高考数学指数与指数函数
高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第五节 指数与指数函数
a=b=c,则ea-eb=ec-ea=0,满足题意;对于B,若a>b>c,则ea-eb>0,ec-ea<0,满足
题意;对于C,若b>c>a,则ea-eb<0,ec-ea>0,满足题意;对于D,若b>a>c,则
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
微点拨在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不
能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数.
3.有理指数幂的运算性质
(1)aras= ar+s (a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s= ars
(a>0,r,s∈Q);
3.f(x)=ax与g(x)=a-x=
1
x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.
4.指数函数的图象以x轴为渐近线.
5.函数y=
-1
+ 1
(a>0,且a≠1),y=ax-a-x(a>0,且a≠1)均为奇函数,函数
y=ax+a-x(a>0,且a≠1)为偶函数.
6.若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1)的值域为(0,+∞),则f(x)的值域必为R.
根式的概念
n=a
x
如果
,那么x叫做a的n次方根
符号表示
—
当n是奇数时,正数的n次方根是一个
正数 ,负数的n次方根是一个 负数
当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这
高考数学——指数与指数函数考点复习
∴t≥1，
9
∴0＜y≤( 1 )1， 2
故所求函数的值域为 (0, 1 ]． 2
6．若关于 x 的不等式 2x+1 − 2−x − a > 0 的解集包含区间 (0,1) ，则 a 的取值范围为
A．
−∞,
7 2
C．
−∞,
7 2
B． (−∞,1] D． (−∞,1)
考点冲关
−1
1．计算： 2x 3
【答案】C 【解析】当 x=1 时，y=a1－a=0，所以 y=ax－a 的图象必过定点(1，0)，结合选项可知选 C.
2．函数
（ 且 ）与函数
A．
在同一个坐标系内的图象可能是 B．
6
C．
D．
考向三 指数函数单调性的应用
1．比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
4
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算． (6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，
要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
形如 y = a f (x) 的函数的定义域就是 f (x) 的定义域． 求形如 y = a f (x) 的函数的值域，应先求出 f (x) 的值域，再由单调性求出 y = a f (x) 的值域．若 a 的范
幂函数、指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3
高考数学第二章函数、导数及其应用第6讲指数式与指数函数课件
＝2
f
2 3
，解集中应该有23，排除
D.故选
C.
答案：C
(3)(2017 年北京)已知函数 f(x)＝3x－13x，则 f(x)(
)
A.是奇函数，且在 R 上是增函数
B.是偶函数，且在 R 上是增函数
C.是奇函数，且在 R 上是减函数
D.是偶函数，且在 R 上是减函数
解析：因为
答案：C
图 D3
(2)已知实数 a，b 满足等式12a＝13b，下列五个关系式： ①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能
成立的关系式有( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：在同一平面直角坐标系中作出函数 y＝13x，y＝12x 的图象，如图 D4.
3.(2016年浙江模拟)已知实数 a，b 满足等式 2017a＝2018b， 下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；
⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有( B )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：设 2017a＝2018b＝t，如图 D5，由函数图象，可得， 若 t>1，则有 a>b>0.①成立；
答案：D
(1)
(2)
图2-6-1
【规律方法】(1)在指数函数解析式中，必须时刻注意底数 a>0，且a≠1，对于指数函数的底数a，在不清楚其取值范围时， 应运用分类讨论的数学思想，分a>1 和0<a<1 两种情况进行讨 论，以便确定其性质.
指数与指数函数高考知识点
指数与指数函数高考知识点指数和指数函数是高考数学中的重要知识点，涉及到数学中的指数概念、指数运算、指数函数及其性质等内容。
本文将以深入浅出的方式，详细介绍指数与指数函数的相关知识。
一、指数的概念及性质指数是数学中常用的表示方式，用于表示一个数的乘方。
指数的定义为：若a为非零实数，n为自然数（n≠0），则aⁿ称为以a为底的指数。
其中，a称为底数，n称为指数。
指数的性质有以下几点：1. 任何非零数的0次方都等于1，即a⁰=1（a≠0）；2. 任何非零数的1次方都等于它本身，即a¹=a（a≠0）；3. 指数相同、底数相等的两个指数相等，即aⁿ=aᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 任何数的负整数次方都可以表示为其倒数的相应正整数次方，即a⁻ⁿ=1/(aⁿ)（a≠0，n≠0）；5. 不同底数、相同指数的指数大小可以通过底数的大小来判断，当0<a<b时，aⁿ<bⁿ（a，b，n都是实数且n>0）。
二、指数运算法则指数运算是指在进行乘方运算时，如何将指数进行运算。
在指数运算中，有以下几条法则：1. 乘法法则：同底数的指数相加，保持底数不变，指数相加，即aⁿ⋅aᵐ=aⁿ⁺ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；2. 除法法则：同底数的指数相减，保持底数不变，指数相减，即aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；3. 乘方法则：一个数的乘方再乘以另一个数的乘方，底数不变，指数相乘，即(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 开方法则：一个数的乘方再开方，底数不变，指数取两个数的最小公倍数，即(aⁿ)^(1/ᵐ)=aⁿ/ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）。
三、指数函数的定义与图像指数函数是一种特殊的函数形式，具有以下定义：形如y=aᵘ（a>0，且a≠1）的函数称为指数函数。
在指数函数中，a称为底数，u称为自变量，y称为因变量。
指数函数的图像特点如下：1. 当底数0<a<1时，函数图像呈现下降趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；2. 当底数a>1时，函数图像呈现上升趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；3. 当底数a=1时，函数图像为水平直线y=1，与自变量无关。
高考数学函数导数及其应用第六节指数与指数函数教案含解析
第六节 指数与指数函数1．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a m n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n＝1n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q)；②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q)； ③(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 2．指数函数的图象与性质[小题体验]1．计算[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9解析：选B 原式＝26×12－1＝23－1＝7.2．函数f (x )＝3x＋1的值域为( ) A ．(－1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．[1，＋∞)解析：选B ∵3x＞0，∴3x＋1＞1， 即函数f (x )＝3x＋1的值域为(1，＋∞)．3．若函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝________.答案： 34．若指数函数f (x )＝(a －2)x为减函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵f (x )＝(a －2)x为减函数， ∴0＜a －2＜1，即2＜a ＜3. 答案：(2,3)1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a ＞1或0＜a ＜1.[小题纠偏]1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)． (1)na n＝(na )n＝a .( )(2)分数指数幂a mn 可以理解为m n个a 相乘．( ) (3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( )答案：(1)× (2)× (3)×2．若函数y ＝(a －1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案：(1,2)考点一 指数幂的化简与求值基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．化简与求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214-12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a -12b －1÷⎝⎛⎭⎫4a 23·b －312. 解：(1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52a -16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a -16b －3÷(a 13b -32)＝－54a -12·b -32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.2．若x 12＋x －12＝3，则x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3的值为________．解析：由x 12＋x －12＝3，得x ＋x －1＋2＝9，所以x ＋x －1＝7，所以x 2＋x －2＋2＝49， 所以x 2＋x －2＝47.因为x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)3－3(x 12＋x －12)＝27－9＝18，所以原式＝18＋247＋3＝25.答案：25[谨记通法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．考点二 指数函数的图象及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．函数y ＝a x－a －1(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选D 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到的，所以A项错误；当a ＞1时，0＜1a ＜1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0＜a ＜1时，1a＞1，平移距离大于1，所以C 项错误．故选D.2．已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝|a x－2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．解析：①当0＜a ＜1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图a.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(0＜a ＜1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a ＜2，所以0＜a ＜23.②当a ＞1时，作出函数y ＝|a x－2|的图象，如图b ，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(a＞1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a ＜2，此时无解．所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 [由题悟法]指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．[即时应用]1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．已知f (x )＝|2x－1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a＜2cD ．1＜2a＋2c＜2解析：选D 作出函数f (x )＝|2x－1|的图象如图所示，因为a＜b ＜c ，且有f (a )＞f (c )＞f (b )，所以必有a ＜0,0＜c ＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，则2a＋2c＜2，且2a＋2c＞1.故选D.考点三 指数函数的性质及应用题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题． 常见的命题角度有： (1)比较指数式的大小；(2)简单指数方程或不等式的应用； (3)探究指数型函数的性质．[题点全练]角度一：比较指数式的大小1．(2018·杭州模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2312，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3512，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析：选A ∵23＞35，y ＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2312＞c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3512，∵13＜12，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x在R 上是减函数， ∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2312，∴a ＞b ＞c .故选A.角度二：简单指数方程或不等式的应用2．(2018·湖州模拟)已知函数f (x )＝m ·9x－3x，若存在非零实数x 0，使得f (－x 0)＝f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0,2)D ．[2，＋∞)解析：选B 由题意得到f (－x )＝f (x )， 所以m ·9－x－3－x＝m ·9x －3x， 整理得到：m ＝3x x2＋1＝13x ＋13x＜12， 又m ＞0，所以实数m 的取值范围是0＜m ＜12，故选B.角度三：探究指数型函数的性质3．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常数且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝b ·a x的图象过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a ＞0且a ≠1， ∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x.(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx－m ≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.[通法在握]应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略讨论．[演练冲关]1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：选C 因为函数y ＝0.6x在R 上单调递减，所以b ＝0.61.5＜a ＝0.60.6＜1.又c ＝1.50.6＞1，所以b ＜a ＜c .2．(2019·金华模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x，x ＞0，则满足f (x 2－2)＞f (x )的x 的取值范围是________________________________________________________________________．解析：由题意x ＞0时，f (x )单调递增，故f (x )＞f (0)＝0，而x ≤0时，f (x )＝0， 故若f (x 2－2)＞f (x )，则x 2－2＞x ，且x 2－2＞0， 解得x ＞2或x ＜－ 2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)3．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为________．解析：设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]．答案：(－∞，1]一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．化简a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎫1－2 3b a ×3a 的结果是( )A ．aB ．bC ．abD ．ab 2解析：选 A 原式＝a13a －8b 4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13×a 13＝a13a 13－2b 13a 23＋2a 13b 13＋4b 234b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13＝a 13·a 13·a 13＝a . 2．已知a ＝(2)43，b ＝225，c ＝913，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A a ＝(2)43＝212×43＝223，b ＝225，c ＝913＝323，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，得a ＜c ，由函数y ＝2x在R 上为增函数，得a ＞b ， 综上得c ＞a ＞b .3．(2018·丽水模拟)已知实数a ，b 满足12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞14，则( )A ．b ＜2b －aB ．b ＞2b －aC ．a ＜b －aD ．a ＞b －a解析：选B 由12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a，得a ＞1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b，得⎝ ⎛⎭⎪⎫222a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ，得2a ＜b ， 由⎝⎛⎭⎪⎫22b ＞14，得⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫224，得b ＜4. 由2a ＜b ，得b ＞2a ＞2，a ＜b2＜2，∴1＜a ＜2,2＜b ＜4. 取a ＝32，b ＝72，得b －a ＝72－32＝2， 有a ＞b －a ，排除C ；b ＞2b －a ，排除A ；取a ＝1110，b ＝3910得，b －a ＝3910－1110＝ 145， 有a ＜b －a ，排除D ，故选B.4．(2017·宁波期中)若指数函数f (x )的图象过点(－2,4)，则f (3)＝________；不等式f (x )＋f (－x )＜52的解集为____________．解析：设指数函数解析式为y ＝a x，因为指数函数f (x )的图象过点(－2,4)，所以4＝a－2，解得a ＝12，所以指数函数解析式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18；不等式f (x )＋f (－x )＜52，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＜52，设2x ＝t ，不等式化为1t ＋t ＜52，所以2t 2－5t ＋2＜0解得12＜t ＜2，即12＜2x＜2，所以－1＜x ＜1，所以不等式的解集为(－1,1)．答案：18(－1,1)5．若函数f (x )＝a x－1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 解析：当a ＞1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为增函数， 则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又∵a ＞1，∴a ＝ 3. 当0＜a ＜1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为减函数， 又∵f (0)＝0≠2，∴0＜a ＜1不成立． 综上可知，a ＝ 3. 答案： 3二保高考，全练题型做到高考达标 1．(2018·贵州适应性考试)函数y ＝a x ＋2－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过的点是( )A ．(0,0)B ．(0，－1)C ．(－2,0)D ．(－2，－1)解析：选C 法一：因为函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y ＝ax ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象，所以y ＝ax ＋2－1(a＞0，a ≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C 正确．法二：令x ＋2＝0，x ＝－2，得f (－2)＝a 0－1＝0，所以y ＝ax ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C 正确．2．已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝ax ＋k的图象可能是( )解析：选B 由函数y ＝kx ＋a 的图象可得k ＜0,0＜a ＜1，又因为与x 轴交点的横坐标大于1，所以k ＞－1，所以－1＜k ＜0.函数y ＝a x ＋k的图象可以看成把y ＝a x的图象向右平移－k 个单位得到的，且函数y ＝a x ＋k是减函数，故此函数与y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，故选B.3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ＞1，－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选C 依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，－3a ＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x－1，x ＜0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x，－f (x )＝2－x－1，而－x ＜0，则f (－x )＝2－x－1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x，而－x ＞0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.5．(2018·温州月考)若函数f (x )＝a e －x －e x 为奇函数，则f (x －1)＜e －1e的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选D 由于函数f (x )为R 上奇函数，所以f (0)＝0⇒a ＝1，所以f (x )＝1e x －e x ， 由于e x 为增函数，而1e x 为减函数， 所以f (x )＝1e x －e x 是减函数， 又因为f (－1)＝e －1e ，由f (x －1)＜e －1e可得f (x －1)＜f (－1)，x －1＞－1⇒x ＞0，故选D.6．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)， 所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a＞1， 解得0＜a ＜1.答案：(0,1)7．(2018·温州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，0≤x ＜1，2x －12，x ≥1，设a ＞b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________． 解析：依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象，结合图象可知b ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，bf (a )＝bf (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2 8．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ax ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＋a －2恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：由指数函数的性质知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数， 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ax ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＋a －2恒成立，所以x 2＋ax ＞2x ＋a －2恒成立，所以x 2＋(a －2)x －a ＋2＞0恒成立，所以Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)＜0，即(a －2)(a －2＋4)＜0，即(a －2)(a ＋2)＜0，故有－2＜a ＜2，即a 的取值范围是(－2,2)．答案：(－2,2) 9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3， 由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)． 应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R)．故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0.10．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a ＞0，b ∈R)．(1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )．即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x ＜－b .①当a ＞1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，∴－b ≤2，b ≥－2.②当0＜a ＜1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a ＞1且b ≥－2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·杭州模拟)已知定义在R 上的函数g (x )＝2x ＋2－x＋|x |，则满足g (2x －1)＜g (3)的x 的取值范围是________．解析：∵g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |，∴g (－x )＝2x ＋2－x ＋|－x |＝2x ＋2－x ＋|x |＝g (x )，则函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝2x ＋2－x ＋x ，则g ′(x )＝(2x －2－x )·ln 2＋1＞0，则函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，而不等式g (2x －1)＜g (3)等价于g (|2x －1|)＜g (3)，∴|2x －1|＜3，即－3＜2x －1＜3，解得－1＜x ＜2，即x 的取值范围是(－1,2)．答案：(－1,2)2．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1. 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1， 由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k ＞0，从而Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13. 故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13.。
2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第5节：指数与指数函数(学生版)
2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第5节指数与指数函数考试要求1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图像；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.1.根式的概念及性质(1)概念：式子na 叫作根式，其中n 叫作根指数，a 叫作被开方数.(2)性质：(na )n ＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈R .4.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫作指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图像与性质a >10<a <1图像定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，12.指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究.3.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像越高，底数越大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.()(2)分数指数幂a mn 可以理解为mn 个a 相乘.()(3)函数y ＝2x －1是指数函数.()(4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).()2.(易错题)若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝________.3.(易错题)函数y ＝21x －1的值域是________.4.函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图像恒过定点________.5.(2021·贵阳一中月考)3213－76＋814×42－－2323________.6.已知a 35－13，b 35－14，c ＝3234，则a ，b ，c 的大小关系是________.考点一指数幂的运算1.计算：823－－780＋4（3－π）4＋[(－2)6]12＝________.2.[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________.3.(2021·沧州七校联考1412·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12(a >0，b >0)＝________.4.已知f (x )＝3x ＋3－x ，f (b )＝4，则f (2b )＝________.考点二指数函数的图像及应用例1(1)已知实数a ，b 满足等式2022a ＝2023b ，下列等式一定不成立的是()A.a ＝b ＝0B.a <b <0C.0<a <bD.0<b <a(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.训练1(1)函数f (x )＝a x －b 的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是()A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0(2)如果函数y ＝|3x －1|＋m 的图像不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________.考点三解决与指数函数性质有关的问题角度1比较指数式的大小例2(1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a(2)若e a＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是()A.a＋b≤0B.a－b≥0C.a－b≤0D.a＋b≥0角度2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知实数a≠1，函数f(x)4x，x≥0，2a－x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________.(2)若2x2＋114x－2，则函数y＝2x的值域是()A.18，2 B.18，2C.－∞，18 D.[2，＋∞)角度3指数函数性质的综合应用例4(1)不等式4x－2x＋1＋a>0，对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________.(2)已知定义域为R的函数f(x)＝－12＋12x＋1，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0的解集为________.训练2(1)(2021·郑州调研)已知函数f(x)＝4x－12x，a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log0.32)，则a，b，c的大小关系为()A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是______.(3)函数y ＋1在区间[－3，2]上的值域是________.1.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f (－1)＝()A.1B.2C.3D.32.(2021·成都诊断)不论a 为何值，函数y ＝(a －1)2x －a2恒过定点，则这个定点的坐标是()113.(2022·哈尔滨质检)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是()4.(2020·天津卷)设a ＝30.7，b 0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b5.(2021·衡水中学检测)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－2，1)B.(－4，3)C.(－3，4)D.(－1，2)6.(2020·新高考山东卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.化简：（a23·b－1）－12·a－12·b136a·b5(a>0，b>0)＝________.8.设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是____________.9.已知函数f(x)，a≤x<0，x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________.10.已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2为奇函数.(1)求b的值；(2)任意t∈R，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.11.已知函数f(x)＝4x＋m2x是奇函数.(1)求实数m的值；(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图像有公共点，求实数a的取值范围.12.若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实根，则a的取值范围是()A.0，12(1，＋∞) B.0，12C.12，1 D.(1，＋∞)13.(2022·邯郸模拟)设f(x)|2x－1|，x≤2，－x＋5，x>2，若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是()A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|.(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.。
高考数学复习考点知识讲解课件10 指数与指数函数
围是( C )
A．(2，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(0,2)
D．(0,1)
[解析] 在同一坐标系内分别作出函数 y＝x－1 1和 y＝2x－a 的图象，则由图知，当 a ∈(0,2)时符合要求．故选 C．
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(新教材) 高三总复习•数学
考点三 指数函数的性质及应用——多维探究
角度 1：比较指数式的大小
由(x
1 2
＋x－12
)3＝33，得
3
x2
＋3x
1 2
＋3x－12
＋x－32
3
＝27.∴x2
＋x－32
3
＝18，∴x2
＋x－32
－3＝
15. ∴x32x2＋＋xx－－232－－23＝13.
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(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
(1)指数幂的运算首先将根式、分式统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注 意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
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(新教材) 高三总复习•数学
诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4 (1)
a2＋2ab＋b2＝
a＋b.( ×
)
(2)(－2)13＝6 －22.( × ) (3)若函数 f(x)是指数函数，且 f(1)>1，则 f(x)是增函数．( √ ) (4)若 a>1，则当 f(x)有最大值时，g(x)＝af(x)也有最大值．( √ )
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(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
(3)y＝|ax－1|的图象是由 y＝ax 先向下平移 1 个单位，再将 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折 过来得到的．
高中数学高考第2章 §2 6 指数与指数函数
∴1.70.3>0.93.1，故C正确；
3
2
∵y＝23x 为减函数，∴
2 4 3
2 3
3
，
2
又y＝ x 3 在(0，＋∞)上单调递增，
2
2
∴
2 3 3
3 4
3
，
3
2
2
∴
2 3
4
2 3
3
3 4
3
，故D正确.
2.(2022·泸州模拟)已知函数f(x)＝ex－e1x ，若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的 取值范围是__[－__2_,_1_]_.
(2)(2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则
√A.ln(y－x＋1)>0
C.ln|x－y|>0
B.ln(y－x＋1)<0 D.ln|x－y|<0
设函数f(x)＝2x－3－x. 因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增. 原式等价于2x－3－x<2y－3－y， 即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，所以A正确，B不正确. 因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确.
正数的正分数指数幂，a
m n
＝_n_a_m_(a>0，m，n∈N*，n>1).
1
m
m
正数的负分数指数幂，a n＝_a__n_＝
1
(a>0，m，n∈N*，n>1).
n am
0的正分数指数幂等于_0_,0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 aras＝_a_r_＋_s_；(ar)s＝_a_rs_；(ab)r＝_a_r_b_r_(a>0，b>0，r，s∈R).
2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第五讲指数与指数函数课件
7－2－1＝98.
3212
54
(2)原式＝
a2 a
b b2
2
a6
1
a3
b6
1
b3
a3 b3
27
a3 b3
a. b
【题后反思】指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底 数是带分数的，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示， 运用指数幂的运算性质来解答.
解析：因为函数 y＝ax－b 的图象经过第二、三、四象限，所 以函数 y＝ax－b 单调递减且其图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴
上.令 x＝0，则 y＝a0－b＝1－b，由题意得01＜－ab＜＜10，，
解得0b＜＞a1＜，1， 故 ab∈(0，1). 答案：(0，1)
考点三 指数函数的性质及应用 考向 1 利用指数函数的单调性比较大小 通性通法：比较指数式的大小时，能化成同底数的先化成同 底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入 “1”等中间量比较大小.
2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理 问题.
解指数函数的概念.
2.题型一般为选择、填空
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数 题，若题型为解答题，
的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 则题目中等偏难
1.根式 (1)一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1， 且 n∈N*.
即函数 f(x)在定义域 R 上单调递增.
(3)解：f(2x－1)＋f(x－2)＞0，且 f(x)为奇函数， ∴f(2x－1)＞f(－x＋2)， ∵函数 f(x)在 R 上单调递增， ∴2x－1＞－x＋2，∴x＞1， ∴不等式的解集为(1，＋∞).
高考数学复习初等函数知识点：指数与指数函数
高考数学复习初等函数知识点：指数与指数函数一般地，形如y=a^x(a>0 且 a≠1) (x∈ R)的函数叫做指数函数，下边是高考数学复习初等函数知识点：指数与指数函数，希望对考生有帮助。
指数函数的一般形式为，从上边我们关于幂函数的议论便可以知道，要想使得x 能够取整个实数会合为定义域，则只有使得如下图为 a 的不一样大小影响函数图形的状况。
能够看到：(1) 指数函数的定义域为全部实数的会合，这里的前提是a 大于 0，关于 a 不大于 0 的状况，则必定使得函数的定义域不存在连续的区间，所以我们不予考虑。
(2)指数函数的值域为大于 0 的实数会合。
(3)函数图形都是下凹的。
(4) a 大于 1，则指数函数单一递加;a 小于 1 大于 0，则为单调递减的。
(5) 能够看到一个明显的规律，就是当 a 从 0 趋势于无量大的过程中 (自然不可以等于 0)，函数的曲线从分别靠近于Y 轴与 X 轴的正半轴的单一递减函数的地点，趋势分别靠近于Y 轴的正半轴与X 轴的负半轴的单一递加函数的地点。
此中水平直线 y=1 是从递减到递加的一个过渡地点。
第1页/共3页(6) 函数老是在某一个方向上无穷趋势于X 轴 ,永不订交。
(7)函数老是经过 (0，1)这点。
家庭是少儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好少儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出初期抓好少儿阅读的要求。
我把少儿在园里的阅读活动及阅读状况实时传达给家长，要求孩子回家向家长朗读儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，少儿的阅读能力提升很快。
宋此后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称呼皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝当选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂盛行，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的帮手一律称“训导”。
第04讲 指数与指数函数(四大题型)2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
__________
(0,1)
过定点_____，即x＝0时，y＝1
性质
y>1
0<y<1
当x>0时，_____；当x<0时，______
增函数
在(－∞，＋∞)上是_______
0<y<1
y>1
当x<0时，_____；当x>0时，_______
即所求实数m的取值范围为(−∞, 0]．
故答案为：(−∞, 0]．
题型三：指数函数中的恒成立问题
【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）设 =
2 −2−
，当
2
∈ R时， 2 + + 1 > 0恒成立，则实数m的
取值范围是____________．
则满足2 − 4 < 0，即2 < 4，解得−2 < < 2，
且 → +∞, → −, () → 2 ，与图象相符，所以 < 0 ，
当() = 0时，e = ，
故选：C．
题型二：指数函数的图像及性质
【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 = −4 + 1（ > 0且 ≠ 1）的图象恒过定点A，若点A的坐
掌握指数幂的运算性质.
一个基本点, 常与二次函数、 幂函数、
（2）通过实例，了解指数函
2022年甲卷第12题，5分
2020年新高考II卷第11题，5分
大小的 比较和函数方程问题.
数的实际意义，会画指数函
高考数学科学复习创新方案：指数与指数函数
指数与指数函数[课程标准]1.通过对有理数指数幂a mn (a >0，且a ≠1，m ，n 为整数，且n >0)、实数指数幂a x (a >0，且a ≠1，x ∈R )含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．1．根式的概念根式的概念符号表示备注如果01x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根—n >1且n ∈N *当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个02正数，负数的n 次方根是一个03负数na零的n 次方根是零当n 为偶数时，正数的n 次方根有04两个，它们互为05相反数±na (a ＞0)负数没有偶次方根2.分数指数幂(1)a mn＝06na m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．(2)a －mn ＝071a m n＝081na m(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．3．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝09a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )．(2)(a r )s ＝10a rs (a >0，r ，s ∈Q )．(3)(ab )r ＝11a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．4．指数函数的概念函数12y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．说明：形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数．5．指数函数的图象和性质底数a >10<a <1图象性质函数的定义域为R ，值域为13(0，＋∞)函数图象过定点14(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，恒有y >1;当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1；当x <0时，恒有y >115增函数16减函数1．(n a )n＝a (n ∈N *且n >1)．2.na n ，n 为奇数且n >1，|，a ≥0，a ，a ＜0，n 为偶数且n >1.3．底数对函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的函数值的影响如图(a 1>a 2>a 3>a 4)，不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．当a>0，且a≠1时，函数y＝a x与函数y的图象关于y轴对称．1．(人教A必修第一册习题4.1T1改编)化简416x8y4(x<0，y<0)得()A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y 答案D解析因为x<0，y<0，所以416x8y4＝424·（x2）4y4＝|2x2y|＝－2x2y.2．(人教A必修第一册习题4.1T7(1)改编)已知5m＝10，5n＝2，则53m-2n2＝()A．210B．310 C．20D．510答案D解析53m-2n2＝53m52n ＝（5m）3（5n）2＝10322＝52×10＝510.3．函数f(x)＝a x－2023＋2023(a＞0，且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为________．答案(2023，2024)解析令x－2023＝0，得x＝2023，又f(2023)＝2024，故点A的坐标为(2023，2024)．4．(人教A必修第一册习题4.2T6改编)设a＝0.993.3，b＝0.994.5，c＝1.10.99，则a，b，c的大小关系为________．答案b<a<c解析因为函数y ＝0.99x 在R 上单调递减，所以0.993.3>0.994.5，即a >b ，又因为0.993.3<0.990＝1，1.10.99>1.10＝1，所以0.993.3<1.10.99，即a <c .综上可知，b <a <c .5．已知函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a的值为________．答案12或32解析当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2，∴a ＝12；当a ＞1时，a 2－a ＝a 2，∴a ＝32.综上所述，a ＝12或32.例1求值与化简：(1)823×100－12×3－34；(2)(a 23b －1)－12a －12b 136ab5(a >0，b >0)；(3)3a 92a －3÷3a－73a 13(a >0)；(4)已知a >0，a 12＋a －12＝3，求a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1的值．解(1)原式＝(23)23×(102)-12×(2－2)－34-34＝22×10－1×263＝4325.(2)原式＝a －13b 12a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16b 12＋13－56＝1a.(3)原式＝(a 92a －32)13÷(a －73a 133)12＝(a 3)13÷(a 2)12＝a ÷a ＝1.(4)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47，所以a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝47＋17＋1＝6.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．＝________．答案a 4解析原式＝[(a 96)13]4[(a 93)16]4＝a 2·a 2＝a 4.2．已知3a ＋2b ＝1，则9a ·3b3a＝________．答案3解析因为3a ＋2b ＝1，所以32a ＋b ＝12，所以原式＝（32）a ·3b （3a ）1232a ＋b －12a＝323a ＋b＝312＝3.3．化简：a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)．解原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13·b 1＋13－2－13＝ab －1＝a b.4．计算：0.027－13－2(2－1)0.解原式＝(0.33)－13－721＝103－49＋53－1＝－45.例2(1)(多选)已知实数a ，b 满足等式2023a ＝2024b ，则下列关系式有可能成立的是()A ．0<b <aB ．a <b <0C ．0<a <bD ．a ＝b答案ABD解析在同一坐标系下画出y ＝2023x 与y ＝2024x 的图象，结合图象可知A ，B ，D 可能成立．故选ABD.(2)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．答案解析①当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1.因为y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点，所以0<2a <1，所以0<a <12；②当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2，而此时直线y ＝2a 不可能与y ＝|a x －1|的图象有两个交点．综上，a 的取值范围是处理指数图象问题的策略(1)抓住特殊点指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，与直线x＝1的交点坐标为(1，a)．(2)巧用图象变换常见的变换有：①函数y＝a x＋b(a>0，且a≠1)的图象可由指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到；②函数y＝a x＋b的图象可由指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到；③函数y＝a|x|的图象关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)在[0，＋∞)的图象相同；当x<0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称．1.(2023·天津滨海七校二模)函数f(x)x＋1|的图象大致为()答案B解析作出函数yx|，x≥0，x<0的图象，如图所示，将yx|的图象向左平移1个单位得到f(x)＝x＋1|的图象．故选B.2．定义区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为()A.12B．1C.32D．2答案B解析如图是函数y＝2|x|在值域为[1，2]上的图象．使函数y＝2|x|的值域为[1，2]的定义域区间中，长度最小的区间为[－1，0]或[0，1]，长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.故选B.多角度探究突破角度比较指数幂的大小例3(1)(2023·淮南一模)设abca，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．b>c>a D．b>a>c答案A解析∵函数y＝x4７是(0，＋∞)上的增函数，37<47，∴b<c.∵函数y是R上的减函数，37<47，∴a >c .综上，a >c >b .故选A.(2)(2023·沈阳模拟)若p ：0<a <b ；q ：4a －4b <5－a －5－b ，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析设f (x )＝4x －5－x ，则函数f (x )为增函数，则由4a －4b <5－a －5－b ，即4a－5－a <4b －5－b 可得a <b ，所以0<a <b 是4a －4b <5－a －5－b 的充分不必要条件．故选A.比较指数式大小的方法比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．1.下列各式比较大小正确的是()A ．1.72.5>1.73－43C ．1.70.3<0.93.1答案D解析∵y ＝1.7x 为增函数，∴1.72.5<1.73，故A 不正确；∵2－43＝y2－43，故B 不正确；∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0，1)，∴1.70.3>0.93.1，故C 不正确；∵y y ＝x 23在(0，＋∞)D正确．2．(2024·宿迁模拟)设12<<1，那么()A．a a<a b<b a B．a a<b a<a bC．a b<a a<b a D．a b<b a<a a答案C解析∵12<<1且y在R上是减函数，∴0<a<b<1，∴指数函数y＝a x在R上是减函数，∴a b<a a，∴幂函数y＝x a在R上是增函数，∴a a<b a，∴a b<a a<b a.故选C.角度解简单的指数方程或不等式例4(1)已知实数a≠1，函数f(x)x，x≥0，a－x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．答案12解析①当a<1时，由f(1－a)＝f(a－1)得41－a＝2a－(a－1)，即22－2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝12；②当a>1时，由f(1－a)＝f(a－1)得2a－(1－a)＝4a－1，即22a－1＝22a－2，所以2a－1＝2a－2，无解．综上可知，a＝12.(2)(2023·邯郸一模)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x－6x－3x≥1，≤1，令f(x)＋，因为y，y，y均为R上的减函数，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，所以x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)．1．解指数方程的依据a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．2．解指数不等式的思路方法对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．1.若x 满足不等式2x 2＋1－2，则函数y ＝2x 的值域是()A.18，B.18，2∞，18D ．[2，＋∞)答案B解析将2x 2＋1－2化为x 2＋1≤－2(x －2)，即x 2＋2x －3≤0，解得x ∈[－3，1]，所以2－3≤2x ≤21，所以函数y ＝2x 的值域是18，2.2．方程4x ＋|1－2x |＝11的解为________．答案x ＝log 23解析当x ≥0时，原方程化为4x ＋2x －12＝0，即(2x )2＋2x －12＝0，∴(2x －3)(2x ＋4)＝0，∴2x ＝3，即x ＝log 23；当x <0时，原方程化为4x －2x －10＝0，令t ＝2x ，则t 2－t －10＝0(0<t <1)．由求根公式得t ＝1±412均不符合题意，故x <0时，方程无解．综上，原方程的解为x ＝log 23.角度指数函数性质的综合应用例5(1)(2023·大庆二模)已知函数f (x )＝4x2＋4x，则()A ．f (0.1)>f (0.2)B ．函数f (x )有一个零点C ．函数f (x )是偶函数D ．函数f (x )答案D解析函数f (x )＝4x 2＋4x 的定义域为R .对于A ，函数f (x )＝4x 2＋4x ＝1－22＋4x，函数y ＝4x 在R 上为增函数，易得f (x )在R 上为增函数，则有f (0.1)<f (0.2)，A 错误；对于B ，f (x )＝4x 2＋4x ，有4x>0，则有f (x )>0，所以f (x )没有零点，B 错误；对于C ，f (1)＝46＝23，f (－1)＝4－12＋4－1＝19，所以f (1)≠f (－1)，f (x )不是偶函数，C 错误；对于D ，因为f (x )＝4x 2＋4x ，所以f (1－x )＝41－x 2＋41－x ＝42·4x ＋4＝24x ＋2，所以f (x )＋f (1－x )＝1，所以函数f (x )D 正确．故选D.(2)已知函数f (x )2－4x ＋3(a ∈R )．若a ＝－1，则函数f (x )的单调递增区间为________；若f (x )的值域是(0，＋∞)，则a ＝________．答案[－2，＋∞)解析当a ＝－1时，f (x )x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2]上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是[－2，＋∞)．令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )（x ），由指数函数的性质知，要使f (x )（x ）的值域为(0，＋∞)．应使h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则h (x )为二次函数，其值域不可能为R )，故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0.指数函数综合问题的处理策略(1)涉及最值(或值域)的问题，通常要先对函数解析式进行变形，然后逐步求函数的最值．(2)涉及单调性的问题，一方面要注意底数对指数函数单调性的影响；另一方面要注意借助“同增异减”这一性质分析判断．1.若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是()A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案B解析由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )x －4|，由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y 在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.2．(2023·银川校联考二模)已知函数f (x )＝4x －2x ＋2－1，x ∈[0，3]，则其值域为________．答案[－5，31]解析令t ＝2x ，∵x ∈[0，3]，∴1≤t ≤8，∴g (t )＝t 2－4t －1＝(t －2)2－5，t∈[1，8]，又y ＝g (t )的图象关于直线t ＝2对称，开口向上，∴g (t )在[1，2)上单调递减，在(2，8]上单调递增，且|8－2|>|2－1|，∴当t ＝2时，函数取得最小值，即g (t )min ＝－5，当t ＝8时，函数取得最大值，即g (t )max ＝31，∴f (x )的值域为[－5，31]．课时作业一、单项选择题1．化简2c 3a 481a 5b 216c 4(a >0，c <0)的结果为()A ．±4ab 2B ．－4ab 2C ．－ab 2D.ab 2答案B解析＝2c 3a ·3a （ab 2）14－2c＝－4ab 2.故选B.2．(a 2－a ＋2)－x －1<(a 2－a ＋2)2x ＋5的解集为()A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C．(－∞，－2)D ．(－2，＋∞)答案D解析∵a 2－a ＋2＋74>1，∴－x －1<2x ＋5，∴x >－2.故选D.3．(2024·滁州模拟)函数f (x )＝x a －2与g (x )x在(0，＋∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是()A ．a ∈(0，2)B ．a ∈[0，1)C ．a ∈[1，2)D ．a ∈(1，2]答案C解析函数f (x )＝x a －2在(0，＋∞)上单调递减，可得a －2<0，即a <2；函数g (x )x在(0，＋∞)上单调递减，可得0<a4<1，解得0<a <4，若函数f (x )＝x a －2与g (x )x均单调递减，可得0<a <2，由题意可得所求区间真包含于(0，2)，结合选项，函数f (x )＝x a －2与g (x )x均单调递减的一个充分不必要条件是a ∈[1，2)．故选C.4．(2023·南昌模拟)草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x (x ＝1，2，3，4)与其对应等级的市场销售单价y (单位：元/千克)近似满足函数关系式y ＝e ax ＋b .若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据：32≈1.26，34≈1.59)()A ．30.24元/千克B ．33.84元/千克C ．38.16元/千克D ．42.64元/千克答案C解析由题意可知e 4a ＋b e a ＋b＝e 3a＝2，e a＝32，由e a ＋b ＝24，则e 3a ＋b ＝e a ＋b ·e 2a＝24e 2a ＝24×34≈38.16.故选C.5．(2023·唐山模拟)≤x 的解集是()A.0，12B.12，＋C.0，22 D.22，＋答案B解析在同一坐标系中作出y ，y ＝x 的图象，＝x 得x ＝12，结合图象知，不等式≤x 的解集是12，＋6．(2024·盐城模拟)设函数f (x )＝3x ＋b ，函数f (x )的图象经过第一、三、四象限，则g (b )＝f (b )－f (b －1)的取值范围为()∞∞答案A解析由函数f (x )＝3x ＋b 的图象经过第一、三、四象限，可得b <－1，所以g (b )＝f (b )－f (b －1)＝3b －3b －1＝3b ＝23·3b <23－1＝29，又因为23·3b >0，所以g (b )＝f (b )－f (b －1)故选A.7．若关于x x |＋a －2＝0有解，则a 的取值范围是()A ．[0，1)B ．[1，2)C ．[1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案B解析x |＋a －2＝0有解等价于2－a x |有解．因为函数y x |的值域为(0，1]，所以0<2－a ≤1，解得1≤a <2.8．(2023·全国甲卷)已知函数f (x )＝e －(x －1)2.记a ＝b ＝c ＝则()A ．b ＞c ＞a B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b答案A解析函数f (x )＝e －(x －1)2是由函数y ＝e u 和u ＝－(x －1)2复合而成的复合函数，y ＝e u 为R 上的增函数，u ＝－(x －1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以c ＝又22＜2－62＜32＜1，所以b ＞c ＞a .故选A.二、多项选择题9．(2024·福建师大附中高三月考)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x ＜y ＜0，则f (x )＜f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，∴a ＋b ＝0，故A正确；由f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则b ＝2，又a ＋b＝0，则a ＝－2，则f (x )＝－|＋2，其定义域为R ，∵f (－x )＝－|＋2＝f (x )，则f (x )是偶函数，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，∴若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，x ＋y ＝0，故B 正确；∵f (x )在(－∞，0)上为减函数，∴当x ＜y ＜0时，f (x )＞f (y )，故C 错误；∵|≤1，∴－2≤－|<0，∴0≤－|＋2＜2，∴f (x )的值域为[0，2)，故D 正确．故选ABD.10．(2023·淄博模拟)关于函数f (x )＝14x＋2的性质，下列说法中正确的是()A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(0，＋∞)C ．方程f (x )＝x 有且只有一个实根D ．函数f (x )的图象是中心对称图形答案ACD 解析函数f (x )＝14x＋2的定义域为R ，所以A 正确；因为y ＝4x 在定义域内单调递增，所以函数f (x )＝14x＋2在定义域内单调递减，所以函数f (x )的值域为f (x )＝x 只有一个实根，所以B 不正确，C 正确；因为f (x ＋1)＋f (－x )＝14x ＋1＋2＋14－x ＋2＝14·4x ＋2＋4x 2·4x ＋1＝12，所以f (x )对称，所以D 正确．故选ACD.11．(2024·武汉质量评估)若实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ，则下列关系式中可能成立的是()A．0<a<b<1B．b<a<0C．1<a<b D．a＝b答案ABD解析设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．当x∈(－∞，0)时，f(x)<g(x)；当x∈(0，1)时，f(x)>g(x)；当x∈(1，＋∞)时，f(x)<g(x)．由函数f(x)与g(x)的图象可知(图略)，若f(a)＝2a＋3a＝3b＋2b＝g(b)，则b<a<0或0<a<b<1或1＜b＜a或a＝b.故选ABD.三、填空题12．(2023·长沙一模)使得“2x>4x2”成立的一个充分条件是________．答案0<x<14(答案不唯一)解析由于4x2＝22x2，故2x>4x2等价于x>2x2，解得0<x<12，使得“2x>4x2”成|0<x|0<x 13．(2024·皖江名校模拟)已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．答案(1，＋∞)f(－4)>f(1)解析因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(－3)＝f(1)．14．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________．答案(－∞，－18]解析设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因为x∈[－2，2]，所以t∈1 9，9.又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间19，9上单调递减，故有－m2≥9，解得m≤－18.所以m的取值范围为(－∞，－18]．四、解答题15．已知函数f(x)3(a>0，且a≠1)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．解(1)由于a x－1≠0，则a x≠1，得x≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，对于定义域内任意x，有f(－x)－x)3(－x)3＝1－1a x－1＋－x)3＝3＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x>0时的情况．当x>0时，要使f(x)>0，则3>0，即1 a x－1＋12>0，即a x＋12（a x－1）>0，则a x>1.又x>0，∴a>1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)>0在定义域上恒成立．16．(2024·莆田模拟)已知函数f(x)＝3x＋b3x＋1是定义域为R的奇函数．(1)求实数b的值，并证明函数f(x)在R上单调递增；(2)已知a>0且a≠1，若对于任意的x1，x2∈[1，3]，都有f(x1)＋32≥ax2－2恒成立，求实数a 的取值范围．解(1)因为函数f (x )＝3x ＋b 3x＋1是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝1＋b 2＝0，解得b ＝－1，此时f (x )＝3x －13x ＋11－23x ＋1.对任意的x ∈R ，3x ＋1>0，即函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝3x （3－x －1）3x （3－x ＋1）＝1－3x1＋3x＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，符合题意．任取t 1，t 2∈R 且t 1<t 2，则0<3t 1<3t 2，所以f (t 1)－f (t 2)＝2（3t 1－3t 2）（3t 1＋1）（3t 2＋1）<0，则f (t 1)<f (t 2)，所以函数f (x )在R 上单调递增．(2)由(1)可知，函数f (x )在[1，3]上为增函数，对于任意的x 1，x 2∈[1，3]，都有f (x 1)＋32≥a x 2－2，则a x 2－2－32≤f (1)＝12，所以a x 2－2≤2，因为x 2∈[1，3]，所以x 2－2∈[－1，1]．当0<a <1时，则有a －1≤2，解得12≤a <1；当a >1时，则有a ≤2，此时1<a ≤2.综上所述，实数a 的取值范围是12，(1，2]．。
第04讲 指数与指数函数(八大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
(1)一般地，如果xn＝a，那么 x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
n
(2)式子 a叫做 根式 ，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
n
(3)( a)n＝ a .
2、根式的性质：
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数．
【答案】10
【解析】由题可知，1 , 2 也是 = 2 , = log 2 与 = − + 10图象交点的横坐标，
在同一坐标系中，作图如下：
数形结合可知，1 , 2 为, 两点对应的横坐标；
根据指数函数和对数函数的性质可知， = 2 , = log 2 关于 = 对称；
A．−1
B．−2
C．−4
D．−9
【答案】C
【解析】因为函数 = () =
1
( )
2
+
1 0
图象过原点，所以( )
2
+ = 0，
得 + = 0，又该函数图象无限接近直线 = 2，且不与该直线相交，
所以 = 2，则 = −2，所以 = −4．故选：C
【方法技巧】
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、
【解析】（1）原式=
49
9
1
2
2
+ 10 +
+ 2
1
1
2 + 2
2 + 2
64
27
2
3
10
27
2
3
− 100π0 ；
的值．
7
2023高考数学基础知识综合复习第6讲指数与指数函数 课件(共21张PPT)
考点一
考点二
指数与指数幂运算
◆角度1.根式的运算
例1下列各式正确的是(
8
A. a8 =a
4
4
C. (-4) =-4
)
B.a0=1
5
D. (-π)5 =-π
答案 D
解析 对于A,当a为负数时等式不成立,故A不正确;
对于B,a0=1,当a=0时无意义,故B不正确;
对于C,左边为正,右边为负,故C不正确;
3.指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
(a>0且a≠1)
0<a<1
图象
定义域
值域
性质
R
(0,+∞)
过定点(0,1)
当x>0时,y>1;
当x>0时,0<y<1;
当x<0时,0<y<1
当x<0时,y>1
在R上是增函数
在R上是减函数
y=ax的图象与y=a-x=( 1 )x的图象关于y轴对称(a>0且
a≠1)
5
对于 D, (-)5 =-π,故 D 正确.故选 D.
考点一
考点二
◆角度2.分数指数幂运算
例2化简下列各式(a>0,b>0).
(1)
1
3 ·
;
1
a-1 b-1
2
(2) 1
÷
b a
- 3 -2
2
a
解 (1)原式=
1 1
3 ·2
2
3
.
=
1 1
1
2 2
-1 2
(2)原式= 1 2 ÷
高考数学(人教a版,理科)题库：指数与指数函数(含答案)
第4讲 指数与指数函数一、选择题1．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( )解析 y ＝a |x |＝⎩⎨⎧ a x x ≥0，a －x x ＜0.当x ≥0时，与指数函数y ＝a x (a >1)的图像相同；当x <0时，y ＝a －x 与y ＝a x 的图像关于y 轴对称，由此判断B 正确． 答案 B2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 3x ，x >02x x ≤0，则f (9)＋f (0)＝( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3解析 f (9)＝log 39＝2，f (0)＝20＝1，∴f (9)＋f (0)＝3.答案 D3．不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x －a 2恒过定点，则这个定点的坐标是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 解析 y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y ＝(a －1)2x －a 2恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. 答案 C4．定义运算：a *b ＝⎩⎨⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，如1*2=1,则函数f (x )=2x *2-x 的值域为 ( )． A ．R B ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝2x *2－x ＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，2－x ，x >0，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f (x )≤1.答案 C5．若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值为( ) A. 6B ．2或－2C ．－2D ．2解析 (a b ＋a －b )2＝8⇒a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4.又a b >a －b (a >1，b >0)，∴a b －a －b ＝2.答案 D6．若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是下图中的 ( )．解析 函数f (x )＝(k －1)a x －a －x 为奇函数，则f (0)＝0，即(k －1)a 0－a 0＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x －a －x ，又f (x )＝a x －a －x 为减函数，故0<a <1，所以g (x )＝log a (x ＋2)为减函数且过点(－1,0)．答案 A二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________． 解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，说明函数y ＝f (x )在R 上是减函数，则0<a <1，且(a －3)×0＋4a ≤a 0，解得0<a ≤14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 8．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是________．解析 函数y ＝2－x ＋1＋m ＝(12)x －1＋m ， ∵函数的图象不经过第一象限，∴(12)0－1＋m ≤0，即m ≤－2. 答案 (－∞，－2]9．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析 令a x －x －a ＝0即a x＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示．答案 (1，＋∞)10．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析 x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]，x 2∈[0,2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫120－m ，即g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－m ，1－m ，要使∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，只需f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，故m ≥14.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 三、解答题11．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1. (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)求证f (x )在R 上为增函数．(1)解 因为函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x 2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1)， ∵x 1<x 2,2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在R 上是增函数．12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x ，得⎩⎨⎧ 6＝ab ，24＝b ·a 3.结合a >0且a ≠1，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x.(2)要使(12)x ＋(13)x ≥m 在(－∞，1]上恒成立， 只需保证函数y ＝(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可． ∵函数y ＝(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上为减函数， ∴当x ＝1时，y ＝(12)x ＋(13)x 有最小值56. ∴只需m ≤56即可． ∴m 的取值范围(－∞，56] 13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )， 由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧ a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当x <0时， f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12，∵2x >0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
2023届高考数学---指数与指数函数综合练习题(含答案解析)
2023届高考数学---指数与指数函数综合练习题（含答案解析）1、已知a ，b ∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x ＜a x ，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜bC [∵当x ＞0时，1＜b x ，∴b ＞1.∵当x ＞0时，b x ＜a x ，∴当x ＞0时，(ab )x ＞1. ∴ab ＞1，∴a ＞b .∴1＜b ＜a ，故选C.]2、设f (x )＝e x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b2)，r ＝f （a ）f （b ），则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞qC [∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又f (x )＝e x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f (a ＋b2)＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝f （a ）f （b ）＝e a e b ＝e a ＋b2＝q ，故q ＝r ＞p .故选C.]3、已知函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．12或32 [当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2， ∴a ＝12或a ＝0(舍去)． 当a ＞1时，a 2－a ＝a2， ∴a ＝32或a ＝0(舍去)． 综上所述，a ＝12或32.]4、已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． [解] (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a， 解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k ＞0， 从而Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13. 故k 的取值范围为(－∞，－13)．5、设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）＞K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1D [根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.]6、已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值． [解] (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3＝(12)2x －2λ·(12)x ＋3(－1≤x ≤2)． 设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2)． 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3 ＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2)．所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34. 所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34， 故函数f (x )的值域为[34，3716]． (2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3 ＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)，①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916， 令－λ2＋4916＝1，得λ＝338＞14，不符合，舍去； ②当14＜λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2＜14，不符合，舍去)；③当λ＞2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32＜2，不符合，舍去．综上所述，实数λ的值为 2.一、选择题1．设a＞0，将a2a·3a2表示成分数指数幂的形式，其结果是()A．a 12B．a 5 6C．a 76D．a32C[a2a·3a2＝a2a·a23＝a2a53＝a2a56＝a2－56＝a76.故选C.]2．已知函数f(x)＝4＋2a x－1的图像恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1，6) B．(1，5)C．(0，5) D．(5，0)A[由于函数y＝a x的图像过定点(0，1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2a x－1的图像恒过定点P(1，6)．]3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜aC[y＝0.6x在R上是减函数，又0.6＜1.5，∴0.60.6＞0.61.5.又y＝x0.6为R上的增函数，∴1.50.6＞0.60.6，∴1.50.6＞0.60.6＞0.61.5，即c＞a＞b.]4．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图像的大致形状是( )A BC DD [函数的定义域为{x |x ≠0}，所以y ＝xa x |x |＝⎩⎨⎧a x，x ＞0，－a x ，x ＜0，当x ＞0时，函数是指数函数y ＝a x ，其底数0＜a ＜1，所以函数递减；当x ＜0时，函数y ＝－a x 的图像与指数函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图像关于x 轴对称，所以函数递增，所以应选D.]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x ＜0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减C [易知f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，此时－x ＜0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时，－x ＞0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.]二、填空题1、若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．[2，＋∞) [由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．] 2、不等式2－x 2＋2x＞(12)x ＋4的解集为________．(－1，4) [原不等式等价为2－x 2＋2x＞2－x －4，又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x ＞－x －4， 即x 2－3x －4＜0，∴－1＜x ＜4.]3、若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．(0，12) [(数形结合法)当0＜a ＜1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图像，由图像可知0＜2a ＜1， ∴0＜a ＜12；同理，当a ＞1时，解得0＜a ＜12，与a ＞1矛盾． 综上，a 的取值范围是(0，12)．] 三、解答题4、已知函数f (x )＝(13)ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝(13)－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝(13)u 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝(13)h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1.因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，函数y ＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. 5、已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图像经过点A (1，6)，B (3，24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)因为f (x )的图像过A (1，6)，B (3，24)， 所以⎩⎨⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24. 所以a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2，b ＝3. 所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，(12)x ＋(13)x －m ≥0恒成立，即m ≤(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝(12)x 与y ＝(13)x 均为减函数，所以y ＝(12)x ＋(13)x也是减函数，所以当x＝1时，y＝(12)x＋(13)x有最小值56.所以m≤56.即m的取值范围是(－∞，56]．本课结束。
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高考数学指数与指数函数
指数与指数函数
一、填空题
1. 已知f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________．
2. (－1.8)0
＋(1.5)－
2
×
23
338⎛⎫ ⎪⎝⎭
－(0.01)
－
0.5
＋32
9＝
________.
3. 指数函数y ＝⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫b a x
的图象如图所
示，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的顶点横坐标的取值范围是________．
4. 已知0≤x ≤2，则y ＝12
4325x x
--⋅+的最大值为________．
5. 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如图所示，则g (x )＝a x ＋b 的图象是________．
6. (2011·新沂一中模拟)已知f (x )＝
()11,02,0x a x a x a x ⎧
-++<⎪
⎨
⎪≥⎩
是(－∞，＋∞)上的减函数，那么
实数a 的取值范围是________．
7. 若函数f (x )、g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有________．
①f (2)<f (3)<g (0)； ②f (2)<g (0)<f (3)； ③g (0)<f (3)<f (2)； ④g (0)<f (2)<f (3)．
8. 若函数f (x )＝e －(x －μ)2(e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________.
9. (2011·南京调研)定义在R 上的f (x )满足
f (x )＝()()
1
3,0
120x x f x f x x -⎧≤⎪⎨--->⎪⎩
，则f (2 010)＝
________.
二、解答题 10. 计算：
÷
3
a
－7
3
a 13；
(2)
23
338-
⎛⎫- ⎪⎝⎭
＋12
0.002-
－10(5－2)－1＋
(2－3)0
；
(3)已知112
2
4
m m
-+=，求3322112
2
m
m
m m
-
-
-+的值．
11. 函数f (x )＝2－x
x －1
的定义域为集合A ，关于
x 的不等式22ax <2a ＋x (a ∈R )的解集为B ， 求使A ∩B ＝A 的实数a 的取值范围．
12. (2011·丹阳中学期中)设函数f(x)＝ka x－a－x(a>0且a≠1)是奇函数．
(1)求k的值；
(2)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；
(3)若f(1)＝3
2
，且g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)
在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值。