2011考研数一真题答案及详细解析

而厂八 +厂 (x)F2 (x)dx
f2 Cx)F心）dx
＝厂: +厂 F2 (X)dF1 (X)
F1 (x)dF2 Cx)
-厂 气(x)F卢） +=
00
F 1 (.r)dF卢）＋『一= F1 (x)dF卢）= 1,
+ ．．八 (x) 凡 (x) j卢）F心）满足概率密度的两条性质．故应选D.
(8) B
解因为UV={YXXY,,
当X�Y时 ， 当X<Y时，
所以UV=XY,于是E (UV) =E (XY)=EX• EY.故应选B.
二、填空题
(9) lnO +迈） 解因为y'(x)=tanx.
厂 ✓ ✓ 所以s= 4 1 + [y1(x)了dx= 4 1 +tan2 x dx
千 +』 1: e=dx�In Isecx ::nx I �lnO+迈）．
=
.工l-imo+
1 — lnO+x)-1 2x(l+x)+x2
1
+ =
lim 工 -o+
2
l +x 6x
=
-— l 2·
当X <O 时， lny = In[ — ln(l+x)] — In(-x)，同样可得
于
勹
limlny
x-► o-
=
—— 1 2
.
( ) ln(l+x)忐
1
故 l工i-mo
X
=e了 ．
n=)
n 一=
CO
�(-l)"a n 收敛．
n-1
将X
=
2 代入得级数�a n,其前n项和数列为： S n=
11 = !
k� =l ak,由条件知极限ln-im=S"不存在， 故
=
级数�a n 发散 ，
n=)
00
综上知幕级数�a n釭 — 1 尸的收敛域为[O ,2).
n=)
(3) A
a之
百度文库3乏
解一 归 = J'(x)lnf(y),c— ly =f(x)•
<
— n1 ,
因此有ln(n+ 1)
—lnn
<
— 1 , n
令n=l,2,3, …,n得
ln2 —lnl < 1,
ln3-ln2 < -12 ,
ln4-ln3 < — 1 , 3
ln(n+1)
—lnn <
— 1 n
,
将上述各不等式两端分别相加得
ln(n+1)
<
1
+
-12 +
1 -3
+
…
＋
— n1 '
2011年（数 一）真题答案解析
一、选择题
(1) C
解令u= (x
-1) (x
—
2) 2 ,v= (x
-3) 3 (x
—
4)
4
'
则y =uv,y' = u'v + uv',y" =u"v + 2u'v'+ uv",y'11 =u"1v + 3u"v'+ 3u'v"十UV 111,
由千已知函数y(x)具有任意阶导数， 因此在拐点处必有y"(x) = 0,而y"(l) # O,y"(2) # O,
DC
＠ ＠
由CD、@、＠式得f(O)>1,广(O)>O,故应选A. (4) B
解
当O<
x
<
王
4
时，sinx<
cosx<
1<
cotx
,于是lnsinx<
lncosx <
lncotx ,
由定积分性质得
J: ff f于 ln(sinx)dx < ln(cosx)dx< ln(cotx)dx,
即I<K<J. 故应选B.
:
J x�(JJ�xA T x,
寸 因为二次型经过正交变换化为对+4 = 4,所以A的特征值为入 1 = 0,). 2 = 1,儿=4,
I 再由 A l=-(a — 1) 2 =入山儿=O,得a =l.
04)µ 矿十旷
解：因为(X,Y) ,.._, N (µ 中；矿 ，矿； 0),
所以 X�N(µ 矿）， y ,.._, N (µ 矿）且 X,Y相互独立．
J'(y) , f(y)
a飞 a正
=f
，，(x)lnf(y),
一3一五—= 妇办
J'(x)•
J'(y) f(y)'
a飞
尸(y汀(y) -[f'(y)J 2
ay2 =f(x)
尸(y)
若函数乏 = f位） Inf Cy)在(0,0) 处取得极小值 ， 则
�o, (�'"·"�J'(O)ln::�:
-I f ay co.o> = f(O)• Co) = O,
心） -f(O)=J'(O • 开<�<订，
+ ) 即ln(1+-n1 ) =ln(1
1 -;;
—lnl=(- l+1的n'
+� ·:o <�< — n1 , :.
1
1
1 <1
< l,
1+ n
1
1
1
则 l+n
＜
nCl+O
<
—, n
+ ) 1
故有言丁勹n{
1
1
1
-;; <了
C
II)
1 由CI)的结论知 ln(1+-n )
00) e一1 sinx
解 由条件知： P(x)=1,Q(x) =尸cosx'于是微分方程通解为
(J (J y=e-I压）扛 Q(x)eJP<x)d丑'dx +c) =e寸ld工 尸cosx ef1凸 dx +c) (J =e一1 cosxdx +C)=尸(sinx +C),
由y(O)=O得C=O,因此所求特解为
所以 x1= -./k二［是极小值点， X2 =.fl..厂二了是极大值点；
由千 f(O)=O, 则 f(x) 的极大值 f (./1..言刁-)>0, J(x) 的极小值 f(- ,/k — 1 ) < 0.
又lim f(x)= +=,lim J(x) = —=,J(O) =0,
工j—00
.,•-•j-0<>
综上知： J(x) 在 k>I 时在 3 个不同的零点且分别
位千（— =, —几言勹�)'( — 5二丁，江二勹－）及
（厂，十=)内，此时函数 f(x)的草图如右图所
f(x)=妇rctan.x-x 孜
示，即原方程在 k>l 时有三个不同的实根．
08) <I)证 利用拉格朗日微分中值定理 1
令J(x) =ln(l三），则 f(x) 在闭区间［勹）上满足拉格朗日中值定理的条件，于是有
其中2是位于柱面x 2 +y 2 =l内的平面 z = x+y,取上侧，且
』 』Jx �dydz =0, dxdz =0,
l:
『dxdy =』I
1• dxdy =穴，
;z
D工Y'丑+y2,:;;1
其中Dxy 是2在xOy平面上的投影．
+ 也 因此pxzdx +xdy 立 = 7(, 2 1,
(13) 1 解A�(;
+-+- 于是an+l =l+-12 +-13 + ...
1 n
1 n+l
—ln(n+1)
>
1 n+l
>
0,
即数列{an }有下界．
-三尸> — 又因为an — an+l = n+l +ln(n+1) — Inn=In(1+�)
0(由CI)的结论）
即数列{an }是单调下降的．
综上知数列{an }单调下降且有界． 根据极限存在准则知In-im=a九 存在且有限，故数列{an }收敛．
(5) D 解 因为AP 1 =B ,P 2 B=E,所以B=P21· =P 2 ,
故AP1=P 2 ,于是A=P 2 P了1 '故应选D.
(6) D
解因为Ax = 0的基础解系含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3,于是r(A*)=1,
故A*x=0的基础解系含3个线性无关的解向量 ， 排除选项A,B.
则E(XY 2 )
=EX• E(Y2 )
=EX•
[DY+(EY) 2 ]
= 叭矿＋矿）
= µ
rJ
2
+矿．
三、解答题
ln(l +x)�
(15)解令y = (
X
) '则当X >O时，
( ) 1
ln(1+x) ln(ln (1+x)) - lnx
1 ny
=
e-
• 1
ln
X
=
ex — l
,
而
limClny)= x-o+
11 3
I P1,P2,/J3 = I 1 2 4 =a — 5=O,
(x,0 y)dy]
I: s:x!。1
=J:x几(x,Ddx-fxdx J:(x,y)dy
=『： xdf(x,])- d:
(x,y)dx
1
1
-(x (x,1)) :-s:f(x,l)dx-LdyLxdf(x,y) �
『 =— f dy xdf(x,y) ("汀(x,l)=O)
0
0
也］ =— J:dy[(xf(x,y)): —{f<x,y)
(19)解 由题设条件知积分区域D可表示为：D={ (x,y) I O�x�1,0�y�1},
于是有
I=ffxy凡(x,y)dxdy
勹 I: l xdxf>亿Cx,y)dy — xdx [f'.yd八ex•Y)
=J:xdx[<yJ:<x,y)) : -f八(x,y)dy]
=『 I -『：凡 >dx 八(x,1)
一
一
2 )当k>I 时，由 J'(x)= 0得X1 =—』言勹 ，X2 =0二勹 ，
当XE (—=, —�丁）时，J'(x) < 0, 因此，f(x) 单调减少；
当XE (— 八二勹厂，』厂二1) 时，J'(x)>0, 因此， J(.x) 单调增加；
当XE (./1..厂二丁，十=)时，J'(x) <O, 因此， J(x) 单调减少，
三［八 I: l,y) — f(x,y)dx] dy
=『 『 1 dy J(x,y)dx (汀(1,y)=O)
O
0
=JIf(x,y)dxdy=a,
故\ =Jfxy亿(x,y)dxdy=a.
1O1
(20) 解 < I)因为la1,a2,a3 l=I
l=l#-0,
O13
115
而 a1 ,a2 ,a:i不能由P1,P2,P:1 线性表示，故 P1,P2,P3 的秩小于 a1,a2,a3 的秩，从而
y"(3) = O,y"(4)= O, 于是可排除 A、B, 即点(3,0)与(4,0)是拐点的可疑点．
o, 而y/f/(3)= 36 > 即y"(x)在X = 3 的小邻域内单调增加 ， 由y"(3)= O知y"(x)在X =3
左、右两侧符号由负变为正 ， 即曲线y(x)在点(3,0)两侧凹凸性相反 ， 由定义知点(3,0)为
xl-imo+
lnClnCl + x))
e 1 又． —
—
lnx=
xl-imo+
lnClnCl+x)) -lnx X
1
1
1
= lim In(1+x) 1+x
x =
lim
x — Cl+x)•lnCl+x)
工丑+
1
:r-o+ x(1+x)• In(1+x)
=
lim :r -o+
x-(l+x)•lnCl+x) X(l+X)•X
拐点；而y"(x)在X = 4两侧符号相同 ， 则(4,0)不是拐点．故应选 C.
(2) C
解 已知幕级数�an(X — l)n 的收敛域必关于 x= l对称（端点除外） ， 据此 可排除选项 A、B;
n =l
将x= O代入得级数�(-l)n也，因为{a n }单调减少且lima n = O,由莱布尼茨审敛法知级数
(17)解
护z
归办：： =/�0,1)+凡(1,1)十几(1,1).
令f 釭）=karctan:i 一 .r'则
/
k Cr)=1+x2
—
l=
k- l-.:il+i· 2
2
.
1)当k�I 时， J'(x)=
— [Cl-k)+x勹 1 +x2
＜ ------
0,
因此， ((x) 单调减少，
此时 f(x) 只有一个零点，即 f(O)=O,即原方程 karctanx — X=0 只有一个实根 X=O;
(16 )解 则
由题设条件得 g'(l)=O,g(l)=1.
—oax乏 = y•f�+ yg'(x)• 亡，
护z
ay 妇 = f�+xy几+y几[ g(X)+Xg 1(x)] + g 1(X) 0 f�+ y O g(X) 0 g 1(X) 0 几，
将 x=l,y=l,g'(l)=0,g(l) =l 代入上式得
义A* A=IA IE=O且r(A)=3,所以A的列向量组中含有A. x =0的基础解系 ，
因为(1,0,1,0尸是方程组Ax=0的基础解系 ， 所以a 1 +a 3 =0,
故a1,a 2 ,a4或止，as,a4线性无关 ， 显然D正确．
(7) D 解 ．江Cx)F2 Cx)十几Cx)F1 Cx)�o,
Y=e一工 sinx.
(11) 4
+ 解因为F(x,y) = ry 0
sint 1t
z
dt, 所以
3F sin(xy)
ysm(xy)
3x
1+(xy) 2 •
y= 1 +x了
＇
- 吁 知2
=y2
.
O+x了）•
cos(xy_) -::--�xy• sin(xy)
护F 于是汇I x-o = 4.
y-2
02) 穴
解 由题设条件知P = xz,Q = x,R = y-,
2
根据斯托克斯公式得
：』厂贮（ —空） (芷－芒） (产－芒） 卢zdx+xdy+ dz =
dydz +
dxdz +
dxdy
=』『(y — O)dydz+(x — O)dxdz+(1- O)dxdy
l:
寸�ydydz+x dxdz +dxdy,
）尸卢 ． 且矿-AC=(
护 之
归dy
(O,Ol
dX 2 (0,0)
I 主
cJy 2 (O,O)
o, = [/'(0)] 4 - f"(O)lnf(O)• f(O) f(0)尸(0) — [f'(0) ] 2 <
尸 (0)
尸 (0)
A = 护之
clx 2
I
<o,o> = J "(0)lnf(0)
>
0,