中学物理中极值问题解法种种

中学物理中极值问题解法种种
卢小柱
极值问题是中学物理中一类内容丰富、难度较大和技巧性较强的物理问题.它要求学生的基础知识和基本技能较熟练,并有较强的综合分析问题和解决问题的能力,以及能熟练地运用数学知识解答物理问题.下面对常见的极值问题的解法作一归纳,以供参考.
1.配方法
若题中物理量的变化规律可表示为二次函数y=ax 2+bx+c 的形式,则经配方有
y=a(x+b a 2)2+442ac b a -.若a>0,则当x=-b a 2时,y 有极小值y min =442
ac b a
-;若a<0,则当x=-
b a 2时,y 有极大值y max =442
ac b a
-.
例1 甲、乙两辆汽车同方向行驶,甲在乙前50m 处以速度20m/s 作匀速直线运动, 乙车的初速度为4m/s,加速度为8m/s 2.试问什么时候甲车在前时,两车相距最远?最远距离是多少?
解: 设运动时间为ts,由运动学公式有 甲的位移为s 1=20t, 乙的位移为s 2=4t+4t 2
两车相距∆s=s 1+50-s 2=50+20t -4t -4t 2=-4t 2+16t+50=-4(t -2)2+66 当t=2s 时, ∆s 有极大值为 ∆s max =66m.
例2 如图1所示的电路中,电源内阻为r,电动势为ε,则当变阻器电阻R 为何值时,电源输出功率最大?
解: 电源输出功率为P=I 2R=(εR r +)2R=ε2222R R Rr r ++ 分母配方后得:P=
ε2
2
4(/)R r R r
-+
故当R r R =/,即R=r 时,分母最小,P 最大.P max =ε2
4r
.
2.判别式法
若物理量的变化关系为二次函数,或者通过巧妙的变换能使物理量出现二次项,则可利用判别式∆=b 2-4ac 来求解.当∆≥0时有实根,∆=0时取极值.
例3 火焰与光屏之间的距离是L,在它们中间放有一个凸透镜,其焦距为f.试证明,要使火焰在光屏上成清晰像,则L 至少要为4f.
证明:设物距为u,像距为v,则u+v=L ……①
由成像公式有:111
u v f
+= ……②
由①②得:u 2-Lu+Lf=0
故要成实像,则必须∆=L 2-4Lf ≥0,解得L 最小为4f.
例4 如图2所示,顶角为2α的光滑圆锥置于磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场中.现有一质量为m 、带电量为+Q 的小球沿圆锥面在水平面内作匀速圆周运动,求小球作圆周运动的最小半径.
解: 小球受力如图,建坐标.由圆周运动知识得
x 方向有: f -Ncos α=m v R
2
……①
y 方向有: Nsin α-mg=0 ……②
又f=QvB ……③
由①②③得: mv 2-QBRv+mgRctg α=0
要方程有实数解,则∆=Q 2B 2R 2-4m 2gRctg α≥0 解得:R ≥4222
m gctg Q B α
,故轨道半径的最小值为
R min =4222m gctg Q B α
.
评注：配方法和判别式法是两种最常用的求解极值问题的方法.一般在求解某极值所满足的条件或某个具体的极值时,可用此法.其解题关键是先由题意列方程,写出一元二次方程式.
3.不等式法
若题中遇到两个物理量(或两项)的和或积为定值,求相应物理量的极值问题,可以用不
等式法来解.其数学原理为:设有变量a,b,且a>0,b>0,则(1) 一定有a ·b ≤(a b +2
)2
,如果
a+b=P(定值),则当a=b 时,a ·b 有极大值为P 2/4;(2)一定有a+b ≥2ab ,如果a ·b=P(定值),则当a=b 时,a+b 有极小值为2P .
例5 如图3,粗细均匀的玻璃管长L=100cm,开口向上竖直放置,上端齐管口有一段长为h=25cm 的水银柱封闭着27℃的空气柱.现使空气柱温度逐渐升高,问欲使管内水银全部溢出,温度至少升至多高?(P 0=75cmHg)
解: 设管内温度升高到TK 时,管内尚有水银xcm,管的横截面积为S,由气态方程有
()()P h L h S T 00
+-=()()P x L x S
T 0+-
代入数据并整理得:T=()()7510025
+-x x
∵(75+x)+(100-x)=175为常数,∴当75+x=100-x,即x=12.5cm 时,T 有极大值为T max =306.25K
例 6 有一辆汽车由甲站出发作匀加速直线运动到达乙站,两站相距S 0.如果加速度a 与汽车每秒的耗油量x 之间的关系为:x=αa+β(α>0,β>0).则汽车在全程中最小耗油量为多少？
解: 汽车运动时间为t=20S a , 故总耗油量为Q=xt=(αa+β)20
S a
两边平方得:Q 2=(αa+β)2·2S 0/a=2S 0(α2a+2αβ+β2/a)
要Q 最少,即要求α2a+β2/a 最小,∵α2a ·(β2/a )= α2β为常数,∴当α2a=β2/a,即a=β/α时,Q 有最小值Q min =220S αβ.
评注：不等式法是一种巧妙地求解极值问题的好方法.运用此法的关键是设法找出(或有意地设置)积或和为定值的两项表达式.如6+x -x 2可转化为(3-x)(2+x),两项因式的和为定
值;又例2中, P=(εR r +)2R 也可转化为ε2
2
(/)
R r R +,这样R 和r R 两项的积成了定值.
图2
图3
然后再选用相应的公式来解.
4.三角函数法
由三角函数的性质有:y=asin θ+bcos θ=a b 22+sin(θ+ϕ),其中ϕ=arctg(b/a).当θ+ϕ=π/2时,函数有极大值y max =a b 22+;当θ+ϕ=0时,函数有极小值y min =0.
例7 如图4,质量为m 的物体放在地面上,它们之间的动摩擦因素为μ,用力F 拉物体,使物体在地面上作匀速运动,力与水平地面间的夹角α多大时,所需力F 最小?
解: 分析物体受力如图,由∑F=0得 Fcos α-f=0 ……① Fsin α+N -mg=0 ……②
f=μN ……③
由①②③得:F=μαμαmg cos sin +=μμαϕmg 12++sin()
,其中tg α=μ∴当α+ϕ=π/2,即α=arctg μ时,F 有极小值为F min =
μμ
mg 12
+. 5.图解法
图解法就是根据物理量之间的几何关系,或物理量与时间等的变化图线(如v −t 图线,s −t 图线)等,利用几何知识或图线的物理意义来求解的一种方法.
例7 一条笔直的河流,水流速度为v 1,船在静水中的速度为v 2,且v 1>v 2,若要船过河时航程最短,则航向(船头指向)与河岸方向的夹角α为多少?
解: 如图5所示,要航程最短,也就是要船的合速度方向与垂直河岸方向的夹角最小.如图,以v 1的矢端A 点为圆心,以v 2的大小为半径作圆弧,然后过O 点作圆弧的切线,切点为B.则当航向为AB 时,合速度方向OB 与垂直河岸方向的夹角最小,航程最短.
∴cos α=v v 12,α=arccos v
v 12.
例8 A 、B 两车停在同一站,某时刻A 以2m/s 2的加速度匀加
速开出,3s 后B 以3m/s 2的加速度与A 同向开出.问
B 车追上A 车之前,在A 运动后多少时间两车相距最远?最远距离为多少?
解: 根据题意作出A 、B 两车的v −t 速度如图6所示
. 由图可知,当t=9s 时,A 、B 相距最远.
最远距离为∆S max =1
2⨯3⨯18=27(m). (即阴影三角形面积)
评注：用图解法求解极值问题具有简洁、生动的特点.通过分析
图线的物理意义能使物理关系一目了然,因而避免了繁杂的数学运
算.运用图解法的关键是选择好合适的图象.
6.数形结合法
例9 在地面上以初速2v 0竖直上抛一物体A 后,又以初速v 0
竖直上抛另一物体 B.若要两物体在空中相遇,则两物体抛出的时间间隔的极大值和极小值分别是多少?
1
图6
解: 以A 物抛出时开始计时,时间间隔为∆t,则两物体的位移分别为:
S A =2v 0t-1
2gt 2,
S B =v 0(t-∆t)-1
2
g(t-∆t)2 分别作出上面两函数的图线如图7所示,要两物体相遇,即要
求两图线有交点.移动图B,很快可看出时间间隔的最小值和最
大值分别为:
∆t min =20v g , ∆t max =40
v g
评注：数形结合法就是结合物理量所满足的函数表达式及其图线来解题的一种方法.它实际上是一种综合性的解题方法.它在分析函数表达式时,通过借助函数图象来帮助理解,从而使解题过程简化.
7.临界值法
在有些问题中,若所求物理量的极值与这一物理量或其它量的临界值有关,这时可以假
设恰好达到临界值,从而求出相关物理量的极值.
例10 如图8,一半圆形碗内壁光滑,半径为R,一小球从碗口由静止下滑.当球与圆心的连线跟竖直方向的夹角α为何值时,其竖直分速度最大?
解: 分析小球受力如图.竖直方向建y 轴.则y 方向有: mg-Ncos α=ma y
随着Ncos α的增大, a y 逐渐减小,v y 逐渐增大,其临界值就是: a y =0,即Ncos α=mg 时,v y 有最大值. 又由圆周运动知识有:N-mgcos α=m v
R 2
由机械能守恒有:mgRcos α=1
2mv 2
由以上方程式解得:cos α=33,所以α=arccos 3
3
例11 如图9,质量为M=4Kg 的木板长为L=1.4m,静止在光滑水平面上,其上面右端静置一质量为m=1Kg 的小滑块(可视为质点).小滑块与木板间的动摩擦因素为μ=0.4,现用一水平恒力F=28N 向拉木板,要使小滑块从木板上滑下来,此力至少需作用多少时间?(g=10m/s 2)
解: 要滑块滑下来,其临界值就是恰好滑下来或恰好不滑下来.这时两者速度恰好相等,滑块相对木板的位移恰好为L,对应的时间就是最短时间.再分析木板,在外力作用下由静止开始向右加速,其加速度必定大于滑块的加速度,故任意时刻其速度必定大于滑块速度,而到达临界值时两者速度相等,故木板的运动形式是先在拉力F 作用下作匀加速运动,然后撤去F 后,作匀减速运动,即外力F 只需作用一段时间t 后便可撤去.
对系统: Ft=(M+m)v 共 ……①
图7
图8
FS M -μmgL=1
2
(M+m)v 共2 ……②
对M: S M =12a M t 2=
F mg M
t -μ22
……③ 由①②③解得t=1s.
评注：例11中,学生的常见错误就是认为外力需要一直作用,直到滑块从木板上掉下来.但通过临界值法的分析,发现F 实际上只需作用一段时间后,木板可继续运动直至滑块滑落.因此,灵活运用临界值分析法,可以使隐蔽的极值问题得到暴露,使解题时少走弯路.另外,该题中审题时要注意区别“要m 脱离M,F 作用的最短时间”与“要m 脱离M 的最短时间”.
8.其它方法
求解极值问题的方法很多.比如还有单调函数在某一区间内的两端点时取极值;体积一定时,球面积最小;面积一定时,球体积最大;通过某两点的所有圆周中,以这两点为直径的圆面积最小;等等.
例12 如图10,水面上有一半径为r 的圆形木板,在圆心的正上方高h 处有一点光源S.光线射入水中后,在水底平面上形成半径为R 的圆形阴影.设水深为H,水的折射率为n,当h 改变时,求阴影的最大半径.
解: 由图可知
sin i r r h =+22,sin ()γ=-+-R r
H R r 22 ∴折射率为: n=r H R r R r r h 22
22
+--+()() 整理得: R=r H r n n h 22
22221()-++r 由R 的表达式可看出,R 是关于h 的单调递减函数,当h=0
时,R 最大为
R max =H
n r 2
1
-+
例13 一带电质点,质量为m,电量为q,以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域,为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出,可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁感强度为B 的匀强磁场,若此磁场仅公布在一个圆形区域内,试求这圆形磁场区域的最小半径.不计粒子重力.
解: 质点在磁场中受洛仑兹力作用,作匀速圆周运动有 qvB=m v R 2
,∴R=mv
qB
根据题意,质点在磁场区域中的运动轨道是半径为R 的圆上的1/4圆周(图中虚线所示),这段圆弧应与入射方向和出射方向的速度相切,如图,切点为M 、N.则与这两条直线相距R 的O '点就是圆周的圆心.又由数学知识可知,在通过M 、N 两点的不同圆周中,面积最小的一个是以MN 为直径的圆,即为所求的最小磁场区域,如图实线所示.其半径为:
图9
S
图10
∙ x 图11
r=1
2
=
1
2
22
R R
+=
2
2
R=
2
2
⋅
mv
qB
总之,在处理极值问题时,一般都要先分析题意列方程,写出函数表达式,然后再根据函数表达式的特点,选用合适的方法来解.因此,只要我们平时注意了这方面知识的积累,总是可以解答出来的.。