三角函数的有关计算

课题：1.3.三角函数的有关计算（一）

课型：新授课

授课人：段修亮

授课时间：2013/11/21

教学目标

(一)知识与技能

1.会使用计算器由已知锐角求三角函数值.

2.沟通问题的已知与未知事项，进而运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.

(二)过程与方法

1.通过运用计算器求三角函数值过程，进一步体会三角函数的意义.

2.在具体的情境中，用三角函数刻画事物的相互关系.

3．在求上升高度、水平移动的距离的过程中发现并提出数学问题。

4．运用三角函数方法，借助于图形或式子清楚地表达解决问题的过程，并解释结果的合理性。

（三）情感态度与价值观

体验数、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，增强对数学方法（三角方法）科学性、完美性的认识。

教学重点：会用计算器辅助解决含三角函数值计算的相关问题

教学难点：会用计算器辅助解决含三角函数值计算的相关问题

教学过程

第一环节情境引入

活动内容：

用多媒体演示学生熟悉的现实生活中的问题，感知问题中已知条件和未知事项。

[问题]如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠a＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少?

在Rt △ABC 中，∠α＝16°，AB=200米，需求出BC.

根据正弦的定义，sin16°=200BC AB BC , ∴BC ＝ABsin16°＝200 sin16°(米).

活动目的：由实际问题引出利用三角函数计算的必要性；为了计算缆车垂直上升的距离，需要求出16°角的三角函数值，由此引出一般锐角的三角函数的计算问题。

实际教学效果：因为问题情境贴近学生的生活，所以学生参与活动的热情很高。学生能根据之前所学的三角函数的定义得出BC 、AB 、sin16°三者的关系，而这里的sin16°学生不知道怎样计算，由此感受到学习新知识的需要，产生探索的欲望。

第二环节 探索新知

活动内容：

200sin16°米中的“sin16°”是多少呢?我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定. 对于特殊角30°、45°、60°可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们该怎么办？我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值.

怎样用科学计算器求三角函数值呢?

1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值.

用科学计算器求三角函数值，要用到和键.例如sin16°，cos42°，tan85°和sin72°38′25″的按键顺序如下表所示.(多媒体演示)

按键顺序 显示结果 sin16°

sin 1 6 = sin16°=0.275637355 cos42° cos42°=0.743144825

tan85°tan85=11.4300523

sin72°38′25″sin72°38′25″=0.954450312

同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″.看显示的结果是否和表中显示的结果相同.

(教学时应注意不同的计算器按键方式可能不同，可引导学生利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以鼓励同学们互相交流用计算器计算三角函数值的方法)

用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位,我们的教材中有一个约定.如无特别说明，计算结果一般精确到万分位.

下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题.

用计算器求得BC＝200sin16°≈55.12(m).

2.用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题.

多媒体演示本节开始的问题：

当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么?

学生思考后，有如下几种解决方案：

方案一：可以计算缆车从B点到D点垂直上升的高度.

方案二：可以计算缆车从A点到D点，一共垂直上升的高度、水平移动的距离.

用计算器辅助计算出结果

（1）在Rt△DBE中，∠β＝42°，BD＝200 m，缆车上升的垂直高度DE＝BDsin42°=200sin42°≈133.83(米).

（2）由前面的计算可知，缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC+DE=55.12+133.83＝188.95(米).

（3）在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB=200米，AC＝ABcos16°≈200×0.9613＝192.23(米).

在RtADBE中，∠β＝42°，BD＝200米.BE＝BD·cos42°≈200×

0.7431=148.63(米).

缆车从A→B→D移动的水平距离为BE+AC＝192.23+148.63=340.86(米).

活动目的：引导学生利用计算器探索计算三角函数值的具体步骤；让学生学会从数学角度提出问题、分析问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展学生的应用意识；让学生进一步体会在实际问题中用计算器求锐角函数值的过程。

实际教学效果：学生学会了利用计算器探索计算三角函数值，并解决含有三角函数值计算的实际问题，在小组活动的过程中，学生能积极地参与小组交流、讨论，表现出较高的思维水平和语言表达能力，更感受到科学的方法与科学计算工具结合所产生的独特魅力。

第三环节随堂练习

活动内容：

下面请同学们用计算器计算下列各式的值(多媒体演示).

1、用计算器求下列各式的值。

(1)sin56°；(2)sin15°49′；

(3)cos20°；(4)tan29°；

(5)tan44°59′59″；(6)sin15°+cos61°+tan76°.

(以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确)

答案：(1)sin56°≈0.8290；

(2)sin15°49′≈0.2726；

(3)cos20°≈0.9397；

(4)tan29°≈0.5543；

(5)tan44°59′59″≈1.0000；

(6)sin15°+cos61°+tan76°≈0.2588+0.4848+4.0108=4.7544.

2、一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m，再爬30°的山坡100 m，求山高.(结果精确到0.01 m)

解：如图，根据题意，可知

BC=300 m，BA=100 m，∠C=40°，∠ABF=30°.

在Rt△CBD中，BD=BCsin40°