学案平面向量

学案25 平面向量及其线性运算

自主梳理

1．向量的有关概念

(1)向量的定义：既有______

又有______的量叫做向量．

（2）表示方法：用 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表

示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB →，BC →

，…表示．

(3)模：向量的______叫向量的模，记作________或_______．

(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．

(5)单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝____________.

(6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量______．

(7)相等向量：长度______且方向______的向量． 2．向量的加法运算及其几何意义

（1）已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →=a ，BC →=b ，则向量AC →

叫做a 与b

的 ，记作 ，即 =AB →+BC →

= ，这种求向量和的方法叫做向量加法的 .

（2）以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作OACB ，则以O 为起点的对角线OA →

就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 .

(3)加法运算律

a ＋

b ＝________ (交换律)；

(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)． 3．向量的减法及其几何意义 (1)相反向量

与a ____________、____________的向量，叫做a 的相反向量，记作______． (2)向量的减法

①定义a －b ＝a ＋________，即减去一个向量相当于加上这个向量的____________．

②如图，AB →＝a ，，AD →＝b ，则AC →＝ ，DB →

＝____________.

4．向量数乘运算及其几何意义

(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝______； ②当λ>0时，λa 与a 的方向______；当λ<0时，λa 与a 的方向______；当λ＝0时，λa ＝______. (2)运算律

设λ，μ是两个实数，则

①λ(μa )＝________.(结合律)

②(λ＋μ)a ＝________.(第一分配律) ③λ(a ＋b )＝__________.(第二分配律)

(3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 5．重要结论

PG →＝13

(PA →＋PB →＋PC →

)⇔G 为△ABC 的________；

PA →＋PB →＋PC →

＝0⇔P 为△ABC 的________． 自我检测

1.（2010·四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →

＝16，

|AB AC AB AC +-＝，|则|AM →

|等于 ( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 2．下列四个命题：

①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝ma －mb ；

②对于实数m 和向量a ，b (m ∈R)，若ma ＝mb ，则a ＝b ； ③若ma ＝na (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n ； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ，

其中正确命题的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

3.在ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →

等于 ( )

A ．－14a ＋14b

B ．－12a ＋12b

C ．a ＋12b

D ．－34a ＋3

4

b

4.（2010·湖北）已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →

＝m ，成立，则m 等于 ( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

5.（2009·安徽）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →

＋μAF →

，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝______.

学案26 平面向量的基本定理及坐标表示

自主梳理

1．平面向量基本定理7

定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，__________一对实数λ1，λ2，使a ＝______________.

我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组________． 2．夹角

（1）已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a

，OB →

＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的________． (2)向量夹角θ的范围是________，a 与b 同向时，夹角θ＝____；a 与b 反向时，夹角θ＝____. (3)如果向量a 与b 的夹角是________，我们说a 与b 垂直，记作________． 3．把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．

4．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使a ＝xi ＋yj ，我们把有序数对______叫做向量a 的________，记作a ＝________，其中x 叫a 在________上的坐标，y 叫a 在________上的坐标．

5．平面向量的坐标运算

(1)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝________________________，a －b ＝________________________，λa ＝________________.

（2）已知A （11x y ，），B （22x y ，），则AB →＝OB →－OA →

＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，

即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标． 6．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是________________________． 7．(1)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2的中点P 的坐标为________________________________． (2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则△P 1P 2P 3的重心P 的坐标为_______________． 自我检测 1．(2010·福建)若向量a ＝(x,3)(x ∈R)，则“x ＝4”是“|a |＝5”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件

2．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，sin α，b ＝⎝

⎛⎭⎫cos α，1

3，且a ∥b ，则锐角α为 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°

3.（2011·马鞍山模拟）已知向量a =(6，-4)，b （0，2），OC →

＝c ＝a ＋λb ，若C 点在函数y ＝sin π

12

x 的图象上，则实数λ等于 ( ) A.52 B.32

C ．－52

D ．－32

4．(2010·陕西)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 5.（2009·安徽）给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点

C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →

，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______.

学案27 平面向量的数量积及其应用

自主梳理

1．向量数量积的定义

(1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上的投影．

(2)向量数量积的性质：

①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__________________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________________； ③a·a ＝________________或|a |＝________________； ④cos 〈a ，b 〉＝________； ⑤|a·b |____|a||b |.

2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝________； (2)分配律：(a ＋b )·c ＝________________； (3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式

(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝________________________；

(2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔________________________； (3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，

则|a |＝________________，cos 〈a ，b 〉＝____________________________.

(4)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB →＝________________________，所以|AB →

|＝_____________________.

自我检测

1.（2010·湖南）在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →

等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 2．(2010·重庆)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 3．(2011·福州月考)已知a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，(a ＋λb )⊥b ，则λ等于 ( )

A ．－2

B ．2 C.12 D ．－1

2

4.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →

，则动点C 的轨迹方程为

________________． 5.（2009·天津）若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23

CA →，则MA →·MB

→

＝________.