交）直线与圆的位置关系的判定方法①用交点个数②直线与圆相离⇔d＞r ，直线与圆相切⇔d=r 直线与圆相交⇔d＜r切线的判定方法：①d=r⇒直线与圆相切（不知直线过圆上的点时用）（常作d）②判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(常连点和圆心)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
（常连切点和圆心）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
三角形的四心：重⎧⎨⎩内心内切圆圆心三条角平分线的交点到三边距离相等外心外接圆圆心三边中垂线交点到三个顶点距离相等（垂心心）等边三角形内心、外心重合直角三角形内切圆半径2a b cr+-=任意三角形内切圆半径2A B CSra b c∆=++1()2A B CS a b c r∆=++切线长1()2A E A F a b c==+-（3）圆和圆的位置关系：d R r⇔+⎧⎨外离相离d R r⇔=+⎧⎨外切相切⇔-+相交三、与圆有关的计算：（1）正多边形和圆：中心角360n nα︒=边半、半径、边心距构成RtΔ(2)弧、扇形、圆锥：弧长180n Rlπ=213602n RS lRπ==扇形S Rlπ=圆锥侧2S rl rππ=+圆锥全四、圆中常见辅助线：半径与弦长计算，弦心距来中间站圆上若有一切线，切点圆心半径连．切线长度的计算，勾股定理最方便．要想证明是切线，半径垂线仔细辨．是直径，成半圆，想成直角径连弦．弧有中点圆心连，垂径定理要记全．圆周角边两条弦，直径和弦端点连．要想作个外接圆，各边作出中垂线．还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦．若是添上连心线，切点肯定在上面．要作等角添个圆，证明题目少困难．辅助线，是虚线，画图注意勿改变．假如图形较分散，对称旋转去实验．基本作图很关键，平时掌握要熟练．解题还要多心眼，经常总结方法显．切勿盲目乱添线，方法灵活应多变．分析综合方法选，困难再多也会减．虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
圆的基本性质与定理
圆的基本性质与定理一有关圆的基本性质与定理⑴圆的确定：画一条线段,以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆.圆与直线相切圆的对称性质：圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条通过圆心的直线.圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧.逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的2条弧. ⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两组弧,两条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.直径所对的圆周角是直角.90度的圆周角所对的弦是直径. 如果一条弧的长是另一条弧的2倍,那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍. ⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆.外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形三边距离相等.③R=2S△÷L（R：内切圆半径,S：三角形面积,L：三角形周长）④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）⑤圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点. （4）如果两圆相交,那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦. （5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数. （6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. （7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. （8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半. （9）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半.〖有关切线的性质和定理〗圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端,并且垂直于这条半径的直线,是这个圆的切线. 切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.（3）圆的切线垂直于经过切点的半径. 切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等,那点与圆心的连线平分切线的夹角. 〖有关圆的计算公式〗 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长）5.圆锥侧面积S=πrl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长) [编辑本段]【圆的解析几何性质和定理】〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中,以点O（a,b）为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2. 圆的一般方程：把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F＞0）.其中和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2-r^2.该圆圆心坐标为（-D/2,-E/2),半径r=0.5√D^2+E^2-4F. 圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r. 经过圆x^2+y^2=r^2上一点M（a0,b0）的切线方程为a0*x+b0*y=r^2 〖圆与直线的位置关系判断〗平面内,直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0,可得y=（-C-Ax）／B,（其中B不等于0）,代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0.利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。
圆的基本性质
1 【圆的基本性质：】一、圆的有关概念：1、圆的定义：圆上各点到圆心的距离都等于 .2、圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形， 是它的对称中心.3、垂径定理：垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；推论：平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .4、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心 距中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .5、圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .推论： 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .二、与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；若点到圆心的距离为d 和半径r ，则它们之间的数量关系分别为：点在圆上 → d r ， 点在圆外 → d r ， 点在圆内 → d r2、三角形的三个顶点确定 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫 心， 是三角形 的交点，它到 相等。
三、与圆有关的计算：1、 弧长公式为 .2、扇形面积为S = 2R π⨯ = = .3、圆锥的侧面积公式：S =rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的长）。
4、圆锥的全面积公式：S = + 。
【相关中考试题：】1．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A=400，则∠OBC 的度数为 ( )A. 200B. 400C. 800D. 7002．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长是3，则弦AB 的长是 ( )A ．4 B. 6 C. 7 D . 83．下列命题中正确的是( )A ．平分弦的直径垂直于这条弦;B ．切线垂直于圆的半径C ．三角形的外心到三角形三边的距离相等;D ．圆内接平行四边形是矩形4．以下命题中，正确的命题的个数是( )(1）同圆中等弧对等弦． (2）圆心角相等，它们所对的弧长也相等．(3）三点确定一个圆． (4）平分弦的直径必垂直于这条弦．2A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC=200 , D 是弧AC 点，则∠D 是( )A.1200B. 1100C.1000D. 9006．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a, 最小距离为b (a>b)，则此圆的半径为( ) A.2a b + B.2a b - C. 2a b +或2a b - D.a+b 或a-b7．如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD ，若BD=10，DF=4，则菱形ABCD 的边长为（ ）8．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ．则OM 的长为（ )9．在半径为1的圆中，弦AB 、ACBAC 的度数为 .10．如图，扇形OAB 中，∠AOB=900 ，半径OA=1, C 是线段AB 的中点，CD//OA ，交弧AB 于点D ，则CD= .11．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=2, OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB ，点D 在13AC 上，点P 是半径OC 上一个动点， 那么 AP ＋ DP 的最小值等于 .312．如图，已知△ABC 内接于⊙O, AD 是⊙O 的直径， CF ⊥AD, E 为垂足，CE 的延长线交AB 于F ．求证：AC 2=AF ·AB .13．如图，△ACF 内接于⊙O, AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB 于点E ．(1）求证：∠ACE=∠AFC ;(2）若CD = BE=8，求sin ∠AFC 的值．14.如图，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H .(l ）求证：AH ·AB=AC 2 ;(2）若过A 的直线AF 与弦CD （不含端点）相交于点E,与⊙O 相交于点F 、求证：AE ·AF =AC 2 ;(3）若过A 的直线AQ 与直线CD 相交于点P ，与⊙O 相交于点Q ，判断AP ·AQ=AC 2是否成立（不必证明） .15. 如图，AM 是⊙O 的直径，过⊙O 上一点B 作BN ⊥AM ，垂足为N ，其延长线交⊙O 于点C,弦CD 交AM 于点E.(1) 如果CD ⊥AB,求证：EN=NM;(2) 如果弦CD 交AB 于点F,且CD=AB,求证：CE 2=EF ·ED;(3) 如果弦CD 、AB 的延长线交于点F ，且CD=AB,那么（2）的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.。
圆的性质与定理
圆的性质与定理圆是一种具有特殊几何性质的几何图形，它由一条曲线组成，这条曲线上的每一点到圆心的距离都相等。
在数学中，关于圆的性质和定理有很多，它们帮助我们深入理解圆的特点和应用。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：圆心是圆上所有点的中心，用字母O表示。
半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
2. 直径和周长：直径是穿过圆心的两个点之间的距离，等于半径的两倍。
周长是圆的边界长度，等于直径乘以π（圆周率）。
二、圆的重要定理1. 同圆弧定理：如果两条弧所对应的圆心角相等，则这两条弧是同圆弧。
2. 同弦定理：如果两条弦所对应的圆心角相等，则这两条弦是同弦。
3. 弧长定理：圆内任意一段圆弧的长度等于这段圆弧所对应的圆心角的弧度数乘以半径的长度。
即弧长 = 圆心角的弧度数 ×半径。
4. 切线定理：切线与半径垂直。
5. 相切弦定理：从外部一定点引圆的两条切线，这两条切线所夹的弦的长度相等。
6. 弦切角定理：圆内的弦所夹的角等于这条弦所对应的圆心角的一半。
7. 弧切角定理：圆内一条弧与这条弧所对应的切线所夹的角等于这段弧所对应的圆心角的一半。
三、圆的应用1. 圆周率π的计算：π是无理数，它代表了圆的周长与直径的比值。
在计算中常用3.14或22/7作为π的近似值。
2. 圆的面积计算：圆的面积等于半径的平方乘以π。
即面积= π ×半径的平方。
3. 圆的几何画图：在平面几何中，圆的几何画图是重要的基础知识，它包括圆的作图、切线的作图等。
4. 圆与三角形的关系：圆与三角形之间存在着多个重要的性质和定理，如圆内切等著名定理。
综上所述，圆的性质与定理是数学中重要的内容，它们帮助我们更深入地了解圆的特点与应用。
通过学习圆的性质与定理，我们可以解决与圆相关的问题，同时也为进一步学习几何学奠定了坚实基础。
圆的所有定理公式大全
圆的所有定理公式大全圆是几何学中一个重要的基本图形，它具有许多特殊的性质和定理。
在这篇文章中，我们将介绍一些圆的定理和公式，帮助读者更好地理解圆的性质和应用。
1. 圆的基本性质：- 圆是一个平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
- 圆心到圆上任意一点的距离称为半径（r）。
- 圆的直径（d）是通过圆心的一条线段，它等于半径的两倍。
2. 圆的周长和面积：- 圆的周长（C）等于圆的直径（d）乘以π（圆周率）。
C = πd 或C = 2πr- 圆的面积（A）等于半径（r）的平方乘以π（圆周率）。
A = πr²3. 弧长和扇形面积：- 弧长（L）是圆的一部分的弧长。
它等于弧度（θ）乘以半径（r）。
L = θr （其中θ 的单位为弧度）- 扇形面积（A）等于角度（θ）比上360度再乘以圆的面积。
A = (θ/360)πr² （其中θ 的单位为角度）4. 圆的相交性质：- 弦：圆上连接两个点的线段称为弦。
如果一个弦通过圆心，它称为直径。
- 弦切角：如果两个弦的端点相连成一个角，则这个角叫做弦切角。
- 切线：与圆相切且与半径垂直的线段称为切线。
切线与半径的交点称为切点。
- 切线切割定理：一个切点与切点外的任意一点相连，此线段与切线的交点与切点相连的线段平方等于此直线与切线相交的两条弦构成的弧的两个弧度之积。
5. 圆的角度定理：- 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于所对弧所对应的圆周角度数。
- 直径角：直径所对的角称为直径角，它的度数为 180 度。
- 弧角定理：圆上的两条弦所对的圆心角等于它们所对弧所对应的圆周角的一半。
6. 圆的判定定理：- 定理 1：如果一个点到圆心的距离等于圆的半径，那么这个点在圆上。
- 定理 2：如果一个点在圆上，那么它到圆心的距离等于圆的半径。
7. 圆的位置关系：- 外切圆：与一个三角形的三边都相切的圆，叫做该三角形的外切圆。
- 内切圆：与一个三角形的三条边都相切于一个点的圆，叫做该三角形的内切圆。
圆的基本性质与定理
[圆的基本性质与定理]1定理: 不在同一直线上的三点确定一个圆。
(圆的确定）2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形[有关圆周角和圆心角的性质和定理]1定理: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形圆内接四边形的性质与定理]1定理圆的内接四边形的对角互补2定理并且任何一个外角都等于它的内对角3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆[有关切线的性质和定理]1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线2切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 ：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心[圆的其他性质定理]1弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等2①直线L和⊙O相交d＜r ②直线L和⊙O相切d=r ③直线L和⊙O相离d＞r3圆的外切四边形的两组对边的和相等[圆与圆]1如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上2①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r ③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)3定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦4定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形（有关外接圆和内切圆的性质和定理）5定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆6一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
圆的性质与相关定理解析
圆的性质与相关定理解析圆是几何学中一个重要的概念，它具有许多特殊的性质和定理。
本文将对圆的性质和相关的定理进行解析，并探讨它们在几何学中的应用。
一、圆的性质1. 圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
2. 圆的元素：圆心、半径与直径。
圆心是到圆上所有点的距离相等的点；半径是圆心到圆上任意一点的距离；直径是穿过圆心且两端在圆上的线段，它的长度等于两倍的半径。
3. 圆的直径与半径的关系：直径是半径的两倍。
4. 圆的内部与外部：圆内的点与圆心的距离小于半径，而圆外的点与圆心的距离大于半径。
二、圆的定理1. 圆的周长公式：圆的周长等于2π乘以半径（C=2πr）。
2. 圆的面积公式：圆的面积等于π乘以半径的平方（A=πr²）。
3. 弧长定理：在同一个圆中，相同角度的圆心角所对的弧长相等。
4. 圆心角定理：在同一个圆中，圆心角所对的弧长与圆半径的乘积相等。
5. 切线定理：从圆外一点引圆的切线，切线与半径的乘积等于切点与圆心连线的平方。
三、圆的应用1. 圆的建筑应用：圆形建筑物如圆形体育馆、圆形剧场等在设计中能够提供更好的视觉效果和声音传播效果。
2. 圆的导向标识：圆形导向标识常用于道路交通和公共场所，因为圆形具有无起点和终点的特点，能够引导人们快速找到自己的目标位置。
3. 圆的旋转面积：通过将圆绕着轴旋转，可以得到旋转体的体积和表面积。
4. 圆的测量工具：利用圆的性质，我们可以设计制作圆规、圆形罗盘等测量工具。
5. 圆的几何证明：通过应用圆的定理，可以进行各种形式的几何证明，进一步推动几何学的发展。
综上所述，圆具有独特的性质和定理，其在几何学中具有广泛的应用价值。
通过了解和掌握这些性质和定理，我们能够更好地理解和应用圆的相关概念，并将其运用到实际问题中。
在学习和工作中，我们可以通过圆的性质和定理，提高解决问题的能力和几何思维能力。
圆的性质和定理
圆的性质和定理圆是几何中的重要概念之一，它具有许多独特的性质和定理。
在本文中，我们将探讨圆的基本性质以及一些与圆相关的重要定理。
一、圆的性质1. 定义：圆是由平面上与一定点的距离相等的所有点组成的集合。
圆心是圆上所有点的中心，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆周率：圆的周长与直径的比值被定义为圆周率π（pi），它是一个无理数，约等于3.14159。
根据这个定义，圆的周长C可以表示为C = 2πr，其中r是圆的半径。
3. 直径和半径的关系：直径是一条通过圆心的线段，它的长度等于半径的两倍。
换句话说，d = 2r，其中d代表直径，r代表半径。
4. 弧和弦：在圆上，弧是圆上的一段弯曲的部分，而弦则是连接圆上两个点的线段。
任何一条弦对应的弧都是唯一确定的，且弦总是小于或等于圆的直径。
5. 弦的性质：如果两条弦互相垂直，则它们所对应的弧互补。
二、圆的定理1. 弧度制和角度制：在计量角度时，常见的有两种制度，一种是弧度制，另一种是角度制。
弧度制是以圆的半径为单位，角度制是以度为单位。
两者之间的转换关系是2π弧度等于360度。
2. 弧度与圆周角的关系：一条弧所对应的圆周角的弧度数等于这条弧所对应的圆心角的弧度数。
这个定理揭示了圆弧度的重要性，为许多相关问题的解决提供了便利。
3. 切线定理：与圆相切的直线（切线）与半径的相交点处的角是一个直角。
4. 弧长和扇形面积：弧长是弧上的一部分的长度，可以由弧度数乘以半径得到。
扇形面积是由相邻两条半径和其所夹的弧组成的图形的面积，它可以通过半径和所夹的圆心角的弧度数计算得出。
5. 割线定理：在与圆相交的直线上，两个相交点分割的弦的乘积等于这条直线外部线段与这条直线在圆上的切点分割的弦的乘积。
总结：圆具有许多独特的性质和定理，对于几何学的研究和应用有着重要的意义。
掌握了圆的性质和定理，我们可以更好地理解和解决与圆相关的问题。
在实际应用中，圆的性质和定理也被广泛应用于建筑、机械、地理等领域，为问题的解决提供了有效的方法和准确的计算依据。
圆的性质及相关定理在几何问题中的应用
圆的性质及相关定理在几何问题中的应用圆是几何学中的基本图形之一，具有许多独特的性质和定理。
本文将介绍圆的性质，并探讨圆的相关定理在几何问题中的应用。
一、圆的性质1. 定义：圆是由平面上与一个固定点的距离相等于定值的所有点组成的集合。
2. 圆心：固定点称为圆心，通常用字母O表示。
3. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，常用字母r表示。
4. 直径：穿过圆心且两端点在圆上的线段称为直径，常用字母d表示，直径是半径的两倍。
二、圆的相关定理1. 垂径定理：直径垂直于其所在的弦，反之亦成立。
2. 弧与角的关系：圆心角的度数等于对应的弧度，且弧度等于半径所对应的弧长。
3. 弧长定理：弧长等于圆心角的弧度数除以360度乘以圆周长。
4. 切线定理：切线与半径垂直，且切点在半径的延长线上。
5. 弦切角定理：弦切角等于其所对应的弧切角。
三、圆的应用圆的性质和相关定理在几何问题中有广泛的应用，以下是一些例子。
1. 圆的面积和周长计算：利用圆的面积公式S = πr^2和周长公式C = 2πr，可以计算出给定半径的圆的面积和周长。
这在日常生活中的建筑、工程等方面应用广泛。
2. 圆锥体的体积和表面积计算：圆锥体是由一个圆形底面和一个顶点连接而成的立体，利用圆的面积和周长公式，可以计算出圆锥体的体积和表面积，为工程设计和物体测量提供重要的数据。
3. 圆的旋转体积计算：当一个平面图形绕着某条轴线旋转一周，所形成的立体称为旋转体。
圆的旋转体即圆锥体和圆柱体。
在计算机图形学、模型制作、建筑设计等领域，圆的旋转体积计算是一个重要的问题。
4. 圆的几何投影：在工程制图和建筑设计中，常常需要将三维物体的形状投影到平面上。
圆的几何投影可以通过圆的性质和相关定理来计算，为几何图形的绘制和测量提供便利。
总结：圆的性质和相关定理在几何问题中具有重要的应用，涵盖了面积计算、周长计算、体积计算、几何投影等多个方面。
深入理解圆的性质和相关定理，可以更好地应用于实际问题中，为几何学和工程学的发展贡献力量。
圆的性质与定理
圆的性质与定理在数学中，圆是一种基本的几何形状。
它具有一些独特的性质和定理，这些性质和定理对于我们理解和应用圆形至关重要。
本文将介绍圆的性质和一些与圆相关的重要定理。
一、圆的性质1. 定义：圆是由平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点构成的集合。
圆心由大写字母O表示，半径由小写字母r表示。
2. 圆的直径：任意通过圆心并且两端点在圆上的线段称为圆的直径。
直径的长度等于半径的2倍。
3. 圆的弦：圆上任意两点连线段称为圆的弦。
4. 圆的弧：圆上的两点之间的部分称为圆的弧。
5. 圆的切线：与圆仅有一个交点且与切点垂直的直线称为圆的切线。
二、圆的定理1. 圆心角与弧度：圆心角是以圆心为顶点的角，弧度是以半径为半径的圆弧包含的圆心角所对的弧长所对应的角度。
圆心角的大小等于其对应的圆弧的弧度。
2. 弧长公式：已知圆的半径r和圆心角θ的弧长L计算公式为L = r * θ。
3. 正弦定理：在圆上的两条弦所夹的圆心角θ和这两条弦的长度a、b之间存在如下关系：a/sin(θ/2) = b/sin(θ/2) = c/sin(θ/2)，其中c为弦的长度。
4. 余弦定理：在圆上的两条弦之间的夹角θ和这两条弦的长度a、b之间存在如下关系：c² = a² + b² - 2ab*cos(θ/2)。
5. 切线定理：圆上与切点相连的两条切线的交点与圆心的连线垂直。
6. 切割线定理：若直线与圆相交，割线与切线的乘积等于割线与割线的乘积。
7. 相切定理：两个圆相切于一点，切点到圆心的连线垂直于两个切线。
8. 切圆定理：过圆外一点可以作两条切线，两条切线夹角等于切点到该点的连线与圆的半径的夹角的一半。
9. 切割圆定理：若两个相交的圆互为切割，则切点到圆心的连线垂直于相应切线。
三、应用举例1. 圆的计算：对于已知半径r的圆，可以根据公式计算圆的周长和面积。
圆的周长C为2πr，圆的面积S为πr²。
2. 弧长和扇形面积：已知圆心角θ和半径r，可以通过公式计算弧长L和扇形面积A。
初中数学圆的重要概念性质定理总结与解题技巧
初中数学圆的重要概念性质定理总结与解题技巧1. 圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.2. 垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.3. 圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.同样还可以得到：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.4. 圆周角定理及推论圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。
的圆周角所对的弦是直径.5. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.6. 点和圆的位置关系(1)点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内.(2)设(DO的半径为r.点P到圆心的距离OP=d,则有：①点P在圆外od>「；②点P在圆上<=>d=r；③点P在圆内od<r.7. 直线和圆的位置关系(1)直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离.(2 )设。
0的半径为「，圆心0到直线I的距离为d,则有:①直线I和00相交od<「；②直线I和(DO相切od=r；③直线I和00相离od>r.8. 切线的判定定理和性质定理(1) 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂苴于这条半径的直线足圆的切线.(2) 切线的性质定理：|员I的切线垂直于过切点的半径.9. 圆的切线的性质(1) 切线和圆只有一个公共点；(2) 切线和I员］心的距离等于圆的半径；(3) 切线垂直于过切点的半径；(4) 经过恻心且垂直于切线的直线必过切点；(5) 经过切点且垂直于切线的直线必过恻心.10. 切线长经过岡外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到闖的切线长.11 •切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.12. 三角形的内切圆(1) 与三角形各辺都相切的圆叫做三角形的内切圆.(2) 三角形的内切圆的岡心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.13. 圆和圆的位置关系(1)圆和ia的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.(2)如果两圆的半径分别为h和「2( r«2)，圖心距(两岡圆心的距离)为d.则两圆的位置关系如下表;14 •正多边形的有关计算设正多边形的边数为g半径为R,边心距为r,边长为a,则有，(1)正多边形的每个内拜:82卜180。
圆的平面几何性质和定理
圆的平面几何性质和定理
圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。
圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2 条弧。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
有关外接圆和内切圆的性质和定理。
①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）
④圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
圆的特点和性质
圆的特点和性质1 概念：圆是一种有向的平面图案，它是由焦点轴组成的，它主要由半径组成，半径决定了圆的大小，而圆上所有点到圆心的距离是相等的。
2 性质：1. 圆周角定理：任何一个三角形的内部角加起来等于180度；2. 圆心角定理：围绕一个圆心的圆上任意两点之间的圆心角一定相等；3. 同切圆定理：两个圆之间及任意一点到另一圆上任意一点的距离相等；4. 内切圆定理：以一个圆的外接正多边形的逆时针方向的内角的一条边所经过的点，这条边的经过的所有点的距离都是和圆心的距离一致的；5. 外共线圆定理：两个外共线圆的外接正多边形一定是相等的；6. 四等腰圆定理：四等腰圆的四个角夹角的个数就是其他圆的个数；7. 最大圆定理：在一个给定的空间中，其半径最大的圆必定和该空间的边界有关。
3 特点：1. 圆是任何多边形中节点数最少的图形，圆的不变性将被多边形结构的几何形式约束；2. 圆是所有空间与表面形状中最平滑、最美的图形，它的精美的外观让它常用于装饰元素；3. 圆有两个明显的性质：选定一个圆心点后，圆上任意一点到圆心的距离都一致；每个夹角都是相等的，而且角度都是180度；4. 这两个特点使得圆具有平等性与和谐性，它代表着统一、完善、无缝连接；5. 圆形几乎没有任何空隙，几乎是自身位置确定，虽然它没有多余的条纹和特殊的物体，但却具有恒久不变的美；6. 圆也极大的实用性，它是最鼓舞人心的形状，几乎所有的设计布局都采用了圆形，无论是圆柱、圆锥等，圆都深受 ' 音乐、舞蹈、行事历等各类图形的喜爱。
4 应用：圆的特点使它可以用于各种尺寸的雕塑、绘画、金属雕刻、建筑、设计布局等，极大的丰富了设计空间。
由于圆周率等数学知识的发现，可以使得圆更精确，因而在机械精密制造方面它也有很强的实际功能。
它在既实用又美观的设计方面发挥着重要作用，具有重要意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆的性质及定理
圆的初步认识
一、圆及圆的相关量的定义(2８个）ﻫ１.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心,定长称为半径。
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
ﻫ
3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
ﻫ5．直线与圆有３种位置关系：无公共点为相离；有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。
ﻫ６.两圆之间有５种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;有２个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
ﻫ7.在圆上,由２条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
ﻫ二、有关圆的字母表示方法(７个）
圆--⊙半径—r 弧--⌒直径—dﻫ扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—Ｓ
三、有关圆的基本性质与定理（27个)
1.点P与圆Ｏ的位置关系（设P是一点,则PＯ是点到圆心的距离):
P在⊙O外,PO>ｒ;Ｐ在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内,PＯ<ｒ。
ﻫ2．圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。
ﻫ３.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
逆定理：平分弦(不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
ﻫ 4.在同圆或等圆中,如果2个圆心角，2个圆周角,２条弧，２条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
5．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
6.直径所对的圆周角是直角。
9０度的圆周角所对的弦是直径。
ﻫ７.不在同一直线上的３个点确定一个圆。
ﻫ8．一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形3个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形３边距离相等。
9.直线AB与圆O的位置关系（设ＯP⊥AＢ于P，则PO是AB到圆心的距离):
ＡB与⊙Ｏ相离,ＰO>ｒ;AB与⊙O相切，PO=r；AB与⊙O相交，ＰO＜r。
１0.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。
11．圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为R和r，且R≥ｒ,圆心距为P）：ﻫ外离P>R＋r;外切P=R+ｒ;相交R－r＜Ｐ＜Ｒ+ｒ；内切P=R-r;内含P<R-r。
ﻫ四、有关圆的计算公式1．圆的周长C=2πｒ=πd 2.圆的面积Ｓ=πr？? 3.扇形弧长ｌ=nπr/1８0
4.扇形面积S=nπr??／360=rl／2 ５.圆锥侧面积S=πｒlﻫ五圆的方程
1.圆的标准方程
在平面直角坐标系中,以点O(ａ,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是
（x-a)^２+（y-b)^2=r^２
2.圆的一般方程ﻫ把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是ﻫｘ^2+y^２+Dｘ+Ey＋F=0
和标准方程对比,其实D=－２ａ,E＝-2b,Ｆ=a^2+b^２ﻫ相关知识:圆的离心率ｅ=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r.ﻫ六圆与直线的位置关系判断
链接:圆与直线的位置关系(一.5）
平面内,直线Ax+Ｂy+C=O与圆x^２+y^2+Ｄx+Ｅy+F=0的位置关系判断一般方法是
讨论如下2种情况:ﻫ(1)由Ａx+By＋C＝O可得ｙ=（-C－Ax)/Ｂ,[其中Ｂ不等于０],
代入x^2＋y^２+Dx+Ey+Ｆ=０,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0．ﻫ利用判别式ｂ＾２-4ac 的符号可确定圆与直线的位置关系如下:ﻫ如果b^２-4ａc>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交ﻫ如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切
如果b^2-4aｃ＜0，则圆与直线有0交点,即圆与直线相离ﻫ(２)如果Ｂ=０即直线为Ａx+C=０,即x=-C/A.它平行于ｙ轴（或垂直于ｘ轴)ﻫ将ｘ＾2+y^2+Ｄx+Ｅy+Ｆ＝0化为(ｘ-a)^2＋(y-b）^２=r^2 令y＝b,求出此时的两个x值x1，x2,并且我们规定ｘ1<ｘ2ﻫ当x=-C/Ａ<x1或x=－C/Ａ>x2时,直线与圆相离ﻫ当x1＜x＝-C/A<x2时,直线与圆相交
当x=-C/A=ｘ1或ｘ=-C/A=ｘ2时，直线与圆相切。